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(共35张PPT)
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专题一 动态函数图象问题
(8年9考：2025.24；2024.26；2023.25；2022.23,25；2021.25；2020.24；
2019.26；2018.24）
类型1 一次函数图象动态问题
类型2 二次函数图象动态问题
类型3 函数综合动态问题
类型
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1
一次函数图象动态问题
专题一 动态函数图象问题
解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b
（k≠0），把点A(-8,19)，B(6,5)代入得
解得
∴直线AB的解析式为y=-x+11.
第二部分 河北备考热点专题解读与分析
1.（2022·河北25题）如图，平面直角坐标系中，
线段AB的端点为A(-8,19)，B(6,5) .
(1)求AB所在直线的解析式.
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第二部分 河北备考热点专题解读与分析
(2)某同学设计了一个动画: 在函数 y = m x + n (m≠0，y≥0)中，分别输入 m和n 的值 ,便得到射线 CD，其中 C(c,0). 当 c=2时，会从 C处弹出一个光点 P，并沿 CD飞行；当 c≠2 时，只发出射线而无光点弹出.
①若有光点P弹出，试推算 m，n 应满足的数量关系；
(2)①n=-2m，理由如下：
若有光点P弹出，则c=2，
∴点C（2，0）.
把点 C（2，0）代入y=mx+n（m≠0，y≥0），得2m+n=0，
∴若有光点P弹出，m，n满足的数量关系为n=-2m.
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第二部分 河北备考热点专题解读与分析
②当有光点P弹出，并击中线段AB上的整点(横、纵坐标都是整数)时，线段 AB就会发光，求此时整数m 的个数.
(2)②∵n=-2m，∴y=mx+n=mx-2m.
由 解得
∵-8≤x≤6，
∴当x=-7 时，m=-2，击中线段AB上的整点（-7，18）；当x=-1时，m=-4，击中线段AB上的整点（-1，12）；当x=1时，m=-10，击中线段AB上的整点（1，10）；
当x=3时，m=8，击中线段AB上的整点（3，8）；当x=5时，m=2，击中线段AB上的整点（5，6）.
综上，整数m的个数为5.
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2.（2020·河北24题）表格中的两组对应值满足一次函数 y=kx+b，现画出
了它的图象为直线 l ，如图. 某同学为观察 k，b对图象的影响，将上面函数
中的k与b交换位置后得另 一个一次函数，设其图象为直线 .
第二部分 河北备考热点专题解读与分析
x -1 0
y -2 1
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(1)求直线l的解析式；
解：(1)∵（-1，-2），（0，1）在函数y=kx+b的图象上，代入，得 解得
∴直线l的解析式为y＝3x＋1.
第二部分 河北备考热点专题解读与分析
x -1 0
y -2 1
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(2)请在图上画出直线l′(不要求列表计算)，并求直线l′被直线l和y轴所截线段的长；
第二部分 河北备考热点专题解读与分析
x -1 0
y -2 1
解：(2)依题意得直线 的解析式为y=x+3，∴ 的图象如图所示.
联立方程组 解得
∴l与 的交点为（1，4）.
又∵ 与y轴的交点为（0，3），
∴ 被直线l和y轴所截得的线段长为
.
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(3)设直线y＝a与直线l，l′及y轴有三个不同的交点，且其中两点关于第三点对称，直接写出a的值．
(3)a的值为 .
第二部分 河北备考热点专题解读与分析
x -1 0
y -2 1
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3.（2025·石家庄一模）如图，在平面直角坐标系中，有一动点 P（-a,a+3）和两定点A（-1，-1），B（1，-3）.
（1）求直线 AB 的解析式.
第二部分 河北备考热点专题解读与分析
解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b.
把A（-1，-1），B（1，-3）代入，得
解得
∴直线AB的解析式为y=-x-2.
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（2）当a=2时，判断点P是否在直线AB上.
第二部分 河北备考热点专题解读与分析
（2）当a=2时，点P的坐标为（2,1）.
由（1）知直线AB的解析式为y=-x-2，
当x=2 时，y=-4≠1，
∴当a=-2时，点P不在直线AB上.
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（3）嘉嘉说：当a取两个不同的值时，得到两个点P1，P2，则直线P1P2与直线AB平行.嘉嘉说得对吗？请针对他的说法进行说理.
第二部分 河北备考热点专题解读与分析
（3）嘉嘉说得对.说理如下：
∵点 P 的坐标为（-a,a+3），
∴点P在直线y=-x+3上运动.
∵直线y=-x+3与直线y=-x-2平行，
∴直线P1P2与直线 AB 平行.
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（4）直接写出△PAB 的面积.
第二部分 河北备考热点专题解读与分析
（4）△PAB 的面积为5.
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4.（2024·河北26题）如图 ,抛物线 C1：y = ax2 -2x过点(4,0)，顶点为 Q. 抛物线 C2：y = -(x-t)2 +t2-2(其中t为常数，且t>2)，顶点为P.
(1)直接写出a的值和点Q的坐标.
第二部分 河北备考热点专题解读与分析
类型
2
二次函数图象动态问题
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(2)嘉嘉说:无论 t 为何值，将 C1的顶点 Q 向左平移 2 个单位长度后一定落在C2 上.
淇淇说:无论 t 为何值，C2 总经过一个定点.
请选择其中一人的说法进行说理.
第二部分 河北备考热点专题解读与分析
（2）嘉嘉：把Q（2,-2）向左平移2个单位长度得到对应点的坐标为（0,-2），
当x=0时，C2： ，
∴（0，-2）在C2上，
∴嘉嘉说法正确.
淇淇：C2： ，
当x=0时，y=-2，
∴C2： ，过定点（0，-2），
∴淇淇说法正确.
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(3)当 t =4 时，
①求直线 PQ的解析式；
第二部分 河北备考热点专题解读与分析
（3）①当t=4时，C2： ，
∴顶点P（4，6）.
而Q（2，-2），
设直线PQ的解析式为y=ex+f，
∴ 解得
∴直线PQ的解析式为y=4x-10.
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②作直线 l//PQ, 当 l 与 C2 的交点到 x 轴的距离恰为 6 时，求 l 与 x 轴交点的横坐标.
第二部分 河北备考热点专题解读与分析
② 如图， （等于6时，两直线重合，不符合题意），
∴x= ，
∴交点J（ ，-6），交点K（ ，-6）.
∵直线l//PQ， 当直线l过点J（ ，-6）时，
设直线l的解析式为y=4x+b，
∴ ，解得 ，
∴直线l的解析式为y=4x+ .
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②作直线 l//PQ, 当 l 与 C2 的交点到 x 轴的距离恰为 6 时，求 l 与 x 轴交点的横坐标.
第二部分 河北备考热点专题解读与分析
当y=4x+ =0时，x= ，
此时直线l与x轴交点的横坐标为 .
同理，当直线l过点K（ ，-6）时，直线l的解析式为y=4x- .
当y=4x- =0时，x= ，
此时直线l与x轴交点的横坐标为 .
综上，l 与 x 轴交点的横坐标为 .
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(4)设 C1与 C2 的交点 A，B的横坐标分别为 xA，xB，且 xA(4)n=2+t-m
第二部分 河北备考热点专题解读与分析
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5.如图，抛物线P1：y=x2+4x+m与x轴交于点A（a，0），与y轴交于点B，顶点为C，过点B作BD//x轴，交抛物线P1于点D，抛物线P2：y=x2-4x+2的顶点为E，与y轴交于点 F，连接 CF,CE.
（1）直接写出 BD 的长.
第二部分 河北备考热点专题解读与分析
(1)BD 的长为4.
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当a=-1时，解答以下问题.
（2）求抛物线P1的函数表达式.
第二部分 河北备考热点专题解读与分析
（2）抛物线P1：y=x2 +4x +m 与x轴交于点A（a，0）.
将点 A（-1，0）代入，得0=1-4+m，解得m=3，
∴抛物线P1的函数表达式为y=x2 +4x +3.
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（3）嘉嘉说：P2可由P1先向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度得到.请对这一说法说明理由.
第二部分 河北备考热点专题解读与分析
（3）由（2）知，抛物线P1：y=x2 +4x +3 =（x+2）2-1，
即顶点C 的坐标为（-2，-1）.
抛物线P2：y=x2-4x+2=（x-2）2-2，
即顶点 E 的坐标为（2，-2）.
∵点C先向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度可到点E，且这两条抛物线开口大小、方向均相同，
∴P2可由P1先向右平移4个单位长度，再向下平移1 个单位长度得到.
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（4）问题拓展：
①若将直线CF沿CE平移，使其经过点E且与抛物线P2
交于点G，求点G的坐标.
第二部分 河北备考热点专题解读与分析
(4)①设CF 所在直线的函数表达式为y=k1x +b1.
将点C（-2,-1），F（0,2）分别代入，得
解得
∴CF 所在直线的函数表达式为y= x+2，
则可设平移后过点E的直线的函数表达式为y= x+b.
将点E（2,-2）代入，得-2=3+b，解得b=-5，
∴平移后过点E的直线的函数表达式为y= x-5.
联立 解得
或
∴点G的坐标为 .
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②在y轴上点B 的上方有一点Q，过点Q且与CE平行的直线分别交抛物线P2，P1于点M，N，点M，N分别在y轴的两侧.若MN=CE，请直接写出此时点Q的坐标.
第二部分 河北备考热点专题解读与分析
②点Q的坐标为 .
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类型
3
函数综合动态问题
6.（2025·河北24题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+bx+c经过点A（0，3），B（6，3），顶点为P.抛物线y=a(x-3)2+d（a<0）经过点C .两条抛物线在第一象限内的部分分别记为L1，L2.
（1）求b，c的值及点P的坐标.
第二部分 河北备考热点专题解读与分析
解：（1）∵抛物线 y =-x2+bx+c 经过点 A（0，3），B（6，3），顶点为P，
∴ 解得
∴y =-x2+6x+3 =-（x-3）2+12，
∴P（3，12）.
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第二部分 河北备考热点专题解读与分析
（2）点D在L1上，到x轴的距离为 .判断L2能否经过点D，若能，求a的值；若不能，请说明理由.
（2）不能.理由：
∵点 D在L1上，到x轴的距离为 ，则yD= ，
∴当y= 时， ，解得 ，
∴ .
∵抛物线y=a(x-3)2+d（a<0）经过点C ，对称轴为直线x=3，
∴L2经过点C 和 ，∴L2不能经过点D.
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（3）直线AE：y=kx+n（k>0）交L1于点E，点 M 在线段AE上，
且点 M 的横坐标是点 E 横坐标的一半.
①若点E与点P重合，点 M 恰好落在L2上，求 a的值；
第二部分 河北备考热点专题解读与分析
(3)①∵P（3，12），
∴当E，P重合时，E（3，12）.
∵ M 是AE的中点，A（0，3），
∴M .
∵点M 恰好落在L2上，L2经过点C ，
∴
解得 .
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②若点 M 为直线 AE 与L2的唯一公共点，请直接写出 k 的值.
第二部分 河北备考热点专题解读与分析
②k= .
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7.（2019·河北26题节选）如图，若b是正数，直线l：y＝b与y轴交于点A；直线a：y＝x－b与y轴交于点B；抛物线L：y＝－x2＋bx的顶点为C，且L与x轴右交点为D.
第二部分 河北备考热点专题解读与分析
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解：(1)∵直线l与y轴交与点A，∴A(0，b).
∵直线a与y轴交与点B，∴B(0，－b). ∵AB＝8，∴2b＝8，∴b＝4, ∴抛物线L的解析式为y＝－x2＋4x，
对称轴为直线x＝2，
当x＝2时，y＝2－4＝－2， ∴L的对称轴与a的交点坐标为(2，－2).
(1)若AB＝8，求b的值，并求此时L的对称轴与a的交点坐标；
第二部分 河北备考热点专题解读与分析
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(2)当点C在l下方时，求点C与l距离的最大值；
(2)∵抛物线L的解析式为y＝－x2＋bx=2+， ∴点C的坐标为(，)． ∵点C在l下方， ∴点C与l的距离为b－＝－(b－2)2＋1≤1， ∴点C与l距离的最大值为1.
第二部分 河北备考热点专题解读与分析
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(3)设x0≠0，点(x0，y1)，(x0，y2)，(x0，y3)分别在l，a和L上，且y3是y1，y2
的平均数，求点(x0，0)与点D间的距离.
(3)由题意可得，y1＝b，y2＝x0－b，y3＝－x02＋bx0， ∵y3是y1，y2的平均数， ∴y3＝，即－x02＋bx0＝，
化简得x0(2x0－2b＋1)＝0，解得x0＝0或x0＝b－.∵x0≠0，∴x0＝b－
对于L，当y＝0时，0＝－x2＋bx，即0＝－x(x－b)，解得x1＝0，x2＝b. ∵b＞0，∴D点坐标为(b，0).
∴点(x0，0)与点D间的距离为b－(b－)＝.
第二部分 河北备考热点专题解读与分析
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6. 在平面直角坐标系中，抛物线 y =-x2 +bx+c与 x轴交于 A(-1,0) ，B(3,0) 两点，与y轴交于点C，作直线 BC.
(1)求抛物线的解析式.
解:(1) ∵抛物线 y =-x2 +bx+c与 x轴交于 A(-1,0) ，B(3,0) 两点 ,
∴抛物线的解析式为 y =-x2 +2x+3.
第二部分 河北备考热点专题解读与分析
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(2)如图①，点 P是线段 BC上方的抛物线上一动点，过点 P作 PQ⊥BC，垂足为 Q，请问线段 PQ是否存在最大值 若存在，请求出最大值及此时点 P的坐标；若不存在，请说明理由.
(2)过点 P作 PN⊥AB于点 N，交 BC于点 M.
∵B(3,0)，C(0,3) ,
∴直线 BC的解析式为y = - x +3.
第二部分 河北备考热点专题解读与分析
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∵PQ⊥BC,
∴ △PQM是等腰直角三角形.
∴PM= PQ,
∴PM的值最大时，PQ的值最大 ,
设 P(m , -m2 +2m+3) ,则 M(m , -m+3) ,
∴ PM= -m2 +2m +3 - (-m+3) = -m2 +3m.
∵-1<0 ,
∴当 m= 时，PM 的值最大，最大值为 ，
∴ PQ的最大值 = .
第二部分 河北备考热点专题解读与分析
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(3)如图②，点 M是直线 BC上一动点，过点 M作线段 MN∥OC( 点 N在直线 BC下方) ，已知 MN=2，若线段 MN与抛物线有交点，请直接写出点 M 的横坐标 xM的取值范围.
(3)
第二部分 河北备考热点专题解读与分析(共9张PPT)
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专题四 圆的动态与变换问题
类型1 动点、动圆问题
类型2 旋转问题
类型3 折叠问题
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类型
１
动点、动圆问题
第二部分 河北备考热点专题解读与分析
1.(2025·河北21题)如图①、图②，正方形ABCD的边长为5.扇形OEF所在圆的圆心O在对角线BD上，且不与点D重合，半径OE＝2，点E，F分别在边AD，CD上，DE＝DF(DE≥2)，扇形OEF的弧交线段OB于点M，记为 .
(1)如图①，当AE＝3时，求∠EMF的度数；
解：(1)∵正方形ABCD的边长为5，
∴AD＝CD＝5.
当AE＝3时，ED＝DF＝2.
∵OE＝OF＝2，
∴ED＝DF＝OE＝OF，
∴四边形EOFD是菱形．
∵∠EDF＝90°，
∴四边形EOFD是正方形，
∴∠EOF＝90°，
∴∠EMF＝∠EOF＝45°.
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第二部分 河北备考热点专题解读与分析
(2)如图②，当四边形OEMF为菱形时，求DE的长；
(3)当∠EOF＝150°时，求 的长．
（2）
（3）
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2.(2024 · 河北 25 题) 已知 O的半径为 3 ,弦 MN=2. △ABC中， ,
AB= 3 ,BC= 3 . 在平面上 , 先将△ABC和 O按图①位置摆放(点 B与点 N重合 ,点 A在 O上 ,点 C在 O内) , 随后移动△ABC, 使点 B在弦 MN上移动 ,点 A始终在 O上随之移动. 设 BN= x.
(1)当点 B与点 N重合时 ,求劣弧 的长.
(2)当 OA//MN时 ,如图② ,求点 B到 OA的距离 ,并求此时x 的值.
(1)
(2)2 x=3
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(3)设点O到 BC的距离为 d.
①当点 A在劣弧 上 ,且过点 A的切线与AC垂直时,求 d 的值 ;
②直接写出 d 的最小值.
(3)①3- ②
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类型
2
旋转问题
第二部分 河北备考热点专题解读与分析
3．(启光原创)如图①、图②，在 ABCD中，连接BD，以DF为直径的半圆O从DF与AD共线开始绕点D逆时针旋转，直到DF与DC第一次重合时，停止运动，点K是半圆O的中点，连接DK，当DF，DK与线段AB有交点时，设交点分别为点P和点Q，已知AB＝DF＝8，∠BAD＝45°，AD＝BD.
(1)求∠FDK的度数；
解：(1)如图，连接FK.
∵点K为半圆O的中点，
∴ ＝ ，
∴DK＝FK.
∵DF为直径，
∴∠DKF＝90°，
∴在Rt△DFK中，∠FDK＝∠DFK＝45°.
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第二部分 河北备考热点专题解读与分析
（2)当DK与线段AB有交点时，设AQ＝x，请用含x的代数式表示BP；
(3)当DF与DB重合时，求半圆O与DC所围成的弓形的面积；
(4)在半圆旋转的过程中，如果半圆O与 ABCD的边(或边所在的直线)相切，请直接写出DP的长．(参考数据：sin 25°≈－1，sin 70°≈)
（2）
(3)半圆O与DC所围成的弓形的面积为4π－8.
(4)DP的长为或4或4 .
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第二部分 河北备考热点专题解读与分析
4．(2025·玉田县校级三模)如图①～③，AB是半圆O的直径，且AB＝6，MN是半圆O的弦(点M，N可分别与点A，B重合)，将半圆O沿直线MN翻折．
(1)当点N与点B重合，且∠ABM＝30°时，如图①.
①求劣弧 的长．
②当半圆O沿直线MN翻折后，劣弧 是否经过圆心O______ (填“是”或“否”)．
解：(1)①如图，连接OM.
∵AB＝6，∠ABM＝30°，
∴OA＝OB＝3，∠AOM＝2∠ABM＝60°，
∴劣弧 的长为＝=π.
是
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第二部分 河北备考热点专题解读与分析
(2)当MN∥AB时，如图②，过点O作OP⊥MN，垂足为点P，折叠后的劣弧 恰好经过OP的中点Q，连接NQ，求tan∠MNQ的值．
(2)tan∠MNQ＝.
(3)若折叠后的劣弧 与直径AB切于点C，且点C是半径OB的中点，如图③，求折痕MN的长．
(3)MN＝.
(4)若折叠后的劣弧 始终与直径AB相切，设MN＝d，直接写出d的取值范围．
(4)3 ≤d≤3 .(共8张PPT)
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专题三 静态圆问题
(8年5考：2023.24；2022.24；2021.24；2020.22；2018.25)
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1．(2025·河北样卷20题)日晷(如图①)是我国古代使用的一种计时仪器，某日晷底座的正面与晷面在同一平面上．如图②，⊙O表示日晷的晷面圆周，日晷底座的底边AB在水平线l上，△OAB为等边三角形，OA，OB与⊙O分别交于P，Q两点．点C，D是⊙O上两点，CD∥AB，过O作OE⊥AB于点E，交CD于点F，交⊙O于点M.已知CD＝ cm，FM＝30 cm，ME＝20 cm.
(1)求⊙O的半径；
(2)求图②中阴影部分的面积．
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第二部分 河北备考热点专题解读与分析
(1)求⊙O的半径；
解：∵OE⊥AB，AB∥CD，
∴OE⊥CD.
∵CD＝ cm，
∴DF＝ cm.
如图，连接OD，设⊙O的半径OD＝r，
则OF＝OM－FM＝r－30.
在Rt△ODF中，r2＝( )2＋(r－30)2，
解得r＝60，即⊙O的半径为60 cm.
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(2)求图②中阴影部分的面积．
解：∵△OAB为等边三角形，∴∠AOB＝∠OBE＝60°.
在Rt△BOE中，OE＝60＋20＝80(cm)，sin∠OBE＝ ，
∴ .
∴S△OAB＝ AB·OE＝ .
而S扇形POQ＝ ＝600π，
∴S阴影＝ －600π(cm2)．
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2．(启光原创)如图，等腰三角形ACD内接于⊙O，CA＝CD，BD是⊙O的直径，过点C作⊙O的切线CF交AB的延长线于点F，连接BC.
(1)求证：CF⊥AB.
(2)若BC＝BA，BF＝3，
①求∠CBF的度数；
②求阴影部分的面积．
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第二部分 河北备考热点专题解读与分析
(1)求证：CF⊥AB.
(1)证明：如图，连接CO并延长，交AD于点H，
∴∠OCF＝90°.
∵BD是⊙O的直径，∴∠BAD＝90°.
∵CA＝CD，
∴ ，
∴CH⊥AD，∴∠CHA＝90°，
∴四边形AHCF为矩形，
∴∠CFB＝90°，即CF⊥AB.
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第二部分 河北备考热点专题解读与分析
(2)若BC＝BA，BF＝3，
①求∠CBF的度数；
解：①∵BC＝BA，BD＝BD，∠BCD＝∠BAD＝90°，
∴Rt△BCD≌Rt△BAD，∴CD＝AD.
又∵CA＝CD，∴△ACD是等边三角形．
∵CH⊥AD，∴∠DCH＝30°，
∴∠BCO＝∠BCD－∠DCH＝60°.
由(1)得，四边形AHCF为矩形，∴CH∥AF，∴∠CBF＝60°.
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第二部分 河北备考热点专题解读与分析
(2)若BC＝BA，BF＝3，
②求阴影部分的面积．
解：∵∠CBF＝60°，BF＝3，∴BC＝6，FC＝ .
∵∠BCO＝60°，OB＝OC，∴△BOC 为等边三角形，∴BC＝CO＝6，∠BOC＝60°，
∴S阴＝S梯形BOCF－S扇形BOC
＝ .(共19张PPT)
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专题二 函数实际应用问题
类型1 一次函数实际应用问题
类型2 二次函数实际应用问题
类型3 函数实际应用综合问题
类型
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1
一次函数实际应用问题
专题二 函数实际应用问题
1.我国新能源汽车快速健康发展 ,续航里程不断提升,王师傅驾驶一辆纯电动汽车从A市前往B市.他驾车从A市一高速公路入口驶入时,该车的剩余电量是80 kw·h ,行驶了240km后,从B市一高速公路出口驶出.已知该车在高速公路上行驶的过程中,剩余电量y(kw·h)与行驶路程x(km)之间的关系如图所示.
第二部分 河北备考热点专题解读与分析
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(1)求 y与 x之间的关系式 ;
解:(1) 设 y = kx + b(0 ≤x≤240) ,代入(0 ,80) , (150 ,50) ,
得
∴ y = x+80(0≤x≤240).
第二部分 河北备考热点专题解读与分析
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(2)令 x=240 ,则 y =32 ,
× 100% =32% .
答:该车的剩余电量占“满电量”的 32%.
(2)已知这辆车的“ 满电量”为 100 kw·h , 求王师傅驾车从 B市这一高速公路出口驶出时 ,该车的剩余电量占“ 满电量 ” 的百分之多少.
第二部分 河北备考热点专题解读与分析
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2.(启光原创)共享单车通过租借代替拥有，解决了城市居民“最后一公里”的出行难题，不仅符合绿色出行的理念，还促进了公共交通的连通性．如图①是甲、乙两种品牌共享单车的车费y甲(元)，y乙(元)与骑行路程x(km)之间的函数关系图象，图②是小明来到某市后骑共享单车从A地出发到B，C两地办理业务的路线示意图．
(1)当x＞2时，求y甲关于x的函数解析式．
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解：(1)当x＞2时，
设y甲关于x的函数解析式为y甲＝kx＋b.
由于函数的图象经过点(2，3)和(4，4)，
将坐标(2，3)和(4，4)分别代入y甲＝kx＋b，
得
∴当x＞2时， y甲关于x的函数解析式为y甲＝x＋2.
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(2)①若小明选择乙品牌共享单车到B地办业务，求所需的车费．
②若小明到C地办业务，选择哪种共享单车节省车费？节省多少元？
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(2)①设y乙＝mx，由于图象过点(4，4)，
∴4＝4m，解得m＝1，∴y乙＝x.
若小明选择乙品牌共享单车到B地办业务，则x＝3.5，
∴y乙＝x＝3.5，即所需的车费为3.5元．
②若小明到C地办业务，则x＝5.4，
∴y甲＝2(1)×5.4＋2＝4.7, y乙＝x＝5.4.
∵4.7＜5.4，
∴小明到C地办业务，选甲品牌共享单车节省车费，
节省的费用为5.4－4.7＝0.7(元)．
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类型
2
二次函数实际应用问题
3. (2023·河北23题)嘉嘉和淇淇在玩沙包游戏.某同学借此情境编制了一道数学题,请解答这道题.
如图,在平面直角坐标系中,一个单位长度代表1 m长.嘉嘉在点A(6 ,1)处将沙包(看成点)抛出,其运动路线为抛物线 C1 :y =a(x-3)2 +2的一部分,淇淇恰在点 B(0 ,c)处接住,然后跳起将沙包回传,其运动路线为抛物线C2:y = x2 + x +c+1的一部分.
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(1)写出 C1 的最高点坐标 ,并求 a ,c的值 ;
解:(1)∵抛物线 C1 :y=a(x-3)2 +2 ,
∴ C1 的最高点坐标为(3 ,2) .
∵点 A(6 ,1)在抛物线 C1 :y=a(x-3)2 +2 上 ,
∴ 1 =a(6-3)2 +2 ,解得 a= ,
∴抛物线 C1 的解析式为y = (x-3)2 +2 ,
令 x=0 ,则 c= (0 -3)2 +2 = 1.
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(2)若嘉嘉在 x 轴上方 1 m 的高度上 ,且到点A水平距离不超过 1 m 的范围内可以接到沙包 ,求符合条件的 n 的整数值.
(2)∵到点 A水平距离不超过 1 m 的范围内可以接到沙包 ,
∴点 A的坐标范围为(5 ,1) ~ (7 ,1) ,
当经过(5 , 1) 时 , 1 = ×52 + ×5 + 1 +1 ,解得 n = ;
当经过(7 , 1) 时 , 1 = ×72 + ×7 + 1 +1 ,解得 n = ,
∴ ,
∴符合条件的 n 的整数值为 4 和 5.
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解：(1)∵点A(0，2)，B(6，0.5)在抛物线y＝－x2＋bx＋c上，
∴
∴y＝－x2＋x＋2.
抛物线的顶点坐标为 .
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4．(2025·河北样卷23题)如图，斜坡AC上种有若干树木，底部有一喷水管BC，某时刻从B处喷出的水流恰好落在A处，水流呈抛物线状．建立恰当平面直角坐标系，得到点A(0，2)，点B(6，0.5)．已知喷水管BC及所有树木都与OC垂直，抛物线的解析式为y＝－x2＋bx＋c.
(1)求该抛物线解析式，并写出其顶点坐标．
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(2)∵点B(6，0.5)，BC⊥OC，点C在x轴上，
∴点C的坐标为(6，0)．
∴直线AC的解析式为y＝－x＋2.
∵点M在直线AC上，∴点M的坐标可设为（m,-m+2） .
∵MA＝NA，MN⊥x轴，点A(0，2)，∴点N的坐标可以表示为（m,m+2）.
∵点N在抛物线上，
∴m＋2＝－m2 ＋m＋2，解得m1＝，m2＝0(舍去)．
∴点M的坐标为(,).
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(2)若抛物线恰好过小树MN的树顶N，点M在斜坡AC上，且点A到M, N两点的距离相等，求M点坐标．
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(3)①令d＝(－x2＋x＋2)-(－x＋2)，化简得d＝－x2＋x.
∵MN＝DE＝1.25，∴当d＝1.25时，－x2＋x＝1.25，
解得x1＝ , x2＝ .
∵MN在DE左侧，∴xM＝ ，xD＝ .
∴DM＝ .
②
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(3)若DE，MN为两棵等高小树(MN在左侧，小树粗细忽略不计，点M，D均在斜坡上且与点C不重合)，抛物线恰好经过E，N两点．
①当MN＝1.25时，求DM长；
②直接写出M横坐标m的取值范围．
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类型
3
函数实际应用综合问题
5. (2024·河北24题)某公司为提高员工的专业能力,定期对员工进行技能测试.考虑多种因素影响,需将测试的原始成绩x(分)换算为报告成绩 y(分).已知原始成绩满分150分,报告成绩满分100分,换算规则如下:
(其中p是小于150的常数,是原始成绩的合格分数线,80是报告成绩的合格分数线)公司规定报告成绩为80分及80分以上(即原始成绩为p及p以上)为合格.
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(1) 甲、乙的原始成绩分别为 95 分和 130 分 ,若 p=100 ,求甲、乙的报告成绩.
(2)丙、丁的报告成绩分别为92 分和64 分 , 若丙的原始成绩比丁的原始成绩高 40 分 ,请推算 p 的值.
解：(1)当p＝100时，甲的报告成绩为y＝ ＝76(分)，
乙的报告成绩为y＝ ＋80＝92(分)．
(2)设丙的原始成绩为x1分，则丁的原始成绩为(x1－40)分．
由题意，得y＝ ＜80，y＝ ＋80≥80，
∴ 解得 符合题意．综上所述，p＝125.
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(3)下表是该公司100 名员工某次测试的原始成绩统计表:
①直接写出这100 名员工原始成绩的中位数 ;
②若①中的中位数换算成报告成绩为90分，直接写出该公司此次测试的合格率.
(3)①130 ②95%
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6.(2019 ·河北24 题)长为 300 m 的春游队伍以 (m/s)的速度向东行进. 如图①和图② , 当队伍排尾行进到位置O时 ,在排尾处的甲有一物品要送到排头 ,送到后立即返回排尾 , 甲的往返速度均为 (m/s) , 当甲返回排尾后 ,他及队伍均停止行进. 设排尾从位置O开始行进的时间为 t(s) ,排头与O的距离为 S头 (m) .
(1)当 =2 时 ,解答:
①求 S头 与 t 的函数关系式(不写 t 的取值范围) ;
解:(1) ①排尾从位置O开始行进的时间为 t(s) ,
则排头行进的时间也为 t(s) ,
: S头 =2t +300.
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②当甲赶到排头位置时 ,求 S头的值 ;在甲从排头返回到排尾过程中 ,设甲与位置O的距离为 S甲 (m) ,求 S甲 与 t 的函数关系式(不写 t 的取值范围) .

②甲从排尾赶到排头的时间为 300 ÷ = 300 ÷ = 300 ÷ 2 = 150(s) ,此时 S头= 2t + 300 = 600 (m).
S甲= S头- S甲回= 600-4(t - 150) = -4t + 1200.
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(2)设甲这次往返队伍的总时间为 T(s) ,求 T与 的函数关系式( 不写 的取值范围) ,并写出队伍在此过程中行进的路程.

(2)T= t追及 + t返回=
在甲这次往返队伍的过程中队伍行进的路程为
因此 T与 的函数关系式为 T= 队伍在此过程中行进的路程为 400 m.
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目录
专题六 三角形 、四边形实践探究题
类型1 动点问题
类型2 旋转平移问题
类型3 轴对称问题
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题型六 三角形、四边形实践探究题
类型
１
动点问题
1.(启光原创)如图，等边三角形ABC中，点P，Q分别是BC，AB边上的点(不含端点)，且BP＝AQ，作QD∥CA，QD＝BQ，连接AD.
(1)求证：AD＝PQ.
证明：∵QD∥CA，∴∠AQD＝∠BAC.
而在等边△ABC中，∠BAC＝∠ABC＝60°，∴∠AQD＝∠ABC.
又AQ＝BP，DQ＝BQ，
∴△ADQ≌△PQB(SAS)，∴AD＝PQ.
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(2)若△ABC的边长为6.
①当PQ⊥BC时，求AD的长；
②当点P从PQ⊥BC的位置，运动到BC的中点时，直接写出点D运动路径的长．
解：①设BP＝x，则BQ＝6－AQ＝6－x.
当PQ⊥BC时，∵∠ABC＝60°，∴BQ＝2BP，
∴6－x＝2x，解得x＝2，
∴BP＝2，BQ＝2BP＝4，
∴AD＝PQ＝＝2 .
②.
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2．如图① , 在 Rt△ABC中 , C= 90° , AC=20 cm ,BC= 15 cm , 现有动点 P从点 A出发 ,沿AC向点 C方向运动 , 动点 Q从点C出发 ,沿线段CB向点B方向运动. 如果点 P 的速度是4 cm/s ,点Q的速度是 2 cm/s ,它们同时出发 ,当有一点到达所在线段的端点时 ,就停止运动. 设运动的时间为 t s.
(1) 当t=3时, P, Q 两点之间的距离是多少
解：根据题意得AP＝4t cm，CP＝AC－AP＝(20－4t)cm，CQ＝2t cm，
则当t＝3时，CP＝8 cm，CQ＝6 cm.
在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴PQ＝＝10 cm，
即当t＝3时，P，Q两点之间的距离是10 cm.
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(2) 当t为多少时, Rt△CPQ的面积 S是△ABC面积的
解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20 cm，BC＝15 cm，
∴S△ABC＝AC·BC＝150(cm2)．
∵S△CPQ＝CP·CQ＝×(20－4t)×2t＝(－4t2＋20t)(cm2)，且△CPQ的面积是△ABC面积的，
∴－4t2＋20t＝150×，解得t1＝t2＝，
∴当t＝时，△CPQ的面积是△ABC面积的.
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(3) 如图② , CD⊥AB, 当 t 为多少时 , 以点 C,P,Q为顶点的三角形与△ADC相似
解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20 cm，BC＝15 cm，
∴AB＝＝25 cm.
∵CD⊥AB，∴CD＝＝12 cm，∴AD＝＝16 cm.
∵∠PCQ＝∠ADC＝90°，
∴当＝时，△PCQ∽△ADC，此时＝，解得t＝3；
当＝时，△PCQ∽△CDA，此时＝，解得t＝.
综上，当t为3或时，以点C，P，Q为顶点的三角形与△ADC相似．
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3．(2022·河北26题)如图①，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝
90°，∠C＝30°，AD＝3，AB＝2，DH⊥BC于点H.将△PQM与
该四边形按如图方式放在同一平面内，使点P与A重合，点B在
PM上，其中∠Q＝90°，∠QPM＝30°，PM＝4.
(1)求证：△PQM≌△CHD.
旋转平移问题
类型
2
证明：∵AD∥BC，∠ABC＝90°，∴∠DAB＝90°.
∵DH⊥BC，∴∠DHB＝∠DHC＝90°，∴四边形ABHD是矩形，∴AB＝DH＝2.
在Rt△PQM中，∠Q＝90°，∠QPM＝30°，PM＝4，∴QM＝PM＝2，∴QM＝DH.
在△PQM和△CHD中，∴△PQM≌△CHD(AAS)．
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(2)△PQM从图①的位置出发，先沿着BC方向向右平移(图②)，
当点P到达点D后立刻绕点D逆时针旋转(图③)，当边PM旋转50°
时停止．
①边PQ从平移开始，到绕点D旋转结束，求边PQ扫过的面积．
解：如图，PQ扫过的面积＝平行四边形AQQ′D的面积＋扇形DQ′Q″的面积，设QQ′交AM于点T.
∵PQ＝PM·cos 30°＝6，QT⊥AM，
∴PT＝PQ·cos 30°＝3 ，QT＝3.
又由平移可得AD＝QQ′＝3，∴点T与点Q′重合，
∴PQ扫过的面积＝3×3 ＋＝9.
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②如图②，点K在BH上，且BK＝9－4.若△PQM右移的速度为
每秒1个单位长度，绕点D旋转的速度为每秒5°，求点K在△PQM
区域(含边界)内的时长．
解：如图，连接DK.
在Rt△CDH中，DH＝2，∠C＝30°，
∴CH＝DH＝6.
当DM运动到与DH重合时，∵BH＝AD＝3，BK＝9－4，
∴KH＝3－(9－4)＝4－6，∴CK＝4－6＋6＝4.
∵CD＝2DH＝4，∴CD＝CK，∴∠CKD＝×(180°－30°)＝75°，∴∠KDH＝15°.
∵∠QDK＝30°－15°＝15°，∴点K在△PQM区域内的时长为＋＝(4－3)s.
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③如图③，在△PQM旋转过程中，设PQ，PM分别交BC于点E，F，若BE＝d，直接写出CF的长(用含d的式子表示)．
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4.(2021·河北26题)在一平面内，线段AB＝20，线段BC＝CD＝DA＝10，将这四条线段顺次首尾相接，把AB固定，让AD绕点A从AB开始逆时针旋转角α(α>0°)到某一位置时，BC，CD将会跟随出现到相应的位置．
论证：如图①，当AD∥BC时，设AB与CD交于点O，求证：AO＝10.
第二部分 河北备考热点专题解读与分析
证明：∵AD∥BC，∴∠A＝∠B，∠C＝∠D.
在△AOD和△BOC中，
∴△AOD≌△BOC(ASA)，∴AO＝BO.
∵AO＋BO＝AB＝20，∴AO＝10.
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发现：当旋转角α＝60°时，∠ADC的度数可能是多少？
解：如图①，当A，C，B三点共线时，△ADC是等边三角形，
此时∠ADC＝60°；
如图②，当A，C，B三点不共线时，
取AB的中点O，连接OD，有AD＝AO＝OD＝BO＝BC＝CD＝10，
即四边形BCDO为菱形，从而CD∥AB，
∴∠ADC＝180°－60°＝120°.
综上，∠ADC的度数为60°或120°.
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尝试：取线段CD的中点M，当点M与点B距离最大时，求点M到AB的距离．
解：取线段CD的中点M，当点M与点B距离最大时，D，C，B共线，过D作DQ⊥AB于Q，过M作MN⊥AB于N，如图.
由已知可得AD＝10，BD＝BC＋CD＝20，BM＝CM＋BC＝15，
设AQ＝x，则BQ＝20－x，
∵AD2－AQ2＝DQ2＝BD2－BQ2，∴100－x2＝400－(20－x)2，解得x＝，∴AQ＝，∴DQ＝＝.
∵DQ⊥AB，MN⊥AB，∴MN∥DQ，∴＝，即＝，∴MN＝，
∴当点M与点B距离最大时，点M到AB的距离为.
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拓展：①如图②，设点D与B的距离为d，若∠BCD的平分线所在直线交AB于点P，直接写出BP的长(用含d的式子表示)；
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②当点C在AB下方，且AD与CD垂直时，直接写出α的余弦值．
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5.(2023·河北26题)如图①和图②,平面上,四边形ABCD中,AB=8,BC=2, CD= 12,DA=6,A=90°,点M在AD边上,且DM=2.将线段MA绕点M顺时针旋转n°(00),连接 .
(1)若点P在AB上,求证: =AP.
轴对称问题
类型
3
证明: ∵将线段 MA绕点 M顺时针旋转n°(0∴ =AM.
∵ 的平分线 MP所在直线交折线 AB-BC 于点 P,
∴ .
又∵PM=PM,∴ ≌△AMP(SAS) ,∴ =AP.
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(2)如图② ,连接 BD.
①求CBD的度数 ,并直接写出当 n =180 时 ,x 的值 ;
解:∵AB=8 ,DA=6 , A=90°,
∴ BD= = 10. ∵BC=2 ,CD= 12 ,
∴BC2 +BD2 =（2）2+102 =144 ,CD2 =122 =144 ,
∴ BC2 +BD2 =CD2 ,∴ CBD=90°.
当 n = 180 时 ,x = 13.
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②若点P到 BD的距离为2 ,求 的值.
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解：如图，当点P在AB上时，PQ＝2，∠A′MP＝∠AMP.
在Rt△ABD中，sin∠DBA＝＝＝，
∴在Rt△BPQ中，BP＝＝＝
∴AP＝AB－BP＝8－＝，
∴tan∠A′MP＝tan∠AMP＝＝＝.
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如图，当点P在BC上时，则PB＝2，过点P作PQ⊥AB交AB
的延长线于点Q，延长MP交AB的延长线于点H.
∵∠PQB＝∠CBD＝∠DAB＝90°，
∴∠QPB＝90°－∠PBQ＝∠DBA，∴△PQB∽△BAD，
∴＝＝，即＝＝，∴PQ＝，QB＝，∴AQ＝AB＋QB＝.
∵PQ⊥AB，DA⊥AB，∴PQ∥AD，∴△HPQ∽△HMA，∴＝，∴＝，解得HQ＝，∴tan∠A′MP＝tan∠AMP＝tan∠QPH＝＝＝.
综上所述，tan∠A′MP的值为或.
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(3)当 0 第二部分 河北备考热点专题解读与分析
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6．(启光原创)如图① ,一矩形纸片 ABCD,AB=6 ,BC=8 ,点 P是边 AD上的动点(不与端点重合) ,把△ABP沿BP折叠 ,点 A落在点E处 ,连接EC,设ABP= α ,AP= m.
(1)求DPE的度数(用含 α 的式子表示) .
解:∵ △ABP≌△EBP,
∴BAP=BEP=90°, ABP= EBP.
∵ DPE+ APE= 180°, ABE+ APE= 180°,
∴ DPE= ABE=2ABP=2α .
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(2)当 P,E,C三点在一条直线上时 ,如图②所示 , 求证: △BEC≌△CDP, 并求此时m的值.
证明:由题意可知 , BE= BA, BAP=∠BEP=90°,
∴BE= CD, ∠BEC= ∠D=90°.
又∵AD∥BC,∴∠BCE= ∠CPD,∴△BEC≌△CDP.
此时 CP=BC=8 ,在△CDP中 ,PD== =2,
∴m=AD-PD=8 -2 .
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(3)当△BEC的面积为4时 ,求m的值.
解:∵ △BEC的面积为 4 ,BC=8 ,
∴点 E到 BC的距离为 1. 有以下两种情况:
当点E在矩形 ABCD内时 ,如图,过点 E作BC的垂线分别交 BC,AD于点 F,G.
∵BEP= BFE= EGP=90°, ∴ BEF= EPG,
∴△BEF∽△EPG, ∴ = ,即= ,∴ PG= ,∴AG= .
在△BEF中 , 由勾股定理得 BF= = . 易得 AG=BF,∴ = ,
∴m =.
当点E在矩形 ABCD外时 , 同理可得 ,m =.
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(4)连接 DE,若△CDE是等腰三角形 ,直接写出符合条件的 m 值的个数和其中一种情况下 m 的值.
解：4个 ,m =2或 9 -3或 ( m 的值写出其中 1 个即可).
第二部分 河北备考热点专题解读与分析(共10张PPT)
目录
专题五 辅助圆（隐形圆）问题
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1．(2025·河北23题节选)如图，矩形ABCD的边AB＝1，BC＝4，若直线PQ将矩形ABCD分成周长相等的两部分，分别交边AD，BC于点P，Q，过点B作BH⊥PQ于点H，连接CH.
(1)当∠PQC＝45°时，求tan∠BCH的值；
(2)当∠BCH最大时，直接写出CH的长．
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(1)当∠PQC＝45°时，求tan∠BCH的值；
解：(1)如图①，过点H作HG⊥BC，连接AC交PQ于点O，过点P作PK⊥BC于点K，过点O作OJ⊥BC于点J.
∵四边形ABCD是矩形，且直线PQ将矩形ABCD分成周长相等的两部分，则点O是矩形ABCD的对角线AC与BD的交点，
∴点O是AC的中点，∴BJ＝CJ＝ BC＝2，AP＝CQ.
∵∠PQC＝45°，
∴△PQK是等腰直角三角形，
∴PK＝QK＝AB＝1，
∴ .
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∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠APQ＝∠CQP＝45°.
在△AOP和△COQ中，
∴△AOP≌△COQ，∴PO＝QO＝ ，OJ＝QJ＝ ，∴CQ＝CJ＋QJ＝ ，
∴BQ＝BC－CQ＝ .
∵∠BQH＝∠PQC＝45°，BH⊥PQ于点H，∴∠BHQ＝90°，∴△BHQ是等腰直角三角形，
∴HG＝GQ＝ BQ＝ ，∴CG＝CQ＋GQ＝ ，
∴tan∠BCH＝ .
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(2)当∠BCH最大时，直接写出CH的长．
解：CH＝ .
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2．(2025·河北样卷24题)如图①和图②，Rt△ABC和Rt△DEF中，∠B＝∠DEF＝90°，AB＝20，BC＝15，DF＝15，DE＝12.点D，E分别在AB，AC边上滑动，点F在DE的右侧，当DF与AC相交时，交点记为P.
(1)EF的长为 ，EP的最小值为 ．
9
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(2)如图①，当DP＝12时，请证明AP＝AD.
证明：∵AB＝20，BC＝15，DE＝12，EF＝9，
∴ .
又有∠B＝∠DEF＝90°，
∴Rt△ABC∽Rt△DEF，∴∠A＝∠EDF.
又∵∠APD＝∠DPE，∴△ADP∽△DEP，
∴ .
当DP＝12时，DP＝DE，
∴AP＝AD.
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(3)如图②，
①尺规作图：过点A作直线DF的垂线AN，垂足为点N(保留作图痕迹，不写作图过程)；
解：①尺规作图如图①，AN即为所求．
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②在①的条件下，若AM垂直平分DE，求AN的长．
解：∵AM垂直平分DE，∴AE＝AD，∠AME＝∠AMD＝90°.
又∵AN⊥DF，∴∠MAN＋∠MDN＝180°.
∴∠MAN＝∠EDF＝∠BAC.∴∠EAM＝∠DAN.
又∵AE＝AD，∠AME＝∠AND＝90°，∴△AME≌△AND.∴AN＝ AM.
如图②，延长ED交AN延长线于点G，
在Rt△DNG中，DN＝DM＝6，cos∠GDN＝ ，
∴DG＝ .
∴MG＝DM＋DG＝ .
在Rt△AMG中，tan∠MAG＝tan∠BAC＝ ，MG＝ ，
∴AM＝18.∴AN＝18.
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(4)直接写出点A与点F的最大距离．
解： .

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