资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
专题03 直角三角形
（一）直角三角形性质——角的关系
①直角三角形的两个锐角互余。
（二）直角三角形性质——等积法
如图：△ABC为直角三角形，AD⊥BC
S△ABC=AB×AC=AD×BC；则AB×AC=AD×BC
（三）勾股定理逆定理
表示方法：如图：三角形的三边分别为，，，若则三角形为直角三角形
（四）直角三角形全等的判定
（1）直角三角形全等
①斜边和一条直角边对应相等（HL）
②证明两个直角三角形全等同样可以用SAS,ASA和AAS.
考点1：直角三角形的性质——角的关系
典例1：如图，在中，，于点，平分，交于点．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】角平分线的有关计算、直角三角形的两个锐角互余
【分析】本题考查的是直角三角形的性质，熟记直角三角形两锐角互余是解题的关键．先根据直角三角形的性质求出，再根据角平分线的定义求出，根据直角三角形的性质计算即可．
【详解】解：，
，
，
，
平分，
，
在中，，，
，
故选：C．
【变式1】如图，等腰中，腰上的高线为，的平分线为，，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】角平分线的有关计算、直角三角形的两个锐角互余、等边对等角
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的两锐角互余，角平分线的计算，熟练掌握知识点是解题的关键．
根据直角三角形两锐角互以及等边对等角得到，由角平分线得到，再根据角度和差计算即可．
【详解】解：∵腰上的高线为，，
∴，
∵等腰，，
∴，
∵的平分线为，
∴，
∴，
故选：B．
【变式2】如图，在中， 于点，，若，则 ．
【答案】
【知识点】直角三角形的两个锐角互余、全等的性质和HL综合（HL）
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是证明三角形全等．
由题意证得即可求解．
【详解】解：，,
，
在和中，
，
，
，
，
故答案为：．
【变式3】如图，在中，，M，N分别是边上的动点，沿着直线将对折，点A、的对称点是点．若，则的度数为 ．
【答案】150或60
【知识点】根据平行线的性质求角的度数、直角三角形的两个锐角互余、三角形的外角的定义及性质、折叠问题
【分析】本题主要考查了平行线的性质，折叠的性质，直角三角形两锐角互余，三角形外角的性质，解题的关键是根据题意画出图形，并注意分类讨论．分两种情况：当在下方时，当在下方时，分别画出图形，求出结果即可．
【详解】解：当在下方时，如图所示：
，
，
根据折叠可知，，
，
；
当在下方时，如图所示：
，
，
根据折叠可知，，
；
综上分析可知，此时或；
故答案为：150或60．
考点2：直角三角形的性质——求线段
典例2：如图，在中，，是边上的高，若，，则的长是（ ）
A．3 B． C． D．4
【答案】A
【知识点】与三角形的高有关的计算问题、直角三角形的两个锐角互余、含30度角的直角三角形
【分析】本题考查三角形中求线段长，涉及直角三角形两锐角互余、高的定义、含的直角三角形性质等知识，先由直角三角形两锐角互余得到，在和中，由、含的直角三角形性质求出，数形结合表示出即可得到答案，熟练掌握直角三角形两锐角互余、含的直角三角形性质等知识是解决问题的关键．
【详解】解：在中，，则，
是边上的高，
，
，
，
在中，，，，则，
在中，，，，则，
，
故选：A．
【变式1】如图，在中，，，线段的垂直平分线分别交于点D，E，连接．若，则的长为（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
【答案】B
【知识点】等边对等角、含30度角的直角三角形、线段垂直平分线的性质、直角三角形的两个锐角互余
【分析】根据直角三角形的性质，可得，根据垂直平分线的性质可得，在中，根据含角的直角三角形的性质可求出的值，由此即可求解．
【详解】解：在中，，
∴，
∵是的垂直平分线，
∴，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题主要考查含角的直角三角形的性质，直角三角形两锐角互余，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，掌握垂直平分线的性质，含角的直角三角形的性质是解题的关键．
【变式2】如图，在中，，，平分，，若，则的长为 ．
【答案】
【知识点】直角三角形的两个锐角互余、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，角平分线的定义等知识，由和间角的关系可得,延长交于点,由证得,求出,再由证得,得到,从而即可求出的长，熟练掌握其性质并能正确延长,构造全等三角形是解决此题的关键．
【详解】解：如图，延长交于点,
,
,
,
,即,
在和中
，
,
平分,
,
在和中,
,
,
,
故答案为：．
【变式3】如图，在中，直角边，，为斜边上的高，点从点出发，沿直线以的速度移动，过点作的垂线交直线于点，则点的运动时间 时，．
【答案】或/或
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、直角三角形的两个锐角互余
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，先证明 得出，当点在射线上移动时，，即可求出移动了；当点在射线上移动时，即可求出移动了，熟练正确全等三角形的判定和性质是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∵为边上的高，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
如图，当点在射线上移动时，，
∵点从点出发，直线以的速度移动，
∴移动了：；
如图，当点在射线上移动时，，
∵点从点出发，直线以的速度移动，
∴移动了：；
综上所述，当点在射线上移动或时，；
故答案为：或．
考点3：直角三角形性质——等积法
典例3：如图（1），已知在中，，且，过点A作于点，点是直线上一动点，设点到两边、的距离分别为，，的高为．
(1)当点运动到点位置时，与有什么关系；
(2)如图（2），试判断、、之间的关系，并证明你的结论；
(3)如图（3），当点运动到的延长线上时，求证：．
【答案】(1)当点P与点M重合时，，理由见解析
(2)，证明见解析
(3)证明见解析
【知识点】运用完全平方公式进行运算、与三角形的高有关的计算问题、等边三角形的判定和性质
【分析】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的判定与性质，三角形的面积，完全平方公式的应用，运用等积法建立关系式是解题的关键．
（1）当点P与点M重合时，过点M作于点D，于点E，由等边三角形的性质得出，则，根据三角形面积公式可得出结论；
（2）连接，根据可得出结论；（3）连接，根据可得出，进行变形后可得出结论．
【详解】（1）解：当点P与点M重合时，，理由：
过点M作于点D，于点E，如图，
∵且，
∴是等边三角形，
∵即，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：，理由如下：如图，连接，
则，
∴，即，
又∵是等边三角形，
∴，
∴；
（3）证明：如图，连接，
则 ，
∴，即，
又∵是等边三角形，
∴，
∴；
∴，
∴，
两边同时除以2024得
，
∴，
∴．
【变式1】如图，已知是的角平分线，、分别是和的高．
(1)请你判断与关系，并说明理由；
(2)若，，，求的长．
【答案】(1)垂直平分，理由见解析
(2)
【知识点】与三角形的高有关的计算问题、全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的性质定理、线段垂直平分线的判定
【分析】（1）根据角平分线的性质得出，根据三角形全等的判定得出，求出，根据垂直平分线的判定即可得出答案；
（2）根据三角形面积公式得出，求出结果即可．
【详解】（1）解：垂直平分，理由如下：
∵是的角平分线，、分别是和的高，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，
∴垂直平分；
（2）解：∵，
∴，
∵，，
∴．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，垂直平分线的判定，三角形面积公式，三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，证明．
【变式2】学习了等腰三角形的知识后，小南进行了拓展性研究．他发现：过等腰三角形底边上的一点向两腰作垂线段，这两条线段的和等于等腰三角形一腰上的高．小南的解决思路是通过计算面积得出结论，请你根据他的想法与思路，完成以下作图与填空：
(1)用无刻度的直尺和圆规，过点C作的垂线，垂足为点D，连接．（只保留作图痕迹，不写作法）
(2)已知：如图，在中，，于点E，于点F．求证：．
证明：
，，，
，，．
，
① ，
即．
② ，
，
③ ．
由此小南得出结论：过等腰三角形底边上一点向两腰作垂线段，则④ ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【知识点】与三角形的高有关的计算问题、作垂线(尺规作图)、等腰三角形的定义
【分析】本题主要考查了做已知线段的垂线，以及利用等面积法证明过等腰三角形底边上一点向两腰作垂线段这两条垂线段长度的和等于一腰上的高．
（1）根据作垂线的方法先做出的垂线；
（2）按照所给的证明方法一步步证明即可．
【详解】（1）解：作图如下：
（2）证明：，，，
，，．
，
，
即．
，
，
．
由此小南得出结论：过等腰三角形底边上一点向两腰作垂线段，则这两条垂线段长度的和等于一腰上的高．
【变式3】如图，中，为中线，，分别为，的中点，且，于．
(1) ；
(2)若，求的长；
(3)若交的延长线于，求证：．
【答案】(1)20
(2)
(3)见解析
【知识点】与三角形的高有关的计算问题、根据三角形中线求面积
【分析】此题是三角形综合题，考查三角形中线的性质和三角形面积公式，关键是根据三角形中线的性质解答．
（1）根据三角形中线的性质得出面积即可；
（2）根据三角形面积公式得出即可；
（3）根据三角形面积公式进行证明解答．
【详解】（1）解：为中线，且，
，
故答案为：20；
（2）解：为中线，，分别为，的中点，，
，
，
，
；
（3）证明：为中线，，分别为，的中点，
，
，，
，
．
考点4：直角三角形性质——动点
典例4：在等边中，，点在边上，且，动点从点出发沿射线以每秒的速度运动，连结，将线段绕点逆时针旋转得到线段，当点落在延长线上时，点P停止运动．设点P运动的时间为t秒．
(1)用含t的代数式表示P、C两点间的距离；
(2)当与的一边平行时，求t的值；
(3)当与的一边垂直时，求t的值；
(4)在整个运动过程中，扫过的面积为 ．
【答案】(1)
(2)3或9
(3)6秒或15秒
(4)
【知识点】全等三角形综合问题、含30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形
【分析】（1）根据线段的和差可得结论；
（2）分和两种情况讨论求解即可；
（3）分和两种情况讨论求解即可；
（4）根据边界点正确画出扫过的图形为，根据三角形的面积即可解答．
【详解】（1）解：根据题意得：，，
则；
（2）解：当时，如图1，
∵是等边三角形，，
∴
∵，
∴
∵
∴
∵
∴，
∴
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∵，
∴
∴（秒）；
当时，如图2，
则
而
∴
∴三点在一条直线上，
又点在上运动，
∴点与点重合，
∴
∴（秒）；
综上，当秒或9秒时，与的一边平行；
（3）解：当时，如图3，
∵
∴
∵
∴
∴
∴，
∴（秒）；
当时，如图4，
∵
∴
∵
∴
∴
∵，
∴
∴
∴
∴
∴（秒），
综上，当秒或15秒时，与的一边垂直；
（4）解：如图4，当点P与B重合时，点Q在的位置，当点Q在射线上时，点P在射线上，此时扫过的图形为，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
由旋转得：，
∴，
∴，
由（3）知：，，
∴ ，
，
∵，，，
∴，
∴．
即在整个运动过程中，扫过的面积为．
故答案为：．
【点睛】本题几何变换的综合题，考查了等边三角形的性质，勾股定理，三角形的面积，含角的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，平行线的性质等知识，解决问题的关键是掌握旋转的性质，根据已知条件正确作图．
【变式1】如图，是等边三角形，边长为，点、分别是边、上的动点，点从顶点、点从顶点同时出发，分别沿边、运动，设运动时间为，且它们的速度都为．
(1)连接、交于点，则在点、运动的过程中，的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求的度数；
(2)连接，当为何值时，为直角三角形？
【答案】(1)，理由见解析
(2)秒或秒
【知识点】等边三角形的性质、含30度角的直角三角形、全等的性质和SAS综合（SAS）、三角形的外角的定义及性质
【分析】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质和含角的直角三角形性质，
（1）根据等边三角形的性质得和，根据运动得，即可得，得到，根据三角形的外角的性质解答即可；
（2）设点P，Q运动x秒时，则，，分和两种情况，根据含角的直角三角形性质计算即可．
【详解】（1）的大小不发生变化，理由如下，
∵是等边三角形，
∴，，
∵点P、Q的速度相同，
∴，
在和中
∴．
∴，
∴
则
（2）设点P，Q运动x秒时，是直角三角形，
则，，
①当时，
∵，
∴，即，解得，；
②当时，
∵，
∴，即，解得；
故当t为秒或秒时，是直角三角形．
【变式2】已知：如图，是边长的等边三角形，动点同时从两点出发，分别沿方向匀速移动，它们的速度都是，当点到达点时，两点停止运动．设点的运动时间为，解答下列问题：
(1)当为何值时，是直角三角形？
(2)当为何值时，是等腰三角形？
(3)设四边形的面积为，求与的关系式．
【答案】(1)当的值为1秒或2秒时，是直角三角形
(2)当的值为秒时，是等腰三角形．
(3)
【知识点】图形运动问题(实际问题与二次函数)、含30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质、等腰三角形的定义
【分析】（1）分情况进行讨论：①；②．然后在直角三角形中根据的表达式和的度数进行求解即可．
（2）根据构建方程即可解决问题．
（3）先用的面积的面积表示出四边形的面积，即可．
【详解】（1）解：根据题意得，
中，，，
，
中，，若是直角三角形，则或，
当时，，
即，
解得：（秒），
当时，，
即，
解得：（秒），
答：当的值为1秒或2秒时，是直角三角形；
（2）解：，是等腰三角形，
是等边三角形，
，
，
，
则秒时，是等腰三角形．
（3）解：如图，过P作于，过A作于，
在中，，
，
，
是等边三角形，，
，
，
，
．
【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了直角三角形的判定、等边三角形的面积公式，图形面积的求法、勾股定理等知识点，解题的关键是学会用方程的思想解决问题，属于中考常考题型．
【变式3】阅读：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半．根据材料及所学知识，解决下列问题：如图1，在中，，，，动点从点出发，沿射线运动，动点从点出发，沿射线运动，如果动点以，以的速度同时出发，设运动时间为，解答下列问题：
(1)当为多少时，是等腰三角形？请说明理由．
(2)当为多少时，是直角三角形？请说明理由．
【答案】(1)或时，是等腰三角形，见解析
(2)或时，是直角三角形，见解析
【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、含30度角的直角三角形、等腰三角形的性质和判定
【分析】（1）由题知，，，再分两种情况：①当点，点在线段，上运动时，即时；②当点，点在线段，延长线上运动时，即时；分别根据等腰三角形的性质列出方程，求解即可；
（2）分情况讨论，根据直角三角形的性质列出方程，解方程即可．
【详解】（1）解：，，
，
由题知，，
①当点，点在线段，上运动时，即时
是等腰三角形
是等边三角形
，
解得，
②当点，点在线段，延长线上运动时，即时
是等腰三角形
，
解得，
综上所述，或时，是等腰三角形
（2）解：当点，点在线段，上运动时，即时
①当时
，
，
解得，
②当时
，
∴，

解得，
当点，点在线段，延长线上运动时，是钝角三角形，不符合题意，舍去.
综上所述，或时，是直角三角形．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、直角三角形的性质、一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键．
考点5：直角三角形判定——网格图
典例5：如图，在的正方形网格中，点在网格线的交点上．
(1)仅用无刻度直尺，画出以为腰的等腰．
(2)仅用无刻度直尺，画出以为底的等腰．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【知识点】等腰三角形的性质和判定、勾股定理与网格问题
【分析】本题主要考查了应用设计与作图，和勾股定理，正确利用网格结合勾股定理及其逆定理分析是解题关键．
（1）根据等腰三角形的判定按要求画图即可．
（2）根据等腰三角形的判定按要求画图即可．
【详解】（1）如图，等腰即为所求（答案不唯一）．
，
，为以为腰的等腰三角形．
（2）如图，等腰即为所求（答案不唯一）．
，
，为以为底的等腰三角形．
【变式1】如图均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点，均在格点上．请在给定的网格中按要求作图．
(1)在图1中，找一个格点，使为等腰三角形，且为锐角三角形；
(2)在图2中，找一个格点，使为等腰三角形，且为直角三角形；
(3)在图3中，找一个格点，使为等腰三角形，且为钝角三角形．
【答案】(1)作图见详解
(2)作图见详解
(3)作图见详解
【知识点】格点图中画等腰三角形、勾股定理与网格问题、等腰三角形的定义
【分析】本题等腰三角形的定义，三角形的分类，勾股定理与网格的计算，掌握等腰三角形的定义，三角形的分类，勾股定理的运用是解题的关键．
（1）根据等腰三角形的定义，三角形的分类进行作图；
（2）根据等腰三角形的定义，勾股定理逆定理的运用进行作图；
（3）根据等腰三角形的定义，钝角三角形的定义作图即可．
【详解】（1）解：如图所示，
∵，
∴为等腰三角形，且为锐角三角形；
（2）解：如图所示，
∵，，，
∴，，即，
∴为等腰三角形，且为直角三角形；
（3）解：如图所示，
∵，
∴，是钝角，
∴为等腰三角形，且为钝角三角形．
【变式2】如图，在的方格纸中，每个小方格的边长为1个单位，请按要求作出格点图形（顶点在格点上）．

(1)在图1中作出面积为2的正方形；
(2)在图2中作出面积为10的正方形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【知识点】勾股定理与网格问题
【分析】本题主要考查网格与勾股定理的运用，掌握勾股定理是解题的关键．
（1）根据格点与勾股定理可得每格对角线的成为，由此即可求解；
（2）根据格点与勾股定理可得面积为10的正方形的边长为，由此即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，正方形的边长为，

∴正方向的面积为，
∴图形即为所求图形；
（2）解：如图所示，正方形的边长为，

∴正方向的面积为，
∴图形即为所求图形．
【变式3】如图所示，四个规格相同的正方形网格，按下列要求画格点正方形（4个顶点均在格点的正方形）．
(1)在图1中画出与图甲中阴影部分面积相等的正方形．
(2)在图2中画出与图乙中阴影部分面积相等的正方形．
【答案】(1)画图见详解
(2)画图见详解
【知识点】勾股定理与网格问题
【分析】本题考查了勾股定理与网格问题，掌握勾股定理是解题的关键．
（1）根据题意可以选取边长为的正方形，画出正方形即可．
（2）根据题意可以选取边长为的正方形，根据勾股定理画出边长为正方形即可．
【详解】（1）解：图甲中四边形由两个底边为4，高为1的三角形组成，
∴图甲中四边形的面积为，
图1中的正方形边长为，如图所示．
（2）图乙中四边形的面积为，
图2中的正方形边长为，且，
如图所示．
考点6：直角三角形的判定——勾股逆定理
典例6：如图，四边形纸片，．经测得，，，．
(1)求A、C两点之间的距离．
(2)求这张纸片的面积．
【答案】(1)
(2)
【知识点】用勾股定理解三角形、利用勾股定理的逆定理求解
【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，三角形的面积．
（1）由勾股定理可直接求得结论；
（2）根据勾股定理逆定理证得，由于四边形纸片的面积，根据三角形的面积公式即可求得结论．
【详解】（1）解：连接，如图．
在中，，，，，
∴，
解得（负值舍去）
即A、C两点之间的距离为；
（2）解：∵，
∴，
∴四边形纸片的面积
．
【变式1】如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题：
(1)在网格中，画线段，且使，连结；
(2)线段的长为 ，的长为 ，的长为 ；
(3)为 三角形，点A到的距离为 ．
【答案】(1)见解析
(2)，，5
(3)直角，2
【知识点】勾股定理与网格问题、在网格中判断直角三角形、平移(作图)
【分析】本题考查作图-应用与设计、平行线的性质、平行四边形的判定和性质、勾股定理、直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
（1）利用平移的性质画出图形即可；
（2）利用勾股定理计算即可；
（3）利用勾股定理的逆定理证明，再运用等积法即可解决问题．
【详解】（1）解：如图，即为所画，
（2）解：由勾股定理得：
；
；
故答案为：；；5；
（3）解：∵,
∴，
∴是直角三角形，且
设点A到的距离为，则有：
，
∴
即：点A到的距离为2，
故答案为：直角；2．
【变式2】如图，在中，点在边上，已知，，，点在上，且．
(1)试说明：；
(2)若，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、判断三边能否构成直角三角形
【分析】本题主要考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键．
（1）先利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，于是结论得证；
（2）由（1）可得，进而可得，利用可证得，于是可得，然后在中，利用勾股定理即可求出的长．
【详解】（1）证明：，，，
，，
，
是直角三角形，
，
；
（2）解：由（1）可得：，
，
，，
，
，
．
【变式3】已知：如图，在中．，，的周长为．
(1)证明：是直角三角形；
(2)过点作于点，点为边上的一点，且，过点作交的角平分线于点．
①证明：；
②直接写出线段的长．
【答案】(1)见解析
(2)①见解析；②
【知识点】等腰三角形的性质和判定、判断三边能否构成直角三角形
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，等腰三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识．
（1）根据题意求出，再利用勾股定理的逆定理即可证明；
（2）①由（1）可知，结合，推出，由可得，得到，根据角平分线的定义可得，即可证明；②由，，且，推出，得到，根据，，得到，推出，得到，即可求解．
【详解】（1）证明： ，，的周长为，
，
，，
，
是直角三角形；
（2）①证明： ，
，
于点，
，
，
，
，
，
是的角平分线，
，
，
；
② ，，且，
，
，
，，
，
，
，
，
，
．
考点7：直角三角形全等——HL
典例7：如图， ，，是上的一点，且，．
(1)求证：；
(2)若，，求的面积．
【答案】(1)见解析
(2)10
【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、根据等角对等边证明边相等
【分析】此题主要考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质的运用，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
（1）根据已知可得到，，从而利用判定两三角形全等；
（2）由三角形全等可得到，，再利用即可解答．
【详解】（1）解：证明：∵，，
∴，
∴．
∵，
∴．
在与中
，
∴．
（2）解：由（1）得，
∴，．
∴
，
∴的面积为10．
【变式1】如图，．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【知识点】直角三角形的两个锐角互余、全等的性质和HL综合（HL）
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
（1）根据，即可证明；
（2）先求出，根据全等三角形的性质可得，然后根据即可求解．
【详解】（1）证明： ，
在和中
；
（2）解：，
，
，
，
．
【变式2】如图，在中，，是的平分线，交于在上，且．
(1)求证：．
(2)若，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的性质定理、用勾股定理解三角形
【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，解题的关键是掌握角平分线上的点到角两边距离相等，三角形全等的判定方法和性质，以及根据勾股定理求出三角形的边长．
（1）根据角平分线的性质可得，进而推出，即可求证；
（2）由（1）可知，根据勾股定理得，则，证明，推出，设为，则，利用勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：证明：是的平分线，，
，
又，
，
；
（2）解：由（1）可知，
，
，
又，
．
．
设为，则．
在中，，即，
解得：，
．
【变式3】如图，是的高，E是上一点，连接．
(1)求证：；
(2)若，求线段和的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【知识点】全等的性质和HL综合（HL）
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、根据面积等式求线段的长度等知识，
（1）由是的高，得，进而即可根据“”证明；
（2）由全等三角形的性质得，再由，即可得，的长；
熟练掌握其性质并能灵活选择全等三角形的判定定理证明是解决此题的关键．
【详解】（1）证明：是的高，
，
在和中，
，
；
（2），
，
，
，
∵，
，
，．
考点8：直角三角形全等——综合
典例8：如图，在平面直角坐标系中，点是x轴上一点，点是y轴上一点，且满足多项式在的积中x的二次项与一次项系数均为2．
(1)求出A、B两点坐标；
(2)如图1，点M为线段上一点，点P为x轴上一点，且满足，，证明：；
(3)如图2，过O作于F，以为边在y轴左侧作等边，连接交于点N，试探究：、、之间的数量关系，并证明你的结论．
【答案】(1)点、点；
(2)见解析
(3)，见解析
【知识点】等边三角形的判定和性质、等腰三角形的性质和判定、线段垂直平分线的性质、全等的性质和HL综合（HL）
【分析】（1）由多项式的系数得出，，得出，即可得出答案；
（2）在轴上截取一点，使，过作于，过作于，则是等腰直角三角形，证出和都是等腰直角三角形，得出，证明，得出，证明，得出，即可得出结论；
（3）在上截取一点，使，连接，延长交轴于，证明，得出，，证出，再证明是等边三角形，据此即可得出结论．
【详解】（1）解：，
，，
，
点、点；
（2）证明：在轴上截取一点，使，过作于，过作于，如图1所示：
则是等腰直角三角形，
，
和都是等腰直角三角形，
，
，
、、三点共线，
由（1）得：，
是等腰直角三角形，，
，
在和中，，
，
，
在和中，，
，
，
，
，
，
；
（3）解：；理由如下：
在上截取一点使，连接，，延长交轴于，如图2所示：
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
在和中，，
，
，，
，
，，
，，
是线段的垂直平分线，
，
，
，
是等边三角形，
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、等边三角形的判定和性质、线段垂直平分线的性质等知识；熟练掌握直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
【变式1】在中，、是角平分线，交于点．
(1)如图1，是高，，，直接写出和的度数．
(2)如图2，若，，求的度数．
(3)如图3，若，，，，直接写出．
【答案】(1)，
(2)
(3)10
【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的性质定理、等腰三角形的性质和判定
【分析】（1）根据垂直的定义得到，根据角平分线的定义得到，，根据三角形的内角和即可得到结论；
（2）连接OC，根据角平分线的性质得到，根据全等三角形的性质得到，根据角平分线的定义即可得到结论；
（3）连接，过O作于D，于G，于H，根据角平分线的性质得到，根据三角形的面积公式即可得的结论．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴；
∵，，
∴，，
∵是的角平分线，
∴，
∴；
（2）解：连接，如图1，
∵、是角平分线，
∴是的角平分线，
∴，
过O作，，
则，
在与中，
，
∴，
∴，
∴，
∵、是角平分线，
∴，，
∵，
∴，
∴，
即，
∴；
（3）如图2，连接，过O作于D，于G，于H，
∵、是角平分线，
∴，
∵，，，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义和性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
【变式2】已知，在等腰直角三角形中，，，，点D是线段上一点，点D不与点B，点C重合，连接，以为一边作，，，且点E与点D在直线两侧，与交于点H，连接．
(1)如图1，求证：．
(2)如图2，在的延长线上取一点F，当时，求证：．
(3)过点A作直线的垂线，垂足为G，当时，直接写出与的面积比．
【答案】(1)见详解
(2)见详解
(3)或
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、全等的性质和HL综合（HL）
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，涉及、以及等判定方法，
（1）利用“”证明即可作答；
（2）结合（1）的结论，再利用“”证明即可作答；
（3）分类讨论，第一种情况：点G在点E的下方，过点A作于点O，点H作于点M，点H作于点N，先证明，即有，，同理可证明：，再证明，可得，问题即可作答；第二种情况：点G在点E的上方，过点A作于点O，点H作于点M，点H作于点N，按照第一种情况作答即可．
【详解】（1）∵，，
∴，
∴，
又∵，，
∴；
（2）∵，
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴；
（3）分类讨论：
第一种情况：点G在点E的下方，过点A作于点O，点H作于点M，点H作于点N，如图，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，，
同理可证明：，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∵，，，
∴；
第二种情况：点G在点E的上方，过点A作于点O，点H作于点M，点H作于点N，如图，
同理可得：，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
综上：与的面积比为 或者．
【变式3】已知：如图，在中，点A在边的垂直平分线上，直线l经过点A，、分别垂直于直线l，垂足分别为点D、E，且．
(1)求证：．
(2)取边的中点F，连接，求证：平分．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、全等的性质和HL综合（HL）、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和判定
【分析】（1）根据角平分线的性质可得，结合已知条件可证；
（2）设l交于点Q，连接，过作于， 于，根据（1）结论可得，推出，可得为等腰直角三角形，推出，证，可得，得到，即得．
【详解】（1）∵，，
∴，与为直角三角形，
∵点A在边垂直平分线上，
∴，
在也中，
，
∴，
即；
（2）设l交于点Q，连接，过作于，作于，
∴
由（1）知，
∴，
∵，
∴，
即，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∵为中点，
∴，
∵，，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
又∵，，
∴平分．
【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线，全等三角形，等腰直角三角形，角平分线等，熟练掌握线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，角平分线的判定，是解决问题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
专题03 直角三角形
（一）直角三角形性质——角的关系
①直角三角形的两个锐角互余。
（二）直角三角形性质——等积法
如图：△ABC为直角三角形，AD⊥BC
S△ABC=AB×AC=AD×BC；则AB×AC=AD×BC
（三）勾股定理逆定理
表示方法：如图：三角形的三边分别为，，，若则三角形为直角三角形
（四）直角三角形全等的判定
（1）直角三角形全等
①斜边和一条直角边对应相等（HL）
②证明两个直角三角形全等同样可以用SAS,ASA和AAS.
考点1：直角三角形的性质——角的关系
典例1：如图，在中，，于点，平分，交于点．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】如图，等腰中，腰上的高线为，的平分线为，，则为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】如图，在中， 于点，，若，则 ．
【变式3】如图，在中，，M，N分别是边上的动点，沿着直线将对折，点A、的对称点是点．若，则的度数为 ．
考点2：直角三角形的性质——求线段
典例2：如图，在中，，是边上的高，若，，则的长是（ ）
A．3 B． C． D．4
【变式1】如图，在中，，，线段的垂直平分线分别交于点D，E，连接．若，则的长为（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
【变式2】如图，在中，，，平分，，若，则的长为 ．
【变式3】如图，在中，直角边，，为斜边上的高，点从点出发，沿直线以的速度移动，过点作的垂线交直线于点，则点的运动时间 时，．
考点3：直角三角形性质——等积法
典例3：如图（1），已知在中，，且，过点A作于点，点是直线上一动点，设点到两边、的距离分别为，，的高为．
(1)当点运动到点位置时，与有什么关系；
(2)如图（2），试判断、、之间的关系，并证明你的结论；
(3)如图（3），当点运动到的延长线上时，求证：．
【变式1】如图，已知是的角平分线，、分别是和的高．
(1)请你判断与关系，并说明理由；
(2)若，，，求的长．
【变式2】学习了等腰三角形的知识后，小南进行了拓展性研究．他发现：过等腰三角形底边上的一点向两腰作垂线段，这两条线段的和等于等腰三角形一腰上的高．小南的解决思路是通过计算面积得出结论，请你根据他的想法与思路，完成以下作图与填空：
(1)用无刻度的直尺和圆规，过点C作的垂线，垂足为点D，连接．（只保留作图痕迹，不写作法）
(2)已知：如图，在中，，于点E，于点F．求证：．
证明：
，，，
，，．
，
① ，
即．
② ，
，
③ ．
由此小南得出结论：过等腰三角形底边上一点向两腰作垂线段，则④ ．
【变式3】如图，中，为中线，，分别为，的中点，且，于．
(1) ；
(2)若，求的长；
(3)若交的延长线于，求证：．
考点4：直角三角形性质——动点
典例4：在等边中，，点在边上，且，动点从点出发沿射线以每秒的速度运动，连结，将线段绕点逆时针旋转得到线段，当点落在延长线上时，点P停止运动．设点P运动的时间为t秒．
(1)用含t的代数式表示P、C两点间的距离；
(2)当与的一边平行时，求t的值；
(3)当与的一边垂直时，求t的值；
(4)在整个运动过程中，扫过的面积为 ．
【变式1】如图，是等边三角形，边长为，点、分别是边、上的动点，点从顶点、点从顶点同时出发，分别沿边、运动，设运动时间为，且它们的速度都为．
(1)连接、交于点，则在点、运动的过程中，的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求的度数；
(2)连接，当为何值时，为直角三角形？
【变式2】已知：如图，是边长的等边三角形，动点同时从两点出发，分别沿方向匀速移动，它们的速度都是，当点到达点时，两点停止运动．设点的运动时间为，解答下列问题：
(1)当为何值时，是直角三角形？
(2)当为何值时，是等腰三角形？
(3)设四边形的面积为，求与的关系式．
【变式3】阅读：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半．根据材料及所学知识，解决下列问题：如图1，在中，，，，动点从点出发，沿射线运动，动点从点出发，沿射线运动，如果动点以，以的速度同时出发，设运动时间为，解答下列问题：
(1)当为多少时，是等腰三角形？请说明理由．
(2)当为多少时，是直角三角形？请说明理由．
考点5：直角三角形判定——网格图
典例5：如图，在的正方形网格中，点在网格线的交点上．
(1)仅用无刻度直尺，画出以为腰的等腰．
(2)仅用无刻度直尺，画出以为底的等腰．
【变式1】如图均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点，均在格点上．请在给定的网格中按要求作图．
(1)在图1中，找一个格点，使为等腰三角形，且为锐角三角形；
(2)在图2中，找一个格点，使为等腰三角形，且为直角三角形；
(3)在图3中，找一个格点，使为等腰三角形，且为钝角三角形．
【变式2】如图，在的方格纸中，每个小方格的边长为1个单位，请按要求作出格点图形（顶点在格点上）．

(1)在图1中作出面积为2的正方形；
(2)在图2中作出面积为10的正方形．
【变式3】如图所示，四个规格相同的正方形网格，按下列要求画格点正方形（4个顶点均在格点的正方形）．
(1)在图1中画出与图甲中阴影部分面积相等的正方形．
(2)在图2中画出与图乙中阴影部分面积相等的正方形．
考点6：直角三角形的判定——勾股逆定理
典例6：如图，四边形纸片，．经测得，，，．
(1)求A、C两点之间的距离．
(2)求这张纸片的面积．
【变式1】如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题：
(1)在网格中，画线段，且使，连结；
(2)线段的长为 ，的长为 ，的长为 ；
(3)为 三角形，点A到的距离为 ．
【变式2】如图，在中，点在边上，已知，，，点在上，且．
(1)试说明：；
(2)若，求的长．
【变式3】已知：如图，在中．，，的周长为．
(1)证明：是直角三角形；
(2)过点作于点，点为边上的一点，且，过点作交的角平分线于点．
①证明：；
②直接写出线段的长．
考点7：直角三角形全等——HL
典例7：如图， ，，是上的一点，且，．
(1)求证：；
(2)若，，求的面积．
【变式1】如图，．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
【变式2】如图，在中，，是的平分线，交于在上，且．
(1)求证：．
(2)若，求的长．
【变式3】如图，是的高，E是上一点，连接．
(1)求证：；
(2)若，求线段和的长．
考点8：直角三角形全等——综合
典例8：如图，在平面直角坐标系中，点是x轴上一点，点是y轴上一点，且满足多项式在的积中x的二次项与一次项系数均为2．
(1)求出A、B两点坐标；
(2)如图1，点M为线段上一点，点P为x轴上一点，且满足，，证明：；
(3)如图2，过O作于F，以为边在y轴左侧作等边，连接交于点N，试探究：、、之间的数量关系，并证明你的结论．
【变式1】在中，、是角平分线，交于点．
(1)如图1，是高，，，直接写出和的度数．
(2)如图2，若，，求的度数．
(3)如图3，若，，，，直接写出．
【变式2】已知，在等腰直角三角形中，，，，点D是线段上一点，点D不与点B，点C重合，连接，以为一边作，，，且点E与点D在直线两侧，与交于点H，连接．
(1)如图1，求证：．
(2)如图2，在的延长线上取一点F，当时，求证：．
(3)过点A作直线的垂线，垂足为G，当时，直接写出与的面积比．
【变式3】已知：如图，在中，点A在边的垂直平分线上，直线l经过点A，、分别垂直于直线l，垂足分别为点D、E，且．
(1)求证：．
(2)取边的中点F，连接，求证：平分．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑