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第五章　一元函数的导数及其应用
5.3　导数在研究函数中的应用
5.3.2　函数的极值与最大（小）值　
第2课时　函数的最大（小）值
1. 会求给定闭区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值.（数 学运算）
2. 体会导数与单调性、极值、最大（小）值的关系.（逻辑推理）
　　观察如图所示的函数y＝f（x），x∈[－3，2]的图象，回忆函数极值 的定义，回答下列问题：
问题　（1）图中所示函数的极值点与极值分别是什么？
（2）图中所示函数最值点与最值分别是什么？
知识点　函数的最值
函数f（x）在区间[a，b]上的最值
连
续不断　
极值
点　
区间端点　
教材知识整理与归纳
提醒　函数的极值与最值的关系：①函数的极值是函数在某一点附近的局部 概念，函数的最值是一个整体性概念.②函数的最值是比较整个定义区间的 函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的，函数的极值 可以有多个，但最值只能有一个.③极值只能在区间内取得，最值则可以在 端点处取得.有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为 最值，最值不在端点处取得时必定是极值.
√
×
×
×
A. 极大值一定比极小值大 B. 极大值一定是最大值
C. 最大值一定是极大值 D. 最大值一定大于极小值
解析：由函数的最值与极值的概念可知，y＝f（x）在[a，b]上的最大值一 定大于极小值.
D
A. π－1 C. π D. π＋1
C
C. 0 D. 3
A
　求函数的最值
角度一　求不含参数的函数的最值
课堂互动探究与提升
当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如表所示.
x （－∞，－2） －2 （－2，2） 2 （2，＋∞）
f'（x） ＋ 0 － 0 ＋
f（x） 单调递增 单调递减 单调递增
角度二　求含参数的函数的最值
【例2】已知函数f（x）＝x3－ax2－a2x，求函数f（x）在[0，＋∞）上的 最小值.
①当a＞0时，f（x）在[0，a）上单调递减，在[a，＋∞）上单调递增，
所以f（x）min＝f（a）＝－a3.
②当a＝0时，f'（x）＝3x2≥0，f（x）在[0，＋∞）上单调递增，
所以f（x）min＝f（0）＝0.
归纳总结：求含参函数的最值的步骤
（1）求函数的导函数f'（x）.
（2）求方程f'（x）＝0的全部实根，同时根据参数的范围，判断f'（x）＝0 的根是否在区间[a，b]内.
（3）根据参数的取值范围，确定函数的极大值、极小值.
（4）将函数的极值与端点处的函数值进行比较，得到函数的最大值、最 小值.
1. 求下列函数的最值：
（1）f（x）＝2x3－6x2＋3，x∈[－2，4]；
解：（1）f'（x）＝6x2－12x＝6x（x－2）.令f'（x）＝0，得x＝0或
x＝2.
又f（0）＝3，f（2）＝－5，f（4）＝35，f（－2）＝－37，
∴当x＝4时，f（x）取最大值35，
当x＝－2时，f（x）取最小值－37.即f（x）的最大值为35，最小值
为－37.
x （－∞，2） 2 （2，＋∞）
f'（x） ＋ 0 －
f（x） 单调递增 单调递减
2. （人教A版选择性必修第二册P95例7）给定函数f（x）＝（x＋1）ex.
（1）判断函数f（x）的单调性，并求出f（x）的极值；
解：（1）函数的定义域为R.
f'（x）＝（x＋1）'ex＋（x＋1）（ex）'＝ex＋（x＋1）ex＝（x＋2）ex.
令f'（x）＝0，解得x＝－2.
f'（x），f（x）的变化情况如表所示.
x （－∞，－2） －2 （－2，＋∞）
f'（x） － 0 ＋
f（x） 单调递减 单调递增

（2）画出函数f（x）的大致图象；

（3）求出方程f（x）＝a（a∈R）的解的个数.
3. 已知a＞0，求函数f（x）＝－x3＋3ax（0≤x≤1）的最大值.
x 0 1
f'（x） ＋ 0 －
f（x） 0 单调递增 单调递减 3a－1
　由函数的最值求参数问题
A. －1 D. 1
B
归纳总结：已知函数在某区间上的最值求参数的值（或范围）是求函数最值 的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最 值，根据已知最值列方程（不等式）解决问题.
已知函数f（x）＝ln x－ax存在最大值0，求a的值.

A. 有最大值，但无最小值
B. 有最大值，也有最小值
C. 无最大值，但有最小值
D. 既无最大值，也无最小值
解析：f'（x）＝3x2－3＝3（x＋1）（x－1），
当x∈（－1，1）时，f'（x）＜0，
所以f（x）在（－1，1）上是减函数，无最大值和最小值.故选D.
D
当堂检测
C. 0 D. －16
A
A. [f（x）]2＜f（x2）＜f（x）
B. f（x2）＜[f（x）]2＜f（x）
C. f（x）＜f（x2）＜[f（x）]2
D. f（x2）＜f（x）＜[f（x）]2
D
4. 函数f（x）＝（x＋1）ex的最小值是 .
5. 函数f（x）＝｜2x－1｜－2ln x的最小值为 .
解析：函数f（x）＝｜2x－1｜－2ln x的定义域为（0，＋∞）.
1　
1. 重点与难点：（1）函数最值的定义.（2）求函数的最值.（3）函数最值 的应用.
2. 定理与公式或方法：转化化归、分类讨论.
3. 误区警示：忽视函数的最值与极值的区别与联系.

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