资源简介 (共19张PPT)目录微专题八 相似三角形中的常见模型相似三角形是几何中重要的模型之一，从历年中考考情来看，相似三角形的应用广泛．在选择题中，直接应用相似三角形的性质，考查线段或面积比，但它其实更多的是作为一种计算工具，在图形的翻折中，利用相似可以更快更简单求解；利用图中的相似，快速求得线段或角度；在压轴大题二次函数中，利用相似可以简化模型，减少计算量，节约做题时间．返回目录 模型1 “A”字型相似模型 类型 图形1.平A：已知DE//BC，则△ADE∽△ABC2.斜A（反A共角型）： 已知∠ADE=∠C，则△ADE∽△ACB3.特殊A（子母型-共边共角型）： 已知∠ADC=∠ACB，则△ADC∽△ACB4.特殊A（共角相似）： 已知∠ADE=∠ACB，则△ADE∽△ACB第一部分 河北中考命题研究与趋势分析返回目录针对练习1.如图，在△ABC中，点D,E分别在边AB,AC上，DE//BC.若 BD=2AD，则（ ）A.B.C.D.B第一部分 河北中考命题研究与趋势分析返回目录2.已知一个三角形两内角分别是50°和70°，另一个三角形两内角分别为50°和60°，则这两个三角形（ ）A.一定不相似 B.不一定相似 C.一定相似 D.不能确定C第一部分 河北中考命题研究与趋势分析返回目录3.如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知纸板的两条直角边DE=60 cm，EF=30 cm，测得边DF离地面的高度AC=1.5 m，CD=10 m，则树高 AB 为（ ）A.5 mB.6.5 mC.7 mD.7.5 mB第一部分 河北中考命题研究与趋势分析返回目录4.定义：如图①，若点P在三角形的一条边上，且满足∠1=∠2，则称点P为这个三角形的“理想点”.如图②，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=4，若点D是△ABC的“理想点”，求 CD 的长.第一部分 河北中考命题研究与趋势分析返回目录解：①D在AB 上时，如图：∵D 是△ABC的“理想点”，∴∠ACD=∠B 或∠BCD=∠A.当∠ACD=∠B 时，∠ACD+∠BCD=90°，∴∠BCD+∠B=90°，∴∠CDB=90°，即CD是AB 边上的高.当∠BCD=∠A时，同理可证∠CDB=90°，即CD是AB 边上的高，在 Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，AC=4，∴BC= =3.∵S△ABC= AB·CD= AC·BC，∴CD= .第一部分 河北中考命题研究与趋势分析返回目录②∵AC=4，BC=3，∴AC>BC，∴∠B>∠A，∴“理想点”D不可能在BC边上.③D 在AC 边上时，如图：∵D 是△ABC的“理想点”，∠DBC=∠A.又∠C=∠C，∴△BDC∽△ABC，∴ ，即 ，∴CD= .综上所述，CD的长为 或 .第一部分 河北中考命题研究与趋势分析返回目录 模型2 “8”字型相似模型 类型 图形1.平8（正8）：已知DE//BC，则△ADE∽△ABC2.反8（蝴蝶型）： 已知∠D=∠C，则△ADE∽△ACB第一部分 河北中考命题研究与趋势分析返回目录针对练习第一部分 河北中考命题研究与趋势分析5.如图，点E是 ABCD的边AD上的一点，且 ，连接BE并延长交CD的延长线于点F.若DE=3，DF=4，则 ABCD的周长为（ ）A.21B.28C.34D.42C返回目录第一部分 河北中考命题研究与趋势分析6．(2025·环翠区期末)如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点E，则以下结论错误的是( )A．若∠CAD＝∠CBD，则B．若AB∥CD，则C．若AE·CE＝BE·DE，则∠BDC＝∠ABDD．若DA2＝AE·AC，则∠AED＝∠ADCC返回目录 模型3 三平行倒数和模型 类型 图形1.两“A”-“8”型：已知DE//AF//BC，则2.四“A”-“8”型：已知DE//GF//BC，则 ， 且AF=AG第一部分 河北中考命题研究与趋势分析返回目录针对练习7．(2025·卫滨区校级三模)如图，在矩形ABCD中，CD＝8，AC＝10，E为AD上一点且AC，BE交于点F.若FG∥BC，S△AEF∶S△BFC＝1∶9，则FG的长为( )A.B.C.D.第一部分 河北中考命题研究与趋势分析C返回目录8.如图，在 ABCD中，延长CD至点E，使DE=DC，连接BE交AC于点F，过F作AB的平行线GH，分别交AD,BC于点G,H，则 的值为 .第一部分 河北中考命题研究与趋势分析返回目录 模型4 一线三等角模型 类型 图形1.同侧一线三等角：已知∠B=∠ACE=∠D=α（α为任意角度），则△ABC∽△CDE2.异侧一线三等角：已知点P 在线段 AB 的延长线上，∠1=∠2=∠3，则△ACP∽△BPD3.特殊情况（一线三垂直/K字模型）：已知∠B=∠ACE=∠D=90°，则△ABC∽△CDE第一部分 河北中考命题研究与趋势分析返回目录类型 图形4.三垂直的变形①：已知∠ABD=∠AFE=∠D=90°，则△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB5.三垂直的变形②：已知∠B=∠C=∠D=90°，则△ABM∽△NDE∽△NCM续表第一部分 河北中考命题研究与趋势分析返回目录针对练习9.如图，在△ABC中，AB=AC=6，BC=8，点D是BC边上的一个动点，点E在AC上，点D在运动过程中始终保持∠1=∠B.当EA=ED 时， EC 的长为（ ）A. B.C.3 D.B第一部分 河北中考命题研究与趋势分析返回目录10.已知：如图，△ABC是等边三角形，点D,E分别在CB,AC的延长线上，连接AD，DE，∠ADE=60°.求证：△ABD∽△DCE.证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，∴∠ABD=∠ECD=120°.又∵∠ADB+∠DAB=∠ABC=60°，∠ADB+∠EDC=60°，∴∠DAB=∠EDC，∴△ABD∽△DCE.第一部分 河北中考命题研究与趋势分析返回目录11.如图，在正方形ABCD中，AB=6，AE= AB，点F在AD上运动（不与A,D重合），过点 F作FG⊥EF交CD 于点G，求DG 的最大值.解：∵四边形 ABCD 为正方形，∴∠A=∠D=90°，∴∠AEF+∠AFE=90°.又∵FG⊥EF，∴∠DFG+∠AFE=90°，∴∠AEF=∠DFG，∴△AEF∽△DFG，∴ .设AF=x，则 DF=6-x，故 DG= .故当x=3时，DG有最大值，为 .第一部分 河北中考命题研究与趋势分析(共24张PPT)目录第四单元 图形的初步认识与三角形第20节 等腰三角形教材知识通关知识点1 等腰三角形与等边三角形知识点2 线段的垂直平分线目录核心考点突破考点1 等腰三角形的性质与判定考点2 等边三角形的性质与判定考点3 线段的垂直平分线重难点提升练重点1 等腰三角形“三线合一”的性质及应用重点2 构造等腰三角形返回目录教材知识通关第20节 等腰三角形等腰三角形与等边三角形知识点1等腰三角形 性质 1.两个底角相等(简称"等边对等角");2.顶角①___________、底边上的②_________、底边上的高相互重合(简称“三线合一”);3.是轴对称图形，至少有③________条对称轴判定 1.有④_________相等的三角形是等腰三角形(定义);2.有⑤__________相等的三角形是等腰三角形面积 S=ah,其中a是底边长，h是底边上的高平分线中线1两条边两个角第一部分 河北中考命题研究与趋势分析1.当顶角和底角不确定时，需要分类讨论，且需要用三角形内角和定理检验．如等腰三角形有一个角为70°，可以是如图①所示的两种形状．2.当腰长与底边长不确定时，要分类讨论，用三边关系检验．如等腰三角形其中两边长为5和6时，可以是如图②所示的两种形状返回目录温馨提醒等腰三角形中的分类讨论第一部分 河北中考命题研究与趋势分析返回目录一点一练1.如图，在△ABC中 ，AB=AC,BD=AD, ∠ABD=34°,则∠C = °,∠CBD = °.3973第一部分 河北中考命题研究与趋势分析返回目录2.如图，AB=AC,BD=DC,则下列结论不一定正确的是 ( )A. ∠B=∠CB. ∠ADB=90°C. ∠B=2∠BADD.AD平分∠BACC第一部分 河北中考命题研究与趋势分析返回目录3. 如图， 厂房屋顶钢架外框是一个三角形，其中立柱 AD⊥BC, 且 BD=DC.若外框AB 边的长度为5米，则AC边的长度为________米.5第一部分 河北中考命题研究与趋势分析返回目录等边三角形 性质 1.等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于⑥______;2.等边三角形三条角平分线的交点、三条高的交点、三条中线的交点⑦__________；3.等边三角形是轴对称图形，有⑧________条对称轴判定 1.⑨________________________________________(定义);2.三个角都相等的三角形是等边三角形；3.有一个角是60°的⑩_________三角形是等边三角形面积 S=a2，a是等边三角形的边长60°重合3三条边都相等的三角形叫做等边三角形等腰第一部分 河北中考命题研究与趋势分析续表返回目录4.如图，在一个池塘两旁有一条笔直小路 BC(B,C 为小路端点)和一棵小树(A为小树位置).测得的相关数据为∠ABC=∠ACB=60°，BC=48米，则AC= 米.48第一部分 河北中考命题研究与趋势分析返回目录线段的垂直平分线知识点2第一部分 考点攻略PA=PB, OA=OB, PO⊥AB, 知二推一 概念 经过一条线段的中点，并且 __________________的直线，叫做这条线段的垂直平分线性质 线段垂直平分线上的点与 ______________ _的距离相等判定 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的 ____________上垂直于这条线段垂直平分线这条线段两个端点返回目录5.(启光原创)在等腰△ABC中，AB＝AC，边AB的垂直平分线DE交BC于点D，连接AD.若AB＝5，△ADC的周长是13，求BC的长．第一部分 河北中考命题研究与趋势分析解：∵DE垂直平分AB，∴BD＝AD.∵AB＝5，AB＝AC，∴AC＝5，∴△ADC的周长＝AD＋DC＋AC＝BD＋DC＋5＝BC＋5.∵△ADC的周长是13，∴BC＝8.返回目录考点等腰三角形的性质与判定(8年5考 )核心考点突破11. (2023 · 河北5题)四边形ABCD的边长如图所示，对角线AC的长度随四边形形状的改变而变化.当△ABC为等腰三角形时，对角线AC的长为( )A.2B.3C.4D.5B第一部分 河北中考命题研究与趋势分析返回目录第一部分 河北中考命题研究与趋势分析四边形ABCD的边长如图所示，对角线AC的长度随四边形形状的改变而变化．当△ABC为直角三角形时，点D到AC的距离为 ．真题变式返回目录2.如图，在△ABC中，AD垂直平分BC，垂足为 D.(1)若∠ABC=36°, 则∠BAC= _______ °;(2)若AB=5，BC=6，BE为 AC边上的中线，则△BCE 的面积为_______.1086第一部分 河北中考命题研究与趋势分析返回目录考点等边三角形的性质与判定(8年2考)2第一部分 河北中考命题研究与趋势分析3．(2025·南充改编)如图，∠AOB＝90°，在射线OB上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径画弧；再以点C为圆心，OC长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点D，连接并延长CD交射线OA于点E.设OC＝1，则DE的长是 ．1返回目录4. (2016 · 河北16题改编)如图，∠AOB=120°,OP 平分∠AOB, 且OP=2. 若点M,N分别在OA,OB上，且∠MPN=60°,则△PMN周长的最小值为 .第一部分 河北中考命题研究与趋势分析5.(2018·河北8题)已知：如图，点P在线段AB外，且PA＝PB.求证：点P在线段AB的垂直平分线上．在证明该结论时，需添加辅助线，则下列作法不正确的是( )A．作∠APB 的平分线PC 交AB 于点CB．过点P 作PC⊥AB 于点C 且AC＝BCC．取AB 中点C，连接PCD．过点P 作PC⊥AB，垂足为C返回目录考点线段的垂直平分线(8年5考)3B第一部分 河北中考命题研究与趋势分析返回目录重难点提升练重点等腰三角形“三线合一”的性质及应用1例1如图，已知△ABC中，AB=AC,CD⊥AD于点D,CD=BC,点D在△ABC外.求证：∠ACD=∠B.思路点拨：BC是等腰三角形底边的一半，因此想到利用等腰三角形“三线合一”的性质.第一部分 河北中考命题研究与趋势分析返回目录证明：如图，过点A 作AE⊥BC于点E.∵AB=AC,∴BE=BC.∵CD=BC,∴BE=CD.∵CD⊥AD,AE⊥BC,∴△ACD和△ABE为直角三角形.在Rt△ACD 和 Rt△ABE 中，∴Rt△ACD≌Rt△ABE(HL),∴∠ACD=∠B.第一部分 河北中考命题研究与趋势分析返回目录针对练习1.如图，AD是△ABC的角平分线，点E在BC的延长线上，∠B=∠EAC,EF⊥AD, 垂足为点 F.求证：∠AEF=∠BEF.证明：∵ AD平分∠BAC,∴∠BAD= ∠CAD.∵∠B=∠EAC,∴∠B+∠BAD=∠CAD+∠EAC.∵∠ADE=∠B+∠BAD (三角形外角性质),∠DAE=∠CAD+∠EAC,∴∠ADE=∠DAE, 即△EAD为等腰三角形.∵EF⊥AD,∴EF平分∠AED(等腰三角形三线合一),即∠AEF=∠BEF.第一部分 河北中考命题研究与趋势分析返回目录重点构造等腰三角形2例2如图，在△ABC中，AB=AC, 直线DF交AB于点D, 交AC的延长线于点F, 交BC于点E. 若BD=CF, 求证：ED=EF.方法点拨：要证ED=EF,可考虑在中点两旁构造全等三角形.如过点D作DG//AC,交BC于点G, 由于AB=AC,则可得BD=GD, 因此 DG=CF, 所以可证得△DEG≌△FEC.第一部分 河北中考命题研究与趋势分析返回目录第一部分 河北中考命题研究与趋势分析证明：如图，过点D作DG//AC, 交BC于点G.∵DG//AC, ∴∠DGB=∠ACB, ∴∠DGE=∠FCE.∵AB=AC, ∴∠ABC=∠ACB,∴∠DGB=∠ABC, ∴DG=BD.∵BD=CF, ∴DG=CF.在△DEG与△FEC中，∴△DEG≌△FEC,∴ED=EF.返回目录方法总结：1.需要掌握的解题思路：在等腰三角形中，如遇等边或等角，可以考虑作底边上的高线，运用“三线合一 ”性质解题；如遇垂直平分，可以考虑构造等腰三角形解题.2.需要掌握的解题技巧：截长补短是一种辅助线的添加方法：①在长边上截取一条与某一短边相等的线段，再证剩下的线段与另一短边相等；②延长短边.第一部分 河北中考命题研究与趋势分析返回目录针对练习2.如图，在△ABC中，M是其内部一点，∠ABC=60°, ∠MBC=20°,CM平分∠ACB, 且∠ACB=20°,则∠BAM= °.70第一部分 河北中考命题研究与趋势分析(共27张PPT)目录第四单元 图形的认识初步与三角形第23节 锐角三角函数及其应用知识点1 锐角三角函数的定义知识点2 特殊锐角的三角函数值知识点3 解直角三角形知识点4 解直角三角形的实际应用教材知识通关目录考点1 仰角、俯角考点2 方向角的判断考点3 与锐角三角函数有关的计算及应用核心考点突破返回目录第23节 锐角三角函数及其应用教材知识通关锐角三角函数的定义知识点1如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b∠A的正弦：sin A＝＝① .∠A的余弦：cos A＝＝② .∠A的正切：tan A＝＝③ .∠A的正弦、余弦、正切都是∠A的锐角三角函数第一部分 河北中考命题研究与趋势分析返回目录一点一练1.分别写出图①、图②中∠B的正弦、余弦和正切值.图①：sin B= ，cos B= ，tan B= ；图②：sin B= ，cos B= ，tan B= .第一部分 河北中考命题研究与趋势分析返回目录特殊锐角的三角函数值知识点2α sin α cos α tan α30° ④________ ⑤________⑥________45° ⑦________ ⑧________ ⑨________60° ⑩________ ________ ________第一部分 河北中考命题研究与趋势分析返回目录2.计算：（1）2×sin 45°+3×tan 30°；（2）2×cos 60°-3×tan 45°.原式=2× +3×= + .原式=2× -3×1=-2.第一部分 河北中考命题研究与趋势分析返回目录解直角三角形知识点3概念 在直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形．边角关系 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c.1.三边关系：a2＋b2＝ （勾股定理）；2.两锐角之间的关系：∠A＋∠B= °；3.sin A=cos B= ，cos A=sin B= ，tan A= =面积关系S= ab= ch，其中h为Rt△ABC的斜边上的高第一部分 河北中考命题研究与趋势分析返回目录3.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，∠DBC=∠A.若AC=4，cos A= ，则BD的长度为（ ）A. B. C. D.4C第一部分 河北中考命题研究与趋势分析返回目录第一部分 考点攻略4.如图，在4×4正方形网格中，小正方形的边长为1，点D为AB与正方形网格线的交点，则下列结论错误的是（ ）A.tan ∠BAC=2B.∠ACB=90°C.CD=D.cos∠ABC=A返回目录知识点4解直角三角形的实际应用图示相 关 概 念 1.仰角：当从 处观测 处的目标时，视线与水平线所成的锐角； 2.俯角：当从 处观测 处的目标时，视线与水平线所成的锐角 1.坡角：坡面与水平面的夹角； 2.坡度也叫坡比，用i表示，即 i＝ ，其中h是坡面的铅直高度，l为对应的水平宽度；3.坡度是坡角的正切值，即i＝ (α表示坡角) 方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于 90 度的角.如图，点 A 在点O的 方向上，即东北方向第一部分 河北中考命题研究与趋势分析返回目录5.如图，一架水平飞行的无人机在 A 处测得河岸边C 处的俯角为α，tan α=2，无人机沿水平线AF 方向继续飞行 80米至B处时，被河对岸D处的小明测得其仰角为30°.无人机距地面的垂直高度用 AM 表示，点M，C，D在同一条直线上.若MC= 100米，则河流的宽度CD为 米.第一部分 河北中考命题研究与趋势分析返回目录考点仰角、俯角（8年2考)１ 类型1 仰角、俯角的确定 1.(2019·河北3题)如图，从点C观测点D的仰角是( )A．∠DAB B．∠DCEC．∠DCA D．∠ADCB核心考点突破第一部分 河北中考命题研究与趋势分析返回目录2.（2023·唐山模拟）如图，电线杆AB的中点C处有一标志物，在地面D点处测得标志物的仰角为35°，若拉线CD的长度是a米，则电线杆AB的长可表示为（ ）A.2a·cos 35°米B. 米C.2a·sin 35°米D. 米C第一部分 河北中考命题研究与趋势分析 类型2 与仰角、俯角有关的计算 返回目录3.(启光原创)研山坐落于滦县南端、滦河西岸，东西走向，其状势如虎，历来有“研山虎踞”之称，文峰塔便建于研山山顶，名列古滦州八大景观之首，如图．某校数学实践小组为开展测量文峰塔高度的实践活动，制定了测量方案，在实地测量后撰写活动报告，报告部分内容如下表：第一部分 河北中考命题研究与趋势分析返回目录第一部分 河北中考命题研究与趋势分析测量工具 测角仪、皮尺活动形式 以小组为单位测量 示意图 测量步骤 及结果 步骤如下：①在C处用测角仪测得塔的顶部点B的仰角∠BDG＝31°；②沿着CA方向走到E处，测得CE＝21米；③在E处用测角仪测得塔的顶部点B的仰角∠BFG＝45° 返回目录已知测角仪的高度为1.2米，点C，E，A在同一水平直线上．根据以上信息，求塔AB的高度．(结果保留一位小数，参考数据：sin 31°≈0.52，cos 31°≈0.86，tan 31°≈0.60)解：由题意得，DF＝CE＝21米，AG＝EF＝CD＝1.2米，∠BDG＝31°，∠BFG＝45°.在Rt△BDG中，tan∠BDG＝tan 31°＝ ≈0.60，∴DG＝ .在Rt△BFG中，∵∠BFG＝45°，∴FG＝BG.∵DF＝DG－FG＝ －BG＝21米，解得BG＝31.5米，∴AB＝31.5＋1.2＝32.7(米)．答：塔AB的高度约为32.7米．第一部分 河北中考命题研究与趋势分析返回目录考点方向角的判断（8年4考)24.(2023·河北2题)淇淇一家要到革命圣地西柏坡参观.如图，西柏坡位于淇淇家南偏西70°的方向，则淇淇家位于西柏坡的（ ）A.南偏西70°方向B.南偏东20°方向C.北偏西20°方向D.北偏东70°方向D第一部分 河北中考命题研究与趋势分析返回目录5.(2024·宁夏)小明与小亮要到科技馆参观．小明家、小亮家和科技馆的方位如图所示，则科技馆位于小亮家的( )A．南偏东60°方向 B．北偏西60°方向C．南偏东50°方向 D．北偏西50°方向A第一部分 河北中考命题研究与趋势分析返回目录6.(2018·河北11题)如图，快艇从P处向正北航行到A处时，向左转50°航行到B处，再向右转80°继续航行，此时的航行方向为（ ）A.北偏东30°B.北偏东80°C.北偏西30°D.北偏西50°A第一部分 河北中考命题研究与趋势分析返回目录7.(2020·河北12题)如图，从笔直的公路l旁一点P出发，向西走 6 km 到达l；从P出发向北走 6 km 也到达l.下列说法错误的是（ ）A.从点 P 向北偏西 45°方向走 3 km 到达lB公路l 的走向是南偏西45°C.公路l 的走向是北偏东45°D.从点P向北走3 km后，再向西走3 km到达lA第一部分 河北中考命题研究与趋势分析返回目录考点与锐角三角函数有关的计算及应用（8年8考）38.(2024·张家口一模) 如图 ,将 45°的∠AOB 按下面的方式放置在一把刻度尺上 ,顶点 O 与尺下沿的端点重合, OA与尺下沿重合, OB与尺上沿的交点B在尺上的读数恰为 2 厘米,若按相同的方式将 37°的∠AOC放置在该刻度尺上,则 OC与尺上沿的交点C在尺上的读数约为( ) . ( 结果精确到 0. 1厘米 ,参考数据:sin 37° ≈ 0.60 ,cos 37°≈ 0.80 ,tan 37°≈ 0.75)A.2.5 厘米B.2.6 厘米C.2.7 厘米D.2.8 厘米C第一部分 河北中考命题研究与趋势分析返回目录9.(2025·河北16题)2025年3月是第10个全国近视防控宣传教育月，活动主题为“抓早抓小抓关键，更快降低近视率”，如图是一幅眼肌运动训练图，其中数字1～12对应的点均匀分布在一个圆上，数字0对应圆心．图中以数字0～12对应的点为端点的所有线段中，有一条线段的长与其他的都不相等．若该圆的半径为1，则这条线段的长为 .(参考数据：sin 15°＝ ，sin 75°＝ )第一部分 河北中考命题研究与趋势分析返回目录10.(2024·河北22题)中国的探月工程激发了同学们对太空的兴趣. 某晚,淇淇在家透过窗户的最高点P恰好看到一颗星星 ,此时淇淇距窗户的水平距离BQ=4 m ,仰角为 α；淇淇向前走了 3 m后到达点 D,透过点 P恰好看到月亮 ,仰角为 β ,下图是示意图. 已知淇淇的眼睛与水平地面BQ的距离AB=CD=1.6 m ,点 P到 BQ的距离 PQ= 2.6 m ,AC的延长线交 PQ于点 E. (注:图中所有点均在同一平面)(1)求 β 的大小及 tan α 的值；第一部分 河北中考命题研究与趋势分析解 : (1) 由题意可得,PQ⊥AE,PQ=2.6 m,AB=CD=EQ=1.6 m,AE=BQ=4 m,AC=BD=3 m ,∴CE= 4-3 =1(m) , PE= 2.6 -1.6 =1(m), ∠CEP=90°,∴CE=PE,∴β =∠PCE=45°,tan α =tan∠PAE= .返回目录(2)求 CP的长及 sin∠APC的值.第一部分 河北中考命题研究与趋势分析∵CE=PE =1 m，∠CEP=90°，∴ .如图，过点 C作 CH⊥AP于 H.∵tan α =tan∠PAE= ，设CH=x m，则AH=4x m，∴x2+(4x)2=AC2=9，∴ ，∴CH= ，∴sin∠APC= .返回目录第一部分 河北中考命题研究与趋势分析11. (启光原创) 如图 ,在一个建筑物两侧搭两个长度相同的滑梯(即BC=EF) ,设计要求左、右两边的滑梯BC,EF的坡度分别为 1: 2 和 1:0.5. 测得 AD=3 米，CD=5 米.(1)求滑梯的长；解:(1)∵AD=3米,CD=5米, ∠BAC= ∠CAD=90°,∴AC= （米）.∵左边滑梯 BC的坡度为 1 : 2 ,∴ AB=8 米,∴滑梯的长 BC= EF= (米) .返回目录第一部分 河北中考命题研究与趋势分析(2)试猜想两个滑梯 BC,EF的位置关系 , 并证明；(2)BC⊥EF.证明:如图，延长BC交EF于点G.∵tan∠ABC= ，tan∠DEF= ，∴∠ABC=∠DEF.∴∠DEF+∠DFE=90°, ∴ ∠ABC+∠DFE=90° ,∴∠BGF=90°,即 BC⊥EF.返回目录第一部分 河北中考命题研究与趋势分析(3)小亮(看成点P)从点E沿滑梯EF下滑，请直接写出他与C处距离的最小值.（3） 米.(共9张PPT)返回目录 模型1 全等手拉手模型 微专题九 手拉手模型模型展示 已知：在△OAB中，OA=OB，在△OCD中，OC=OD，∠AOB=∠COD=α，连接AC，BD，相交于点E.简记为：双等腰、共顶点、顶角相等、旋转得全等解题思路 1.共顶点：加（减）共顶点的公共角∠BOC 得一组对应角相等；2.利用已知两组边相等或等腰、等边、正方形、菱形的性质，得到两组对应边相等第一部分 河北中考命题研究与趋势分析返回目录1.如图，点P在等边△ABC内，连接AP，把AP绕点A顺时针旋转60°，点P的对应点为点D，分别连接BD，PD，CP.求证：BD=CP.证明：∵△ABC为等边三角形，∴AB=AC，∠BAC=60°.∵把 AP 绕点 A 顺时针旋转 60°，得到AD，∴AD=AP，∠DAP=60°，∴∠BAC-∠BAP=∠DAP-∠BAP，即∠DAB=∠PAC.在△ABD 和△ACP 中，∴△ABD≌△ACP（SAS），∴BD=CP.第一部分 河北中考命题研究与趋势分析针对练习返回目录2.嘉淇将两个大小不同的含45°角的直角三角板按如图①所示放置在同一平面内.从图①中抽象出一个几何图形（如图②），B,C,E三点在同一条直线上，连接DC.猜想线段BE与CD的数量关系和位置关系，并证明.第一部分 河北中考命题研究与趋势分析返回目录解：BE=CD；BE⊥CD.证明：∵△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°，即∠BAC+∠CAE=∠DAE+∠CAE，∴∠BAE=∠CAD.在△ABE 和△ACD 中，∴△ABE≌△ACD（SAS），∴BE=CD，∠ACD=∠ABC=∠ACB=45°，∴∠BCD=90°，∴BE⊥CD.第一部分 河北中考命题研究与趋势分析返回目录 模型2 相似手拉手模型 模型展示 已知△AOB∽△COD，且△COD绕公共顶点O旋转.简记为：非等腰、共顶点、顶角相等、旋转得相似解题思路 1.共顶点：加（减）共顶点的公共角∠BOC 得一组对应角相等；2.利用已知三角形相似得到两组边对应成比例，证明三角形相似第一部分 河北中考命题研究与趋势分析返回目录针对练习3.如图，在△OAB和△OCD中，∠AOB=∠COD=90°，∠OAB=∠OCD=30°，连接AC交BD的延长线于点M.（1）求 的值；（1）解：∵∠AOB = ∠COD=90°，∠OAB = ∠OCD =30°，∴ ，∠COD+ ∠AOD=∠AOB+∠AOD，即∠AOC=∠BOD,∴△AOC∽△BOD，∴ .第一部分 河北中考命题研究与趋势分析返回目录（2）求证：AM⊥BM.（2）证明：∵△AOC∽△BOD，∴∠CAO=∠DBO.∵∠AOB=90°，∴∠DBO+∠ABD+∠BAO=90°，∴∠CAO+∠ABD+∠BAO=90°，∴∠AMB=90°，∴AM⊥BM.第一部分 河北中考命题研究与趋势分析（1）证明：∵∠ACB=∠DCE=90°，∴∠ACB-∠DCB=∠DCE-∠DCB，即∠ACD=∠BCE.∵ ，∴△ACD∽△BCE.返回目录4.如图，在△ABC和△DEC中，已知∠ACB=∠DCE=90°，AC=6，BC=3，CD=5，CE=2.5，连接AD，BE.（1）求证：△ACD∽△BCE；第一部分 河北中考命题研究与趋势分析返回目录（2）若∠BCE=45°，求△ACD的面积；（2）解：如图，过点D作DG⊥AC于点G.∵△ACD∽△BCE，∴∠ACD=∠BCE=45°.在Rt△CDG中，∠ACD=45°，CD=5，∴DG=CD·sin 45°=5× = ，∴S△ACD= AC·DG= ×6× = .第一部分 河北中考命题研究与趋势分析(共39张PPT)目录第四单元 图形的初步认识与三角形第17节 几何图形初步、相交线、平行线教材知识通关知识点1 直线与线段知识点2 角知识点3 相交线知识点4 平行线目录核心考点突破考点1 直线、线段考点2 角的度量与计算考点3 相交线与平行线重难点提升练重点1 平行线判定的条件重点2 利用平行线的性质求角度重点3 借助三角板求角的度数重点4 利用平行线的性质解决折叠问题重点5 利用平行线的判定与性质求角度返回目录教材知识通关第四单元 图形的初步认识与三角形第17节 几何图形初步、相交线、平行线知识点1直线与线段基本事实 1.直线的基本事实：两点①________一条直线；2.线段的基本事实：两点之间，②______最短两点间的距离 连接两点间的③_____________线段的中点如图，若有AM=④_____=⑤_______AB，则M是线段AB的中点确定线段线段的长度MB第一部分 河北中考命题研究与趋势分析返回目录线段的和与差 如图，在线段AB上取一点C，则有⑥____+CB=AB;AC=⑦____-BC;BC=AB-⑧____直尺测量线段长度的方法如图①，线段AB=2 cm.如图②，线段CD=5-2=3(cm)ACABAC续表第一部分 河北中考命题研究与趋势分析返回目录一点一练1.“植树时只要确定两棵树的位置，就能确定这一行树所在的直线”，用数学知识解释其道理应该是 ( )A.两点之间，线段最短B.两点确定一条直线C.直线可以向两边延长D.两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离B第一部分 河北中考命题研究与趋势分析返回目录2.把三角形剪去一个角，所得四边形的周长比原三角形的周长小，能正确解释这一现象的数学知识是( )A．四边形周长小于三角形周长B．两点确定一条直线C．两点之间，线段最短D．经过一点有无数条直线C第一部分 河北中考命题研究与趋势分析返回目录3．(启光原创)如图，点C是线段AB的中点，点D是线段BC的中点．若AD＝9，则BC的长为 ．第一部分 河北中考命题研究与趋势分析6返回目录角知识点2量角器的使用方法 量角器的中心O和角的顶点重合，量角器的0刻度线和角的一条边重合，做到两重合后看角的另一边对应的刻度线的度数角的换算 1周角=⑨_____°，1平角=⑩_____°，1°= _____ ′，1′= _____″余角、补角 α+β= ______ α，β互为余角.同角(等角)的余角 ______.α+β= ______ α，β互为补角.同角(等角)的补角 _______360180606090°180°相等相等第一部分 河北中考命题研究与趋势分析返回目录4.27°15′= °，27.15°= °____′.5.将一副三角板分别按如图所示位置摆放，则α和β之间的数量关系分别是甲: ;乙: ;丙: .2727.259α=βα+β=180°α+β=90°第一部分 河北中考命题研究与趋势分析返回目录相交线知识点3相交线 对顶角 性质：对顶角相等.如∠6与 _______邻补角 互为邻补角的两个角之和等于 _______°.如∠1与∠4，∠2与∠3等三线八角 1.同位角：∠1与 _______，∠2与∠6等；2.内错角：∠2与 _______，∠3与∠5;3.同旁内角：∠3与 _______，∠2与∠5垂线(段) 基本事实：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 垂线段的性质：直线外一点与直线上各点的所有线段中， _______最短. 点到直线的距离：直线外一点到这条直线的 _______的长度.如图， _____ ________________即为点C到直线AB的距离(CP⊥AB，P为垂足)∠8∠8180∠8∠5垂线段垂线段线段CP的长度第一部分 河北中考命题研究与趋势分析返回目录6. (启光原创)如图，有下列判断： ①∠A 与∠1是同位角；②∠A 与∠B 是同旁内角；③∠3与∠1 是内错角；④∠1与∠4是同位角.其中正确的是 ( ) A.①②③B.①②④C.②③④D.①③④A第一部分 河北中考命题研究与趋势分析返回目录7.(启光原创)点P是直线AB外一点，点C在直线AB上，已知PC＝6，则关于点P到直线AB的距离说法正确的是( )A．点P到直线AB的距离为6B．点P到直线AB的距离可能为7C．点P到直线AB的距离不可能为6D．点P到直线AB的距离不超过6第一部分 河北中考命题研究与趋势分析D平行线 (平行公理) 基本事实 过直线外一点有且只有 ______条直线与这条直线平行推论 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相 ______判定和性质 1.同位角 _______ 两直线平行.若∠1= ______，则a∥b; 若a∥b，则∠1= ______. 2.内错角相 两直线平行.若∠3=∠4，则 ______; 若 ______，则∠3=∠4. 3.同旁内角互补 两直线平行.若∠2+∠3= _______，则a∥b.反之也成立温馨提醒：1.两条平行线间的距离：两条平行线之间的距离处处相等. 2.在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行. 3.直尺测量平行线间距离：如图，平行线a，b之间的距离为2.5cm返回目录知识点4平行线一∠2∠2a∥ba∥b180°相等平行第一部分 河北中考命题研究与趋势分析返回目录8.(2024·新华区模拟)如图,已知∠A=71°,O是AB上一点,直线OD与AB的夹角∠BOD=84°，要使OD//AC,直线OD绕点O按逆时针方向至少旋转（ ）A.16°B.13°C.25°D.15°B第一部分 河北中考命题研究与趋势分析返回目录9.如图，直线a//b，则直线a，b之间的距离是( )A.线段AB的长度B.线段CD的长度C.线段AD的长度D.线段CE的长度B第一部分 河北中考命题研究与趋势分析返回目录10.如图，直线 a//b，直线c与直线a，b相交，若∠1=54°，则∠3=_____°.54第一部分 河北中考命题研究与趋势分析返回目录平行线中求角度的常见模型及作辅助线方法：作法一： 作平行线作法二： 拐点延长相交角度关系 ∠ABE+∠DCE= _________ ∠ABE+∠DCE+ ∠BEC= _____° ∠ABE-∠DCE= ______ ∠ABE-∠DCE= ______温馨提醒: 1.两直线相交，邻补角的角平分线互相垂直，如图①; 2.两直线平行，同旁内角的角平分线互相垂直，如图②∠BEC∠BEC∠BEC360第一部分 河北中考命题研究与趋势分析返回目录11.下面图①是某同学“抖空竹”时的一个瞬间，小聪把它抽象成图②的数学问题：已知AB∥CD，∠EAB＝70°，∠ECD＝100°，则∠E的度数为（ ）A.30° B.40° C.60° D.70°A第一部分 河北中考命题研究与趋势分析返回目录核心考点突破考点直线、线段(8年2考)１1.(2021·河北1题)如图，已知四条线段a，b，c，d中的一条与挡板另一侧的线段m在同一直线上，请借助直尺判断该线段是( )A．a B．b C．c D．dA第一部分 河北中考命题研究与趋势分析返回目录2．(2020·河北1题)如图，在平面内作已知直线m的垂线，可作垂线的条数有( )A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条D第一部分 河北中考命题研究与趋势分析返回目录考点角的度量与计算23．(2025·张家口模拟)如图，已知∠AOC和∠BOD都是直角，若∠DOC减小3°，则下列说法正确的是( )A．∠1减小3°B．∠2减小3°C．∠AOB减小3°D．∠DOC与∠AOB的和不变第一部分 河北中考命题研究与趋势分析D返回目录4．如图 ,将长方形纸片 ABCD沿 MP和NP折叠,点C′在射线PB′上，设∠PMB＇=α , ∠NPC＇=β ,则( )A.α>βB.α<βC.α=βD.α+β =90°C第一部分 河北中考命题研究与趋势分析返回目录5．(启光原创)如图，在灯塔O 处观测到轮船A 位于北偏西64°的方向上，轮船B 在OA 的反向延长线的方向上，同时轮船C 在东南方向上，则∠BON = ____°， ∠BOC = ____ °，∠AOC =______°.6.角α的余角是40°，则角α的补角等于______°．6419161130第一部分 河北中考命题研究与趋势分析返回目录相交线与平行线（8年5考，3次单独考查）C7.(2025·河北2题)榫卯结构是两个构件采取凹凸结合的连接方式．如图是某个构件的截面图，其中AD∥BC，∠ABC＝70°，则∠BAD＝( )A．70°B．100°C．110°D．130°考点3第一部分 河北中考命题研究与趋势分析返回目录8．(启光原创)如图，直角三角板ABC的直角顶点C在直线l上，∠B＝30°，∠α＝110°，则∠BCD的度数为( )A．30°B．40°C．35°D．45°B第一部分 河北中考命题研究与趋势分析返回目录9．如图，C岛在A岛的北偏东50°方向上，在B岛的北偏西35°方向上，则∠ACB的度数是( )A．35°B．50°C．85°D．90°C第一部分 河北中考命题研究与趋势分析返回目录10.(2022·河北11题)要得知作业纸上两相交直线AB，CD所夹锐角的大小，发现其交点不在作业纸内，无法直接测量．两同学提供了如下间接测量方案：对于方案Ⅰ，Ⅱ，说法正确的是( )A．Ⅰ可行，Ⅱ不可行 B．Ⅰ不可行，Ⅱ可行C．Ⅰ，Ⅱ都可行 D．Ⅰ，Ⅱ都不可行第一部分 河北中考命题研究与趋势分析C返回目录11.(2023·河北15题)如图，直线l1∥l2，菱形ABCD和等边△EFG在l1，l2之间，点A，F分别在l1，l2上，点B，D，E，G在同一直线上．若∠α＝50°，∠ADE＝146°，则∠β＝( )A．42°B．43°C．44°D．45°第一部分 河北中考命题研究与趋势分析C返回目录重难点提升练平行线判定的条件1.下列图形中,由∠1 =∠2,能得到AB//CD的是( )重点１D第一部分 河北中考命题研究与趋势分析返回目录2.如图，能判定AB∥CD的是( )A．∠3＝∠4B．∠1＝∠3C．∠1＝∠4D．∠1＝∠2D第一部分 河北中考命题研究与趋势分析返回目录平行线的判定方法:(1)根据定义判定:在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线;(2)三个判定定理:①同位角相等,两直线平行;②内错角相等,两直线平行;③同旁内角互补,两直线平行;(3)平行线的传递性:平行于同一条直线的两直线平行;第一部分 河北中考命题研究与趋势分析返回目录3.如图,把一个长方形纸条ABCD沿AF折叠,已知∠ADB=26°,AE//BD,则∠BAF=°.4.如图是汽车灯的剖面图，位于点O处的灯发出的光照射到凹面镜上反射出的光线BA，CD是平行线．若∠ABO＝25°，∠OCD＝60°，则∠BOC的度数为( )利用平行线的性质求角度重点258第一部分 河北中考命题研究与趋势分析C返回目录平行线的性质:(1)两直线平行，同位角相等；(2)两直线平行，内错角相等；(3)两直线平行，同旁内角互补.第一部分 河北中考命题研究与趋势分析返回目录5.(启光原创)直线l1∥l2，将一块含30°角的直角三角板按照图中的方式摆放(∠ABC＝30°)，点A和点B分别落在直线l1和直线l2上．若∠2＝30°，则图中∠1和∠3的数量关系为( )A．∠1＋∠3＝90° B．∠1＋∠3＝100°C．∠1＝∠3 D．2∠1＝3∠3 借助三角板求角的度数重点3C平行线拐点问题结合直角三角形，计算出相应角的度数，最终得到∠1和∠3的数量关系.第一部分 河北中考命题研究与趋势分析返回目录6.如图，将一副三角板叠放在一起,使直角的顶点重合于点0,AB//OC,DC与OB交于点E,则∠DEO的度数为 °.75求∠DEO的度数，先将图形简化为下图:由AB// OC,利用两直线平行，内错角相等，可以得到∠B=∠COE,最后利用三角形的外角性质求得∠DEO.第一部分 河北中考命题研究与趋势分析返回目录7.如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，点A，D分别落在点A′，D′的位置上，EA′与DC交于点G.若∠EFG＝46°，则∠A′GC＝ ．利用平行线的性质解决折叠问题重点4第一部分 河北中考命题研究与趋势分析88°返回目录8.一次数学活动中,检验两条纸带①,②的边线是否平行,嘉嘉和淇淇采用两种不同的方法:嘉嘉将纸带①沿AB折叠,量得∠1 =∠2 = 59°;淇淇将纸带②沿CD折叠,发现CN与CM重合,DQ与DP重合(点C在MN上，点D在PQ上)，如图所示.下列判断正确的是（ ）A.只有纸带①的边线平行B.只有纸带②的边线平行C.纸带①,②的边线都平行D.纸带①,②的边线都不平行B第一部分 河北中考命题研究与趋势分析注意:在利用平行线的性质解决折叠问题时，要利用折叠前后图形中的对应角相等这一隐含条件.返回目录9.如图,已知∠l +∠2=180°,∠3 = 124°,则∠4 =（ ）A.124° B.66° C.56° D.46°利用平行线的判定与性质求角度重点5C第一部分 河北中考命题研究与趋势分析返回目录10.如图,已知AB//CD,EF⊥AB于点E,∠AEH=∠FGH=20°，∠H=50°,则∠EFG的度数是（ ）A.120° B.130° C.140° D.150°C此题为平行线中求角度的模型,作辅助线的方法有多种，现给出两种:第一部分 河北中考命题研究与趋势分析(共24张PPT)目录第四单元 图形的初步认识与三角形第18节 三角形的边、角及重要线段教材知识通关知识点1 三角形的分类及性质知识点2 三角形中的重要线段核心考点突破考点1 三角形的三边关系及性质考点2 三角形的内外角关系考点3 三角形中的重要线段返回目录教材知识通关第18节 三角形的边、角及重要线段知识点1三角形的分类及性质分类按边分：三角形按角分：三角形直角三角形斜三角形钝角三角形锐角三角形等腰三角形三边都不相等的三角形第一部分 河北中考命题研究与趋势分析底和腰不等的等腰三角形等边三角形返回目录性质 三边关系 三角形任意两边之和①____ 第三边，三角形任意两边之差②______第三边角的关系 1.内角和定理：三角形三个内角的和等于③_____.2.外角和定理：三角形的外角和等于360°.3.内外角关系：a.三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的④____.b.三角形的一个外角⑤_____任何一个与它不相邻的内角边角关系 (拓展内容) 在同一个三角形中，等边对等角、等角对等边(大边对大角，小边对小角)稳定性 三角形具有稳定性方法点拨 1.若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质“三角形的任意一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”将它们转化到一个三角形中去； 2.探究角度之间的不等关系，多用外角的性质“三角形的一个外角大于任意一个和它不相邻的内角”大于小于180°大于和续表第一部分 河北中考命题研究与趋势分析返回目录1.如图，一只手握住了一个三角形的一部分，则这个三角形是（ ）A.钝角三角形 B.直角三角形C.锐角三角形 D.以上都有可能D一点一练第一部分 河北中考命题研究与趋势分析2.如图,为估计池塘岸边A,B两点间的距离,小方在池塘的一侧选取一点O, 连 接 OA,OB,测得OA=17米,OB=9米,A,B间的距离不可能是( )A.23米 B.10米C.8米 D.18米C3.将一副三角板按如图所示方式摆放，它们共用顶点C，CD，CE分别交AB于点F，G.若BF＝CF，∠ACB＝∠E＝90°，∠A＝60°，∠D＝45°，则∠AGE的度数是 ．返回目录75°第一部分 河北中考命题研究与趋势分析重要线段及图形 性质 相关的结论中线 (AD为BC边上的中线) BD=⑥____=⑦___BC1.S△ABD=S△ADC=S△ABC;2.三角形的三条中线的交点称为重心高线 (AD为BC边上的高线) AD⊥BC,∠ADB= ∠ADC=⑧ ______°1.S△ABC=⑨_________;2.S△ABD:S△ACD=BD:⑩_______;3.三角形的三条高线所在直线的交点为三角形的垂心返回目录三角形中的重要线段知识点2DC90DC第一部分 河北中考命题研究与趋势分析重要线段及图形 性质 相关的结论角平分线 (AD为∠BAC的平分线) ∠BAD =∠DAC= ______∠BAC 1.三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，内心也就是内切圆的圆心；2.内心到三角形三边的距离相等角的平分线 ∠CAD=∠BAD= ______ ∠CAB 1.角的平分线上的点到角的两边的距离 ______ (DE=DF);2.角的内部到 ____________________的点在角的平分线上返回目录续表相等角的两边的距离相等第一部分 河北中考命题研究与趋势分析重要线段及图形 性质 相关的结论中位线 (D,E分别AB,AC的中点) DE//BC,且 DE= ____BC 1.中位线所截得的三角形与原三角形相似，面积 比为 _______;2.S△ADE:S四边形BDEC= ______知识拓展 如图，在△ABC中，DE为边BC的垂直平分线. 1.DE⊥BC,且BE=CE,BD=CD. 2.外心：三角形的三条边的垂直平分线的交点，到三角形 三个顶点的距离相等返回目录续表1:41:3第一部分 河北中考命题研究与趋势分析5.(2022·河北2题改编)如图所示，在△ABC中，∠ADB=90°,将△ABC沿AD折叠,点B恰好落在点C的位置，则对线段AD描述最准确的是( )A.边BC上的中线 B.边BC上的高C.∠BAC的平分线 D.以上三种都成立返回目录D4.(启光原创)如图，若点D是△ABC的重心，连接AD并延长交BC于点E，则下列结论正确的是 ( )A.AE⊥BC B.∠BAE=∠CAEC.AD=DE D.S△ABE=S△ACED第一部分 河北中考命题研究与趋势分析6.在如图所示的直角三角形纸片中，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD.(1)若∠ABC=40°,则∠ADB=_____;(2)若DC=2cm,则点D到AB边的距离为______cm.返回目录2110°第一部分 河北中考命题研究与趋势分析返回目录7.在等边△ABC中，AD和DE分别是△ABC的中线和中位线，若AD=,则DE=( ) A.2 B. C.2 D.18.如图，在△ABC中，∠BAC=60°,0是△ABC的外心,E是BC的中点，连接OA,OE,若∠AOE=160°,则∠0AC的度数为（ ）A.15°B.20°C.25°D.30°DB第一部分 河北中考命题研究与趋势分析返回目录核心考点突破考点三角形的三边关系及性质（8年4考，3次单独考查）１1．(2018·河北1题)下列图形具有稳定性的是( ) A B C DA第一部分 河北中考命题研究与趋势分析2.(2025·河北14题)平行四边形一组邻边长分别为3，4，一条对角线长为n.若n为整数，则n的值可以为 ．(写出一个即可)2(答案不唯一)返回目录4.(2023·河北9题)如图，点P1~P8是⊙O 的八等分点 .若△P1P3P7,四边形P3P4P6P7的周长分别为a,b,则下列正确的是（ ）A.aC.a>b D.a,b大小无法比较第一部分 河北中考命题研究与趋势分析A3.(2022·河北13题)平面内，将长分别为1，5，1，1，d 的线段，顺 次首尾相接组成凸五边形(如图),则 d 可能是( )A.1 B.2C.7 D.8C返回目录真题变式（启光原创）嘉嘉和琪琪两位同学一同攀岩，攀岩面都是由相同的圆组成的五环，且攀岩面上的所有圆大小都相同，攀爬点都是某个圆的八等分点.嘉嘉和琪琪的攀岩路径分别如图①、图②所示，若他们同时出发且攀岩速度相同，并都到达了最高点,则下列说法正确的是（ ）A. 嘉嘉先完成B. 琪琪先完成C. 嘉嘉、琪琪同时完成D. 无法判断第一部分 河北中考命题研究与趋势分析B5．(2021·河北13题)定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．已知：如图，∠ACD是△ABC的外角．求证：∠ACD＝∠A＋∠B.证法1：如图，∵∠A＋∠B＋∠ACB＝180°(三角形内角和定理).又∵∠ACD＋∠ACB＝180°(平角定义)，∴∠ACD＋∠ACB＝∠A＋∠B＋∠ACB(等量代换).∴∠ACD＝∠A＋∠B(等式性质)．下列说法正确的是( )A．证法1还需证明其他形状的三角形，该定理的证明才完整B．证法1用严谨的推理证明了该定理C．证法2用特殊到一般法证明了该定理D．证法2只要测量够一百个三角形进行验证，就能证明该定理返回目录B证法2：如图，∠A＝76°，∠B＝59°，且∠ACD＝135°(量角器测量所得).又∵135°＝76°＋59°(计算所得)，∴∠ACD＝∠A＋∠B(等量代换)．考点三角形的内外角关系(8年5考，2次单独考查）2第一部分 河北中考命题研究与趋势分析返回目录6.(2021·河北18题)如图是可调躺椅示意图(数据如图)，AE与BD的交点为C，且∠A，∠B，∠E保持不变．为了舒适，需调整∠D的大小，使∠EFD＝110°，则图中∠D应_______(填“增加”或“减少”)______度．减少10第一部分 河北中考命题研究与趋势分析返回目录7.(2023·河北15题改编)如图，直线m//n,正方形ABCD 和等边△EFG在m,n 之间，点A,F分别在m,n上，点B,D,E,G在直线l上.若∠α=66°,则∠β= ( )A.21° B.24° C.39° D.49°C第一部分 河北中考命题研究与趋势分析返回目录考点三角形中的重要线段(8年4考）3第一部分 河北中考命题研究与趋势分析8．(2022·河北2题)如图，将△ABC 折叠，使AC 边落在AB 边上，展开后得到折痕l，则l是△ABC 的( )A.中线 B.中位线 C.高线 D.角平分线D返回目录第一部分 河北中考命题研究与趋势分析9．(2024·河北5题)观察图中尺规作图的痕迹，可得线段BD一定是△ABC的( )A.角平分线 B.高线 C.中位线 D.中线B返回目录第一部分 河北中考命题研究与趋势分析10．(2025·昭通模拟)如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，AE是它的中线，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则ED的长为( )A. B. C. D.C返回目录11.（2017·河北11题）如图,A，B两点被池塘隔开，不能直接测量其距离．于是，小明在岸边选一点C，连接CA，CB，并分别延长到点M，N，使AM＝AC，BN＝BC，测得MN＝200 m ，则A，B间的距离为______m.100第一部分 河北中考命题研究与趋势分析返回目录12.如图，在△ABC中，BD与CE交于点O.(1)若BD是角平分线，CE是高，∠ABC=60°,则∠BOC= _____ °；(2)若BD⊥AC,CE ⊥AB,∠DBC=∠ECB=31°,则∠A=_____°；(3)若BD,CE均为△ABC的角平分线，且∠A=70°,则∠BOC=_____°；(4)若BD,CE均为△ABC的角平分线，且∠A=α,则∠BOC=_______°.12062125(90+)第一部分 河北中考命题研究与趋势分析返回目录13.(2023·河北11题改编)如图，在Rt△ABC 中，AE 是斜边BC上的高，以AE 为正方形的对角线作正方形ADEF. 若S正方形ADEF= 8,α= 105°，则S ABC=________.第一部分 河北中考命题研究与趋势分析返回目录14.(2024·河北19题)如图,△ABC的面积为2,AD为BC边上的中线,点A,C1,C2,C3是线段CC4的五等分点,点A,D1,D2是线段DD3的四等分点，点A是线段BB1的中点.(1)△AC1D1的面积为 ;(2)△B1C4D3的面积为 .17第一部分 河北中考命题研究与趋势分析(共11张PPT)返回目录 模型1 过角平分线上的点向两边作垂线 基本图形 如图，P是∠MON 的平分线上一点，过点P作PA⊥OM 于点A，PB⊥ON 于点B.结论：PB＝PA.模型分析 利用角平分线的性质“角平分线上的点到角两边的距离相等”构造模型，为边相等、角相等、三角形全等创造更多的条件，进而可以快速找到解题的突破口模型口诀 图中有角平分线，可向两边作垂线微专题五 角平分线四大模型第一部分 河北中考命题研究与趋势分析返回目录1.如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E,S△ABC=7,DE=2,AB=4,则AC的长为____.针对练习3第一部分 河北中考命题研究与趋势分析2.如图，在四边形ABCD中，BC>AB，AD＝DC，BD平分∠ABC.求证：∠A＋∠C＝180°.返回目录证明：如图，过点D作DE⊥BC于点E，过点D作DF⊥AB交BA的延长线于点F.∵BD平分∠ABC，∴DE＝DF，∠DEC＝∠F＝90°.在Rt△CDE和Rt△ADF中，∴Rt△CDE≌Rt△ADF(HL)，∴∠FAD＝∠C，∴∠BAD＋∠C＝∠BAD＋∠FAD＝180°.第一部分 河北中考命题研究与趋势分析基本图形 如图，P是∠MON的平分线上一点，点A是射线OM上任意一点，在ON上截取OB=OA,连接PB.结论：△OPB≌△OPA.模型分析 利用角平分线图形的对称性，在角的两边构造对称全等三角形，可以得到对应边、对应角相等.利用对称性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的一种解题技巧模型口诀 图中有角平分线，可以将图对折看，对称以后关系现返回目录 模型2 截取构造对称全等 第一部分 河北中考命题研究与趋势分析返回目录3.如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D,E是BD的中点，若AB=2BC,AD=5,求CE的长.针对练习第一部分 河北中考命题研究与趋势分析解：解法一：如图①,在AB边上截取BF=BC,连接EF，则CE=EF=AD=.解法二：如图②,延长BC至点F,使得CF=BC,连接DF,则CE==.返回目录4.(启光原创)如图，在△ABC中，∠ABC＝40°，BD是∠ABC的平分线，延长BD至点E，使DE＝AD，连接CE.若BC＝BA＋CE，求∠A的度数．第一部分 河北中考命题研究与趋势分析解：如图，在BC上截取BM＝BA，连接DM.∵BD平分∠ABC，∠ABC＝40°，∴∠ABD＝∠MBD＝∠ABC＝20°.∵BD＝BD，∴△ABD≌△MBD，∴AD＝DM，∠ADB＝∠MDB.∵BC＝BA＋CE，BC＝BM＋CM，BM＝BA，∴CE＝CM.∵DE＝AD，AD＝DM，∴DE＝DM.又∵DC＝DC，∴△CDM≌△CDE，∴∠CDM＝∠CDE.∵∠CDE＝∠ADB，∴∠CDM＝∠CDE＝∠MDB.∵∠CDM＋∠CDE＋∠MDB＝180°，∴∠MDB＝×180°＝60°，∴∠ADB＝60°，∴∠A＝180°－∠ABD－∠ADB＝100°.基本图形 如图，P是∠MON的平分线上一点，AP⊥OP于点P，延长AP交ON于点B .结论：△AOB是等腰三角形模型分析 构造此模型可以利用等腰三角形的“三线合一",也可以得到两个全等的直角三角形，进而得到对应边、对应角相等.这个模型巧妙地把角平分线和“三线合一 ”联系了起来模型口诀 角平分线加垂线，"三线合一"试试看返回目录 模型3 角平分线＋垂线，构造等腰三角形 第一部分 河北中考命题研究与趋势分析返回目录5.如图，D为△ABC 外一点，BD⊥AD,BD平分△ABC的一个外角，∠C=∠CAD.若AB=5,BC=3, 则BD 的长为_____.6.如图，在△ABC中，AD平分∠CAB,BD⊥AD.已知S△ADC=14,S△ABD=10，则S△ABC=_____.328针对练习第一部分 河北中考命题研究与趋势分析基本图形 如图，P是∠MON的平分线上一点，过点P作PQ∥ON,交OM于点Q.结论：△POQ是等腰三角形模型分析 有角平分线时，常过角平分线上一点作角的一边的平行线，构造等腰三角形，为证明结论提供更多的条件，体现了角平分线与等腰三角形之间的密切关系.角平分线、平行、等腰，知二求一模型口诀 角平分线加平行线，等腰三角形必呈现返回目录 模型4 角平分线＋平行线 第一部分 河北中考命题研究与趋势分析返回目录7.如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC，交AB于点M，交AC于点N.若BM＋CN＝9，则线段MN的长为_______.9针对练习第一部分 河北中考命题研究与趋势分析返回目录8．如图，在△ABC中，BC＝5 cm，BP，CP分别是∠ABC和∠ACB的平分线，且PD∥AB，PE∥AC，则△PDE的周长是____cm.9.如图，在△ABC中，已知AB=8,BC=5,点D,E分别为BC,AC的中点，BF平分∠ABC交DE于点F, 则EF的长为____.5第一部分 河北中考命题研究与趋势分析(共16张PPT)目录第四单元 图形的初步认识与三角形第19节 全等三角形教材知识通关知识点 全等三角形的概念、判定与性质核心考点突破考点 全等三角形的判定与性质概念 能够完全①_______的两个三角形叫做全等三角形性质 1.全等三角形的对应边②_______；2.全等三角形的对应角③_____.3.全等三角形的对应中线、角平分线、高④______________返回目录教材知识通关第19节 全等三角形第一部分 河北中考命题研究与趋势分析知识点全等三角形的概念、判定与性质重合相等相等分别相等返回目录一点一练1.(启光原创)如图，已知△ABC≌△DEB,点D在边AB上，BD=CA,DE∥AC,BC与 DE交于点F,则它们的对应角分别是___________________________________,对应边分别是______________________.∠A与∠EDB ,∠C与∠EBD,∠ABC与∠EAC与DB,AB与DE,CB与EB第一部分 河北中考命题研究与趋势分析返回目录SSS(边边边) 三边分别相等的两个三角形全等SAS(边角边) 两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等ASA(角边角) 两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等AAS(角角边) 两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等HL(斜边、直角边) 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等续表第一部分 河北中考命题研究与趋势分析返回目录续表证明三角形全等的思路温馨提醒：1.SSA不能判定两个三角形全等； 2.用符号表示两个三角形全等时，一般要将对应顶点写在对应的位置找第三边(SSS)找夹角(SAS)找直角(HL)已知两边找这边的另一个邻角(ASA)找夹这个角的另一条边(SAS)找这边的对角(AAS)已知角是直角，找斜边(HL)已知一边和它的邻角已知一边和它的对角已知一边一角找一角(AAS)已知角是直角，找一边(HL)找两角的夹边(ASA)找除夹边外的任意边(AAS)已知两角第一部分 河北中考命题研究与趋势分析返回目录2.如图，AD＝AE，再添加一个条件使△ACD≌△ABE.下列不可以的是( )A.∠C=∠B B.DC=BEC.AC=AB D.∠ADC=∠AEBB第一部分 河北中考命题研究与趋势分析返回目录3.如图，∠ACB=90°，AC=BC,BE⊥CE,AD⊥CE，垂足分别为点E,D,AD=CE=3 cm，DE=2.2 cm，则BE 的长为 cm.0.8第一部分 河北中考命题研究与趋势分析返回目录核心考点突破考点全等三角形的判定与性质(8年9考，多在解答题中作为求角或线段长的工具1.(2023·河北13题)在△ABC 和△ 中，∠B=∠ =30°,AB= =6,AC= =4.已知∠C=n°,则∠ =( ) A.30° B.n° C.n°或180°-n° D.30°或150°C第一部分 河北中考命题研究与趋势分析返回目录2.(2025·鞍山一模)如图，在△ADE中,AD＝AE,点B,C是边DE上任意两点.若△ADB≌△AEC,则需要添加的一个条件可以是 ．(填一个即可)第一部分 河北中考命题研究与趋势分析DB＝EC(答案不唯一)返回目录第一部分 河北中考命题研究与趋势分析3．(2025·河北19题)如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点E，AC＝AD，∠ACB＝∠ADB，点F在ED上，∠BAF＝∠EAD.(1)求证：△ABC≌△AFD；证明：∵∠BAF＝∠EAD，∴∠BAC＝∠BAF－∠CAF＝∠EAD－∠CAF＝∠FAD.在△ABC和△AFD中，∴△ABC≌△AFD(ASA)．返回目录第一部分 河北中考命题研究与趋势分析(2)若BE＝FE，求证：AC⊥BD.证明：∵△ABC≌△AFD，∴AB＝AF.又∵BE＝FE，∴AE是BF的垂直平分线，∴AC⊥BD.返回目录第一部分 河北中考命题研究与趋势分析4．(2023·河北26题改编)如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，点M在AD边上，且DM＝2.将线段MA绕点M顺时针旋转n°(0(1)若点P在AB上，求证：A′P＝AP.证明：由题意，得A′M＝AM，∠A′MP＝∠AMP，PM＝PM，∴△A′MP≌△AMP.∴A′P＝AP.返回目录第一部分 河北中考命题研究与趋势分析(2)若PB＝1，求线段A′P的长．解：点P在AB上时，∵△A′MP≌△AMP,∴A′P＝AP＝8－1＝7.点P在BC上时，如图，连接PA，∴A′P＝AP＝ ＝ .∴线段A′P的长为7或 .返回目录第一部分 河北中考命题研究与趋势分析 5.(启光原创) 如图 , 在平面直角坐标系中,A(1,0),B(1,1),C(0,1),点P在线段OA上(不与点O,A重合),连接PC,将△PCO沿PC折叠得到△PCD,延长PD交AB于点E,连接CE.(1)求证: △CEB≌△CED.证明：由题易得△PCO≌△PCD，∴CO＝CD，∠POC＝∠PDC＝90°.∵A(1，0)，B(1，1)，C(0，1)，∴OA＝AB＝BC＝OC＝1，∠POC＝∠PAE＝∠B＝90°，∴CB＝CD，∠B＝∠CDE＝90°.又CE＝CE，∴△CEB≌△CED(HL)．返回目录第一部分 河北中考命题研究与趋势分析 (2)当点P位于不同位置时, △PEA的周长是否变化 若变化, 请说明理由；若不变化,请求出其周长.解：不变化．∵△PCO≌△PCD，△CEB≌△CED，∴PO＝PD，BE＝DE，∴△PEA的周长＝PA＋PE＋AE＝PA＋PD＋DE＋AE＝PA＋PO＋BE＋AE＝OA＋AB＝2.返回目录第一部分 河北中考命题研究与趋势分析(3)设 P(m,0) ,E(1,n) ,直接写出当点A,D的距离最小时,m+n 的值.（3）m+n=1(共20张PPT)目录第四单元 图形的初步认识与三角形第21节 直角三角形知识点1 直角三角形的性质与判定知识点2 等腰直角三角形的性质与判定知识点3 命题教材知识通关目录考点 直角三角形的性质及判定重点 与直角三角形相关的证明及计算核心考点突破重难点提升练返回目录教材知识通关第21节 直角三角形直角三角形的性质与判定知识点1定义 有一个角是90°的三角形叫做直角三角形性质 1.直角三角形的两个锐角①________，如图，∠A+∠B=②________;2.斜边上的中线等于斜边的③________,如图，CD是斜边AB上的中线，CD=④________=⑤_______=AB;3.30°角所对的直角边等于斜边的⑥________，如图，若∠A=30°,则BC=⑦________;4.勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a,b,斜边为c,那么⑧ ________互余90°一半ADBD一半a +b =c AB第一部分 河北中考命题研究与趋势分析返回目录判定 1.利用定义；2.有两个角⑨_______的三角形是直角三角形；3.勾股定理的逆定理：⑩________________________________________,那么这个三角形是直角三角形；4.一条边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形，如图，若CD=AB=BD=AB,则△ABC是以∠ACB为直角的直角三角形(应用时，需先证明)面积 S=ab=ch,其中a,b为两条直角边，c为斜边，h为斜边上的高【应用】已知直角三角形的三边，求斜边上的高时，常用等面积法，利用公式h=进行求解互余如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2第一部分 河北中考命题研究与趋势分析返回目录一点一练1 . (启光原创)(1)在Rt△ABC中，∠C=90°, 若∠A=α,∠B=2α,则∠A=_______°;(2)在Rt△ABC中，∠C=45°,若∠A=α,∠B=2α,则∠A=________°;(3)在Rt△ABC中，已知∠A=α,∠B=2α,则∠A= .304530°或45°第一部分 河北中考命题研究与趋势分析返回目录2.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°, ∠C=30°,AB=3,点D为BC的中点，AE⊥BC于点E, 则 BD=________,AE=________, EC=_________,△AEC的面积为_________.3第一部分 河北中考命题研究与趋势分析返回目录3. 一长8 m的木杆在某处折断，木杆顶端落在离木杆底端 4 m 处，则木杆折断处离地面 m.3第一部分 河北中考命题研究与趋势分析返回目录等腰直角三角形的性质与判定知识点2性质 1.两直角边相等，如图，AB=BC;2.两锐角相等且都等于45°,如图，∠A=∠C=45°判定 1.有一个角是90°的等腰三角形是等腰直角三角形；2.有两个角是 ________的三角形是等腰直角三角形；3.有一个角是 _______的直角三角形是等腰直角三角形；4.有两边 ________的直角三角形是等腰直角三角形45°45°相等第一部分 河北中考命题研究与趋势分析返回目录4. (2023 ·唐山丰润区模拟)将一副三角尺如图所示叠放在一起，若重叠部分的面积是12 cm ,则 AB的长是 cm.第一部分 河北中考命题研究与趋势分析返回目录命题知识点3名称 定义命题 判断一件事情的语句叫做命题，它由 和 两部分构成反例 要说明一个命题是假命题，可以举出一个具备命题的条件，而得不出命题的结论的例子，这样的例子称为反例定理 有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理，推理的过程叫证明公理 经过人类长期反复的实践检验是真实的，不需要由其他判断加以证明的命题和原理互逆 定理 在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做 .任何一个命题都有逆命题，但任何一个定理不一定有逆定理判断一个命题是真命题，必须经过严格的推理论证；要说明一个命题为假命题，举一个反例即可温 馨 提 醒第一部分 河北中考命题研究与趋势分析互逆命题结论题设返回目录考点直角三角形的性质及判定 ( 8年9考，1次单独考查)核心考点突破1 . (2023 · 河北11题)如图，在Rt△ABC中 ，AB=4, 点M是斜边BC的中点，以AM为边作正方形AMEF. 若 S正方形AMEF=16, 则S△ABC = ( )A.4B.C.12D.16B第一部分 河北中考命题研究与趋势分析返回目录第一部分 河北中考命题研究与趋势分析真题变式如图，在Rt△ABC中，AB＝4，点M是斜边BC的中点，以AM为斜边作等腰直角三角形AMD.若S△AMD＝4，则S△ABC＝ ．返回目录2. (启光原创)如图 ，Rt△ABC中，∠C=90°,AC=6,BC=8.将△ABC折叠，使AC边落在AB边上，展开后得到折痕 l,则 l 的长为（ ）A.3B.3C.5D.3A第一部分 河北中考命题研究与趋势分析返回目录3 . (2020 · 河北16题)如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯” 图案 .现有五种正方形纸片，面积分别是1,2,3,4,5,选取其中三块(可重复选取)按如图的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是( )A.1,4,5B.2,3,5C.3,4,5D.2,2,4B第一部分 河北中考命题研究与趋势分析返回目录重难点提升练重点与直角三角形相关的证明及计算例如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，且CF= CD.求证：∠AEF=90° .思路点拨思路一：勾股定理逆定理；思路二：运用三角形相似.第一部分 河北中考命题研究与趋势分析返回目录第一部分 河北中考命题研究与趋势分析证明：∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝BC＝CD＝DA，∠B＝∠C＝∠D＝90°.设AB＝BC＝CD＝DA＝4a.∵E是BC的中点，且CF＝ CD，∴BE＝EC＝2a，CF＝a.在Rt△ABE中，由勾股定理可得AE2＝AB2＋BE2＝20a2，同理可得EF2＝EC2＋FC2＝5a2，AF2＝AD2＋DF2＝25a2.∵AE2＋EF2＝AF2，∴△AEF为直角三角形，∴∠AEF＝90°.返回目录变式1 (改变E,F位置，求两直角三角形的斜边的交角)如图，E，F分别是正方形 ABCD的边 AB，BC的中点，CE，DF交于点 M，求证:∠DME=90°.第一部分 河北中考命题研究与趋势分析变式1 ,求证∠DME=90°,若不是 30° ,60° ,90°或者 45° ,45° ,90°这样的特殊三角形 ,给出边的关系 , 需考虑根据“有两个角的和是 90° 的三角形是直角三角形”证明.返回目录第一部分 河北中考命题研究与趋势分析证明：∵在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，∴BC＝CD＝AB，BE＝ AB，CF＝ BC，∠B＝∠BCD＝90°，∴BE＝CF，∴△BEC≌△CFD(SAS)，∴∠CDF＝∠BCE，∴∠DCE＋∠CDF＝∠DCE＋∠BCE＝∠BCD＝90°，∴∠CMD＝90°，即∠DME＝90°.返回目录变式2(E,F为动点，构造手拉手模型)如图,在正方形 ABCD中,E是 BC上一点，F是 CD延长线上一点，BE=DF,连接 AE,AF, EF,G为EF中点 ,连接 AG,DG. 若∠BAE= α , 则∠DGF= (用含 α 的代数式表示) .第一部分 河北中考命题研究与趋势分析α变式2, 解决此题有三个关键点: ①根据 BE=DF,确定△ ≌△ ,确定∠BAE= ；②连接 CG, 由G为EF的中点 ,利用直角三角形的性质 , 得到线段 = ,进而得到∠ADG=∠ =45°；③利用三角形内角和等于 180°或三角形的外角性质使问题获解.ABEADF∠DAFAGCGCDG返回目录变式3(将点E,F中一点改为在对角线上求长度)如图，在正方形ABCD中，点 E在对角线 BD上，连接 AE,EF⊥AE于点 E,交 DC于点 F,连接 AF, 已知 BC= 4 ,DE= ，则 AF的长为 ( )A.4B.5C.10D.D第一部分 河北中考命题研究与趋势分析解题思路:①过点 E作BC的平行线, 分别交AB,CD于G, H；②利用直角三角形和等腰直角三角形的性质证明△AGE≌△EHF, 进而求出 FH, DF的长；③利用勾股定理求出 AF.(共36张PPT)目录第四单元 图形的认识初步与三角形第22节 相似三角形（含位似）知识点1 比例线段的相关概念和性质知识点2 平行线分线段成比例定理知识点3 相似三角形的定义与性质知识点4 相似三角形的判定知识点5 位似图形教材知识通关目录考点1 比例线段的应用考点2 相似三角形的性质与判定考点3 相似三角形的综合应用考点4 与图形的位似有关的计算与证明核心考点突破重难点提升练重点 相似三角形的综合应用返回目录第22节 相似三角形（含位似）教材知识通关比例线段的相关概念和性质知识点1两条线 段的比 如果选用同一个长度单位量得两条线段 AB,CD 的长度分别是 m,n，那么这两条线段的比就是它们长度的比，记作AB:CD=m:n 或 ，其中线段AB,CD分别叫做这个线段比的前项和后项比例线段 四条线段 a,b,c,d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即 ，那么这四条线段 a,b,c,d 叫做成比例线段，简称比例线段第一部分 河北中考命题研究与趋势分析返回目录比例线 段的性质 1.如果 ，那么ad=① ；2.如果ad=bc（b,d都不等于0），那么 ② ；3.如果 （b,d,···,n都不等于0，且b+d+···+n≠0）,那么③ .bc第一部分 河北中考命题研究与趋势分析续表返回目录黄金分割 如图，点 C把线段AB分成两条线段 AC 和 BC（AC>BC），如果④ ，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比，即 ⑤ ≈0.618续表第一部分 河北中考命题研究与趋势分析返回目录一点一练2. 若 则 .第一部分 河北中考命题研究与趋势分析1．在同一长度单位下，下列各组中的四条线段成比例的是( )A.1，2，20，30B.2，2，3，4C.4，2，1，3D.5，10，10，20D返回目录第一部分 河北中考命题研究与趋势分析3．(2025·南山区校级一模)数学家定义：若点C把线段AB分成两部分，满足(AC>BC)，则点C为线段AB的白银分割点．已知点C是线段AB的白银分割点(AC>BC)，且BC＝4，则AC＝ ．返回目录平行线分线段成比例定理知识点2定理 三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.如图，l1//l2//l3，则 等推论 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.如图，DE//BC，则第一部分 河北中考命题研究与趋势分析返回目录4.如图，l1//l2//l3，直线a,b与l1，l2，l3分别相交于点A,B,C和D,E,F.若 ，DE=4，则DF 的长为（ ）A.10B.C.12D.14D第一部分 河北中考命题研究与趋势分析返回目录相似三角形的定义与性质知识点3定义1.在△ABC和△ 中，如果 ，，即对应边的比相等，对应角相等，那么△ABC与△ 相似，相似比为k，记作△ABC ∽△ ；2.相似多边形对应边的比叫做相似比性质 1.相似三角形对应边的比⑥ ，对应角⑦ ；2.相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于⑧ ；3.相似三角形周长的比等于⑨ ；4.相似三角形面积的比等于相似比的⑩ .相等相等相似比相似比平方第一部分 河北中考命题研究与趋势分析返回目录第一部分 考点攻略5.若△ABC ∽△DEF，且△ABC与△DEF的面积比是 ，则△ABC与△DEF对应中线的比为（ ）A. B. C. D.B6.如图，已知△ADE ∽△ACB，若AB=10，AC=8，AD=4，则AE的长是（ ）A.4 B.5 C.20 D.3.2B返回目录相似三角形的判定知识点4判定定理 图示1.平行于三角形的一边的直线与其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似如图，DE//BC，则△ADE∽△ABC2.三边成比例的两个三角形相似如图， ，则△ABC∽△DEF第一部分 河北中考命题研究与趋势分析返回目录判定定理 图示3.两边成比例且夹角相等的两个三角形相似如图， ，∠B=∠E，则△ABC∽△DEF4.两角分别相等的两个三角形相似如图，∠A=∠D，∠B=∠E，则△ABC∽△DEF第一部分 河北中考命题研究与趋势分析续表返回目录7.如图，D 是△ABC边 AB上一点，添加一个条件后，仍然不能使△ACD∽△ABC的是（ ）A.∠ACB =∠ADCB.∠ACD =∠ABCC.D.D第一部分 河北中考命题研究与趋势分析返回目录8.如图，在△ABC 和△AEF 中，AB =AE，BC =EF，∠B =∠E,AB 交EF 于点D.给出下列结论：①∠AFC =∠C；②DE =CF；③△ADE ∽△FDB；④∠BFD =∠CAF.其中正确的结论是 （填写所有正确结论的序号）.①③④第一部分 河北中考命题研究与趋势分析返回目录第一部分 河北中考命题研究与趋势分析位似图形知识点5概念 如图，两个多边形的顶点A与A′，B与B′，C与C′所在的直线都经过同一点O，并且，像这样的两个图形叫做 ，点O 叫做 性质 1.若两个图形是位似图形，则具有相似图形的一切性质；2.两个位似图形的对应点的连线都经过同一点；3.两个位似图形的对应边互相平行或在同一直线上；4.在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，相似比为k，那么与原图形上的点(x，y)对应的位似图形上的点的坐标为( ， )或( ， )位似图形位似中心kxky－kx－ky返回目录第一部分 河北中考命题研究与趋势分析位似作图 的基本步骤 (五确定) 1.确定位似中心；2.确定关键点(图形的顶点)；3.确定相似比(放大或缩小的倍数)；4.确定新图形的关键点(分别连接位似中心和能代表原图形的关键点并延长)；5.确定位似图形(顺次连接上述各点，得到位似图形)返回目录第一部分 河北中考命题研究与趋势分析9.如图，以点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的 ，记为△DEF(点A，B，C的对应点分别为D，E，F)，其中点D已画出．解：如图，△DEF即为所求．返回目录第一部分 河北中考命题研究与趋势分析10．如图，在平面直角坐标系中，△AOB的顶点A的坐标为(－2，4)．若以原点O为位似中心，相似比为 ，把△AOB缩小，则点A的对应点A′的坐标是( )BA.B. 或C．(－8，16)D．(－8，16)或(8，－16)返回目录考点比例线段的应用（8年1考)１核心考点突破第一部分 河北中考命题研究与趋势分析1．(2025·河北4题)“这么近，那么美，周末到河北”．嘉嘉周末到弘济桥游览，发现青石桥面上有三叶虫化石，他想了解其长度，在化石旁放了一支笔拍下照片(如图)．回家后量出照片上笔和化石的长度分别为7 cm和4 cm，笔的实际长度为14 cm，则该化石的实际长度为( )CA．2 cm B．6 cmC．8 cm D．10 cm返回目录考点相似三角形的性质与判定（8年2考)2第一部分 河北中考命题研究与趋势分析2．(2025·河北9题)如图，在五边形ABCDE中，AE∥BC，延长BA，BC，分别交直线DE于点M，N.若添加下列一个条件后，仍无法判定△MAE∽△DCN，则这个条件是( )DA．∠B＋∠4＝180°B．CD∥ABC．∠1＝∠4D．∠2＝∠3返回目录第一部分 河北中考命题研究与趋势分析3．(2025·邯郸模拟)如图，点E是正方形ABCD的边CD上的一点，且 ，延长AE交BC的延长线于点F，则△CEF和四边形ABCE的面积比为( )A. B. C. D.C返回目录4.（2023·秦皇岛一模）如图，在△ABC中，D,E为边AB的三等分点，EF//DG//AC，H为AF与DG的交点.若AC=6，则DH=（ ）A.2B.1C.0.5D.1.5B第一部分 河北中考命题研究与趋势分析返回目录第一部分 河北中考命题研究与趋势分析考点相似三角形的综合应用（8年8考，多在解答题中考查）35.（2021·河北8题）图①是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图②所示，此时液面AB =（ ）A.1 cm B.2 cm C.3 cm D.4 cmC返回目录6.（2022·河北18题）如图是钉板示意图，每相邻4个钉点是边长为1个单位长度的小正方形顶点，钉点A，B 的连线与钉点C，D 的连线交于点E，则（1）AB 与CD是否垂直？________(填“是”或“否”)．（2）AE＝________．是第一部分 河北中考命题研究与趋势分析返回目录第一部分 河北中考命题研究与趋势分析7.(2025·河南改编)某综合与实践小组开展测量一个纪念碑高度的活动,记录如下．活动主题 测量纪念碑的高度实物图和测量示意图测量说明 如图，纪念碑AB位于有台阶的平台BC上，太阳光下，其顶端A的影子落在点D处，同一时刻，竖直放置的标杆DE顶端E的影子落在点F处，位于点M处的观测者眼睛所在位置为点N，点N，E，A在同一条直线上，纪念碑底部点B在观测者的水平视线上返回目录第一部分 河北中考命题研究与趋势分析测量数据 DE＝2.1 m，DF＝2.1 m，DM＝1 m，MN＝1.2 m备注 点F，M，D，C在同一水平线上根据以上信息，解决下列问题．(1)由标杆的影子DF的长和标杆DE的长相等，可得CD＝CA，请说明理由；解:由题意，得 .∵DE＝DF，∴CD＝CA.返回目录第一部分 河北中考命题研究与趋势分析(2)求纪念碑AB的高度．如图，令BN与DE的交点为H，则四边形BCDH和MNHD是矩形．∵DE＝2.1，DF＝2.1，DM＝1，MN＝1.2，∴CD＝BH，BC＝DH＝MN＝1.2，NH＝DM＝1，∴EH＝DE－DH＝0.9.设AB＝x，则AC＝AB＋BC＝1.2＋x.∴BH＝CD＝1.2＋x，∴NB＝BH＋NH＝2.2＋x.∵EH∥AB，∴△NEH∽△NAB，∴ ，∴ ，解得x＝19.8.答：纪念碑AB的高度为19.8 m.返回目录考点与图形的位似有关的计算与证明（8年2考)4第一部分 河北中考命题研究与趋势分析8.(2020·河北8题)在如图所示的网格中，以点O为位似中心，四边形ABCD的位似图形是( )AA．四边形NPMQB．四边形NPMRC．四边形NHMQD．四边形NHMR返回目录第一部分 河北中考命题研究与趋势分析9．(启光原创)将△ABC的各边按如图所示的方式向外等距离扩1 cm，得到△PNM，有以下结论：Ⅰ.△ABC与△PNM是相似三角形；Ⅱ.△ABC与△PNM是位似三角形．下列判断正确的是( )CA．Ⅰ正确，Ⅱ不正确B．Ⅰ不正确，Ⅱ正确C．Ⅰ，Ⅱ都正确D．Ⅰ，Ⅱ都不正确返回目录重难点提升练重点相似三角形的综合应用例(2020·河北26题改编)如图①和图②，在△ABC中，AB＝AC，BC＝8，tan C＝ .点M，N分别在AB，BC上，且AM＝CN＝2.点P从点M出发沿折线MB－BN匀速移动，到达点N时停止；而点Q在AC边上随P移动，且始终保持∠APQ＝∠B.第一部分 河北中考命题研究与趋势分析返回目录第一部分 河北中考命题研究与趋势分析(1)当点P 在MB上，且PQ 将△ABC 的面积分成上下4:5的两部分时，求MP 的长.思路点拨第（1）问利用同位角相等证明两直线平行，然后利用平行线分线段成比例证明两个三角形相似，最后利用相似三角形性质求出MP 的长度；返回目录解：（1）如图，过点A作AD⊥BC，垂足为D.∵AB=AC，AD⊥BC，BC=8，∴ BD=CD=4，∠B=∠C，∴tan B=tan C= ，∴AD=3，∴AB=5.由∠APQ=∠B，得PQ∥BC,∴△ΑPQ∽△ABC，∴ ，∴AP= ，∴MP=AP-AM= .第一部分 河北中考命题研究与趋势分析返回目录（2）当点 P 在 BC 上时，设 BP=x，则当 x 为何值时，CQ 取得最大值？解：∵∠APQ=∠B，∠BAP+∠B=∠APQ+∠CPQ，∴∠BAP=∠CPQ.∵∠B=∠C，∴△ABP∽△PCQ，∴ ，即 ，故 CQ= x（8-x）= ，故当x=4时，CQ有最大值，为第一部分 河北中考命题研究与趋势分析思路点拨第（2）问利用有两组角分别相等的三角形相似，之后利用相似三角形性质用代数式表示出CQ 的长，进而利用二次函数的性质判断CQ 的最大值.返回目录针对练习第一部分 河北中考命题研究与趋势分析(2025·秦皇岛模拟)如图，正方形DGFE的边EF在△ABC的边BC上，顶点D，G分别在边AB，AC上，AH⊥BC于H，交DG于P.若BC＝48，AH＝16，求正方形DGFE的面积．返回目录第一部分 河北中考命题研究与趋势分析解：设正方形DGFE的边长为x.由四边形DGFE是正方形，得DG∥EF，即DG∥BC.∵AH⊥BC，∴AP⊥DG.∵DG∥BC，∴△ADG∽△ABC，∴ .∵PH⊥BC，DE⊥BC，∴PH＝DE，AP＝AH－PH，∴ .由BC＝48，AH＝16，DE＝DG＝x，得 ，解得x＝12，∴正方形DGFE的边长是12，∴S正方形DGFE＝DE2＝122＝144.(共14张PPT)返回目录 模型1 平移模型 微专题六 全等三角形常见的四种模型基本图形模型分析 模型特征是有一组边共线，另两组边分别平行，常要在移动方向上加(减)公共线段，构造线段相等或利用平行线的性质找到对应角相等第一部分 河北中考命题研究与趋势分析返回目录1.(启光原创)如图，已知点B，E，C，F在同一条直线上，AB∥DE，AC∥DF，且BE＝CF.求证：△ABC≌△DEF.针对练习第一部分 河北中考命题研究与趋势分析证明：∵AB∥DE，AC∥DF，∴∠B＝∠DEF，∠F＝∠ACB.∵BE＝CF，∴BC＝EF，∴△ABC≌△DEF(ASA)．返回目录2.在△ABC中 ，D是BC的中点，DE//AB, 交AC于点E,DF//AC,交AB于点F.(1)如图①,求证：△BDF ≌△DCE；第一部分 河北中考命题研究与趋势分析证明：∵D是BC的中点，∴BD=DC.∵DE//AB, ∴∠B=∠EDC.∵DF//AC, ∴∠BDF=∠DCE.在△BDF 和△DCE中，∴△BDF ≌△DCE(ASA).返回目录证明：∵D为BC的中点，DE//AB,∴DE为△ABC的中位线，∴AE=EC.由(1)得，△BDF≌△DCE,∴EC=FD,∴AE=FD.(2)如图②,连接EF, 求证：AE=FD.第一部分 河北中考命题研究与趋势分析返回目录 模型2 轴对称模型 基本图形模型分析 模型的特征是所给图形可沿某一直线折叠，直线两旁的部分能完全重合，重合的顶点就是全等三角形的对应顶点.解题时要注意其隐含条件，即公共边或公共角相等第一部分 河北中考命题研究与趋势分析返回目录针对练习3.如图，在AB，AC上各取一点 E，D，使 AE=AD， 连接 BD，CE相交于点 O，再连接 AO，BC. 若∠1 =∠2 ,则图中全等三角形共有 ( )A.5对B.6对C.7对D.8对A第一部分 河北中考命题研究与趋势分析返回目录第一部分 河北中考命题研究与趋势分析4．(启光原创)如图，AB为Rt△ABC和Rt△BAD的公共边，∠C＝∠D＝90°，AD＝BC.求证：CE＝DE.证明：在Rt△ABC 和Rt△BAD 中，∴△ABC ≌△BAD(HL)，∴AC＝BD.在Rt△ACE 和Rt△BDE 中，∴△ACE ≌△BDE(AAS)，∴CE＝DE.返回目录 模型3 旋转模型 第一部分 考点攻略基本图形模型分析 模型可看成是将三角形绕着某个点旋转一定角度所构成的，旋转后的图形与原图之间一般存在一对隐含的等角，根据对顶角相等或平行线的性质或运用角的和差可得到等角返回目录针对练习5.如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC上的一点，∠BAD=28°, 在 AD的右侧作△ADE, 使得AE=AD，∠DAE=∠BAC，连接CE,DE交AC于点O， 若CE//AB, 则∠DOC的度数为( )A.124°B.102°C.92°D.88°C第一部分 河北中考命题研究与趋势分析返回目录6.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°,延长 AC至点D, 使CD=CB,连接BD, 延长CB至点E, 使CE=AC, 连接DE.若∠A=22.5°,DC=, 则△ABD的面积为 ( )A.2-B.2+C.+1D.2+1B第一部分 河北中考命题研究与趋势分析返回目录 模型4 一线三等角模型 基本图形模型分析 已知三个等角在同一条直线上(即一线三等角)，且存在一组对应边相等．解题时往往要利用三等角和三角形外角的性质得出一组对应角相等，再结合已知证明全等第一部分 河北中考命题研究与趋势分析返回目录针对练习7. 如图，小虎用10块高度都是3 cm的相同长方体小木块垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板 (AC=BC, ∠ACB=90°), 点C在DE上，点A和点B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离DE的长度为 ( )A.30 cmB.27 cmC.24 cmD.21 cmA第一部分 河北中考命题研究与趋势分析返回目录8．(启光原创)如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝7，点D，E，F分别在BC，AB和AC边上．若∠EDF＝∠B，且DE＝DF，求AE＋AF的值.第一部分 河北中考命题研究与趋势分析解：在△ABC中，AB＝AC，∴∠B＝∠C.又∵∠EDF＝∠B，∠CDE为△BDE的外角，∠CDE＝∠EDF＋∠CDF，∴∠BED＝∠CDF.又∵∠B＝∠C，DE＝DF，∴△BDE≌△CFD(AAS)，∴BE＝CD，BD＝CF.又∵BC＝7，∴BE＋CF＝BD＋CD＝BC＝7，∴AE＋AF＝AB＋AC－(BE＋CF)＝6＋6－7＝5.返回目录9.如图，△ABC和 △BDE均为等腰直角三角形，AB= BC，BD= ED, ∠ABC= ∠BDE= 90°，过点 A作 AG⊥BD于点 G，BC平分∠DBE，且点C恰好在DE上，若S△BFC =36，则 BF 的长为 .第一部分 河北中考命题研究与趋势分析12(共16张PPT)返回目录微专题七 线段中点应用模型 模型1 已知直角三角形斜边的中点，考虑构造斜边上的中线 基本图形模型分析 在直角三角形中，当已知条件中有斜边的中点时，经常会作斜边上的中线，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，来证明线段间的数量关系，而且可以得到两个等腰三角形第一部分 河北中考命题研究与趋势分析返回目录针对练习1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,D为AB边的中点，延长CB至点E, 使BE=BC, 连接 DE,F为DE中点，连接BF. 若AC=8,BC=6, 则BF的长为( )A.2B.2.5C.3D.4B第一部分 河北中考命题研究与趋势分析返回目录2.已知：如图，∠ACB=∠ADB=90°,点 E,F分别是线段AB,CD的中点.求证：EF⊥CD.证明：如图，连接CE,DE.∵E是AB的中点，∴CE,DE分别是Rt△ACB和Rt△ADB的中线，∴CE=AB,DE=AB,∴CE=DE.∵F是CD的中点，∴EF⊥CD.第一部分 河北中考命题研究与趋势分析返回目录 模型2 已知三角形一边的中点，考虑中位线定理 基本图形模型分析 在三角形中，如果有中点，可构造三角形的中位线，利用三角形中位线的性质定理可以得到两线的位置关系(平行)和线段的倍分关系(三角形的中位线等于第三边的一半，或第三边等于中位线的2倍)第一部分 河北中考命题研究与趋势分析返回目录针对练习3.如图，在四边形ABCD中，点M是AD上一动点，点N是CD上一定点，点E,F分别是BM,NM的中点，当点M从点A向点D移动时，下列结论一定正确的是 ( )A.线段EF的长度逐渐减小B.线段EF的长度逐渐增大C.线段EF的长度不改变D.线段EF的长度不能确定C第一部分 河北中考命题研究与趋势分析返回目录4．如图，在等边△ABC中，AB＝ ，点P在△ABC内或其边上，AP＝2，以AP为边向右作等边△APD，连接PC，点M，N分别是PD，PC的中点，连接MN.(1)当点P在AB边上时，MN= ；(2)若点M在AC边上，则∠PNM的度数为 °.第一部分 河北中考命题研究与趋势分析60返回目录5.如图，在△ABC中，∠ABC的平分线BE与BC边上的中线AD垂直，垂足为点G, 已知BE=AD=4, 则AC的长为 .3第一部分 河北中考命题研究与趋势分析返回目录第一部分 考点攻略 模型3 已知等腰三角形底边的中点，考虑与顶点连接用“三线合一” 基本图形模型分析 连接AD,根据等腰三角形"三线合一"的性质得到AD⊥BC,根据勾股定理求得AD的长返回目录针对练习6.如图，在△ABC中 ，BC=18, 若BD⊥AC于点D,CE⊥AB于点E,F,G分别为BC,DE的中点.若ED=10, 则FG的长为 ( )A.2B.9C.10D. 无法确定A第一部分 河北中考命题研究与趋势分析返回目录7.如图，在△ABC中 ，AB=AC=5,BC=6,点M为BC的中点，MN⊥AC 于点N, 则MN的长是_________.第一部分 河北中考命题研究与趋势分析返回目录 模型4 倍长中线或类中线(与中点有关的线段)构造全等三角形基本图形模型分析 题目中出现"中点""中线"等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中第一部分 河北中考命题研究与趋势分析返回目录针对练习8．如图，已知在△ABC中，AD平分∠BAC，E，F分别在BD，AD上，DE＝CD，EF＝AC.求证：EF∥AB.第一部分 河北中考命题研究与趋势分析返回目录第一部分 河北中考命题研究与趋势分析证明：如图，延长AD 到M，使DM ＝AD，连接EM.在△ADC 和△MDE 中，∴△ADC ≌△MDE，∴∠3＝∠M，AC＝EM.又AC＝EF，∴EM ＝EF，∴∠1＝∠M，∴∠1＝∠3.∵AD 平分∠BAC，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠2，∴EF∥AB.返回目录9.如图，在△ABC中 ，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，连接BE并延长交AC 于点F,AF=EF, 求证：AC=BE.证法一：倍长中线.证法二：倍长类中线.第一部分 河北中考命题研究与趋势分析返回目录证明：证法一：如图①,延长AD至点G, 使DG=AD, 连接 BG.∵AD是BC边上的中线，∴BD=CD.在△ACD和△GBD中，∴△ACD≌△GBD(SAS),∴BG=AC, ∠CAD=∠BGD.∵AF=EF, ∴∠EAF=∠AEF.∵∠AEF=∠BED,∴∠BED=∠EAF,∴∠BEG=∠BGD, ∴BE=BG,∴AC=BE.第一部分 河北中考命题研究与趋势分析返回目录证法二：如图②,延长ED至点H, 使得DH=DE, 连接CH.∵AD是BC边上的中线，∴BD=CD.在△BDE和△CDH中， ∴△BDE≌△CDH(SAS),∴BE=CH, ∠BED=∠H.∵AF=EF,∴∠EAF=∠AEF.∵∠AEF= ∠BED,∴∠EAF=∠H,∴AC=CH,∴AC=BE.第一部分 河北中考命题研究与趋势分析 展开更多...... 收起↑ 资源列表 1.第17节 几何图形初步、相交线、平行线.pptx 10.微专题八 相似三角形中的常见模型.pptx 11.微专题九 手拉手模型.pptx 12.第23节 锐角三角函数及其应用.pptx 2.第18节 三角形的边、角及重要线段.pptx 3.微专题五 角平分线四大模型.pptx 4.第19节 全等三角形.pptx 5.微专题六 全等三角形常见的四种模型.pptx 6.第20节 等腰三角形.pptx 7.第21节 直角三角形.pptx 8.微专题七 线段中点应用模型.pptx 9.第22节 相似三角形（含位似）.pptx
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