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2.因数和倍数（知识清单）
2025-2026学年五年级数学下册人教版
一、因数和倍数。
知识归纳
意义 关系 特征
因数 如果被除数a 除以除数b(a 和b都是非零自然数)，商是整数且没有余数，那么a 是b的倍数，b是a 的因数。 因数和倍数是相互依存的。 一个数的因数的个数是有限的。一个数的最小因数是1，最大因数是它本身。
倍数 一个数的倍数的个数是无限的。一个数的最小倍数是它本身，没有最大倍数。
(一)因数和倍数的含义。
1.下列算式中，被除数与除数存在因数、倍数关系的有( )。(填序号)
①26÷5=5……1 ②2.4÷0.2=12 ③58÷29=2 ④5÷4=1.25
2.根据算式填一填。
(1)42÷6=7,( )和( )是( )的因数,( )是( )和( )的倍数。
(2)在○×☆=▲中,▲、○、☆都表示非零自然数,○和☆是▲的( );▲既是○的( ),也是☆的( )。(填“因数”或“倍数”)
3.选一选。
(1)下列说法正确的有( )。
①因为45÷5=9,所以5 和9是因数,45是倍数。
②因为2.5×4=10,所以2.5是10的因数。
③a÷b=2(a、b都是非零自然数),则a 是b 的倍数,b 是a 的因数。
④自然数1,2,3,4,…都是1的倍数。
A. ①② B. ③④ C. ②③④ D. ①②③④
(2)一个数是12 的倍数，这个数一定也是( )的倍数。
A. 24 B. 9 C. 8 D. 6
4.在下面各组数中，谁是谁的因数 谁是谁的倍数 写一写。
9和54 7 和28 13和39 57和19
(二)求一个数的因数、倍数。
知识归纳 找因数的方法：根据乘法或除法算式，一组一组地找。
找倍数的方法：用这个数乘任意非零自然数。(注意有序思考)
1.写出下面各数的因数或倍数。
2.填一填。
(1)42 的因数一共有( )个,倍数有( )个。
(2)用24个相同的正方形摆一个长方形，有( )种不同的摆法。
(3)一个数的最大因数是19，这个数的最小倍数是( )。
(4)奶奶已过耳顺之年，未及古稀之年，且她的年龄是8的
倍数，那么奶奶的年龄是( )岁。
3.选一选。
(1)下面的数中，因数个数最多的是( )。
A. 18 B. 30 C. 36 D. 97
(2)乐游旅行团租船游湖，每条船限乘客9人，所有人都能上船且刚好坐满。这个旅行团可能一共有( )人。
A. 34 B. 37 C. 40 D. 45
(3)(易错题)a和b都是6的倍数，ab。下列选项中，( )不是6的倍数。
A. 5a B. b-3 C. a+b D. a-b
4.乐乐在重阳节这天为敬老院的爷爷奶奶们准备了40块糕点，要想正好用同款包装盒把糕点装完，不能选用下面哪款包装盒 请写明理由。(每个小正方形中放一块糕点)
5.同学们一起玩“拍七”游戏，游戏规则如下，他们在从1到60的报数过程中，一共拍了7次手，他们拍手的次数对吗 为什么
游戏规则 从任意一人开始轮流大声报数：1,2,3,4,…在这当中,凡是遇到7的倍数，就不能报数只能拍手示意。
二、2、5、3的倍数特征。
知识归纳
(一)2、5的倍数特征。
1.将下面的数填在对应的圈里。
45 36 6735 90 23 400
2.填一填。
(1)一个三位数，百位上的数字是最小的奇数，个位上的数字是最小的偶数，十位上的数字是5 的倍数。这个三位数是( )。
(2)一个非零自然数a 是偶数，与它相邻的两个自然数用字母表示分别是( )和( )，这两个自然数都是( )数(填“奇”或“偶”)。
(3)妈妈买了33个苹果，至少再买( )个就可以分成每5个一盘；至少吃掉( )个就能既可以分成每2个一盘，也可以分成每5个一盘。
3.观察右面的算式，回答问题。
(1)我们已经知道：判断一个数是不是5 的倍数，
要看这个数的个位是不是0或5。结合算式说
明原因。
(2)为什么看个位就可以判断一个数是不是2的倍数 请照样子分析。
(二)3的倍数特征。
1.圈出3的倍数。
15 26 54 6 83 93 420 2023 12345
2.分别在□里填上一个数字，使组成的数都是3的倍数。
2□ □3 61□ 5□4 □216 1□82
3.从2，5，7，8中选出三个数字，使这三个数字无论怎么组合都是3的倍数，这三个数字是( )、( )和( )。
4.将小棒首尾顺次连接，用( )根同样的小棒不可能正好搭成一个等边三角形。
A. 6 B. 15 C. 21 D. 43
5.妈妈要在超市买3袋大米，每袋大米a 元(a为整数)，付钱时妈妈扫付款码后输入265元，妈妈输入的钱数对吗 请说明理由。
(三)2、5、3倍数特征的综合运用。
1.不用笔算，直接把下面各式的余数写在括号里。
29÷2( ) 78÷5( ) 14÷3( ) 52÷3( )
2.(1)三位数45□既是偶数，又是3 的倍数，□里最大可以填( )。
(2)三位数27□既是5的倍数，又是3的倍数，□里可以填( )。
(3)四位数1□7□同时是2、5、3的倍数，这个四位数可能是( )。(写一个即可)
3.下面四个六位数中，一定同时是2、5、3的倍数的是( )。
4.从右面的四张卡片中取出三张组成三位数，按要求填一填。 6 051
(1)组成的既是2的倍数，又是5的倍数的数中，最大的是( )。
(2)组成的既是奇数，又是3 的倍数的数中，最小的是( )。
(3)组成的同时是2、5、3的倍数的数有( )。
5.棋社的活动项目如下，王老师根据当天参加活动的人数开展活动，确保每位同学都能参与，每天只开展一种项目。棋社连续5天参加活动的人数如下表。
星期 一 二 三 四 五
人数 35 42 30 45
(1)星期一适合开展的项目是( )；这5天中，适合开展象棋项目的有( )天,分别是( )。
(2)前4天中，星期( )和星期( )既适合开展跳棋项目，又适合开展飞行棋项目；星期( )三种项目都适合开展。
(3)星期五当天参加活动的人数记录被污渍遮挡了，根据王老师的描述推测，星期五这天可能有多少人参加活动
三、质数和合数。
1.填一填。
(1)在自然数1~20中，质数有( )，合数有( )个，既是偶数又是质数的数是( )，既是奇数又是合数的数有( )。
(2)100 以内的最大质数与最小合数的积是( )。
(3)两个连续自然数都是质数，这两个连续自然数是( )和( )。
(4)两个质数的积是39，差是10，它们分别是( )和( )。
2.判断对错，对的在括号里画“√”，错的画“×”并在横线上举出反例。
(1)任何一个自然数至少有两个因数。 ( )
(2)一个自然数不是质数就是合数。 ( )
(3)两个质数的积一定是合数。 ( )
(4)所有的质数都是奇数，所有的合数都是偶数。 ( )
(5)两个质数的和一定是偶数。 ( )
3.数学家哥德巴赫有个著名的猜想：“任意一个大于2 的偶数，都可以表示为两个质数的和。”乐乐通过举例来验证这个猜想是否正确，下面举例不正确的是( )。
A. 8=5+3 B. 16=7+9 C. 20=17+3 D. 26=7+19
4.在括号里填上合适的质数。
18=( )+( )=( )+( ) 24=( )+( )=( )-( )
32=( )+( )+( ) 63=( )×( )×( )
5.(易错题)用一根长 40cm的铁丝围一个长和宽都是整厘米数且都是质数的长方形，铁丝没有剩余，围成的长方形的面积最大是多少平方厘米 先填表，再解答。
长/ cm
宽/ cm
面积/cm
四、和的奇偶性。
知识归纳
奇数±奇数=偶数 偶数±偶数=偶数 奇数±偶数=奇数
奇数×奇数=奇数 奇数×偶数=偶数 偶数×偶数=偶数
1.在括号里填“奇数”或“偶数”。
(1)12、728、928、1064都是( )，这几个数中任意两个数的和都是( )。
(2)甲、乙两班共有89名学生，其中甲班学生人数为奇数，那么乙班学生人数为( )。
(3)今年轩轩和妈妈的年龄和是奇数，11年后，轩轩和妈妈的年龄和是( )。
2.一个奇数( )，结果就是偶数。
A.乘5 B.加2 C.减1 D.除以2
3.实验小学五(1)班有45名学生，现在他们要去4个社区参加志愿者服务活动，要使去每个社区的学生人数都是偶数，能做到吗？能的话请分配一下人数，不能的话请说明理由。
五、拓展运用。
1.三个各不相等的质数的和是一个偶数，这三个质数的积最小是( )。
2.哥哥和爸爸今年的年龄都是36的因数，同时又都是6和4的倍数，爸爸今年( )岁，哥哥今年( )岁。
3.在右面的数表中，在 6的倍数上画“○”，在2的倍数上画“△”，在 3的倍数上画“□”。发现：6的倍数既是( )的倍数，又是( )的倍数。根据发现判断 15248是不是 6的倍数。
4.乐乐随意写了一些数：“123，234，345，…”，他发现这些数都是3的倍数。
(1)请你按照上面数的规律再写出两个3的倍数；( )和( )。
(2)请用你的方法说明：在0~9中任选3个连续的自然数，它们组成的三位数都是3的倍数。
参考答案
一、
(一)1. ③
2. (1)6 7 42 42 6 7
(2)因数 倍数 倍数
3.(1)B
(2)D
4. 9 是54的因数,54 是9 的倍数。
7 是28的因数,28是7 的倍数。
13是39的因数,39是13的倍数。
19是57的因数,57 是 19 的倍数。
(二) 1. 48 的因数:1,2,3,4,6,8,12,16,24,48
39的因数:1,3,13,39
1~30 中 5 的倍数:5,10,15,20,25,30
17 的倍数(写出5 个):17,34,51,68,85(答案不唯一)
2. (1)8 无数
(2)4
(3)19
(4)64
3. (1)C (2)D (3)B
4.不能选用 D款包装盒。因为一个 D款包装盒所能装的糕点数量是 6个，6不是40的因数，即不能正好将40块糕点装完。(理由合理即可)
5.他们拍手的次数不对。因为1到60中，7的倍数有7，14，21，28，35，42，49，56，一共有 8个，按游戏规则“凡是遇到7的倍数，就不能报数只能拍手示意”可知，同学们一共应该拍8次手。(理由合理即可)
二、
(一)1.2的倍数:36，90，400
5的倍数:45，6735，90，400
同时是2、5的倍数:90，400
奇数:45，6735，23
偶数:36，90，400
2.(1)150
(2)a-1 a+1 奇
(3)2 3
3.(1)从算式中可以看出：整十、整百、整千数都是5的倍数。当 a、b都是c的倍数时，a+b仍是c的倍数，所以只需看一个数的个位是不是0或5，就可以判断这个数是不是5的倍数。(理由合理即可)
(2)整十、整百、整千数都是2的倍数，所以同理只需看一个数的个位，就可以判断这个数是不是2的倍数。(理由合理即可)
(二)1. 15 54 6 93 420 12345
2.示例:4 3 2 6 3 1
3. 2 5 8
4. D
5.妈妈输入的钱数不对。因为妈妈要买3袋大米，每袋大米的价钱是整数，因此总价应该是3的倍数，而2+6+5=13，13不是3的倍数，因此265不是3的倍数，所以妈妈输入的钱数不对。(理由合理即可)
(三)1.1 3 2 1
2.(1)6 (2)0
(3)1170(或1470或1770)
3. D
4.(1)650 (2)105 (3)150、510
5.(1)飞行棋 3 星期二、星期三、星期五
(2)三 四 三
(3)答：星期五这天可能有10、20或40人参加活动。
三、
1.(1)2、3、5、7、11、13、17、19 11 2 9、15(2)388 (3)2 3 (4)13 3
2.(1)× 1只有1个因数。
(2)× 1既不是质数，也不是合数。
(3)√
(4)× 2是质数但不是奇数，9是合数但不是偶数。
(5)× 2和7的和是奇数。
(反例合理即可)
3. B
4.5 13 7 11 7 17 29 5
2 11 19 7 3 3
(画线部分填法不唯一)
长/ cm 17 13
宽/ cm 3 7
面积/cm 51 91
答：围成的长方形的面积最大是91 cm 。
四、
1. (1)偶数 偶数
(2)偶数
(3)奇数
2. C
3.不能做到，因为去4个社区的学生人数都是偶数时，总人数是偶数，而45 是奇数，所以不能做到。
五、
1. 30
2. 36 12
3.画一画略 2 3
15248是2的倍数，但不是3 的倍数，因此不是6 的倍数。
4. 示例:
(1)456 567
(2)假设这3个连续的自然数分别是a-1、a 和a+1，那么这3个连续自然数的和是3a，是3的倍数，所以在0~9中任选3个连续的自然数，它们组成的三位数都是3的倍数。

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