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专题04 垂直平分线的性质与判定
（一）垂直平分线
（1）概念：经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（或线段的中垂线）
（2）性质：线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；
（3）判定：与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
（二）尺规作图——垂直平分线
（1）过一点作已知线段的垂线
求作：AB的垂线，使它经过点C
作法：①以点C为圆心，大于到线段距离为半径作弧，交AB与点D、E。
②分别以点D、E为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点F。
③作直线CF，CF即为所求的直线
（2）作已知线段的垂直平分线
作法：①以A为圆心大于长为半径作弧，以B为圆心大于长为半径作弧,两弧交于C、D两点
②连接CD，即为所求
考点1：垂直平分线的性质——求线段
典例1：如图，中，，且，垂直平分，交于点F，交于点E，若周长为20，，则为（　　）
A．6 B．8 C．9 D．10
【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和判定
【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，关键是由线段垂直平分线的性质推出，等腰三角形的性质得到．
由等腰三角形的性质推出，由线段垂直平分线的性质推出，得到，因此，得到，即可求出的长．
【详解】解：∵，，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∵周长为20，，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：A．
【变式1】如图，在中，，，的垂直平分线交于点．若，则的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质、含30度角的直角三角形、等边对等角
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等边对等角，三角形外角的性质，含30度角的直角三角形的性质，根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等得到，再根据等边对等角和三角形外角的性质推出，则．
【详解】解：∵的垂直平分线交于点，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
故选C．
【变式2】如图，在中，，垂直平分，若，，则的长为 ．
【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质、用勾股定理解三角形
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、勾股定理 ．首先根据勾股定理可以求出，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得．
【详解】解：，，，
，
，
，
垂直平分，
．
故答案为： ．
【变式3】如图，在中，，，边的垂直平分线为l，点D是边的中点，点P是l上的动点，当的周长取最小值时，则 ．
【答案】或
【知识点】线段垂直平分线的性质、三线合一
【分析】本题考查了轴对称—最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答本题的关键．
连接,由于,点是边的中点,所以，再根据三角形的面积公式求出，再根据直线是线段的垂直平分线可知,点关于直线对称点为,故的长为的最小值,得,由此即可得出结论．
【详解】解：如图，连接，
,点是边的中点，
,
,
,
直线是线段的垂直平分线,
点关于直线的对称点为点，
的长为的最小值,
的最短周长,
,
,
解得:或,
故答案为：或 ．
考点2：垂直平分线的性质——求角
典例2：如图，四边形中，，在、上分别有一动点、，当周长最小时，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形的外角的定义及性质、线段垂直平分线的性质、根据成轴对称图形的特征进行求解
【分析】此题主要考查了平面内利用轴对称求最短路线问题，以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识的综合应用．作关于和的对称点，，连接，交于，交于，则即为周长的最小值，如图所示，根据轴对称的性质和等腰三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：作关于和的对称点，，连接，交于，交于，则即为周长的最小值，如图所示．
，，
且，，
．
，
，
，
故选：A．
【变式1】如图，在中，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线，交边于点，连接，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用、线段垂直平分线的性质、等边对等角
【分析】本题主要考查了尺规作图—作垂线、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形外角的定义与性质等知识点，灵活运用性质成为解题的关键．
由作图可知：为线段的垂直平分线可得，由等边对等角可得，再根据三角形外角的性质可得，再结合，最后运用三角形内角和即可解答．
【详解】解：由作图可知：为线段的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
故选C．
【变式2】如图，在中，的垂直平分线分别交BC和AB于点和点M，AC的垂直平分线分别交BC和AC于点和点，连接AD，AE，则的度数为 ．
【答案】/度
【知识点】三角形内角和定理的应用、线段垂直平分线的性质、等边对等角
【分析】本题考查了垂直平分线的性质，等角对等边，三角形的内角和的定理，综合运用以上知识是解题的关键．
根据垂直平分线的性质可得，根据等边对等角可得，根据三角形的内角和定理可得，进而根据即可求得答案．
【详解】解：∵的垂直平分线分别交和于点和点M，的垂直平分线分别交和于点和点，
∴
∴
在中，，
故答案为：
【变式3】如图，是等边三角形，是边上的高，点E是边的中点，点P是上的一个动点，当最小时，的度数是 ．
【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质、等边三角形的性质
【分析】根据等边三角形的对称性，等边三角形的性质，线段和最小原理计算即可．
本题考查了等边三角形的性质和对称性，垂直平分线的性质，熟练掌握等边三角形的对称性是解题的关键．
【详解】解：∵是等边三角形，是边上的高，点E是边的中点，
∴，，
∴直线为的一条对称轴，
∴点B，点C关于直线对称，
连接，交于点，则点为取最小值时的位置点，
此时，点P与点M重合，
∵是等边三角形，是边上的高，点E是边的中点，
∴，
∴直线是线段的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
考点3：垂直平分线的性质——实际应用
典例3：2024年是新一轮全国文明城区创建工作启动之年，也是我区创城工作接续奋斗，深化之年．然而目前，一些小区内仍存在随意晾晒的现象，影响了小区环境，为解决小区“晾晒难”的问题，某小区物业公司采取如下措施：
如图1，在小区内道路旁设立“公共晾晒点”，安装“共享晾衣架”，使得道路附近的两栋住宅楼，到“公共晾晒点”的距离相等．
(1)在图2中利用尺规作图（保留作图痕迹，不写作法），确定点的位置；
(2)确定点位置的依据为______．
【答案】(1)见解析
(2)到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
【知识点】线段垂直平分线的性质、作垂线(尺规作图)
【分析】题目主要考查线段垂直平分线的作法及性质，熟练掌握基本的作图方法是解题关键．
（1）根据题意作线段的垂直平分线与直线l的交点即为所求；
（2）根据线段垂直平分线的性质即可得出结果．
【详解】（1）解：点的位置如图所示：
（2）确定点位置的依据为到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，
故答案为：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
【变式1】如图，村庄A，B分别在笔直公路的两侧，一辆汽车在公路上行驶到什么位置时，它到A，B两村庄的距离相等？请指出该位置．
【答案】图见解析
【知识点】作已知线段的垂直平分线、线段垂直平分线的性质
【分析】本题主要考查了作已知线段的垂直平分线，线段垂直平分线的性质等知识点，牢记线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题的关键．
连接，作的垂直平分线，直线与相交于点，则点即为所求．
【详解】解：如图，连接，作的垂直平分线，直线与相交于点，则点即为所求：
汽车在公路上行驶到点时，它到A，B两村庄的距离相等，
理由：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，
答：汽车在公路上行驶到点时，它到A，B两村庄的距离相等．
【变式2】周末，老师带着同学们去北京植物园中的一二九运动纪念广场游玩，这里有三座侧面为三角形的纪念亭，挺拔的建筑线条象征青年朝气蓬勃、积极向上的精神．基于纪念亭的几何特征，同学们编拟了如下的数学问题：如图，点 A，B，C，D在同一条直线上，在四个论断“，中选择三个作为已知条件，另一个作为结论，构成真命题（补充已知和求证），并进行证明．
已知：
求证：
【答案】见解析
【知识点】线段垂直平分线的性质、三线合一
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，先写出已知，求证，并作出辅助线，再根据等腰三角形的性质得出，进而得出，可根据线段垂直平分线的性质得出答案.
【详解】解：已知∶如图，
求证∶．
证明：延长交于点H．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
【变式3】已知直线及位于其两侧的两点，，如图
(1)在图①中的直线上求一点，使；
(2)在图②中的直线上求一点，使直线平分；
(3)能否在直线上找一点，使该点到点，的距离之差的绝对值最大？若能，直接指出该点的位置，若不能，请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)能；点Q即为所求作的点
【知识点】画垂线、线段垂直平分线的性质、画轴对称图形、根据成轴对称图形的特征进行求解
【分析】本题考查线段的垂直平分线性质、轴对称的性质以及三角形三边关系等知识，灵活运用这些知识是解题的关键．
（1）作线段的垂直平分线与的交点即为所求．
（2）作点关于的对称点，连接并延长交于点，点即为所求．
（3）图2中的点即为所求．
【详解】（1）解：连接，作线段的垂直平分线，直线和直线的交点为，点即为所求，如图①．
（2）解：作点关于直线的对称点，连接且延长交直线于点，点即为所求，见图②．
（3）图②中的点即为所求，见图③．
理由如下：在直线上任意取一点，连接，，，
、关于直线对称，
，
（当与重合时等号成立），
，
与重合时，
，
故点即为所求的点．
考点4：垂直平分线的性质——综合应用
典例4：如图，在中，，．
(1)根据要求用尺规作图，不写作法，但保留作图痕迹：
①作的角平分线交于点D；
②作边上的垂直平分线l交于点G；
(2)连结，求的度数．
【答案】(1)①见解析；②见解析
(2)
【知识点】角平分线的有关计算、三角形内角和定理的应用、作角平分线(尺规作图)、线段垂直平分线的性质
【分析】本题考查了尺规作图，三角形内角和定理，线段垂直平分线的性质，角平分线的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）①根据角平分线的作法作图即可；②根据线段垂直平分线的作法作图即可；
（2）由三角形内角和定理得出，由角平分线的定义可得，由线段垂直平分线的性质可得，从而得出，最后由三角形内角和定理计算即可得解．
【详解】（1）解：①的角平分线如图所示，
②的垂直平分线如图所示，
（2）解：∵在中，，，
∴，
∵平分，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∴．
【变式1】如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点E，F，的垂直平分线分别交，于点M，N，直线，交于点P．
(1)求证：点P在线段的垂直平分线上；
(2)已知，求的度数．
【答案】(1)证明见解析；
(2)
【知识点】三角形内角和定理的应用、线段垂直平分线的性质、线段垂直平分线的判定、等边对等角
【分析】（1）连接，，，根据线段垂直平分线的性质证明，从而证明结论即可；
（2）先根据垂直平分线的性质证明，，，再设，，然后根据三角形内角和定理，求出，再根据直角三角形的性质求出和，再根据对顶角的性质求出，，最后利用三角形内角和定理求出答案即可．
【详解】（1）证明：如图所示，连接，，，
∵垂直平分，垂直平分，
∴，，
∴，
∴点P在线段的垂直平分线上；
（2）解：∵垂直平分，垂直平分，
∴，，，
∴，
设，，
∴，，，，
∴，，
∵，，
∴，即，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了线段的垂直平分线的性质，三角形内角和定理，直角三角形的性性质，等腰三角形的性质，对顶角相等等知识点，熟练掌握其性质并能正确添加辅助线是解决此题的关键．
【变式2】如图，在中，垂直平分于点，是边的垂直平分线交，，于点，，，连接、．
(1)求证：为等腰三角形；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【知识点】线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和判定
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）由线段垂直平分线的性质可得，，从而得出，即可得证；
（2）由线段垂直平分线的性质可得，点F是的中点，得出为的平分线．求出，，由等腰三角形的性质可得，即可得解．
【详解】（1）证明：为线段的垂直平分线，
∴．
∵为线段的垂直平分线．
．
．
∴为等腰三角形．
（2）解：∵垂直平分于点F
∴，点F是的中点
为的平分线．
∴．
．
．
∵为等腰三角形，
∴．
∴．
【变式3】如图，在中，是边的垂直平分线，分别交边，于点，，，且为线段的中点，延长与的垂直平分线交于点，连接．
(1)若是的中点，求证：；
(2)若，求证：为等边三角形．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【知识点】三角形的外角的定义及性质、线段垂直平分线的性质、根据等边对等角证明、等边三角形的判定和性质
【分析】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质等知识点，熟练掌握等边三角形的判定定理是解题的关键．
（1）连接，证明是等边三角形，进而得出，即可得出结论；
（2）先证明为等边三角形，进而证明，再由等边三角形的判定即可得出结论．
【详解】（1）证明：如图，连接，
∵是边的垂直平分线，
∴，
∵为的中点，
∴，
∴，
∵，为的中点，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∵的垂直平分线为，
∴，
∴为等边三角形．
考点5：垂直平分线的判定
典例5：如图，是的角平分线，，分别是和的高．
(1)求证：垂直平分；
(2)若，，的面积是，求．
【答案】(1)证明见解析；
(2)．
【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的性质定理、线段垂直平分线的判定
【分析】（）由角平分线的性质得，再由，得，从而证明结论；
（）根据三角形的面积，代入计算即可；
本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定等知识，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵是的角平分线，，分别是和的高，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，
∴垂直平分；
（2）解：∵，
∴由，
则，
∵，，
∴，
∴，
【变式1】如图，与相交于点O，，，．
(1)求证；
(2)求证：垂直平分．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析．
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、线段垂直平分线的判定
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
（1）证明，可得结论；
（2）根据线段的垂直平分线的判定解决问题即可．
【详解】（1）证明：在与中，
，
∴，
∴．
（2）证明：由（1）得，
∴，
∴点O在线段的垂直平分线上，
∵，
∴点E在线段的垂直平分线上，
∴垂直平分．
【变式2】如图，在中，边的垂直平分线分别交，于点，，边的垂直平分线分别交，于点，，，相交于点，连接，．
(1)试判断点是否在的垂直平分线上，并说明理由；
(2)若的周长为8，求的长；
(3)若，求的度数．
【答案】(1)点在的垂直平分线上，证明见解析
(2)
(3)
【知识点】三角形内角和定理的应用、线段垂直平分线的性质、线段垂直平分线的判定、等边对等角
【分析】（1）连接，，根据线段垂直平分线的性质可得，，从而可得，然后利用线段垂直平分线性质定理的逆定理即可解答.
（2）根据线段垂直平分线的性质可得，，然后利用三角形的周长公式以及等量代换可得的周长，即可解答；
（3）根据“等边对等角”得，由三角形内角和可得的度数.
【详解】（1）点在的垂直平分线上，理由如下：
连接，如图．
∵，分别是，的垂直平分线，
∴，，
∴，
∴点在的垂直平分线上；
（2）∵，的垂直平分线分别交于点，，
∴，，
的周长；
（3）∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
【变式3】在中，，，点是上一点，，点是上一点，．
(1)如图1，求证：是等腰三角形．
(2)如图2，过点作于点，求证：平分．
(3)如图3，延长，交于点，求证：点在的垂直平分线上．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等的性质和SAS综合（SAS）、线段垂直平分线的判定、等腰三角形的性质和判定
【分析】（1）由，，可得，结合，推出，证明，根据全等三角形的性质即可证明；
（2）根据，，可得，由，可得，进而得到，推出，结合，得到，即可证明；
（3）由（2）得，结合，可得，再根据三角形的外角性质可得，推出，即可证明．
【详解】（1）证明： ，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
是等腰三角形；
（2）证明： ，，
，
，
，
，
，
，
，
，
平分；
（3）证明：由（2）得，
，
，
，
，
，
，
点在的垂直平分线上．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定，角平分线的定义，三角形的外角性质，解题的关键是掌握相关知识．
考点6：尺规作图——垂直平分线
典例6：如图，在中，．

(1)用尺规在边上求作一点P，使（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)连接，若平分，求 ________．（直接写出）
【答案】(1)见解析
(2)
【知识点】角平分线的有关计算、线段垂直平分线的判定、作垂线(尺规作图)、等边对等角
【分析】本题考查了尺规作图——作垂直平分线，垂直平分线的判定与性质，角平分线，三角形内角和定理，等边对等角．解题的关键在于正确的作图，明确角度之间的数量关系．
（1）作线段的垂直平分线，与的交点即为点P，如图①；
（2）由，可得，由平分，可得，则，根据，计算求解即可．
【详解】（1）解：如图①，点P即为所求；

（2）解：如图①，∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【变式1】如图，是的角平分线，于点E．
(1)用尺规完成以下基本作图：过点D作于点F，连接交于点G．（不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）中所作的图形中，求证：．小强进行了如下的证明，请你帮小强完成相应的填空．
证明：（2）∵是的角平分线，， ，
∴ ，
在和中，，
∴（），
∴ ，而，
∴垂直平分线段，即．
【答案】(1)见解析
(2)，，，
【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的性质定理、线段垂直平分线的判定、作垂线(尺规作图)
【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理，垂线的尺规作图，直角全等三角形的判定与性质，垂直平分线的判定与性质等知识，掌握垂线的尺规作图方法，是解答本题的关键．
（1）以D为圆心、合适的长度为半径画弧，交于点M、N，再分别以M、N为圆心，以大于一半的长度画弧，两弧交于点H，连接并延长交于点F，连接交于点G；
（2）按照题中给出的思路作答即可．
【详解】（1）解：以D为圆心、合适的长度为半径画弧，交于点M、N，再分别以M、N为圆心，以大于一半的长度画弧，两弧交于点H，连接并延长交于点F，连接交于点G．如图所示，
（2）证明：∵是的角平分线，，，
∴，
在和中，，
∴（），
∴，而，
∴垂直平分线段，即，
故答案为：，，，．
【变式2】阅读下列材料，并完成相应的任务．
尺规作图起源于古希腊的数学课题，指的是只用没有刻度的直尺和圆规作图，并且只允许使用有限次，来解决不同的平面几何作图问题，在初中阶段，我们学习过五种基本尺规作图，并且运用基本尺规作图方法，结合图形性质可以作出更多的数学图形． 如图①，在中，，小明用尺规作底边的垂直平分线的过程如下： ①以点A为圆心，小于长为半径作弧，分别交于点D，E； ②分别以点D，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P； ③作射线，则垂直平分．
(1)根据小明的作图方法，如图①，他得出“垂直平分”的依据是______；
(2)如图②，已知在四边形中，，，求作对角线的垂直平分线，小明只用无刻度直尺作直线，就得到对角线的垂直平分线，请你帮助小明说明理由．
【答案】(1)等腰三角形三线合一的性质
(2)详见解析
【知识点】作角平分线(尺规作图)、线段垂直平分线的性质、线段垂直平分线的判定、等腰三角形的性质和判定
【分析】本题考查等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，关键是掌握等腰三角形三线合一的性质，线段垂直平分线性质定理的逆定理．
（1）由等腰三角形三线合一的性质，即可得到答案；
（2）由等腰三角形得到性质推出，得到，推出，由线段垂直平分线性质定理的逆定理即可推出垂直平分．
【详解】（1）解：他得出“垂直平分”的依据是等腰三角形三线合一的性质，
故答案为：等腰三角形三线合一的性质．
（2）证明，
，
，
，
，
，
∴C在的垂直平分线上，
，
∴A在的垂直平分线上，
∴垂直平分．
【变式3】阅读下列材料，并完成相应的任务．
尺规作图起源于古希腊的数学课题，指的是只用没有刻度的直尺和圆规作图，并且只允许使用有限次，来解决不同的平面几何作图问题．在初中阶段，我们学习过五种基本尺规作图，并且运用基本尺规作图方法，结合图形性质可以作出更多的数学图形．
如图1，在△ABC中，AB＝AC．小明用尺规作底边BC的垂直平分线的过程如下：
①以点A为圆心，小于AB长为半径作弧，分别交AB，AC于点D，E；
②分别以点D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧交于点P；
③作射线AP，则AP⊥BC．
（1）根据小明的作图方法在图1中作出图形，他得出“AP⊥BC”的依据是_______．
（2）如图2，已知在四边形ABCD中，AB＝AD，∠ABC＝∠ADC，求作对角线BD的垂直平分线，小亮只用直尺作直线AC，就得到对角线BD的垂直平分线．请你帮小亮说明理由．
（3）如图3，已知在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C．请你只用直尺作出BC边的垂直平分线．（不写作法，保留作图痕迹）
【答案】（1）作图见解析，等腰三角形顶角的平分线与底边上的高和底边上的中线互相重合；（2）理由见解析；（3）见解析．
【知识点】作角平分线(尺规作图)、线段垂直平分线的判定、根据三线合一证明
【分析】（1）依据角平分线的作图方法即可完成作图，根据等腰三角形三线合一即可得依据；
（2）分别证明点A和点C在线段BD的垂直平分线上，即可说明理由；
（3）连接AC，BD相交于点，分别延长BA和CD相交于点，两个交点所在直线即为所求．
【详解】解：（1）作图如下：
得出“AP⊥BC”的依据是：等腰三角形顶角的平分线与底边上的高和底边上的中线互相重合；
故答案为：等腰三角形顶角的平分线与底边上的高和底边上的中线互相重合；
（2）∵AB＝AD，
∴点A在线段BD的垂直平分线上，∠ABD=∠ADB
∵∠ABC＝∠ADC，
∴∠CBD＝∠CDB，
∴CB＝CD，
∴点C在线段BD的垂直平分线上，
∴直线AC是对角线BD的垂直平分线；
（3）如图，直线n即为所求．
【点睛】本题主要考查了作图——复杂作图，全等三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，关键是掌握线段垂直平分线的作法．
考点7：垂直平分线的性质与判定综合
典例7：【阅读】
如图1，在中，，，是中线，求的取值范围．小明同学的做法是：延长到，使，连接，证明．得到，在中．，即，所以；
【理解】
如图2．是的中线，在上取一点，连接，使得，延长交于点．求证：；
【运用】
如图3．在中，，为的中点，，求证：．
【答案】【理解】详见解析【运用】详见解析
【知识点】倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题)、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形
【分析】【理解】由可证，可得，进而可证，利用等角对等边即可得解；
【运用】同上可证，可得，进而可证，最后由勾股定理即可得解．
【详解】【理解】证明：如图，延长到点，使，连接，
是中线，
，
在和中
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
【运用】如图，延长至，使，连接，，
，
是的垂直平分线，
，
在和中
，
，
，，
，
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理，等腰三角形的判定和性质，垂直平分线的判定和性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定定理和性质定理并能灵活运用类比的方法是解决此题的关键．
【变式1】【教材呈现】以下是人教版八年级上册数学教材第53页的部分内容．
如图1，在四边形中，，．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．
【性质探究】
（1）如图1，连接筝形的对角线交于点，试探究筝形的性质，并填空：对角线的位置关系是：______；与的数量关系是：______．
【知识应用】
秀秀想要做一个“筝形”风筝，她先固定中间的“十字架”，再确定四周．
（2）①从数学的角度看，秀秀确定“十字架”对角线和时应满足的条件是______．
②借助图2以及①中所写条件，说明四边形是个“筝形”．
【应用拓展】
（3）在“筝形”风筝中，已知，，求“筝形”风筝的面积．
【答案】（1），；（2）①垂直平分；②见解析；（3）
【知识点】线段垂直平分线的性质
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形的面积，正确地理解筝形是解题的关键．
（1）由，可得出点B和点D都在的垂直平分线上，所以，；
（2）①根据题意直接确定和时应满足的条件，即可；②根据线段垂直平分线的性质，可得，，即可解答；
（3）根据三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】解：（1）∵，，
∴垂直平分，
∴，，
故答案为：，；
（2）①秀秀确定“十字架”和时应满足的条件是垂直平分；
故答案为：垂直平分；
②证明：∵垂直平分，
∴，，
∴四边形是个“筝形”；
（3）∵四边形是筝形，
∴，
∴“筝形”风筝的面积的面积的面积
．
【变式2】如图，在中，点E是边上的一点，连接，垂直平分，垂足为F，交于点D．连接．
(1)若的周长为19，的周长为7，求的长；
(2)若，，
①求的度数；
②若，求的长．
【答案】(1)
(2)①；②
【知识点】三角形内角和定理的应用、线段垂直平分线的性质、含30度角的直角三角形、等腰三角形的性质和判定
【分析】（1）先证明，，结合的周长为19，的周长为7，可得，从而可得答案；
（2）①先求解，然后利用等边对等角和三角形内角和定理得到，进而求解即可，②利用由30度角的直角三角形的特征进行计算即可．
【详解】（1）解：∵是线段的垂直平分线，
∴，，
∵的周长为19，的周长为7，
∴，，
∴，
∴；
（2）解：①∵，，
∴，
∵，
∴，
∴；
②∵，是直角，
∴．
【点睛】本题主要考查了线段的垂直平分线的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理等知识点，熟练掌握其性质并能灵活运用是解决此题的关键．
【变式3】如图，中，，在的外部作等边三角形，点为的中点，射线交于点，连接．
(1)如图，若，求的度数；
(2)如图，的平分线交于点，交于点，分别连接，若，求的度数．
【答案】(1)；
(2)．
【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS）、线段垂直平分线的性质、等边对等角、等边三角形的性质
【分析】（）由等边三角形的性质可得，，又为的中点，则，根据等边对等角得，最后用角度和差即可求解；
（）设，则，则，证明垂直平分，故有，根据等边对等角得，再证明，则有，，再通过三角形的内角和定理列出方程，然后解出方程即可．
【详解】（1）解：∵为等边三角形，
∴，，
∵为的中点，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵是的平分线，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∵等边三角形，
∴，
∵为的中点，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，垂直平分线的性质等知识，灵活运用所学知识是解题的关键．
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专题04 垂直平分线的性质与判定
（一）垂直平分线
（1）概念：经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（或线段的中垂线）
（2）性质：线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；
（3）判定：与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
（二）尺规作图——垂直平分线
（1）过一点作已知线段的垂线
求作：AB的垂线，使它经过点C
作法：①以点C为圆心，大于到线段距离为半径作弧，交AB与点D、E。
②分别以点D、E为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点F。
③作直线CF，CF即为所求的直线
（2）作已知线段的垂直平分线
作法：①以A为圆心大于长为半径作弧，以B为圆心大于长为半径作弧,两弧交于C、D两点
②连接CD，即为所求
考点1：垂直平分线的性质——求线段
典例1：如图，中，，且，垂直平分，交于点F，交于点E，若周长为20，，则为（　　）
A．6 B．8 C．9 D．10
【变式1】如图，在中，，，的垂直平分线交于点．若，则的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【变式2】如图，在中，，垂直平分，若，，则的长为 ．
【变式3】如图，在中，，，边的垂直平分线为l，点D是边的中点，点P是l上的动点，当的周长取最小值时，则 ．
考点2：垂直平分线的性质——求角
典例2：如图，四边形中，，在、上分别有一动点、，当周长最小时，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】如图，在中，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线，交边于点，连接，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】如图，在中，的垂直平分线分别交BC和AB于点和点M，AC的垂直平分线分别交BC和AC于点和点，连接AD，AE，则的度数为 ．
【变式3】如图，是等边三角形，是边上的高，点E是边的中点，点P是上的一个动点，当最小时，的度数是 ．
考点3：垂直平分线的性质——实际应用
典例3：2024年是新一轮全国文明城区创建工作启动之年，也是我区创城工作接续奋斗，深化之年．然而目前，一些小区内仍存在随意晾晒的现象，影响了小区环境，为解决小区“晾晒难”的问题，某小区物业公司采取如下措施：
如图1，在小区内道路旁设立“公共晾晒点”，安装“共享晾衣架”，使得道路附近的两栋住宅楼，到“公共晾晒点”的距离相等．
(1)在图2中利用尺规作图（保留作图痕迹，不写作法），确定点的位置；
(2)确定点位置的依据为______．
【变式1】如图，村庄A，B分别在笔直公路的两侧，一辆汽车在公路上行驶到什么位置时，它到A，B两村庄的距离相等？请指出该位置．
【变式2】周末，老师带着同学们去北京植物园中的一二九运动纪念广场游玩，这里有三座侧面为三角形的纪念亭，挺拔的建筑线条象征青年朝气蓬勃、积极向上的精神．基于纪念亭的几何特征，同学们编拟了如下的数学问题：如图，点 A，B，C，D在同一条直线上，在四个论断“，中选择三个作为已知条件，另一个作为结论，构成真命题（补充已知和求证），并进行证明．
已知：
求证：
【变式3】已知直线及位于其两侧的两点，，如图
(1)在图①中的直线上求一点，使；
(2)在图②中的直线上求一点，使直线平分；
(3)能否在直线上找一点，使该点到点，的距离之差的绝对值最大？若能，直接指出该点的位置，若不能，请说明理由．
考点4：垂直平分线的性质——综合应用
典例4：如图，在中，，．
(1)根据要求用尺规作图，不写作法，但保留作图痕迹：
①作的角平分线交于点D；
②作边上的垂直平分线l交于点G；
(2)连结，求的度数．
【变式1】如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点E，F，的垂直平分线分别交，于点M，N，直线，交于点P．
(1)求证：点P在线段的垂直平分线上；
(2)已知，求的度数．
【变式2】如图，在中，垂直平分于点，是边的垂直平分线交，，于点，，，连接、．
(1)求证：为等腰三角形；
(2)若，求的度数．
【变式3】如图，在中，是边的垂直平分线，分别交边，于点，，，且为线段的中点，延长与的垂直平分线交于点，连接．
(1)若是的中点，求证：；
(2)若，求证：为等边三角形．
考点5：垂直平分线的判定
典例5：如图，是的角平分线，，分别是和的高．
(1)求证：垂直平分；
(2)若，，的面积是，求．
【变式1】如图，与相交于点O，，，．
(1)求证；
(2)求证：垂直平分．
【变式2】如图，在中，边的垂直平分线分别交，于点，，边的垂直平分线分别交，于点，，，相交于点，连接，．
(1)试判断点是否在的垂直平分线上，并说明理由；
(2)若的周长为8，求的长；
(3)若，求的度数．
【变式3】在中，，，点是上一点，，点是上一点，．
(1)如图1，求证：是等腰三角形．
(2)如图2，过点作于点，求证：平分．
(3)如图3，延长，交于点，求证：点在的垂直平分线上．
考点6：尺规作图——垂直平分线
典例6：如图，在中，．

(1)用尺规在边上求作一点P，使（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)连接，若平分，求 ________．（直接写出）
【变式1】如图，是的角平分线，于点E．
(1)用尺规完成以下基本作图：过点D作于点F，连接交于点G．（不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）中所作的图形中，求证：．小强进行了如下的证明，请你帮小强完成相应的填空．
证明：（2）∵是的角平分线，， ，
∴ ，
在和中，，
∴（），
∴ ，而，
∴垂直平分线段，即．
【变式2】阅读下列材料，并完成相应的任务．
尺规作图起源于古希腊的数学课题，指的是只用没有刻度的直尺和圆规作图，并且只允许使用有限次，来解决不同的平面几何作图问题，在初中阶段，我们学习过五种基本尺规作图，并且运用基本尺规作图方法，结合图形性质可以作出更多的数学图形． 如图①，在中，，小明用尺规作底边的垂直平分线的过程如下： ①以点A为圆心，小于长为半径作弧，分别交于点D，E； ②分别以点D，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P； ③作射线，则垂直平分．
(1)根据小明的作图方法，如图①，他得出“垂直平分”的依据是______；
(2)如图②，已知在四边形中，，，求作对角线的垂直平分线，小明只用无刻度直尺作直线，就得到对角线的垂直平分线，请你帮助小明说明理由．
【变式3】阅读下列材料，并完成相应的任务．
尺规作图起源于古希腊的数学课题，指的是只用没有刻度的直尺和圆规作图，并且只允许使用有限次，来解决不同的平面几何作图问题．在初中阶段，我们学习过五种基本尺规作图，并且运用基本尺规作图方法，结合图形性质可以作出更多的数学图形．
如图1，在△ABC中，AB＝AC．小明用尺规作底边BC的垂直平分线的过程如下：
①以点A为圆心，小于AB长为半径作弧，分别交AB，AC于点D，E；
②分别以点D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧交于点P；
③作射线AP，则AP⊥BC．
（1）根据小明的作图方法在图1中作出图形，他得出“AP⊥BC”的依据是_______．
（2）如图2，已知在四边形ABCD中，AB＝AD，∠ABC＝∠ADC，求作对角线BD的垂直平分线，小亮只用直尺作直线AC，就得到对角线BD的垂直平分线．请你帮小亮说明理由．
（3）如图3，已知在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C．请你只用直尺作出BC边的垂直平分线．（不写作法，保留作图痕迹）
考点7：垂直平分线的性质与判定综合
典例7：【阅读】
如图1，在中，，，是中线，求的取值范围．小明同学的做法是：延长到，使，连接，证明．得到，在中．，即，所以；
【理解】
如图2．是的中线，在上取一点，连接，使得，延长交于点．求证：；
【运用】
如图3．在中，，为的中点，，求证：．
【变式1】【教材呈现】以下是人教版八年级上册数学教材第53页的部分内容．
如图1，在四边形中，，．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．
【性质探究】
（1）如图1，连接筝形的对角线交于点，试探究筝形的性质，并填空：对角线的位置关系是：______；与的数量关系是：______．
【知识应用】
秀秀想要做一个“筝形”风筝，她先固定中间的“十字架”，再确定四周．
（2）①从数学的角度看，秀秀确定“十字架”对角线和时应满足的条件是______．
②借助图2以及①中所写条件，说明四边形是个“筝形”．
【应用拓展】
（3）在“筝形”风筝中，已知，，求“筝形”风筝的面积．
【变式2】如图，在中，点E是边上的一点，连接，垂直平分，垂足为F，交于点D．连接．
(1)若的周长为19，的周长为7，求的长；
(2)若，，
①求的度数；
②若，求的长．
【变式3】如图，中，，在的外部作等边三角形，点为的中点，射线交于点，连接．
(1)如图，若，求的度数；
(2)如图，的平分线交于点，交于点，分别连接，若，求的度数．
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