资源简介 (共32张PPT)目录第六单元 圆第26节 圆的基本性质知识点1 圆的有关概念及性质知识点2 垂径定理及推论知识点3 圆心角、弧、弦之间的关系知识点4 圆周角定理及推论知识点5 圆内接四边形教材知识通关目录考点1 垂径定理考点2 圆周角定理重点 垂径定理的应用核心考点突破重难点提升练返回目录教材知识通关第六单元 圆第26节 圆的基本性质圆的有关概念及性质知识点1图示 圆的定义 平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆.其中定点称为①__________，定长称为②__________.如图，以点O为圆心的圆记作⊙O，线段OA叫做半径 弦 定义 连接圆上任意两点的③_________叫做弦，如AP,PB直径 经过④_________的弦叫做直径，直径等于半径的⑤______倍，如AP=2OB圆心半径线段圆心2第一部分 河北中考命题研究与趋势分析返回目录图示 弧 定义 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧半圆 圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆优弧 ⑥_________半圆的弧称为优弧，如劣弧 ⑦_________半圆的弧称为劣弧，如等弧 能够完全⑧________的弧称为等弧大于小于重合第一部分 河北中考命题研究与趋势分析续表返回目录图示 圆心角 顶点在⑨__________的角叫做圆心角，如∠AOB,∠BOP 圆周角 顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角，如∠APB 性质 对称性 圆既是轴对称图形又是中心对称图形，对称轴是任意一条⑩________所在的直线，对称中心是 ________旋转不变性 圆绕圆心旋转任意角度都与自身重合圆心圆心直径第一部分 河北中考命题研究与趋势分析续表返回目录一点一练1.有下列说法：①直径是弦；②长度相等的两条弧是等弧；③半圆是弧；④任何一条直径都是圆的对称轴.其中正确的有( )A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个B第一部分 河北中考命题研究与趋势分析返回目录2.如图 ,直线 m//n，圆心在直线 n 上的⊙A是由⊙B平移得到的，则图中两个三角形面积的大小关系是:S1 S2.第一部分 河北中考命题研究与趋势分析=返回目录3.如图，有下列说法：① 是优弧；② 是劣弧；③ 是劣弧；④ 是优弧.其中正确的有（ ）A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个C第一部分 河北中考命题研究与趋势分析返回目录垂径定理及推论知识点2垂径定理 垂直于弦的直径 _________这条弦，并且平分弦所对的两条弧推论 1.平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；2.弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；3.平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧平分第一部分 河北中考命题研究与趋势分析返回目录第一部分 河北中考命题研究与趋势分析4. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC=10 cm,CD=16 cm，则AE的长为 cm.165．如图，圆弧形桥拱的跨度AB＝12米，拱高CD＝4米，则拱桥的半径为( )A．3米 B．6.5米 C．9米 D．15米B圆心角、弧、弦之间的关系返回目录知识点3定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的 ______相等，所对的 _____也相等推论 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等举例如图，在⊙O中,弧弦CDCD第一部分 河北中考命题研究与趋势分析返回目录6. (2025·河北廊坊二模)如图，已知⊙O的两条弦AC，BD相交于点P，∠ADB＝25°，∠BPC＝70°，则 所对的圆心角的度数为( )A．170° B．165° C．160° D．150°第一部分 河北中考命题研究与趋势分析A定理 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于它所对的圆心角的 _________推论 1.在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧 _________2.半圆(或直径)所对的圆周角是 ________；90°的圆周角所对的弦是 ______1.圆中一条弦所对的圆周角度数有两个，对应的圆周角一个在优弧上，一个在劣弧上，且这两个圆周角互补. 2.已知圆内一条弦（不是直径）和其对应的圆心角，求其对应的圆周角时要分情况讨论： 情况一：圆周角的顶点在弦所对的优弧上 情况二：圆周角的顶点在弦所对的劣弧上返回目录温馨提醒圆周角定理及推论知识点4直径一半相等直角第一部分 河北中考命题研究与趋势分析返回目录7. 如图，E, F, G为圆上的三点，∠FEG=50° ，点P可能是圆心的是（ ）8.AB是⊙O的弦，∠AOB=80°，则弦AB所对的圆周角是（ ）A.40° B. 140°或40° C.20° D.20°或160°CB第一部分 河北中考命题研究与趋势分析返回目录9. (启光原创)如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC=60°,且弦 BC的长为2,则⊙O 的半径为( )A.2B.3C.2D.4A第一部分 河北中考命题研究与趋势分析返回目录10. 如图，已知⊙O的半径为4，OA⊥BC，∠CDA=22.5°.（1）∠AOB的度数为 °；（2）弦BC的长为 .第一部分 河北中考命题研究与趋势分析45返回目录圆内接四边形知识点5定义 四个顶点都在同一个圆上的四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆性质 1.圆内接四边形的对角 ________；2.圆内接四边形的任意一个角的外角等于它的 _________举例如图，∠A+∠BCD= ______,∠B+∠D= ______,∠DCE= _______互补内对角180°180°∠A第一部分 河北中考命题研究与趋势分析返回目录12. 如图 , 四边形 ABCD 内接于⊙O，M 为边 CB延长线上一点. 若∠AOC=98°， 则 ∠ABM的度数是 ( )A.42°B.49°C.51°D.59°B第一部分 河北中考命题研究与趋势分析11.在矩形、正方形、菱形和梯形中，四个顶点一定在同一圆上的是 .矩形和正方形返回目录1. (2023 · 河北24题)装有水的水槽放置在水平台面上，其横截面是以AB 为直径的半圆O,AB=50 cm,如图①和图②所示，MN为水面截线，GH为台面截线，MN//GH.计算：在图①中，已知MN=48 cm,作OC⊥MN于点C.(1)求 OC 的长.解：(1)连接OM, 如图.∵O为圆心，OC⊥MN于点C,MN=48 cm,∴MC=MN=24 cm.∵AB=50 cm,∴OM=AB=25 cm,∴在Rt△OMC 中，OC= =7(cm).核心考点突破考点垂径定理(8年3考)１第一部分 河北中考命题研究与趋势分析返回目录操作：将图①中的水面沿 GH向右无滑动地滚动，使水流出一部分，当∠ANM=30°时停止滚动，如图②.其中，半圆的中点为Q,GH与半圆的切点为E, 连接OE交 MN于点D.探究：在图②中，(2)操作后水面高度下降了多少 (2) ∵GH与半圆的切点为E,∴OE⊥GH.∵MN//GH,∴OE⊥MN于点D.∵∠ANM=30°,ON=25 cm,∴OD=ON= cm,∴操作后水面高度下降了-7=(cm).第一部分 河北中考命题研究与趋势分析返回目录(3)连接 OQ 并延长交GH于点F, 求线段 EF与 的长度，并比较大小.(3) ∵OE⊥MN于点D, ∠ANM=30°,∴∠DOB=60°.∵半圆的中点为Q, ∴∴∠QOB=90°, ∴∠QOE=30°,第一部分 河北中考命题研究与趋势分析返回目录第一部分 河北中考命题研究与趋势分析2.(2024·河北石家庄一模)如图是某钢结构拱桥示意图，桥拱 可以近似看作圆弧，桥拱 和路面(弦AB)之间用7根钢索相连，钢索均垂直于路面AB.已知7根钢索将路面AB八等分，AB＝40 m，最中间的钢索CD＝10 m.(1)求桥拱 所在圆的半径的长；解：(1)由题意，知CD垂直平分AB，故圆心O在DC的延长线上，如图，连接OA，OB，∴AC＝BC＝20.设⊙O的半径为r，∵CD＝10，∴OC＝r－10.在Rt△AOC中，AC2＋OC2＝OA2，∴202＋(r－10)2＝r2，解得r＝25，∴桥拱 所在圆的半径的长为25 m.返回目录第一部分 河北中考命题研究与趋势分析(2)距离A最近的钢索MN比CD短多少？(2)如图，连接OM，过O作OH⊥MN交MN的延长线于点H.∵钢索将路面AB八等分，∴CN＝OH＝15，∴在Rt△MOH中，MH 20.∵HN＝OC＝15，∴MN＝MH－HN＝20－15＝5，∴CD－MN＝10－5＝5，即钢索MN比CD短5 m.返回目录考点圆周角定理(8年8考)23.(2025·河北魏县一模)如图，已知AB是半圆O的直径，点C，D将 分成相等的三段弧，点P在 上．若点Q在 上，∠APQ＝α，对于下列三个结论，判断正确的是( )结论Ⅰ：若点Q在 的中点处，则α＝135°；结论Ⅱ：当点Q在 上时，α的最小值为90°；结论Ⅲ：若α＝115°，则点Q在 上．A．Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对C．Ⅱ对，Ⅲ不对 D．Ⅰ不对，Ⅲ对A第一部分 河北中考命题研究与趋势分析返回目录4. (2022 · 河北24题)如图，某水渠的横断面是以AB为直径的半圆 O， 其中水面截线 MN//AB. 嘉琪在A 处测得垂直站立于B处的爸爸头顶C的仰角为14°，点M的俯角为7°.已知爸爸的身高为1.7 m.(1)求∠C 的大小及AB的长；解：(1)∵嘉琪在A 处测得垂直站立于B处的爸爸头顶C 的仰角为14°,∴∠CAB=14°, ∠CBA=90°,∴∠C=180°-∠CAB-∠CBA=76°,∵tan C=,BC=1.7 m,∴AB=1.7×tan 76°=6.8(m).答：∠C=76°,AB的长为6.8 m.第一部分 河北中考命题研究与趋势分析返回目录(2)请在图中画出线段DH，用其长度表示最大水深(不说理由)，并求最大水深约为多少米(结果保留小数点后一位)．(参考数据：tan 76°取4，取4.1)(2)在图中画出线段DH, 如图.∵∠BAM=7°, ∴∠BOM=14°.∵AB//MN,∴∠OMD=14°, ∴∠MOD=76°.在 Rt△MOD 中，tan ∠MOD=∴tan 76°=,∴MD=4OD.设OD=x m, 则 MD=4x m.在 Rt△MOD中，OM=OA=AB=3.4 m,∴x +(4x) =3.42.∵x>0,∴x=≈0.82, ∴OD≈0.82 m,∴DH=OH-OD=OA-OD≈3.4-0.82=2.58≈2.6(m).答：最大水深约为2.6 m.第一部分 河北中考命题研究与趋势分析返回目录第一部分 河北中考命题研究与趋势分析5. (2022 · 河北 24 题 ,2023 · 河北 24 题改编) 如图①，一段半圆形水槽的横断面是以 AB 为直径的半圆 O，水面宽 CD= 10 cm，水的最深处距离水面 1 cm.(1)求水槽的直径 AB的长度；解:(1)如图① ,过点 O作CD的垂线，分别交 CD和 于点 M,N,连接 OC，由题意可知，MN=1 cm ,由垂径定理，得 .设水槽的半径为r cm ,则在Rt△OCM中，OC= r cm,OM=（r-1）cm,由勾股定理，得 OM2 +CM2 =OC2 ,∴(r-1)2 +52 =r2,解得r =13,∴水槽的直径 AB=2r=26(cm) .返回目录第一部分 河北中考命题研究与趋势分析(2)如果往水槽中加水 ,使水面上升 7 cm到达 PQ的位置 ,如图② ,求∠PQC的度数.(参考数据:取 sin 23° = )(2)如图② ,过点 O作PQ的垂线 ,分别交 PQ, CD和 于点L,M,N,连接 OC,OP,在 Rt△OPL中，OP=13 cm，OL=ON-LN=13- (1+7)=5(cm) ,∴sin∠OPL= = ，∴∠OPL =23°,∴∠POL =90° -23° =67°.同理，∠COM=23°.∴∠POC=∠POL -∠COM=67° -23° =44°,∴∠PQC= ∠POC=22°.返回目录重难点提升练重点垂径定理的应用例(2024·石家庄一模)“ 圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题:“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺. 问:径几何 ”用现在的几何语言表达即:如图，CD为⊙O的直径，弦 AB⊥CD,垂足为点 E,CE=1寸，AB=10寸，则直径 CD的长度是( )A.12 寸B.24 寸C.13 寸D.26 寸D第一部分 河北中考命题研究与趋势分析返回目录方法点拨：1.常用辅助线：(1)过圆心作弦的垂线；(2)连接圆心和弦的一端(即半径),这样把半径、弦心距、弦的一半构建在一个直角三角形中，运用勾股定理即可求解.2.在直接运用垂径定理求线段的长度时，常将未知的一条线段设为x,利用勾股定理构造关于x的方程解决问题.3.若圆中圆心的位置未知，常根据垂径定理的推论确定圆心在某一条直线或线段上，再根据垂径定理求解相关的量.第一部分 河北中考命题研究与趋势分析返回目录针对练习第一部分 河北中考命题研究与趋势分析1. 赵州桥是当今世界上建造最早、保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥. 如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为37 m，拱高约为 7 m，则赵州桥主桥拱的半径R约为（ ）A.20 m B.28 m C.35 m D.40 mB返回目录第一部分 河北中考命题研究与趋势分析2．在数学活动课上，老师让同学们测一个残缺圆形工件(如图所示)的半径，实践小组给出了解决方案：在工件圆弧上任取两点A，B，连接AB，分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点E，F，连接EF，交 于点C，交弦AB于点D.经测量，AB＝60 cm，CD＝10 cm，则圆形工件的半径为 cm.50(共19张PPT)目录第六单元 圆第29节 尺规作图知识点1 五种基本尺规作图知识点2 常见基本尺规作图形式教材知识通关考点1 尺规作图痕迹的相关判断证明考点2 与尺规作图有关的计算与证明核心考点突破返回目录教材知识通关第29节 尺规作图五种基本尺规作图知识点1作图内容 作图步骤 图示 作图依据作一条线段等于已知线段 1.作射线OP； 2.以O为圆心，①______为半径作 弧，与射线OP交于点A，则线段OA即为所求 圆弧上的点到圆心的距离等于半径a第一部分 河北中考命题研究与趋势分析返回目录作图内容 作图步骤 图示 作图依据作一个角等于已知角 1.作射线②_______； 2.以③______为圆心，④_________为半径作弧，交∠α两边于点P，Q； 3.以⑤_______为圆心，⑥_________为半径作弧，交O′B于点M； 4.以⑦_________为圆心，⑧_________为半径作弧，交前弧于点N； 5.过点N作射线O′A，则∠AO'B即为所求 三边分别相等的两个三角形全等；全等三角形的对应角相等；两点确定一条直线作角平分线 1.以点O为圆心，⑨________为半径作弧，分别交OA，OB于点N，M； 2.分别以点M，N为圆心，⑩________MN的长为半径作弧，两弧交于点C； 3.作射线OC，射线OC即为所求 O′BO任意长O′OP长MPQ长任意长大于第一部分 河北中考命题研究与趋势分析续表返回目录作图内容 作图步骤 图示 作图依据作已知线段的垂直平分线 1.分别以A，B为圆心，大于 _______的长为半径，在AB两侧作弧； 2.过两弧交点作直线m，直线m即为所求 到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；两点确定一条直线第一部分 河北中考命题研究与趋势分析续表返回目录作图内容 作图步骤 图示 作图依据过一点作已知直线的垂线 过直线上一点作该直线的垂线 1.以点O为圆心，任意长为半径向点O两侧作弧，分别交直线于A，B两点； 2.分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径向直线两侧作弧，两弧分别交于点M，N； 3.过点M，N作直线MN，则直线MN即为所求垂线 等腰三角形“三线合一”；两点确定一条直线过直线外一点作该直线的垂线 1.在直线另一侧取点M； 2.以点P为圆心，PM长为半径作弧，分别交直线l于A，B两点； 3.分别以A，B为圆心，大于AB长为半径作弧，交M的同侧于点N； 4.过P，N作直线PN，则直线PN即为所求垂线 圆弧上的点到圆心的距离等于半径；到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；两点确定一条直线第一部分 河北中考命题研究与趋势分析续表返回目录常见基本尺规作图形式知识点2作平行线 已知直线 a 外一点 M第一部分 河北中考命题研究与趋势分析返回目录作三角形 已知三边 已知两边及夹角已知两角及夹边 已知底边及底边上的高作等腰三角形已知一直角边和斜边作直角三角形 第一部分 河北中考命题研究与趋势分析续表返回目录作三角形 的外接圆 或内切圆 已知△ABC(或点 A，B，C)作外接圆 已知△ABC作内切圆作圆的内 接正多边形 已知⊙O，作内接正六边形 已知⊙O，作内接正方形第一部分 河北中考命题研究与趋势分析续表返回目录核心考点突破考点尺规作图痕迹的相关判断证明(8年3考)１1．(2020·河北6题)如图①，已知∠ABC， 用尺规作它的角平分线.如图②，步骤如下：第一步：以B为圆心，a为半径画弧，分别交射线BA，BC于点D，E；第二步：分别以D，E为圆心，b为半径画弧，两弧在∠ABC内部交于点P；第三步：画射线BP， 射线BP即为所求.下列正确的是（ ）A.a，b均无限制 B.a>0，b>DE的长C.a有最小限制，b无限制 D.a≥0，bB第一部分 河北中考命题研究与趋势分析返回目录2.如图，用尺规作出BF//AO，所作痕迹 是（ ）A. 以点B为圆心，CD长为半径的弧B. 以点D为圆心，DC长为半径的弧C. 以点E为圆心，BE长为半径的弧D. 以点E为圆心，CD长为半径的弧D第一部分 河北中考命题研究与趋势分析返回目录3．(2024·吴桥县期末)已知锐角△ABC，O是AB的中点，嘉嘉、琪琪二人想在AC线段上找一点P，使得∠APB为直角.对于嘉嘉、琪琪二人的作法，下面说法正确的是( )A.只有嘉嘉正确 B.只有琪琪正确 C.两人都正确 D.两人都不正确C第一部分 河北中考命题研究与趋势分析嘉嘉的作法 琪琪的作法以点B为圆心，适当长为半径画弧，交直线 AC 于点 E，F，分别以点 E，F为圆心，大于 EF的长为半径画弧，两弧交于点 Q，作射线 BQ，交AC于点 P，则点 P 即为所求 以O为圆心，OA长为半径画弧，交AC 于点 P，则点P即为所求返回目录4.（启光原创）已知△ABC如图所示，一位同学用尺规作图的方法依次作出直线 l ，线段 CD，⊙E，线段 CF，线段 EF，则 CD与 EF的大小关系为( )A. CD>EF B. CD=EF C. CDA第一部分 河北中考命题研究与趋势分析返回目录考点与尺规作图有关的计算与证明( 8 年3 考 )25.(2021·河北16题)如图，等腰△AOB中，顶角∠AOB＝40°，用尺规按①到④的步骤操作：①以O为圆心，OA的长为半径画圆；②在⊙O上任取一点P(不与点A，B重合)，连接AP；③作AB的垂直平分线与⊙O交于M，N；④作AP的垂直平分线与⊙O交于E，F.结论Ⅰ：顺次连接M，E，N，F四点必能得到矩形；结论Ⅱ：⊙O上只有唯一的点P，使得S扇形FOM＝S扇形AOB.对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是 ( )A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对C．Ⅰ不对，Ⅱ对 D．Ⅰ对，Ⅱ不对D第一部分 河北中考命题研究与趋势分析6.(2024·河北邯郸二模)如图，已知△ABC，根据几何作图的痕迹，解决下列问题：（1）BE＝ ____；（2）若∠COE=68°，则∠ACB= °.返回目录44第一部分 河北中考命题研究与趋势分析BC7．(2025·河北石家庄一模)⊙O是△ABC的外接圆，在 上找一点M，使点M平分 ．对于图中的三种作法，下列说法正确的是（ ）A．三种作法都正确B．只有作法一和作法二正确C．只有作法二和作法三正确D．只有作法二正确返回目录A第一部分 河北中考命题研究与趋势分析8．(2025·广州二模)如图，在矩形ABCD中，BD是对角线．（1）在AD边上确定一点E，将△BED沿BD翻折后，点E的对应点F恰好落在BC边上（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；返回目录第一部分 河北中考命题研究与趋势分析解：（1）方法一： 方法二：（2）在（1）的条件下，连接BE，DF，判断四边形BEDF的形状.返回目录第一部分 河北中考命题研究与趋势分析解：（2）∵四边形ABCD为矩形，∴AD∥BC.由翻折知，BE=BF，由作图知，BE=DE，∴DE=BF，∴四边形BEDF是平行四边形.∵BE=BF，∴四边形BEDF是菱形.9．(2025·老河口校级模拟)已知 ABCD，点E是AD边上一点，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图.（1）在BC边上作一点F，使CF=AE；返回目录第一部分 河北中考命题研究与趋势分析解：（1）如图，点F即为所求.返回目录第一部分 河北中考命题研究与趋势分析（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，OA=OC，∴∠OAE=∠OCF.∵∠AOE=∠COF，∴△AOE≌△COF（ASA），∴CF=AE.(共34张PPT)目录第六单元 圆第27节 与圆有关的位置关系知识点1 点和圆的位置关系知识点2 直线和圆的位置关系知识点3 圆的切线知识点4 切线长定理知识点5 三角形的内切圆知识点6 三角形的外接圆教材知识通关目录考点1 切线的性质与判定考点2 三角形的内心和外心重点 圆的切线的判定及性质核心考点突破重难点提升练返回目录教材知识通关第27节 与圆有关的位置关系第一部分 河北中考命题研究与趋势分析点和圆的位置关系知识点1图示 位置关系 点 C在圆内 点 B在圆上 点 A在圆外d与r的关系 d①______r d②______r d③______r<=>返回目录一点一练1 . 已知⊙O的半径 OA长为 ,若 OB= ,则可以得到的正确图形可能是 ( )A第一部分 河北中考命题研究与趋势分析图示位置关系 相交 相切 相离d与r的关系 d④______r d⑤_____r d⑥______r公共点个数 2个 1个 0个返回目录直线和圆的位置关系知识点2<=>第一部分 河北中考命题研究与趋势分析返回目录2.半径为 5 的四个圆按如图所示位置摆放 , 若其中有一个圆的圆心到直线 l 的距离为 4 ,则这个圆可以是 ( )A. B.C. D.C第一部分 河北中考命题研究与趋势分析圆的切线返回目录知识点3定义 当直线与圆只有唯一公共点时，称直线与圆相切，此时这个公共点叫做切点，这条直线叫做圆的切线性质 圆的切线⑦__________于过切点的半径判定 1.和圆只有⑧________公共点的直线是圆的切线；2.到圆心的距离等于⑨________的直线是圆的切线；3.经过半径的外端点且⑩________于这条半径的直线是圆的切线垂直一个半径垂直第一部分 河北中考命题研究与趋势分析返回目录3．(2025·海口期中)如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，AB＝5，∠A＝30°，P是AB的延长线上一动点．要使直线PC与⊙O相切，则BP的长等于 ．第一部分 河北中考命题研究与趋势分析2.5返回目录4. △ABC内接于⊙O,过点 A作直线 EF,已知 ， 根据弦 AB的变化 , 甲、乙两人分别探究直线 EF与⊙O的位置关系:甲:如图① ,当弦 AB过点 O时 , EF与⊙O相切 ;乙:如图② , 当弦 AB不过点 O 时 ,EF也与⊙O相切.下列判断正确的是 ( )A. 甲对,乙不对 B. 甲不对,乙对C. 甲、乙都对 D. 甲、乙都不对C第一部分 河北中考命题研究与趋势分析返回目录切线长定理知识点4定义 经过圆外一点作圆的切线，这一点与 ______之间的线段长度叫做这点到圆的切线长切线长定理 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长 _______，这一点和圆心的连线 _______两条切线的夹角切点相等平分第一部分 河北中考命题研究与趋势分析返回目录5．(2025·河北期中)如图，有一个周长为15 cm的三角形纸片ABC，小刚想用剪刀剪出它的内切圆⊙O，他先沿着与⊙O相切的DE剪下了一个三角形纸片BDE，已知AC＝4 cm，则三角形纸片BDE的周长是( )A．10 cmB．9 cmC．8 cmD．7 cmD第一部分 河北中考命题研究与趋势分析返回目录三角形的内切圆知识点5图示定义 与三角形各边都 的圆叫做三角形的内切圆圆心 内心(三角形三条 的交点)性质 三角形的内心到三角形 _________的距离相等角度关系 ∠BOC=90°+∠A作法1.在Rt△ABC中，若两条直角边长分别为a,b,斜边长为c,则内切圆的半径为r=(a+b-c). 2.若△ABC的三边长分别为a,b,c,内切圆的半径为r,则S△ABC=(a+b+c)r 相切角平分线三条边拓 展 延 伸第一部分 河北中考命题研究与趋势分析三角形的外接圆返回目录知识点6图示定义 经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆圆心 外心(三角形三条边的 _______________的交点)性质 三角形的外心到三角形的 ___________的距离相等角度关系 ∠BOC= _____∠A作法1.不在同一直线上的三个点确定一个圆(简称“三点定圆”). 2.在Rt△ABC中，若斜边长为c,则外接圆的半径为R= . 3.锐角三角形的外心在三角形内，直角三角形的外心在斜边的中点处，钝角三角形的外心在三角形外 垂直平分线三个顶点温馨提醒2第一部分 河北中考命题研究与趋势分析返回目录6. 如图所示的网格由边长相同的小正方形组成 ,点A,B,C,D,E, F,G在小正方形的顶点上 , 则△ABC的外心是( )A. 点D B. 点EC. 点F D. 点G7.如图，在△ABC中，∠A=68°,若点 O是△ABC的外心，则∠BOC= ______°; 若点O是△ABC的内心，则∠BOC=_______°.C136124第一部分 河北中考命题研究与趋势分析返回目录考点切线的性质与判定（8年8考）１1.(2021·河北24题)如图，⊙O的半径为6，将该圆周12等分后得到表盘模型，其中整钟点为An(n为1～12的整数)，过点A7作⊙O的切线交A1A11的延长线于点P.(1)通过计算比较直径和劣弧 的长度哪个更长.核心考点突破解：(1)由题意，得∠A7OA11＝120°，∴ 的长＝ ＝4π＞12，∴ 比直径长．第一部分 河北中考命题研究与趋势分析返回目录(2)连接A7A11，则A7A11和PA1有什么特殊位置关系？请简要说明理由.(3)求切线长PA7的值．(2)结论：PA1⊥A7A11.理由：如图，连接A A ,A7A11.∵A1A7是⊙O的直径，∴∠A7A11A1=90°,∴PA1⊥A7A11.(3)如图，连接OA11.∵PA7是⊙O的切线，∴PA7⊥A1A7，∴∠PA7A1＝90°，∵∠PA1A7＝∠A7OA11=60°，A1A7＝12，∴PA7＝A1A7·tan 60°＝12.第一部分 河北中考命题研究与趋势分析2．(2020·河北22题)如图，点O为AB的中点，分别延长OA到点C，OB到点D，使OC＝OD.以点O为圆心，分别以OA，OC为半径在CD上方作两个半圆，点P为小半圆上任一点(不与点A，B重合)，连接OP并延长交大半圆于点E，连接AE，CP.(1)①求证：△AOE≌△POC.②写出∠1,∠2和∠C三者间的数量关系,并说明理由.返回目录(1)①证明：∵OA＝OP，OE＝OC，∠AOE＝∠POC，∴△AOE≌△POC.②解：∠1＋∠C＝∠2.理由如下：∵△AOE≌△POC，∴∠E＝∠C.又∵∠1＋∠E＝∠2，∴∠1＋∠C＝∠2.第一部分 河北中考命题研究与趋势分析返回目录(2)若OC＝2OA＝2，当∠C最大时,直接指出CP与小半圆的位置关系,并求此时S扇形EOD (答案保留π)．(2)解：相切.如图，∵CP 与小半圆相切，∴CP⊥OP.在Rt△OPC 中，∵OP=1,OC=2,∴cos∠COP=,∴∠COP=60°,∴∠DOE=120°,∴S扇形EOD＝π.第一部分 河北中考命题研究与趋势分析返回目录3.(启光原创)家具店销售如图①所示的木质摇椅，其侧面示意图(部分)如图②所示，已知椅垫AQ与椅腿的端点M，N两点的连线平行，点O是弧MN所在圆的圆心，OM，ON与椅垫AQ分别交于点A，B，当摇椅稳定平放在地面上时，M，N两点离地面的高度均为5 cm，OM＝125 cm.(1)求MN的长度；解：(1)如图①，过点M作MH垂直地面于H，过点O作OG⊥MN于G，设OG的延长线与地面交于点C.∵MN平行于地面，∴MH＝GC＝5 cm.∵OC＝OM＝125 cm，∴OG＝OC－GC＝125－5＝120(cm)．在Rt△OMG中，OM2＝OG2＋MG2，即1252＝1202＋MG2，∴MG＝35 cm，∴MN＝2MG＝70 cm.第一部分 河北中考命题研究与趋势分析返回目录(2)如图③，当弧MN所在的圆与地面相切于点M时，求点N到地面的距离．(2)如图②，过点N作ND垂直地面于D，NK⊥OM于K.设ND＝h cm，∵OM垂直地面于点M，∴四边形DNKM为矩形，∴MK＝ND＝h cm.∵OM＝ON＝125 cm，∴OK＝OM－MK＝(125－h)cm.在Rt△MNK中，NK2＝MN2－MK2＝702－h2，在Rt△ONK中，NK2＝ON2－OK2＝1252－(125－h)2，∴702－h2＝1252－(125－h)2，解得h＝19.6，∴当⊙O与地面相切于点M时，点N到地面的距离为19.6 cm.第一部分 河北中考命题研究与趋势分析4．(2025·河北石家庄一模)如图，点O，I分别是△ABC的外心和内心，连接OB，IA.若∠OBC＝20°，则∠IAB＝( )A．20°B．25°C．30°D．35°返回目录D5．(2024·河北唐山一模)如图所示的正方形网格中，A，B，C三点均在格点上，那么△ABC的外接圆圆心是( )A．点E B．点F C．点G D．点HC考点三角形的内心和外心（8年6考）2第一部分 河北中考命题研究与趋势分析返回目录6.(2023 ·河北 11 题改编) 如图 ,在 Rt△ABC 中 ,点 M是斜边 BC的中点 , 以 AM为边作正方形 AMEF,下列三角形中 ,外心不是点M的是( )A． B． C． D．C第一部分 河北中考命题研究与趋势分析返回目录7.(2019·高邑县期末)如图，点I为△ABC的内心，AB＝4，AC＝3，BC＝2.将∠ACB平移使其顶点与I重合，则图中阴影部分的周长为( )A．4.5 B．4 C．3 D．2B第一部分 河北中考命题研究与趋势分析返回目录8.(2019 ·河北23题)如图,△ABC和△ADE 中 ,AB=AD= 6 ,BC= DE, 30°,边 AD与边 BC交于点 P( 不与点 B, C重合) ,点 B,E在 AD异侧 ,I为△APC的内心.(1)求证: .第一部分 河北中考命题研究与趋势分析返回目录(1)证明：如图①,在△ABC和△ADE中，∴△ABC≌△ADE(SAS),∴∠BAC=∠DAE ,即∠BAD+∠DAC=∠DAC+∠CAE.∴∠BAD=∠CAE,第一部分 河北中考命题研究与趋势分析返回目录(2) 设 AP=x ,请用含 x 的式子表示 PD,并求 PD的最大值.第一部分 河北中考命题研究与趋势分析(2)解：∵AD=6,AP=x,∴PD=6-x,当AD⊥BC时 ,AP= AB=3最小 ,即PD=6-3=3为PD的最大值.返回目录(3) 当 AB⊥ AC时 , AIC的取值范围为 m° < < n°, 分别直接写出 m , n 的值.第一部分 河北中考命题研究与趋势分析(3)m=105,n=150.返回目录重难点提升练重点圆的切线的判定及性质例(启光原创) 小刚是一位勤于思考的同学. 一天 ,他想测量一只圆柱形玻璃杯的外径 ,于是设计了一个实验:如图 ,将一把刻度尺l ( 单位:cm) 紧贴玻璃杯外壁⊙O上的点 A,用一个简易的“ V”字型夹子夹紧玻璃杯外壁 , 已知夹子的两个夹持片 PB=PC,端点 B,C在刻度尺 l 上所对应的刻度分别为 5 和 12 , 点 P与点 A相距30 cm.(1)求点 A对应的刻度值.第一部分 河北中考命题研究与趋势分析解：(1)∵BC＝12－5＝7(cm)，∴AB＝BC＝(cm)，即点A对应的刻度为5＋＝.返回目录(2) 设夹持片 PB与玻璃杯⊙O的接触点为 D, ⊙O的半径为 r cm.①用含有 r 的代数式表示 PD;第一部分 河北中考命题研究与趋势分析(2)①如图，连接AP，OD.由题意得，l，PB，PC都是⊙O的切线，AP⊥l，AP经过点O，∴AP垂直平分BC，OD⊥PB.∵∠BAP＝∠ODP＝90°，∠BPA＝∠OPD，∴△BAP∽△ODP，∴∵AB＝，AP＝30，∴ ∴DP＝r.返回目录②求这只玻璃杯的外径( 通过估算 ,结果保留一位小数) .第一部分 河北中考命题研究与趋势分析②在Rt△ODP中，OP＝AP－AO＝30－r，由勾股定理，得OD2＋DP2＝OP2，则r2＋(r)2＝(30－r)2，即r2＝(30－r)2.∵0＜r＜AB＝，∴r＝30－r.≈＝60，则r≈30－r，解得r≈3.1，∴这只玻璃杯的外径为2r≈6.2(cm).返回目录方法点拨：与圆的切线有关的性质：1.一条切线时,可用切线的性质定理:圆的切线垂直于过切点的半径.进一步,可以得到两个结论:(1)经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点;(2)经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.2.两条切线时,若两条切线相交,则可用切线长定理:切线长相等,交点与圆 心的连线平分两条切线的夹角;若两条切线平行,则两条切线间的距离等于 圆的直径.第一部分 河北中考命题研究与趋势分析返回目录3.三条切线时,围成的三角形是圆的外切三角形,圆心是三角形的内心,到三边距离相等,三角形顶点与圆心的连线平分三角形的内角.4.四条切线时,围成的四边形是圆的外切四边形,两组对边的和相等.5.更多切线时,围成的多边形是圆的外切多边形,若多边形是正多边形,则 可利用圆的有关计算方法解决正多边形问题.第一部分 河北中考命题研究与趋势分析返回目录针对练习如图 ,PA是⊙O的切线 , 切点为 A,PB交⊙O于点 B,PA= PB,AC是⊙O的直径.(1)求证:PB是⊙O的切线.第一部分 河北中考命题研究与趋势分析(1)证明：如图，连接OB.∵PA＝PB，∴∠PAB＝∠PBA.∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA，∴∠PAB＋∠OAB＝∠PBA＋∠OBA，即∠OAP＝∠OBP.∵PA是⊙O的切线，∴∠OAP＝90°，∴∠OBP＝90°，∴PB是⊙O的切线．返回目录(2)连接 OP交 AB于点 D,若 OD=3 ,求 BC的长.第一部分 河北中考命题研究与趋势分析(2)解:由(1) ,得 PA,PB都是⊙O的切线 ,∴ OP平分 .∵PA=PB,∴AD=BD.又∵OA= OC,OD=3 , ∴BC=2OD=6.(共29张PPT)目录第六单元 圆第28节 与圆有关的证明和计算知识点1 弧长与扇形面积的计算知识点2 圆锥的有关计算知识点3 正多边形与圆教材知识通关目录考点1 弧长、扇形面积的相关计算考点2 正多边形和圆核心考点突破与圆有关的计算题核心素养探究返回目录教材知识通关第28节 与圆有关的证明和计算弧长与扇形面积的计算知识点1圆的周长 C=①_________ r为⊙O的半径，n°表示圆心角的度数，l是扇形AOB的弧长弧长 l=②___________ 圆的面积 S=③__________ 扇形的面积 S扇形==lr 扇形面积与三角形面积的关系 扇形面积公式S扇形=lr与三角形面积公式十分类似，可把扇形想象成曲边三角形，把弧长l看作底，r看作底上的高温馨提醒2πrπr 第一部分 河北中考命题研究与趋势分析返回目录一点一练1. 已知扇形的半径为20，圆心角的度数为90°，则这个扇形的弧长为 ，面积为 （结果保留π）.2. （2025·河北唐山期末）如图①是一块扇面形的临夏砖雕作品，它的部分设计图如图②，其中扇形OBC 和扇形OAD 有相同的圆心 O，且圆心角 ∠O=100°.若OA=120 cm，OB=60 cm，则阴影部分的面积是 cm2.（结果用π表示）10π100π第一部分 河北中考命题研究与趋势分析3000π返回目录一点一练3. 如图，用一个半径为6 cm的定滑轮拉动重物上升，绳索粗细不计且足够长，拉动绳索 ,使滑轮与绳索之间没有滑动的转动，当滑轮转动了 120°时，重物上升的高度是( )A. 4π cm B.2π cm C. 18π cm D. 24π cmA第一部分 河北中考命题研究与趋势分析返回目录圆锥的有关计算知识点2底面周长 C=④_________底面面积 S底=⑤________ 侧面积 全面积 S全=S侧+S底 1.圆锥的侧面展开图是扇形，圆锥的母线长等于侧面展开图(扇形)的半径，圆锥的底面圆周长等于侧面展开图(扇形)的弧长，即2πr=,化简后可得n=. 2.圆锥的轴截面是等腰三角形，圆锥的母线长l,底面半径r与圆锥的高h之间的关系是r +h =l 温馨提醒2πrπr 第一部分 河北中考命题研究与趋势分析返回目录4. 如图，格点纸中每个小正方形的边长均为 1，以小正方形的顶点为圆心，2 为半径做了一个扇形，用该扇形围成一个圆锥的侧面，针对此做法，小明和小亮通过计算得出以下结论：小明说：此圆锥的侧面积为 π；小亮说：此圆锥的底面周长为 π ，则下列结论正确的是( )A. 只有小亮对B. 只有小明对C. 两人都对D. 两人都不对第一部分 河北中考命题研究与趋势分析A图示正多边形的定义 各边⑥_________、各角也⑦________的多边形叫做正多边形正多边形与圆的关系 1.正多边形的中心：正多边形的外接圆的圆心；2.正多边形的半径：外接圆的半径；3.正多边形的中心角：正多边形的每一条边所对的圆心角；4.正多边形的边心距：正多边形的中心到一边的距离正多边形与圆的 相关计算 设正n边形的边长为a，则1.边心距r= ； 2.正n边形的周长l=na；3.正n边形的面积S= nar= lr；4.中心角 =正多边形与圆返回目录知识点3相等相等第一部分 河北中考命题研究与趋势分析返回目录5. 如图，正六边形 ABCDEF内接于⊙O. (1)若P是 上的动点，连接BP，FP，则 =_____°.(2)已知△ADF的面积为 .① = _____° ；②⊙O的半径长为_____.第一部分 河北中考命题研究与趋势分析返回目录考点弧长、扇形面积的相关计算(8年9考 )１核心考点突破1.（2024·河北 14 题）扇文化是中华优秀传统文化的组成部分，在我国有着深厚的底蕴. 如图，某折扇张开的角度为 120°时，扇面面积为S，该折扇张开的角度为 n°时，扇面面积为 ，若m= ，则 m与 n 关系的图象大致是（ ） 第一部分 河北中考命题研究与趋势分析C返回目录2.（2024·张家口一模）如图，点B在数轴上对应的数是-2，以原点O为圆心，OB的长为半径作优弧 ，使点 A在原点的左上方，且 ，点C为OB的中点，点D在数轴上对应的数为4.(1)求扇形AOB的面积；第一部分 河北中考命题研究与趋势分析(2)若点P是优弧 上任意一点 , 求 的最大值.返回目录第一部分 河北中考命题研究与趋势分析返回目录3.(2024·峰峰矿区校级模拟)如图，是一个半圆形桥洞的截面示意图，圆心为 O，直径 AB是河底截线，弦 CD是水位线，CD//AB，AB=20 m ，OE⊥CD于点 E.(1)当测得水面宽 CD= m 时，①求此时水位的高度 OE；第一部分 河北中考命题研究与趋势分析解:(1)①∵OE⊥CD，∴DE=CD= m.又∵OD= OB= AB=10 m，∴此时水位的高度 OE = (m).返回目录第一部分 河北中考命题研究与趋势分析②如图①，连接 OC.∴水面以上的桥洞部分的长为 (m).②求水面以上的桥洞部分( 即 ) 的长.①返回目录第一部分 河北中考命题研究与趋势分析(2)当水位的高度比(1) 上升 1 m 时，有一艘宽为 10 m，船舱顶部高出水面 2 m 的货船要经过桥洞 (船舱截面为矩形 MNPQ) ,请通过计算判断该货船能否顺利通过桥洞 该货船能顺利通过桥洞.理由：由（1）中水位高度为 5 m可知此时OE=5 +1 =6（m），如图②，延长OE交MQ于F，连接OM，则OF⊥MQ，∵货船宽为10 m，船舱顶部高出水面2 m，∴OF=6+2=8（m），货船居中行驶时MF= ×10=5（m），∴OM=，∴该货船能顺利通过桥洞.返回目录第一部分 河北中考命题研究与趋势分析4．(启光原创)把半径为2的球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图①所示，已知球截面⊙O与AD交于E，F两点(E在F的左边)，与AB相切于点G，与BC相切于点H，CD＝3，CB＝8.返回目录第一部分 河北中考命题研究与趋势分析(1)求 的长；解：(1)如图①，连接HO并延长，交AD于点M，连接OE，OF.∵⊙O与 BC 相切于点 H，∴HO⊥BC.∵ 长方体截面为矩形，∴∠A = ∠B = ∠C = ∠D=90°，∴四边形ABHM 和 MHCD 均为矩形，∴MH = AB = CD =3.∵⊙O的半径为2，∴OE = OF = OH =2.在 Rt△FOM 中，OM = MH-OH =3-2 =1，∴∴∠MOF =60°，∴∠EOF = 120°，∴ 的长为①返回目录第一部分 河北中考命题研究与趋势分析(2)如图②，球在长方体内从左到右无滑动地滚动，当其截面⊙O与CF相切于点F时，球滚动的距离是多少？解：(1)如图②，连接HO并延长，交AD于点M，连接OC，OF.∵⊙O与 CF相切于点 F，∴OF⊥FC.易证△OHC≌△OFC，∴∠FOC=∠HOC.∵∠MOF=60°，∴∠FOC=∠HOC=60°.∵在Rt△OHC中，OH=2，∴CH=OH·tan∠HOC=2× =2 ，∴球滚动的距离为8-2-2 =6-2 .返回目录考点正多边形和圆(8年1考)25. (2023·河北 9 题改编) 如图，点 P1 ，P2，… ， P8 将圆周分成八等份. 若△P3P5P7、梯形P2P3P7P8、四边形P1P2P3P7 的周长分别为a，b，c，则下列结论正确的是 ( )A. c> b > a B. a = b = cC. a > c= b D. b = c> aD第一部分 河北中考命题研究与趋势分析返回目录5. (启光原创) 如图①所示的正六边形（ 记为 “ 图形 P1”）边长为6 ,将每条边三等分 ,沿每个顶点相邻的两个等分点连线剪下6 个小三角形（如图①中6 个阴影部分的三角形），把剪下的这6个小三角形拼接成图②外轮廓所示的正六边形（记为“ 图形 P2”），作出图形 P2 的内切圆⊙O，如图③，得到如下结论：(1)图①中剩余的多边形（即不带阴影的部分）为正十二边形；(2) 把图②中不带阴影的部分记作“ 图形P3”,则图形 P1 ，P2 ，P3 的周长之比为 ；(3)图③中正六边形的边上任一点到⊙O上任一点的最大距离为 .以上结论正确的是( )A. (1) B. (2) C. (1)(3) D. (2)(3)第一部分 河北中考命题研究与趋势分析B返回目录6. (启光原创) 如图①，将一个正方形沿虚线对折两次，得到图②所示的小正方形，沿图②中虚线剪去腰长为 2 的等腰直角三角形，剩余部分展开后得到一个如图③所示的正八边形 ABCDEFGH，剪下的四个等腰直角三角形拼接成一个正方形 EFJK，放在正八边形的内部，一边与 EF重合，过 J，K两点作⊙P与AB相切于点 Q，分别以正八边形的两边 AB，GH所在直线为 x轴、y轴，建立平面直角坐标系.(1)图③中阴影部分的周长为 ；(2)点 E的坐标为_______________ ；(3)⊙P的面积为 _____.第一部分 河北中考命题研究与趋势分析返回目录第一部分 河北中考命题研究与趋势分析核心素养探究与圆有关的计算题圆的计算问题不仅仅考查了计算能力，在计算过程中往往需要推导数量关系或位置关系，这个推导的过程主要考查了推理能力，正因为几何计算问题的这一特征，所以河北省的中考题对于“图形与几何”知识领域的命题，以计算题为主，纯粹的证明题较少，且比较简单，在解答题中通常作为第1小题.与圆相关的计算题，除了计算能力和推理能力外，还通过各种方式，综合考查核心素养的其他表现.返回目录第一部分 河北中考命题研究与趋势分析(2022·河北10题·运算能力、几何直观)某款“不倒翁”（图①）的主视图是图②，PA，PB分别与 所在圆相切于点A，B. 若该圆半径是 9 cm，∠P=40°，则 的长是（ ）A. 11π cm B. π cm C.7π cm D. π cmA例1返回目录第一部分 河北中考命题研究与趋势分析分析:解法一（常规思路）：根据题意 , 先找到圆心O，然后根据PA，PB分别与 所在圆相切于点 A，B，∠P=40°，可以得到∠AOB 的度数，然后即可得到 对应的圆心角，再根据弧长公式计算即可.解法二（几何直观）： 观察图形可知，所求弧 为优弧，否则两条切线平行或交点在点M下方，故其长度大于半圆长度. 由半径可求半圆大小，则答案在大于半圆的结果中，仅有一个符合题意，从而快速求解，体现了思维的敏捷性和灵活性，带有创新意识特色.此外，题目从一个现实情境的玩具出发，只关注它的形状、大小和位置关系，排除色彩、材料、产地等非数学因素，抽象出几何图形，再通过主视图将其转化为平面图形. 综合以上分析，本题中核心素养的主要表现如图所示:返回目录第一部分 河北中考命题研究与趋势分析返回目录第一部分 河北中考命题研究与趋势分析(2023·河北24题改编·计算能力、几何直观)图①为某型号汤碗，截面如图②所示，碗体部分为半圆O，直径 AB 为10 cm，碗底CD与AB平行，倒汤时碗底 CD与桌面MN的夹角为 30°.(1)BE=_____cm；(2)汤的横截面积(图③阴影部分)=_______________cm2 .例2分析：(1)根据圆周角定理以及直角三角形的边角关系可求出 AE，BE；(2)求出圆心角度数, 即 ∠BOE=120°，再根据S阴影=S扇形OBE -S△OBE 进行计算即可.返回目录第一部分 河北中考命题研究与趋势分析（启光原创·计算能力、推理能力）如图，AB是⊙O的直径， C为⊙O上一点，且 AB=10，AC= . 点 D为⊙O上一个动点（D，C分别在 AB的两侧 , 且均不与 A，B两点重合），过点 C作 CE⊥DC，交 DB的延长线于点 E.(1)当CE是⊙O的切线时 , 求DC的长；分析：(1) 由切线性质可知，DC是⊙O的直径，与 AB等长；解：(1)∵CE是⊙O的切线，CE⊥DC，∴DC经过点 O，即DC为⊙O的直径，∴DC=AB=10.例3返回目录第一部分 河北中考命题研究与趋势分析(2)当 DC⊥ AB时，求扇形OBD的面积；分析：(2)关键求圆心角∠BOD的度数，有两种思路，一是先由DC⊥AB得 =，即BD =BC=5，判断出 △BOD为等边三角形，进而得到∠BOD=60°，二是利用三角函数在Rt△ABC中求得角度，再转化到△BOD中；解:（2）∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°.在Rt△ABC中，AB=10，AC= ，∴BC= .∵DC⊥AB，∴ = ，∴BD =BC=5.在⊙O中，OB=OD= OB=5，∴OB=OD= BD，∵DC⊥AB，即△BOD为等边三角形，∴∠BOD=60°，∴返回目录第一部分 河北中考命题研究与趋势分析(3) 当点 O在∠CDE内部时，直接写出BD的取值范围.分析：(3)点O在∠CDE 内部的两个极端情况 , 即当CD经过点O时，当BD经过点O时，分别求出两种情况下BD的取值，由此确定BD的取值范围.（3） . 展开更多...... 收起↑ 资源列表 1.第26节 圆的基本性质.pptx 2.第27节 与圆有关的位置关系.pptx 3.第28节 与圆有关的证明和计算.pptx 4.第29节 尺规作图.pptx
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