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第五章　一元函数的导数及其应用
5.3　导数在研究函数中的应用
5.3.1　函数的单调性
　　研究股票时，我们最关心的是股票的发展趋势（走高或走低）以及股票 价格的变化范围（封顶或保底）.如图，从股票走势曲线图来看，股票有升 有降.在数学上，函数曲线也有升有降，就是我们常说的单调性.
问题　函数的单调性与导数有什么关系？
知识点一　函数的单调性与导数的关系
定义在区间（a，b）内的函数y＝f（x）：
f'（x）的正负 f（x）的单调性
f'（x）＞0 单调递
f'（x）＜0 单调递
思考：在区间（a，b）内，若f'（x）＞0，则f（x）在此区间上单调递 增，反之也成立吗？
不一定成立.比如函数f（x）＝x3在R上为增函数，但其在x＝0处的导数 等于零.也就是说f'（x）＞0是f（x）在某个区间上单调递增的充分不必 要条件.
增　
减　
教材知识整理与归纳
知识点二　函数值变化快慢与导数的关系
设函数y＝f（x），在区间（a，b）上：
导数的绝对值 函数值变化 函数的图象
越大 比较“ ”（向上或向下）
越小 比较“ ”（向上或向下）
越快　
陡峭　
越慢　
平缓　
×
×
√
√
A. 先增后减 B. 先减后增
C. 单调递增 D. 单调递减
解析：易知f'（x）＝－ sin x－1，x∈（0，π），
∴f'（x）＜0，
∴f（x）＝ cos x－x在（0，π）上单调递减.
D
3. 函数f（x）＝ln x－x的单调递增区间是 .
（0，1）　
　函数图象与导函数图象的关系
【例1】已知导函数f'（x）的下列信息：当x＜0或x＞7时，f'（x）＞0；当 0＜x＜7时，f'（x）＜0；当x＝0或x＝7时，f'（x）＝0.试画出函数f （x）的大致图象.
课堂互动探究与提升
解：当x＜0或x＞7时，f'（x）＞0，可知函数f（x）在 区间（－∞，0）和（7，＋∞）上都单调递增；当0＜x＜ 7时，f'（x）＜0，可知函数f（x）在区间（0，7）上单 调递减；当x＝0或x＝7时，f'（x）＝0，这两个点比较特 殊，我们称它们为“稳定点”.综上，函数f（x）的大致 形状如图所示.
归纳总结：研究函数图象与导函数图象之间关系的方法
导函数f'（x）图象在x轴上方时对应的自变量的取值区间为原函数f（x） 图象上升部分对应的区间（单调递增区间），导函数f'（x）图象在x轴下方 时对应的自变量的取值区间为原函数f（x）图象下降部分对应的区间（单调 递减区间）.
C
A B C D
解析：由导函数的图象可知，当x＜0时，f'（x）＞0，即函数f（x）单调 递增；当0＜x＜x1时，f'（x）＜0，即函数f（x）单调递减；当x＞x1时， f'（x）＞0，即函数f（x）单调递增.结合选项易知C正确.
　利用导数判断函数的单调性
【例2】利用导数判断下列函数的单调性：
（3）f（x）＝x－ex（x＞0）.
解：（3）因为f（x）＝x－ex，x∈（0，＋∞），
所以f'（x）＝1－ex＜0，
所以函数f（x）＝x－ex在（0，＋∞）上为减函数.
归纳总结：利用导数判断函数的单调性的策略
利用导数证明或判断一个可导函数在给定区间内的单调性，实质上就是判断 f'（x）的正负或证明不等式f'（x）≥0（或f'（x）≤0）在给定区间内恒成 立.一般步骤为：①求导数f'（x）；②判断f'（x）的符号；③得出结论.
　利用导数求函数的单调区间
【例3】求下列函数的单调区间：
（1）f（x）＝x3－4x2＋4x－1；
x 2 （2，＋∞）
f'（x） ＋ 0 － 0 ＋
f（x） 单调递增 单调递减 f（2）＝－1 单调递增

x （－∞，2） （2，3） 3 （3，＋∞）
f'（x） － － 0 ＋
f（x） 单调递减 单调递减 f（3）＝e3 单调递增
所以函数f（x）的单调递增区间为（3，＋∞），单调递减区间为（－∞， 2）和（2，3）.
求下列函数的单调区间：
（1）f（x）＝2x3＋3x2－36x；
解：（1）f'（x）＝6x2＋6x－36＝6（x＋3）（x－2）.
令f'（x）＝0，解得x＝－3或x＝2，
x＝－3和x＝2把函数的定义域划分为三个区间，
f'（x）在各区间上的正负，以及f（x）的单调性如表所示，
x （－∞，－3） －3 （－3，2） 2 （2，＋∞）
f'x） ＋ 0 － 0 ＋
f（x） 单调递增 f（－3）＝81 单调递减 f（2）＝－44 单调递增
故f（x）的单调递增区间是（－∞，－3）和（2，＋∞）；
单调递减区间是（－3，2）.
（2）f（x）＝2x2－ln x.
D
当堂检测
A B C D
解析：由导函数不是常数函数，排除A；由导函数f'（x）的图象可知，f' （x）≥0，当且仅当x＝0时，f'（x）＝0，
所以函数f（x）是增函数，故排除C；又f'（0）＝0，故排除B；满足条件的 只有D. 故选D.
A. 单调递增
B. 单调递减
A
（－3，－1）∪（0，1）　
1. 重点与难点：（1）函数的单调性与其导数的关系.（2）利用导数判断函 数的单调性.（3）利用导数求函数的单调区间.（4）由导数的信息画函数的 大致图象.
2. 定理与公式或方法：方程思想、分类讨论.
3. 误区警示：忽略定义域的限制.

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