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2026年中考数学一轮复习精讲精练
模块八 统计与概率
专题3 概率
【考点一】随机事件的概念
事件类型 定义 举例
确定性事件 必然事件 在一定条件下，有些事件必然会发生 水涨船高、水滴石穿、铁杵磨成针
不可能事件 在一定条件下，有些事件必然不会发生 水中捞月、海枯石烂
随机事件（不确定事件） 在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件 守株待兔、海市蜃楼
【考点二】事件发生的可能性大小
1. 随机事件发生的可能性有大小之分，不同的随机事件发生的可能性大小有可能不同．
2. 必然事件发生的可能性为100%，不可能事件发生的可能性为0%，随机事件发生的可能性范围为0%~100%（不包括0%和100%）．
3. 随机事件的可能性大小比较的步骤
（1）确定：明确“决定不同随机事件发生的要素”；
（2）计算：计算每一个要素的数量；
（3）结论：比较数量的多少，判断可能性的大小．
【考点三】概率的定义及计算公式
1. 概率的定义
一般地，对于一个随机事件A，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件A发生的概率，记为P(A)．
2. 概率的计算公式
一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率P(A)＝．
3. 概率的取值
（1）当事件A是必然事件时，P(A)＝1；
（2）当事件A是不可能事件时，P(A)＝0；
（3）当事件A是随机事件时，P(A)满足0＜P(A)＜1．
【考点四】画树状图法
1.画树状图法求概率 画树状图法是用树状图的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的次数和方式，并求出概率的方法
2.画树状图法的应用 当一次试验要涉及3 个或更多的因素时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用画树状图法来求事件发生的概率,用树状图列举出的结果看起来一目了然，当事件要经过多个步骤(三步或三步以上)完成时，用画树状图法求事件的概率很有效。
【易错点】
1.用画树状图法求事件的概率时，应注意各种情况出现的可能性必须相等
2.当试验包含两步时，可用画树状图法，也可用其他方法当试验在三步或三步以上时用画树状图法比较方便
【考点五】列表法
1.列表法 就是用表格的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的次数和方式，并求出概率的方法
2.适用条件 当一次试验涉及两个因素，(1)同时进行两种相同的操作;(2)先后进行两次相同的操作，即两步试验，并且可能出现的等可能结果数目较多时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，常采用列表法,
3．具体步骤
（1）选其中的一次操作（或一个条件）为横行，另一次操作（或另一个条件）为坚列，列出表格；
（2）运用概率公式 计算概率。
【易错点】
1.列表法适用于求两步试验的概率，利用表格的行和列分别表示出两次操作或两个条件，
2.列表法不适用于求三步及三步以上试验的概率
【考点六】用频率估计概率
1. 一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率稳定在某个常数p附近，那么事件A发生的概率P(A)＝p．
2. 适用条件：当试验的所有可能结果不是有限个或各种结果出现的可能性不相等时，可通过事件发生的频率来估计其概率．
【考点七】频率与概率的区别与联系
名称
关系 频率 概率
区别 试验值或使用时的统计值 理论值
与试验次数的变化有关 与试验次数的变化无关
与试验人、试验时间、试验地点有关 与试验人、试验时间、试验地点无关
联系 试验次数越多，频率越趋向于概率
【题型一】必然事件、不可能事件、随机事件
◇典例1：
小明和小丽按如下规则做游戏：桌面上放有17根火柴棒，每次取1根或2根，最后取完者获胜．若由小明先取，且小明一定获胜，则小明第一次取走火柴棒的根数是 ．
◆变式训练
1.下列词语所描述的事件属于随机事件的是（ ）
A．水中捞月 B．画饼充饥 C．守株待兔 D．水到渠成
2.在下列事件中，不可能事件是（ ）
A．投掷一枚硬币，正面向上 B．从只有红球的袋子中摸出黄球
C．任意画一个圆，它是轴对称图形 D．射击运动员射击一次，命中靶心
【题型二】可能性的大小
◇典例2：
如图，三个不透明布袋中都装进只有颜色不同的5个小球，分别从中随机摸出一个小球，“摸到白球”的可能性更大的布袋是 ．（填写布袋对应的序号）
◆变式训练
1.估计下列俗语描述的事件发生的可能性大小：①瞎猫碰到死耗子；②水中捞月；③种瓜得瓜，种豆得豆．将这些俗语的序号按发生的可能性从小到大的顺序排列为 ．
2.投掷一枚形状规则、质地均匀的骰子（六个面分别标记、、、、、点），有下列事件：①掷得的点数是；②掷得的点数是奇数；③掷得的点数不小于；④掷得的点数为．这些事件发生的可能性由大到小排列是 （填序号）．
【题型三】简单事件的概率
◇典例3：
某福彩玩法规定所购的彩票的4位数与开奖结果的4位数相同，则中一等奖．那么购一张彩票中一等奖的概率是 ．
◆变式训练
1.某路口交通信号灯的一个完整周期为80秒．在每个周期中，绿灯时长为45秒，黄灯时长为3秒，红灯时长为32秒．货车司机陈师傅开车通过该路口时，遇上红灯的概率为（ ）
A． B． C． D．无法计算
2.从四个数中选取一个作为的值，则满足不等式组的解集是，且分式方程有解的概率为 ．
【题型四】几何概率
◇典例4：
如图，在中，，是边上的中线，点E、F、M、N是上的四点，现向内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1.《易经》：“易有太极，是生两仪，两仪生四象，四象生八卦”．太极图是关于太极思想的图示，里面包含表示一阴一阳的图形，在不考虑颜色的情况下，它是一个中心对称图形．如图，在太极图的大圆形内部随机取一点，则此点取自太极图中黑色部分的概率是 ．
2.设计比赛的靶子是由10个同心圆组成，如图．已知这个靶子上面每相邻的两个同心圆半径之差等于最里面小圆的半径，规定：从最外面的圆环到最里面的小圆的环数依次为1环、2环、……、10环．在第33届巴黎夏季奥运会射击比赛中，某选手射出一发子弹，他射中8环的概率是（ ）
A． B． C． D．
【题型五】树状图法求概率
◇典例5：
长春市人民广场是中心景观类环岛型交通广场，以开阔的空间、精美的建筑和多彩的绿化而驰名．甲、乙两辆车从人民大街由南向北驶入人民广场，它们各自从A、B、C三个出口中随机选择一个出口驶出．用画树状图（或列表）的方法，求甲、乙两辆车从同一出口驶出的概率．
◆变式训练
1.为了缅怀科学家，九年级某班要召开一次“科学强国”主题活动，李老师做了编号为，，，的四张卡片（如下图，除编号和内容外，其余均相同），并将它们背面朝上洗匀后放在桌面上．
(1)小智随机抽取张卡片，抽到卡片编号为的概率为____________．
(2)小智从张卡片中随机抽取张不放回，小慧再从余下的张卡片中随机抽取张，然后根据抽取的卡片讲述相关科学家事迹，请用画树状图或列表的方法，求小智、小慧两人中恰好有一人讲述钱学森事迹的概率．
2.《中国诗词大会》在向人们宣传古诗词文化的同时也在学生群体中掀起了古诗词的热潮．喜欢古诗的小明和小华两人制作了四张完全相同的不透明卡片，并在卡片正面分别写上诗句：
A．“长风破浪会有时，直挂云帆济沧海．”；
B．“清明时节雨纷纷，路上行人欲断魂．”；
C．“忽如一夜春风来，千树万树梨花开．”；
D．“借问酒家何处有，牧童遥指杏花村．”，两人商量将卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，并说出所抽卡片上诗句的作者和诗名．
(1)从这四张卡片中随机抽取一张，则抽到的卡片上写有诗句“长风破浪会有时，直挂云帆济沧海．”的概率是________；
(2)小明先从这四张卡片中随机抽取了一张，不放回，小华再从剩余的三张卡片中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求他们抽取的诗句恰好出自同一首诗的概率．
【题型六】列表法求概率
◇典例6：
老师为帮助学生正确理解物理变化与化学变化，将种生活现象分别制成表面看上去无差别的卡片，并分别放入甲、乙两个口袋中（如图）．甲口袋中装有，两张卡片，乙口袋中装有，，三张卡片．注：没有生成其他物质的变化叫做物理变化（、）；生成其他物质的变化叫做化学变化（、、）．
(1)若从乙口袋中随机抽取张卡片，抽到化学变化的概率是______；
(2)从两个口袋中分别随机取出张卡片，用画树状图或列表的方法，求抽出的两张卡片均是物理变化的概率．
◆变式训练
1.在《哪吒之魔童闹海》的云南首映式上，主办方设置了一个抽奖环节．抽奖规则为：参与者任选一个奖品袋，从中随机抽取一张卡片（形状、大小完全相同），记下编号后放回洗匀，再根据所抽卡片上对应的编号领取奖品．已知甲奖品袋对应的卡片编号为：A：哪吒徽章，B：敖丙徽章，C：申公豹徽章；乙奖品袋对应的卡片编号为：D：哪吒钥匙扣，E：敖丙钥匙扣，F：太乙真人钥匙扣．（两个奖品袋的卡片如图所示）
甲奖品袋（徽章）：
乙奖品袋（钥匙扣）：
小丽和小颖参加了本次首映式，并分别从甲、乙奖品袋中随机抽取了一个奖品．其中，小丽从甲奖品袋中抽取的奖品记为x，小颖从乙奖品袋中抽取的奖品记为y．
(1)请用列表法或画树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果总数；
(2)求小丽和小颖抽取的奖品所代表的动画人物相同的概率．
2.南昌地铁1号线“师大南路站”有标识为2，3，4的三个出入口．某周六上午，甲、乙两名志愿者随机选择该站的一个出入口，开展交通安全志愿服务活动．
(1)甲在该站的标识为4的出入口开展志愿服务活动的概率为_____．
(2)求甲、乙两名志愿者在该站的同一出入口开展志愿服务活动的概率．
【题型七】用频率估计概率
◇典例7：
某小组在“用频率估计概率”的试验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线图，那么最符合这一结果的试验是（ ）
A．掷一枚质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是6
B．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中抽出一张牌，花色是梅花
C．不透明袋子中有1个红球和3个白球，每个球除颜色外都相同，从中任意取出一个球是红球
D．在玩“石头、剪刀、布”的游戏中，小颖随机出的是“布”
◆变式训练
1.在一个不透明的口袋中装有红色、白色小球共25个，这些小球除颜色外其他完全相同．搅匀后从中随机摸出一个，记下颜色，放回，重复上述过程，小林通过多次摸球试验后发现，其中摸到红色小球的频率稳定在，则口袋中红色小球的个数为 ．
2.如图1所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为，宽为的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计试验结果），他将若干次有效试验的结果绘制成了图2所示的折线统计图，由此他估计不规则图案的面积大约为 ．（精确到）
【题型八】游戏的公平性
◇典例8：
小明和哥哥都很想去看足球比赛，爸爸只买到了一张门票，最后商定通过转盘游戏决定去观看比赛．游戏规则是：转动如图1所示的转盘，转盘停止后，若转盘指针指向红色小明去；若转盘指针指向蓝色或黄色，哥哥去；如果指针恰好指向白色或指向分割线，重新转动．
(1)求小明去观看足球比赛的概率；
(2)你认为这个游戏规则公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请你设计出一种公的游戏规则；
(3)请你利用图2所示转盘，设计一个转盘游戏，使得小明去的概率为，并简要说明游戏规则．
◆变式训练
1.“石头、剪刀、布”的游戏古老而简单，早在汉朝时期就开始流行．甲同学、乙同学和丙同学约定游戏规则如下：由甲同学和乙同学玩“石头、剪刀、布”游戏，如果两人的手势相同，那么丙同学获胜；否则，按照“石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头”的规则决定甲同学和乙同学中的获胜者．假设甲同学和乙同学每次出这三种手势的可能性相同．
(1)用树状图或列表法求出丙同学获胜的概率；
(2)你认为这个游戏对三人公平吗？为什么？
2.嘉嘉和淇淇一起玩五子棋游戏，如图，棋盘旁有两个棋盒．甲盒中有3个白子和7个黑子，乙盒中有1个白子和1个黑子．
(1)从甲盒中拿出m个黑子放入乙盒后，从两个棋盒中随机摸出1个棋子是白子的概率均相同，求m的值；
(2)经过（1）的棋子调整后，用乙盒及棋盒中的棋子做如下游戏，规则：先随机摸出1个棋子，记下颜色后放回，再摸出1个棋子．若摸出两个棋子的颜色相同，则嘉嘉胜；若摸出两个棋子的颜色不同，则淇淇胜．请问该游戏规则公平吗？说明理由．
【题型九】统计与概率的综合应用
◇典例9：
DeepSeek横空出世，开启了中国人工智能崭新的春天．为激发青少年崇尚科学，探索未知的热情，某校开展了“逐梦科技强国”为主题的活动．下面是该校某调查小组对活动中模具设计水平的调查报告，请完成报告中相应问题．
数据收集与表示 随机抽取全校部分学生的模具设计成绩（成绩为百分制，用x表示），将其分成如下四组： A：，B：，C：，D：． 下面给出了部分信息： 其中C组的成绩为：80，81，82，82，83，84，84，84，85，85，86，86，86，87，87，88，88，89，89，89．
数据分析与应用 根据以上信息解决下列问题： （1）本次共抽取了______名学生的模具设计成绩，成绩的中位数是______分，在扇形统计图中，C组对应圆心角的度数为______； （2）请补全频数分布直方图； （3）请估计全校1200名学生的模具设计成绩不低于80分的人数； （4）学校决定从模具设计优秀的甲、乙、丙、丁四位同学中随机选择两名同学作经验交流，请用画树状图或列表的方法求出所选的两位同学恰为甲和丙的概率．
◆变式训练
1.某校为了解学生对名著：水浒传、：红楼梦、：三国演义、：西游记的喜欢情况，随机抽取了部分学生进行调查每位同学必选且只能选择一项，根据调查数据绘制了如下不完整的统计表和条形统计图：
名著 频数 频率
请根据以上信息，解答以下问题：
(1)本次共抽取学生______名， ______；
(2)补全条形统计图；
(3)若该校共有名学生，则喜欢名著西游记的学生约有多少名？
(4)从喜欢水浒传的学生中选取人，从喜欢红楼梦的学生中选取人，若从这人中，随机选取人向大家分享他们最喜爱的故事情节，请用列表或画树状图的方法，求选取的名学生恰好都喜欢红楼梦的概率．
2.“幸福不会从天降，美好生活靠劳动创造”，劳动课正式成为中小学的一门独立课程，日常生活劳动设定四个任务群：A清洁与卫生，B整理与收纳，C家用器具使用与维护，D烹饪与营养．学校为了较好地开设课程，对学生最喜欢的任务群进行了调查，并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图．
请根据统计图解答下列问题：
(1)本次调查中，一共调查了_______名学生；
(2)补全上面的条形统计图和扇形统计图；
(3)学校想从选择“A清洁与卫生”的学生中随机选取两名学生作为“家居博览会”的志愿者，请用画树状图或列表法求出所选的学生恰好是一名男生和一名女生的概率．
一、单选题
1．（2025·江苏徐州·中考真题）一个不透明的袋子中装有4个红球与2个黑球，每个球除颜色外都相同．从中任意摸出3个球，下列事件为必然事件的是（ ）
A．至多有1个球是红球 B．至多有1个球是黑球
C．至少有1个球是红球 D．至少有1个球是黑球
2．（2025·海南·中考真题）掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，观察向上一面的点数．下列说法正确的是（ ）
A．出现点数为6的概率是
B．出现点数为0是随机事件
C．出现点数为偶数是必然事件
D．出现点数为奇数是不可能事件
3．（2025·广东深圳·中考真题）某校进行《九章算术》，《周髀算经》，《孙子算经》，《算法统宗》四本书的长文本阅读活动，小聪从中任取一本，恰好抽到《九章算术》的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·福建·中考真题）从12个同类产品（其中10个是正品，2个是次品）中任意抽取3个的必然事件是（ ）．
A．3个都是正品 B．至少有1个是次品
C．3个都是次品 D．至少有1个是正品
5．（2025·贵州·中考真题）某学习小组抛掷一枚质地不均匀的棋子，为了估计“正面朝上”的概率，将同学们获得的试验数据整理如下表：（ ）
抛掷次数 20 60 100 120 140 160 500 1000 2000 5000
“正面朝上”的次数 12 38 58 62 75 88 275 550 1100 2750
“正面朝上”的频率
则抛掷这枚棋子出现“正面朝上”的概率约为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·四川攀枝花·中考真题）班级里有位女同学和位男同学，每位同学的名字都被分别写在一张小纸条上，放入一个盒中搅匀，如果班长已经抽出了6张纸条，其中写有2位女同学和4位男同学的名字，他把这6张纸条放在桌上，闭上眼睛在盒中余下的纸条中再抽第7张，那么这张纸条上写的是男同学的名字的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．（2025·湖北武汉·中考真题）某商场开展购物抽奖促销活动，抽奖盒中装有三个小球，它们分别标有10元、20元、30元，一次性随机摸出两个小球，摸出的两球上金额的和为50元的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．（2025·山东济南·中考真题）某学校食堂准备了A，B，C，D四种营养套餐，如果小明和小亮每人随机选择其中一种营养套餐，则他们恰好选到同一种营养套餐的概率是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2025·福建·中考真题）掷一枚均匀的硬币，如果连续抛掷1000次，那么第999次出现正面向上的概率是 ．
10．（2025·山东滨州·中考真题）在一次试验中，每个电子元件▄有通电或断电两种状态，并且这两种状态的可能性相等．如图，在一定时间段内，A，B之间电流能够正常通过的概率是 ．
11．（2025·四川绵阳·中考真题）水是生命之源．水分子的化学式为，即1个水分子由2个氢原子H和1个氧原子O组成．现有形状大小完全相同的4张卡片，分别有H，H，O，O图案，小明从打乱的这4张卡片中随机任取3张，则这三张卡片对应的元素符号恰能组成水分子化学式的概率是 ．
12．（2025·四川·中考真题）如图，将一个可以自由转动的转盘分成3个大小相同的扇形，并分别标为红、黄、绿三种颜色，指针位置固定．转动转盘，停止后，其中的某个扇形恰好停在指针所指的位置（指针指向交线时，当作指向右边的扇形）．转动转盘两次，指针指向颜色相同的扇形的概率为 ．
三、解答题
13．（2025·陕西·中考真题）某校召开趣味运动会，经过预赛的激烈角逐，甲、乙、丙、丁四支队伍获得“迎面接力跑”决赛资格，为确定决赛时的赛道（从内到外的道次依次为1，2，3，4），裁判组决定采用下面的方式：在一个不透明的盒子里放入四个小球，分别标有数字1，2，3，4，这四个小球除所标数字外都相同，每支队伍从盒中随机摸出一个小球，摸出的小球上所标的数字作为该队的道次．
(1)将盒中四个小球摇匀，若从中随机摸出一个小球，摸出标有数字1的小球的概率为_____；
(2)将盒中四个小球摇匀，甲队先从盒中随机摸出一个小球，不放回，摇匀，乙队再从盒中随机摸出一个小球．请利用画树状图或列表的方法，求甲、乙两队在决赛时赛道相邻的概率．
14．（2025·江苏南京·中考真题）甲袋子中装有2个相同的小球，它们分别写有数字1和3；乙袋子中装有3个相同的小球，它们分别写有数字1，2和4，先从甲袋子中随机取出1个小球，再从乙袋子中随机取出2个小球．
(1)取出的3个小球上所写数字没有4的概率是____________；
(2)取出的3个小球上所写数字都不相同的概率是多少？
15．（2025·山东淄博·中考真题）粮食安全，事关国计民生．增强学生粮食安全意识．培养学生节粮爱粮的良好生活习惯，已成为学校教育的一个重要共识．为此，某学校开设了相关校本课程，并在期末进行了结业测试．现从中随机抽取了部分学生的结业成绩（满分：100分，所有成绩均不低于75分），整理并绘制了如下尚不完整的统计图表．
组别 成绩/分 频数（人数）
1 10
2
3 35
4 25
5
根据以上信息，解答下列问题：
(1)请直接写出统计表中的________，________，第4组人数在结业成绩扇形统计图中所对应的圆心角是________度；
(2)请补全上面的结业成绩频数分布直方图；
(3)现从第5组中选拔演讲能力出众的2名男生和3名女生组成“粮食安全”宣讲团．并从中随机抽取2人进社区宣讲，求所抽取的2人恰好是1名男生和1名女生的概率．
一、单选题
1．黄庄月饼是河北特色月饼之一，嘉嘉从一个装有1个板栗月饼，2个枣泥月饼，3个五仁月饼和4个豆沙月饼的黄庄月饼礼盒中，随机拿出一个月饼（月饼的外观都一样），则拿出的月饼可能性最大的是（ ）
A．板栗月饼 B．枣泥月饼 C．五仁月饼 D．豆沙月饼
2．下列是不可能事件的是（ ）
A．通常加热到，水会沸腾
B．打开电视，正好播放新闻联播
C．在一个全是黑球的袋子里，摸出一个白球
D．三角形的内角和为
3．下列事件：①一个纸箱装有大小质地相同的10个乒乓球，其中1个黄色9个白色，随机摸出一个，摸到红色乒乓球；②翻开数学书，恰好翻到偶数页；③体育老师投篮一次，投中篮筐．其中不可能事件的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
4．成语是中国语言文化的缩影，蕴含着深厚丰富的文化底蕴．下列成语所描述的事件中，属于随机事件的是（ ）
A．水涨船高 B．旭日东升 C．守株待兔 D．刻舟求剑
5．一个不透明的袋子中装有3个红球和2个白球，这些球除颜色外都相同．从袋子中随机摸出一个球，则摸出的球为红球的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．小王练习射击，共射击次，其中有85次击中靶子，由此可估计小王射击一次击中靶子的概率约为（ ）
A． B． C． D．
7．某生物小组为验证玉米能否产生叶绿素这一性状中基因的显隐性问题，将两株绿色玉米杂交后，收集种子种植出幼苗．调查统计后得到以下数据：
调查玉米幼苗数 100 200 500 1000 1500 2000 …
绿色幼苗个数 86 164 395 762 1128 1502 …
绿色幼苗频率 0.860 0.820 0.790 0.762 0.752 0.751 …
根据上表的数据，估计“两株绿色玉米杂交后的种子能产生绿色幼苗”的概率大约为（ ）
A．0.70 B．0.75 C．0.80 D．0.85
8．如图，在的正方形网格飞镖游戏板中，每块小正方形除颜色外都相同，小正方形的顶点称为格点，假设飞镖击中游戏板的每一处是等可能的（击中边界或没有击中游戏板，则重投一次），任意投掷飞镖一次，飞镖击中阴影部分的概率是（ ）
A．1 B．4 C． D．
9．为了解一种豆苗的成活率，调查小组将调查数据绘制成统计图，则可估计这种豆苗成活的概率是（ ）
A． B． C． D．
10．如图1，在边长为8cm的正方形内部有一不规则图案（图中阴影部分），为测算阴影部分面积，小亮利用计算机进行模拟试验，通过计算机在正方形区域随机投放一个点，并记录该点落在阴影上的频率数据，结果如图2所示．小亮由此估计阴影部分面积约为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
11．成语“旭日东升”，从数学的观点看，成语中描述的事件是 事件．（填“必然”“不可能”或“随机”）
12．赋能数学课堂是指将人工智能技术融入数学教学过程，提升教学效果和学生学习体验．为了解学生对赋能数学课堂的喜爱程度，在全校进行了随机抽测，结果如下表：
抽测学生数 100 300 500 700 900 1000
喜爱赋能数学课堂学生数 85 279 445 637 828 900
学生喜爱赋能数学课堂的频率 0.85 0.93 0.89 0.91 0.92 0.90
根据抽测结果，估计该校学生喜爱赋能数学课堂的概率为 ．（结果精确到0.1）
13．某篮球运动员进行投篮训练，其成绩如下表，则这名运动员投篮一次，投中的概率约是 （精确到0.1）．
投篮次数 10 100 10000
投中次数 9 89 9012
14．向一个边长为2的正方形中投掷小石子（假设小石子全部投入正方形区域内且投入正方形区域内的每一点是等可能的），那么小石子落在此正方形的内切圆中的概率是 ．
15．一个暗箱中放有除颜色外其他完全相同的n个红球，6个黄球，4个白球，现将球搅匀后，任意摸出1个球记下颜色，再放回暗箱，通过大量重复试验后发现，摸到黄球的频率稳定在附近，由此可以估算n的值是 ．
16．我国传统的二十四节气概括了一年中四季交替的准确时间以及大自然中一些物候等自然现象发生的规律，二十四个节气分别为：春季（立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨），夏季（立夏、小满、芒种、夏至、小暑、大暑），秋季（立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降），冬季（立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒），若从二十四个节气中选一个节气，则抽到的节气在冬季的概率为 ．
三、解答题
17．有三种款式的帽子，两种款式的围巾，小明任意选一顶帽子和一条围巾
(1)用适当的方法列举出所有可能选中的结果；
(2)求小明恰好选到他喜欢的C款帽子和款围巾的概率.
18．在一个不透明的布袋中装有黑、白两种颜色的球共15个，这些球除颜色外其余均相同．现进行摸球试验，每次摸出1个球，并记录它的颜色，放回并摇匀，再次摸球．获得如下数据：
摸球总次数 10 20 50 100 150 200 250 300
摸出黑色球的频数 2 6 16 34 51 67 83 100
摸出黑色球的频率 0.20 0.30 0.32 0.34 0.34 0.34 0.33 0.33
(1)黑色球的个数可能是_____个．
(2)在（1）的条件下，再放进去这两种颜色的球共9个，摇匀后再次进行大量重复的摸球试验，如果摸出黑球的概率与摸出白球的概率相等，求放进去的这9个球中黑球和白球的数量分别是多少个？
19．年月日上午，军事航天部队、网络空间部队、信息支援部队、联勤保障部队是4支战略兵种首次集中亮相阅兵场，接受党和人民检阅．为增强同学们对战略兵种的认识，某班级计划举办手抄报展览，确定了A：军事航天部队；B：网络空间部队；C：信息支援部队；D：联勤保障部队个主题．
(1)若小华随机选择其中一个主题，则选到A：军事航天部队的概率是______；
(2)若小明和小亮每人随机选择其中一个主题，请用列表或画树状图的方法，求至少一人选到C：信息支援部队的概率．
20．某校对九年级学生对足球联赛“川超”情况做了抽样调查，将结果分为四个等级：非常了解；比较了解；基本了解；不了解．请根据下列两幅统计图中的信息解答下列问题：
(1)这次参与调查的学生有____________人，的圆心角是____________度；
(2)若该校九年级共有名学生，估计九年级学生中“基本了解”川超情况的学生有多少人？
(3)某班调查学生中等级有2名男生2名女生．现打算从这4名学生中任意抽取2名进行电话问答，请用列表或画树状图的方法求出恰好抽到两个男生的概率．
21．为了让学生体验民俗文化，某学校开设了特色艺术实践课程，课程分别是：A．五谷画，B．彩陶， C．剪纸，D．排灯．现学校要了解学生最感兴趣的课程情况，从全校学生中随机抽取部分学生进行调查（每位学生必选且只能选一门课程），根据调查结果，绘制了如图两幅不完整的统计图．
根据以上提供的信息，解答下列问题：
(1)此次被调查的学生总人数为_____人，并补全条形统计图；
(2)“D课程”在扇形图中的圆心角的度数为_____度；
(3)甲、乙两名同学从A、B、C、D四个课程中任选一门，用树状图或列表法求两人恰好选到同一门课程的概率．
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2026年中考数学一轮复习精讲精练
模块八 统计与概率
专题3 概率
【考点一】随机事件的概念
事件类型 定义 举例
确定性事件 必然事件 在一定条件下，有些事件必然会发生 水涨船高、水滴石穿、铁杵磨成针
不可能事件 在一定条件下，有些事件必然不会发生 水中捞月、海枯石烂
随机事件（不确定事件） 在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件 守株待兔、海市蜃楼
【考点二】事件发生的可能性大小
1. 随机事件发生的可能性有大小之分，不同的随机事件发生的可能性大小有可能不同．
2. 必然事件发生的可能性为100%，不可能事件发生的可能性为0%，随机事件发生的可能性范围为0%~100%（不包括0%和100%）．
3. 随机事件的可能性大小比较的步骤
（1）确定：明确“决定不同随机事件发生的要素”；
（2）计算：计算每一个要素的数量；
（3）结论：比较数量的多少，判断可能性的大小．
【考点三】概率的定义及计算公式
1. 概率的定义
一般地，对于一个随机事件A，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件A发生的概率，记为P(A)．
2. 概率的计算公式
一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率P(A)＝．
3. 概率的取值
（1）当事件A是必然事件时，P(A)＝1；
（2）当事件A是不可能事件时，P(A)＝0；
（3）当事件A是随机事件时，P(A)满足0＜P(A)＜1．
【考点四】画树状图法
1.画树状图法求概率 画树状图法是用树状图的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的次数和方式，并求出概率的方法
2.画树状图法的应用 当一次试验要涉及3 个或更多的因素时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用画树状图法来求事件发生的概率,用树状图列举出的结果看起来一目了然，当事件要经过多个步骤(三步或三步以上)完成时，用画树状图法求事件的概率很有效。
【易错点】
1.用画树状图法求事件的概率时，应注意各种情况出现的可能性必须相等
2.当试验包含两步时，可用画树状图法，也可用其他方法当试验在三步或三步以上时用画树状图法比较方便
【考点五】列表法
1.列表法 就是用表格的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的次数和方式，并求出概率的方法
2.适用条件 当一次试验涉及两个因素，(1)同时进行两种相同的操作;(2)先后进行两次相同的操作，即两步试验，并且可能出现的等可能结果数目较多时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，常采用列表法,
3．具体步骤
（1）选其中的一次操作（或一个条件）为横行，另一次操作（或另一个条件）为坚列，列出表格；
（2）运用概率公式 计算概率。
【易错点】
1.列表法适用于求两步试验的概率，利用表格的行和列分别表示出两次操作或两个条件，
2.列表法不适用于求三步及三步以上试验的概率
【考点六】用频率估计概率
1. 一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率稳定在某个常数p附近，那么事件A发生的概率P(A)＝p．
2. 适用条件：当试验的所有可能结果不是有限个或各种结果出现的可能性不相等时，可通过事件发生的频率来估计其概率．
【考点七】频率与概率的区别与联系
名称
关系 频率 概率
区别 试验值或使用时的统计值 理论值
与试验次数的变化有关 与试验次数的变化无关
与试验人、试验时间、试验地点有关 与试验人、试验时间、试验地点无关
联系 试验次数越多，频率越趋向于概率
【题型一】必然事件、不可能事件、随机事件
◇典例1：
小明和小丽按如下规则做游戏：桌面上放有17根火柴棒，每次取1根或2根，最后取完者获胜．若由小明先取，且小明一定获胜，则小明第一次取走火柴棒的根数是 ．
【答案】2
【分析】本题考查了必然事件．判断出使两人所取的根数之和为3是解题的关键．
由题意知，小明第一次取2根，然后保证第二次所取的根数和小丽所取的根数和为3，则小明必然要取到第根．
【详解】解：由题意知，小明第一次取2根，然后保证第二次所取的根数和小丽所取的根数和为3，则小明必然要取到第根火柴，小明一定获胜，
∴小明先取，第一次取走2根，
故答案为：2．
◆变式训练
1.下列词语所描述的事件属于随机事件的是（ ）
A．水中捞月 B．画饼充饥 C．守株待兔 D．水到渠成
【答案】C
【分析】本题考查了随机事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键．
根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点，逐一判断即可解答．
【详解】解：A、水中捞月，是不可能事件，故不符合题意；
B、画饼充饥，是不可能事件，故不符合题意；
C、守株待兔，是随机事件，故符合题意；
D、水到渠成，是必然事件，故不符合题意；
故选：C．
2.在下列事件中，不可能事件是（ ）
A．投掷一枚硬币，正面向上 B．从只有红球的袋子中摸出黄球
C．任意画一个圆，它是轴对称图形 D．射击运动员射击一次，命中靶心
【答案】B
【分析】本题考查的是事件的分类以及不可能事件的含义，根据不可能事件的定义，即在一定条件下必然不会发生的事件，对各选项逐一分析.
【详解】解：选项A：投掷硬币可能出现正面或反面，是随机事件，不合题意；
选项B：袋子中仅有红球，无黄球，因此摸出黄球不可能发生，属于不可能事件，符合题意；
选项C：圆无论大小或位置，始终是轴对称图形，属于必然事件，不合题意；
选项D：射击可能命中或脱靶，是随机事件，不合题意；
综上，只有选项B符合不可能事件的定义，
故选：B．
【题型二】可能性的大小
◇典例2：
如图，三个不透明布袋中都装进只有颜色不同的5个小球，分别从中随机摸出一个小球，“摸到白球”的可能性更大的布袋是 ．（填写布袋对应的序号）
【答案】③
【分析】此题考查了事件的可能性，根据每个布袋中白球的个数判断即可．
【详解】∵三个不透明布袋中都装进只有颜色不同的5个小球，①中有2个白球，②中有3个白球，③中有4个白球，
∴③中白球的个数最多
∴“摸到白球”的可能性更大的布袋是③．
故答案为：③．
◆变式训练
1.估计下列俗语描述的事件发生的可能性大小：①瞎猫碰到死耗子；②水中捞月；③种瓜得瓜，种豆得豆．将这些俗语的序号按发生的可能性从小到大的顺序排列为 ．
【答案】②①③
【分析】根据可能性大小的概念分别求出每个随机事件的可能性大小，继而可得答案．
本题主要考查可能性的大小，随机事件，解题的关键是掌握事件分为确定事件和不确定事件（随机事件），确定事件又分为必然事件和不可能事件．
【详解】解：①瞎猫碰到死耗子，是随机事件；
②水中捞月，是不可能事件；
③种瓜得瓜，种豆得豆，是必然事件．
将这些俗语的序号按发生的可能性从小到大的顺序排列为②①③．
故答案为：②①③．
2.投掷一枚形状规则、质地均匀的骰子（六个面分别标记、、、、、点），有下列事件：①掷得的点数是；②掷得的点数是奇数；③掷得的点数不小于；④掷得的点数为．这些事件发生的可能性由大到小排列是 （填序号）．
【答案】② ③ ① ④
【分析】此题考查可能性大小的比较，正确记忆相关知识点是解题关键．只要总情况数目相同，谁包含的情况数目多，谁的可能性就大，反之也成立；若包含的情况相当，那么它们的可能性就相等．分别比较情况数的大小即可选得答案．
【详解】解：根据题意，投掷一枚普通的六面体骰子，共种情况：
① 掷得的点数是包含种情况；
② 掷得的点数是奇数包括种情况；
③ 掷得的点数不小于包括种情况；
④ 掷得的点数为包括种情况，
故发生的可能性由大到小的顺序排为② ③ ① ④．
故答案为：② ③ ① ④．
【题型三】简单事件的概率
◇典例3：
某福彩玩法规定所购的彩票的4位数与开奖结果的4位数相同，则中一等奖．那么购一张彩票中一等奖的概率是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查概率，让1除以数的总情况数即为所求的概率．
【详解】解：每个数位都可以是0到9这10个数中的任意一个，共有个，且每个出现的机会相同，所有中一等奖的概率是，
故答案为：．
◆变式训练
1.某路口交通信号灯的一个完整周期为80秒．在每个周期中，绿灯时长为45秒，黄灯时长为3秒，红灯时长为32秒．货车司机陈师傅开车通过该路口时，遇上红灯的概率为（ ）
A． B． C． D．无法计算
【答案】C
【分析】本题考查概率的计算，掌握概率的求法是解题关键．
根据题意，直接应用概率公式：概率=红灯时长÷总周期时长，即可求解．
【详解】解：由题意，根据概率公式，得
遇到红灯的概率．
故选：C．
2.从四个数中选取一个作为的值，则满足不等式组的解集是，且分式方程有解的概率为 ．
【答案】
【分析】本题考查了概率公式，由一元一次不等式组解集的情况求参数的取值范围，由分式方程解的情况求参数的取值范围，先解不等式组，根据不等式组解集的情况可得，再解分式方程，由分式方程解的情况得，即得的取值范围为且，即可得符和条件的为的值共个，最后根据概率公式计算即可求解，由不等式组和分式方程解的情况求出的取值范围是解题的关键．
【详解】解：，
由①得，，
由②得，，
∵不等式组的解集为，
∴，
解分式方程，得，
∵分式方程有解，
∴，
即，
∴，
∴的取值范围为且，
∴从四个数中选取一个作为的值，符和条件的有，共个，
∴从四个数中选取一个作为的值，满足条件的概率为，
故答案为：．
【题型四】几何概率
◇典例4：
如图，在中，，是边上的中线，点E、F、M、N是上的四点，现向内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查几何概率，涉及等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、三角形中线性质，能得到各三角形面积之间的关系是解答的关键．由题意易得是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一可得，进而得到，进而得到，利用几何概率公式求解即可．
【详解】解：∵在中，，
∴是等腰三角形，
∵是边上的中线，
∴，
∴，
∴，
∴向内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为．
故选：A．
◆变式训练
1.《易经》：“易有太极，是生两仪，两仪生四象，四象生八卦”．太极图是关于太极思想的图示，里面包含表示一阴一阳的图形，在不考虑颜色的情况下，它是一个中心对称图形．如图，在太极图的大圆形内部随机取一点，则此点取自太极图中黑色部分的概率是 ．
【答案】
【分析】本题考查几何概率，中心对称图形的性质，熟练掌握几何概率等于几何图形面积比是解题的关键．
利用图形的对称性质，图形黑色部分与白色部分面积相等，等于圆面积的一半，根据几何概率的计算公式计算即可．
【详解】解：∵太极图是中心对称图形，
∴黑色部分与白色部分面积相等，即黑色阴影区域占圆的面积的一半，
∴在太极图中随机取一点，
此点取自黑色部分的概率是，
故答案为：
2.设计比赛的靶子是由10个同心圆组成，如图．已知这个靶子上面每相邻的两个同心圆半径之差等于最里面小圆的半径，规定：从最外面的圆环到最里面的小圆的环数依次为1环、2环、……、10环．在第33届巴黎夏季奥运会射击比赛中，某选手射出一发子弹，他射中8环的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查几何概率，设最小的圆的半径为1，根据每相邻的两个同心圆半径之差等于最里面小圆的半径，结合圆的面积求出8环的面积，再乘以整个大圆的面积即可得出结果．
【详解】解：设最小的圆的半径为1，则从里到外，圆的半径依次为，
∴他射中8环的概率是；
故选B．
【题型五】树状图法求概率
◇典例5：
长春市人民广场是中心景观类环岛型交通广场，以开阔的空间、精美的建筑和多彩的绿化而驰名．甲、乙两辆车从人民大街由南向北驶入人民广场，它们各自从A、B、C三个出口中随机选择一个出口驶出．用画树状图（或列表）的方法，求甲、乙两辆车从同一出口驶出的概率．
【答案】
【分析】本题主要考查了树状图或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键．
先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
【详解】解：由题意得，可画树状图为：
由树状图可知一共有9种等可能性的结果数，其中甲、乙两辆车从同一出口驶出的结果数有3种，
∴这甲、乙两辆车从同一出口驶出的概率是．
◆变式训练
1.为了缅怀科学家，九年级某班要召开一次“科学强国”主题活动，李老师做了编号为，，，的四张卡片（如下图，除编号和内容外，其余均相同），并将它们背面朝上洗匀后放在桌面上．
(1)小智随机抽取张卡片，抽到卡片编号为的概率为____________．
(2)小智从张卡片中随机抽取张不放回，小慧再从余下的张卡片中随机抽取张，然后根据抽取的卡片讲述相关科学家事迹，请用画树状图或列表的方法，求小智、小慧两人中恰好有一人讲述钱学森事迹的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了概率的应用，掌握运用了列表法或画树状图法列出所有可能的结果及概率的计算方法是解题的关键．
（）直接利用概率公式求解即可；
（）根据题意先画树状图列出所有等可能结果数的，根据概率公式求解可得．
【详解】（1）解：小智随机抽取张卡片，抽到卡片编号为的概率为，
故答案为：；
（2）解：画树状图如图，
共有种等可能的结果数，其中小智、小慧两人中恰好有一人讲述钱学森事迹的有种结果，
∴小智、小慧两人中恰好有一人讲述钱学森事迹的概率为．
2.《中国诗词大会》在向人们宣传古诗词文化的同时也在学生群体中掀起了古诗词的热潮．喜欢古诗的小明和小华两人制作了四张完全相同的不透明卡片，并在卡片正面分别写上诗句：
A．“长风破浪会有时，直挂云帆济沧海．”；
B．“清明时节雨纷纷，路上行人欲断魂．”；
C．“忽如一夜春风来，千树万树梨花开．”；
D．“借问酒家何处有，牧童遥指杏花村．”，两人商量将卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，并说出所抽卡片上诗句的作者和诗名．
(1)从这四张卡片中随机抽取一张，则抽到的卡片上写有诗句“长风破浪会有时，直挂云帆济沧海．”的概率是________；
(2)小明先从这四张卡片中随机抽取了一张，不放回，小华再从剩余的三张卡片中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求他们抽取的诗句恰好出自同一首诗的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查列表法与树状图法以及概率公式，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图．
（1）利用概率公式直接计算即可；
（2）先画出相应的树状图，然后即可求得抽取的诗句恰好出自同一首诗的结果数，再利用概率公式计算即可．
【详解】（1）解：从这四张卡片中随机抽取一张，则抽到的卡片上写有诗句“长风破浪会有时，直挂云帆济沧海．”的概率是．
故答案为：；
（2）画树状图如下：
由上可得，共有12种等可能性，其中他们抽取的诗句恰好出自同一首诗的结果有2种，
∴他们抽取的诗句恰好出自同一首诗的概率为．
【题型六】列表法求概率
◇典例6：
老师为帮助学生正确理解物理变化与化学变化，将种生活现象分别制成表面看上去无差别的卡片，并分别放入甲、乙两个口袋中（如图）．甲口袋中装有，两张卡片，乙口袋中装有，，三张卡片．注：没有生成其他物质的变化叫做物理变化（、）；生成其他物质的变化叫做化学变化（、、）．
(1)若从乙口袋中随机抽取张卡片，抽到化学变化的概率是______；
(2)从两个口袋中分别随机取出张卡片，用画树状图或列表的方法，求抽出的两张卡片均是物理变化的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了列表法或树状图法求概率、根据概率公式计算概率．
（）由题意知，共有3种等可能的结果，其中抽到化学变化的结果有种，利用概率公式可得答案；
（）列表可得出所有等可能的结果数以及抽出的两张卡片均是物理变化的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【详解】（1）解：乙口袋中有张卡片，其中是物理变化，、是化学变化，
共有种等可能的结果，其中抽到化学变化的结果有种，
从乙口袋中随机抽取张卡片，抽到化学变化的概率是，
故答案为：；
（2）解：甲口袋中是物理变化，是化学变化，
只有同时抽到和才符合要求，
根据题意，列表如下：
由表可知，所有等可能出现的结果共有种，其中两次抽出的卡片均为物理变化的情况有种，
抽出的两张卡片均是物理变化的概率为．
◆变式训练
1.在《哪吒之魔童闹海》的云南首映式上，主办方设置了一个抽奖环节．抽奖规则为：参与者任选一个奖品袋，从中随机抽取一张卡片（形状、大小完全相同），记下编号后放回洗匀，再根据所抽卡片上对应的编号领取奖品．已知甲奖品袋对应的卡片编号为：A：哪吒徽章，B：敖丙徽章，C：申公豹徽章；乙奖品袋对应的卡片编号为：D：哪吒钥匙扣，E：敖丙钥匙扣，F：太乙真人钥匙扣．（两个奖品袋的卡片如图所示）
甲奖品袋（徽章）：
乙奖品袋（钥匙扣）：
小丽和小颖参加了本次首映式，并分别从甲、乙奖品袋中随机抽取了一个奖品．其中，小丽从甲奖品袋中抽取的奖品记为x，小颖从乙奖品袋中抽取的奖品记为y．
(1)请用列表法或画树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果总数；
(2)求小丽和小颖抽取的奖品所代表的动画人物相同的概率．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
（1）根据题意列表即可．
（2）列表可得出所有等可能的结果数以及小丽和小颖抽取的奖品所代表的动画人物相同的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【详解】（1）解：由题意可列表如下：
D E F
A
B
C
由表可知，可能出现的结果为：，，，，，，，，，它们出现的可能性相等，一共有9种．
答：所有可能出现的结果数共有9种．
（2）解：由表可以看出，所有出现的结果数共有9种，这些结果出现的可能性相等．其中小丽和小颖抽取奖品所代表的动画人物相同的结果有2种，即、．
P（小丽和小颖抽取奖品所代表的动画人物相同）=．
答：小丽和小颖抽取的奖品所代表的动画人物相同的概率为．
2.南昌地铁1号线“师大南路站”有标识为2，3，4的三个出入口．某周六上午，甲、乙两名志愿者随机选择该站的一个出入口，开展交通安全志愿服务活动．
(1)甲在该站的标识为4的出入口开展志愿服务活动的概率为_____．
(2)求甲、乙两名志愿者在该站的同一出入口开展志愿服务活动的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查概率的应用，掌握画树状图或列表求概率的方法是解题的关键．
（1）根据概率公式直接求解；
（2）通过画树状图或列表罗列出所有等可能的情况，再从中找出符合条件的情况数，最后利用概率公式求解．
【详解】（1）解：甲在该站的标识为4的出入口开展志愿服务活动的概率为，
故答案为：；
（2）解：列表如下：
甲 乙 2 3 4
2
3
4
∴共有9种可能结果，其中甲、乙两名志愿者在该站的同一出入口开展志愿服务活动的有3种，
∴甲、乙两名志愿者在该站的同一出入口开展志愿服务活动的概率为．
【题型七】用频率估计概率
◇典例7：
某小组在“用频率估计概率”的试验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线图，那么最符合这一结果的试验是（ ）
A．掷一枚质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是6
B．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中抽出一张牌，花色是梅花
C．不透明袋子中有1个红球和3个白球，每个球除颜色外都相同，从中任意取出一个球是红球
D．在玩“石头、剪刀、布”的游戏中，小颖随机出的是“布”
【答案】A
【分析】此题主要考查了利用频率估计概率，正确求出各试验的概率是解题关键．
利用折线统计图可得出试验的频率在0.17左右，即该事件的概率约为0.17，计算出选项事件的概率即可得出答案．
【详解】解：A、掷一枚质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是6的概率为，故此选项符合题意；
B、一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中抽出一张牌，花色是梅花的概率为，故此选项不符合题意；
C、不透明袋子中有1个红球和3个白球，每个球除颜色外都相同，从中任意取出一个球是红球的概率为，故此选项不符合题意；
D、在玩“石头、剪刀、布”的游戏中，小颖随机出的是“布”的概率为，故此选项不符合题意；
故选：A．
◆变式训练
1.在一个不透明的口袋中装有红色、白色小球共25个，这些小球除颜色外其他完全相同．搅匀后从中随机摸出一个，记下颜色，放回，重复上述过程，小林通过多次摸球试验后发现，其中摸到红色小球的频率稳定在，则口袋中红色小球的个数为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了用频率估计概率，设红色小球x个，由题意可知摸到红色小球的概率为，再根据概率公式列出方程，求出答案即可．
【详解】解：设红色小球x个，根据题意，得
，
解得．
故答案为：．
2.如图1所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为，宽为的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计试验结果），他将若干次有效试验的结果绘制成了图2所示的折线统计图，由此他估计不规则图案的面积大约为 ．（精确到）
【答案】6
【分析】本题考查几何概率以及用频率估计概率，并在此基础上进行了题目创新，解题关键在于清晰理解题意，能从复杂的题目背景当中找到关键点化繁为简，创新题目对基础知识要求极高．首先假设不规则图案面积为x，根据几何概率知识求解不规则图案占长方形的面积大小；继而根据折线图用频率估计概率，综合以上列方程求解．
【详解】解：假设不规则图案面积为，
由已知得：长方形面积为，
根据几何概率公式小球落在不规则图案的概率为：，
当事件试验次数足够多，即样本足够大时，其频率可作为事件发 生的概率估计值，故由折线图可知，小球落在不规则图案的概率大约为0.3， 综上有：，
解得．
故答案为：6．
【题型八】游戏的公平性
◇典例8：
小明和哥哥都很想去看足球比赛，爸爸只买到了一张门票，最后商定通过转盘游戏决定去观看比赛．游戏规则是：转动如图1所示的转盘，转盘停止后，若转盘指针指向红色小明去；若转盘指针指向蓝色或黄色，哥哥去；如果指针恰好指向白色或指向分割线，重新转动．
(1)求小明去观看足球比赛的概率；
(2)你认为这个游戏规则公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请你设计出一种公的游戏规则；
(3)请你利用图2所示转盘，设计一个转盘游戏，使得小明去的概率为，并简要说明游戏规则．
【答案】(1)
(2)游戏公平，理由见解析
(3)见解析
【分析】本题考查几何概率模型求概率，读懂题意，搞懂相关事件所占的几何比例是解决问题的关键．
（1）根据几何概率模型，由转盘中每一个扇形面积相同，共有9份，其中红色占4份；蓝色占3份；白色和黄色占1份；再结合如果指针恰好指向白色或指向分割线，则重新转动，从而由几何概率模型求概率的方法直接计算小明去观看足球比赛的概率即可得到答案；
（2）根据几何概率模型，由转盘中每一个扇形面积相同，共有9份，其中红色占4份；蓝色占3份；白色和黄色占1份；再结合如果指针恰好指向白色或指向分割线，则重新转动，从而由几何概率模型求概率的方法直接计算小明或哥哥去观看成都蓉城足球比赛的概率，比较大小即可得到答案；
（3）根据小明去的概率为，设计转盘即可．
【详解】（1）解：由题意可知，转盘中每一个扇形面积相同，共有9份，其中红色占4份；蓝色占3份；白色和黄色各占1份，再结合如果指针恰好指向白色或指向分割线，则重新转动，
（小明去观看足球比赛）；
（2）解：由题意可知，转盘中每一个扇形面积相同，共有9份，其中红色占4份；蓝色占3份；白色和黄色占1份，再结合如果指针恰好指向白色或指向分割线，则重新转动，
（小明去观看足球比赛）；
（哥哥去观看足球比赛）；
（小明去观看足球比赛）（哥哥去观看足球比赛），
游戏公平；
（3）解：将转盘平均分为8个区域，其中红色占5份；白色占3份，如果指针转动转盘，转盘停止后，若转盘指针指向红色，小明去．
◆变式训练
1.“石头、剪刀、布”的游戏古老而简单，早在汉朝时期就开始流行．甲同学、乙同学和丙同学约定游戏规则如下：由甲同学和乙同学玩“石头、剪刀、布”游戏，如果两人的手势相同，那么丙同学获胜；否则，按照“石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头”的规则决定甲同学和乙同学中的获胜者．假设甲同学和乙同学每次出这三种手势的可能性相同．
(1)用树状图或列表法求出丙同学获胜的概率；
(2)你认为这个游戏对三人公平吗？为什么？
【答案】(1)
(2)公平，理由见解析．
【分析】此题考查了游戏公平性、列表法与树状图法以及概率公式，判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．
（1）列表得出共有9种等可能的结果，其中两人的手势相同的结果有3种，再由概率公式求解即可；
（2）求出甲同学获胜的概率和乙同学获胜的概率，再比较即可得出结论．
【详解】（1）解：列表如下：
石头 剪刀 布
石头 （石头，石头） （剪刀，石头） （布，石头）
剪刀 （石头，剪刀） （剪刀，剪刀） （布，剪刀）
布 （石头，布） （剪刀，布） （布，布）
共有9种等可能的结果，其中两人的手势相同的结果有3种，
∴丙同学获胜的概率；
（2）这个游戏对三人公平，理由如下：
由（1）可知，丙同学获胜的概率为，甲同学获胜的结果有3种，乙同学获胜的结果有3种，
∴甲同学获胜的概率＝乙同学获胜的概率，
∴甲同学获胜的概率＝乙同学获胜的概率＝丙同学获胜的概率，
∴这个游戏对三人公平．
2.嘉嘉和淇淇一起玩五子棋游戏，如图，棋盘旁有两个棋盒．甲盒中有3个白子和7个黑子，乙盒中有1个白子和1个黑子．
(1)从甲盒中拿出m个黑子放入乙盒后，从两个棋盒中随机摸出1个棋子是白子的概率均相同，求m的值；
(2)经过（1）的棋子调整后，用乙盒及棋盒中的棋子做如下游戏，规则：先随机摸出1个棋子，记下颜色后放回，再摸出1个棋子．若摸出两个棋子的颜色相同，则嘉嘉胜；若摸出两个棋子的颜色不同，则淇淇胜．请问该游戏规则公平吗？说明理由．
【答案】(1)1
(2)不公平，见解析
【分析】（1）根据简单地概率公式列出分式方程解答即可；
（2）利用列表法，计算各自的概率，比较大小，判定即可．
本题考查了简单地概率公式，列表法求概率，解分式方程，正确选择方法是解题的关键．
【详解】（1）解：由题意，得，
解得，
经检验，是这个分式方程的解，
的值为1．
（2）解：该游戏规则不公平，理由如下：
经过（1）的棋子调整后，乙盒中有1个白子和2个黑子，列表如下：
后拿先拿 白
白 （白，白） （白，） （白，）
（，白） （，） （，）
（，白） （，） （，）
共有9种等可能的结果，其中摸出的两个棋子颜色相同的有5种结果，摸出的两个棋子颜色不同的有4种结果，
嘉嘉获胜的概率为，淇淇获胜的概率为，
该游戏规则不公平．
【题型九】统计与概率的综合应用
◇典例9：
DeepSeek横空出世，开启了中国人工智能崭新的春天．为激发青少年崇尚科学，探索未知的热情，某校开展了“逐梦科技强国”为主题的活动．下面是该校某调查小组对活动中模具设计水平的调查报告，请完成报告中相应问题．
数据收集与表示 随机抽取全校部分学生的模具设计成绩（成绩为百分制，用x表示），将其分成如下四组： A：，B：，C：，D：． 下面给出了部分信息： 其中C组的成绩为：80，81，82，82，83，84，84，84，85，85，86，86，86，87，87，88，88，89，89，89．
数据分析与应用 根据以上信息解决下列问题： （1）本次共抽取了______名学生的模具设计成绩，成绩的中位数是______分，在扇形统计图中，C组对应圆心角的度数为______； （2）请补全频数分布直方图； （3）请估计全校1200名学生的模具设计成绩不低于80分的人数； （4）学校决定从模具设计优秀的甲、乙、丙、丁四位同学中随机选择两名同学作经验交流，请用画树状图或列表的方法求出所选的两位同学恰为甲和丙的概率．
【答案】（1）50 83.5 （2）见解析（3）估计全校1200名学生的模具设计成绩不低于80分的人数为720人（4）见解析，
【分析】（1）由D组学生人数除以其百分比可求出抽取的学生人数，进而可求出B组学生人数，再根据中位数的定义和频数直方图即可求解；
（2）根据（1）所得B组学生人数补全频数分布直方图即可；
（3）用1200乘以成绩不低于80分的人数占比即可；
（4）画出树状图，根据树状图解答即可．
【详解】（1），
∴本次共抽取了50名学生的模具设计成绩，
组学生人数为人，
∵成绩由低到高排列，中位数为25第和第26个数据的平均数，
∴中位数分，
C组对应圆心角的度数为，
故答案为：50，83.5，；
（2）补全频数分布直方图如下：
（3），
答：估计全校1200名学生的模具设计成绩不低于80分的人数为720人．
（4）画树状图如下：
由树状图可知，共有12种结果，所选两位同学恰为甲和丙的结果有2种，
∴所选的两位同学恰为甲和丙的概率为．
◆变式训练
1.某校为了解学生对名著：水浒传、：红楼梦、：三国演义、：西游记的喜欢情况，随机抽取了部分学生进行调查每位同学必选且只能选择一项，根据调查数据绘制了如下不完整的统计表和条形统计图：
名著 频数 频率
请根据以上信息，解答以下问题：
(1)本次共抽取学生______名， ______；
(2)补全条形统计图；
(3)若该校共有名学生，则喜欢名著西游记的学生约有多少名？
(4)从喜欢水浒传的学生中选取人，从喜欢红楼梦的学生中选取人，若从这人中，随机选取人向大家分享他们最喜爱的故事情节，请用列表或画树状图的方法，求选取的名学生恰好都喜欢红楼梦的概率．
【答案】(1)，
(2)见解析
(3)喜欢名著西游记的学生约有人
(4)
【分析】（1）用表格中的频数除以频率可得本次共抽取的学生人数；用的频数除以本次共抽取的学生人数可得的值．
（2）求出的频数，补全条形统计图即可．
（3）根据用样本估计总体，用乘以表格中的频率，即可得出答案．
（4）列表可得出所有等可能的结果数以及选取的名学生恰好都喜欢红楼梦的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法、用样本估计总体、频数率分布表、条形统计图，能够读懂统计图表，掌握列表法与树状图法以及用样本估计总体是解答本题的关键．
【详解】（1）解：由题意得，本次共抽取学生有名．
∴．
故答案为：；．
（2）解：的人数为人．
补全条形统计图如图所示．
（3）解：人．
答：喜欢名著西游记的学生约有人．
（4）将喜欢水浒传的人分别记为，，将喜欢红楼梦的人分别记为，，
列表如下：
共有种等可能的结果，其中选取的名学生恰好都喜欢红楼梦的结果有：，，共种，
选取的名学生恰好都喜欢红楼梦的概率为．
2.“幸福不会从天降，美好生活靠劳动创造”，劳动课正式成为中小学的一门独立课程，日常生活劳动设定四个任务群：A清洁与卫生，B整理与收纳，C家用器具使用与维护，D烹饪与营养．学校为了较好地开设课程，对学生最喜欢的任务群进行了调查，并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图．
请根据统计图解答下列问题：
(1)本次调查中，一共调查了_______名学生；
(2)补全上面的条形统计图和扇形统计图；
(3)学校想从选择“A清洁与卫生”的学生中随机选取两名学生作为“家居博览会”的志愿者，请用画树状图或列表法求出所选的学生恰好是一名男生和一名女生的概率．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图、概率公式，能够读懂统计图，掌握列表法与树状图法、概率公式是解答本题的关键．
（1）用条形统计图中类的人数除以扇形统计图中的百分比可得共调查的学生人数.
（2）根据题意分别求出扇形统计图中类的百分比、条形统计图中类中女生的人数、类中男生的人数，补全条形统计图和扇形统计图即可.
（3）列表可得出所有等可能的结果数以及所选的学生恰好是一名男生和一名女生的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【详解】（1）解：次调查中，一共调查了(名)，
故答案为：；
（2）解：由题意得，类的人数为(人)，
扇形统计图中类的百分比为 ，
类的人数为(人)，
∴类中女生的人数为(人)，类中男生的人数为(人)，
补全条形统计图和扇形统计图如图所示：
（3）解：列表如下：
男 女 女
男 (男，女) (男，女)
女 (女，男) (女，女)
女 (女，男) (女，女)
共有种等可能的结果，其中所选的学生恰好是一名男生和一名女生的结果有种，
∴所选的学生恰好是一名男生和一名女生的概率为．
一、单选题
1．（2025·江苏徐州·中考真题）一个不透明的袋子中装有4个红球与2个黑球，每个球除颜色外都相同．从中任意摸出3个球，下列事件为必然事件的是（ ）
A．至多有1个球是红球 B．至多有1个球是黑球
C．至少有1个球是红球 D．至少有1个球是黑球
【答案】C
【分析】本题考查了必然事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．据此逐项分析判断即可．
【详解】解：∵一只不透明的袋子中装有4个红球与2个黑球，每个球除颜色外都相同．从中任意摸出3个球，
∴至多有3个红球，至少有1个红球，至多有2个黑球，至少有0个黑球，
A．至多有1个球是红球，不是必然事件，不符合题意；
B．至多有1个球是黑球，不是必然事件，不符合题意；
C．至少有1个球是红球，是必然事件，符合题意；
D．至少有1个球是黑球，不是必然事件，不符合题意；
故选：C．
2．（2025·海南·中考真题）掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，观察向上一面的点数．下列说法正确的是（ ）
A．出现点数为6的概率是
B．出现点数为0是随机事件
C．出现点数为偶数是必然事件
D．出现点数为奇数是不可能事件
【答案】A
【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念以及事件发生的可能性大小判断即可．
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
【详解】解：A．出现点数为6的概率是，正确，符合题意；
B．出现点数为0是不可能事件；
C．出现点数为偶数是随机事件；
D．出现点数为奇数是随机事件；
故选A．
3．（2025·广东深圳·中考真题）某校进行《九章算术》，《周髀算经》，《孙子算经》，《算法统宗》四本书的长文本阅读活动，小聪从中任取一本，恰好抽到《九章算术》的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查简单的概率计算，根据等可能事件的概率公式求解．
【详解】解：共有4本书，每本书被抽中的可能性相等，
抽到《九章算术》是其中1种可能，
因此概率为成功事件数除以总事件数，即，
故选：C．
4．（2025·福建·中考真题）从12个同类产品（其中10个是正品，2个是次品）中任意抽取3个的必然事件是（ ）．
A．3个都是正品 B．至少有1个是次品
C．3个都是次品 D．至少有1个是正品
【答案】D
【分析】本题考查事件的分类，掌握好必然事件的概念是解题关键．
根据必然事件的定义，事件必须一定发生.．由于次品只有2个，抽取3个产品时，无论如何抽取，都至少包含1个正品.
【详解】解：∵次品总数为2个，
∴抽取3个产品时，最多只能抽取到2个次品，
∴至少有一个正品，
∴ “至少有1个是正品”是必然事件；选项A和B是随机事件，选项C是不可能事件．
故选：D．
5．（2025·贵州·中考真题）某学习小组抛掷一枚质地不均匀的棋子，为了估计“正面朝上”的概率，将同学们获得的试验数据整理如下表：（ ）
抛掷次数 20 60 100 120 140 160 500 1000 2000 5000
“正面朝上”的次数 12 38 58 62 75 88 275 550 1100 2750
“正面朝上”的频率
则抛掷这枚棋子出现“正面朝上”的概率约为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了用频率估计概率，根据频率估计概率的原理，当试验次数足够大时，事件发生的频率会稳定在某个常数附近，该常数即可作为概率的估计值．观察表格数据，随着抛掷次数增加，频率逐渐稳定在附近，即可得出答案．
【详解】解：当抛掷次数较小时（如20次、60次等），频率波动较大（、等），当次数增加到500次及以上时，频率稳定在，所以抛掷这枚棋子出现“正面朝上”的概率约为．
故选：B．
6．（2024·四川攀枝花·中考真题）班级里有位女同学和位男同学，每位同学的名字都被分别写在一张小纸条上，放入一个盒中搅匀，如果班长已经抽出了6张纸条，其中写有2位女同学和4位男同学的名字，他把这6张纸条放在桌上，闭上眼睛在盒中余下的纸条中再抽第7张，那么这张纸条上写的是男同学的名字的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了概率公式，计算剩余纸条中男同学名字的概率，需先确定剩余男同学和总剩余纸条的数量，据此进行列式计算，即可作答．
【详解】解：总人数与剩余纸条数：班级共有女同学人，男同学人，
总人数为（人），
班长已抽出6张纸条，剩余纸条数为张．
∵已抽出的6张中有2位女同学和4位男同学，
因此剩余女同学为（人），剩余男同学为（人）．
∴第7张纸条从剩余张中随机抽取，抽到男同学的概率为剩余男同学人数与剩余总人数的比值，即．
故选：D．
7．（2025·湖北武汉·中考真题）某商场开展购物抽奖促销活动，抽奖盒中装有三个小球，它们分别标有10元、20元、30元，一次性随机摸出两个小球，摸出的两球上金额的和为50元的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查简单的概率计算．需先确定所有可能的结果数及符合条件的结果数，根据，再求概率．
【详解】抽奖盒中有三个小球，分别标有10元、20元、30元．
随机摸出两个小球的所有可能组合共有3种：
1. 10元和20元，和为30元；
2. 10元和30元，和为40元；
3. 20元和30元，和为50元．
其中，和为50元的组合只有1种（20元和30元）．
因此，所求概率为：．
故选：C．
8．（2025·山东济南·中考真题）某学校食堂准备了A，B，C，D四种营养套餐，如果小明和小亮每人随机选择其中一种营养套餐，则他们恰好选到同一种营养套餐的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了树状图或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键．
先画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
【详解】解：画树状图为：
由树状图可知一共有16种等可能性的结果，其中恰好选到同一种营养套餐的结果有4种，
∴恰好选到同一种营养套餐的概率是．
故选：A．
二、填空题
9．（2025·福建·中考真题）掷一枚均匀的硬币，如果连续抛掷1000次，那么第999次出现正面向上的概率是 ．
【答案】
【分析】本题考查随机事件的概率，理解概率的定义与计算公式是关键．
每次抛掷硬币是独立事件，且硬币均匀，因此概率恒定．
【详解】解：掷一枚均匀的硬币，每次抛掷出现正面或反面都是独立事件，且概率均为 ，与抛掷次数无关，因此第999次出现正面向上的概率仍是 ．
故答案为 ：．
10．（2025·山东滨州·中考真题）在一次试验中，每个电子元件▄有通电或断电两种状态，并且这两种状态的可能性相等．如图，在一定时间段内，A，B之间电流能够正常通过的概率是 ．
【答案】
【分析】本题考查列举法求概率，列出所有等可能的结果，再利用概率公式进行计算即可．
【详解】解：由题意，共有A断B通，A断B断，A通B断，A通B通，共4种等可能的结果，其中A，B之间电流能够正常通过的结果只有A通B通1种情况，
故A，B之间电流能够正常通过的概率是；
故答案为：．
11．（2025·四川绵阳·中考真题）水是生命之源．水分子的化学式为，即1个水分子由2个氢原子H和1个氧原子O组成．现有形状大小完全相同的4张卡片，分别有H，H，O，O图案，小明从打乱的这4张卡片中随机任取3张，则这三张卡片对应的元素符号恰能组成水分子化学式的概率是 ．
【答案】
【分析】本题考查列表法与树状图法，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图．
根据题意，可以画出相应的树状图，然后即可计算出这三张卡片对应的元素符号恰能组成水分子化学式的概率．
【详解】解：树状图如下所示，
由上可得，一共有 24 种等可能性，其中这三张卡片对应的元素符号恰能组成水分子化学式的可能性有 12 种，
∴这三张卡片对应的元素符号恰能组成水分子化学式的概率为，
故答案为：．
12．（2025·四川·中考真题）如图，将一个可以自由转动的转盘分成3个大小相同的扇形，并分别标为红、黄、绿三种颜色，指针位置固定．转动转盘，停止后，其中的某个扇形恰好停在指针所指的位置（指针指向交线时，当作指向右边的扇形）．转动转盘两次，指针指向颜色相同的扇形的概率为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了用列表法或树状图法求概率．正确画出树状图确定所有等可能的情况和符合条件的情况是解题的关键．
根据题意画出树状图得出所有等可能的情况，找出符合条件的情况，然后根据概率公式即可得出答案．
【详解】解：根据题意画图如下：
共有9种等可能的情况，其中指针指向颜色相同的扇形的有3种，
则转动转盘两次，指针指向颜色相同的扇形的概率为．
故答案为：．
三、解答题
13．（2025·陕西·中考真题）某校召开趣味运动会，经过预赛的激烈角逐，甲、乙、丙、丁四支队伍获得“迎面接力跑”决赛资格，为确定决赛时的赛道（从内到外的道次依次为1，2，3，4），裁判组决定采用下面的方式：在一个不透明的盒子里放入四个小球，分别标有数字1，2，3，4，这四个小球除所标数字外都相同，每支队伍从盒中随机摸出一个小球，摸出的小球上所标的数字作为该队的道次．
(1)将盒中四个小球摇匀，若从中随机摸出一个小球，摸出标有数字1的小球的概率为_____；
(2)将盒中四个小球摇匀，甲队先从盒中随机摸出一个小球，不放回，摇匀，乙队再从盒中随机摸出一个小球．请利用画树状图或列表的方法，求甲、乙两队在决赛时赛道相邻的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据简单地概率公式计算解答即可；
（2）利用画树状图法或列表法计算概率即可．
本题考查了概率的计算，熟练掌握概率公式和画树状图活列表法计算概率是解题的关键．
【详解】（1）解：根据题意得：摸出标有数字1的小球的概率为，
故答案为：．
（2）解：列表如下：
甲 乙
1 2 3 4
1 － （1，2） （1，3） （1，4）
2 （2，1） － （2，3） （2，4）
3 （3，1） （3，2） － （3，4）
4 （4，1） （4，2） （4，3） －
由上表可知，共有12种等可能的结果，
其中甲、乙两队在决赛时赛道相邻的结果有6种，
．
14．（2025·江苏南京·中考真题）甲袋子中装有2个相同的小球，它们分别写有数字1和3；乙袋子中装有3个相同的小球，它们分别写有数字1，2和4，先从甲袋子中随机取出1个小球，再从乙袋子中随机取出2个小球．
(1)取出的3个小球上所写数字没有4的概率是____________；
(2)取出的3个小球上所写数字都不相同的概率是多少？
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
（1）画树状图可得出所有等可能的结果数以及取出的3个小球上所写数字没有4的结果数，再利用概率公式可得出答案．
（2）由树状图可得取出的3个小球上所写数字都不相同的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【详解】（1）解：画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中取出的3个小球上所写数字没有4的结果有2种，
取出的3个小球上所写数字没有4的概率为．
故答案为：．
（2）解：由树状图可知，共有6种等可能的结果，其中取出的3个小球上所写数字都不相同的结果有4种，
取出的3个小球上所写数字都不相同的概率为．
15．（2025·山东淄博·中考真题）粮食安全，事关国计民生．增强学生粮食安全意识．培养学生节粮爱粮的良好生活习惯，已成为学校教育的一个重要共识．为此，某学校开设了相关校本课程，并在期末进行了结业测试．现从中随机抽取了部分学生的结业成绩（满分：100分，所有成绩均不低于75分），整理并绘制了如下尚不完整的统计图表．
组别 成绩/分 频数（人数）
1 10
2
3 35
4 25
5
根据以上信息，解答下列问题：
(1)请直接写出统计表中的________，________，第4组人数在结业成绩扇形统计图中所对应的圆心角是________度；
(2)请补全上面的结业成绩频数分布直方图；
(3)现从第5组中选拔演讲能力出众的2名男生和3名女生组成“粮食安全”宣讲团．并从中随机抽取2人进社区宣讲，求所抽取的2人恰好是1名男生和1名女生的概率．
【答案】(1)20，10，90
(2)统计图见解析
(3)
【分析】本题考查了统计图表的识别、概率的计算：
（1）结合扇形统计图和统计表格即可先求出总数，再求b和a，最后再求第4组的圆心角；
（2）根据（1）中求出数据即可作图；
（3）将2名男生和3名女生编号，列举出所有可能的结果，按概率计算方法计算即可．
【详解】（1）解：由图可知抽取的学生的总数量为，
由扇形统计图可知第5组人数，
则第2组人数，
第4组人数在扇形图中对应的圆心角为，
故答案为：20，10，90；
（2）解：如图：
（3）解：设2名男生为a、b和3名女生为1、2、3，则随机选出2人，有下列组合：
，
共10种可能的结果，其中恰好是1名男生和1名女生的有6种，
故概率为．
一、单选题
1．黄庄月饼是河北特色月饼之一，嘉嘉从一个装有1个板栗月饼，2个枣泥月饼，3个五仁月饼和4个豆沙月饼的黄庄月饼礼盒中，随机拿出一个月饼（月饼的外观都一样），则拿出的月饼可能性最大的是（ ）
A．板栗月饼 B．枣泥月饼 C．五仁月饼 D．豆沙月饼
【答案】D
【分析】本题主要考查可能性的大小．根据各种月饼数量的多少，直接判断可能性的大小，哪种月饼的数量越多，拿出的可能性就越大．
【详解】解：由题意得，所有事件可能的结果数是，
∵豆沙月饼有4个，数量最多，
∴拿出的可能性最大的是豆沙月饼，
故选：D．
2．下列是不可能事件的是（ ）
A．通常加热到，水会沸腾
B．打开电视，正好播放新闻联播
C．在一个全是黑球的袋子里，摸出一个白球
D．三角形的内角和为
【答案】C
【分析】本题考查了事件的分类，根据事件发生的可能性大小判断，解题的关键是正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
【详解】解：、通常加热到，水会沸腾是必然事件，该选项不符合题意；
、打开电视，正好播放新闻联播是随机事件，该选项不符合题意；
、在一个全是黑球的袋子里，摸出一个白球是不可能事件，该选项符合题意；
、三角形的内角和为是必然事件，该选项不符合题意；
故选：．
3．下列事件：①一个纸箱装有大小质地相同的10个乒乓球，其中1个黄色9个白色，随机摸出一个，摸到红色乒乓球；②翻开数学书，恰好翻到偶数页；③体育老师投篮一次，投中篮筐．其中不可能事件的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】本题考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据概念逐项判断每个事件是否为必然事件即可解答．
【详解】解：①纸箱中无红色乒乓球，则摸到红色乒乓球是不可能事件；
②数学书有偶数页，则翻到偶数页是随机事件；
③投篮可能投中，投中篮筐是随机事件；
则不可能事件只有①共1个．
故选：B．
4．成语是中国语言文化的缩影，蕴含着深厚丰富的文化底蕴．下列成语所描述的事件中，属于随机事件的是（ ）
A．水涨船高 B．旭日东升 C．守株待兔 D．刻舟求剑
【答案】C
【分析】本题考查了随机事件，理解其定义是解题的关键．
根据随机事件的定义逐项判断即可．
【详解】解： A、水涨船高：水位上涨，船必然升高，是必然事件，不属于随机事件，故该选项不合题意；
B、旭日东升：太阳从东边升起是必然事件，不属于随机事件，故该选项不合题意；
C、守株待兔：兔子撞上树桩是偶然的，可能发生也可能不发生，是随机事件，故该选项符合题意；
D、刻舟求剑：剑不会因刻记号而找回，是不可能事件或必然不发生事件，不属于随机事件，故该选项不合题意．
故选：C．
5．一个不透明的袋子中装有3个红球和2个白球，这些球除颜色外都相同．从袋子中随机摸出一个球，则摸出的球为红球的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了求概率．直接利用概率公式计算即可．
【详解】解：∵袋子中红球有3个，白球有2个，且每个球被摸出的概率相同，
∴摸出红球的概率为．
故选：C
6．小王练习射击，共射击次，其中有85次击中靶子，由此可估计小王射击一次击中靶子的概率约为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．根据频率频数数据总数计算即可得答案．
【详解】解：∵总射击次数为次，击中靶子次，
∴频率为，
∴估计概率约为．
故选：B．
7．某生物小组为验证玉米能否产生叶绿素这一性状中基因的显隐性问题，将两株绿色玉米杂交后，收集种子种植出幼苗．调查统计后得到以下数据：
调查玉米幼苗数 100 200 500 1000 1500 2000 …
绿色幼苗个数 86 164 395 762 1128 1502 …
绿色幼苗频率 0.860 0.820 0.790 0.762 0.752 0.751 …
根据上表的数据，估计“两株绿色玉米杂交后的种子能产生绿色幼苗”的概率大约为（ ）
A．0.70 B．0.75 C．0.80 D．0.85
【答案】B
【分析】本题考查了用频率估计概率，当试验次数较大时，频率趋于稳定，接近概率. 从表格数据看，绿色幼苗频率随调查数增加而稳定在0.75附近，即可求解．
【详解】解：∵调查玉米幼苗数达2000时，绿色幼苗频率为0.751，且1500株时频率为0.752，均接近0.75，
∴估计概率约为，
故选：B．
8．如图，在的正方形网格飞镖游戏板中，每块小正方形除颜色外都相同，小正方形的顶点称为格点，假设飞镖击中游戏板的每一处是等可能的（击中边界或没有击中游戏板，则重投一次），任意投掷飞镖一次，飞镖击中阴影部分的概率是（ ）
A．1 B．4 C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了概率公式和用几何方法求概率，只需要用阴影部分面积除以整个正方形的面积即可得到答案．
【详解】解：由题意得：
一个阴影小三角形的面积为：，
则阴影部分面积为：，
正方形网格的面积为：，
所以飞镖击中阴影部分的概率为：，
故选： D．
9．为了解一种豆苗的成活率，调查小组将调查数据绘制成统计图，则可估计这种豆苗成活的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了用频率估计概率-折线统计图，掌握相关知识是解题的关键．大量反复试验下，频率的稳定值即为概率值，据此根据统计图找到频率的稳定值即可得到答案．
【详解】解：由统计图可知，随着种植数量的增加，成活的频率逐步稳定在附近，
所以可估计这种豆苗移植成活的概率约是，
故选：B．
10．如图1，在边长为8cm的正方形内部有一不规则图案（图中阴影部分），为测算阴影部分面积，小亮利用计算机进行模拟试验，通过计算机在正方形区域随机投放一个点，并记录该点落在阴影上的频率数据，结果如图2所示．小亮由此估计阴影部分面积约为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了几何概率以及用频率估计概率．根据折线统计图知，当实验的次数逐渐增加时，样本的频率稳定在，因此用频率估计概率，再根据几何概率知，不规则图案的面积与矩形面积的比为，即可求得不规则图案的面积．
【详解】解：由折线统计图知，随着实验次数的增加，投放点落在不规则图案上的频率稳定在，于是把作为概率．
设不规则图案的面积为，则有，
解得：，
即不规则图案的面积为．
故选：C．
二、填空题
11．成语“旭日东升”，从数学的观点看，成语中描述的事件是 事件．（填“必然”“不可能”或“随机”）
【答案】必然
【分析】本题考查了事件的分类．根据事件的定义，必然事件是指在一定条件下必然会发生的事件；“旭日东升”描述太阳从东方升起，是自然规律，必然发生．
【详解】解：“旭日东升”指太阳从东方升起，这是基于地球自转的确定性自然现象，在任何条件下都会发生，因此从数学观点看，它属于必然事件．
故答案为：必然．
12．赋能数学课堂是指将人工智能技术融入数学教学过程，提升教学效果和学生学习体验．为了解学生对赋能数学课堂的喜爱程度，在全校进行了随机抽测，结果如下表：
抽测学生数 100 300 500 700 900 1000
喜爱赋能数学课堂学生数 85 279 445 637 828 900
学生喜爱赋能数学课堂的频率 0.85 0.93 0.89 0.91 0.92 0.90
根据抽测结果，估计该校学生喜爱赋能数学课堂的概率为 ．（结果精确到0.1）
【答案】0.9
【分析】此题考查了利用频率估计概率，根据频率估计概率的原理，当试验次数足够大时，事件发生的频率会稳定在概率附近．从表格数据可知，随着抽测学生数的增加，学生喜爱赋能数学课堂的频率在0.9附近波动，因此估计概率为0.9．
【详解】解：由表可知，当抽测学生数为1000时，频率为0.90，
根据频率估计概率，可估计该校学生喜爱赋能数学课堂的概率为0.9．
故答案为：0.9．
13．某篮球运动员进行投篮训练，其成绩如下表，则这名运动员投篮一次，投中的概率约是 （精确到0.1）．
投篮次数 10 100 10000
投中次数 9 89 9012
【答案】0.9
【分析】本题考查了利用频率估计概率的知识，解题的关键是了解大量重复试验中某个事件发生的频率能估计概率．
根据大量重复试验下投中篮球的频率可以估计投中篮球的概率求解即可．
【详解】解：投篮10次时频率为；
投篮100次时频率为；
投篮10000次时频率为，
∴频率稳定在0.9附近，
∴投中的概率约是0.9．
故答案为：0.9．
14．向一个边长为2的正方形中投掷小石子（假设小石子全部投入正方形区域内且投入正方形区域内的每一点是等可能的），那么小石子落在此正方形的内切圆中的概率是 ．
【答案】
【分析】本题考查几何概率，计算正方形的内切圆面积与正方形面积之比．
【详解】解：如图，
正方形的边长为2，其面积为．
内切圆的半径等于正方形边长的一半，即，面积为．
因此小石子落在此正方形的内切圆中的概率为．
故答案为：．
15．一个暗箱中放有除颜色外其他完全相同的n个红球，6个黄球，4个白球，现将球搅匀后，任意摸出1个球记下颜色，再放回暗箱，通过大量重复试验后发现，摸到黄球的频率稳定在附近，由此可以估算n的值是 ．
【答案】10
【分析】本题考查用频率估计概率，利用概率公式求数量等知识，在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解即可，掌握概率公式和频率与概率的关系是解题的关键．
【详解】解：由题意可得，，
解得，
经检验，是原分式方程的解．
故答案为：10．
16．我国传统的二十四节气概括了一年中四季交替的准确时间以及大自然中一些物候等自然现象发生的规律，二十四个节气分别为：春季（立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨），夏季（立夏、小满、芒种、夏至、小暑、大暑），秋季（立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降），冬季（立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒），若从二十四个节气中选一个节气，则抽到的节气在冬季的概率为 ．
【答案】/
【分析】本题考查了概率公式，正确理解题意，运用概率公式计算是关键．根据概率公式计算即可．
【详解】解：二十四个节气中选一个节气，抽到的节气在冬季的有六个，则抽到的节气在冬季的概率为．
故答案为：．
三、解答题
17．有三种款式的帽子，两种款式的围巾，小明任意选一顶帽子和一条围巾
(1)用适当的方法列举出所有可能选中的结果；
(2)求小明恰好选到他喜欢的C款帽子和款围巾的概率.
【答案】(1)、、、、、
(2)
【分析】本题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
（1）根据题意列表得出所有可能选中的结果即可；
（2）由（1）得共有6个等可能的结果，小明恰好选中他所喜欢的C款帽子和款围巾的结果有1个，再由概率公式求解即可．
【详解】（1）解：列表如下：
帽子/围巾 E F
A
B
C
所有可能选中的结果为、、、、、
（2）解：由（1）得：共有6个等可能的结果，小明恰好选中他所喜欢的C款帽子和款围巾的结果有1个，
∴小明恰好选中他所喜欢的C款帽子和款围巾的概率为．
18．在一个不透明的布袋中装有黑、白两种颜色的球共15个，这些球除颜色外其余均相同．现进行摸球试验，每次摸出1个球，并记录它的颜色，放回并摇匀，再次摸球．获得如下数据：
摸球总次数 10 20 50 100 150 200 250 300
摸出黑色球的频数 2 6 16 34 51 67 83 100
摸出黑色球的频率 0.20 0.30 0.32 0.34 0.34 0.34 0.33 0.33
(1)黑色球的个数可能是_____个．
(2)在（1）的条件下，再放进去这两种颜色的球共9个，摇匀后再次进行大量重复的摸球试验，如果摸出黑球的概率与摸出白球的概率相等，求放进去的这9个球中黑球和白球的数量分别是多少个？
【答案】(1)5
(2)黑球7个，白球2个
【分析】本题主要考查了已知概率求数量，用频率估计概率，熟知概率公式是解题的关键．
（1）大量反复试验下，频率的稳定值即为概率值，根据表格中的数据可估计摸出黑球的概率为0.33，再由概率公式求解即可；
（2）设放进去黑球x个，根据题意可知摸出黑球的概率为二分之一，据此根据概率公式建立方程求解即可．
【详解】（1）解：由表格可知，随着试验次数的增加，摸出黑球的频率稳定在0.33附近，故估计摸出黑球的概率为0.33，
∴黑色球的个数可能是个；
（2）解：设放进去黑球x个，
由题意得，，
解得，
则，
答：放进去黑球7个，白球2个．
19．年月日上午，军事航天部队、网络空间部队、信息支援部队、联勤保障部队是4支战略兵种首次集中亮相阅兵场，接受党和人民检阅．为增强同学们对战略兵种的认识，某班级计划举办手抄报展览，确定了A：军事航天部队；B：网络空间部队；C：信息支援部队；D：联勤保障部队个主题．
(1)若小华随机选择其中一个主题，则选到A：军事航天部队的概率是______；
(2)若小明和小亮每人随机选择其中一个主题，请用列表或画树状图的方法，求至少一人选到C：信息支援部队的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了概率公式求概率，列表法求概率，熟练掌握求概率的方法是解题的关键．
(1)一共有个主题，每个主题被选到的可能性相同，小华随机选择其中一个主题，则选到A：军事航天部队的概率是；
(2)列表把所有可能出现的情况表示出来，共有种等可能的结果出现，其中至少一人选到C的有种情况，所以至少一人选到C：信息支援部队的概率为．
【详解】（1）解：一共有个主题，每个主题被选到的可能性相同，
小华随机选择其中一个主题，则选到A：军事航天部队的概率是，
故答案为：；
（2）解：列表如下：
小明小亮 A B C D
A
B
C
D
由表可知总共有种等可能性的结果，其中至少一人选到C的结果有种，
．
20．某校对九年级学生对足球联赛“川超”情况做了抽样调查，将结果分为四个等级：非常了解；比较了解；基本了解；不了解．请根据下列两幅统计图中的信息解答下列问题：
(1)这次参与调查的学生有____________人，的圆心角是____________度；
(2)若该校九年级共有名学生，估计九年级学生中“基本了解”川超情况的学生有多少人？
(3)某班调查学生中等级有2名男生2名女生．现打算从这4名学生中任意抽取2名进行电话问答，请用列表或画树状图的方法求出恰好抽到两个男生的概率．
【答案】(1)200人；108
(2)400人
(3)
【分析】本题考查了树状图、概率、扇形统计图和条形统计图：
（1）根据等级的人数和所占百分比求出调查的学生数，再用总人数减去其他等级的人数求出的人数，根据的人数和总人数得到圆心角度数；
（2）用总人数乘以“基本了解”川超情况的学生所占百分比；
（3）根据题意列出等可能情况，找出符合条件的情况，根据概率公式即可．
【详解】（1）解：参与调查的学生有（人），
的圆心角：．
故答案为：；．
（2）解：（人）．
答：九年级学生中“基本了解”川超情况的学生有400人．
（3）解：如图所示，
由图可知，总共有种等可能结果，抽到两个男生的情况有种，
．
21．为了让学生体验民俗文化，某学校开设了特色艺术实践课程，课程分别是：A．五谷画，B．彩陶， C．剪纸，D．排灯．现学校要了解学生最感兴趣的课程情况，从全校学生中随机抽取部分学生进行调查（每位学生必选且只能选一门课程），根据调查结果，绘制了如图两幅不完整的统计图．
根据以上提供的信息，解答下列问题：
(1)此次被调查的学生总人数为_____人，并补全条形统计图；
(2)“D课程”在扇形图中的圆心角的度数为_____度；
(3)甲、乙两名同学从A、B、C、D四个课程中任选一门，用树状图或列表法求两人恰好选到同一门课程的概率．
【答案】(1)160；补全条形统计图见解析
(2)90
(3)两人恰好选到同一门课程的概率为
【分析】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，能够读懂统计图，掌握列表法与树状图法以及用样本估计总体是解答本题的关键．
（1）用条形统计图中A的人数除以扇形统计图中A的百分比可得此次被调查的学生总人数；求出选择B课程的人数，补全条形统计图即可；
（2）用条形统计图中D的人数除以此次被调查的学生总人数再乘以即可得到D课程在扇形图中的圆心角的度数；
（3）列表可得出所有等可能的结果数以及两人恰好选到同一个课程的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【详解】（1）解：此次被调查的学生总人数为（人），
选择B课程的人数为（人），
补全条形统计图如图所示．
故答案为：160；
（2）解：“D课程”在扇形图中的圆心角的度数为，
故答案为：90．
（3）解：列表如下：
共有种等可能的结果，其中两人恰好选到同一个课程的结果数有种，
∴两人恰好选到同一个课程的概率为．
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