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分课时教学设计
第三课时《19.2 二次根式的乘法与除法（第1课时）》教学设计
课型 新授课 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本节课是人教版八年级下册第19章《二次根式》第2节二次根式的乘法与除法的第1课时，承接了算术平方根的意义、二次根式的概念与性质，是二次根式运算体系的基石．它类比整式、分式的运算引入二次根式的乘法法则，既深化了“数式通性”的数学思想，又为后续二次根式的除法、加减运算以及最简二次根式的化简奠定了逻辑基础．同时，法则的双向应用（正向计算、逆向化简），不仅能提升学生的代数运算能力，还能帮助学生建立从具体到抽象的归纳思维，为后续学习勾股定理、一元二次方程等知识奠定重要的基础．
学习者分析 学生已具备算术平方根、整式乘法的知识基础，且在之前的学习中积累了从具体实例归纳一般规律的经验，对“数式通性”有初步感知．但他们的抽象思维仍处于发展阶段，对二次根式乘法法则的双向应用（尤其是逆向化简）容易混淆，在处理含字母的根式化简时，也可能忽略被开方数的非负性条件．此外，学生对类比、归纳的数学思想方法的运用还不够熟练，需要在具体运算中进一步深化理解，提升严谨的代数推理能力．
教学目标 1．经历从特殊到一般、从具体到抽象的过程，从而归纳出二次根式的乘法法则． 2．通过对二次根式乘法法则的正用、逆用，加强学生对乘法法则的理解，掌握二次根式的乘法运算及化简．
教学重点 二次根式乘法法则的正用、逆用．
教学难点 能灵活应用二次根式的乘法法则进行计算和化简．
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：学习目标教师活动1： 师出示学习目标： 1．经历从特殊到一般、从具体到抽象的过程，从而归纳出二次根式的乘法法则． 2．通过对二次根式乘法法则的正用、逆用，加强学生对乘法法则的理解，掌握二次根式的乘法运算及化简．学生活动1： 学生齐声读本课的学习目标活动意图说明： 明确本节课的学习目标，使教师的教和学生的学有效结合在一起，激发学生的学习动力，提高学生课堂参与的兴趣与积极性。环节二：新知导入教师活动2： 问题：说一说二次根式都有哪些性质？ 预设：（1）双重非负性：即≥0（a≥0）． （2） ＝a (a≥0)． （3） 导入：类比整式、分式，我们学习了二次根式的概念，接下来也要学习二次根式的运算，根据算术平方根的意义，当a取某个非负实数时， 也是一个实数，我们从这类实数的运算出发学习二次根式的运算. 先来研究二次根式的乘法.学生活动2： 学生积极回答问题活动意图说明： 通过复习二次根式的相关性质，为学习二次根式的乘法做好准备环节三：新知讲解教师活动3： 探究：计算下列各式，观察计算结果，你能发现什么规律？ （1）＝_______，＝_______； （2）＝_____，＝_____； （3）＝_____，＝_____． 预设：6，6，20，20，42，42 ＝ ＝ ＝ 归纳：一般地，二次根式的乘法法则是 (a≥0，b≥0)． 即：两个二次根式相乘，先将它们的被开方数相乘，再对所得的积取算术平方根． 例1：计算. （1）； （2）； （3）． 解：（1） （2） （3） 讲解：逆用二次根式的乘法法则： 把 (a≥0，b≥0)反过来，就得到 (a≥0，b≥0) ， 利用它可以进行二次根式的化简． 例2：化简. （1）； （2）； 指出：被开方数4a2b3含有偶数次因数4(4=22)和因式a2 ， b3，它们是开得尽平方的因数和因式，被开方后可以移到根号外. 解：（1） （2） = = = = 例3：计算. （1）；（2）；（3）． 指出： (a≥0，b≥0) 解：（1）； （2）== === （3） = = = =．学生活动3： 学生先独立思考，然后分小组讨论交流，并派代表发言，最后认真听老师的点评与讲解活动意图说明： 通过学生分小组合作探究及老师的适时引导，使学生逐步抽象出二次根式的乘法运算规律并归纳出二次根式的计算法则，然后通过例题，巩固学生对二次根式乘法法则双向运用的理解及应用．环节四：课堂小结教师活动4： 问题：本节课你都学习到了哪些知识？ 教师通过学生的回答，进行归纳 学生活动4： 学生积极回顾本节课学习到的知识活动意图说明： 通过学生自己回顾、总结、梳理所学的知识，将所学的知识与以前学过的知识进行紧密联系，完善认知结构和知识体系。
板书设计 课题：19.2 二次根式的乘法与除法（第1课时） 一、二次根式的乘法法则 (a≥0，b≥0) 二、逆用二次根式的乘法法则 (a≥0，b≥0) 教师板演区学生展示区
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．计算的结果是（ ） A．6 B．4 C．2 D．1 答案：C 解：∵， 又∵， ∴ ， 故选：C． 2．计算所得的结果是（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 答案：D 解：． 故选：D． 3．计算：． 答案： 解： ． 选做题： 4．计算的结果是 ． 答案： 解：， 故答案为：． 【综合拓展类练习】 5．直角三角形的两条直角边长分别为，求这个直角三角形的面积． 答案： 解：直角三角形的两条直角边长分别为， ∴该直角三角形的面积．
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．计算的结果是（ ） A．6 B．12 C．18 D．36 答案：C 解：， 故选：． 2．设，，则用含有，的式子可以表示为（ ） A． B． C． D． 答案：D 解：， ∵， ∴． 故选：D． 3．计算下列各题： (1)． (2)． (3)． 答案：(1) (2) (3) 解：（1）原式 ． （2）原式 ． （3）原式 ． 选做题： 4．若正实数满足，则 ． 答案： 解：，， ， ， 为正实数， ， ． 故答案为：． 【综合拓展类作业】 5．已知一个三角形的底边长为，底边上的高为，求此三角形的面积． 答案： 解：根据题意得：， 则此三角形面积为．
教学反思 本节课通过探究活动引导学生归纳法则，整体达成了知识目标，但在教学中仍有不足．一是对含字母根式化简的非负性强调不够充分，部分学生在处理类似的问题时，容易忽略字母的取值范围；二是练习设计的梯度不够明显，未能充分满足不同层次学生的需求．后续教学中，应增加变式训练，强化对法则本质的理解，同时通过小组合作探究，引导学生更主动地发现问题、解决问题，提升课堂的思维深度与学生的参与度．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共25张PPT)
第十九章 二次根式
19.2 二次根式的乘法与除法
（第1课时）
1．经历从特殊到一般、从具体到抽象的过程，从而归纳出二次根式的乘法法则．
2．通过对二次根式乘法法则的正用、逆用，加强学生对乘法法则的理解，掌握二次根式的乘法运算及化简．
说一说二次根式都有哪些性质？
（1）双重非负性：即≥0（a≥0）．
（2） ＝a (a≥0)．
（3）
类比整式、分式，我们学习了二次根式的概念，接下来也要学习二次根式的运算，根据算术平方根的意义，当a取某个非负实数时， 也是一个实数，我们从这类实数的运算出发学习二次根式的运算.
先来研究二次根式的乘法.
探究：计算下列各式，观察计算结果，你能发现什么规律？
（1）＝___________，＝___________；
（2）＝___________，＝___________；
（3）＝___________，＝___________．
6
6
20
20
42
42
＝
＝
＝
一般地，二次根式的乘法法则是
(a≥0，b≥0)．
即：两个二次根式相乘，先将它们的被开方数相乘，再对所得的积取算术平方根．
例1：计算.
（1）； （2）； （3）．
解：（1）
（2）
（3）
逆用二次根式的乘法法则：
把 (a≥0，b≥0)反过来，就得到
(a≥0，b≥0) ，
利用它可以进行二次根式的化简．
例2：化简.
（1）； （2）；
解：（1）
（2）
=
=
=
=
被开方数4a2b3含有偶数次因数4(4=22)和因式a2 ， b3，它们是开得尽平方的因数和因式，被开方后可以移到根号外.
例3：计算.
（1）；（2）；（3）．
解：（1）；
（2）=====
（3） = = = =．
(a≥0，b≥0)
【知识技能类练习】必做题：
1．计算的结果是（ ）
A．6 B．4 C．2 D．1
C
【知识技能类练习】必做题：
2．计算所得的结果是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
D
【知识技能类练习】必做题：
3．计算：．
解：
．
【知识技能类练习】选做题：
4．计算的结果是 ．
【综合拓展类练习】
5．直角三角形的两条直角边长分别为，求这个直角三角形的面积．
解：直角三角形的两条直角边长分别为，
∴该直角三角形的面积
．
二次根式的乘法
(a≥0，b≥0)
(a≥0，b≥0)
【知识技能类作业】必做题：
1．计算的结果是（ ）
A．6 B．12 C．18 D．36
C
【知识技能类作业】必做题：
2．设，，则用含有，的式子可以表示为（ ）
A． B． C． D．
D
【知识技能类作业】必做题：
3．计算下列各题：
(1)． (2)．
(3)．
解：（1）原式
．
（2）原式
．
【知识技能类作业】必做题：
3．计算下列各题：
(1)． (2)．
(3)．
（3）原式
．
【知识技能类作业】选做题：
4．若正实数满足，则 ．
【综合拓展类作业】
5．已知一个三角形的底边长为，底边上的高为，求此三角形的面积．
解：根据题意得：
，
则此三角形面积为．中小学教育资源及组卷应用平台
同步探究学案
课题 19.2 二次根式的乘法与除法（第1课时） 单元 第十九章 学科 数学 年级 八年级
学习 目标 1．经历从特殊到一般、从具体到抽象的过程，从而归纳出二次根式的乘法法则． 2．通过对二次根式乘法法则的正用、逆用，加强学生对乘法法则的理解，掌握二次根式的乘法运算及化简．
重点 二次根式乘法法则的正用、逆用．
难点 能灵活应用二次根式的乘法法则进行计算和化简．
探究过程
导入新课 【引入思考】 说一说二次根式都有哪些性质？
新知探究 本节课来研究： 类比整式、分式，我们学习了二次根式的概念，接下来也要学习二次根式的运算——二次根式的乘法。 探究：计算下列各式，观察计算结果，你能发现什么规律？ （1）＝_______，＝_______； （2）＝_____，＝_____； （3）＝_____，＝_____． 归纳：一般地，二次根式的乘法法则是 (a≥0，b≥0)． 即：两个二次根式相乘，先将它们的被开方数_______，再对所得的积取___________． 例1：计算. （1）； （2）； （3）． 逆用二次根式的乘法法则： 把 (a≥0，b≥0)反过来，就得到 (a≥0，b≥0) ， 利用它可以进行二次根式的化简． 例2：化简. （1）； （2）； 提示：被开方数4a2b3含有偶数次因数4(4=22)和因式a2 ， b3，它们是开得尽平方的因数和因式，被开方后可以移到根号外. 例3：计算. （1）；（2）；（3）． 提示： (a≥0，b≥0)
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．计算的结果是（ ） A．6 B．4 C．2 D．1 2．计算所得的结果是（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 3．计算：． 选做题： 4．计算的结果是 ． 【综合拓展类练习】 5．直角三角形的两条直角边长分别为，求这个直角三角形的面积．
课堂小结 说一说：今天这节课，你都有哪些收获？
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．计算的结果是（ ） A．6 B．12 C．18 D．36 2．设，，则用含有，的式子可以表示为（ ） A． B． C． D． 3．计算下列各题： (1)．(2)． (3)． 选做题： 4．若正实数满足，则 ． 【综合拓展类作业】 5．已知一个三角形的底边长为，底边上的高为，求此三角形的面积．
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