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2017年高考数学文化内容预测一：回文数
一、高考考试大纲数学大纲分析及意义：
2017年普通高考考试大纲数学修订,加强了对数学文化的考查。针对这一修订提出以下建议：
建议教师对数学文化这一概念认真学习，结合教材内容学习，特别是教材中渗透数学文化的内容要充分重视，重点研究；结合近年新课标试题中出现的与数学文化有关的试题进行学习，重点关注题源、考法命题形式。
其主要意义为：
（1）增加中华优秀传统文化的考核内容，积极培育和践行社会主义核心价值观，充分发挥高考命题的育人功能和积极导向作用.
（2）能力要求：经命题专家精细加工，再渗透现代数学思想和方法；在内涵方面，增加了基础性、综合性、应用性、创新性的要求.
二、通过往年新课标高考实例解析及做2017年数学文化考试预测：
分析一、古代数学书籍《九章算术》、《数书九章》等为背景
近年来在全国高考数学试题中，从《九章算术》中选取与当今高中数学教学相映的题材背景．
（1）2015年高考全国卷Ⅰ，文化题源于《九章算术》卷第五《商功》之[二五]，将古代文化“依垣”和现代教育元素“圆锥”结合．
（2）2015年高考全国卷Ⅱ，文化题源于《九章算术》卷第一《方田》之[六]：“又有九十一分之四十九．问约之得几何？”“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也．以等数约之”，后人称之为“更相减损术”．
（3）2015年高考湖北卷，文化题背景源于《九章算术》卷第五《商功》之[一五]．今有阳马，广五尺，袤七尺，高八尺．问积几何；之[一六]今有鳖臑，下广五尺，无袤；上袤四尺，无广，高七尺．问积几何．考题将“阳马”，“鳖臑”相结合，以《选修2－1》P109例4为源进行有机整合．巧妙嫁接，精典设问，和谐优美的考题呼之即出.
分析二：课后阅读或课后习题阿波罗尼圆为背景
从2005-2013年多次涉及考题，全国卷2011年16题以此为命题背景的其他省市：江苏：2008年13题、2013年17题.2009-2013年湖北高考连续出现等等.
数学文化题型背景预测：
预测一：古代数学书籍《九章算术》、《数书九章》等数为背景的数学文化类题目.
预测二：高等数学衔接知识类题目.
微积分、初等数学和高等数学的桥梁，由高中向大学的知识过渡衔接.
预测三：课本阅读和课后习题的数学文化类题目
必修3中：辗转相除法、更相减损术、秦九韶算法、二进制、割圆术等。。。
预测四：中外一些经典的数学问题类题目
如：回文数、匹克定理、角谷猜想、哥尼斯堡七桥问题、四色猜想等问题值得注意。
三、直击高考经典
12年湖北理科第13题——回文数
（2012?湖北）回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数．如22，，11，3443，94249等．显然2位回文数有9个：11，22，33…，99.3位回文数有90个：101，111，121，…，191，202，…，999．则：
（Ⅰ）4位回文数有　90　个；
（Ⅱ）2n+1（n∈N+）位回文数有　9×10n　个．
【考点】计数原理的应用。
【分析】：（I）利用回文数的定义，四位回文数只需从10个数字中选两个可重复数字即可，但要注意最两边的数字不能为0，利用分步计数原理即可计算4位回文数的个数；
（II）将（I）中求法推广到一般，利用分步计数原理即可计算2n+1（n∈N+）位回文数的个数
【解答】（I）4位回文数的特点为中间两位相同，千位和个位数字相同但不能为零，第一步，选千位和个位数字，共有9种选法；第二步，选中间两位数字，有10种选法；
故4位回文数有9×10=90个
故答案为 90
（II）第一步，选左边第一个数字，有9种选法；
第二步，分别选左边第2、3、4、…、n、n+1个数字，共有10×10×10×…×10=10n种选法，
故2n+1（n∈N+）位回文数有9×10n个
故答案为9×10n
【点评】本题主要考查了分步计数原理的运用，新定义数字问题的理解和运用，归纳推理的运用，属基础题
四、数学文化领悟
回文数
定义：“回文”是指正读反读都能读通的句子，它是古今中外都有的一种修辞方式和文字游戏，如“我为人人，人人为我”等。在数学中也有这样一类数字有这样的特征，成为回文数。
设n是一任意自然数。若将n的各位数字反向排列所得自然数n1与n相等，则称n为一回文数。例如，若n=1234321，则称n为一回文数；但若n=1234567，则n不是回文数。
注意：1.偶数个的数字也有回文数1244212.小数没有回文数
1千以内的回文数
在自然数中，最小的回文数是0，其次是1,2,3,4,5,6,7,8,9,11,22,33,44,55,66,77,88,99,101,111,121,131,141,151,161,171,181,191,202,212,222,232,242,252,262,272,282,292,303,313,323,333,343,353,363,373,383,393,404,414,424,434,444,454,464,474,484,494,505,515,525,535,545,555,565,575,585,595,606,616,626,636,646,656,666,676,686,696,707,717,727,737,747,757,767,777,787,797,808,818,828,838,848,858,868,878,888,898,909,919,929,939,949,959,969,979,989,999.
平方回数
定义：一个回文数，它同时还是某一个数的平方，这样的数字叫做平方回数。例如：121。
100以上至1000以内的平方回数只有3个，分别是：121、484、676。
其中，121是11的平方。
484是22的平方，同时还是121的4倍。
676是26的平方，同时还是169的4倍。
举例说明
任意某一个数通过以下方式相加也可得到
如：29+92=121 还有 194+491=685，586+685=1271，1271+1721=2992
不过很多数还没有发现此类特征（比如196,下面会讲到）
另外个别平方数是回文数
1的平方=1
11的平方=121
111的平方=12321
1111的平方=1234321
……
……
依次类推
3×51=153
6×21=126
4307×62=267034
9×7×533=33579
上面这些算式,等号左边是两个(或三个)因数相乘,右边是它们的乘积。如果把每个算式中的“×”和“=”去掉，那么，它们都变成回文数，所以，我们不妨把这些算式叫做“回文算式”。还有一些回文算式，等号两边各有两个因数。请看：
12×42=24×21
34×86=68×43
102×402=204×201
1012×4202=2024×2101
不知你是否注意到，如果分别把上面的回文算式等号两边的因数交换位置，得到的仍是一个回文算式，比如：分别把“12×42=24×21”等号两边的因数交换位置，得到算式是：
42×12=21×24
这仍是一个回文算式。
还有更奇妙的回文算式，请看：
12×231=132×21（积是2772）
12×4032=2304×21（积是48384）
这种回文算式，连乘积都是回文数。
四位的回文数有一个特点，就是它决不会是一个质数。设它为abba，那它等于a*1000+b*100+b*10+a，1001a+110b。能被11整除。
六位的也一样，也能被11整除
还有，人们借助电子计算机发现，在完全平方数、完全立方数中的回文数，其比例要比一般自然数中回文数所占的比例大得多。例如11^2=121，22^2=484，7^3=343,11^3=1331，11^4=14641……都是回文数。
研究现状
人们迄今未能找到自然数(除0和1)的五次方，以及更高次幂的回文数。于是数学家们猜想：不存在n^k(n≥2,k≥5;n、k均是自然数)形式的回文数。
在电子计算器的实践中，还发现了一桩趣事：任何一个自然数与它的倒序数相加，所得的和再与和的倒序数相加，……如此反复进行下去，经过有限次步骤后，最后必定能得到一个回文数。
这也仅仅是个猜想，因为有些数并不“驯服”。比如说196这个数，按照上述变换规则重复了数十万次，仍未得到回文数。但是人们既不能肯定运算下去永远得不到回文数，也不知道需要再运算多少步才能最终得到回文数。
回文数算法
随意找一个十进制的数，把它倒过来成另一个数，再把这两个数相加，得一个和数，这是第一步;然后把这个和数倒过来，与原来的和数相加，又得到一个新的和数，这是第二步。照此方法，一步步接续往下算，直到出现一个“回文数”为n。例如:28+82=110,110+011=121，两步就得出了一个“回文数”。如果接着算下去，还会得到更多的“回文数”。这个过程称为“196算法”。
对回文数的探索过程
上而提到的196这个数，是第一个可能的“利克瑞尔数”，因而它受到了最多的关注。由于目前还不可能证明一个数永远不能形成“回文数”，所以“196和其他那些(看起来)不能形成回文数的数是利克瑞尔数”这一命题仅是猜想而非已获证明。能证明的仅是那些反例，即如果一个数最终能形成“回文数”，则它不是“利克瑞尔数”。
在电子计算机尚未问世的1938年，美国数学家莱默(D. Lehmer,1905-1991)计算到了第73步，得到了一个没有形成“回文数”的35位的和数。至今挑战此题的数学爱好者从没有间断过，并随着计算机科技的发展，不断有发烧友编写不同的程序对此题发起挑战。据笔者最新调查，领军人W.V.Landingham到2006年2月已经计算到了699万步，得到了一个2.89亿位以上的和数，之间的结果仍未出现“回文数”。
另外介绍一个关于达到“回文数”需要计算步数的世界记录。它是一个19位数字1,186,060,307,891,929,990,算出“回文数，，需要了261步。它是由Jason Doucette的算法及程序于2005年11月30日发现的。下表列举的是各位数字中，到达“回文数”花费步数最多的代表性数字。

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