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第五章　一元函数的导数及其应用
5.3　导数在研究函数中的应用
5.3.2　函数的极值与最大（小）值　
第1课时　函数的极值
　　“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，说的是庐山的高低起伏，错落 有致.如图，在群山之中，各个山峰的顶端，虽然不一定是群山的最高处， 但它却是其附近的最高点，同样，各个谷底虽然不一定是群山之中的最低 处，它却是其附近的最低点.
问题　在数学上，这种现象如何来刻画呢？
知识点　极小值、极大值的概念
极小值 极大值
图象
教材知识整理与归纳
极小值 极大值
定义 函数y＝f（x）在点x＝a处的 函数值f（a）比它在点x＝a附 近其他点处的函数值都 ， f'（a）＝0；而且在点x＝a附 近的左侧 ，右 侧 ，把 叫 做函数y＝f（x）的极小值 点， 叫做函数y＝f （x）的极小值 函数y＝f（x）在点x＝b处的 函数值f（b）比它在点x＝b附 近其他点处的函数值都 ， f'（b）＝0；而且在点x＝b附 近的左侧 ，右 侧 ，把 叫 做函数y＝f（x）的极大值 点， 叫做函数y＝f （x）的极大值
极小值点、极大值点统称为 ，极小值和极大值统称 为
小　
f'（x）＜0　
f'（x）＞0　
a　
f（a）　
大　
f'（x）＞0　
f'（x）＜0　
b　
f（b）　
极值点　
极值　
提醒　（1）极值点不是点；（2）极值是函数的局部性质；（3）函数的极 值不唯一；（4）极大值与极小值两者的大小不确定；（5）极值点出现在区 间的内部，端点不可能是极值点.
×
×
×
√
A. 两个极大值，一个极小值
B. 两个极大值，无极小值
C. 一个极大值，一个极小值
D. 一个极大值，两个极小值
C
解析：由题图可知导函数f'（x）有三个零点，且x1＜0，x2＝0，x3＞0，当 x＜x1时，f'（x）＜0，当x1＜x＜0时，f'（x）＞0，
所以函数f（x）在x＝x1处取得极小值；当x1＜x＜x2时，f'（x）＞0，当 x2＜x＜x3时，f'（x）＞0，
所以函数f（x）在x＝x2处无极值；当x＞x3时，f'（x）＜0，
所以函数f（x）在x＝x3处取得极大值.故选C.
A. －2 B. 2 D. 不存在
A
4. 已知函数f（x）＝2x3＋ax2＋36x－24在x＝2处有极值，则a＝ .
解析：∵f'（x）＝6x2＋2ax＋36，且在x＝2处有极值，
∴f'（2）＝0，即24＋4a＋36＝0，解得a＝－15.
－15
　导函数的图象与极值的关系
AD
课堂互动探究与提升
A. 函数f（x）在区间（1，＋∞）上单调递增
B. 函数f（x）在区间（－1，1）上无单调性
D. 函数f（x）在x＝1处取得极小值
解析：观察函数y＝xf'（x）的图象可以发现，当x∈（1，＋∞）时，xf' （x）＞0，于是f'（x）＞0，故函数f（x）在区间（1，＋∞）上单调递 增，A正确；当x∈（－1，0）时，xf'（x）＞0，于是f'（x）＜0，当x∈ （0，1）时，xf'（x）＜0，于是f'（x）＜0，故函数f（x）在区间（－1， 1）上单调递减，B，C错误；由于f（x）在区间（0，1）上单调递减，在区 间（1，＋∞）上单调递增，
所以函数f（x）在x＝1处取得极小值，故D正确.
A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 4个
解析：根据极小值点存在的条件：①f'（x0）＝0，②在x＝x0的左侧f' （x）＜0，在x＝x0的右侧f'（x）＞0，可以判断出函数f（x）的极小值 点共有1个.
C
　利用导数求函数的极值
角度一　求不含参数的函数的极值
【例2】求下列函数的极值：
（1）f（x）＝（x3－1）2＋1；
解：（1）∵f（x）＝（x3－1）2＋1＝x6－2x3＋2，
∴f'（x）＝6x5－6x2＝6x2（x3－1）.
令f'（x）＝0，得x＝0或x＝1.
当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如表所示：
x （－∞，0） 0 （0，1） 1 （1，＋∞）
f'（x） － 0 － 0 ＋
f（x） 单调递减 2 单调递减 1 单调递增
∴当x＝1时，f（x）有极小值，为f（1）＝1，f（x）无极大值.
x （0，e） e （e，＋∞）
f'（x） ＋ 0 －
f（x） 单调递增 单调递减
角度二　求含参数的函数的极值
【例3】设函数f（x）＝x3－3ax＋b（a≠0），求函数f（x）的单调区间 与极值点.
当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如表所示：
x
f'（x） ＋ 0 － 0 ＋
f（x） 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
求下列函数的极值：
（1）f（x）＝x3－3x2－9x＋5；
解：（1）函数f（x）的定义域为R.
f'（x）＝3x2－6x－9，令f'（x）＝0，
即3x2－6x－9＝0，
解得x1＝－1，x2＝3.
当x变化时，f（x），f'（x）的变化情况如表所示：
x （－∞，－1） －1 （－1，3） 3 （3，＋∞）
f'（x） ＋ 0 － 0 ＋
f（x） 单调递增 10 单调递减 －22 单调递增
∴当x＝－1时，函数y＝f（x）有极大值，且极大值为f（－1）＝10；
当x＝3时，函数y＝f（x）有极小值，且极小值为f（3）＝－22.
（2）f（x）＝x－aln x（a∈R）.

　由极值求参数值（范围）
A. －1 B. －2e－3 C. 5e－3 D. 1
A

归纳总结：由函数极值求参数的方法
已知可导函数的极值求参数的问题，解题的切入点是极值存在的条件：
（1）极值点处的导数值为0，极值点附近两侧的导数值异号，利用待定系数 法列方程（不等式）求解.
（2）因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，
所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性.
已知f（x）＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1时有极值0，求常数a，b的值.
B. y＝x－ex C. y＝2 D. y＝x3
解析：对于y＝x－ex，y'＝1－ex，令y'＝0，得x＝0.在区间（－∞，0） 上，y'＞0；在区间（0，＋∞）上，y'＜0.故当x＝0时，函数y＝x－ex取得 极大值.
B
当堂检测
A. 0
C
A. －3或3 B. 3或－9 C. 3 D. －3
C
4. 若1是函数f（x）＝x＋mln x的极值点，则m＝ .
－1　
x （－∞，－1） －1 （－1，1） 1 （1，＋∞）
f'（x） － 0 ＋ 0 －
f（x） 单调递减 －3 单调递增 －1 单调递减
由表格可以看出，当x＝－1时，函数f（x）有极小值，且极小值为f（－1）＝－3；
当x＝1时，函数f（x）有极大值，且极大值为f（1）＝－1.
当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如表所示：
1. 重点与难点：（1）函数极值的概念.（2）函数极值的判定及求法.（3） 函数极值的应用.
2. 定理与公式或方法：方程思想、分类讨论.
3. 误区警示：导数值等于零不是此点为极值点的充要条件.

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