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专题03 一元一次不等式组
（一）一元一次不等式组
①一元一次不等式组：一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。
②不等式组的解集：几个不等式的解集的公共部分，叫做由它们组成的不等式组的解集。解不等式组就是求它的解集。
③解不等式组：先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式的解集。
不等式组的解集的确定方法（a＞b）：
（二）不等式组的实际应用
列一元一次不等式（组）解应用题的一般步骤：
（1）审：认真审题，分清已知量、未知量及其关系，找出题中不等关系，要抓住题设中的关键“字眼”，如“大于”“小于”“不小于”“不大于”“至少”“最多”等.
（2）设：设出适当的未知数,并用含未知数的代数式表示出题目中涉及的量.
（3）列：根据题中的不等关系，列出不等式.
（4）解：解出所列不等式的解集.
（5）验：检验答案是否符合题意.
（6）答：写出答案.
在以上步骤中，审题是基础，根据题意找出不等关系是关键，而根据不等关系列出不等式又是解题难点.以上过程可简单表述为: .
考点1：一元一次不等式组的概念
典例1：下列不等式组：①；②；③；④；⑤，其中是一元一次不等式组的个数（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【变式1】下列不等式组是一元一次不等式组的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】下列不等式组：① ② ③ ④ ⑤．其中是一元一次不等式组的有 个．
【变式3】我们规定任意两点M、N之间的距离记作，已知点A在数轴上，对应的数是，点B在数轴上对应的点是1；如果点Q在数轴上，而且满足，请用不等式表示出所有符合条件的点Q所对应数x的范围 ．
考点2：一元一次不等式组的解集
典例2：若关于x的一元一次不等式组的解集在数轴上表示如图所示，则该不等式组的解集是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】解不等式组的解集是 ．
【变式3】已知一个不等式组的解集在数轴上如图表示，那么这个不等式组的解集为 ；
考点3：解一元一次不等式组
典例3：解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
【变式1】解不等式组：，并把解集表示在数轴上．

【变式2】解不等式组：
(1)；
(2)．
【变式3】（1）解不等式；并将其解集表示在数轴上．
（2）解不等式组．
考点4：不等式组的实际应用
典例4：在党的二十大报告中，强调了教育、科技、人才是全面建设社会主义现代化国家的基础性、战略性支撑．某校为提升教学质量，计划购买、两种型号的教学设备．已知购买台型设备和台型设备共需万元；购买台型设备和台型设备共需万元．
(1)求型、型设备每台各是多少万元；
(2)根据该校的实际情况，需购买、两种型号的教学设备共台，要求购买的总费用不超过万元，并且型设备的数量不少于型设备数量的，那么该校共有几种购买方案？
【变式1】如图1是一架自制天平，支点O固定不变，左侧托盘固定在点A处，右侧托盘的点P可以在横梁段滑动．已知，，根据杠杆原理，平衡时：左盘物体质量右盘物体质量（托盘与横梁的质量不计）．小慧在存钱罐里存了若干个1元硬币（只有1元硬币），她想利用这个自制天平估计存钱罐里一元硬币的数量．进行了如下操作：
(1)测量一个硬币的质量：如图1，在天平左侧托盘放置一个砝码，右侧托盘放入10个相同的1元硬币，调整点P的位置，发现当时，天平平衡，则测得每个1元硬币的质量为 g；
(2)估算硬币的数量：已知空的存钱罐的质量约为，将装了若干个1元硬币的存钱罐放在左侧托盘，右侧托盘放入砝码，调整点P的位置，发现当时，天平向左侧倾斜（如图2），当时，天平向右侧倾斜（如图3），请你帮小慧算一下存钱罐里大约有几个1元硬币？
【变式2】某中学开学初到商场购买、两种品牌的足球，购买种品牌的足球个，种品牌的足球个，共花费元，已知购买一个种品牌的足球比购买一个钟品牌的足球多花元．
(1)求购买一个种品牌、一个种品牌的足球各需多少元．
(2)学校为了响应习总书记“足球进校园”的号召，决定再次购进、两种品牌足球共个，正好赶上商场对商品价格进行调整，品牌足球售价比第一次购买时提高元，品牌足球按第一次购买时售价的折出售，如果学校此次购买、两种品牌足球的总费用不超过第一次花费的%，且保证这次购买的种品牌足球不少于个，则这次学校有哪几种购买方案？
(3)请你求出学校在第二次购买活动中最多需要多少资金？
【变式3】“文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期．基本中学为了落实双减政策，丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种型号“文房四宝”，经过调查得知：每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号的价格贵40元，买5套甲型号和10套乙型号共用1100元．
(1)求每套甲、乙型号“文房四宝”的价格分别是多少？
(2)若学校需购进甲、乙两种型号“文房四宝”共120套，总费用不超过8600元，并且根据学生需求，要求购进乙型号“文房四宝”的数量必须低于甲型号“文房四宝”数量的3倍，问有几种购买方案？最低费用是多少？
考点5：利用不等式组求字母取值
典例5：若关于的不等式组有且只有三个整数解，求的取值范围．
【变式1】已知不等式组的整数解是，，，，确定字母的取值范围．
【变式2】在实数范围内规定新运算“※”，其运算规则为：．
(1)求不等式的解集；
(2)已知不等式组的解集为，求的值．
【变式3】已知关于x的不等式组
(1)若该不等式组的解集为，求m的值；
(2)若该不等式组无解，求m的取值范围．
考点6：利用不等式组求代数式的值
典例6：不等式组的解集图所示，则代数式的值为（ ）

A． B．0 C．4 D．6
【变式1】已知关于的不等式组的整数解仅为，若为整数，则代数式的值为 ．
【变式2】已知是一个关于x的一元一次方程，若有理数a满足，则代数式的值为 ．
【变式3】如果不等式组的整数解只有4，且a、b均为整数，则代数式的最大值是 ．
考点7：不等式组解集的应用
典例7：若关于的一元一次不等式组的解集为，求的取值范围．
【变式1】已知不等式组①，解决下列问题：
(1)求不等式组①的解集；
(2)若不等式组的解集与①的解集相同，求a、b的值．
【变式2】已知关于x的不等式组
(1)若不等式组的解集是，求k的值；
(2)若不等式组只有三个整数解，求k的取值范围．
【变式3】阅读理解
定义：若一元一次不等式组解集（不含无解）都在一元一次不等式解集范围内，则称该一元一次不等式组为该不等式的“子集”．如：的解集为，的解为，在的范围内，一元一次不等式组是一元一次不等式的“子集”．
问题解决
（1）不等式组：①，②，③中，是不等式的“子集”的是_________；（填序号）
（2）若关于x的不等式组是关于x的不等式的“子集”，求k的取值范围；
问题拓展
（3）若关于x的不等式组的解集不是关于x的不等式的“子集”，直接写出m的取值范围是___________．
考点8：不等式组与方程组综合
典例8：已知关于x、y的方程组．
(1)若此方程组的解满足，求a的取值范围；
(2)在（1）的条件下，若关于的不等式的解集为，求满足条件的a的整数值．
【变式1】已知关于、的二元一次方程组．
(1)若方程组的解、互为相反数．求的值；
(2)若方程组的解满足，求的取值范围．
【变式2】已知关于，的方程组的解满足为非正数，为负数．
(1)求的取值范围；
(2)关于的不等式的解为时，可以取哪些整数值？
【变式3】综合与实践
已知关于的方程组，
(1)若该方程组的解与方程组的解相同，求的值．
(2)若方程组的解满足，且满足，求的最小整数值．
(3)当时，要使得方程组的解满足，求的取值范围．
考点9：不等式组与新定义问题
典例9：综合与深究
对实数，，我们定义一种新运算：（其中，常数）．例如：，．已知，．
(1)___________，___________．
(2)已知，为非负整数，求关于，的方程的解．
(3)若关于，的方程组的解满足，且为非负整数，求的值．
(4)若关于的不等式恰好有3个正整数解，求n的取值范围．
【变式1】阅读理解：定义：使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）：的“理想解”，例如：已知方程与不等式，当时，，同时成立，则称“”是方程与不等式的“理想解”．
(1)问题解决：请判断方程的解是此方程与以下哪些不等式（组）的“理想解”______（直接填写序号）
①；②；③
(2)若是方程组与不等式的“理想解”，求的取值范围；
(3)若关于，的方程组与不等式的“理想解”均为正数（即“理想解”中的，均为正数），直接写出的取值范围．
【变式2】定义：如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的【相伴方程】．
(1)在下列方程中： ； ； ，与不等式组是 【相伴方程】的是 ；（填序号）
(2)若不等式组的一个【相伴方程】的解是整数，则这个【相伴方程】可以是 ；（写出一个即可）
(3)若方程，都是关于的不等式组 的【相伴方程】，求的取值范围．
【变式3】定义：如果两个一元一次方程的解之差为6，我们就称这两个方程为“活力方程”，如果两个一元一次方程的解之差大于6，我们此称解较大的方程为另一方程的“领先方程”，例如：方程和为“活力方程”，方程是方程的“领先方程”．
(1)若关于x的方程和方程是“活力方程”，求s的值．
(2)若“活力方程”的两个解分别为a，b，且a，b分别是关于x的不等式组的最大整数解和最小整数解，求k的取值范围．
(3)方程是若关于x的方程的“领先方程”，关于x的不等式组有解且均为非负解，若，，，求M的取值范围．
考点10：解特殊不等式组
典例10：阅读以下例题：解不等式：
解：①当，则，
即可以写成：解不等式组得：
②当若，则，
即可以写成：解不等式组得：．
综合以上两种情况：原不等式的解集为：或．
以上解法的依据为：当，则同号．
请你模仿例题的解法，解不等式：
(1)；
(2)．
【变式1】阅读材料：
李老师给数学兴趣小组布置了这样一个关于不等式的问题：求不等式的解集.
小组成员百思不得其解，这时，李老师提示说：“我们可以利用有理数的运算法则解决这一问题”，话音刚落，聪明的小明就说：“我明白了”！你们想到解决问题的方法了吗？小明是这样做的：根据有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘”.
可得①；或②，
解不等式组①得：，解不等式组②得：，
∴原不等式的解集为：或.
你明白了吗？请结合以上材料解答问题：解不等式.
【变式2】阅读下列材料：我们知道表示的是在数轴上数对应的点与原点的距离，即，也就是说，对表示在数轴上数与数0对应点之间的距离．这个结论可以推广为表示在数轴上数，对应点之间的距离．
例1解方程．
解：∵，
∴在数轴上与原点距离为6的点对应的数为，即该方程的解为．
例2解不等式．
解：如图，首先在数轴上找出的解，即到1的距离为2的点对应的数为，3，则的解集为到1的距离大于2的点对应的所有数，所以原不等式的解集为或．
参考阅读材料，解答下列问题：
（1）方程的解为______；
（2）解不等式；
（3）若，则的取值范围是_______；
（4）若，则的取值范围是_______．
【变式3】对x，y定义一种新的运算G，规定：（其中m≠0），例如：．已知，．
（1）求m，n的值；
（2）若关于正数p的不等式组恰好有3个整数解，求a的取值范围；
（3）请直接写出时，满足条件的与的关系式为_________．
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专题03 一元一次不等式组
（一）一元一次不等式组
①一元一次不等式组：一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。
②不等式组的解集：几个不等式的解集的公共部分，叫做由它们组成的不等式组的解集。解不等式组就是求它的解集。
③解不等式组：先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式的解集。
不等式组的解集的确定方法（a＞b）：
（二）不等式组的实际应用
列一元一次不等式（组）解应用题的一般步骤：
（1）审：认真审题，分清已知量、未知量及其关系，找出题中不等关系，要抓住题设中的关键“字眼”，如“大于”“小于”“不小于”“不大于”“至少”“最多”等.
（2）设：设出适当的未知数,并用含未知数的代数式表示出题目中涉及的量.
（3）列：根据题中的不等关系，列出不等式.
（4）解：解出所列不等式的解集.
（5）验：检验答案是否符合题意.
（6）答：写出答案.
在以上步骤中，审题是基础，根据题意找出不等关系是关键，而根据不等关系列出不等式又是解题难点.以上过程可简单表述为: .
考点1：一元一次不等式组的概念
典例1：下列不等式组：①；②；③；④；⑤，其中是一元一次不等式组的个数（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【知识点】一元一次不等式组的定义
【分析】本题考查一元一次不等式组的定义，根据共含有一个未知数，未知数的次数是1来判断．
根据一元一次不等式组的定义判断即可．
【详解】解：①是一元一次不等式组；
②是一元一次不等式组；
③含有两个未知数，不是一元一次不等式组；
④是一元一次不等式组；
⑤，未知数是2次，不是一元一次不等式组，
其中是一元一次不等式组的有3个，
故选：B．
【变式1】下列不等式组是一元一次不等式组的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一元一次不等式组的定义
【分析】根据一元一次不等式组的定义逐个判断即可．
【详解】解：A．最高二次，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意；
B．有两个未知数，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意；
C．是一元一次不等式组，故本选项符合题意；
D．第二个不等式中有的式子不是整式，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的定义，能熟记一元一次不等式组的定义是解此题的关键，含有相同字母的几个不等式，如果每个不等式都是一次不等式，那么这几个不等式组合在一起，就叫一元一次不等式组．
【变式2】下列不等式组：① ② ③ ④ ⑤．其中是一元一次不等式组的有 个．
【答案】2
【知识点】一元一次不等式组的定义
【分析】利用一元一次不等式组定义解答即可．
【详解】解：①是一元一次不等式组；
②含有两个未知数，不是一元一次不等式组；
③是一元一次不等式组；
④不是一元一次不等式组；
⑤，未知数的最高次数是2次，不是一元一次不等式组，
其中是一元一次不等式组的有2个，
故答案为：2．
【点睛】此题主要考查了一元一次不等式组，关键是掌握几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一次不等式组．
【变式3】我们规定任意两点M、N之间的距离记作，已知点A在数轴上，对应的数是，点B在数轴上对应的点是1；如果点Q在数轴上，而且满足，请用不等式表示出所有符合条件的点Q所对应数x的范围 ．
【答案】
【知识点】数轴上两点之间的距离、有理数的减法运算、一元一次不等式组的定义
【分析】本题考查数轴上两点间的距离，有理数的减法等知识，分“当点Q在A点的左边，即时，当点Q在线段上，当点Q在B点的右边”三种情况讨论即可得解，运用数形结合与分类讨论思想解题是解题的关键．
【详解】解：当点Q在A点的左边，即时，；
当点Q在线段上，即时，；
当点Q在B点的右边，即时，；
故答案为：
考点2：一元一次不等式组的解集
典例2：若关于x的一元一次不等式组的解集在数轴上表示如图所示，则该不等式组的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】求不等式组的解集、在数轴上表示不等式的解集
【分析】本题主要考查了确认一元一次不等式组的解集，正确求出每一个不等式解集，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”，是解答此题的关键．
由数轴知且，再确定其公共部分即可．
【详解】解：由数轴知：且，
其公共部分为：，
故答案为：D．
【变式1】不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】在数轴上表示不等式的解集、求不等式组的解集
【分析】本题考查的是在数轴上表示不等式解集的方法，根据不等式画出数轴，实心圆点包括该点，空心圆圈不包括该点，大于向右小于向左．
【详解】解：不等式组的解集在数轴上表示正确的是：
．
故选：C．
【变式2】解不等式组的解集是 ．
【答案】
【知识点】求不等式组的解集
【分析】本题考查解一元一次不等式组，先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集．
【详解】解：，
解不等式①，得：，
解不等式②，得：，
该不等式组的解集是，
故答案为：．
【变式3】已知一个不等式组的解集在数轴上如图表示，那么这个不等式组的解集为 ；
【答案】
【知识点】求不等式组的解集、在数轴上表示不等式的解集
【分析】本题考查的是在数轴上表示不等式组的解集，利用了数形结合的思想，解答此题的关键是熟知实心圆点与空心圆点的区别．
根据在数轴上表示不等式组解集的方法求出不等式组的解集即可．
【详解】解：∵处为实心圆点，且折线向右，
∴
∵处为空心圆点折线向右，
∴
∴不等式组的解集为．
故答案为：．
考点3：解一元一次不等式组
典例3：解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
【答案】；数轴见解析
【知识点】求不等式组的解集、在数轴上表示不等式的解集
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，再将解集表示在数轴上即可．
【详解】解：解不等式，得，
解不等式，得，
不等式组的解集为：，
在数轴上表示为：
【变式1】解不等式组：，并把解集表示在数轴上．

【答案】，数轴表示见解析
【知识点】求不等式组的解集、在数轴上表示不等式的解集
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，先求出每个不等式的解集，取解集的公共部分可得不等式组的解集，再把解集在数轴上表示出来即可，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】解：，
由①得，，
由②得，，
∴不等式组的解集为，
不等式组的解集在数轴上表示如下：

【变式2】解不等式组：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【知识点】求不等式组的解集
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知解一元一次不等式组的基本步骤是解答此题的关键．
（1）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集．
（2）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集．
【详解】（1）解：，
解不等式①得，
解不等式②得，
故不等式组的解集为：．
（2）解：，
解不等式①得，
解不等式②得，
故不等式组的解集为：．
【变式3】（1）解不等式；并将其解集表示在数轴上．
（2）解不等式组．
【答案】（1），数轴见详解；（2）
【知识点】求不等式组的解集、求一元一次不等式的解集、在数轴上表示不等式的解集
【分析】本题考查解一元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式组是解题的关键；
（1）解不等式，并在数轴上表示即可求解；
（2）分别解不等式，在数轴上表示出解集，找出解集的公共部分即可；
【详解】（1），
，
不等式解集为：；
（2）
解不等式①得：
解不等式②得；，
不等式组的解集为：；
考点4：不等式组的实际应用
典例4：在党的二十大报告中，强调了教育、科技、人才是全面建设社会主义现代化国家的基础性、战略性支撑．某校为提升教学质量，计划购买、两种型号的教学设备．已知购买台型设备和台型设备共需万元；购买台型设备和台型设备共需万元．
(1)求型、型设备每台各是多少万元；
(2)根据该校的实际情况，需购买、两种型号的教学设备共台，要求购买的总费用不超过万元，并且型设备的数量不少于型设备数量的，那么该校共有几种购买方案？
【答案】(1)型设备每台万元，型设备每台万元
(2)一共有种购买方案
【知识点】方案问题(二元一次方程组的应用)、一元一次不等式组的其他应用
【分析】本题考查了二元一次方程组以及一元一次不等式组的应用；
（1）设型设备万元台，型设备万元台，根据题意列出二元一次方程组，解方程组，即可求解；
（2）设型设备购买台，则购买型设备台，根据题意列出不等式组，求得整数解，即可求解．
【详解】（1）解：设型设备万元台，型设备万元台，
依题意得：
解得
答：型设备每台万元，型设备每台万元．
（2）设型设备购买台，则购买型设备台，
依题意得：
解得：，
又因为为正整数，所以的取值为，，
答：一共有种购买方案．
【变式1】如图1是一架自制天平，支点O固定不变，左侧托盘固定在点A处，右侧托盘的点P可以在横梁段滑动．已知，，根据杠杆原理，平衡时：左盘物体质量右盘物体质量（托盘与横梁的质量不计）．小慧在存钱罐里存了若干个1元硬币（只有1元硬币），她想利用这个自制天平估计存钱罐里一元硬币的数量．进行了如下操作：
(1)测量一个硬币的质量：如图1，在天平左侧托盘放置一个砝码，右侧托盘放入10个相同的1元硬币，调整点P的位置，发现当时，天平平衡，则测得每个1元硬币的质量为 g；
(2)估算硬币的数量：已知空的存钱罐的质量约为，将装了若干个1元硬币的存钱罐放在左侧托盘，右侧托盘放入砝码，调整点P的位置，发现当时，天平向左侧倾斜（如图2），当时，天平向右侧倾斜（如图3），请你帮小慧算一下存钱罐里大约有几个1元硬币？
【答案】(1)6
(2)存钱罐里大约有个1元硬币．
【知识点】其他问题(一元一次方程的应用)、一元一次不等式组的其他应用
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，不等式组的应用．
（1）设每个1元硬币的质量为，根据题意列一元一次方程求解即可；
（2）设存钱罐里有个1元硬币，根据题意列出不等式组，，据此求解即可．
【详解】（1）解：设每个1元硬币的质量为，10个1元硬币的质量为，
由题意得，
解得，
答：每个1元硬币的质量为；
故答案为：6；
（2）解：设存钱罐里有个1元硬币，
当时，由题意得，
解得，
当时，由题意得，
解得，
∴，
∵为正整数，
∴，
答：存钱罐里大约有个1元硬币．
【变式2】某中学开学初到商场购买、两种品牌的足球，购买种品牌的足球个，种品牌的足球个，共花费元，已知购买一个种品牌的足球比购买一个钟品牌的足球多花元．
(1)求购买一个种品牌、一个种品牌的足球各需多少元．
(2)学校为了响应习总书记“足球进校园”的号召，决定再次购进、两种品牌足球共个，正好赶上商场对商品价格进行调整，品牌足球售价比第一次购买时提高元，品牌足球按第一次购买时售价的折出售，如果学校此次购买、两种品牌足球的总费用不超过第一次花费的%，且保证这次购买的种品牌足球不少于个，则这次学校有哪几种购买方案？
(3)请你求出学校在第二次购买活动中最多需要多少资金？
【答案】(1)购买一个A种品牌的足球需要50元，购买一个B种品牌的足球需要80元
(2)见解析
(3)学校在第二次购买活动中最多需要元资金
【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、一元一次不等式组的其他应用、有理数四则混合运算的实际应用
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，
（1）设A种品牌足球的单价为元，种品牌足球的单价为元，根据“总费用买种足球费用买种足球费用，以及种足球单价比种足球多花元”可得出关于、的二元一次方程组，解方程组即可得出结论；
（2）设第二次购买种足球个，则购买种足球个，根据“总费用买种足球费用买种足球费用，以及种足球不小于个”可得出关于的一元一次不等式组，解不等式组可得出的取值范围，由此即可得出结论；
（3）分析第二次购买时，、种足球的单价，即可得出哪种方案花钱最多，求出花费最大值即可得出结论．
【详解】（1）解：设种品牌足球的单价为元，种品牌足球的单价为元，
依题意得：，解得：．
答：购买一个种品牌的足球需要元，购买一个种品牌的足球需要元．
（2）解：设第二次购买种足球个，则购买种足球个，
依题意得：，
解得：．
故这次学校购买足球有五种方案：
方案一：购买A种足球个，B种足球个；
方案二：购买A种足球个，B种足球个；
方案三：购买A种足球个，B种足球个．
方案四：购买A种足球个，B种足球个．
方案五：购买A种足球个，B种足球个．
（3）解：∵第二次购买足球时，A种足球单价为(元)，B种足球单价为(元)，
∴当购买方案中B种足球最多时，费用最高，即方案一花钱最多．
∴(元)．
答：学校在第二次购买活动中最多需要元资金．
【变式3】“文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期．基本中学为了落实双减政策，丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种型号“文房四宝”，经过调查得知：每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号的价格贵40元，买5套甲型号和10套乙型号共用1100元．
(1)求每套甲、乙型号“文房四宝”的价格分别是多少？
(2)若学校需购进甲、乙两种型号“文房四宝”共120套，总费用不超过8600元，并且根据学生需求，要求购进乙型号“文房四宝”的数量必须低于甲型号“文房四宝”数量的3倍，问有几种购买方案？最低费用是多少？
【答案】(1)每套甲型号“文房四宝”的价格是100元，则每套乙型号“文房四宝”的价格是60元
(2)共有5种购买方案，最低费用是8440元
【知识点】其他问题(一元一次方程的应用)、不等式组的方案选择问题
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，一元一次方程的应用，正确地列出一元一次方程和一元一次不等式是解题的关键．
（1）设每套甲型号“文房四宝”的价格是x元，则每套乙型号“文房四宝”的价格是元，根据每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号的价格贵40元，买5套甲型号和10套乙型号共用1100元，得出方程，解方程即可；
（2）设需购进乙种型号“文房四宝”m套，则需购进甲种型号“文房四宝”套，根据题意得到不等式组，解不等式组即可得到结论．
【详解】（1）解：设每套甲型号“文房四宝”的价格是x元，则每套乙型号“文房四宝”的价格是元，
由题意可得，
解得，
．
答：每套甲型号“文房四宝”的价格是100元，则每套乙型号“文房四宝”的价格是60元；
（2）解：设需购进乙种型号“文房四宝”m套，则需购进甲种型号“文房四宝”套，
由题意可得：，
解得，
又∵m为正整数，
∴m可以取85，86，87，88，89；
∴共有5种购买方案，
方案1：购进35套甲型号“文房四宝”，85套乙型号“文房四宝”；
方案2：购进34套甲型号“文房四宝”，86套乙型号“文房四宝”；
方案3：购进33套甲型号“文房四宝”，87套乙型号“文房四宝”；
方案4：购进32套甲型号“文房四宝”，88套乙型号“文房四宝”；
方案5：购进31套甲型号“文房四宝”，89套乙型号“文房四宝”；
∵每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号的价格贵40元，
∴甲型号“文房四宝”的套数越少，总费用就越低，
∴最低费用是（元）．
考点5：利用不等式组求字母取值
典例5：若关于的不等式组有且只有三个整数解，求的取值范围．
【答案】
【知识点】由不等式组解集的情况求参数
【分析】本题考查了不等式组的整数解，关键是根据不等式组的整数解求出取值范围，用到的知识点是一元一次不等式的解法．
解不等式组得出其解集为，根据不等式组有且只有三个整数解得出，解之可得答案．
【详解】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为：，
∵不等式组有且只有三个整数解，
，
解得：，
故答案为：．
【变式1】已知不等式组的整数解是，，，，确定字母的取值范围．
【答案】
【知识点】由一元一次不等式组的解集求参数
【分析】本题考查了由一元一次不等式组的解集求参数，解题的关键是掌握不等式组的解法．先分别求出每个不等式的解集，再根据不等式组的整数解是，，，，求解即可．
【详解】解：，
解不等式①得：
，
，
，
，
解不等式②得：
，
，
不等式组的整数解是，，，，
不等式组的解集是，
，
解得：．
【变式2】在实数范围内规定新运算“※”，其运算规则为：．
(1)求不等式的解集；
(2)已知不等式组的解集为，求的值．
【答案】(1)
(2)
【知识点】求一元一次不等式的解集、由一元一次不等式组的解集求参数、新定义下的实数运算
【分析】本题主要考查了新定义运算和解一元一次不等式，解一元一次不等式组：
（1）根据新定义可得，解不等式即可；
（2）根据新定义得到，分别求出不等式组中两个不等式的解集，再根据不等式组的解集求出a、b的值，最后代值计算即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
解得；
（2）解：∵，
∴，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∵不等式组的解集为，
∴，
∴，
∴．
【变式3】已知关于x的不等式组
(1)若该不等式组的解集为，求m的值；
(2)若该不等式组无解，求m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【知识点】由不等式组解集的情况求参数
【分析】本题考查了根据不等式组的解集情况求参数，熟练掌握不等式组的解法是解答本题的关键．
（1）先求出不等式组两个不等式的解集，再根据解集为列方程求解即可；
（2）不等式组无解得出求解即可．
【详解】（1）解不等式，得；
解不等式，得．
∵该不等式组的解集为
∴且，
∴．
（2）∵该不等式组无解，
∴，
解得．
考点6：利用不等式组求代数式的值
典例6：不等式组的解集图所示，则代数式的值为（ ）

A． B．0 C．4 D．6
【答案】A
【知识点】由不等式组解集的情况求参数
【分析】先把a、b当作已知条件求出x的取值范围，在与不等式组的解集相比较求出a、b的值，代入代数式即可得出结论．
【详解】解：，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
由题意可得，不等式组的解集为，
∴，
解得，
∴．
故选：A
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
【变式1】已知关于的不等式组的整数解仅为，若为整数，则代数式的值为 ．
【答案】
【知识点】分式化简求值、由不等式组解集的情况求参数
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，根据不等式组的解集情况求参数，先解不等式组得到，再根据不等式组的整数解仅为得到，再把原分式化简，最后代值计算即可．
【详解】解：解不等式组得．
∵不等式组的整数解仅为1，2，3，且为整数，
∴，
∴．
当时，原式，
故答案为：．
【变式2】已知是一个关于x的一元一次方程，若有理数a满足，则代数式的值为 ．
【答案】4
【知识点】一元一次方程的定义、由不等式组解集的情况求参数
【分析】根据一元一次方程的定义，则的系数为0，且x系数，，得出；由，得，即可得到，，化简绝对值，即可得到答案．
【详解】∵是一个关于x的一元一次方程，
∴的系数为0，且x系数，
∴，，
即且，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：4
【点睛】本题考查绝对值、一元一次方程的定义、整式的加减，解题的关键是知道如何去绝对值以及一元一次方程的定义.
【变式3】如果不等式组的整数解只有4，且a、b均为整数，则代数式的最大值是 ．
【答案】63
【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、由不等式组解集的情况求参数
【分析】表示出不等式组的解集，根据不等式组的整数解只有4，确定出a与b的值，即可求出所求．
【详解】不等式组整理得：，
解得：≤x＜，
∵不等式组的整数解只有4，
∴3＜≤4，4＜≤5，
解得：9＜a≤12，8＜b≤10，
∵a，b均为整数，
∴a=10，11，12，b=9，10，
当a=12，b=9时，a2-b2最大，最大值为144-81=63．
故答案为：63．
【点睛】此题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解本题的关键．
考点7：不等式组解集的应用
典例7：若关于的一元一次不等式组的解集为，求的取值范围．
【答案】
【知识点】由一元一次不等式组的解集求参数、求一元一次不等式的解集
【分析】本题考查了解一元一次不等式组的应用，解题的关键是能根据不等式的解集找出不等式组的解集．
分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组的解集即可得出a的取值范围．
【详解】解：．不等式可化为，
∴．
；
不等式可化为，
∴．
∴，
∵关于的一元一次不等式组的解集为，
∴．
．
【变式1】已知不等式组①，解决下列问题：
(1)求不等式组①的解集；
(2)若不等式组的解集与①的解集相同，求a、b的值．
【答案】(1)
(2)，
【知识点】求不等式组的解集、由一元一次不等式组的解集求参数
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
（1）分别求解两个不等式，得到不等式组的解集即可；
（2）先求出不等式组的解集，然后根据不等式组的解集与①的解集相同得出关于a、b的方程组，解方程组即可．
【详解】（1）解：，
由不等式得：，
由不等式得：，
∴不等式组的解集为：；
（2）解：，
由不等式得：，
∴不等式组的解集为：，
∵不等式组的解集与①的解集相同，
∴，
解得：．
【变式2】已知关于x的不等式组
(1)若不等式组的解集是，求k的值；
(2)若不等式组只有三个整数解，求k的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【知识点】由不等式组解集的情况求参数、由一元一次不等式组的解集求参数
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
（1）先求出不等式组的解集，结合题意，即可得出结果；
（2）根据不等式组只有三个整数解，得到，求出k的取值范围即可．
【详解】（1）解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∵原不等式组的解集为，
，
（2）由题意，得原不等式组的解集为，
∵不等式组只有三个整数解，
，
解得．
【变式3】阅读理解
定义：若一元一次不等式组解集（不含无解）都在一元一次不等式解集范围内，则称该一元一次不等式组为该不等式的“子集”．如：的解集为，的解为，在的范围内，一元一次不等式组是一元一次不等式的“子集”．
问题解决
（1）不等式组：①，②，③中，是不等式的“子集”的是_________；（填序号）
（2）若关于x的不等式组是关于x的不等式的“子集”，求k的取值范围；
问题拓展
（3）若关于x的不等式组的解集不是关于x的不等式的“子集”，直接写出m的取值范围是___________．
【答案】【小问1】③
【小问2】
【小问3】或
【知识点】求一元一次不等式的解集、由一元一次不等式组的解集求参数、求不等式组的解集
【分析】（1）分别求出每一个不等式组的解集，再根据新定义，逐项判断即可求解；
（2）先求出不等式组和不等式的解集，再根据不等式组是关于x的不等式的“子集”，得到关于k的不等式，即可求解；
（3）分两种情况讨论，即可求解．
【详解】解：不等式的解集为，
①的解集为，
∵不在的范围内，
一元一次不等式组不是一元一次不等式的“子集”．
②的解集为，
∵不在的范围内，
∴一元一次不等式组不是一元一次不等式的“子集”．
③的解集为，
∵在的范围内，
∴一元一次不等式组是一元一次不等式的“子集”．
故答案为：③
（2）解：的解集为，
的解集为，
∵一元一次不等式组是关于x的不等式的“子集”，
∴，
解得：；
（3）解：的解集为，
当，即时，
的解集为，
∵关于x的不等式组的解集不是关于x的不等式的“子集”，
∴，解得：，
∴此时；
当，即时，
的解集为，
∵关于x的不等式组的解集不是关于x的不等式的“子集”，
∴，解得：，
∴此时；
综上所述，m的取值范围是或．
故答案为：或
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组和解一元一次不等式，理解新定义是解题的关键．
考点8：不等式组与方程组综合
典例8：已知关于x、y的方程组．
(1)若此方程组的解满足，求a的取值范围；
(2)在（1）的条件下，若关于的不等式的解集为，求满足条件的a的整数值．
【答案】(1)
(2)、0
【知识点】不等式的性质、不等式组和方程组结合的问题、已知二元一次方程组的解的情况求参数
【分析】本题考查解二元一次方程组和一元一次不等式；
（1）根据列出关于的不等式，可解得的范围；
（2）结合（1），由为整数，可得的值．
【详解】（1），
①②得：，
，
，
，
解得；
（2）关于的不等式的解集为，
，
，
，
，
满足条件的的整数值是、0．
【变式1】已知关于、的二元一次方程组．
(1)若方程组的解、互为相反数．求的值；
(2)若方程组的解满足，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【知识点】加减消元法、不等式组和方程组结合的问题
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，二元一次方程组的解，解二元一次方程组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
（1）将两个方程相加可得，由相反数的性质知，据此可得关于的方程，解之可得；
（2）将两个方程相加可得，即，结合题意得出的不等式组，解之可得．
【详解】（1）解：
得：，
、互为相反数，
，
则，
，
解得；
（2）
得：，即，
，
，
解得：．
【变式2】已知关于，的方程组的解满足为非正数，为负数．
(1)求的取值范围；
(2)关于的不等式的解为时，可以取哪些整数值？
【答案】(1)；
(2)和0．
【知识点】不等式的性质、不等式组和方程组结合的问题
【分析】本题考查的是方程组与不等式组的综合问题，不等式的性质；
（1）先解方程组，可得，再建立不等式组即可得到答案；
（2）由不等式的解为可得，再进一步解答即可；
【详解】（1）解：解方程组，得，
根据题意，得，
解得：；
（2）解：∵，
∴，
而的解为知：，
解得.
结合（1）得，的取值范围是，
不等式的解为时，可以取整数值和0.
【变式3】综合与实践
已知关于的方程组，
(1)若该方程组的解与方程组的解相同，求的值．
(2)若方程组的解满足，且满足，求的最小整数值．
(3)当时，要使得方程组的解满足，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)的最小整数值为3
(3)
【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数、不等式组和方程组结合的问题
【分析】本题考查二元一次方程组的解，一元一次方程的解，解不等式．
（1）利用加减消元法求得的解，再代入，求解即可；
（2）将代入，利用加减消元法求得，再根据，解不等式，即可求解；
（3）根据题意原方程组可化为，解得，再代入求解即可．
【详解】（1）解：解方程组，
将得③，
②得④，
得，
∴，
把代入①得，
∴，
∴方程组的解为，
将代入得
∴；
（2）解：∵，
∴原方程组可化为，
得．
∵方程组的解满足，
∴，
∴，
∴的最小整数值为3；
（3）解：当时，原方程组可化为，
解得，
∵，
∴，
解得，
∴的取值范围是．
考点9：不等式组与新定义问题
典例9：综合与深究
对实数，，我们定义一种新运算：（其中，常数）．例如：，．已知，．
(1)___________，___________．
(2)已知，为非负整数，求关于，的方程的解．
(3)若关于，的方程组的解满足，且为非负整数，求的值．
(4)若关于的不等式恰好有3个正整数解，求n的取值范围．
【答案】(1)2，1
(2)或
(3)0，1，2
(4)
【知识点】二元一次方程的解、加减消元法、求不等式组的解集、不等式组和方程组结合的问题
【分析】（1）根据题目定义的新运算，结合，即可得出答案；
（2）根据（1）中求解的a、b的值，结合，x，y为非负整数即可解出答案；
（3）根据得出，将其两式相加，结合即可得到m的取值范围，再结合m为非负整数即可求解；
（4）根据求解得到x的取值范围，再根据恰好有3个正整数解即可得到n的范围．
【详解】（1）解：，
解得：，
故答案为：2,1；
（2）解：由（1）知，，
则．
∵x，y为非负整数，
∴或．
（3）解：依题意，
①＋②化简得．
∵，即
解得．
又∵m为非负整数，
∴m的值为0或1或2．
（4）解：依题意得，解得．
∵此不等式有3个正整数解，
∴，
解得．
【点睛】该题主要考查了二元一次方程组的解法和一元一次不等式组的解法，理解题意，掌握二元一次方程组和一元一次不等式组解法是解题的关键；还需注意二元一次方程解答时有多个结果；一元一次不等式组整数解问题也是比较容易出错．
【变式1】阅读理解：定义：使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）：的“理想解”，例如：已知方程与不等式，当时，，同时成立，则称“”是方程与不等式的“理想解”．
(1)问题解决：请判断方程的解是此方程与以下哪些不等式（组）的“理想解”______（直接填写序号）
①；②；③
(2)若是方程组与不等式的“理想解”，求的取值范围；
(3)若关于，的方程组与不等式的“理想解”均为正数（即“理想解”中的，均为正数），直接写出的取值范围．
【答案】(1)②③
(2)
(3)
【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数、求一元一次不等式的解集、求不等式组的解集、不等式组和方程组结合的问题
【分析】（1）求出方程的解，代入到不等式（组）中，看不等式（组）是否成立，即可得解；
（2）用表示出，代入到，求解即可；
（3）用表示出，根据，均为正数，以及，列不等式组进行求解．
【详解】（1）解：，
∴，解得：；
当时：
①，故不是方程与不等式的理想解；
②，故是方程与不等式的理想解；
③，故是方程与不等式组的理想解；
故答案为：②③；
（2）解：∵ 是方程组与不等式的“理想解”，
∴，解得：，
，
∴，
解得：；
（3）解：，
解得：，
∴，
由题意得：，解得：．
【点睛】本题考查解一元一次方程，二元一次方程组，一元一次不等式和一元一次不等式组．熟练掌握“理想解”的定义，正确的解出方程（组）的解，不等式（组）的解集，是解题的关键．
【变式2】定义：如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的【相伴方程】．
(1)在下列方程中： ； ； ，与不等式组是 【相伴方程】的是 ；（填序号）
(2)若不等式组的一个【相伴方程】的解是整数，则这个【相伴方程】可以是 ；（写出一个即可）
(3)若方程，都是关于的不等式组 的【相伴方程】，求的取值范围．
【答案】(1)；
(2)（答案不唯一，只要满足解为即可）；
(3)．
【知识点】解一元一次方程（二）——去括号、求不等式组的解集、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项
【分析】（）分别求出三个一元一次方程的解和一元一次不等式组的解集即可得到答案；
（）先求出不等式组的解集，然后确定出不等式组的整数解，然后写出一个满足这个整数解的一元一次方程即可；
（）先求出两个相伴方程的解，然后求出不等式组的解，然后根据相伴方程的定义求解即可；
本题主要考查了新定义，解一元一次方程与解不等式组，掌握一元一次方程与不等式组解法是解题的关键．
【详解】（1）解：∵
∴，
∴方程的解为；
∵，
∴，
∴方程的解为；
∵，
∴
∴方程的解为：；
解不等式得，
解不等式得，
∴不等式组的解集为，
∴方程的解是不等式组的解，
∴不等式组 的【相伴方程】是；
故答案为：；
（2）解：解不等式得，
解不等式得，
∴不等式组的解集为，
∴不等式组的整数解为，
∴这个【相伴方程】可以是，
故答案为：（答案不唯一，只要满足解为即可）；
（3）解：解方程得，
解方程得，
解不等式得，
解不等式得，
∴不等式组的解集为，
∵方程，都是关于的不等式组的【相伴方程】，
∴，
解得：，
∴的取值范围是．
【变式3】定义：如果两个一元一次方程的解之差为6，我们就称这两个方程为“活力方程”，如果两个一元一次方程的解之差大于6，我们此称解较大的方程为另一方程的“领先方程”，例如：方程和为“活力方程”，方程是方程的“领先方程”．
(1)若关于x的方程和方程是“活力方程”，求s的值．
(2)若“活力方程”的两个解分别为a，b，且a，b分别是关于x的不等式组的最大整数解和最小整数解，求k的取值范围．
(3)方程是若关于x的方程的“领先方程”，关于x的不等式组有解且均为非负解，若，，，求M的取值范围．
【答案】(1)或
(2)
(3)
【知识点】求不等式组的解集、一元一次方程解的综合应用
【分析】本题考查了解一元一次方程，解一元一次不等式组．理解“活力方程”的定义是解题的关键．
（1）先求出与的解，再根据“活力方程”的定义列出求解即可；
（2）先求出关于x的不等式组的解集，根据题目条件“‘活力方程’的两个解分别为a，b，且a，b分别是关于x的不等式组的最大整数解和最小整数解”得出，，从而可得，最后即可求出的取值范围；
（3）先求出方程与方程的解，再根据“领先方程”的定义得到或，求得的取值范围；根据关于x的不等式组有解且均为非负解，进一步求出的取值范围，最后根据，，求出的代数式即可解答．
【详解】（1）解关于x的方程，得，
解方程，得.
∵关于x的方程和方程是“活力方程”，
∴，
解得或．
（2）解：解关于x的不等式组得，
a，b分别是不等式组的最大整数解和最小整数解，且a，b为“活力方程”的最大整数解和最小整数解
，，
，
．
（3）解：方程的解是，关于x的方程的解是，
∵方程是若关于x的方程的“领先方程”，
∴或，即或，
∵关于x的不等式组有解且均为非负解，
∴，且，
∴．
综上所述，．
解得，
∴，
解得．
考点10：解特殊不等式组
典例10：阅读以下例题：解不等式：
解：①当，则，
即可以写成：解不等式组得：
②当若，则，
即可以写成：解不等式组得：．
综合以上两种情况：原不等式的解集为：或．
以上解法的依据为：当，则同号．
请你模仿例题的解法，解不等式：
(1)；
(2)．
【答案】(1)或
(2)
【知识点】解特殊不等式组、求不等式组的解集
【分析】本题考查了因式分解式不等式的求解，解题的关键在于熟练掌握两式之积大于0，则两式为同号，两式之积小于0则两式为异号．
（1）利用两式之积大于0，推出两式同号，分别列出两个不等式组，按照不等式的大大取大，小小取小即可求出原不等式的解集．
（2）利用两式之积小于0，推出两式异号，分别列出两个不等式组，按照不等式的大小小大取中间，即可求出原不等式的解集．
【详解】（1）解：①当，则，
，解不等式组得．
②当若，则，
，解不等式组得．
原不等式的解集为：或．
（2）解：①当，则，
，
不等式组无解．
②当若，则，
，解不等式组得．
原不等式的解集为：．
【变式1】阅读材料：
李老师给数学兴趣小组布置了这样一个关于不等式的问题：求不等式的解集.
小组成员百思不得其解，这时，李老师提示说：“我们可以利用有理数的运算法则解决这一问题”，话音刚落，聪明的小明就说：“我明白了”！你们想到解决问题的方法了吗？小明是这样做的：根据有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘”.
可得①；或②，
解不等式组①得：，解不等式组②得：，
∴原不等式的解集为：或.
你明白了吗？请结合以上材料解答问题：解不等式.
【答案】
【知识点】解特殊不等式组
【分析】根据有理数相除异号得负，故可得①；②，解不等式组即可．
【详解】解：根据题意可得：
①；②
解不等式组①，得无解
解不等式组②，得
原不等式的解集为
【点睛】本题主要考查了分式不等式，根据有理数除法同号得正，异号得负的法则，判断出分式不等式分子，分母的正负，组成不等式组是解题的关键．
【变式2】阅读下列材料：我们知道表示的是在数轴上数对应的点与原点的距离，即，也就是说，对表示在数轴上数与数0对应点之间的距离．这个结论可以推广为表示在数轴上数，对应点之间的距离．
例1解方程．
解：∵，
∴在数轴上与原点距离为6的点对应的数为，即该方程的解为．
例2解不等式．
解：如图，首先在数轴上找出的解，即到1的距离为2的点对应的数为，3，则的解集为到1的距离大于2的点对应的所有数，所以原不等式的解集为或．
参考阅读材料，解答下列问题：
（1）方程的解为______；
（2）解不等式；
（3）若，则的取值范围是_______；
（4）若，则的取值范围是_______．
【答案】（1）（2）（3）（4）
【知识点】数轴上两点之间的距离、绝对值方程、绝对值的其他应用、解特殊不等式组
【分析】（1）利用绝对值的性质，直接化简进而求出即可；
（2）将原式化解为，首先在数轴上找出的解，即或，则的解集为到-2的距离小于4的点对应的所有数，写出解集即可；
（3）表示到1的点与到-2的点距离和为3，-2与1之间的距离为3，据此可得出答案；
（4）表示数x到1的距离，表示数x到-2的距离，表示数到1的距离减去数x到-2的距离，然后分三者情况讨论y的取值即可．
【详解】解：（1），
，
解得：，
故答案为：；
（2）
，
首先找的解，
即到-2距离为4的点对应的数为-6和2，
表示到-2的距离小于4的点对应的所有数，
不等式解集为；
（3），
表示到1的点与到-2的点距离和为3，
-2与1之间的距离为3，
；
故答案为：；
（4），
表示数x到1的距离，
表示数x到-2的距离，
表示数x到1的距离减去数x到-2的距离，
当x在点1右边时，，
当x在点-2左边时，，
当x在-2到1之间时，，
；
故答案为：．
【点睛】本条考查含有绝对值的方程和不等式的解法，正确对x的范围进行讨论，转化为一般的不等式是关键．
【变式3】对x，y定义一种新的运算G，规定：（其中m≠0），例如：．已知，．
（1）求m，n的值；
（2）若关于正数p的不等式组恰好有3个整数解，求a的取值范围；
（3）请直接写出时，满足条件的与的关系式为_________．
【答案】（1）；（2）；（3）当时，；当时，；当时，．
【知识点】其他问题(二元一次方程组的应用)、解特殊不等式组
【分析】（1）根据新定义可得，，进而得出方程组求解即可；
（2）代入,的值化简，然后根据新的运算列出不等式组并求解，再根据不等式组恰好有3个整数解得出关于的不等式组，计算即可；
（3）根据新运算，分情况列方程求解即可．
【详解】解：（1）由题意得：，，
∴，
∴；
（2）由（1）化简得：，
为正数，
，，
∴不等式组可化为：，
∴，
∵不等式组恰好有3个正整数解，
∴整数解为0，1,2，
∴，
∴；
（3）∵，
∴当时，，
；
当时，，
；
当时，，
，
∴满足条件的与的关系式为：当时，；当时，；当时，.
故答案为：当时，；当时，；当时，.
【点睛】本题考查新定义的运算，解二元一次方程组及解一元一次不等式组，根据新定义的运算列出方程组或不等式组是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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