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第8章　整式乘法
8.2　单项式乘多项式
初中数学苏科版（2024）七年级下册
学习目标
1.学会利用乘法分配律将单项式乘多项式转化成单项式乘单项式，熟练计算单项式乘多项式.(重点、难点)
2.经历探索单项式乘多项式法则的过程，发展有条理的思考及语言表达能力.
课堂引入
1.乘法交换律：　　　　；
乘法结合律：　　　　；
乘法分配律：　　　　.
2.计算下列各式：
(1)a；
(2)3x.
一、
单项式乘多项式
问题　计算下列各式，并说明理由：
(1)a·(5a＋3b)；
提示　a·(5a＋3b)
＝a·5a＋a·3b
＝5a2＋3ab.
(2)(x－2y)·2x.
提示　(x－2y)·2x
＝x·2x＋(－2y)·2x
＝2x2－4xy.
知识梳理
由乘法分配律可以得到单项式乘多项式的法则：
单项式与多项式相乘，先用单项式乘多项式的　　　　，再把所得的积
　　　.
注意点：(1)分清多项式的各项，各项必须带好符号.
(2)为避免符号出错，所得结果应先用加号连接，再进行化简.
每一项
相加
例1　(课本P32例1)计算：
(1)(－3x2)·(4x－3)；
解　(－3x2)·(4x－3)
＝(－3x2)·4x＋(－3x2)·(－3)
＝－12x3＋9x2.
例1　(课本P32例1)计算：
(2)·ab.
解　·ab
＝ab2·ab＋(－3ab)·ab
＝a2b3－a2b2.
跟踪训练1　(课本P33练习第1题(1)(3))
(1)(b＋c－13)·a；
解　(b＋c－13)·a
＝b·a＋c·a＋(－13)·a
＝ab＋ac－13a.
跟踪训练1　(课本P33练习第1题(1)(3))
(2)－x3y2·(4y＋8xy3).
解　－x3y2·(4y＋8xy3)
＝·4y＋·8xy3
＝－2x3y3－4x4y5.
二、
单项式乘多项式的应用
例2　(课本P32例2)如图，在长方形地块上建造住宅、广场、商场，计算这块地的面积.
解　长方形地块的长为(3a＋2b)＋(2a－b)、宽为4a，这块地的面积为
4a·[(3a＋2b)＋(2a－b)]
＝4a·(5a＋b)
＝4a·5a＋4a·b
＝20a2＋4ab.
所以这块地的面积为20a2＋4ab.
跟踪训练2　如图，小明家有一块长方形土地用来建造卧室、客厅和厨房.客厅用地是长为(4a＋2b)米，宽为3a米的长方形，卧室用地是长为2a米，宽为(3a－b)米的长方形.
(1)这块土地的总面积是多少平方米？
解　由图可知，厨房长为(3a－b)米，宽为3a－2a＝a(米)，这块土地的总面积为
(4a＋2b)3a＋2a(3a－b)＋a(3a－b)
＝4a·3a＋2b·3a＋2a·3a＋2a·(－b)＋a·3a＋a·(－b)
＝12a2＋6ab＋6a2－2ab＋3a2－ab
＝平方米，
所以这块土地的总面积是平方米.
跟踪训练2　如图，小明家有一块长方形土地用来建造卧室、客厅和厨房.客厅用地是长为(4a＋2b)米，宽为3a米的长方形，卧室用地是长为2a米，宽为(3a－b)米的长方形.
(2)求当a＝2，b＝4时，厨房的用地面积.
解　当a＝2，b＝4时，厨房用地面积为
a(3a－b)＝2×(3×2－4)＝4(平方米).
所以厨房的用地面积为4平方米.
三、
拓展
例3　已知x2y＝3，求2xy(x5y2－3x3y－4x)的值.
解　2xy (x5y2－3x3y－4x)
＝2xy·x5y2＋2xy·(－3x3y)＋2xy·(－4x)
＝2x6y3－6x4y2－8x2y.
当x2y＝3时，原式＝2(x2y)3－6(x2y)2－8x2y
＝2×33－6×32－8×3
＝－24.
反思感悟
整体思想，将x2y＝3整体代入.
跟踪训练3　已知ab＝3，求(2a3b2－3a2b＋4a)·(－2b)的值.
解　(2a3b2－3a2b＋4a)·(－2b)
＝2a3b2·(－2b)＋(－3a2b)·(－2b)＋4a·(－2b)
＝－4a3b3＋6a2b2－8ab.
当ab＝3时，原式＝－4a3b3＋6a2b2－8ab
＝－4(ab)3＋6(ab)2－8ab
＝－4×33＋6×32－8×3
＝－108＋54－24
＝－78.
1.计算：3a等于
A.3a2b3＋2ab2 B.3a3b3＋6ab2
C.3a3b3＋2ab2 D.3a3b3＋6a2b2
√
解析　3a
＝3a3b3＋6a2b2.
课堂练习
2.如图，由图形的面积关系能够直观说明的代数恒等式是
A.＝4a2
B.＝a2－2ab＋b2
C.2a＝2a2＋2ab
D.2a＝4a2＋2ab
√
解析　大长方形的一边长为，另一边长为2a，则长方形的面积为2a，
大长方形的面积又等于内部两个小正方形和两个小长方形的面积和，即2a2＋2ab，
故2a＝2a2＋2ab.
课堂练习
3.计算：(1)x·x3＝　　；(2)＝　　　；(3)2x·＝　　　　；(4)x2＝　　　　.
x4
9x2
－10x3
x3＋x2
课堂练习
4.一个零件的形状如图所示，则图中阴影部分的面积为　　　　　　 .
6a2＋2ab＋3b2
解析　阴影两侧长方形的面积为2·3a·a＝6a2，
阴影最下面的长方形面积为b·＝2ab＋3b2，
所以图中阴影部分的面积为6a2＋2ab＋3b2.
课堂练习
5.先化简，再求值：x2－x，其中x＝－1.
解　x2－x
＝x3－x2－x3－x2＋x
＝－2x2＋x，
当x＝－1时，原式＝－2×－1＝－3.
课堂练习
1.已知一个多项式与单项式－7x5y4的积为21x5y7－14x7y4＋，求该多项式.
迁移拓展
解　因为一个多项式与单项式－7x5y4的积为21x5y7－14x7y4＋(2x3y2)2，
所以该多项式为
[21x5y7－14x7y4＋(2x3y2)2]÷(－7x5y4)
＝－3y3＋2x2－x.
2.(1)x2y＝3，求2xy(x5y2－3x3y－4x)的值；
迁移拓展
解　因为x2y＝3，所以2xy·(x5y2－3x3y－4x)＝2x6y3－6x4y2－8x2y＝2(x2y)3－6(x2y)2－8x2y＝2×33－6×32－8×3＝－24.
(2)已知ab＝3，求(2a3b2－3a2b＋4a)·(－2b)的值.
解　因为ab＝3，所以(2a3b2－3a2b＋4a)·(－2b)＝－4a3b3＋6a2b2－8ab
＝－4×(ab)3＋6(ab)2－8ab＝－4×33＋6×32－8×3＝－108＋54－24＝
－78.
3.当m，n为何值时，x[x(x＋m)＋nx(x＋1)＋m]的展开式中，不含有x2和x3的项？
迁移拓展
解　x[x(x＋m)＋nx(x＋1)＋m]
＝x(x2＋mx＋nx2＋nx＋m)
＝(1＋n)x3＋(m＋n)x2＋mx.
因为展开式中不含x2项和x3项，
所以1＋n＝0，m＋n＝0，解得n＝－1，m＝1.
[运算性质]
单项式与多项式相乘，先用单项式乘多项式的每一项，再把所得的
积相加.
[注意点]
①单项式乘多项式实质上是转化为单项式乘单项式去解决的；
②用单项式去乘多项式中的每一项时，不能漏乘.
课堂总结
谢谢观看

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