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2026年中考数学一轮复习精讲精练
模块七 图形的变化
专题5 平移与旋转
【考点一】 平移的概念
1.平移的定义：在平面内，把一个图形整体沿某一的方向移动，这种图形的平行移动，叫做平移变换，简称平移．
平移的要素：一是平移的方向，二是平移的距离.
如图，平移△ABC 得到△A'B'C'，其中点A'是点A的对应点，线段A'B'是线段 AB 的对应线段，A'B'
=AB，∠A'B'C'是∠ABC 的对应角，∠A'B'C'=∠ABC
射线 BB'的方向就是平移的方向，线段 BB'(或AA'或CC')的长度就是平移的距离.
3.图形的平移是整个图形都在移动，即图形中所有点、线平移的方向和平移的距离都相同，所以确定一个图形平移的方向和距离，只需确定图形上一个点平移的方向和距离即可.
【考点二】平移的性质
①把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同．
②新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行（或在同一条直线上）且相等．
【注意】
1、图形的平移改变了图形的位置，但不改变图形的形状和大小；
2、图形的平移的方向不限于水平方向，可以是上下平移和左右平移，也可以是按任意指定方向平移，只要是按直线方向即可.
3、“连接各组对应点的线段”是原图形上的点与平移后的图形上的点连接而成的；而“对应线段”就存在于原来的图形与平移后的图形之中，是图形的一部分.
【考点三】平移的作图
1.平移作图是平移基本性质的应用，利用平移可以得到许多美丽的图案.
2.在具体作图时，应抓住作图的四步----定、找、移、连
（1）定：确定平移的方向和距离．
（2）找：找到图形的关键点；
（3）移：过关键点作平行且相等的线段，得到关键点的对应点；
（4）连：按原图形顺次连接对应点．
【考点四】旋转的相关概念
1.旋转：把一个平面图形绕平面内某一点 O 转动一个角度，叫做图形的旋转.这个点哦O称为旋转
中心.转动的角称为旋转角.如果图形上的点 P 经过旋转变为点 P'，那么这两个点叫做这个旋转的对应点.
2.旋转的三要素：旋转中心，旋转方向，旋转角度.
在旋转过程中，始终保持不动的点是旋转中心，旋转中心可以在图形的内部，也可以在图形的外部，还可以是图形上的某点旋转.方向分为顺时针与逆时针.
【温馨提示】
①旋转的范围是“平面内”，其中“旋转中心，旋转方向，旋转角度”称之为旋转的三要素；
②旋转变换同样属于全等变换.
【考点五】旋转的性质
1.旋转的性质
①对应点到旋转中心的距离相等．
②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．
2.旋转中心的确定：
根据旋转的性质可知，对应点到旋转中心是距离相等，所以旋转中心位于对应点连线的垂直平分线上，即旋转中心是两对对应点所连线段的垂直平分线的交点.
【考点六】旋转作图
图形旋转作图的步骤：
将△ABC绕点M顺时针旋转120°后，得到△DEF的步骤：
（1）定：确定旋转中心为点M，旋转方向为顺时针，旋转角为120°．
（2）找：寻找构成图形的关键点A，B，C，连接关键点A和旋转中心M，即线段AM．
（3）转：以旋转中心M为顶点，过关键点A的射线MA为一边，按顺时针方向作一个120°的角．
（4）截：在角的另一边上取一点D,使MD＝MA，得到点A的对应点D，以此作法，可得点B的对应点E，点C的对应点F．
（5）连：按原图顺序连接D，E，F，得到△DEF，如图所示．
【题型一】平移的概念
◇典例1：
现实生活中，下列现象不属于平移的是（ ）
A．电梯的升降 B．火车在平直的铁轨上行驶
C．飞机起飞前在跑道上滑行 D．卫星绕地球飞行
【答案】D
【分析】本题主要考查了生活中的平移现象，根据平移的定义直接判断即可，熟练掌握平移的定义是解答本题的关键．
【详解】解：、电梯的升降，属于平移，不符合题意；
、火车在平直的铁轨上行驶，属于平移，不符合题意；
、飞机起飞前在跑道上滑行，属于平移，不符合题意；
、卫星绕地球飞行，不属于平移，符合题意；
故选：．
◆变式训练
1.剪纸是一种民间美术形式，以大胆变形和夸张的手法著称，线
条细长、透亮．下面的剪纸图案中，能用其一部分平移得到的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了利用平移设计图案，掌握平移的性质是解题的关键．根据平移的性质：平移不改变图形的形状、大小及方向，判断即可．
【详解】解：∵只有C选项的图形没有改变图形的形状、大小及方向，符合平移的性质，
∴只有C选项的图形是通过平移得到，
∴C选项符合题意，
故选：C．
2.下列运动属于平移的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了平移的定义，将一个图形上的所有点都按照某个方向作相同距离的移动，这样的图形运动叫作图形的平移运动，掌握平移成为解题的关键．
根据平移的定义逐项判断即可．
【详解】解：A．放飞风筝过程中，风筝的形状和方向会发生变化，不属于平移，不符合题意；
B．拉出抽屉，抽屉沿着一定方向做相同距离的移动，属于平移，符合题意；
C．转动方向盘，方向盘是绕着中心做旋转运动，不属于平移，不符合题意；
D．荡秋千，秋千做的是圆弧摆动，属于旋转，不属于平移，不符合题意．
故选B．
【题型二】利用平移的性质进行计算
◇典例2：
如图，将向右平移6个单位长度得到，且点B，E，C，F在同一条直线上，若则的长度是（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
【答案】A
【分析】本题考查平移的性质，利用平移的性质求出即可解决问题．
【详解】解：由题意，，
∵，
∴，
故选：A．
◆变式训练
1.如图，在多边形中，，，则该多边形的周长为（　　）
A．7 B．7或4 C．14 D．无法确定
【答案】C
【分析】本题考查了平移的应用．
根据平移得到，，根据多边形的周长公式计算即可．
【详解】解：由题意得，，，
则该多边形的周长，
故选：C．
2.如图，将沿方向平移到的位置，点A，B，C的对应点分别为点D，E，F，连接．若，则的度数是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查平移的性质，平行线的性质，根据平移的性质，得到，根据平行线的性质，进行求解即可．
【详解】解：∵将沿方向平移到，
∴，
∴，
故选B．
【题型三】利用平移解决实际问题
◇典例3：
如图，这是人民公园里一处风景欣赏区（长方形），米，米．为方便游人观赏风景，特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分），小路的宽均为1米，那么小明沿着小路的中间从入口到出口所走的路线（图中虚线）的长为（ ）
A．62米 B．82米 C．88米 D．102米
【答案】B
【分析】本题考查生活中的平移现象，根据平移的性质得出所走路程为即可．
【详解】解：∵是长方形，
∴米，
由平移的性质可知，从入口A到出口B所走的路线（图中虚线）长为（米），
故选：B．
◆变式训练
1.如图是校园内一块长为，宽为的长方形空地，中间设
计一条宽为的弯曲道路，其余部分为绿化区，则绿化区的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了生活中的平移现象，熟知图形平移的性质是解题的关键．
根据平移的性质可得，绿化部分可看作是长为，宽为的矩形，然后根据矩形面积公式进行计算即可解答．
【详解】解：由题意得，绿化区的面积是．
故选：B．
2.如图，某居民小区有一长方形土地，长米，宽米．居民想在长方形地内修筑宽均为米的小路，余下的部分做绿化，为了使草坪更美观，有人建议把道路修成如图所示的形状，求绿化的面积为 平方米．
【答案】
【分析】本题考查生活中的平移现象，根据平移现象，可把路平移到左边，平移到下边，根据长方形的面积公式，可得答案．利用平移得出绿化的长方形是解题关键．
【详解】解：平移后，阴影部分是长为米，宽为米的矩形，则其面积为：
（平方米），
∴绿化的面积为平方米．
故答案为：．
【题型四】点在坐标系中的平移
◇典例4：
点向左平移3个单位，再向上平移4个单位到点B，则点B的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查点的平移，掌握相关知识是解题的关键．
根据点的平移规律，左右平移，横坐标左减右加，纵坐标不变；上下平移，纵坐标上加下减，横坐标不变，即可解答．
【详解】解：点向左平移3个单位，再向上平移4个单位到点．
故选C．
◆变式训练
1.若点在x轴上，先将点A向下平移4个单位长度，再向右平移7个单位长度到点，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了坐标轴上的点的特征、坐标与图形变化—平移，熟练掌握x轴上的点的纵坐标为0是解题的关键．
由点在x轴上，可得，则，再根据平移的性质即可求出点的坐标．
【详解】解：∵点在x轴上，
∴，
解得，
∴，
∵将点A向下平移4个单位长度，再向右平移7个单位长度到点，
∴点的纵坐标为，横坐标为，
∴点的坐标为．
故选：D．
2.将P点（m，m+4）向上平移2个单位到Q点，且点Q在x轴上，那么P点坐标为 　 　．
【答案】（﹣6，﹣2）．
【分析】根据点Q在x轴上，得到m+6＝0，计算即可．
【详解】解：∵P点（m，m+4）向上平移2个单位到Q点，
∴Q（m，m+6），
∵点Q在x轴上，
∴m+6＝0，解得：m＝﹣6，
∴点P（﹣6，﹣2），
故答案为：（﹣6，﹣2）．
【题型五】图形在坐标系中的平移
◇典例5：
如图，点A，B的坐标分别为，，若将线段AB平移至的位置，点的坐标为，则的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了平移的性质，解题的关键是掌握平移时点的坐标变化．根据平移的性质，确定点的坐标变化即可．
【详解】解：由和得，点向左平移4个单位长度，向下平移3个单位长度得到点，
∴点向左平移4个单位长度，向下平移3个单位长度后为，
故选：D．
◆变式训练
1.如图，在平面直角坐标系中，内部有一点，若将先向右平移，再向下平移，
平移后点对应点的坐标是．若点的坐标是，则平移后点对应的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查坐标与平移，根据点和它的对应点的坐标，得到平移规则，进而求出点的坐标即可．
【详解】解：∵点平移后的对应点的坐标是，
∴先向右平移2个单位，再向下平移4个单位，
∵点的坐标是，
∴平移后点对应的点的坐标是，即；
故选：C．
2.把图1中的圆A平移到图2中的圆O，则图中圆A上的一点P（m，n）平移后在图中的对应点P'的坐标为（　　）
A．（m+2，n+1） B．（m﹣2，n﹣1） C．（m﹣2，n+1） D．（m+2，n﹣1）
【答案】D．
【分析】根据A点到O点的变化情况，即可求解．
【详解】解：由题图可知，将圆A先向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度得圆O，点P作相应的平移得到P'，
∴P'（m+2，n﹣1）．
故选：D．
【题型六】平面直角坐标系中的平移作图
◇典例6：
如图，三角形中任意一点，经平移后其对应点为，将三角形作同样平移得到三角形．
(1)请写出各顶点的坐标，并画出平移后的图形；
(2)求出的面积．
【答案】(1)，见解析
(2)
【分析】本题考查了图形的平移，割补法求面积．
（1）先根据平移前后点的坐标求出平移后点的坐标，再作出平移后的图即可；
（2）根据割补法计算即可．
【详解】（1）解：∵三角形中任意一点，经平移后其对应点为，
∴三角形向右平移两个单位，再向下平移三个单位得到三角形，
∵，
∴，
即，
则三角形如图所示：
（2）解：
．
◆变式训练
1.如图，在平面直角坐标系中，已知，，，是三角形的边上的一点，把三角形平移后得到三角形，点的对应点为．
(1)画出三角形；
(2)求三角形的面积；
(3)已知点在轴上，连接，则的最小值为______．
【答案】(1)见详解
(2)7
(3)3
【分析】本题考查了平移作图，三角形的面积，垂线段最短，由点的坐标得到平移的方式是解题的关键．
（1）根据点、的坐标可知三角形向左边平移 2 个单位长度，向下平移 4 个单位长度后得到三角形，据此画图即可；
（2）利用割补法计算即可；
（3）根据垂线段最短即可求解；
【详解】（1）解：∵点的对应点为，
∴三角形向左边平移 2 个单位长度，向下平移 4 个单位长度后得到三角形，
如图所示，三角形即为所求；
（2）解：三角形的面积 ．
（3）解：根据垂线段最短可得的最小值为，
故答案为：3．
2.如图，在平面直角坐标系中，三角形的顶点坐标分别
是，，将三角形先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度后得到
三角形，其中点，，分别为点，，的对应点．
(1)____，____；
(2)在图中画出三角形，并求三角形的面积；
(3)将线段沿某个方向平移后得到线段，点的对应点为，那么点的对应点的坐标为____（用含的式子表示）．
【答案】(1)；
(2)见解析；
(3)
【分析】本题考查作图平移变换，熟练掌握平移的性质是解答本题的关键．
（1）根据点为点的对应点可知，三角形先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度后得到三角形，即可得出答案．
（2）根据平移的性质作图即可；利用三角形的面积公式计算三角形的面积即可．
（3）根据平移的性质可得答案．
【详解】（1）解：点为点的对应点，
三角形先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度后得到三角形，
，．
故答案为：；．
（2）如图，三角形即为所求．
三角形的面积为．
（3）∵点的对应点为，
点的对应点的纵坐标为，横坐标为，
点的对应点的坐标为．
故答案为：．
【题型七】旋转中的相关概念
◇典例7：
下列选项中的运动，属于旋转变换的是（）
A．钟表上的时针运动 B．升国旗的上升过程 C．月亮在水中产生的倒影 D．电梯的升降
【答案】A
【分析】本题考查了旋转变换，解题的关键是掌握旋转的性质，不改变图形的形状与大小．根据旋转变换的定义即可作出判断．
【详解】解∶A．钟表上的时针运动，属于旋转变换；
B．升国旗的上升过程，不属于旋转变换；
C．月亮在水中产生的倒影，不属于旋转变换；
D．电梯的升降，不属于旋转变换，
故选∶A．
◆变式训练
1.对下列“握手”图片从左向右的顺序依次变换，描述正确的是（　　）
A．轴对称→平移→旋转 B．轴对称→旋转→平移
C．旋转→轴对称→平移 D．平移→旋转→轴对称
【答案】A
【分析】本题考查几何变换的类型，解题的关键是读懂图象信息．
根据平移变换，旋转变换，轴对称变换的定义判断即可．
【详解】解：“握手”的变换顺序是轴对称→平移→旋转．
故选：A．
2.下列图案中，不能由其中一个图形通过旋转而构成的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查旋转的性质和轴对称的定义：（1）旋转的性质：旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变．要注意旋转的三要素：①定点﹣旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．（2）轴对称的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形．能否构成旋转，关键是看有没有旋转中心、旋转方向和旋转角度．
【详解】解：选项A，B，D都是可以由一个基本图形旋转得到．选项C是轴对称图形，不能旋转得到．
故选：C
【题型八】旋转中心的确定
◇典例8：
在如图所示的正方形网格中，四边形绕某一点旋转某一角度得到四边形（所有顶点都是网格线交点），在网格线交点中，可能是旋转中心的是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
【答案】A
【分析】本题考查了找旋转中心，熟练掌握旋转中心的确定方法是解题关键．确定旋转中心的方法：分别作两组对应点所连线段的垂直平分线，其交点就为旋转中心，由此即可得．
【详解】解：如图，连接，，分别作，的垂直平分线，其交点为点，则旋转中心是点．
故选：A．
◆变式训练
1.如图，线段绕一点旋转后得到线段，点A旋转到了点，则旋转中心为（ ）
A．点C B．点D C．点E D．点F
【答案】B
【分析】本题考查了网络作图．熟练掌握旋转性质，平行四边形性质 ，全等三角形判定和性质，线段垂直平分线判定和性质，是解题的关键．
根据四边形和四边形是平行四边形，得点P，Q分别是在中点．由，得点M，N分别在的垂直平分线上．得，得，得，得，即得D是旋转中心．
【详解】解：连接，
取点G，H，I，M，N，
连接分别交于点P，Q，
作射线，
射线过点D，
∴点D为旋转中心．
故选：B．
2.如图，正方形网格中，△PEF绕某一点逆时针旋转n度后得到△P′E′F′．在A、B、C、D等4个格点中，是旋转中心的为 　　 ．
【答案】B点．
【分析】根据旋转的性质可知：旋转中心在对应点连线的垂直平分线上，进而得出答案．
【详解】解：根据旋转的性质可知：旋转中心在对应点连线的垂直平分线上，
∴旋转中心为B点，
故答案为：B点．
【题型九】求旋转图形中相关角度的大小
◇典例9：
如图，在中，，将绕点A按逆时针方向旋转得到，若点恰好落在边上，且，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查旋转的性质，等边对等角，三角形的外角的性质，三角形的内角和定理，根据旋转得到，进而得到，等边对等角，结合三角形的外角的性质，得到，再根据三角形的内角和定理，进行求解即可．
【详解】解：∵旋转，
∴，
∴，
∵点恰好落在边上，且，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴；
故选B．
◆变式训练
1.如图，一个发电风车矗立在斜坡上，风车顺时针旋转，扇叶
旋转至处．已知风车与斜坡的夹角，风车扇叶与立柱夹角．当时，扇
叶至少旋转（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质定理，是解题的关键．根据平行线的性质求出，再根据，求出最小的旋转角即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∴扇叶至少旋转．
故选：A．
2.如图，在中，，将绕点逆时针旋转得
到，点、的对应点分别是、，边经过点，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查旋转的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的性质．由旋转前后对应边、对应角相等，可得，，，由三角形外角的性质可得，由等边对等角得出，即可求解．
【详解】解：将绕点逆时针旋转得到，
，，，
又 ，
，
，
，
，
故选：C．
【题型十】求旋转图形中线段的长度
◇典例10：
如图，将△ABC绕点B顺时针旋转一定的角度得到△A'BC'，此时点C在边A'B上，若AB＝5，BC'＝2，则A'C的长是 　 　．
【答案】3．
【分析】由旋转的性质可得A'B＝AB＝5，BC＝BC'＝2，即可求解．
【详解】解：∵将△ABC绕点B顺时针旋转一定的角度得到△A'BC'，
∴△ABC≌△A'BC'，
∴A'B＝AB＝5，BC＝BC'＝2，
∴A'C＝3，
故答案为：3．
◆变式训练
1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AB＝4，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A′B′C′，此时点A′恰好落在AB边上，则点B′与点B之间的距离为（　　）
A． B． C．4 D．2
【答案】B．
【分析】先由旋转性质得AC＝A′C，BC＝B′C，∠B′CB＝∠A′CA，再证明△ACA′、△BCB′是等边三角形，得到BB′＝BC，再根据含30度角的直角三角形的性质求解BC即可．
【详解】解：由旋转性质得AC＝A′C，BC＝B′C，∠B′CB＝∠A′CA，
∵∠A＝60°，
∴△ACA′是等边三角形，
∴∠A′CA＝60°，则∠B′CB＝60°，
∴△BCB′是等边三角形，
∴BB′＝BC，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AB＝4，
∴，
∴，即，
故选：B．
2.如图，在正方形ABCD中，将边BC绕点B逆时针旋转至BC'，连接CC'，DC'，若∠CC'D＝90°，
C'D＝2，则线段BC的长度为（　　）
A．4 B．5 C． D．
【答案】D．
【分析】过点B作BE⊥CC'于点E，证明△BCE≌△CDC'（AAS），由全等三角形的性质得出CE＝C'D，由旋转的性质及等腰三角形的性质求出CC'＝4，由勾股定理可得出答案．
【详解】解：过点B作BE⊥CC'于点E，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD，∠BCD＝90°，
∴∠BCE+∠C'CD＝90°，
∵∠BCE+∠CBE＝90°，
∴∠C'CD＝∠CBE，
又∵∠BEC＝∠CC'D，
∴△BCE≌△CDC'（AAS），
∴CE＝C'D，
∵将边BC绕点B逆时针旋转至BC'，
∴BC＝BC'，
又∵BE⊥CC'，
∴CE＝C'E＝C'D＝2，
∴CC'＝4，
∴CD2，
∴BC＝2．
故选：D．
【题型十一】旋转作图
◇典例11：
如图，已知和直线．
(1)画出关于直线成轴对称的；
(2)画出绕它的顶点按顺时针方向旋转后得到的．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了作图——旋转变换，作图-轴对称变换，解决本题的关键是掌握旋转和轴对称的性质．
（1）根据轴对称的性质即可画出关于直线成轴对称的；
（2）根据旋转的性质即可画出绕它的顶点按顺时针方向旋转后得到的．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：如图，即为所求．
◆变式训练
1.如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，
在平面直角坐标系中，的三个顶点均在格点上．
(1)画出将向左平移8个单位长度得到的；
(2)画出绕点顺时针旋转后得到的．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了作图-旋转变换，平移变换．
（1）利用点平移的坐标特征写出、、的坐标，然后描点即可；
（2）利用网格特点和旋转的性质画出的对应点、即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：如图，即为所求：
2.如图，在平面直角坐标系中，已知点，，
(1)画出绕点O顺时针旋转后的图形，并写出点的坐标；
(2)将（1）中所得先向右平移4个单位，再向上平移2个单位得到，直接写出点的坐标．
【答案】(1)画图见解答；点的坐标为
(2)点的坐标为
【分析】本题考查作图-旋转变换、作图-平移变换，熟练掌握旋转的性质、平移的性质是解答本题的关键．
（1）根据旋转的性质作图，即可得出答案．
（2）根据平移的性质可得答案．
【详解】（1）解：如图，即为所求．
由图可得，点的坐标为．
（2）解：先向右平移4个单位，再向上平移2个单位得到，
点的坐标为．
【题型十二】在平面直角系中根据旋转求坐标
◇典例12：
如图，点A的坐标是（﹣2，1），点B的坐标是（﹣2，﹣1）．以点O为旋转中心，将△AOB按逆时针方向旋转90°后，点B的对应点B1的坐标是（　　）
A．（1，﹣2） B．（﹣1，﹣2） C．（﹣1，2） D．（1，2）
【答案】A．
【分析】利用旋转的性质得B1C1＝BC＝1，OC1＝OC＝2，A1B1⊥y轴，然后利用第四象限内点的坐标特征写出点B1坐标．
【详解】解：∵点A的坐标是（﹣2，1），点B的坐标是（﹣2，﹣1），
∴OC＝2，BC＝1，AB⊥x轴，
∴将△AOB按逆时针方向旋转90°后，点B的对应点B1，A1B1⊥y轴，
∴B1C1＝BC＝1，OC1＝OC＝2，
∴B1坐标为：（1，﹣2）．
故选：A．
◆变式训练
1.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（5，0），点B的坐标为（0，2），连接AB，现将
△AOB绕点A顺时针旋转90°，得到△AO'B'，则点B′的坐标是 　 ．
【答案】（7，5）．
【分析】利用全等三角形的性质得出O′B′和O′A的值，再结合点A和点B的坐标得出OA和OB的长即可解决问题．
【详解】解：由旋转可知，
△ABO≌△AB′O′，
∴∠O′＝∠AOB＝90°，O′B′＝OB，AO′＝AO．
又∵O′A⊥OA，
∴O′B′∥x轴．
∵点A的坐标为（5，0），点B的坐标为（0，2），
∴O′B′＝OB＝2，AO′＝AO＝5，
∴点B′的坐标为（7，5）．
故答案为：（7，5）．
2.如图，已知点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（﹣1，3），将线段AB绕点A顺时针旋转
90°得到AC，则点C坐标是 　　 ．
【答案】（1，﹣1）．
【分析】作BM⊥x轴于M，CN⊥x轴于N．证明△ABM≌△CAN，根据全等三角形的性质即可解决问题．
【详解】解：如图，作BM⊥x轴于M，CN⊥x轴于N．
∵∠BAC＝90°，
∴∠ABM+∠BAM＝∠BAM+∠CAN，
∴∠ABM＝∠CAN，
∵AB＝CA，∠AMB＝∠CNA＝90°，
∴△ABM≌△CAN（AAS），
∴AM＝CN，BM＝AN，
当A（﹣2，0），B（﹣1，3）时，
ON＝AN﹣OA＝BM﹣OA＝3﹣2＝1，
CN＝AM＝OA﹣OM＝2﹣1＝1，
∴C（1，﹣1）．
故答案为：（1，﹣1）．
一、单选题
1．（2025·江苏盐城·中考真题）小明的背包随安检传送带移动，主要涉及的图形变换是（ ）
A．平移 B．轴对称 C．旋转 D．位似
【答案】A
【分析】此题考查几何变换的类型，关键是掌握平移的概念．
根据平移的概念解答即可．
【详解】解：小明的背包随安检传送带移动，主要涉及的图形变换是平移，
故选：A．
2．（2025·吉林·中考真题）如图，风力发电机的叶片在风的吹动下转动，使风能转化为电能．图中的三个叶片组成的图形绕着它的中心旋转角后，能够与它本身重合，则角的大小可以为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了求旋转角，把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角，据此求解即可．
【详解】解：由题意得，整个图形由三个叶片组成，则相邻叶片之间的夹角为，
∴该叶片图案绕中心至少旋转后能与原来的图案重合，
∴角的大小可以为，
故选：B．
3．（2025·江苏南通·中考真题）如图，将沿着射线平移到．若，则平移的距离为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】A
【分析】利用平移性质，确定对应点，通过线段长度计算平移距离．本题主要考查平移的性质，熟练掌握平移中对应点间的距离为平移距离是解题的关键．
【详解】解：∵沿射线平移得到，
∴点与点是对应点．平移的距离为的长度，
又∵，，
∴．
故选：．
4．（2025·四川攀枝花·中考真题）已知直角坐标系，点在该坐标系中的坐标为，现将直角坐标系绕点按逆时针方向旋转到的位置，则点在新坐标系中的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查旋转，点的坐标；根据题意得到点在新坐标系中的第一象限，且与原来横纵坐标互换，均为正数，即可求出．
【详解】解：将直角坐标系绕点按逆时针方向旋转到的位置，
∴此时点在新坐标系中的第一象限，且原来横纵坐标互换均为正数，
∴点在新坐标系中的坐标为，
故选：B．
5．（2025·辽宁·中考真题）在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，将线段平移得到线段，点的对应点的坐标为，则点的对应点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查坐标与图形变换—平移，根据平移的性质，由点A平移后的对应点C的坐标确定平移规则，再应用于点B即可得到点D的坐标．
【详解】解：由题意，点向上平移5个单位得到点，
∴点向上平移5个单位得到点，
∴点的坐标为，即；
故选B．
6．（2025·江苏宿迁·中考真题）在平面直角坐标系中，点的坐标为，将线段绕着点逆时针旋转得线段，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，同角的余角相等，过作轴于点，过作轴于点，则，然后通过同角的余角相等得出，证明，故有，，然后根据坐标特点即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：如图，过作轴于点，过作轴于点，则，
由旋转性质可知，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∵点的坐标为，
∴，，
∴，，
∴点的坐标为，
故选：．
7．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，等边的顶点，将向左平移1个单位长度，则平移后点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查等边三角形的性质，坐标系中图形的平移，根据等边三角形的性质求出点坐标是解题关键．
过点B作的垂线，通过点A，C的坐标确定与坐标轴的位置关系，再利用等边三角形的性质求出点B的坐标，利用坐标系中图形的平移规律求解即可．
【详解】解：如图，过点B作，垂足为D，
∵，，
∴轴，
∴轴，
∵是等边三角形，，
∴，
又，
∴，，
∴，
，
∴，
∴在向左平移1个单位长度后，点B的坐标为，
故选：A．
8．（2025·江苏镇江·中考真题）如图，在等腰三角形中，，第1次操作：取的中点，将绕点分别逆时针旋转和，得到线段和；第2次操作：取的中点，将绕点分别逆时针旋转和，得到线段和；；按照这样的操作规律，第30次操作后，得到线段和，若用点在点的正南方向表示初始位置，则点在点的（ ）
A．正东方向 B．正南方向 C．正西方向 D．正北方向
【答案】D
【分析】本题考查规律探索，多边形外角和，旋转的性质，掌握方法是解决问题的关键．根据图形旋转方式，可证明皆为等边三角形，可得，根据多边形外角和结论，图形每转动12次后与重合，依此规律解答即可．
【详解】解：将绕点分别逆时针旋转和，得到线段和，
则，且，
为等边三角形，
同理，皆为等边三角形，
∵将绕点逆时针旋转，
∴，
为等边三角形，的中点为，
，
，
同理，
则，
∵，
∴每转到12次后与方向重合，
，
∴第30次操作后，第3个循环中的第6个位置，恰与方向相反，
又∵为等边三角形，
，
此时点在点的正北方．
故选：D．
二、填空题
9．（2025·广东深圳·中考真题）如图，将无人机沿着轴向右平移3个单位，若无人机上一点的坐标为，则平移后点的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查了坐标与图形平移变换，解题关键在于掌握左右移动改变点的横坐标，左减，右加；上下移动改变点的纵坐标，下减，上加．
根据点的平移规律即可求解．
【详解】解：由题意得：将点沿着轴向右平移3个单位，
∴平移后点的坐标为，即，
故答案为：．
10．（2025·江苏淮安·中考真题）点沿y轴向上平移4个单位长度后点的坐标是 ．
【答案】
【分析】本题考查的是坐标平移，熟知“上加下减”的原则是解答此题的关键．根据“上加下减”的原则求得平移后点的坐标即可．
【详解】解：点沿y轴向上平移4个单位长度后的点坐标是，即．
故答案为：．
11．（2025·山西·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，将线段绕点逆时针旋转，则点对应点的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查了旋转的性质，解直角三角形的相关计算，将线段绕点逆时针旋转得到，过作轴于点，则，，，然后通过，，即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：如图，将线段绕点逆时针旋转得到，过作轴于点，则，
∵点的坐标为，
∴，
由题意得，，，
∴，，
∴点对应点的坐标为，
故答案为：．
12．（2024·江苏南京·中考真题）如图，在边长为4的等边三角形中，是中线，将绕点顺时针旋转得到，连接，则 ．
【答案】
【分析】过点E作交延长线于点H，由等边三角形的性质得到，继而由三线合一得到，，由勾股定理得到，旋转得到，，则，继而，即可求解面积．
【详解】解：过点E作交延长线于点H，
∵为等边三角形
∴，
∵是中线，
∴，，
∴由勾股定理得：，
由旋转得：，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，角直角三角形的性质，旋转的性质，正确构造辅助线是解题的关键．
三、解答题
13．（2024·山东济宁·中考真题）如图，三个顶点的坐标分别是．
(1)将向下平移2个单位长度得，画出平移后的图形，并直接写出点的坐标；
(2)将绕点逆时针旋转得．画出旋转后的图形，并求点运动到点所经过的路径长．
【答案】(1)作图见解析，
(2)作图见解析，
【分析】本题考查了作图—平移变换和旋转变换，弧长公式，解题的关键熟练掌握平移和旋转的性质，
（1）利用平移的性质作出对应点，再连线即可，
（2）利用旋转的性质分别作出对应点，再连线，运动到点所经过的路径长即为弧长即可可求解
【详解】（1）解：如下图所示：
由图可知：；
（2）解：如上图所示：
运动到点所经过的路径为：
14．（2025·黑龙江·中考真题）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为．
(1)将向上平移5个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到，画出两次平移后的，并写出点的坐标；
(2)画出绕原点O逆时针旋转后得到的，并写出点的坐标；
(3)在（2）的条件下，求点旋转到点的过程中，所经过的路径长（结果保留π）．
【答案】(1)作图见解析，
(2)作图见解析，
(3)
【分析】本题考查了平移作图，旋转作图，弧长公式，勾股定理等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．
（1）分别描出平移后的点，再顺次连接即可得到，根据点的平移方式即可求解；
（2）将点分别绕原点O逆时针旋转得到点，再顺次连接即可，即可写出点的坐标；
（3）先由勾股定理求出，再由弧长公式求解即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求：
∵，
∴向上平移5个单位长度，再向右平移1个单位长度得到，即；
（2）解：如图，即为所求，；
（3）解：，
∴点旋转到点的过程中，所经过的路径长为
15．（2025·甘肃兰州·中考真题）【提出问题】数学讨论课上，小明绘制图1所示的图形，正方形与正方形（），点E，G分别在上，根据图形提出问题：如图2，正方形绕点B顺时针旋转，旋转角为，直线与相交于点H，连接，探究线段，，之间的数量关系．
【解决问题】（1）小明将上述问题特殊化，如图3，当点G，H重合时，请你写出，，之间的数量关系，并说明理由；
（2）小明借鉴（1）中特殊化的解题策略后，再解决图2所示的一般化问题，当点G，H不重合时，请你写出，，之间的数量关系，并说明理由；
【拓展问题】（3）小明将图2所示问题中的旋转角的范围再扩大，正方形绕点B顺时针旋转，旋转角为，直线与相交于点H，连接，请直接写出，，之间的数量关系．
【答案】（1），理由见解析；（2），理由见解析；（3），理由见解析
【分析】（1）利用正方形的性质求得，证明，推出，根据即可求解；
（2）在上截取，证明，推出，，证明是等腰直角三角形，求得，根据，即可求得；
（3）在上截取，证明，得到，，同理，得到是等腰直角三角形，求得，根据，即可求得．
【详解】解：（1），理由如下，
如图，当点G，H重合时，
∵正方形与正方形，
∴，，，，
∴，，
∴，
∴，
∴；
（2），理由如下，
由（1）得，
∴，
在上截取，
∵，，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴；
（3），理由如下，
由（1）得，
∴，，
在上截取，
∵，，
∴，
∴，，
同理，是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴．
一、单选题
1．下列现象属于平移的是（ ）
A．投篮时篮球的运动
B．用打气筒打气时，活塞的运动
C．钟摆的摆动
D．汽车雨刷的运动
【答案】B
【分析】本题考查了生活中的平移现象，把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同，图形的这种移动叫做平移．解题的关键是注意平移是图形整体沿某一直线方向移动．
根据平移的定义，旋转的定义对各选项分析判断即可得解．
【详解】解：A、篮球运动是曲线运动，有旋转，不属于平移，不符合题意；
B、活塞在打气筒内沿直线往复运动，符合平移特征，符合题意；
C、钟摆是绕固定点摆动，属于旋转，不属于平移，不符合题意；
D、雨刷是绕轴旋转运动，不属于平移，不符合题意；
故选：B.
2．下列生活中的现象是旋转的是（ ）
A．飞驰的汽车 B．匀速转动的摩天轮
C．运动员投掷标枪 D．乘坐升降电梯
【答案】B
【分析】本题主要考查了旋转的定义，
旋转是指物体围绕一个固定点或轴做圆周运动，而摩天轮的运动是围绕中心轴旋转，符合旋转的定义．
【详解】解：∵旋转的定义是物体绕一个固定点或轴转动，
∴选项B中摩天轮匀速转动是典型的旋转现象；
选项A中汽车飞驰主要是平移运动；
选项C中标枪投掷可能涉及旋转但整体以平移为主；
选项D中升降电梯是垂直平移运动．
故选：B．
3．将向右平移个单位后得到，若，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化-平移，关键是掌握点的坐标的变化规律．根据点的坐标的平移规律：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减可得答案．
【详解】解：将向右平移个单位后得到，
故点向右平移个单位后得到，
根据点的坐标的平移规律，点的坐标为，即．
故选：A．
4．如图，在平行四边形中，，，将线段水平向右平移个单位长度得到线段，若四边形为菱形时，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】本题主要考查了菱形的判定，平行四边形的性质和判定，平移的性质，证得四边形为平行四边形，当时，为菱形，此时．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∵将线段水平向右平移得到线段，
∴，
∴四边形为平行四边形，
当时，为菱形，
此时．
故选：B．
5．在平面直角坐标系中，将点绕原点逆时针旋转得到的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中点的旋转问题，准确计算是解题的关键．
本题考查点绕原点逆时针旋转的坐标变化，可通过构造直角三角形并证明全等得到新坐标．
【详解】解：设A点旋转后的对应点为点B，
过点作轴于点，过点作轴于点，垂足分别为、，
点的坐标为，
，，
点由点绕原点逆时针旋转得到，
，，
，
，
又，
，
在和中，
，
，
，，
点的坐标为．
故选．
6．如图，线段经过平移得到线段，其中点，的对应点分别为点，，这四个点都在格点上若线段上有一个点，则点在上的对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了坐标与图形变化平移，掌握相关知识是解决问题的关键.先利用点和它的对应点的坐标特征得到线段先向左平移3个单位，再向上平移1个单位得到线段，然后利用点平移的坐标规律写出点平移后的对应点的坐标．
【详解】解：由图知，线段向左平移3个单位，再向上平移1个单位即可得到线段，
∴点在上的对应点的坐标为，
故选：A．
7．如图，在中，，将绕点逆时针旋转，得到，点恰好落在的延长线上，则旋转角的度数（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查旋转的性质和三角形内角和定理的应用，解题的关键是掌握旋转的性质．
由旋转得，故，可得，从而知旋转角为．
【详解】解：由旋转的性质得：，
．
．
∴旋转角为．
故选：B．
8．如图，将绕点A逆时针方向旋转得到，若点恰好落在边上，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，根据旋转的性质可得，，进而由三角形内角和定理即可求解，掌握旋转的性质是解题的关键．
【详解】解：将绕点A逆时针方向旋转得到，点恰好落在边上，
，，
，
故选：D．
9．如图，在中，，，．将绕点顺时针旋转得（点，对应），当点，，在同一条直线上时，的长为（ ）
A． B．3 C． D．4
【答案】B
【分析】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了含度的直角三角形三边的关系．先利用互余计算出，再根据含度的直角三角形三边的关系得到，接着根据旋转的性质得，，，，，于是可判断为等腰三角形，所以，再利用三角形外角性质计算出，可得，然后利用进行计算．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∵绕点C顺时针旋转得到，
∴，，，，，
∴为等腰三角形，
∴，
∵A、、在同一条直线上，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
10．如图，直线与x，y轴分别交于点A，B，以为底边在y轴右侧作等腰，将点C向左平移6个单位，使其对应点恰好落在直线上，则点C的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、等腰三角形的性质以及平移，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点的坐标，根据等腰三角形的性质可得出点C的纵坐标，代入可求出点的坐标，进而可求出点C的坐标．
【详解】解：当时，，
∴点的坐标为，
，
是以为底边的等腰三角形，
∴点的纵坐标为，
∴点的纵坐标为.
当时，，
解得，
∴点的坐标为，
∴点的坐标为，即，
故选： A．
二、填空题
11．如图2中的图案是由图1中的基本图形以点为旋转中心，顺时针（或逆时针）旋转角度，依次旋转若干次而组成的，则旋转角的度数最小为 度．
【答案】
【分析】本题考查了旋转的性质．
由图可知，将图1无缝旋转5次得到图2，进而用除以即可．
【详解】解：由图可知，将图1无缝旋转5次得到图2，
即旋转角的度数最小为．
故答案为：．
12．在平面直角坐标系中，将点先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，最后所得点的坐标是，则m，n的值分别是 ．
【答案】，
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化平移，熟知平移时点的坐标变化规律是解题的关键．
根据坐标平移的规律，向左平移使横坐标减少，向上平移使纵坐标增加；从平移后的点坐标逆推原坐标，可列方程求解
【详解】解：∵点 先向左平移个单位长度，横坐标减少，变为 ；再向上平移个单位长度，纵坐标增加，变为，
∴平移后点坐标为，
∵与给定点相等，
，
解得 ，
故答案为：，．
13．如图，将三角形绕点O逆时针方向旋转后得到三角形，若，则的度数是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了旋转的变换以及几何图形中角度计算，熟练掌握旋转的性质是解题关键．
根据旋转的性质可得，再结合，利用求解即可．
【详解】解：∵将绕点按逆时针方向旋转后得到，
∴，
又∵，
∴．
故答案为：．
14．如图，在中，，，将绕点逆时针旋转得到，使点落在边上，则的度数为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了旋转的性质、三角形内角和定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．首先根据三角形内角和定理求出，然后利用了旋转的性质、等腰三角形的性质即可求解．
【详解】解：在中，，，
∴，
∵将绕点逆时针旋转得到，使点落在边上，
∴，
∴，，，
∵在中，，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
15．长方形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示．将长方形ABCD沿x轴向右平移使点B与原点O重合，再沿y轴向下平移，使点A与原点O重合，则此时点C的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查了平移的性质，点的坐标特征，掌握平移的坐标变化是解题的关键．
由平移的性质可得长方形向右平移个单位长度，向下平移个单位长度，即可求解．
【详解】解：∵长方形中点坐标为，
∴，，
∵将长方形沿轴向右平移使点与原点重合，再沿轴向下平移，使点与原点重合，
∴将长方形向右平移个单位长度，向下平移个单位长度．
∴点的坐标为．
故答案为：．
16．如图，点A、B的坐标分别是，若将线段平移至的位置，与坐标分别是和，则线段在平移过程中扫过的图形面积为 ．
【答案】32
【分析】本题主要考查坐标与图形变化平移，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．直接利用平移中点的变化规律求出，的值，再根据线段在平移过程中扫过的图形面积四边形的面积求解即可．
【详解】解：点、的坐标分别为，，平移后与坐标分别是和，
可知将线段向右平移5个单位，向上平移4个单位，
，，
与坐标分别是和，
如图：
线段在平移过程中扫过的图形面积．
故答案为：32．
三、解答题
17．如图，三个顶点的坐标分别为，，．
(1)画出关于原点对称的图形；
(2)画出向右平移6个单位长度得到的图形；
(3)内一点经过上述两次变换，对应的点的坐标是_________．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查坐标与图形变换—中心对称和平移，熟练掌握中心对称的性质，平移的性质是解题的关键：
（1）根据中心对称的性质，画出即可；
（2）根据平移的规则画出即可；
（3）根据关于原点对称的点的横纵坐标均互为相反数，以及点的平移规则左减右加，进行求解即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：如图即为所求；
（3）解：由题意，点经过上述两次变换，对应的点的坐标是．
18．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为．
(1)画出绕点顺时针旋转后得到的；
(2)求点旋转到点的过程中线段扫过的面积（结果保留）．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了旋转变换作图、扇形面积公式，勾股定理，熟练掌握网格结构，准确找出对应顶点的位置是解题的关键．
（1）将的三个顶点绕点A顺时针旋转得到对应点，再顺次连接即可得到；
（2）利用勾股定理求出的长，再利用扇形面积公式即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求：
（2）解：，
点旋转到点的过程中线段扫过的面积为：
．
19．如图，在中，，，D是边上一点（点D不与点A，B重合），连接，将线段绕点C逆时针旋转得到线段，连接，．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边对等角，勾股定理．
（1）由旋转知，，则，根据即可证明；
（2）根据等边对等角得到，根据全等三角形的性质得到，，即，根据勾股定理计算即可．
【详解】（1）证明：由旋转知，．
，
∴
∴．
在和中，
，
；
（2）解：∵，，
∴
∵
∴，，
．
在中，，，
∴．
20．如图，已知，射线从开始，绕点逆时针旋转，旋转的速度为每秒，射线从开始，绕点顺时针旋转，旋转的速度为每秒，和同时开始旋转，当射线第一次与射线重合时，射线和同时停止旋转，设旋转的时间为秒．
(1)射线和重合时，求的值．
(2)射线与重合时，求的值．
(3)求为何值时，．
【答案】(1)；
(2)；
(3)或
【分析】本题考查了角度的和差，旋转的性质，一元一次方程的应用，利用数形结合和分类讨论的思想解决问题是关键．
（1）用除以射线的旋转速度求解即可；
（2）用除以射线和的旋转速度和求解即可；
（3）分两种情况讨论：①射线与重合前；②射线与重合后，根据角度的和差关系列方程求解即可．
【详解】（1）解：（秒）；
（2）解：（秒）；
（3）解：由题意可知，，，，
，
，
①如图，射线与重合前，
，
，
解得：；
②如图，射线与重合后，
，
，
解得：，此时射线和重合，
综上可知，当时，的值为或．
21．【情境】嘉淇同学利用几何软件画出如图1所示的箭头，箭头的顶点均在格点上，继续画出两条直线，作出箭头关于直线对称的箭头，再作出箭头关于直线对称的箭头，对应点的连线、分别与对称轴相交于点、．
【探究】
情形一：当直线与直线平行时，如图2．
(1)箭头可以看作是箭头沿着射线方向平移而成的图形，平移的距离等于线段_____的长度；
(2)试说明：；
情形二：当直线与直线相交于点时，如图3．
(3)箭头可以看作是箭头绕着点_____旋转而成的图形，旋转角为_____，与的数量关系为_____；
(4)【拓展】当直线与直线垂直时，箭头与箭头是否关于点成中心对称？_____（填“是”或“否”）．
【答案】(1)；
(2)见解析；
(3)O，，；
(4)是
【分析】本题考查了平移、轴对称，中心对称等知识，解题的关键是：
（1）根据平移和轴对称的性质求解即可；
（2）根据轴对称的性质得出直线垂直平分，直线垂直平分，然后根据垂直平分线的性质即可得证；
（3）根据旋转和轴对称的性质求解即可；
（4）画出符合题意的图形，然后根据中心对称的定义判断即可．
【详解】（1）解：箭头还可以看作是箭头沿着方向平移而成的图形，平移的距离等于线段的长度，
故答案为：；
（2）证明：∵箭头、箭头关于直线对称，箭头、箭头关于直线对称，
∴直线垂直平分，直线垂直平分，
∴，，
又，，
∴
（3）解：箭头可以看作是箭头绕着点O旋转而成的，旋转角为，
∵箭头、箭头关于直线对称，箭头、箭头关于直线对称，
∴，
又，，
∴，
即与的数量关系为，
故答案为：O，，；
（4）解：如图，
箭头与箭头的对称关系是关于点O成中心对称，
故答案为：是．
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2026年中考数学一轮复习精讲精练
模块七 图形的变化
专题5 平移与旋转
【考点一】 平移的概念
1.平移的定义：在平面内，把一个图形整体沿某一的方向移动，这种图形的平行移动，叫做平移变换，简称平移．
平移的要素：一是平移的方向，二是平移的距离.
如图，平移△ABC 得到△A'B'C'，其中点A'是点A的对应点，线段A'B'是线段 AB 的对应线段，A'B'
=AB，∠A'B'C'是∠ABC 的对应角，∠A'B'C'=∠ABC
射线 BB'的方向就是平移的方向，线段 BB'(或AA'或CC')的长度就是平移的距离.
3.图形的平移是整个图形都在移动，即图形中所有点、线平移的方向和平移的距离都相同，所以确定一个图形平移的方向和距离，只需确定图形上一个点平移的方向和距离即可.
【考点二】平移的性质
①把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同．
②新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行（或在同一条直线上）且相等．
【注意】
1、图形的平移改变了图形的位置，但不改变图形的形状和大小；
2、图形的平移的方向不限于水平方向，可以是上下平移和左右平移，也可以是按任意指定方向平移，只要是按直线方向即可.
3、“连接各组对应点的线段”是原图形上的点与平移后的图形上的点连接而成的；而“对应线段”就存在于原来的图形与平移后的图形之中，是图形的一部分.
【考点三】平移的作图
1.平移作图是平移基本性质的应用，利用平移可以得到许多美丽的图案.
2.在具体作图时，应抓住作图的四步----定、找、移、连
（1）定：确定平移的方向和距离．
（2）找：找到图形的关键点；
（3）移：过关键点作平行且相等的线段，得到关键点的对应点；
（4）连：按原图形顺次连接对应点．
【考点四】旋转的相关概念
1.旋转：把一个平面图形绕平面内某一点 O 转动一个角度，叫做图形的旋转.这个点哦O称为旋转
中心.转动的角称为旋转角.如果图形上的点 P 经过旋转变为点 P'，那么这两个点叫做这个旋转的对应点.
2.旋转的三要素：旋转中心，旋转方向，旋转角度.
在旋转过程中，始终保持不动的点是旋转中心，旋转中心可以在图形的内部，也可以在图形的外部，还可以是图形上的某点旋转.方向分为顺时针与逆时针.
【温馨提示】
①旋转的范围是“平面内”，其中“旋转中心，旋转方向，旋转角度”称之为旋转的三要素；
②旋转变换同样属于全等变换.
【考点五】旋转的性质
1.旋转的性质
①对应点到旋转中心的距离相等．
②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．
2.旋转中心的确定：
根据旋转的性质可知，对应点到旋转中心是距离相等，所以旋转中心位于对应点连线的垂直平分线上，即旋转中心是两对对应点所连线段的垂直平分线的交点.
【考点六】旋转作图
图形旋转作图的步骤：
将△ABC绕点M顺时针旋转120°后，得到△DEF的步骤：
（1）定：确定旋转中心为点M，旋转方向为顺时针，旋转角为120°．
（2）找：寻找构成图形的关键点A，B，C，连接关键点A和旋转中心M，即线段AM．
（3）转：以旋转中心M为顶点，过关键点A的射线MA为一边，按顺时针方向作一个120°的角．
（4）截：在角的另一边上取一点D,使MD＝MA，得到点A的对应点D，以此作法，可得点B的对应点E，点C的对应点F．
（5）连：按原图顺序连接D，E，F，得到△DEF，如图所示．
【题型一】平移的概念
◇典例1：
现实生活中，下列现象不属于平移的是（ ）
A．电梯的升降 B．火车在平直的铁轨上行驶
C．飞机起飞前在跑道上滑行 D．卫星绕地球飞行
◆变式训练
1.剪纸是一种民间美术形式，以大胆变形和夸张的手法著称，线
条细长、透亮．下面的剪纸图案中，能用其一部分平移得到的是（ ）
A． B． C． D．
2.下列运动属于平移的是（ ）
A． B． C． D．
【题型二】利用平移的性质进行计算
◇典例2：
如图，将向右平移6个单位长度得到，且点B，E，C，F在同一条直线上，若则的长度是（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
◆变式训练
1.如图，在多边形中，，，则该多边形的周长为（　　）
A．7 B．7或4 C．14 D．无法确定
2.如图，将沿方向平移到的位置，点A，B，C的对应点分别为点D，E，F，连接．若，则的度数是（ ）．
A． B． C． D．
【题型三】利用平移解决实际问题
◇典例3：
如图，这是人民公园里一处风景欣赏区（长方形），米，米．为方便游人观赏风景，特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分），小路的宽均为1米，那么小明沿着小路的中间从入口到出口所走的路线（图中虚线）的长为（ ）
A．62米 B．82米 C．88米 D．102米
◆变式训练
1.如图是校园内一块长为，宽为的长方形空地，中间设
计一条宽为的弯曲道路，其余部分为绿化区，则绿化区的面积是（ ）
A． B． C． D．
2.如图，某居民小区有一长方形土地，长米，宽米．居民想在长方形地内修筑宽均为米的小路，余下的部分做绿化，为了使草坪更美观，有人建议把道路修成如图所示的形状，求绿化的面积为 平方米．
【题型四】点在坐标系中的平移
◇典例4：
点向左平移3个单位，再向上平移4个单位到点B，则点B的坐标为（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1.若点在x轴上，先将点A向下平移4个单位长度，再向右平移7个单位长度到点，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
2.将P点（m，m+4）向上平移2个单位到Q点，且点Q在x轴上，那么P点坐标为 　 　．
【题型五】图形在坐标系中的平移
◇典例5：
如图，点A，B的坐标分别为，，若将线段AB平移至的位置，点的坐标为，则的坐标为（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1.如图，在平面直角坐标系中，内部有一点，若将先向右平移，再向下平移，
平移后点对应点的坐标是．若点的坐标是，则平移后点对应的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
2.把图1中的圆A平移到图2中的圆O，则图中圆A上的一点P（m，n）平移后在图中的对应点P'的坐标为（　　）
A．（m+2，n+1） B．（m﹣2，n﹣1） C．（m﹣2，n+1） D．（m+2，n﹣1）
【题型六】平面直角坐标系中的平移作图
◇典例6：
如图，三角形中任意一点，经平移后其对应点为，将三角形作同样平移得到三角形．
(1)请写出各顶点的坐标，并画出平移后的图形；
(2)求出的面积．
◆变式训练
1.如图，在平面直角坐标系中，已知，，，是三角形的边上的一点，把三角形平移后得到三角形，点的对应点为．
(1)画出三角形；
(2)求三角形的面积；
(3)已知点在轴上，连接，则的最小值为______．
2.如图，在平面直角坐标系中，三角形的顶点坐标分别
是，，将三角形先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度后得到
三角形，其中点，，分别为点，，的对应点．
(1)____，____；
(2)在图中画出三角形，并求三角形的面积；
(3)将线段沿某个方向平移后得到线段，点的对应点为，那么点的对应点的坐标为____（用含的式子表示）．
【题型七】旋转中的相关概念
◇典例7：
下列选项中的运动，属于旋转变换的是（）
A．钟表上的时针运动 B．升国旗的上升过程 C．月亮在水中产生的倒影 D．电梯的升降
◆变式训练
1.对下列“握手”图片从左向右的顺序依次变换，描述正确的是（　　）
A．轴对称→平移→旋转 B．轴对称→旋转→平移
C．旋转→轴对称→平移 D．平移→旋转→轴对称
2.下列图案中，不能由其中一个图形通过旋转而构成的是（　　）
A． B． C． D．
【题型八】旋转中心的确定
◇典例8：
在如图所示的正方形网格中，四边形绕某一点旋转某一角度得到四边形（所有顶点都是网格线交点），在网格线交点中，可能是旋转中心的是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
◆变式训练
1.如图，线段绕一点旋转后得到线段，点A旋转到了点，则旋转中心为（ ）
A．点C B．点D C．点E D．点F
2.如图，正方形网格中，△PEF绕某一点逆时针旋转n度后得到△P′E′F′．在A、B、C、D等4个格点中，是旋转中心的为 　　 ．
【题型九】求旋转图形中相关角度的大小
◇典例9：
如图，在中，，将绕点A按逆时针方向旋转得到，若点恰好落在边上，且，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
◆变式训练
1.如图，一个发电风车矗立在斜坡上，风车顺时针旋转，扇叶
旋转至处．已知风车与斜坡的夹角，风车扇叶与立柱夹角．当时，扇
叶至少旋转（ ）
A． B． C． D．
2.如图，在中，，将绕点逆时针旋转得
到，点、的对应点分别是、，边经过点，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【题型十】求旋转图形中线段的长度
◇典例10：
如图，将△ABC绕点B顺时针旋转一定的角度得到△A'BC'，此时点C在边A'B上，若AB＝5，BC'＝2，则A'C的长是 　 　．
◆变式训练
1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AB＝4，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A′B′C′，此时点A′恰好落在AB边上，则点B′与点B之间的距离为（　　）
A． B． C．4 D．2
2.如图，在正方形ABCD中，将边BC绕点B逆时针旋转至BC'，连接CC'，DC'，若∠CC'D＝90°，
C'D＝2，则线段BC的长度为（　　）
A．4 B．5 C． D．
【题型十一】旋转作图
◇典例11：
如图，已知和直线．
(1)画出关于直线成轴对称的；
(2)画出绕它的顶点按顺时针方向旋转后得到的．
◆变式训练
1.如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，
在平面直角坐标系中，的三个顶点均在格点上．
(1)画出将向左平移8个单位长度得到的；
(2)画出绕点顺时针旋转后得到的．
2.如图，在平面直角坐标系中，已知点，，
(1)画出绕点O顺时针旋转后的图形，并写出点的坐标；
(2)将（1）中所得先向右平移4个单位，再向上平移2个单位得到，直接写出点的坐标．
【题型十二】在平面直角系中根据旋转求坐标
◇典例12：
如图，点A的坐标是（﹣2，1），点B的坐标是（﹣2，﹣1）．以点O为旋转中心，将△AOB按逆时针方向旋转90°后，点B的对应点B1的坐标是（　　）
A．（1，﹣2） B．（﹣1，﹣2） C．（﹣1，2） D．（1，2）
◆变式训练
1.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（5，0），点B的坐标为（0，2），连接AB，现将
△AOB绕点A顺时针旋转90°，得到△AO'B'，则点B′的坐标是 　 ．
2.如图，已知点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（﹣1，3），将线段AB绕点A顺时针旋转
90°得到AC，则点C坐标是 　　 ．
一、单选题
1．（2025·江苏盐城·中考真题）小明的背包随安检传送带移动，主要涉及的图形变换是（ ）
A．平移 B．轴对称 C．旋转 D．位似
2．（2025·吉林·中考真题）如图，风力发电机的叶片在风的吹动下转动，使风能转化为电能．图中的三个叶片组成的图形绕着它的中心旋转角后，能够与它本身重合，则角的大小可以为（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·江苏南通·中考真题）如图，将沿着射线平移到．若，则平移的距离为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
4．（2025·四川攀枝花·中考真题）已知直角坐标系，点在该坐标系中的坐标为，现将直角坐标系绕点按逆时针方向旋转到的位置，则点在新坐标系中的坐标为（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·辽宁·中考真题）在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，将线段平移得到线段，点的对应点的坐标为，则点的对应点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
6．（2025·江苏宿迁·中考真题）在平面直角坐标系中，点的坐标为，将线段绕着点逆时针旋转得线段，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
7．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，等边的顶点，将向左平移1个单位长度，则平移后点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
8．（2025·江苏镇江·中考真题）如图，在等腰三角形中，，第1次操作：取的中点，将绕点分别逆时针旋转和，得到线段和；第2次操作：取的中点，将绕点分别逆时针旋转和，得到线段和；；按照这样的操作规律，第30次操作后，得到线段和，若用点在点的正南方向表示初始位置，则点在点的（ ）
A．正东方向 B．正南方向 C．正西方向 D．正北方向
二、填空题
9．（2025·广东深圳·中考真题）如图，将无人机沿着轴向右平移3个单位，若无人机上一点的坐标为，则平移后点的坐标为 ．
10．（2025·江苏淮安·中考真题）点沿y轴向上平移4个单位长度后点的坐标是 ．
11．（2025·山西·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，将线段绕点逆时针旋转，则点对应点的坐标为 ．
12．（2024·江苏南京·中考真题）如图，在边长为4的等边三角形中，是中线，将绕点顺时针旋转得到，连接，则 ．
三、解答题
13．（2024·山东济宁·中考真题）如图，三个顶点的坐标分别是．
(1)将向下平移2个单位长度得，画出平移后的图形，并直接写出点的坐标；
(2)将绕点逆时针旋转得．画出旋转后的图形，并求点运动到点所经过的路径长．
14．（2025·黑龙江·中考真题）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为．
(1)将向上平移5个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到，画出两次平移后的，并写出点的坐标；
(2)画出绕原点O逆时针旋转后得到的，并写出点的坐标；
(3)在（2）的条件下，求点旋转到点的过程中，所经过的路径长（结果保留π）．
15．（2025·甘肃兰州·中考真题）【提出问题】数学讨论课上，小明绘制图1所示的图形，正方形与正方形（），点E，G分别在上，根据图形提出问题：如图2，正方形绕点B顺时针旋转，旋转角为，直线与相交于点H，连接，探究线段，，之间的数量关系．
【解决问题】（1）小明将上述问题特殊化，如图3，当点G，H重合时，请你写出，，之间的数量关系，并说明理由；
（2）小明借鉴（1）中特殊化的解题策略后，再解决图2所示的一般化问题，当点G，H不重合时，请你写出，，之间的数量关系，并说明理由；
【拓展问题】（3）小明将图2所示问题中的旋转角的范围再扩大，正方形绕点B顺时针旋转，旋转角为，直线与相交于点H，连接，请直接写出，，之间的数量关系．
一、单选题
1．下列现象属于平移的是（ ）
A．投篮时篮球的运动
B．用打气筒打气时，活塞的运动
C．钟摆的摆动
D．汽车雨刷的运动
2．下列生活中的现象是旋转的是（ ）
A．飞驰的汽车 B．匀速转动的摩天轮
C．运动员投掷标枪 D．乘坐升降电梯
3．将向右平移个单位后得到，若，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在平行四边形中，，，将线段水平向右平移个单位长度得到线段，若四边形为菱形时，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．在平面直角坐标系中，将点绕原点逆时针旋转得到的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，线段经过平移得到线段，其中点，的对应点分别为点，，这四个点都在格点上若线段上有一个点，则点在上的对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在中，，将绕点逆时针旋转，得到，点恰好落在的延长线上，则旋转角的度数（ ）
A． B． C． D．
8．如图，将绕点A逆时针方向旋转得到，若点恰好落在边上，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在中，，，．将绕点顺时针旋转得（点，对应），当点，，在同一条直线上时，的长为（ ）
A． B．3 C． D．4
10．如图，直线与x，y轴分别交于点A，B，以为底边在y轴右侧作等腰，将点C向左平移6个单位，使其对应点恰好落在直线上，则点C的坐标为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．如图2中的图案是由图1中的基本图形以点为旋转中心，顺时针（或逆时针）旋转角度，依次旋转若干次而组成的，则旋转角的度数最小为 度．
12．在平面直角坐标系中，将点先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，最后所得点的坐标是，则m，n的值分别是 ．
13．如图，将三角形绕点O逆时针方向旋转后得到三角形，若，则的度数是 ．
14．如图，在中，，，将绕点逆时针旋转得到，使点落在边上，则的度数为 ．
15．长方形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示．将长方形ABCD沿x轴向右平移使点B与原点O重合，再沿y轴向下平移，使点A与原点O重合，则此时点C的坐标为 ．
16．如图，点A、B的坐标分别是，若将线段平移至的位置，与坐标分别是和，则线段在平移过程中扫过的图形面积为 ．
三、解答题
17．如图，三个顶点的坐标分别为，，．
(1)画出关于原点对称的图形；
(2)画出向右平移6个单位长度得到的图形；
(3)内一点经过上述两次变换，对应的点的坐标是_________．
18．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为．
(1)画出绕点顺时针旋转后得到的；
(2)求点旋转到点的过程中线段扫过的面积（结果保留）．
19．如图，在中，，，D是边上一点（点D不与点A，B重合），连接，将线段绕点C逆时针旋转得到线段，连接，．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
20．如图，已知，射线从开始，绕点逆时针旋转，旋转的速度为每秒，射线从开始，绕点顺时针旋转，旋转的速度为每秒，和同时开始旋转，当射线第一次与射线重合时，射线和同时停止旋转，设旋转的时间为秒．
(1)射线和重合时，求的值．
(2)射线与重合时，求的值．
(3)求为何值时，．
21．【情境】嘉淇同学利用几何软件画出如图1所示的箭头，箭头的顶点均在格点上，继续画出两条直线，作出箭头关于直线对称的箭头，再作出箭头关于直线对称的箭头，对应点的连线、分别与对称轴相交于点、．
【探究】
情形一：当直线与直线平行时，如图2．
(1)箭头可以看作是箭头沿着射线方向平移而成的图形，平移的距离等于线段_____的长度；
(2)试说明：；
情形二：当直线与直线相交于点时，如图3．
(3)箭头可以看作是箭头绕着点_____旋转而成的图形，旋转角为_____，与的数量关系为_____；
(4)【拓展】当直线与直线垂直时，箭头与箭头是否关于点成中心对称？_____（填“是”或“否”）．
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