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2026年中考数学一轮复习精讲精练
第六章 图形的变化
6.1尺规作图
尺规作图 尺规作图 定义 在几何里，把限定用没有刻度的直尺和圆规来画图称为尺规作图．
步骤 (1)根据给出的条件和求作的图形，写出已知和求作部分。 (2)分析作图的方法和过程。 (3)用直尺和圆规进行作图。 (4)写出作法步骤，即作法。
五种基本作图 作一条线段等于已知线段 （1）已知：线段a（如图）。求作：线段AC，使AC等于a。 （2）作法：①画射线AB。②以点A为圆心，a的长为半径画弧，交AB与点C，则线段AC即为所求，如图所示。
作一个角等于已知角 （1）已知∠AOB（如图）。求作：。 （2）作法：①作射线。②以点O为圆心，适当的长为半径画弧，交OA于点C,交OB于点D。③以点为圆心，OC的长为半径画弧，交于点。④以点为圆心，CD的长为半径画弧，交前弧于点。⑤经过点作射线，即为所求，如图所示。
作已知角的平分线 （1）已知∠AOB（如图）。求作：∠AOB的平分线。 （2）作法：①以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点N，交OB于点M。②分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C。③连接OC，射线OC即为所求。
作一条线段的垂直平分线 （1）已知线段AB（如图）。求作：线段AB的垂直平分线。 （2）作法：①分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点C和点D。②作直线CD，直线CD就是线段AB的垂直平分线，如图所示。
过一点作已知直线的垂线 1.经过直线上一点作已知直线的垂线 （1）已知直线l和l上的一点C（如图）。求作：l的垂线，使它经过点C。 （2）作法：①以C为圆心,适当长为半径画弧，交l于点A、B。②分别以A,B两点为圆心，大于的长为半径画弧，交于点D。③连接CD,直线CD就是所求作的垂线，如图所示。 2.经过直线外一点作已知直线的垂线 （1）已知直线l和l外的一点C（如图）。求作：l的垂线，使它经过点C。 （2）作法：①以C为圆心,适当长为半径画弧，交l于点A、B。②分别以A,B两点为圆心，大于的长为半径在直线另一侧画弧，交于点D。③连接CD,直线CD就是所求作的垂线，如图所示。
复杂作图 利用基本作图作三角形 （1）已知三边作三角形； （2）已知两边及其夹角作三角形； （3）已知两角及其夹边作三角形； （4）已知底边及底边上的高作等腰三角形； （5）已知一直角边和斜边作直角三角形。
与圆有关的尺规作图 （1）过不在同一直线上的三点作圆(即三角形的外接圆） （2）作三角形的内切圆（圆心为三角形角平分线的交点） （3）已知圆外一点P作圆的两条切线 （4）作圆内接正方形，正六边形，了解圆正五边形
【题型一】基本作图
【例1.1】（2025 普陀区三模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，点N，再分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，射线AP与BC交于点D，DE⊥AB，垂足为E．若CD＝2，则DE＝（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【点拨】根据角平分线的性质即可得到结论．
【解析】解：由作图知，射线AD是∠CAB的角平分线，
∵∠C＝90°，DE⊥AB，
∴CD＝DE，
∵CD＝2，
∴DE＝2，
故选：B．
【点睛】本题考查了作图﹣基本作图，角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．
【例1.2】（2024 金东区二模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，用直尺和圆规在边BC上确定一点P，使点P到边AC、AB的距离相等，则符合要求的作图痕迹是（　　）
A． B． C． D．
【点拨】P到边AC、AB的距离相等，可知点P在∠A的平分线上，由此判断即可．
【解析】解：∵P到边AC、AB的距离相等，
∴点P在∠A的平分线上．
故选：C．
【点睛】本题考查作图﹣复杂作图，角平分线的性质等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．
【例1.3】（2025 吉林）如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠A＞∠ACB＞∠B，尺规作图操作如下：（1）以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交边BA，BC于点M，N；（2）以点C为圆心，BN长为半径画弧，交边CB于点N′；再以点N′为圆心，MN长为半径画弧，与前一条以点C为圆心的弧相交于三角形内部的点M′；（3）过点M′画射线CM′交边AB于点D．下列结论错误的为（　　）
A．∠B＝∠DCB B．∠BDC＝90° C．DB＝DC D．AD+DC＝BC
【点拨】判断出选项A，B，C正确可得结论．
【解析】解：由作图可知∠B＝∠DCB＝45°，
∴DB＝DC，∠BDC＝90°，
故选项A，B，C正确．
故选：D．
【点睛】本题考查作图﹣基本作图，等腰三角形的判定和性质，等腰直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
【例1.4】（2025 浙江模拟）如图，在矩形ABCD中，依据尺规作图的痕迹，则∠ACB的度数是 　67.5°　 ．
【点拨】先根据矩形的性质得到∠DAB＝90°，由作图痕迹得到∠EAD＝45°，∠AFE＝90°，则∠DAC＝68°，最后根据平行线的性质作答即可．
【解析】解：如图，
由作图痕迹可知AE平分∠DAB，
∴，
由作图痕迹可知EF垂直平分AC，
∴∠AFE＝90°，∠EAF＝∠ECF＝∠CAB＝＝22.5°，
∴∠ACB＝90°﹣22.5°
故答案为：67.5°．
【点睛】本题考查了矩形的性质，尺规作图作角平分线，尺规作图作垂线，角平分线的性质，平行线的性质．熟练掌握以上知识点是关键．
【例1.5】（2025 富阳区二模）尺规作图问题：
已知△ABC，∠ABC是钝角，AB＞BC，请用尺规作AC的中点P．
小聪：如图1，以点A为圆心，BC长为半径作弧，以点C为圆心，AB长为半径作弧，两弧相交于点Q，连结BQ交AC于点P，则点P为AC的中点．
小明：如图2，作AB的中垂线，垂足为点M，作BC的中垂线，垂足为点N，以点M为圆心，BN为半径作弧，交AC边于点P，则点P为AC的中点．
小聪：小明，你的作法有问题．
小明：哦…我明白了．
（1）证明：小聪的作法是正确的．
（2）指出小明作法中存在的问题．
【点拨】（1）由作图可得，AQ＝BC，AB＝CQ，则可得四边形ABCD为平行四边形，进而可得点P为AC的中点．
（2）以点M为圆心，BN为半径作弧，与AC边可能交于两点P1，P2，即可得出答案．
【解析】（1）证明：由作图可得，AQ＝BC，AB＝CQ，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∵点P为AC与BQ的交点，
∴点P为AC的中点．
（2）解：以点M为圆心，BN为半径作弧，与AC边可能交于两点P1，P2，如图所示．
【点睛】本题考查作图—基本作图、平行四边形的判定与性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
【题型二】复杂作图
【例2.1】（2025 黄岩区二模）在等腰△ABC中，AB＝AC，点D是AB的中点，要求用尺规作图的方法在BC上找一点E，连结DE，使得，现有甲、乙、丙三位同学的做法如下：
（1）①做法正确的同学有 　甲丙　 ；
②请选择你认为正确的一种做法给出证明；
（2）用尺规作图（图丁）的方法画出一种不同于以上三位同学的画法．
【点拨】（1）利用等腰三角形三线合一的性质判断即可；
（2）以D为圆心，DB为半径作弧交BC于点E，连接DE即可．
【解析】解：（1）做法正确的同学有甲丙．
故答案为：甲丙；
甲：由作图可知AE平分∠BAC，
∵AB＝AC，
∴BE＝EC，
∵AD＝DB，
∴DE是△ABC的中位线；
（2）如图丁中，点E即为所求．
【点睛】本题考查作图﹣复杂作图，等腰三角形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
【例2.2】（2025 浙江模拟）请用不带刻度的直尺和圆规作出符合要求的点（不写作法，保留作图痕迹）．
（1）在图1中作一点D，使∠ADB＝2∠C．
（2）在图2中作一点E，使∠C＝2∠AEB．
【点拨】（1）作△ABC外接圆的圆心，则点D满足题意；设线段AB的垂直平分线交AB于点O，以点O为圆心，OD的长为半径画弧，交线段AB的垂直平分线于点D'，则点D'满足题意．
（2）延长BC，以点C为圆心，AC的长为半径画弧，交BC的延长线于点E，则点E即为所求．
【解析】解：（1）如图1，分别作线段AB，AC的垂直平分线，相交于点D，以点D为圆心，AD的长为半径画圆，
此时⊙D为△ABC的外接圆，
∴∠ADB＝2∠C，
则点D满足题意．
设线段AB的垂直平分线交AB于点O，以点O为圆心，OD的长为半径画弧，交线段AB的垂直平分线于点D'，
此时∠AD'B＝∠ADB，
则点D'满足题意．
（2）如图2，延长BC，以点C为圆心，AC的长为半径画弧，交BC的延长线于点E，
可得∠AEB＝∠CAE，
∴∠ACB＝∠AEB+∠CAE＝2∠AEB，
则点E即为所求（答案不唯一）．
【点睛】本题考查作图—复杂作图、三角形的外角性质、圆周角定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
【例2.3】（2025 文成县二模）小李和小王一起研究一个尺规作图问题：
如图1，在 ABCD中，已知BE平分∠ABC，用直尺和圆规在AB上找一点F，使得DF平分∠ADC．
小李：条件“BE平分∠ABC”多余，如图2，以点A为圆心，AD长为半径作圆弧交AB于点F，连结DF，则DF平分∠ADC．
小王：利用条件“BE平分∠ABC”，不用圆规也能找到点F，使DF平分∠ADC．
（1）请给出小李作法中DF平分∠ADC的证明．
（2）仅用无刻度直尺在图1中作出DF平分∠ADC．（保留作图痕迹，不要求写作法）
【点拨】（1）证明∠CDF＝∠ADF即可；
（2）如图，连接AC，BD交于点O，连接EO，延长EO交AB于点F，作射线DF即可．
【解析】（1）证明：在 ABCD中，AB∥/CD，
∴∠CDF＝∠AFD，
∵AD＝AF，
∴∠ADF＝∠AFD，
∴∠CDF＝∠ADF，
即DF平分∠ADC；
（2）解：图形如图所示：
【点睛】本题考查作图﹣复杂作图，平行四边形的性质，角平分线的定义，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
【例2.4】（2025 浙江模拟）如图，AD为⊙O的直径，作⊙O的内接正六边形ABCDEF，甲、乙两人的作法分别如下．
甲：（1）作OD的中垂线，交⊙O于C（左），E（右）两点；
（2）再作OA的中垂线，交⊙O于B（左），F（右）两点；
（3）连结AB，BC，CD，DE，EF，FA，六边形ABCDEF即为所求的六边形．
乙：（1）以D为圆心，OD长为半径作圆弧，交⊙O于C（左），E（右）两点；
（2）再以A为圆心，OA长为半径作圆弧，交⊙O于B（左），F（右）两点；
（3）连结AB，BC，CD，DE，EF，FA，六边形ABCDEF即为所求的六边形．
对于甲、乙两人的作法，可得到以下判断（　　）
A．甲、乙均正确 B．甲、乙均错误 C．甲正确、乙错误 D．甲错误，乙正确
【点拨】根据作图即可得到AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝FA，∠ABC＝∠BCD＝∠CDE＝∠DEF＝∠AFE＝∠FAB＝120°，进而得出六边形ABCDEF为正六边形．进而即可判断．
【解析】解：甲：由作图可知，AB＝BO＝AO，即△AOB为等边三角形，
同理可得△BOC，△COD，△DOE，△EOF，△AOF均为等边三角形，
故AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝FA，∠ABC＝∠BCD＝∠CDE＝∠DEF＝∠AFE＝∠FAB＝120°，
所以六边形ABCDEF为正六边形；
乙：由作图可得，AF＝AB＝BO＝AO，即△ABO为等边三角形，
同理可得△AOF，△COD，△DOE均为等边三角形，
故∠EOF＝∠BOC＝60°，而BO＝CO＝EO＝FO，
所以△BOC，△EOF均为等边三角形，
所以AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝FA，∠ABC＝∠BCD＝∠CDE＝∠DEF＝∠AFE＝∠FAB＝120°，
所以六边形ABCDEF为正六边形；
因此，甲、乙两人的作法均正确，
故选：A．
【点睛】此题主要考查了作图﹣复杂作图，关键是掌握垂径定理及圆周角定理，等边三角形的判定与性质等知识．
【例2.5】（2025 无锡）如图，AC为正方形ABCD的对角线．
（1）尺规作图：作AD的垂直平分线l交AD于点E，在l上确定点F，使得点F到∠BAC的两边距离相等；（不写作法，保留痕迹）
（2）在（1）的条件下，求∠EFA的度数．
（请直接写出∠EFA的度数）
【点拨】（1）由题意先作AD的垂直平分线l，再根据点F到∠BAC的两边距离相等可知点F在∠BAC的角平分线上，据此作图即可；
（2）根据角平分线的定义和三角形内角和求解即可．
【解析】解：（1）如图所示，直线l和点F即为所求；
（2）∵四边形ABCD是正方形，AC是对角线，
∴∠BAC＝∠CAD＝45°，
∵AF平分∠BAC，
∴∠BAF＝22.5°，
∴∠EAF＝67.5°，
∵直线l⊥AD，即∠AEF＝90°，
∴∠EFA＝22.5°．
【点睛】本题主要考查了尺规作图及角的计算，熟练掌握相关知识是解题的关键．
【题型三】应用与设计作图
【例3.1】（2025 杭州模拟）网格作图问题：
【问题背景】如图1，在边长为1的小正方形网格中△ABC的顶点均落在格点上，现要求用无刻度的直尺在AB上找一点Q，使得BQ＝3．
以下是小金、小帆和老师的对话：
小金：如图2，我在A点左侧找到一个点，然后将这个点和C连结，与AB的交点即为所求Q．
小帆：按照你的思路，我也可以在B点的正上方找到一个点，然后将这个点…
老师：由CB＝BQ＝3，我们可以得到△CBQ是等腰三角形，那么我们能不能利用等腰三角形，来找到点Q呢？
小金：哦…我明白了！
（1）请你按照小帆的作法，在图3中用无刻度的直尺作出点Q．（保留作图痕迹）
（2）请你按照老师的提示，在图4中用无刻度的直尺作出点Q．（保留作图痕迹）
【点拨】（1）如图3中，根据平行，构造相似比是3：2的两个三角形，取格点M，N连接MN交AB于点Q，点Q即为所求；
（2）取格点G，连接AG，取AG的中点T，连接BT，取格点E，使得CE⊥BT，CE交AB于点Q，点Q即为所求．
【解析】解：（1）如图3中，点Q即为所求；
（2）如图4中，点Q即为所求．
【点睛】本题考查作图﹣应用与设计作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
【例3.2】（2025 杭州模拟）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形：
（1）在图（1）中，画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数；
（2）在图（2）中，画一个等腰直角三角形，使它的三边长都是无理数；
（3）在图（3）中，画一个正方形，使它的面积是8．
【点拨】图（1）直角三角形，使它的三边长都是有理数三边可以分别为：3，4，5；图（2）等腰直角三角形，使它的三边长都是无理数三边可以分别为：；图（3）画一个正方形，使它的面积是8，可知边长为；根据这些分析在网格中容易画出符合条件的图形．
【解析】解：如图所示：
【点睛】此题主要考查了应用设计与作图，正确应用勾股定理逆定理是解题关键．
【例3.3】（2025 宁海县二模）图1、图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点称为格点，分别按要求在网格内画出格点图形（顶点均在格点上）．
（1）在图1中作一个以AB为腰的等腰△ABC．
（2）在图2中以AB为边画一个平行四边形ABCD．
【点拨】（1）根据等腰三角形的判定画出图形；
（2）根据平行四边形的定义画出图形．
【解析】解：（1）如图1中，△ABC即为所求（答案不唯一）；
（2）如图，四边形ABCD就是所求作的平行四边形（答案不唯一）．
【点睛】本题考查作图﹣应用与设计作图，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的性质，解题的关键是理解题意，正确画出图形．
【例3.4】（2025 吉林）图①、图②均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．△ABC内接于⊙O，且点A，B，C，O均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图．
（1）在图①中找一个格点D（点D不与点C重合）；画出∠ADB，使∠ADB＝∠ACB．
（2）在图②中找一个格点E，画出∠AEC，使∠AEC+∠ABC＝180°．
【点拨】（1）利用圆周角定理作出图形；
（2）利用圆内接四边形的性质作出图形．
【解析】解：（1）如图①中，点D即为所求（答案不唯一）；
（2）如图②中，点E即为所求（答案不唯一）．
【点睛】本题考查作图﹣一一与设计作图，圆周角定理，三角形的外接圆与外心，解题的关键是理解题意，正确作出图形．
1．（2022 舟山）用尺规作一个角的角平分线，下列作法中错误的是（　　）
A． B． C． D．
【点拨】根据各个选项中的作图，可以判断哪个选项符合题意．
【解析】解：由图可知，选项A、B、C中的线都可以作为角平分线；
选项D中的图作出的是平行四边形，不能保证角中间的线是角平分线，
故选：D．
【点睛】本题考查作图—基本作图，解答本题的关键是明确角平分线的做法，利用数形结合的思想解答．
2．（2025 杭州模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN交BC于点D，连接AD，若AC＝8，BC＝12，则△DAC的周长为（　　）
A．17 B．16 C．18 D．20
【点拨】由题意可得MN垂直且平分AB，根据垂直平分线的性质可得AD＝DB，从而可得C△ADC＝AC+BC，求解即可．
【解析】解：由条件可知AD＝DB，
∴C△ADC＝AC+AD+CD＝AC+CD+DB＝AC+BC＝20，
故选：D．
【点睛】本题考查作图，线段垂直平分线、线段垂直平分线的性质．熟练掌握以上知识点是关键．
3．（2023 衢州）如图，在△ABC中，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，AC于点D，E．分别以点D，E为圆心，大于长为半径画弧，交于∠BAC内一点F．连结AF并延长，交BC于点G．连结DG，EG．添加下列条件，不能使BG＝CG成立的是（　　）
A．AB＝AC B．AG⊥BC C．∠DGB＝∠EGC D．AG＝AC
【点拨】根据题意可知AG是三角形的角平分线，再结合选项所给的条件逐次判断能否得出BG＝CG即可．
【解析】解：根据题中所给的作图步骤可知，
AB是△ABC的角平分线，即∠BAG＝∠CAG．
当AB＝AC时，又∠BAG＝∠CAG，且AG＝AG，
所以△ABG≌△ACG（SAS），
所以BG＝CG，
故A选项不符合题意．
当AG⊥BC时，
∠AGB＝∠AGC＝90°，
又∠BAG＝∠CAG，且AG＝AG，
所以△ABG≌△ACG（ASA），
所以BG＝CG，
故B选项不符合题意．
当∠DGB＝∠EGC时，
因为∠BAG＝∠CAG，AD＝AE，AG＝AG，
所以△ADG≌△AEG（SAS），
所以∠AGD＝∠AGE，
又∠DGB＝∠EGC，
所以∠AGD+∠DGB＝∠AGE+∠EGC，
即∠AGB＝∠AGC．
又∠AGB+∠AGC＝180°，
所以∠AGB＝∠AGC＝90°，
则方法同（2）可得出BG＝CG，
故C选项不符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键．
4．（2023 湖州）如图，已知∠AOB，以点O为圆心，适当长为半径作圆弧，与角的两边分别交于C，D两点，分别以点C，D为圆心，大于长为半径作圆弧，两条圆弧交于∠AOB内一点P，连结OP，过点P作直线PE∥OA，交OB于点E，过点P作直线PF∥OB，交OA于点F．若∠AOB＝60°，OP＝6cm，则四边形PFOE的面积是（　　）
A．cm2 B．cm2 C．cm2 D．cm2
【点拨】过P作PE⊥OB于E，再判定四边形OEPF为平行四边形，再根据勾股定理求出边和高，最后求出面积．
【解析】解：过P作PB⊥OB于B，
由作图得：OP平分∠AOB，
∴∠PAB＝∠AOP＝∠AOB＝30°，
∴PB＝＝3cm，
∴OB＝＝3cm，
∵PE∥OA，PF∥OB，
∴四边形OEPF为平行四边形，∠EPO＝∠POA＝30°，
∴∠POE＝∠OPE，
∴OE＝PE，
设OE＝PE＝xcm，
在Rt△PEB中，PE2﹣BP2＝EB2，
即：x2﹣32＝（3﹣x）2，
解得：x＝2，
∴S四边形OEPF＝OE PB＝2×3＝6（cm2）．
故选：B．
【点睛】本题考查了基本作图，掌握平行四边形的判定定理，勾股定理及平行四边形的面积公式是解题的关键．
5．（2025 义乌市校级模拟）如图，依据尺规作图的痕迹，计算∠α＝（　　）
A．28° B．56° C．68° D．34°
【点拨】如图，先利用矩形的性质和平行线的性质得到∠DAC＝68°，再利用基本作图得到AE平分∠DAC，则∠EAC＝34°，利用基本作图得到EH垂直平分AC，则∠AHE＝90°，然后利用互余计算出∠AEH，最后根据对顶角相等得到∠α的度数．
【解析】解：如图，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DAC＝∠ACB＝68°，
由作法得AE平分∠DAC，
∴∠EAC＝∠DAC＝×68°＝34°，
由作法得EH垂直平分AC，
∴∠AHE＝90°，
∴∠AEH＝90°﹣34°＝56°，
∴∠α＝∠AEH＝56°．
故选：B．
【点睛】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了线段垂直平分线的性质．
6．（2022 衢州）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝36°．分别以点A，C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点D，E，作直线DE分别交AC，BC于点F，G．以G为圆心，GC长为半径画弧，交BC于点H，连结AG，AH．则下列说法错误的是（　　）
A．AG＝CG B．∠B＝2∠HAB C．△CAH≌△BAG D．BG2＝CG CB
【点拨】根据基本作图得到DE垂直平分AC，GH＝GC，再根据线段垂直平分线的性质得到AF＝CF，GF⊥AC，GC＝GA，于是可对A选项进行判断；通过证明FG为△ACH的中位线得到FG∥AH，所以AH⊥AC，则可计算出∠HAB＝18°，则∠B＝2∠HAB，于是可对B选项进行判断；计算出∠BAG＝72°，∠AGB＝72°，而△ACH为直角三角形，则根据全等三角形的判定方法可对C选项进行判断；通过证明△CAG∽△CBA，利用相似比得到CA2＝CG CB，然后利用AB＝GB＝AC可对D选项进行判断．
【解析】解：由作法得DE垂直平分AC，GH＝GC，
∴AF＝CF，GF⊥AC，GC＝GA，所以A选项不符合题意；
∵CG＝GH，CF＝AF，
∴FG为△ACH的中位线，
∴FG∥AH，
∴AH⊥AC，
∴∠CAH＝90°，
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠B＝36°，
∵∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝108°，
∴∠HAB＝108°﹣∠CAH＝18°，
∴∠B＝2∠HAB，所以B选项不符合题意；
∵GC＝GA，
∴∠GAC＝∠C＝36°，
∴∠BAG＝108°﹣∠GAC＝72°，∠AGB＝∠C+∠GAC＝72°，
∵△ACH为直角三角形，
∴△CAH与△BAG不全等，所以C选项符合题意；
∵∠GCA＝∠ACB，∠CAG＝∠B，
∴△CAG∽△CBA，
∴CG：CA＝CA：CB，
∴CA2＝CG CB，
∵∠BAG＝∠AGB＝72°，
∴AB＝GB，
而AB＝AC，
∴AC＝GB，
∴BG2＝CG CB，所以D选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了全等三角形的判定、线段垂直平分线的性质和相似三角形的判定与性质．
7．（2025 浙江模拟）如图，根据尺规作图的痕迹，下列判断错误的是（　　）
A．点O为AB，AC两条中垂线的交点 B．点O到△ABC三个顶点的距离相等
C．点O为△ABC的外接圆的圆心 D．点O到△ABC三边的距离都相等
【点拨】由作图痕迹可知，所作的两条直线分别为线段AB，AC的垂直平分线，即点O为AB，AC两条中垂线的交点，点O到△ABC三个顶点的距离相等，点O为△ABC的外接圆的圆心，
【解析】解：由作图痕迹可知，所作的两条直线分别为线段AB，AC的垂直平分线，
∴点O为AB，AC两条中垂线的交点，点O到△ABC三个顶点的距离相等，点O为△ABC的外接圆的圆心，
故A，B，C选项正确，不符合题意，D选项不正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查作图—基本作图、线段垂直平分线的性质、三角形的外接圆与外心，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
8．（2025 柯桥区二模）在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，如图是甲、乙两位同学添辅助线的作法：
甲同学：如图1，延长DE到点F，使EF＝DE，连接DC，AF，FC． 乙同学：如图2，过点E作GE∥AB，过点A作AF∥BC，GE与AF交于点F．
其中能够用来证明三角形中位线定理的是（　　）
A．甲、乙都可以 B．甲、乙都不可以 C．甲可以，乙不可以 D．甲不可以，乙可以
【点拨】根据平行四边形的判定定理和性质定理判断作法一；证明△AEF≌△CEG，根据全等三角形的性质得到AF＝CG，EF＝EG，再根据平行四边形的判定定理和性质定理判断作法二．
【解析】解：甲：∵AE＝EC，DE＝EF，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∴AD＝CF，AD∥CF，
∵AD＝BD，
∴BD＝CF，BD∥CF，
∴四边形DBCF是平行四边形，
∴DF∥BC，DF＝BC，
∴DE∥BC，DE＝DF＝BC；
乙：∵AF∥BC，
∴∠EAF＝∠C，∠F＝∠CGF，
在△AEF和△CEG中，
，
∴△AEF≌△CEG（AAS），
∴AF＝CG，EF＝EG，
∵AF∥BG，AB∥FG，
∴四边形ABGF是平行四边形，
∴AB＝FG，
∵BD＝AB，GE＝FG，
∴BD＝EG，AF＝BG，
∵BD∥EG，
∴四边形DBGE是平行四边形，
∴DE∥BG，DE＝BG＝AF＝CG，
∴DE∥BC，DE＝BC；
∴甲，乙作法都可以，
故选：A．
【点睛】本题考查的是三角形中位线定理的证明，掌握平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质是解题的关键．
9．（2025 余姚市三模）在数学课堂上，老师带领同学们用尺规“过直线l外一点C作直线l的垂线”，图①是老师画出的第一步，图②，图③分别是甲、乙两位同学补充的作图痕迹，则补充的作图痕迹正确的是（　　）
A．甲 B．乙 C．甲和乙 D．都不正确
【点拨】根据作图过程即可解决问题．
【解析】解：根据作图痕迹正确的是图②，图③，
故选：C．
【点睛】本题考查作图﹣基本作图，线段垂直平分线的性质．解决本题的关键是掌握基本作图方法．
10．（2022 丽水二模）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，要求用圆规和直尺作图，把它分成两个三角形，其中一个三角形是等腰三角形．其作法错误的是（　　）
A． B．C． D．
【点拨】A．由作法知AD＝AC，可判断A；B．由作法知所作图形是线段BC的垂直平分线，可判断B；C由作法知，所作图形是线段AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，可判断C；D．由作法知AD是∠BAC的平分线，根据角平分线的定义和等腰三角形的判定得到DB＝DA，可判断D．
【解析】解：A．由作法知AD＝AC，
∴△ACD是等腰三角形，故选项A不符合题意；
B．由作法知所作图形是线段BC的垂直平分线，
∴不能推出△ACD和△ABD是等腰三角形，故选项B符合题意；
C由作法知，所作图形是线段AB的垂直平分线，
∴DA＝DB，
∴△ABD是等腰三角形，故选项C不符合题意；
D．∠C＝90°，∠B＝30°，
∠BAC＝60°，
由作法知AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD＝30°＝∠B，
∴DB＝DA，
∴△ABD是等腰三角形，故选项D不符合题意；
故选B．
【点睛】本题主要考查了尺规作图，熟练掌握尺规作图的五个基本图形是解决问题的关键．
11．（2024 杭州一模）如图，AD∥BC，∠B＝32°，以点D为圆心，适当长为半径画弧，交AD于点M，交BD于点N．再以点N为圆心，MN长为半径画弧，两弧交于点E，连接DE．则∠ADE＝　64　 度．
【点拨】利用基本作图得到∠NDE＝∠ADB，再根据平行线的性质得到∠ADB＝∠B＝32°，然后计算∠ADB+∠NDE即可．
【解析】解：如图，
由作法得∠NDE＝∠ADB，
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠B＝32°，
∴∠ADE＝∠ADB+∠NDE＝32°+32°＝64°．
故答案为：64．
【点睛】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了平行线的性质．
12．（2025 嵊州市模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，分别以点B，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于E，F两点；再以点A为圆心，AB长为半径作弧，交直线EF于点P，连结BP，则∠BPA的度数是　22.5°或67.5°　 ．
【点拨】由题意得△ABC为等腰直角三角形，由作图过程可知，直线EF为线段BC的垂直平分线，可知直线EF经过点A，.当点P在点A上方的直线EF上时，记为P1，由题意得AP1＝AB，则∠BP1A＝∠ABP1，进而可得∠BP1A＝22.5°；当点P在点A下方的直线EF上时，记为P2，由题意得AP2＝AB，则可得∠BP2A＝∠ABP2＝＝67.5°，从而可得答案．
【解析】解：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴△ABC为等腰直角三角形．
由作图过程可知，直线EF为线段BC的垂直平分线，
∴直线EF经过点A，．
当点P在点A上方的直线EF上时，记为P1，
∴AP1＝AB，
∴∠BP1A＝∠ABP1，
∵∠BAF＝∠BP1A+∠ABP1，
∴∠BP1A＝22.5°；
当点P在点A下方的直线EF上时，记为P2，
∴AP2＝AB，
∴∠BP2A＝∠ABP2＝＝67.5°．
综上所述，∠BPA的度数是22.5°或67.5°．
故答案为：22.5°或67.5°．
【点睛】本题考查作图—基本作图、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质是解答本题的关键．
13．（2025 杭州模拟）如图，在△ABC中，∠C＝90°，，以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交BC、AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径，在MN下方画弧交于点P，连接BP，则tan∠PBA的值为　　 ．
【点拨】由作图知，BP是∠ABC的角平分线，得到∠CBP＝∠PBA，求得tan∠PBA＝tan∠CBP，设BC＝3x，AC＝4x，根据勾股定理得到AB＝＝5x，设AC，BP交于D，过D作DE⊥AB于E，得到CD＝DE，根据三角形面积公式得到CD＝x，根据三角函数的定义即可得到结论．
【解析】解：由作图知，BP是∠ABC的角平分线，
∴∠CBP＝∠PBA，
∴tan∠PBA＝tan∠CBP，
∵∠C＝90°，，
∴＝，
∴设BC＝3x，AC＝4x，
∴AB＝＝5x，
设AC，BP交于D，过D作DE⊥AB于E，
∴CD＝DE，
∴S△ABC＝AC BC＝BC CD+AB DE，
∴3x 4x＝（3x+5x） CD，
∴CD＝x，
∴tan∠PBA＝tan∠CBP＝＝＝，
故答案为：．
【点睛】本题考查了作图﹣基本作图，角平分线的性质，三角形的面积，勾股定理，解直角三角形，熟练掌握各知识点是解题的关键．
14．（2025 富阳区一模）如图，在矩形ABCD中，按以下步骤作图：①分别以点A和C为圆心，以大于AC的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线MN交CD于点E．若DE＝4，CE＝5，则矩形的对角线AC的长为　3　 ．
【点拨】利用基本作图可判断MN垂直平分AC，则AE＝CE＝5，然后利用勾股定理先计算出AD，再计算出AC．
【解析】解：由作法得MN垂直平分AC，
∴AE＝CE＝5，
在Rt△ADE中，AD＝＝3，
在Rt△ADC中，AC＝＝3．
故答案为3．
【点睛】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了矩形的性质．
15．（2023 新昌县模拟）在△ABC中，AB＝AC，分别以A，B为圆心，大于线段AB长度一半的长为半径作弧，相交于点M，N，作直线MN，交直线BC于点D，点D恰好满足CD＝AC，则∠ABC的度数是 　72°或36°　 ．
【点拨】当D点在BC的延长线上时，如图1，连接AD，设∠ABC的度数为x，利用等腰三角形的性质，由AB＝AC得到∠ACB＝∠ABC＝x，由CA＝CD得到∠CAD＝∠CDA，则利用三角形外角性质得到∠CAD＝∠CDA＝x，接着利用基本作图得MN垂直平分AB，根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质得到∠DAC＝∠ABC＝2x，然后根据三角形内角和得到2x+2x+x＝180°，于是解方程求出x，从而得到∠ABC的度数；当D点在BC边上时，如图2，利用同样方法解决问题．
【解析】解：当D点在BC的延长线上时，如图1，连接AD，设∠ABC的度数为x，
∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠ABC＝x，
∵CA＝CD，
∴∠CAD＝∠CDA，
∴∠ACB＝∠CAD+∠CDA，
∴∠CAD＝∠CDA＝x，
由作法得MN垂直平分AB，
∴DA＝DC，
∴∠DAC＝∠ABC＝2x，
在△ABD中，2x+2x+x＝180°，
解得x＝36°，
∴∠ABC＝2x＝72°；
当D点在BC边上时，如图2，连接AD，设∠ABC的度数为x，
∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠ABC＝x，
由作法得MN垂直平分AB，
∴AD＝BD
∴∠DAB＝∠ABD＝x，
∴∠ADC＝∠DAB+∠ABD＝2x，
∵CA＝CD，
∴∠CAD＝∠ADC＝2x，
在△ABC中，x+x+x+2x＝180°，
解得x＝36°，
∴∠ABC＝x＝36°；
综上所述，∠ABC的度数为72°或36°．
故答案为：72°或36°．
【点睛】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质．
16．（2024 浙江模拟）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＜BC．分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧交于D，E两点，直线DE交BC于点F，连接AF．以点A为圆心，AF为半径画弧，交BC延长线于点H，连接AH．若BC＝3，则△AFH的周长为 　6　 ．
【点拨】直接利用基本作图方法得出DE垂直平分AB，AF＝AH，再利用等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质得出AF+FC＝BF+FC＝AH+CH＝BC，即可得出答案．
【解析】解：由基本作图方法得出：DE垂直平分AB，
则AF＝BF，
可得AF＝AH，AC⊥FH，
∴FC＝CH，
∴AF+FC＝BF+FC＝AH+CH＝BC＝3，
∴△AFH的周长为：AF+FC+CH+AH＝2BC＝6．
故答案为：6．
【点睛】此题主要考查了基本作图以及等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质等知识，正确得出AF+FC＝BF+FC＝AH+CH＝BC是解题关键．
17．（2025 金华模拟）尺规作图问题：
如图1，已知∠ABC，用尺规作图方法作以BA，BC为邻边的平行四边形ABCD．
（1）如图2，根据作图痕迹，判定四边形ABCD为平行四边形的依据是什么？
（2）在图1中，请你再作一个平行四边形ABCD（方法与上题不一样，保留作图痕迹，不需要证明）．
【点拨】（1）根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形判断即可；
（2）根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形作出图形．
【解析】解：（1）如图2中，四边形ABCD是平行四边形的依据是两组对边分别的四边形是平行四边形；
（2）如图1中，四边形ABCD即为所求．
【点睛】本题考查作图﹣复杂作图，平行四边形的判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
18．（2025 浙江模拟）如图，平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于点E．
（1）尺规作图：作CF平分∠BCD交AD于点F（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）求证：四边形AECF是平行四边形．
【点拨】（1）作CF平分∠BCD交AD于点F即可；
（2）证明AE∥CF，AF∥CE即可．
【解析】（1）解：图形如图所示：
（2）证明：∵四边形ABC都是平行四边形，
∴∠BAC＝∠DCB，AD∥BC，
∵AE，CF方便平分∠BAD，∠BCD，
∴∠DAE＝∠ECF，
∵AD∥CB，
∴∠DAE＝∠AEB＝∠ECF，
∴AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形．
【点睛】本题考查作图﹣基本作图，平行四边形的判定和性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
19．（2025 温州模拟）在如图所示的方格纸中，△ABC是格点三角形，请按以下要求画格点三角形．
（1）在图1中画一个△ABD，使得△ABD和△ABC全等．
（2）在图2中画一个等腰△ABE，使得△ABE和△ABC的面积相等．
【点拨】（1）根据全等三角形的判定画出图形即可；
（2）利用等高模型解决问题即可．
【解析】解：（1）如图1中，△ABD即为所求；
（2）如图2中，△ABE即为所求．
【点睛】本题考查作图﹣应用与设计作图，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
20．（2025 衢州四模）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC．
（1）用无刻度的直尺和圆规作线段AC的中垂线，分别交边AD、BC于点E、F．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）连接AF，CE，求证：四边形AFCE为菱形．
【点拨】（1）根据线段垂直平分线的作图方法作图即可．
（2）设直线EF交AC于点O，由线段垂直平分线的性质可得AE＝CE，AF＝CF，OA＝OC．结合平行四边形的性质证明△AOE≌△COF，可得AE＝CF，即则可得AE＝CE＝AF＝CF，即四边形AFCE是菱形．
【解析】（1）解：如图，直线EF即为所求．
（2）证明：设直线EF交AC于点O，
∵直线EF为线段AC的垂直平分线，
∴AE＝CE，AF＝CF，OA＝OC．
∵AD∥BC，
∴∠AEO＝∠CFO，∠EAO＝∠FCO，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴AE＝CF，
∴AE＝CE＝AF＝CF，
∴四边形AFCE是菱形．
【点睛】本题考查作图—基本作图、线段垂直平分线的性质、平行四边形的性质、菱形的判定，熟练掌握线段垂直平分线的性质、平行四边形的性质、菱形的判定是解答本题的关键．
21．（2025 西湖区二模）老师布置了一道思考题：“尺规作图：过直线AB外一点P作这条直线的平行线．”小亮的作法如下：如图，在直线AB上任取一点C，以点C为圆心，CP的长为半径画弧交AB于点D，再分别以点P，D为圆心，CP的长为半径画弧，两弧交于点E，作直线PE，则PE∥AB．
（1）请判断小亮的作法是否正确，并说明理由．
（2）连接PD，CE，交点为O，若PC＝5，PD＝6，求点P到直线AB的距离．
【点拨】（1）证明四边形CPED是菱形即可；
（2）连接PD，CE交于点O，利用面积法求解．
【解析】解：（1）作法正确．
理由：由作图可知CP＝CD＝PE＝DE，
∴四边形CPED是菱形，
∴PE∥AB．
（2）连接PD，CE交于点O．设点P到AB的距离为h．
∵四边形CPED是菱形，
∴PD⊥CE，
∴OP＝OD＝3，OC＝OE，
∴OC＝＝＝4，
∴EC＝2OC＝8，
∵菱形CPED的面积＝ CE PD＝CD h，
∴h＝，
∴点P到AB的距离为．
【点睛】本题考查作图﹣复杂作图，点到直线的距离，菱形的判定和性质，平行线的判定，解题的关键是掌握相关知识解决问题．
22．（2025 西湖区校级三模）如图，在△ABC中，AB＝AC，且AB＞BC．
任务①：请小明作∠A的平分线AD；任务②：请小红作AC边上的高线BE；
小明的作法如图①：分别以B，C为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点M，作射线AM交BC于点D，则AD为∠A的平分线；
小红的作法如图②：以B为圆心，BC长为半径画弧，交AC于点N，再分别以N，C为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点G，作射线BG交AC于点E；则BE为AC边上的高线．
（1）判断他们的作图方法是否正确？（填“正确”或“不正确”）①小明的作法　正确　 ；②小红的作法　正确　 ；
（2）请从（1）中任选一项判断说明理由．
【点拨】（1）结合角平分线和垂线的作图方法判断即可．
（2）由小明的作法可得，BM＝CM＝AB，即可得BM＝CM＝AB＝AC，则四边形ABMC为菱形，可得∠CAD＝∠BAD，即AD为∠BAC的平分线；由小红的作法可得△BCN为等腰三角形，BE为线段CN的垂直平分线，可得BE为AC边上的高线．
【解析】解：（1）根据作图过程可知，小明的作法正确，小红的作法正确．
故答案为：①正确；②正确．
（2）①选小明（答案不唯一）．
理由：如图①，连接BM，CM，
由作图过程可知，BM＝CM＝AB，
∵AB＝AC，
∴BM＝CM＝AB＝AC，
∴四边形ABMC为菱形，
∴∠CAD＝∠BAD，
即AD为∠BAC的平分线．
【点睛】本题考查作图—基本作图、角平分线的定义、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
1．（2024 北京）下面是“作一个角使其等于∠AOB”的尺规作图方法．
（1）如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D； （2）作射线O′A′，以点O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C′；以点C′为圆心，CD长为半径画弧，两弧交于点D′； （3）过点D′作射线O′B′，则∠A′O′B′＝∠AOB．
上述方法通过判定△C′O′D′≌△COD得到∠A′O′B′＝∠AOB，其中判定△C′O′D′≌△COD的依据是（　　）
A．三边分别相等的两个三角形全等
B．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等
【点拨】由作图过程可得，OC＝OD＝O'C'＝O'D'，C'D'＝CD，结合全等三角形的判定可得答案．
【解析】解：由作图过程可得，OC＝OD＝O'C'＝O'D'，C'D'＝CD，
∴△C′O′D′≌△COD（SSS），
∴判定△C′O′D′≌△COD的依据是三边分别相等的两个三角形全等．
故选：A．
【点睛】本题考查作图—复杂作图、全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解答本题的关键．
2．（2025 哈尔滨）如图，△ABC中，AB＝AC＝10，点F为AB的中点，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，AC于点M，N，分别以点M，N为圆心，大于MN的长的一半为半径画弧，两弧交于点D，画射线AD交BC于点E，连接EF，则EF的长是（　　）
A．5 B． C．8 D．
【点拨】利用等腰三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质求解．
【解析】解：∵AB＝AC＝10，AD平分∠BAC，
∴AE⊥BC，
∵F是AB的中点，
∴EF＝AB＝5．
故选：A．
【点睛】本题考查作图﹣基本作图，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题．
3．（2025 金华模拟）如图，在△ABC中，以顶点B为圆心，适当长为半径画弧，交BA于点M，交BC于点N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在∠ABC内部交于一点P，过点P作射线BP交AC于点D，过点D作DE∥BC，交AB于点E．若∠A＝65°，∠BDC＝95°，则∠AED的度数为（　　）
A．85° B．75° C．60° D．55°
【点拨】由作图过程可知，BD为∠ABC的平分线，可得∠ABC＝2∠ABD．由题意得∠ABD＝∠BDC﹣∠A＝30°，则∠ABC＝60°，再结合平行线的性质可得∠AED＝∠ABC＝60°．
【解析】解：由作图过程可知，BD为∠ABC的平分线，
∴∠ABC＝2∠ABD．
∵∠BDC＝∠A+∠ABD，
∴∠ABD＝∠BDC﹣∠A＝95°﹣65°＝30°，
∴∠ABC＝60°．
∵DE∥BC，
∴∠AED＝∠ABC＝60°．
故选：C．
【点睛】本题考查作图—基本作图、平行线的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
4．（2025 上城区二模）如图，在△ABC中，以点A为圆心，适当长度为半径作弧，与AB，AC交于点D，E，分别以点D，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点F，作射线AF交BC于点G．以点C为圆心，AC长为半径作弧，与AB交于点H，连结CH，交AG于点M，若∠B＝34°，∠ACB＝78°，则∠AMH的度数为（　　）
A．88° B．78° C．68° D．58°
【点拨】求出∠AHC，∠MAH，再利用三角形内角和定理求解．
【解析】解：∵∠B＝34°，∠ACB＝78°，
∴∠BAC＝180°﹣34°﹣78°＝68°，
由作图可知AC＝CH，AG平分∠BAC，
∴∠AHC＝∠CAB＝68°，∠MAH＝∠CAB＝34°，
∴∠AMH＝180°﹣∠AHM﹣∠MAH＝180°﹣68°﹣34°＝78°．
故选：B．
【点睛】本题考查作图﹣基本作图，角平分线的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
5．（2025 天津）如图，CD是△ABC的角平分线．按以下步骤作图：①以点A为圆心，适当长为半径画弧，与边AB相交于点E，与边AC相交于点F；②以点B为圆心，AE长为半径画弧，与边BC相交于点G；③以点G为圆心，EF长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点H；④作射线BH，与CD相交于点M，与边AC相交于点N．则下列结论一定正确的是（　　）
A．∠ABN＝∠A B．BN⊥AC C．CM＝AD D．BM＝BD
【点拨】由作图过程可知，∠CBN＝∠BAC，由角平分线的定义可得∠ACD＝∠BCD．根据∠CAD+∠ACD+∠ADC＝180°，∠CBM+∠BCM+∠BMC＝180°，可得∠ADC＝∠BMC，进而可得∠BDM＝∠BMD，则BM＝BD，即可得出答案．
【解析】解：由作图过程可知，∠CBN＝∠BAC．
∵CD是△ABC的角平分线，
∴∠ACD＝∠BCD．
∵∠CAD+∠ACD+∠ADC＝180°，∠CBM+∠BCM+∠BMC＝180°，
∴∠ADC＝∠BMC，
∴∠BDM＝∠BMD，
∴BM＝BD，
故D选项一定正确．
故选：D．
【点睛】本题考查作图—基本作图、角平分线的定义，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
6．（2025 西宁）如图，直线l和直线l外一点A，以点A为圆心，适当的长度为半径画弧，交直线l于点M，N；分别以点M，N为圆心，线段MN的长为半径画弧，两弧交于点P（点P与点A在直线l的两侧）；作直线AP交直线l于点O，连接AM，AN，PM，PN．根据以上作图过程，有以下结论：①△AMN是等边三角形；②AP垂直平分线段MN；③PA平分∠MPN；④四边形AMPN是菱形；⑤cos∠MPN＝．其中正确结论的个数是（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【点拨】由作图可知AM＝AN，MN＝PM＝PN，判断出AP垂直平分线段MN，再根据菱形，等边三角形的判定，解直角三角形的知识一一判断即可．
【解析】解：由作图可知AM＝AN，MN＝PM＝PN，
∴PA垂直平分线段MN，故②正确，
∴PA平分MPN，故③正确，
无法判断△AMN，四边形AMPN是菱形，故①④错误．
∵PM＝PN，AP⊥MN，
∴MO＝ON，
∴cos∠MPN＝＝，故⑤正确．
故选：B．
【点睛】本题考查作图﹣复杂作图，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定和性质，菱形的判定与性质，解直角三角形等知识，解题的关键是掌握相关知识解决问题．
7．（2025 济南）如图，在△ABC中，按如下步骤作图：
①在CA和CB上分别截取CM，CN，使CM＝CN，分别以点M和N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在∠ACB内交于点O，作射线CO交AB于点D，
②分别以点C和D为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点P和Q，作直线PQ交AC于点E，交BC于点F．
根据以上作图，若AD＝4，DB＝2，，则线段AE的长为（　　）
A． B． C．5 D．
【点拨】根据作法得AD平分∠ACB，EF垂直平分CD，所以∠ECD＝∠FCD，CE＝DE，从而证明DE∥BC，可得△ADE∽△ABC，然后利用相似三角形性质可得，解比例方程即可求解．
【解析】解：连接DE，
由作法得CD平分∠ACB，
∴∠ECD＝∠FCD（角平分线的定义），
∵EF垂直平分CD，
∴CE＝DE（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等），
∴∠ECD＝∠EDC，
∴∠FCD＝∠EDC，
∴DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC
∴（相似三角形的对应边成比例），
∵AD＝4，DB＝2，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查了作图﹣复杂作图、角平分线的性质和垂直平分线的性质、相似三角形的判定和性质，证明△ADE∽△ABC是解答本题的关键．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
8．（2025 甘孜州）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°．分别以点A和B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠ADC的大小为 　60　 °．
【点拨】利用三角形内角和定理求出∠B＝30°，再证明∠B＝∠BAD＝30°，利用三角形的外角的性质求解
【解析】解：∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠C＝∠B＝＝30°，
由作图可知MN垂直平分线段AB，
∴DA＝DB，
∴∠B＝∠DAB＝30°，
∴∠ADC＝∠B+∠DAB＝60°．
故答案为：60．
【点睛】本题考查作图﹣基本作图，等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．
9．（2024 温岭市一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝100°，进行如下操作：①以点B为圆心，以小于AB长为半径作弧，分别交BA、BC于点E、F；②分别以点E、F为圆心，以大于EF长为半径作弧，两弧交于点M；③作射线BM交AC于点D，则∠BDC的度数为 　120　 °．
【点拨】先根据三角形的内角和求出∠ABC，再根据角平分线的性质及外角定理求解．
【解析】解：∵AB＝AC，∠A＝100°，
∴∠ABC＝∠C＝40°，
由作图得：BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝20°，
∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝120°，
故答案为：120．
【点睛】本题考查了复杂作图，掌握三角形的内角和定理及外角定理是解题的关键．
10．（2023 越城区模拟）如图，Rt△ABC中∠ACB＝90°，线段CO为斜边AB的中线．分别以点A和点O为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于P，Q两点，作过P、Q两点的直线恰过点C，交AB于点D，若AD＝1，则BC的长是 　2　 ．
【点拨】先利用基本作图得到CD垂直平分AO，则根据线段垂直平分线的性质得到AD＝OD＝1，CA＝CO，再根据斜边上的中线性质得到OA＝OB＝OC＝2，所以AC＝2，然后利用勾股定理计算BC的长．
【解析】解：由作法得CD垂直平分AO，
∴AD＝OD＝1，CA＝CO，
∵线段CO为斜边AB的中线，
∴OA＝OB＝OC＝2，
∴AC＝CO＝2，
在Rt△ABC中，BC＝＝＝2．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质和直角三角形斜边上的中线性质．
11．（2023 杭州二模）如图，在菱形ABCD中，按如下步骤作图：①分别以点C和点D为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点M、N；②作直线MN，且MN恰好经过点A，与CD交于点E，连接BE．若AD＝2a，则BE的长为 　a （用含a的代数式表示）．
【点拨】根据题干的步骤作图即可；由题干的作图步骤可知，此作法为作线段的垂直平分线，可知AE⊥DC，DE＝CE＝DC，即∠AED＝∠BAE＝90°，则可利用勾股定理求得AE，从而求得BE．
【解析】解：∵四边形ABCD为菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝2a，
依题意．题中作图为作DC边垂直平分线，
∴DE＝CE＝a，AE⊥DC，
在Rt△AED中，由勾股定理得：AE＝＝a，
∵AB∥DC，
∴AE⊥AB，
∴∠BAE＝90°
由勾股定理得：
BE＝＝a，
故答案为：a．
【点睛】此题主要考查垂直平分线的作法，菱形的性质，勾股定理解直角三角形，此题的关键在能根据作图步骤知道作图所表示的含义．
12．（2023 绍兴模拟）已知 Rt△ABC，其中∠ACB＝90°，分别以点A，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点D，E，以C为圆心，AC长为半径作弧，与直线DE交于点F，则∠FCB为 　150或30　 °．
【点拨】先根据题意画出图形，再根据线段的垂直平分线及垂径定理求解．
【解析】解：由作图得：DE垂直平分AC，
∴AC垂直平分FF′，
∴四边形AFCF′是菱形，
∴AF＝CF＝AC＝CF′＝AF′，
∴∠ACF＝∠ACF′＝60°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BCF＝150°，∠BCF′＝∠30°，
故答案为：150或30．
【点睛】本题考查了基本作图，掌握据线段的垂直平分线及垂径定理是解题的关键．
13．（2025 绥化）尺规作图（温馨提示：以下作图均不写作法，但需保留作图痕迹）
【初步尝试】
如图（1），用无刻度的直尺和圆规作一条经过圆心的直线OP，使扇形OMN的面积被直线OP平分．
【拓展探究】
如图（2），若扇形OMN的圆心角为30°，请你用无刻度的直尺和圆规作一条以点O为圆心的弧CD，交OM于点C，交ON于点D，使扇形OCD的面积与扇形OMN的面积比为1：4．
【点拨】（1）作OP平分∠MON即可；
（2）作线段ON的垂直平分线垂足为D，以O为圆心，OD为半径作弧交OM于点C，弧CD即为所求．
【解析】解：（1）如图，射线OP即为所求；
（2）如图2中，弧CD即为所求．
【点睛】本题考查作图﹣复杂作图，扇形的面积，线段的垂直平分线，角平分线的定义，解题的关键是理解题意，正确作出图形．
14．（2025 景宁县二模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，以B为圆心，适当长度为半径画弧分别交BA，BC于点E，F，再分别以E，F为圆心，大于的长度为半径画弧，两弧交于点P，连接BP并延长交AC于点D，过点D作DG⊥AB．
（1）若∠A＝40°，求∠ABD的度数；
（2）若，CD＝3，求AC的长．
【点拨】（1）根据直角三角形两锐角互余可得∠ABC＝50°，由作图得BD是∠ABC的平分线，即可得结论；
（2）由角平分线性质定理得DG＝DC＝3，由求出AD＝5，从而得AC＝AD+CD＝5+2＝8．
【解析】解：（1）在△ABC中，∠A＝40°，∠C＝90°，
∵∠ABC＝90°﹣∠A＝90°﹣40°＝50°，
由作图得BD是∠ABC的平分线，
∴；
（2）∵DG⊥AB，∠C＝90°，BD是∠ABC的平分线，
∴DG＝DC＝3，
∵，
∴，
∴AD＝5，
∴AC＝AD+CD＝5+3＝8．
【点睛】本题考查了作图﹣复杂作图，角平分线的性质，解直角三角形，解决本题的关键是掌握角平分线的作法和解直角三角形．
15．（2025 湖州一模）仅用一把无刻度的直尺，按以下要求分别作图，不写作法．
（1）如图1，在4×4正方形网格中，A，B是格点，请找一个格点C，连结AC，使得AC＝AB．
（2）如图2，在4×4正方形网格中，A，B是格点，请找到线段AB的中点，并用字母D表示（保留作图痕迹）．
（3）如图3，在 ABCD中，E是边BC上一点，请在边AD上找一点F，连结CF，使得四边形AECF是平行四边形（保留作图痕迹）．
【点拨】（1）利用网格直接画图即可．
（2）利用网格直接画图即可．
（3）结合平行四边形的判定，连接AC，BD相交于点O，连接EO并延长，交AD于点F，则点F即为所求．
【解析】解：（1）如图1，点C即为所求（答案不唯一）．
（2）如图2，点D即为所求．
（3）如图3，连接AC，BD相交于点O，连接EO并延长，交AD于点F，
则点F即为所求．
【点睛】本题考查作图—应用与设计作图、平行四边形的判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
16．（2025 金东区二模）如图，在4×5的正方形网格中，△ABC的顶点A，B，C都在网格的格点上．
（1）请在图1中仅用一把无刻度的直尺画出等腰△ABP（P为格点）；
（2）请在图2中仅用一把无刻度的直尺画出∠ABC的角平分线BQ，并加以证明．
【点拨】（1）勾股定理求出AB的长，进而取格点P，使BP＝AP即可；
（2）取AP的中点D，连接BD，交AC于点Q，根据三线合一，即可得到BQ平分∠ABC．
【解析】解：（1）如图，点P即为所求；
由勾股定理，得：；
∴AB＝BP，
故△ABP为等腰三角形；
（2）如图，BQ即为所求；
证明如下：
由（1）知：△ABP为等腰三角形，AB＝BP，
∵D为AP的中点，
∴BD平分∠ABP，即：BQ平分∠ABC．
【点睛】本题考查勾股定理，等腰三角形的定义，三线合一，熟练掌握等腰三角形三线合一，是解题的关键．
17．（2025 福建）如图，矩形ABCD中，AB＜AD．
（1）求作正方形EFGH，使得点E，G分别落在边AD，BC上，点F，H落在BD上；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）若AB＝2，AD＝4，求（1）中所作的正方形的边长．
【点拨】（1）作线段BD的垂直平分线，垂足为O，交AD于点E，交BC于点G，以O为圆心，OE为半径作弧交BD于点F，H，连接EF，FG，GH，HE即可；
（2）利用勾股定理求出BD，再根据tan∠ADB＝＝，求出OE可得结论．
【解析】解：（1）正方形EFGH即为所求；
（2）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，
∴BD＝＝＝2，
∴OB＝OD＝，
∵tan∠ADB＝＝，
∴OE＝，
∵四边形EFGH是正方形，
∴OE＝OH＝，EO⊥OH，
∴EH＝OE＝，
∴正方形EFGH的边长为．
【点睛】本题考查作图﹣复杂作图，勾股定理，正方形的判定和性质，矩形的性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题．
18．（2025 余姚市三模）在正三角形网格中，AB为格点线段，用无刻度直尺按要求作图．
（1）在图1中作正△ABC；
（2）在图2中作AB的垂线段DE．
【点拨】（1）取格点C，连接CA、BC即可；
（2）取格点G、F，连接GF交AB于D，再取格点E，连接DE即可．
【解析】解：（1）如图1，△ABC即为所求作；
（2）如图2，线段DE即为所求．
证明：如图，连接AE，BE，
由题意知：AF＝BG，AF∥BG，
∴四边形AFBG是平行四边形，
∴AD＝BD
由（1）知AE＝BE，
∴DE⊥AB．
【点睛】本题考查无刻度直尺作图，平行四边形的判定与性质，正三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质．利用网格特征，正确作出图形是解题的关键．
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第六章 图形的变化
6.1尺规作图
尺规作图 尺规作图 定义 在几何里，把限定用没有刻度的直尺和圆规来画图称为尺规作图．
步骤 (1)根据给出的条件和求作的图形，写出已知和求作部分。 (2)分析作图的方法和过程。 (3)用直尺和圆规进行作图。 (4)写出作法步骤，即作法。
五种基本作图 作一条线段等于已知线段 （1）已知：线段a（如图）。求作：线段AC，使AC等于a。 （2）作法：①画射线AB。②以点A为圆心，a的长为半径画弧，交AB与点C，则线段AC即为所求，如图所示。
作一个角等于已知角 （1）已知∠AOB（如图）。求作：。 （2）作法：①作射线。②以点O为圆心，适当的长为半径画弧，交OA于点C,交OB于点D。③以点为圆心，OC的长为半径画弧，交于点。④以点为圆心，CD的长为半径画弧，交前弧于点。⑤经过点作射线，即为所求，如图所示。
作已知角的平分线 （1）已知∠AOB（如图）。求作：∠AOB的平分线。 （2）作法：①以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点N，交OB于点M。②分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C。③连接OC，射线OC即为所求。
作一条线段的垂直平分线 （1）已知线段AB（如图）。求作：线段AB的垂直平分线。 （2）作法：①分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点C和点D。②作直线CD，直线CD就是线段AB的垂直平分线，如图所示。
过一点作已知直线的垂线 1.经过直线上一点作已知直线的垂线 （1）已知直线l和l上的一点C（如图）。求作：l的垂线，使它经过点C。 （2）作法：①以C为圆心,适当长为半径画弧，交l于点A、B。②分别以A,B两点为圆心，大于的长为半径画弧，交于点D。③连接CD,直线CD就是所求作的垂线，如图所示。 2.经过直线外一点作已知直线的垂线 （1）已知直线l和l外的一点C（如图）。求作：l的垂线，使它经过点C。 （2）作法：①以C为圆心,适当长为半径画弧，交l于点A、B。②分别以A,B两点为圆心，大于的长为半径在直线另一侧画弧，交于点D。③连接CD,直线CD就是所求作的垂线，如图所示。
复杂作图 利用基本作图作三角形 （1）已知三边作三角形； （2）已知两边及其夹角作三角形； （3）已知两角及其夹边作三角形； （4）已知底边及底边上的高作等腰三角形； （5）已知一直角边和斜边作直角三角形。
与圆有关的尺规作图 （1）过不在同一直线上的三点作圆(即三角形的外接圆） （2）作三角形的内切圆（圆心为三角形角平分线的交点） （3）已知圆外一点P作圆的两条切线 （4）作圆内接正方形，正六边形，了解圆正五边形
【题型一】基本作图
【例1.1】（2025 普陀区三模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，点N，再分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，射线AP与BC交于点D，DE⊥AB，垂足为E．若CD＝2，则DE＝（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【例1.2】（2024 金东区二模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，用直尺和圆规在边BC上确定一点P，使点P到边AC、AB的距离相等，则符合要求的作图痕迹是（　　）
A． B． C． D．
【例1.3】（2025 吉林）如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠A＞∠ACB＞∠B，尺规作图操作如下：（1）以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交边BA，BC于点M，N；（2）以点C为圆心，BN长为半径画弧，交边CB于点N′；再以点N′为圆心，MN长为半径画弧，与前一条以点C为圆心的弧相交于三角形内部的点M′；（3）过点M′画射线CM′交边AB于点D．下列结论错误的为（　　）
A．∠B＝∠DCB B．∠BDC＝90° C．DB＝DC D．AD+DC＝BC
【例1.4】（2025 浙江模拟）如图，在矩形ABCD中，依据尺规作图的痕迹，则∠ACB的度数是 　　 ．
【例1.5】（2025 富阳区二模）尺规作图问题：
已知△ABC，∠ABC是钝角，AB＞BC，请用尺规作AC的中点P．
小聪：如图1，以点A为圆心，BC长为半径作弧，以点C为圆心，AB长为半径作弧，两弧相交于点Q，连结BQ交AC于点P，则点P为AC的中点．
小明：如图2，作AB的中垂线，垂足为点M，作BC的中垂线，垂足为点N，以点M为圆心，BN为半径作弧，交AC边于点P，则点P为AC的中点．
小聪：小明，你的作法有问题．
小明：哦…我明白了．
（1）证明：小聪的作法是正确的．
（2）指出小明作法中存在的问题．
【题型二】复杂作图
【例2.1】（2025 黄岩区二模）在等腰△ABC中，AB＝AC，点D是AB的中点，要求用尺规作图的方法在BC上找一点E，连结DE，使得，现有甲、乙、丙三位同学的做法如下：
（1）①做法正确的同学有 　　 ；
②请选择你认为正确的一种做法给出证明；
（2）用尺规作图（图丁）的方法画出一种不同于以上三位同学的画法．
【例2.2】（2025 浙江模拟）请用不带刻度的直尺和圆规作出符合要求的点（不写作法，保留作图痕迹）．
（1）在图1中作一点D，使∠ADB＝2∠C．
（2）在图2中作一点E，使∠C＝2∠AEB．
【例2.3】（2025 文成县二模）小李和小王一起研究一个尺规作图问题：
如图1，在 ABCD中，已知BE平分∠ABC，用直尺和圆规在AB上找一点F，使得DF平分∠ADC．
小李：条件“BE平分∠ABC”多余，如图2，以点A为圆心，AD长为半径作圆弧交AB于点F，连结DF，则DF平分∠ADC．
小王：利用条件“BE平分∠ABC”，不用圆规也能找到点F，使DF平分∠ADC．
（1）请给出小李作法中DF平分∠ADC的证明．
（2）仅用无刻度直尺在图1中作出DF平分∠ADC．（保留作图痕迹，不要求写作法）
【例2.4】（2025 浙江模拟）如图，AD为⊙O的直径，作⊙O的内接正六边形ABCDEF，甲、乙两人的作法分别如下．
甲：（1）作OD的中垂线，交⊙O于C（左），E（右）两点；
（2）再作OA的中垂线，交⊙O于B（左），F（右）两点；
（3）连结AB，BC，CD，DE，EF，FA，六边形ABCDEF即为所求的六边形．
乙：（1）以D为圆心，OD长为半径作圆弧，交⊙O于C（左），E（右）两点；
（2）再以A为圆心，OA长为半径作圆弧，交⊙O于B（左），F（右）两点；
（3）连结AB，BC，CD，DE，EF，FA，六边形ABCDEF即为所求的六边形．
对于甲、乙两人的作法，可得到以下判断（　　）
A．甲、乙均正确 B．甲、乙均错误 C．甲正确、乙错误 D．甲错误，乙正确
【例2.5】（2025 无锡）如图，AC为正方形ABCD的对角线．
（1）尺规作图：作AD的垂直平分线l交AD于点E，在l上确定点F，使得点F到∠BAC的两边距离相等；（不写作法，保留痕迹）
（2）在（1）的条件下，求∠EFA的度数．
（请直接写出∠EFA的度数）
【题型三】应用与设计作图
【例3.1】（2025 杭州模拟）网格作图问题：
【问题背景】如图1，在边长为1的小正方形网格中△ABC的顶点均落在格点上，现要求用无刻度的直尺在AB上找一点Q，使得BQ＝3．
以下是小金、小帆和老师的对话：
小金：如图2，我在A点左侧找到一个点，然后将这个点和C连结，与AB的交点即为所求Q．
小帆：按照你的思路，我也可以在B点的正上方找到一个点，然后将这个点…
老师：由CB＝BQ＝3，我们可以得到△CBQ是等腰三角形，那么我们能不能利用等腰三角形，来找到点Q呢？
小金：哦…我明白了！
（1）请你按照小帆的作法，在图3中用无刻度的直尺作出点Q．（保留作图痕迹）
（2）请你按照老师的提示，在图4中用无刻度的直尺作出点Q．（保留作图痕迹）
【例3.2】（2025 杭州模拟）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形：
（1）在图（1）中，画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数；
（2）在图（2）中，画一个等腰直角三角形，使它的三边长都是无理数；
（3）在图（3）中，画一个正方形，使它的面积是8．
【例3.3】（2025 宁海县二模）图1、图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点称为格点，分别按要求在网格内画出格点图形（顶点均在格点上）．
（1）在图1中作一个以AB为腰的等腰△ABC．
（2）在图2中以AB为边画一个平行四边形ABCD．
【例3.4】（2025 吉林）图①、图②均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．△ABC内接于⊙O，且点A，B，C，O均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图．
（1）在图①中找一个格点D（点D不与点C重合）；画出∠ADB，使∠ADB＝∠ACB．
（2）在图②中找一个格点E，画出∠AEC，使∠AEC+∠ABC＝180°．
1．（2022 舟山）用尺规作一个角的角平分线，下列作法中错误的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025 杭州模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN交BC于点D，连接AD，若AC＝8，BC＝12，则△DAC的周长为（　　）
A．17 B．16 C．18 D．20
3．（2023 衢州）如图，在△ABC中，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，AC于点D，E．分别以点D，E为圆心，大于长为半径画弧，交于∠BAC内一点F．连结AF并延长，交BC于点G．连结DG，EG．添加下列条件，不能使BG＝CG成立的是（　　）
A．AB＝AC B．AG⊥BC C．∠DGB＝∠EGC D．AG＝AC
4．（2023 湖州）如图，已知∠AOB，以点O为圆心，适当长为半径作圆弧，与角的两边分别交于C，D两点，分别以点C，D为圆心，大于长为半径作圆弧，两条圆弧交于∠AOB内一点P，连结OP，过点P作直线PE∥OA，交OB于点E，过点P作直线PF∥OB，交OA于点F．若∠AOB＝60°，OP＝6cm，则四边形PFOE的面积是（　　）
A．cm2 B．cm2 C．cm2 D．cm2
5．（2025 义乌市校级模拟）如图，依据尺规作图的痕迹，计算∠α＝（　　）
A．28° B．56° C．68° D．34°
6．（2022 衢州）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝36°．分别以点A，C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点D，E，作直线DE分别交AC，BC于点F，G．以G为圆心，GC长为半径画弧，交BC于点H，连结AG，AH．则下列说法错误的是（　　）
A．AG＝CG B．∠B＝2∠HAB C．△CAH≌△BAG D．BG2＝CG CB
7．（2025 浙江模拟）如图，根据尺规作图的痕迹，下列判断错误的是（　　）
A．点O为AB，AC两条中垂线的交点 B．点O到△ABC三个顶点的距离相等
C．点O为△ABC的外接圆的圆心 D．点O到△ABC三边的距离都相等
8．（2025 柯桥区二模）在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，如图是甲、乙两位同学添辅助线的作法：
甲同学：如图1，延长DE到点F，使EF＝DE，连接DC，AF，FC． 乙同学：如图2，过点E作GE∥AB，过点A作AF∥BC，GE与AF交于点F．
其中能够用来证明三角形中位线定理的是（　　）
A．甲、乙都可以 B．甲、乙都不可以 C．甲可以，乙不可以 D．甲不可以，乙可以
9．（2025 余姚市三模）在数学课堂上，老师带领同学们用尺规“过直线l外一点C作直线l的垂线”，图①是老师画出的第一步，图②，图③分别是甲、乙两位同学补充的作图痕迹，则补充的作图痕迹正确的是（　　）
A．甲 B．乙 C．甲和乙 D．都不正确
10．（2022 丽水二模）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，要求用圆规和直尺作图，把它分成两个三角形，其中一个三角形是等腰三角形．其作法错误的是（　　）
A． B．C． D．
11．（2024 杭州一模）如图，AD∥BC，∠B＝32°，以点D为圆心，适当长为半径画弧，交AD于点M，交BD于点N．再以点N为圆心，MN长为半径画弧，两弧交于点E，连接DE．则∠ADE＝　　 度．
12．（2025 嵊州市模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，分别以点B，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于E，F两点；再以点A为圆心，AB长为半径作弧，交直线EF于点P，连结BP，则∠BPA的度数是　 　 ．
13．（2025 杭州模拟）如图，在△ABC中，∠C＝90°，，以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交BC、AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径，在MN下方画弧交于点P，连接BP，则tan∠PBA的值为　　 ．
14．（2025 富阳区一模）如图，在矩形ABCD中，按以下步骤作图：①分别以点A和C为圆心，以大于AC的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线MN交CD于点E．若DE＝4，CE＝5，则矩形的对角线AC的长为　　 ．
15．（2023 新昌县模拟）在△ABC中，AB＝AC，分别以A，B为圆心，大于线段AB长度一半的长为半径作弧，相交于点M，N，作直线MN，交直线BC于点D，点D恰好满足CD＝AC，则∠ABC的度数是 　　 ．
16．（2024 浙江模拟）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＜BC．分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧交于D，E两点，直线DE交BC于点F，连接AF．以点A为圆心，AF为半径画弧，交BC延长线于点H，连接AH．若BC＝3，则△AFH的周长为 　　 ．
17．（2025 金华模拟）尺规作图问题：
如图1，已知∠ABC，用尺规作图方法作以BA，BC为邻边的平行四边形ABCD．
（1）如图2，根据作图痕迹，判定四边形ABCD为平行四边形的依据是什么？
（2）在图1中，请你再作一个平行四边形ABCD（方法与上题不一样，保留作图痕迹，不需要证明）．
18．（2025 浙江模拟）如图，平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于点E．
（1）尺规作图：作CF平分∠BCD交AD于点F（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）求证：四边形AECF是平行四边形．
19．（2025 温州模拟）在如图所示的方格纸中，△ABC是格点三角形，请按以下要求画格点三角形．
（1）在图1中画一个△ABD，使得△ABD和△ABC全等．
（2）在图2中画一个等腰△ABE，使得△ABE和△ABC的面积相等．
20．（2025 衢州四模）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC．
（1）用无刻度的直尺和圆规作线段AC的中垂线，分别交边AD、BC于点E、F．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）连接AF，CE，求证：四边形AFCE为菱形．
21．（2025 西湖区二模）老师布置了一道思考题：“尺规作图：过直线AB外一点P作这条直线的平行线．”小亮的作法如下：如图，在直线AB上任取一点C，以点C为圆心，CP的长为半径画弧交AB于点D，再分别以点P，D为圆心，CP的长为半径画弧，两弧交于点E，作直线PE，则PE∥AB．
（1）请判断小亮的作法是否正确，并说明理由．
（2）连接PD，CE，交点为O，若PC＝5，PD＝6，求点P到直线AB的距离．
22．（2025 西湖区校级三模）如图，在△ABC中，AB＝AC，且AB＞BC．
任务①：请小明作∠A的平分线AD；任务②：请小红作AC边上的高线BE；
小明的作法如图①：分别以B，C为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点M，作射线AM交BC于点D，则AD为∠A的平分线；
小红的作法如图②：以B为圆心，BC长为半径画弧，交AC于点N，再分别以N，C为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点G，作射线BG交AC于点E；则BE为AC边上的高线．
（1）判断他们的作图方法是否正确？（填“正确”或“不正确”）①小明的作法　　 ；②小红的作法　　 ；
（2）请从（1）中任选一项判断说明理由．
1．（2024 北京）下面是“作一个角使其等于∠AOB”的尺规作图方法．
（1）如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D； （2）作射线O′A′，以点O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C′；以点C′为圆心，CD长为半径画弧，两弧交于点D′； （3）过点D′作射线O′B′，则∠A′O′B′＝∠AOB．
上述方法通过判定△C′O′D′≌△COD得到∠A′O′B′＝∠AOB，其中判定△C′O′D′≌△COD的依据是（　　）
A．三边分别相等的两个三角形全等
B．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等
2．（2025 哈尔滨）如图，△ABC中，AB＝AC＝10，点F为AB的中点，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，AC于点M，N，分别以点M，N为圆心，大于MN的长的一半为半径画弧，两弧交于点D，画射线AD交BC于点E，连接EF，则EF的长是（　　）
A．5 B． C．8 D．
3．（2025 金华模拟）如图，在△ABC中，以顶点B为圆心，适当长为半径画弧，交BA于点M，交BC于点N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在∠ABC内部交于一点P，过点P作射线BP交AC于点D，过点D作DE∥BC，交AB于点E．若∠A＝65°，∠BDC＝95°，则∠AED的度数为（　　）
A．85° B．75° C．60° D．55°
4．（2025 上城区二模）如图，在△ABC中，以点A为圆心，适当长度为半径作弧，与AB，AC交于点D，E，分别以点D，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点F，作射线AF交BC于点G．以点C为圆心，AC长为半径作弧，与AB交于点H，连结CH，交AG于点M，若∠B＝34°，∠ACB＝78°，则∠AMH的度数为（　　）
A．88° B．78° C．68° D．58°
5．（2025 天津）如图，CD是△ABC的角平分线．按以下步骤作图：①以点A为圆心，适当长为半径画弧，与边AB相交于点E，与边AC相交于点F；②以点B为圆心，AE长为半径画弧，与边BC相交于点G；③以点G为圆心，EF长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点H；④作射线BH，与CD相交于点M，与边AC相交于点N．则下列结论一定正确的是（　　）
A．∠ABN＝∠A B．BN⊥AC C．CM＝AD D．BM＝BD
6．（2025 西宁）如图，直线l和直线l外一点A，以点A为圆心，适当的长度为半径画弧，交直线l于点M，N；分别以点M，N为圆心，线段MN的长为半径画弧，两弧交于点P（点P与点A在直线l的两侧）；作直线AP交直线l于点O，连接AM，AN，PM，PN．根据以上作图过程，有以下结论：①△AMN是等边三角形；②AP垂直平分线段MN；③PA平分∠MPN；④四边形AMPN是菱形；⑤cos∠MPN＝．其中正确结论的个数是（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
7．（2025 济南）如图，在△ABC中，按如下步骤作图：
①在CA和CB上分别截取CM，CN，使CM＝CN，分别以点M和N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在∠ACB内交于点O，作射线CO交AB于点D，
②分别以点C和D为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点P和Q，作直线PQ交AC于点E，交BC于点F．
根据以上作图，若AD＝4，DB＝2，，则线段AE的长为（　　）
A． B． C．5 D．
8．（2025 甘孜州）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°．分别以点A和B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠ADC的大小为 　　 °．
9．（2024 温岭市一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝100°，进行如下操作：①以点B为圆心，以小于AB长为半径作弧，分别交BA、BC于点E、F；②分别以点E、F为圆心，以大于EF长为半径作弧，两弧交于点M；③作射线BM交AC于点D，则∠BDC的度数为 　　 °．
10．（2023 越城区模拟）如图，Rt△ABC中∠ACB＝90°，线段CO为斜边AB的中线．分别以点A和点O为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于P，Q两点，作过P、Q两点的直线恰过点C，交AB于点D，若AD＝1，则BC的长是 　 　 ．
11．（2023 杭州二模）如图，在菱形ABCD中，按如下步骤作图：①分别以点C和点D为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点M、N；②作直线MN，且MN恰好经过点A，与CD交于点E，连接BE．若AD＝2a，则BE的长为 　 （用含a的代数式表示）．
12．（2023 绍兴模拟）已知 Rt△ABC，其中∠ACB＝90°，分别以点A，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点D，E，以C为圆心，AC长为半径作弧，与直线DE交于点F，则∠FCB为 　　 °．
13．（2025 绥化）尺规作图（温馨提示：以下作图均不写作法，但需保留作图痕迹）
【初步尝试】
如图（1），用无刻度的直尺和圆规作一条经过圆心的直线OP，使扇形OMN的面积被直线OP平分．
【拓展探究】
如图（2），若扇形OMN的圆心角为30°，请你用无刻度的直尺和圆规作一条以点O为圆心的弧CD，交OM于点C，交ON于点D，使扇形OCD的面积与扇形OMN的面积比为1：4．
14．（2025 景宁县二模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，以B为圆心，适当长度为半径画弧分别交BA，BC于点E，F，再分别以E，F为圆心，大于的长度为半径画弧，两弧交于点P，连接BP并延长交AC于点D，过点D作DG⊥AB．
（1）若∠A＝40°，求∠ABD的度数；
（2）若，CD＝3，求AC的长．
15．（2025 湖州一模）仅用一把无刻度的直尺，按以下要求分别作图，不写作法．
（1）如图1，在4×4正方形网格中，A，B是格点，请找一个格点C，连结AC，使得AC＝AB．
（2）如图2，在4×4正方形网格中，A，B是格点，请找到线段AB的中点，并用字母D表示（保留作图痕迹）．
（3）如图3，在 ABCD中，E是边BC上一点，请在边AD上找一点F，连结CF，使得四边形AECF是平行四边形（保留作图痕迹）．
16．（2025 金东区二模）如图，在4×5的正方形网格中，△ABC的顶点A，B，C都在网格的格点上．
（1）请在图1中仅用一把无刻度的直尺画出等腰△ABP（P为格点）；
（2）请在图2中仅用一把无刻度的直尺画出∠ABC的角平分线BQ，并加以证明．
17．（2025 福建）如图，矩形ABCD中，AB＜AD．
（1）求作正方形EFGH，使得点E，G分别落在边AD，BC上，点F，H落在BD上；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）若AB＝2，AD＝4，求（1）中所作的正方形的边长．
18．（2025 余姚市三模）在正三角形网格中，AB为格点线段，用无刻度直尺按要求作图．
（1）在图1中作正△ABC；
（2）在图2中作AB的垂线段DE．
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