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第五章　一元函数的导数及其应用
5.2　导数的运算
5.2.3　简单复合函数的导数
　　假设某商品的利润y是销售量u的函数，销售量u是销售价格x的函数， 且y＝f（u）＝60u－u2，u＝g（x）＝60－3x.那么，不难看出，利润y 是销售价格x的函数，且有y＝60u－u2＝60（60－3x）－（60－3x）2＝ 180x－9x2.上式也可这样得到：f（g（x））＝60g（x）－[g（x）]2＝ 180x－9x2.
问题　（1）函数f（g（x））与f（x）和g（x）是什么关系？
（2）设y＝f（g（x））＝180x－9x2，求y'，并观察y'与f'（u）和u'＝g' （x）的关系.
知识点　复合函数
1. 概念：一般地，对于两个函数y＝f（u）和u＝g（x），如果通过中间 变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f（u）和u＝g （x）的复合函数，记作y＝ .
f（g（x））　
y'u·u'x　
y对u　
u对
x　
教材知识整理与归纳
提醒　求复合函数的导数应处理好以下环节：①中间变量的选择应是基本函 数结构；②正确分析函数的复合层次；③一般是从最外层开始，由外及内， 一层层地求导；④善于把一部分表达式作为一个整体；⑤最后要把中间变量 换成自变量的函数.
思考：试说明函数y＝ln （2x＋5）是如何复合的？
设u＝2x＋5，则y＝ln u，从而y＝ln （2x＋5）可以看作是由y＝ln u和u ＝2x＋5经过“复合”得到的，即y可以通过中间变量u表示为自变量x的 函数.
A. －5 B. －3 C. －4
×
√
√
B
－2e　
　求复合函数的导数
【例1】求下列函数的导数：
课堂互动探究与提升
（2）y＝ cos x2；　　
解：（2）令u＝x2，则y＝ cos u，
所以y'x＝y'u·u'x＝－ sin u·2x＝－2x sin x2.
（3）y＝log2（2x＋1）；　　
归纳总结：
1. 求复合函数的导数的步骤
2. 求复合函数的导数的注意点
（1）选择的中间变量通常为基本初等函数.
（2）求导时分清是对哪个变量求导.
（3）计算结果尽量简洁.
求下列函数的导数：
（2）y＝5log2（1－x）；　　　　
　复合函数求导法则的综合应用
C
　复合函数导数的应用问题
归纳总结：将复合函数的求导与问题中的实际意义结合，函数在某点处 的导数反映了函数在该点的瞬时变化率，体现导数揭示物体在某时刻的 变化状况.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A. 12贝克 B. 12ln 2贝克
C. 24贝克 D. 24ln 2贝克
C
A. cos 2x B. 2 cos 2x
C. － cos 2x D. －2 cos 2x
解析：f'（x）＝（ sin 2x）'·（2x）'＝2 cos 2x.
A. 1 C. －1 D. －2
B
B
当堂检测
A. 2e B. e C. 6 D. 2
C
1　
1. 重点与难点：（1）复合函数的概念.（2）复合函数的求导法则.（3）复 合函数的导数的应用.
2. 定理与公式或方法：转化法.
3. 误区警示：求复合函数的导数时不能正确分解函数；求导时不能分清是 对哪个变量求导；计算结果复杂化.

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