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专题05 角平分线的性质与判定
（一）角平分线的性质
（1）概念：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线。
（2）角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等；
数学语言：
∵∠MOP=∠NOP，PA⊥OM PB⊥ON
∴PA=PB
（二）角平分线的判定
（1）判定定理：到角两边距离相等的点在角的平分线上．
数学语言：
∵PA⊥OM PB⊥ON PA=PB
∴∠MOP=∠NOP
（三）尺规作图——角平分线
作法：①在OA和OB上分别截取OD、OE，使OD=OE。
②分别以D、E为圆心，以大于DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点C
③作射线OC，则OC就是∠AOB的平分线
考点1：角平分线的性质——求线段
典例1：如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点．下列结论： ； ； ； ，其中正确的有（ ）
A． B． C． D．
【变式1】如图，在中，和的平分线、相交于点，过点作于点．则下列结论中错误的是（ ）
A．
B．
C．若，，则
D．当时，
【变式2】如图，在四边形中，，，，连接，，垂足为C，并且，则 ．
【变式3】如图，中，，平分交于点D，E为线段上一点，连接，且．若，，则的长为 ．
考点2：角平分线的性质——求角
典例2：如图，已知点是内一点，且点到三边的距离相等，若，则（ ）
A． B． C． D．
【变式1】如图，是的平分线，过作一直线分别与的两边交于、两点，线段的垂直平分线交于点，交于点．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】如图，是的平分线，点D，P分别在射线和上，且，点Q是射线上的一点，若，则的度数为 ．
【变式3】如图，在等腰三角形中，，，D为的中点，点E在上，，若点P是等腰三角形的腰上的一点，则当是以为腰的等腰三角形时，的度数是 ．
考点3：角平分线的性质——求面积
典例3：如图，在中，点D在边上，的平分线交于点E，过点E作，垂足为F，且，连接．
(1)求证：平分；
(2)若，且，求的面积．
【变式1】如图，在中，，，，平分交斜边于点，动点从点出发，沿着三角形的边由到，再向终点运动．
(1)点在上运动的过程中，当与的面积相等时，求的长度；
(2)点在线段和线段上运动的过程中，若是等腰三角形，求度数；
【变式2】如图，已知分别是的外角和的平分线，连接，
(1)求证：平分；
(2)若，且与的面积分别是和，求的周长．
【变式3】如图，在中，平分，E、F分别是上的点．
(1)当时，求证：；
(2)若，求的面积．
考点4：角平分线的性质——实际应用
典例4：如图，四边形区域是音乐广场的一部分，现在要在这一区域内建一个喷泉，要求喷泉到两条道路，的距离相等，且到入口、的距离相等请确定喷泉的位置．
【变式1】如图所示，铁路和铁路交于处，河道与铁路分别交于处和处，试在河岸上建一座水厂，要求到铁路，的距离相等，则该水厂应建在图中什么位置？请在图中标出点的位置．
【变式2】三条公路两两相交于A，B，C三点，现计划修一座油库，要求到三条公路的距离相等，可供选择的地方有几处？请在图中画出来，保留作图痕迹，不写画法．
【变式3】尺规作图〔不写做法，保留作图痕迹）：

(1)如图，设A，B，C三点表示三个村庄，为了解决村民子女就近入学问题，计划新建一所小学，要求三个村庄到学校的距离相等．请你通过尺规作图，在图中确定学校的位置．
(2)两个城镇A，B与两条公路、位置如图所示，电信部门需要在公路上的上方C处修建一座信号发射塔，要求发射塔到两个城镇A，B的距离相等，到两条公路、的距离也相等，请在图中作出符合条件的点C．
考点5：角平分线与等边三角形
典例5：如图1，等边与等边的顶点，，三点在一条直线上，连接交于点，连．
(1)求证：；
(2)求证：平分；
(3)若，直接写出和之间满足的数量关系．
【变式1】如图，在等边中，与的平分线相交于点，且交于点 交于点．
(1)试判定的形状，并说明你的理由；
(2)若，求的周长；
(3)求证：点在的角平分线上．
【变式2】如图，在等边中，是的平分线，D 为上一点，以为一边且在下方作等边，连接．
(1)求证：；
(2)已知，求点 C到之间的距离．
【变式3】如图，在等边中，M是边上一点（不含端点B，C），N是的外角的平分线上一点，且．
(1)尺规作图：在直线的下方，过点B作，作的延长线，与相交于点K；
(2)在（1）的条件下，
①求证：是等边三角形；
②求证：．
考点6：角平分线判定
典例6：阅读下面材料：
三角形的内心
定义：三角形的三条内角平分线相交于一点，这个点叫做三角形的内心．
我们可以证明三角形的三条内角平分线相交于一点．
如图①，已知，，是的三条内角平分线．
求证：，，交于一点．
证明：如图②，设，交于点，过点分别作，，，垂足分别为点，，．
∵点是的平分线上一点，
∴（依据1）．
同理．
∴．
∵是的平分线，
∴点在上（依据2）．
∴，，交于一点．
请解答问题：
(1)反思：上述证明过程中的“依据1”“依据2”分别是什么？
(2)归纳：三角形的内心到三角形三边的距离________．
(3)拓展：已知，，，，请直接用，，，表示的面积．
【变式1】如图，，，，边分别与边和相交于点F和点G，连接．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
【变式2】如图，在 中，，是 的一条角平分线，点、、分别在、、上，且四边形是正方形．
(1)求证：平分；
(2)若，，求的长．
【变式3】如图，与交于点．
(1)求证：；
(2)连接，求证：平分．（提示：过向、作垂线）
考点8：角平分线的性质与判定综合
典例8：王林根据教材角平分仪模型进行了相关探究，整理如下．
标题 角平分仪的相关应用探究
素材 图1是一个平分角的仪器，其中．
图示
任务 （1）如图2，将仪器放置在上，使点与顶点重合，分别在边上，沿画一条射线，交于点是的平分线吗？请判断并说明理由．
（2）如图3，在（1）的条件下，过点作于点，若，的面积是60，求的长．
【变式1】在中，是边上一点（不与点，重合），连接．
(1)如图1，当点是边的中点时，_________；
(2)如图2，当平分时，若，，求的值；（用含，的式子表示）
(3)如图3，平分，延长到点，使得，连接．若，，，求的值．
【变式2】已知：，为的平分线，分别是边、上一点，且，求证：．
方法1：（）已知，，那么________．
（）要证，是否需要证明它们所在的三角形全等，又知道为的平分线，可过做辅助线，过作，，垂足分别为，．
（）补全图形，并尝试写出证明过程．
方法2：除了方法外，还可以在角平分线两侧构造全等三角形，在射线上取，连接，并思考是否为等腰三角形，补齐图形并尝试写出证明过程．
【变式3】如图，在中，．
(1)如图1，当，为的角平分线时，求证：；
(2)如图2，当，为的角平分线时，线段，，的数量关系为________；
(3)如图3，当为的外角平分线时，线段，，的数量关系为________；
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专题05 角平分线的性质与判定
（一）角平分线的性质
（1）概念：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线。
（2）角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等；
数学语言：
∵∠MOP=∠NOP，PA⊥OM PB⊥ON
∴PA=PB
（二）角平分线的判定
（1）判定定理：到角两边距离相等的点在角的平分线上．
数学语言：
∵PA⊥OM PB⊥ON PA=PB
∴∠MOP=∠NOP
（三）尺规作图——角平分线
作法：①在OA和OB上分别截取OD、OE，使OD=OE。
②分别以D、E为圆心，以大于DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点C
③作射线OC，则OC就是∠AOB的平分线
考点1：角平分线的性质——求线段
典例1：如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点．下列结论： ； ； ； ，其中正确的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】与三角形的高有关的计算问题、根据三角形中线求面积、与角平分线有关的三角形内角和问题、角平分线的性质定理
【分析】本题考查了三角形的高、中线、角平分线，角平分线的性质，三角形内角和定理，根据三角形的中线定义和三角形面积公式可对进行判断； 利用三角形内角和定理得到，，则利用得到，然后根据对顶角相等得到，则可对进行判断，过作于点，利用角平分线的性质可对进行判断； 根据等角的余角相等得到，则利用角平分线的定义得到，于是可对进行判断.根据三角形的高、中线、角平分线，角平分线的性质逐一判断即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：∵是的中线，
∴，
∴，故正确；
∵，
∴，
∵是的高，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，故正确；
过作于点，如图，
∵，平分，
∴，
∵在中，，
∴，故错误；
∵，，
∴，
∴，
∴，故正确；
综上可知：正确，
故选：.
【变式1】如图，在中，和的平分线、相交于点，过点作于点．则下列结论中错误的是（ ）
A．
B．
C．若，，则
D．当时，
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理的应用、全等三角形综合问题、角平分线的性质定理
【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的性质，三角形全等的判定与性质．由角平分线的定义和三角形内角和定理可求解和的关系，进而判定A；设中边上的高为h，利用三角形的面积公式即可判断B；根据作于H，于M，根据题意得，根据，利用三角形面积即可判断C；得，根据角平分线和三角形内角和定理得，在上取一点H，使，利用证明可得，利用可证明得，进而可判定D．
【详解】解：∵和的平分线，相交于点O，
∴，，
∴
，故A正确，不符合题意；
设中边上的高为h，
∵，即；故B正确，不符合题意；
如图所示，作于H，于M，
∵和的平分线相交于点O，
∴点O在的平分线上，
∴，
∵，
∴
，故C错误，符合题意；
∵，
∴，
∵，分别是和的平分线，
∴，
∴，
∴，
∴，
如图所示，在上取一点H，使，
∵是的角平分线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，故D正确，不符合题意；
故选：C．
【变式2】如图，在四边形中，，，，连接，，垂足为C，并且，则 ．
【答案】
【知识点】直角三角形的两个锐角互余、角平分线的性质定理
【分析】本题考查角平分线的性质，过点作，根据角平分线的性质，得到，再利用面积公式进行求解即可．
【详解】解：过点作，
∵，，
∴，
∵，
∴，即：，
∴平分，
∵，，
∴，
∴；
故答案为：．
【变式3】如图，中，，平分交于点D，E为线段上一点，连接，且．若，，则的长为 ．
【答案】2
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的性质定理
【分析】本题考查了角平分线的性质定理、三角形全等的判定与性质，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．过点作于点，先证出，根据全等三角形的性质可得，从而可得，再证出，根据全等三角形的性质可得，然后根据求解即可得．
【详解】解：如图，过点作于点，
∵平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
故答案为：2．
考点2：角平分线的性质——求角
典例2：如图，已知点是内一点，且点到三边的距离相等，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形内角和定理的应用、角平分线的性质定理
【分析】本题考查了角平分线的有关计算，三角形内角和定理的应用，由题意可知点为的三条角平分线的交点，可得，，根据三角形内角和定理求出，可得的度数，再根据三角形内角和定理求出的度数即可．正确得出点为的三条角平分线的交点是解题的关键．
【详解】解：点到三边距离相等，
点为的三条角平分线的交点，
，，
，
，
，
，
故选：D．
【变式1】如图，是的平分线，过作一直线分别与的两边交于、两点，线段的垂直平分线交于点，交于点．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的性质定理、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和判定
【分析】如图，作于，于，则，可证，，则，，则，然后求即可．
【详解】解：如图，作于，于，
∵是的平分线，是线段的垂直平分线，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质．熟练掌握角平分线的性质，垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质是解题的关键．
【变式2】如图，是的平分线，点D，P分别在射线和上，且，点Q是射线上的一点，若，则的度数为 ．
【答案】或
【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的性质定理
【分析】本题考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握以上知识点，分类讨论．
分类讨论：过点作于于，则由角平分线的性质定理得；分两种情况考虑：点在点的右侧时，证明，则有；点在点左侧时，同理可求，进而求得结果，最后综合两种情况即可．
【详解】解：如图，过点作于于，
∵平分，
，
当点在点的右侧时，
在和中，
，
，
，
当点在点左侧时，同理可求，
，
综上所述：的度数为或，
故答案为：或．
【变式3】如图，在等腰三角形中，，，D为的中点，点E在上，，若点P是等腰三角形的腰上的一点，则当是以为腰的等腰三角形时，的度数是 ．
【答案】或
【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的性质定理、等腰三角形的性质和判定
【分析】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定性质、角平分线的性质定理，连接，由等腰三角形的性质可得，，过点作于，于，由角平分线的性质定理可得，再由全等三角形的性质和等腰三角形的性质求解即可．
【详解】解：如图，连接，
∵，，
∴，
∵D为的中点，
∴，，
过点作于，于，
∴，
∵点P是等腰三角形的腰上的一点，且是以为腰的等腰三角形，
∴在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
同理可得：，
∴，
∴；
综上所述，的度数是或，
故答案为：或．
考点3：角平分线的性质——求面积
典例3：如图，在中，点D在边上，的平分线交于点E，过点E作，垂足为F，且，连接．
(1)求证：平分；
(2)若，且，求的面积．
【答案】(1)证明见解析
(2)的面积为9．
【知识点】角平分线的性质定理、角平分线的判定定理
【分析】本题主要考查了角平分线的判定与性质，三角形内角和定理，三角形的高．熟练掌握：角平分线上的点到角的两边距离相等，到角两边距离相等的点在角的平分线上是解题的关键．
（1）过点E作于G，于H，先通过计算得出，根据角平分线的判定与性质得，则，由到角两边距离相等的点在角的平分线上结论得证；
（2）设，则，根据，即：，求得，，根据，计算求解即可．
【详解】（1）证明：如图，过点E作于G，于H，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴为的平分线，
又，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴，
∴点E在的平分线上，
∴平分；
（2）解：设，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得，，
∵，
∴，
∴的面积为9．
【变式1】如图，在中，，，，平分交斜边于点，动点从点出发，沿着三角形的边由到，再向终点运动．
(1)点在上运动的过程中，当与的面积相等时，求的长度；
(2)点在线段和线段上运动的过程中，若是等腰三角形，求度数；
【答案】(1)
(2)或或或
【知识点】角平分线的性质定理、等腰三角形的定义
【分析】本题考查角平分线性质，等腰三角形性质，熟练掌握相关性质，利用分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．
（1）根据题意可推出上的高和上的高相等，所以；
（2）根据题意可分为三种情况，对三种情况分类讨论即可得到本题答案．
【详解】（1）解：∵平分，
∴点D到和的距离相等，
∴当时，与的面积相等；
（2）解：如图1，
当时，（点P在处），
∴，
当时，（点P在处），
∴，
∵，
∴，
当时，（点P在处时），
∵，
∴，
综上所述：或或或．
【变式2】如图，已知分别是的外角和的平分线，连接，
(1)求证：平分；
(2)若，且与的面积分别是和，求的周长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【知识点】角平分线的性质定理、角平分线的判定定理
【分析】（）如图，过点分别作，，，由角平分线的性质可得，，进而得，再根据角平分线的判定即可求证；
（）由的面积为可得，再根据可得，进而即可求解；
本题考查了角平分线的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】（1）证明：如图，过点分别作，，，垂足分别为点，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∵，，
∴点在的角平分线上，
即平分；
（2）解：∵的面积为，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
∴，
∴的周长．
【变式3】如图，在中，平分，E、F分别是上的点．
(1)当时，求证：；
(2)若，求的面积．
【答案】(1)见解析；
(2)22
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、角平分线的性质定理
【分析】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，角平分线的性质，熟练掌握三角形全等的判定与性质，角平分线的性质，作出恰当辅助线是解题的关键．
（1）过D作于M，于N，根据角平分线性质求出，根据四边形的内角和定理和平角定义求出，证明即可得解；
（2）依据角平分线的定义以及平行线的性质，即可得到，进而得出，过D作于G，依据角平分线的性质以及三角形面积公式，即可得到的面积．
【详解】（1）证明：如图，过D作于M，于N，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是的平分线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
如图，过D作于G，
又∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴的面积．
考点4：角平分线的性质——实际应用
典例4：如图，四边形区域是音乐广场的一部分，现在要在这一区域内建一个喷泉，要求喷泉到两条道路，的距离相等，且到入口、的距离相等请确定喷泉的位置．
【答案】见解析
【知识点】角平分线性质的实际应用、作角平分线(尺规作图)、作已知线段的垂直平分线、作垂线(尺规作图)
【分析】本题考查了角平分线的作法以及线段垂直平分线的作法；利用角平分线的作法以及线段垂直平分线的作法得出P点即可．
【详解】如图所示：点即为所求．
【变式1】如图所示，铁路和铁路交于处，河道与铁路分别交于处和处，试在河岸上建一座水厂，要求到铁路，的距离相等，则该水厂应建在图中什么位置？请在图中标出点的位置．
【答案】见解析
【知识点】角平分线性质的实际应用、作角平分线(尺规作图)
【分析】本题考查了角平分线的性质，角平分线的作法；根据题意作的平分线交于点，点即为所求．
【详解】解：如图所示，作的平分线交于点，点即为所求．
【变式2】三条公路两两相交于A，B，C三点，现计划修一座油库，要求到三条公路的距离相等，可供选择的地方有几处？请在图中画出来，保留作图痕迹，不写画法．
【答案】4处，图见解析
【知识点】角平分线性质的实际应用、作角平分线(尺规作图)
【分析】本题考查作图-应用与设计作图，角平分线的性质等知识，利用角平分线的性质作出图形即可．
【详解】解：如图，满足条件的点有4个，图中即为所求．
【变式3】尺规作图〔不写做法，保留作图痕迹）：

(1)如图，设A，B，C三点表示三个村庄，为了解决村民子女就近入学问题，计划新建一所小学，要求三个村庄到学校的距离相等．请你通过尺规作图，在图中确定学校的位置．
(2)两个城镇A，B与两条公路、位置如图所示，电信部门需要在公路上的上方C处修建一座信号发射塔，要求发射塔到两个城镇A，B的距离相等，到两条公路、的距离也相等，请在图中作出符合条件的点C．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【知识点】角平分线性质的实际应用、作角平分线(尺规作图)、作已知线段的垂直平分线、作垂线(尺规作图)
【分析】（1），，中任选两条线段，分别作垂直平分线，得到的交点即为所求点；
（2）作、夹角（锐角）的角平分线，作线段的垂直平分线，两者的交点即为所求点．
【详解】（1）解：如图，作的垂直平分线，的垂直平分线，与的交点为K，K即为学校的位置．

（2）解：如图所示，点C即为所求．

【点睛】本题考查复杂作图，解题的关键是掌握角平分线的性质及作法，垂直平分线的性质及作法．
考点5：角平分线与等边三角形
典例5：如图1，等边与等边的顶点，，三点在一条直线上，连接交于点，连．
(1)求证：；
(2)求证：平分；
(3)若，直接写出和之间满足的数量关系．
【答案】(1)见详解
(2)见详解
(3)
【知识点】等边三角形的判定和性质、角平分线的性质定理、全等三角形综合问题、三角形内角和定理的应用
【分析】（1）根据等边三角形边长相等的性质和各内角为的性质可证得，根据全等三角形对应边相等的性质即可求得；
（2）过点作于，于，设交于．由全等三角形的性质得出，则可得出结论；
（3）在上取一点，使得，连接，证明是等边三角形，同理（1）可证，，得出，由三角形面积关系可得出，则可得出答案．
本题是三角形综合题，考查了等边三角形的判定与性质，角平分线的性质，三角形内角和定理及全等三角形的判定和性质的运用．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
【详解】（1）证明：如图1中，与都是等边三角形，
，，，
，
，，
即．
在和中，
，
．
．
（2）证明：过点作于，于，设交于．
，
，
，，
，，
，，
，
平分；
（3）解：，理由如下：
在上取一点，使得，连接，
，
，
，
平分，
，
，
是等边三角形，
同理（1）可证，
，
设，，，
，
同法可证，
，
，
，
，
【变式1】如图，在等边中，与的平分线相交于点，且交于点 交于点．
(1)试判定的形状，并说明你的理由；
(2)若，求的周长；
(3)求证：点在的角平分线上．
【答案】(1)是等边三角形；理由见解析
(2)10
(3)见解析
【知识点】角平分线的性质定理、根据等角对等边求边长、等边三角形的判定和性质
【分析】本题考查了等边三角形的性质和判定，平行线的性质，角平分线的性质和判定．
（1）根据平行线的性质和等边三角形的性质得出，即可得出结论；
（2）根据平行线的性质和角平分线的性质得出，则，进而得出，同理可证，即可得出的周长；
（3）过点作于于于，根据角平分线的性质得出，，进而推出则点在平分线上．
【详解】（1）解：是等边三角形；理由如下：
是等边三角形，
；
∵，，
，
为等边三角形．
（2）解：平分，，
，
，
同理可证；
的周长．
（3）证明：过点作于于于，如图，
平分，
同理可得，
点在平分线上．
【变式2】如图，在等边中，是的平分线，D 为上一点，以为一边且在下方作等边，连接．
(1)求证：；
(2)已知，求点 C到之间的距离．
【答案】(1)详见解析
(2)4
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、角平分线的性质定理、等边三角形的性质
【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
（1）由条件结合等边三角形的性质通过“边角边”可证明，可得；
（2）由（1）的结论可知C到的距离和C到的距离相等，可求得C到的距离．
【详解】（1）证明：∵和为等边三角形，
∴，，，
∴，
在和中．
∴，
∴；
（2）解：∵是的平分线，
∴
由（1）可知，
∴，
设 C到的距离为h，
则，
∴，
∵是的平分线，
∴，即点C到的距离为4．
【变式3】如图，在等边中，M是边上一点（不含端点B，C），N是的外角的平分线上一点，且．
(1)尺规作图：在直线的下方，过点B作，作的延长线，与相交于点K；
(2)在（1）的条件下，
①求证：是等边三角形；
②求证：．
【答案】(1)画图见解析
(2)见解析
【知识点】尺规作图——作三角形、全等三角形综合问题、角平分线的性质定理、等边三角形的判定和性质
【分析】（1）根据尺规作图，作一个角等于已知角的做法做出，再延长与交于；
（2）①由等边可得，从而判定为等边三角形；②连接可证出，推出，得到，再利用，推出，再利用等量代换可得出，从而得到．
【详解】（1）解：以点为圆心任意长为半径画弧交于两点，以点为圆心同样长为半径画圆弧，再用圆规量取之间距离，并使其等于的长，连接即可得到，如下图所示：
；
（2）①解：∵等边，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴在中，，
∴是等边三角形；
②解：连接，
，
∵和都是等边三角形，
∴，，
在和中，
，
∴ （SAS），
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
【点睛】本题考查等边三角形性质及判定，角平分线性质，全等三角形判定及性质，尺规作图，熟练掌握基本性质能够正确画出辅助线是解题关键．
考点6：角平分线判定
典例6：阅读下面材料：
三角形的内心
定义：三角形的三条内角平分线相交于一点，这个点叫做三角形的内心．
我们可以证明三角形的三条内角平分线相交于一点．
如图①，已知，，是的三条内角平分线．
求证：，，交于一点．
证明：如图②，设，交于点，过点分别作，，，垂足分别为点，，．
∵点是的平分线上一点，
∴（依据1）．
同理．
∴．
∵是的平分线，
∴点在上（依据2）．
∴，，交于一点．
请解答问题：
(1)反思：上述证明过程中的“依据1”“依据2”分别是什么？
(2)归纳：三角形的内心到三角形三边的距离________．
(3)拓展：已知，，，，请直接用，，，表示的面积．
【答案】(1)依据1：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
依据2：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上
(2)相等
(3)
【知识点】角平分线的性质定理、角平分线的判定定理
【分析】本题主要考查角平分线的性质定理及判定定理，熟练掌握角平分线的性质定理及判定定理是解题的关键．
（1）根据题意可直接进行作答；
（2）结合（1）可得答案；
（3）由（2）可得，然后根据三角形面积公式进行求解即可．
【详解】（1）解：根据题意，上述证明过程中，
依据1：角的平分线上的点到角的两边的距离相等；
依据2：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上；
（2）结合（1）可知，三角形的内心到三角形三边的距离相等．
故答案为：相等；
（3）∵，，，，
∴，
∴
，
即的面积表示为．
【变式1】如图，，，，边分别与边和相交于点F和点G，连接．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、角平分线的判定定理
【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、角平分线的判定定理等知识，正确找出两个全等三角形是解题关键．
（1）先证出，再证出，根据全等三角形的性质即可得证；
（2）先根据全等三角形的性质可得，，再利用三角形的面积公式可得，然后根据角平分线的判定定理可得平分，最后根据三角形的内角和定理可得，由此即可得．
【详解】（1）证明：∵，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴．
（2）解：如图，过点作于点，作于点，
由（1）已证：，，
∴，，
∴，
∴，
又∵，，点在的内部，
∴平分，
∴，
∵，，
∴，
∴．
【变式2】如图，在 中，，是 的一条角平分线，点、、分别在、、上，且四边形是正方形．
(1)求证：平分；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【知识点】直角三角形的两个锐角互余、角平分线的性质定理、角平分线的判定定理、根据正方形的性质证明
【分析】本题考查角平分线的判定及性质，直角三角形的两锐角互余以及正方形的性质，掌握角平分线的判定及性质是本题的解题关键．
（1）过点作于点，根据角平分线定理的性质及正方形的性质得，利用角平分线的判定即可得证；
（2）利用全等得到线段，，利用正方形，得到四边都相等，从而利用与、及的关系求出的长．
【详解】（1）证明：过点作于点
∵正方形，
∴，于，于
∵平分，于，于
∴
∵于，
∴点在的平分线上即平分；
（2）解：∵中，，，
∴
∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∴，
同理得
由（）得
∵，，
∴，
∵
∴即
解得
【变式3】如图，与交于点．
(1)求证：；
(2)连接，求证：平分．（提示：过向、作垂线）
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、角平分线的判定定理
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定定理，作辅助线构造全等三角形是解题关键．
（1）由已知得出，再根据“”证明，即可得出结论；
（2）过点作于点，于点，根据“”证明，得到，再根据角平分线的判定定理证明即可．
【详解】（1）证明：，
，即，
在和中，
，
，
；
（2）证明：如图，过点作于点，于点，
，
，
在和中，
，
，
，
又，，
平分．
考点8：角平分线的性质与判定综合
典例8：王林根据教材角平分仪模型进行了相关探究，整理如下．
标题 角平分仪的相关应用探究
素材 图1是一个平分角的仪器，其中．
图示
任务 （1）如图2，将仪器放置在上，使点与顶点重合，分别在边上，沿画一条射线，交于点是的平分线吗？请判断并说明理由．
（2）如图3，在（1）的条件下，过点作于点，若，的面积是60，求的长．
【答案】（1）是的平分线，理由见解析；（2）
【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS）、角平分线的性质定理
【分析】本题主要考查三角形全等的判定方法及角平分线的性质，能够熟练运用角平分线的性质得到高的长度是解题关键．
（1）利用三条对应边相等证明来得到即可．
（2）利用角平分线上的点到角两边的距离相等得到的高，再运用割补法及面积计算公式解题即可．
【详解】解：（1）是的平分线
理由如下：在和中，，
∴
∴，
∴平分．
（2） ∵平分，，
∴的高等于，
∵．
∴，
∵
∴．
【变式1】在中，是边上一点（不与点，重合），连接．
(1)如图1，当点是边的中点时，_________；
(2)如图2，当平分时，若，，求的值；（用含，的式子表示）
(3)如图3，平分，延长到点，使得，连接．若，，，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】根据三角形中线求面积、角平分线的性质定理
【分析】本题考查了角平分线性质和三角形的面积公式，熟练掌握角平分线的性质是解此题的关键．
（1）过作于，根据三角形面积公式求出即可；
（2）过作于，于，根据角平分线性质求出，根据三角形面积公式求出即可；
（3）根据已知和（1）（2）的结论求出和的面积，即可求出答案；
【详解】（1）解：过作于，
点是边上的中点，
，
，
故答案为：
（2）解：如图所示，过点作于点，过点作于点，
为的平分线，
．
，，
，，
；
（3）解：，，平分，
由（2）知，．
，
．
，
由（1）知，，
．
．
【变式2】已知：，为的平分线，分别是边、上一点，且，求证：．
方法1：（）已知，，那么________．
（）要证，是否需要证明它们所在的三角形全等，又知道为的平分线，可过做辅助线，过作，，垂足分别为，．
（）补全图形，并尝试写出证明过程．
方法2：除了方法外，还可以在角平分线两侧构造全等三角形，在射线上取，连接，并思考是否为等腰三角形，补齐图形并尝试写出证明过程．
【答案】方法：（）；（）见解析；方法：见解析
【知识点】全等三角形综合问题、角平分线的性质定理、等腰三角形的性质和判定
【分析】[方法]（）由，，求得，于是得到问题的答案；
（）作，，垂足分别为，，则，由角平分线的性质得，再证明，即可根据“”证明得；
[方法]在上截取，连接，再证明，而，， 即可根据“”证明，得，，则，所以，即可证明；
此题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定等知识，掌握知识点的应用及正确地作出辅助线是解题的关键.
【详解】解：方法：（）∵，，
∴，
故答案为：；
（）如图，
（）证明：∵平分，，．
∴，．
∵，
∴．
又∵，
∴
在和中
∴
∴
方法：
在上截取，连接，
∵平分，
∴，
在和中
，
∴，
∴，，
由（）得，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【变式3】如图，在中，．
(1)如图1，当，为的角平分线时，求证：；
(2)如图2，当，为的角平分线时，线段，，的数量关系为________；
(3)如图3，当为的外角平分线时，线段，，的数量关系为________；
【答案】(1)详见解析
(2)，详见解析
(3)，详见解析
【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等的性质和SAS综合（SAS）、角平分线的性质定理、等腰三角形的性质和判定
【分析】(1)首先在上截取，连接，易证，则可得，又由，得，即，易证，则可求得；
(2)由(1)得出即可；
(3)首先在的延长线上截取，连接，易证，可得，，又由，易证，则可求得．
【详解】（1）证明：如图1，在上截取，连接，
为的角平分线时，
,
,
∴在与中
，
，
,
,
,
，
，
；
（2）解：如图2，在上截取，连接，
为的角平分线时，
,
,
∴在与中
，
，
,
,
,
，
，
，
故答案为：；
（3）解：在的延长线上截取,连接,如图3，
平分
，
在与中，
，
，
，
又∵，
∴，
∴，
∴，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、角平分线的定义，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
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