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(共34张PPT)
第8章　整式乘法
8.3　多项式乘多项式
初中数学苏科版（2024）七年级下册
学习目标
1.理解多项式乘多项式的法则，会进行多项式乘多项式的运算.
(重点)
2.学会利用单项式乘多项式的法则来推导多项式乘多项式的法则，感悟数与形的关系，体验转化思想.(难点)
课堂引入
由单项式乘多项式法则m＝mc＋md，把m换成，你能计算吗？
一、
多项式乘多项式
知识梳理
一般地，对于任意的a，b，c，d，可以得到
在乘法分配律和单项式乘多项式法则的基础上，我们可以得到多项式乘多项式的法则：
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积　　　　.
注意点：1.运用法则进行计算时不能“漏项”.2.每一项都要包括前面的符号进行相乘.3.运算的结果一般按某一字母的降幂或升幂排列.
相加
例1　(课本P35例1)计算：
(1)(x＋2)(x－3)；
解　(x＋2)(x－3)
＝x(x－3)＋2(x－3)
＝x·x＋x·(－3)＋2·x＋2×(－3)
＝x2－3x＋2x－6
＝x2－x－6.
例1　(课本P35例1)计算：
(2)(－3x＋1)(x－2).
解　(－3x＋1)(x－2)
＝－3x·x＋(－3x)·(－2)＋1·x＋1×(－2)
＝－3x2＋6x＋x－2
＝－3x2＋7x－2.
跟踪训练1　计算：
(1)；
解　
＝a·a＋a·(－b)＋2b·a＋2b·(－b)
＝a2－ab＋2ab－2b2
＝a2＋ab－2b2.
跟踪训练1　计算：
(2)(2a＋b)(a－3b).
解　(2a＋b)(a－3b)
＝2a·a＋2a·(－3b)＋b·a＋b·(－3b)
＝2a2－6ab＋ab－3b2
＝2a2－5ab－3b2.
例2　(课本P35例2)计算：
(1)(3m＋n)(m－2n)；
解　(3m＋n)(m－2n)
＝3m2－6mn＋mn－2n2
＝3m2－5mn－2n2.
例2　(课本P35例2)计算：
(2)n(n＋1)(n＋2).
解　n(n＋1)(n＋2)
＝(n2＋n)(n＋2)
＝n3＋2n2＋n2＋2n
＝n3＋3n2＋2n.
跟踪训练2　(1)；
解　原式＝－3x·4x－3x·2y－2y·4x－2y·2y
＝－12x2－6xy－8xy－4y2
＝－12x2－14xy－4y2.
(2)n(n－2)(n＋2).
解　原式＝n[n·n＋n·2＋(－2)·n＋(－2)×2]
＝n(n2－4)
＝n3－4n.
二、
多项式乘多项式——化简求值
例3　先化简，再求值：(3x－2)(x＋1)－x(2x＋1)，其中x＝2.
解　－x
＝
＝3x2＋x－2－2x2－x
＝x2－2，
当x＝2时，原式＝22－2＝2.
跟踪训练3　先化简，再求值：2x，其中x＝－.
解　2x
＝2x－6x2＋6x2＋9x－8x－12
＝3x－12，
当x＝－时，
原式＝－×3－12＝－1－12＝－13.
1.计算(x－4)(x＋1)的结果是
A.x2－3x＋4 B.x2－3x－4
C.x2＋3x＋4 D.x2＋3x－4
√
解析　(x－4)(x＋1)＝x2＋x－4x－4＝x2－3x－4.
课堂练习
2.一块矩形的田地被分割成了四个小矩形播种不同的农作物，它们的边长如图所示，则大矩形的面积表示错误的是
A.(x＋y)(a＋b)
B.a(x＋y)＋b(x＋y)
C.(x＋a)(y＋b)
D.xa＋ya＋xb＋yb
√
课堂练习
解析　A项，利用“长×宽”，即可求出大矩形的面积为(x＋y)(a＋b)，故不符合题意；
B项，大矩形面积＝两个矩形面积之和＝a(x＋y)＋b(x＋y)，故不符合题意；
C项，(x＋a)(y＋b)不能表示大矩形的面积，故符合题意；
D项，大矩形面积＝四个矩形面积之和＝xa＋ya＋xb＋yb，故不符合题意.
课堂练习
3.计算：＝　　　　　　.
x2－2y2
解析　
＝x2－xy＋xy－2y2
＝x2－2y2.
课堂练习
4.若m－n＝1，mn＝2，则(m－2)(n＋2)＝　　　.
0
解析　因为m－n＝1，mn＝2，
所以(m－2)(n＋2)
＝mn＋2m－2n－4
＝mn＋2(m－n)－4
＝2＋2－4
＝0.
课堂练习
5.计算：
(1)；
解　
＝x3－3x2＋4x－12.
课堂练习
5.计算：
(2)；
解　
＝3x3－xy－2y2＋6x2y.
课堂练习
5.计算：
(3)；
解　
＝2x2＋3xy＋6xy＋9y2
＝2x2＋9xy＋9y2.
课堂练习
5.计算：
(4).
解　
＝x3－x2＋x＋x2－x＋1
＝x3＋1.
课堂练习
1.观察以下等式：
(x＋1)(x2－x＋1)＝x3＋1；(x＋3)(x2－3x＋9)＝x3＋27；(x＋6)(x2－6x＋36)＝x3＋216…
(1)按以上等式的规律，填空：(a＋b)(　　　)＝a3＋b3；
迁移拓展
解　由已知等式可得
(a＋b)(a2－ab＋b2)＝a3＋b3.
1.观察以下等式：
(x＋1)(x2－x＋1)＝x3＋1；(x＋3)(x2－3x＋9)＝x3＋27；(x＋6)(x2－6x＋36)＝x3＋216…
(2)利用多项式的乘法法则，说明(1)中的等式成立；
迁移拓展
解　(a＋b)(a2－ab＋b2)＝a3－a2b＋ab2＋ba2－ab2＋b3＝a3＋b3.
1.观察以下等式：
(x＋1)(x2－x＋1)＝x3＋1；(x＋3)(x2－3x＋9)＝x3＋27；(x＋6)(x2－6x＋36)＝x3＋216…
(3)利用(1)中的公式化简：(x＋y)(x2－xy＋y2)－(x＋2y)(x2－2xy＋4y2).
迁移拓展
解　原式＝(x3＋y3)－(x3＋8y3)＝－7y3.
2.有两类正方形A，B，其边长分别为a，b.现将B放在A的内部得图1，将A，B并列放置后构造新的正方形得图2.若图1和图2中阴影部分的面积分别为1和12，求：
(1)正方形A，B的面积之和为　　　　　；
迁移拓展
解　正方形A，B的边长分别为a，b(a>b)，
由题图1得(a－b)2＝1，由题图2得(a＋b)2－a2－b2＝12，
所以ab＝6，a2＋b2＝13，
则正方形A，B的面积之和为13.
(2)小明想要拼一个两边长分别为(2a＋b)和(a＋3b)的长方形(不重不漏)，除用去若干个正方形A，B外，还需要以a，b为边的长方形　　　　个；
迁移拓展
2.有两类正方形A，B，其边长分别为a，b.现将B放在A的内部得图1，将A，B并列放置后构造新的正方形得图2.若图1和图2中阴影部分的面积分别为1和12，求：
解　
＝2a2＋7ab＋3b2，
所以需要以a，b为边的长方形7个.
2.有两类正方形A，B，其边长分别为a，b.现将B放在A的内部得图1，将A，B并列放置后构造新的正方形得图2.若图1和图2中阴影部分的面积分别为1和12，求：
(3)三个正方形A和两个正方形B如图3摆放，求阴影部分的面积.
迁移拓展
解　因为ab＝6，a2＋b2＝13，
所以(a＋b)2＝(a－b)2＋4ab＝1＋24＝25，
因为a＋b>0，所以a＋b＝5，
因为(a－b)2＝1，所以a－b＝1，
2.有两类正方形A，B，其边长分别为a，b.现将B放在A的内部得图1，将A，B并列放置后构造新的正方形得图2.若图1和图2中阴影部分的面积分别为1和12，求：
(3)三个正方形A和两个正方形B如图3摆放，求阴影部分的面积.
迁移拓展
解　所以题图3的阴影部分面积为(2a＋b)2－3a2－2b2
＝a2－b2＋4ab＝(a＋b)(a－b)＋4ab
＝5＋24
＝29.
[运算性质]
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，能合并同类项的最后要合并同类项.
[注意点]
①相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏；
②相乘所得的积的项数，在合并同类项之前，应等于原多项式的项数之积；
③最后的结果要合并同类项.
课堂总结
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