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专题01 等腰三角形
（一）等腰三角形
（1）等腰三角形性质：
①等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）
②等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。（三线合一）
（2）等腰三角形的判定：
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）.
（二）解题方法
（1）三角形三个内角的平分线交于一点，并且这一点到三边的距离等。
（2）三角形三个边的中垂线交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。
（3）常用辅助线：①三线合一；②过中点做平行线
考点1：等腰三角形的性质——求角
典例1：如图，在中，、分别是线段、的垂直平分线，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】如图，将沿所在的直线折叠，使点落在边上的点处，且，那的度数是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】如图，是等边三角形，，，则的度数为 ．
【变式3】如图，在中，，点D、E分别在、上，且，．若为等腰三角形，则的度数为 ．
考点2：等腰三角形的性质——求线段
典例2：在中，的平分线相交于I，过点I且，若，则（　　）
A．8 B．6 C．7 D．5
【变式1】如图，在中，，，若，，则的长为（ ）

A． B． C． D．
【变式2】如图，是的中位线，平分交于点，若，，则边的长为 ．
【变式3】如图，为等腰直角三角形，，点在延长线上，连接，以为边作等腰直角，连接交于点，则 ．
考点3：等腰三角形的性质——三线合一
典例3：如图，等腰中，，，于点，延长至点，使 ，连接．
(1)求的度数；
(2)求证：．
【变式1】如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，为线段的中点，．
(1)求证：；
(2)若，求 ．
【变式2】如图，在中，平分，于，于，且，．
(1)求证：；
(2)求证：．
【变式3】如图，在 中，平分，，于点，于点，
(1)求证：；
(2)求证：．
考点4：等腰三角形的性质——规律探究
典例4：如图，在射线上分别截取，连接，在上分别截取，连接…按此规律作下去，若，则（ ）
A． B． C． D．
【变式1】如图，在平面直角坐标系中，三角形，三角形，三角形，……，是斜边在x轴上，斜边长分别为2，4，6……的等腰直角三角形．若三角形的顶点坐标分别为，，，则依图中所示规律，的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】如图，已知，在射线、上分别取点，连接，在、上分别取点、，使，连接，按此规律下去，记，，则 ．

【变式3】如图1，是我们平时使用的等臂圆规，即．若把n个相同规格的等臂圆规的两脚依次摆放在同一条直线上，如图2所示，其张角度数变化如下：，，，，…根据上述规律请你写出 ．（用含n的代数式表示）
考点5：等腰三角形的性质——动点问题
典例5：如图，已知在中，，有一动点P在折线段上运动，速度为2个单位，运动时间t．
(1)当 时，；
(2)若平分，求运动时间t；
(3)当t为何值时，为轴对称图形．
【变式1】如图，在中，cm，cm，P，Q是边上的两个动点．其中点P从点A出发，沿A→B方向运动，速度为每秒1cm；点Q从点B出发，沿B→C→A方向运动，速度为每秒2cm两点同时开始运动，设运动时间为ts．
(1)①斜边上的高为　　cm；
②当时，的长为　　cm．
(2)当点Q在边上运动时，出发几秒钟后，是等腰三角形
【变式2】如图，在Rt△ABC中，，，动点P从B出发沿射线以1 cm/s的速度运动，设运动时间为t（s）．
(1)求边的长．
(2)当为等腰三角形时，求t的值．
【变式3】如图，的三个顶点都在方格纸的格点上，其中点的坐标是，点的坐标是，点的坐标是．
(1)作关于轴对称的图形，点、、的对应点分别为、、；则点的坐标为______，点的坐标为______．
(2)在（1）的条件下，点为轴正半轴上的动点，当为等腰三角形时，请直接写出点的横坐标______．
考点6：等腰三角形的判定——等角对等边
典例6：中，，的高与角平分线交于点．
(1)求证；
(2)求证：为等腰三角形．
【变式1】如图，在中，，高，交于点．
(1)求证：；
(2)若，，求的长度．
【变式2】如图，在中，，点是边上一点，点为外的任意一点，连接，其中，．
(1)求证：；
(2)若，，，求的周长．
【变式3】如图，已知在中，，是角平分线，过点B作的垂线与的延长线相交于点E，求证：是等腰三角形．
考点7：等腰三角形的判定的实际应用
典例7：为了测量一池塘两端A，B的距离，三个数学研究小组设计了不同的可行性方案，如池塘示意图，他们在池塘西岸的点A处测得池塘点B恰好在点A的正东方向，测量方案如下表
课题 测量池塘两端A，B的距离 池塘示意图：
工具 测量角度的仪器，标杆，皮尺，激光笔
小组 第一小组 第二小组 第三小组
测量方案 ①从A点出发，向北走到C点；②测得， ①从A点出发，向北走到O点插上一根标杆； ②继续向北走相同的距离到达D点； ③再向西走到E点，使B，O，E三点共线； ④测得 ①将标杆垂直立在池塘岸边的点A处，再将激光笔固定在标杆的顶部F处； ②调整激光笔与标杆的夹角，使其射出的光线正好落在池塘对岸的点B； ③保持标杆与激光笔的夹角不变，转动标杆，使激光笔射出的光线落在同岸的点G，此时； ④测得：数据1：； 数据2：．
测量示意图
(1)第一小组测得即的距离，证明方法如下：
证明： (转右框) (理由：______)
(2)请用第二小组的方案，求出池塘两端A，B的距离；
(3)其他小组的同学发现，第三小组方案的第④步只用其中一个数据就可以求出池塘两端A，B的距离，请你在第④步中选择一个有效数据求出池塘两端A，B的距离．
【变式1】如图，上午10时，一条船从A处出发以20海里每小时的速度向正北航行，中午12时到达B处，从A、B望灯塔C，测得，．求从B处到灯塔C的距离．
【变式2】如图，要在河的一侧测量河对岸，两点的距离．选择点，使，，在一条直线上，作射线，则得，在射线上选取点和点，使，．这时测得的长就是，两点的距离，为什么？
【变式3】耩（音同“讲”）子是一种传统衣用播种的工具，大小款式不一，图（1）是改良后有轮子的一种，图（2）是其示意图，现测得．为了使耩子更牢固，处常用钢筋连接，求长度？（结果保留根号）

考点8：等腰三角形的判定——坐标系
典例8：平面直角坐标系中，点A在第二象限，且到x轴的距离为4，到y轴的距离为2．
(1)在坐标系中描出点A的位置，并写出点A的坐标；
(2)作点A关于y轴的对称点B，并写出点B的坐标；
(3)在x轴上找一点C使为等腰三角形，写出符合要求的所有点C的坐标．
【变式1】如图，是规格为的正方形的网格，请你在所给的网格中按下列要求操作：

(1)请在网格中建立直角坐标系，使点坐标为，点坐标为；
(2)在第四象限中，当是以为底的等腰三角形，且腰长为无理数时，的周长是______，面积是______．
【变式2】如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，，．

(1)将向下平移5个单位，得到，请画出；
(2)请画出关于y轴对称的；
(3)点P是x轴上的动点，当是等腰三角形时，这样的点P有______个．
【变式3】如图，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，点和点在小正方形的顶点上．

(1)在网格中建立平面直角坐标系，使A点坐标为，B点坐标为；
(2)在第二象限的格点上找一点C，使为等腰三角形，画出三角形，并写出点C的坐标．
(3)画出关于y轴对称的三角形．
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专题01 等腰三角形
（一）等腰三角形
（1）等腰三角形性质：
①等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）
②等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。（三线合一）
（2）等腰三角形的判定：
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）.
（二）解题方法
（1）三角形三个内角的平分线交于一点，并且这一点到三边的距离等。
（2）三角形三个边的中垂线交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。
（3）常用辅助线：①三线合一；②过中点做平行线
考点1：等腰三角形的性质——求角
典例1：如图，在中，、分别是线段、的垂直平分线，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理的应用、线段垂直平分线的性质、等边对等角
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，线段的垂直平分线的性质，熟练掌握线段的垂直平分线的性质是解题的关键；
根据三角形内角和定理求出，根据线段垂直平分线的性质得出，，求出，，再求出，再求出答案即可；
【详解】解：，
，
，分别是线段，的垂直平分线，
，，
，，
，
，
，
故选：B
【变式1】如图，将沿所在的直线折叠，使点落在边上的点处，且，那的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形的外角的定义及性质、等边对等角、折叠问题
【分析】本题考查折叠的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，证明是解题的关键．
根据折叠的性质得，，再由得出，从而得到，然后由得出，即可由求解．
【详解】解：由折叠的性质得：，，，
∵
∴
∴
∵
∴
∵
∴
故选：C．
【变式2】如图，是等边三角形，，，则的度数为 ．
【答案】/度
【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角、等边三角形的性质
【分析】本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，根据等边三角形的性质可得出，由可得出为等腰直角三角形，进而可得出及，再根据等腰三角形的性质结合三角形内角和定理即可求出的度数即可得出结论．
【详解】解：∵为等边三角形，
∴．
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【变式3】如图，在中，，点D、E分别在、上，且，．若为等腰三角形，则的度数为 ．
【答案】或
【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用、等腰三角形的性质和判定、等边对等角
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形外角性质以及三角形内角和定理的综合应用，先根据三角形外角性质，得出，则设，进而得到，，，最后根据为等腰三角形，进行分类讨论即可．
【详解】解：如图所示，，，
∴，
，
，
设，则，，
根据三角形内角和定理可得，，
分三种情况：
①当时，有，
解得；
则
②当时，有，
解得；
则
③当时，有，方程无解，
综上所述，的度数为或，
故答案为：或．
考点2：等腰三角形的性质——求线段
典例2：在中，的平分线相交于I，过点I且，若，则（　　）
A．8 B．6 C．7 D．5
【答案】A
【知识点】三角形角平分线的定义、根据等边对等角证明、两直线平行内错角相等
【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，角平分线的定义，利用“等角对等边”及“等边对等角”证明，，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
同理可得：，
∴；
故选：A．
【变式1】如图，在中，，，若，，则的长为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】根据等边对等角证明、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，由，得到，再根据，可推到出，即可证明，从而得到，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故选：．
【变式2】如图，是的中位线，平分交于点，若，，则边的长为 ．
【答案】
【知识点】根据等边对等角证明、与三角形中位线有关的求解问题
【分析】本题考查了三角形中位线定理、角平分线的定义、平行线的性质、等角对等边，由三角形中位线定理得出，，由平行线的性质结合角平分线的定义得出，由等角对等边得出，求出的长即可得解．
【详解】解： 是的中位线，
∴，，
，
平分，
，
，
，
，
，
故答案为：8．
【变式3】如图，为等腰直角三角形，，点在延长线上，连接，以为边作等腰直角，连接交于点，则 ．
【答案】
【知识点】全等三角形综合问题、根据等边对等角证明
【分析】过点E作的垂线，交延长线于点H，过点C作交于点G，证明，得到，进而证明，得到，再证明，得到，进而推出，即点F是中点，即，由，得到，从而得出，即点A是中点，推出，即可求出．
【详解】解：过点E作的垂线，交延长线于点H，过点C作交于点G，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，即点F是中点，即，
，，
，
，即点A是中点，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查三角形全等的综合问题，等腰三角形的性质，平行线性质，正确作出辅助线构造三角形全等时解题的关键．
考点3：等腰三角形的性质——三线合一
典例3：如图，等腰中，，，于点，延长至点，使 ，连接．
(1)求的度数；
(2)求证：．
【答案】(1)
(2)见解析
【知识点】三角形的外角的定义及性质、等边对等角、三线合一、等边三角形的判定和性质
【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质等知识，解题的关键是：
（1）根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形证明即可；
（2）根据等边对等角和三角形外角的性质可求出，然后结合三线合一性质可得出，最后根据等角对等边证明即可．
【详解】（1）解：是等腰三角形，，，
是等边三角形，
（2）证明：，
，
，
，
是等边三角形，，
，
，
．
【变式1】如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，为线段的中点，．
(1)求证：；
(2)若，求 ．
【答案】(1)证明见解析；
(2)．
【知识点】三角形的外角的定义及性质、线段垂直平分线的性质、等边对等角、根据三线合一证明
【分析】（）连接， 由垂直平分线的性质得，可知，根据等腰三角形的“三线合一”性质即可求证；
（）设，则，根据三角形的外角性质可得，根据等边对等角得，最后通过三角形的内角和定理即可求解；
本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，三角形的外角性质，三角形的内角和定理，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】（1）证明：如图，连接，
∵垂直平分，
∴，
∵，
∴，
∵是的中点，
∴；
（2）解：设，
∵，
∴，
∴由三角形的外角的性质，，
∵，
∴，
在中，，
即，
解得：，
∴，
故答案为：．
【变式2】如图，在中，平分，于，于，且，．
(1)求证：；
(2)求证：．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用HL证全等（HL）、根据三线合一证明、三角形角平分线的定义
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的三线合一性质，
（1）根据角平分线的定义得，证明，由全等三角形的性质即可得证；
（2）根据等腰三角形的三线合一性质得，继而得到，利用证明全等即可；
解题的关键是掌握全等三角形的判定的一般方法：、、、、（仅用于证明直角三角形全等）．
【详解】（1）证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）∵，，，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴．
【变式3】如图，在 中，平分，，于点，于点，
(1)求证：；
(2)求证：．
【答案】(1)证明见详解
(2)证明见详解
【知识点】根据三线合一证明、全等的性质和HL综合（HL）
【分析】此题主要考查角平分线的性质和直角三角形全等的判定以及等腰三角形的性质，
（1）首先根据角平分线的性质可得，又有，可证，即可得证．
（2）根据等腰三角形三线合一即可得出结论
【详解】（1）解：平分，，，
，，
是的中点，
在和中
，
，
（2）由（1）得
∴
∴三角形为等腰三角形
平分，
∴
考点4：等腰三角形的性质——规律探究
典例4：如图，在射线上分别截取，连接，在上分别截取，连接…按此规律作下去，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】等边对等角、三角形的外角的定义及性质
【分析】本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，图形的变化规律．根据等腰三角形两底角相等用表示出，依此类推即可得到结论．
【详解】解：，，
，
同理，
，
，
，
，
故选：B．
【变式1】如图，在平面直角坐标系中，三角形，三角形，三角形，……，是斜边在x轴上，斜边长分别为2，4，6……的等腰直角三角形．若三角形的顶点坐标分别为，，，则依图中所示规律，的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】等腰三角形的定义、点坐标规律探索
【分析】本题考查点的坐标规律探索、等腰直角三角形的性质，仔细观察图形，找到点的坐标变化规律是解答的关键．先确定出在x轴的负半轴上，再写成、、、…的坐标，从而得到点的坐标的变化规律，然后即可求解．
【详解】解：由题意，∵，
∴在x轴的负半轴上，
∵，，，，…，
∴的横坐标为，即，
故选：A．
【变式2】如图，已知，在射线、上分别取点，连接，在、上分别取点、，使，连接，按此规律下去，记，，则 ．

【答案】
【知识点】等边对等角、三角形内角和定理的应用、三角形的外角的定义及性质、数字类规律探索
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的外角性质，据三角形外角性质找到等腰三角形的底角度数变化规律，用表示出等腰三角形的底角，再平角等于列式用表示出，同理表示出、……，由此即可找到规律求解．
【详解】解：∵，，
∴．
∴．
∵，，
∴，
∵
∴，
同理可求：，，
……以此类推，
，，
故答案为：．
【变式3】如图1，是我们平时使用的等臂圆规，即．若把n个相同规格的等臂圆规的两脚依次摆放在同一条直线上，如图2所示，其张角度数变化如下：，，，，…根据上述规律请你写出 ．（用含n的代数式表示）
【答案】
【知识点】图形类规律探索、三角形内角和定理的应用、等边对等角
【分析】张角度数变化如下：，，，，…由此可以得到张角的度数变化规律为，再由三角形内角和定理求解即可得到答案．
【详解】解析：由张角度数变化可知顶角，
∵，
∴
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，图形的变化规律，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
考点5：等腰三角形的性质——动点问题
典例5：如图，已知在中，，有一动点P在折线段上运动，速度为2个单位，运动时间t．
(1)当 时，；
(2)若平分，求运动时间t；
(3)当t为何值时，为轴对称图形．
【答案】(1)2
(2)
(3)或或或
【知识点】等腰三角形的定义、用勾股定理解三角形、角平分线的性质定理
【分析】本题考查了几何动点问题，涉及了勾股定理、角平分线的性质定理和等腰三角形的定义等知识点，掌握相关几何结论即可．
（1）当动点P运动到的中点时，有，即可求解；
（2）作，可得，则；证得，推出，根据即可求解；
（3）分类讨论为等腰三角形的情况，画出对应图形即可求解；
【详解】（1）解：∵，
∴，
当动点P运动到的中点时，有，如图所示:
则，
解得：，
故答案为：
（2）解：作，如图所示：
∵平分，
∴，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：
（3）解：时，如图所示：
则，解得；
时，作，如图所示：
则，
∴，
∴，
则，解得；
时，如图所示：
则，
则，解得；
时，如图所示：
则，
∵，
∴，
∴，
则，解得；
综上所述：当或或或时，为轴对称图形
【变式1】如图，在中，cm，cm，P，Q是边上的两个动点．其中点P从点A出发，沿A→B方向运动，速度为每秒1cm；点Q从点B出发，沿B→C→A方向运动，速度为每秒2cm两点同时开始运动，设运动时间为ts．
(1)①斜边上的高为　　cm；
②当时，的长为　　cm．
(2)当点Q在边上运动时，出发几秒钟后，是等腰三角形
【答案】(1)①；②
(2)s
【知识点】等腰三角形的定义、用勾股定理解三角形、几何问题(一元一次方程的应用)
【分析】本题考查了勾股定理的应用，等腰三角形的定义等知识点，注意计算的准确性即可．
（1）①求出即可求解；②当时，cm，cm．求出，根据即可求解；
（2）由题意可知cm，cm．求出，根据即可求解；
【详解】（1）解：①在中，由勾股定理可得： （cm），
∴斜边上的高为（cm），
②当时，cm，cm．
∴（cm），
在中，由勾股定理可得 （cm），
故答案为：①；②
（2）解：由题意可知cm，cm．
∴
当为等腰三角形时，有，即，
解得t=，
【变式2】如图，在Rt△ABC中，，，动点P从B出发沿射线以1 cm/s的速度运动，设运动时间为t（s）．
(1)求边的长．
(2)当为等腰三角形时，求t的值．
【答案】(1)
(2)或10或16
【知识点】等腰三角形的定义、用勾股定理解三角形
【分析】（1）利用勾股定理进行计算即可；
（2）分，，三种情况分类讨论即可．
【详解】（1）解：在Rt△ABC中，，，
∴设为，则：为，
则：，
∴或（舍），
∴；
（2）当时，如图，
则，
在中，，
∴，
解得；
当时，如图，
则；
当时，如图，
则；
∴，
综上，t的值为或10或16．
【点睛】本题考查直角三角形中的动点问题，熟练掌握勾股定理和等腰三角形的性质是解题的关键．
【变式3】如图，的三个顶点都在方格纸的格点上，其中点的坐标是，点的坐标是，点的坐标是．
(1)作关于轴对称的图形，点、、的对应点分别为、、；则点的坐标为______，点的坐标为______．
(2)在（1）的条件下，点为轴正半轴上的动点，当为等腰三角形时，请直接写出点的横坐标______．
【答案】(1)图见解析，，
(2)或或5或
【知识点】等腰三角形的定义、坐标与图形变化——轴对称、画轴对称图形、已知两点坐标求两点距离
【分析】（1）利用关于y轴对称的点的坐标特征得到D、E、F的坐标，然后描点即可；
（2）分类讨论：当时，把D点向左或右平移个单位得到P点坐标；当时，利用对称的性质得到P点坐标；当时，利用两点间的距离公式得到，解方程得到此时P点坐标．
【详解】（1）解：关于y轴对称的点横坐标相反，纵坐标相同；
∴对应点坐标为，，，
连接各点，如下图：
；
故答案为：，；
（2）解：设，
，
当时，P点坐标为或；
当时，P点坐标为；
当时，，
解得，此时P点坐标为，
综上所述，P点的横坐标为或或或．
故答案为：或或5或．
【点睛】本题考查了作图-轴对称变换，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
考点6：等腰三角形的判定——等角对等边
典例6：中，，的高与角平分线交于点．
(1)求证；
(2)求证：为等腰三角形．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【知识点】直角三角形的两个锐角互余、根据等角对等边证明等腰三角形、三角形角平分线的定义
【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，等腰三角形的判定，角平分线，理解相关知识是解答关键．
（1）由，的高，利用同角的余角相等来求解；
（2）由（1）得：，利用角平分线的性质，等角的余角相等，等腰三角形的判定来求解．
【详解】（1）证明：∵是的高，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
（2）证明：由（1）得：，
∵是的角平分线，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴为等腰三角形．
【变式1】如图，在中，，高，交于点．
(1)求证：；
(2)若，，求的长度．
【答案】(1)见解析；
(2)
【知识点】同(等)角的余(补)角相等的应用、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据等角对等边证明边相等
【分析】本题考查了全等三角形的判定、全等三角形对应边相等的性质．解决本题的关键是证明．
（1）先由已知得到，即可证明，即可求得；
（2）由（1）得，，从而，再利用线段的和差即可得解．
【详解】（1）证明：∵高，交于点，
∴，，
，
∴是等腰直角三角形，
，
∵，，
∴，，，
，
在和中，
，
，
∴；
（2）解：由（1）得，，
∴，
∵，，
∴，
∴．
【变式2】如图，在中，，点是边上一点，点为外的任意一点，连接，其中，．
(1)求证：；
(2)若，，，求的周长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【知识点】用SAS证明三角形全等（SAS）、根据等角对等边求边长
【分析】本题考查全等三角形的判定，等角对等边；
（1）先证明，再利用证明即可；
（2）由可得，根据即可求出的周长．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
又∵，，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴的周长为．
【变式3】如图，已知在中，，是角平分线，过点B作的垂线与的延长线相交于点E，求证：是等腰三角形．
【答案】见解析
【知识点】根据等角对等边证明等腰三角形
【分析】本题考查等腰三角形的判定，根据等角的余角相等，对顶角相等，推出，进而得到，即可得证．
【详解】∵在中，，
又∵，
∴，
∵中，，
又∵是的平分线，即，
∴，
∴，
∴是等腰三角形
考点7：等腰三角形的判定的实际应用
典例7：为了测量一池塘两端A，B的距离，三个数学研究小组设计了不同的可行性方案，如池塘示意图，他们在池塘西岸的点A处测得池塘点B恰好在点A的正东方向，测量方案如下表
课题 测量池塘两端A，B的距离 池塘示意图：
工具 测量角度的仪器，标杆，皮尺，激光笔
小组 第一小组 第二小组 第三小组
测量方案 ①从A点出发，向北走到C点；②测得， ①从A点出发，向北走到O点插上一根标杆； ②继续向北走相同的距离到达D点； ③再向西走到E点，使B，O，E三点共线； ④测得 ①将标杆垂直立在池塘岸边的点A处，再将激光笔固定在标杆的顶部F处； ②调整激光笔与标杆的夹角，使其射出的光线正好落在池塘对岸的点B； ③保持标杆与激光笔的夹角不变，转动标杆，使激光笔射出的光线落在同岸的点G，此时； ④测得：数据1：； 数据2：．
测量示意图
(1)第一小组测得即的距离，证明方法如下：
证明： (转右框) (理由：______)
(2)请用第二小组的方案，求出池塘两端A，B的距离；
(3)其他小组的同学发现，第三小组方案的第④步只用其中一个数据就可以求出池塘两端A，B的距离，请你在第④步中选择一个有效数据求出池塘两端A，B的距离．
【答案】(1)等角对等边
(2)A，B的距离为
(3)选择有效数据：，A，B的距离为
【知识点】根据等角对等边证明边相等、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）
【分析】本题考查全等三角的判定与性质的应用，等角对等边等知识，审清题意读懂测量方法是解题的关键．
（1）根据题意由推导使用的定理是等角对等边，从而得解；
（2）根据题意使用定理证明，从而得到，从而得解；
（3）根据题意使用定理证明，从而得到，从而得解．
【详解】（1）解：由推导使用的定理是等角对等边，
故答案是：等角对等边；
（2）解：依题意得：，，，
∴，
∴；
（3）选择有效数据：，
∵，，，
∴，
∴．
【变式1】如图，上午10时，一条船从A处出发以20海里每小时的速度向正北航行，中午12时到达B处，从A、B望灯塔C，测得，．求从B处到灯塔C的距离．
【答案】40海里
【知识点】三角形的外角的定义及性质、根据等角对等边求边长
【分析】本题考查了三角形外角的性质、等腰三角形的判定，先求得海里，再根据三角形外角的性质得，进而可得，熟练掌握三角形外角的性质及等腰三角形的判定是解题的关键．
【详解】根据题意，可得（海里），
，，
，
，
（海里），
答：从B处到灯塔C的距离为40海里．
【变式2】如图，要在河的一侧测量河对岸，两点的距离．选择点，使，，在一条直线上，作射线，则得，在射线上选取点和点，使，．这时测得的长就是，两点的距离，为什么？
【答案】见解析
【知识点】三角形内角和定理的应用、根据等角对等边证明边相等
【分析】本题考查等腰三角形的判定与性质以及三角形内角和定理，根据已知证明和是等腰三角形，得到，，即可证明．
【详解】解：在中，，，
∴，
即，
∴，
在中，，，
∴，
即，
∴，
∴即，
∴的长就是，两点的距离．
【变式3】耩（音同“讲”）子是一种传统衣用播种的工具，大小款式不一，图（1）是改良后有轮子的一种，图（2）是其示意图，现测得．为了使耩子更牢固，处常用钢筋连接，求长度？（结果保留根号）

【答案】
【知识点】用勾股定理解三角形、根据等角对等边求边长、含30度角的直角三角形
【分析】作于点D，如图，利用含30度的直角三角形的性质求出，求出，再根据勾股定理即可求解．
【详解】解：作于点D，如图，
在直角三角形中，∵，
∴，
在直角三角形中，∵，
∴，
∴，
∴．

【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质、勾股定理和等腰三角形的判定等知识，熟练掌握勾股定理和30度角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．
考点8：等腰三角形的判定——坐标系
典例8：平面直角坐标系中，点A在第二象限，且到x轴的距离为4，到y轴的距离为2．
(1)在坐标系中描出点A的位置，并写出点A的坐标；
(2)作点A关于y轴的对称点B，并写出点B的坐标；
(3)在x轴上找一点C使为等腰三角形，写出符合要求的所有点C的坐标．
【答案】(1)图形见解析；
(2)图形见解析；
(3)图形见解析；或或
【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、求点到坐标轴的距离、格点图中画等腰三角形、坐标与图形变化——轴对称
【分析】本题主要考查了在平面直角坐标系中描点，点到坐标轴的距离，关于y轴对称点的性质，等腰三角形的定义，熟练掌握关于y轴对称点的横纵坐标的符号关系是解题关键．
（1）根据第二象限内的点的横坐标是负数，纵坐标是正数，再由点到x轴和y轴的距离即可得出结论；
（2）根据关于y轴对称点的横纵坐标互为相反数，纵坐标不变，进行描点，写出点的坐标即可；
（3）根据等腰三角形的定义，画出等腰三角形，写出点C的坐标即可．
【详解】（1）解：∵点A在第二象限，且到x轴的距离为4，到y轴的距离为2，
∴点A的坐标为，
如图，在坐标系中描出点A的位置；
（2）解：如图，点B的坐标为；
（3）解：如图，点或或．
【变式1】如图，是规格为的正方形的网格，请你在所给的网格中按下列要求操作：

(1)请在网格中建立直角坐标系，使点坐标为，点坐标为；
(2)在第四象限中，当是以为底的等腰三角形，且腰长为无理数时，的周长是______，面积是______．
【答案】(1)见解析
(2)；4
【知识点】坐标与图形、格点图中画等腰三角形、勾股定理与网格问题、利用网格求三角形面积
【分析】本题考查网格与勾股定理、网格中画等腰三角形、坐标与图形等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
（1）根据A点坐标为，B点坐标为，建立直角坐标系即可；
（2）根据题意，符合条件的点是点，结合勾股定理解得，即可解得周长，再由割补法求其面积即可．
【详解】（1）解：如图建立直角坐标系，如图所示：

（2）解：在第四象限中，当是以为底的等腰三角形，且腰长为无理数时，符合条件的三角形，如图所示：
，
，
，
故答案为：；4．
【变式2】如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，，．

(1)将向下平移5个单位，得到，请画出；
(2)请画出关于y轴对称的；
(3)点P是x轴上的动点，当是等腰三角形时，这样的点P有______个．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)4
【知识点】格点图中画等腰三角形、平移(作图)、由平移方式确定点的坐标、坐标与图形变化——轴对称
【分析】（1）依据向下平移5个单位长度，即可得到；
（2）依据轴对称的性质，即可得到关于y轴的对称的．
（3）分当时，；当时，当时，三种情况分别找到对应的点P的个数即可得到答案．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：如图所示，即为所求；

（3）解：如图所示，当时，有一个点满足题意；
当时，有两个点满足题意；
当时，有一个点满足题意；
综上所述，一共有4个P点满足题意，
故答案为：4．

【点睛】本题主要考查了利用平移变换以及轴对称变换作图，画等腰三角形，平移作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．
【变式3】如图，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，点和点在小正方形的顶点上．

(1)在网格中建立平面直角坐标系，使A点坐标为，B点坐标为；
(2)在第二象限的格点上找一点C，使为等腰三角形，画出三角形，并写出点C的坐标．
(3)画出关于y轴对称的三角形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析，
(3)见解析
【知识点】坐标与图形、格点图中画等腰三角形、画轴对称图形
【分析】（1）根据已知点的坐标确定原点，再建立坐标系即可；
（2）根据等腰三角形的定义找到点C，可满足，可得点C坐标；
（3）找到各点关于y轴的对称点，依次连接即可．
【详解】（1）解：如图所示；

（2）如图，即为所求；
其中；
（3）如图，即为所求．
【点睛】本题考查了坐标与图形，等腰三角形的定义，画轴对称图形，解题的关键是掌握等腰三角形的定义和轴对称图形的画法．
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