资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
专题03 多边形及其内角和
（一）多边形相关概念
（1）定义：在平面内，由一些段线首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形．
（2）对角线：从n边形的一个顶点可以引(n－3)条对角线，并且这些对角线把多边形分成了(n－2)个三角形；n边形对角线条数为．
（二）多边形内角和、外角和
（1）内角和：n边形内角和公式为(n－2)·180°
（2）外角和：任意多边形的外角和为360°．
（三）正多边形的相关计算
（1）定义：各边相等，各角也相等的多边形．
（2）正n边形的每个内角为，每一个外角为．
考点1：多边形的概念
典例1：如图所示的图形中，属于多边形的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【变式1】下列图形中，属于多边形的有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【变式2】在平面内， ， 的多边形叫正多边形．
【变式3】(1)十边形的一个顶点的对角线把十边形分成 个三角形．
(2)正多边形是指 ， 的多边形．
考点2：多边形的对角线条数
典例2：八边形的对角线一共有（ ）条
A．20 B．24 C．28 D．40
【变式1】学习了多边形后，我们知道过多边形的一个顶点可作若干条对角线（三角形除外）．如图，过一个顶点，四边形有1条对角线，五边形有2条对角线，六边形有3条对角线……按照此规律，过十二边形一个顶点的对角线有（ ）
A．11条 B．10条 C．9条 D．8条
【变式2】过边形的一个顶点，有8条对角线，边形没有对角线，五边形有条对角线，则的值为 ．
【变式3】从九边形的一个顶点出发，可以引 条对角线，九边形共有 条对角线，九边形的内角和为 ．
考点3：多边形与三角形个数
典例3：过边形的一个顶点可以画条对角线，将它分成个三角形，则的值是（　　）
A． B． C． D．
【变式1】从多边形一条边上的一点（不是顶点）出发，连接各个顶点得到2003个三角形，则这个多边形的边数为（　　）
A．2001 B．2005 C．2004 D．2006
【变式2】如图，从一个多边形的某个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，可以把这个多边形分割成若干个三角形．
（1）根据以上多边形的边数与分割成三角形的个数之间的规律，猜测边形可以分割三角形的个数是 ；
（2）若已知一个多边形，按以上方法可分割成120个小三角形，则多边形的边数 ．
【变式3】填空：
（1）从四边形的一个顶点出发，可以引 条对角线，将四边形分成 个三角形；
（2）从五边形的一个顶点出发，可以引 条对角线，将五边形分成 个三角形；
（3）从六边形的一个顶点出发，可以引 条对角线，将六边形分成 个三角形；
（4）从边形的一个顶点出发，可以引 条对角形，将边形分成 个三角形．
考点4：多边形内角和问题
典例4：如图1所示的是一把木工台锯使用的六角尺，它能提供常用的几种测量角度．在图2的六角尺示意图中，求的值．
【变式1】在四边形中，的度数之比为，，求的度数．
【变式2】如图，在五边形中，，垂足为点E，，，求的度数．
【变式3】阅读小明和小红的对话，解决下列问题
我把一个多边形的各内角相加，得到的和为 多边形的内角和不可能是，我看了你的过程，你多加了一个外角
(1)通过列方程说明“多边形的内角和不可能是”的理由；
(2)求该多边形的内角和；
考点5：多边形截角问题
典例5：若一个四边形截去一个角后，可能为（　　）边形
A．4或5 B．3或4
C．3或4或5 D．4或5或6
【变式1】如图，四边形去掉一个后，剩下的新图形不可能是（ ）边形．
A．三边形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
【变式2】一个多边形截去一个角后，形成一个六边形，那么原多边形边数为 ．
【变式3】若一个多边形截去一个角后，得到的新多边形为十五边形，则原来的多边形边数为 ．
考点6：正多边形内角和问题
典例6：如图，将正五边形纸片折叠，使点与点重合，折痕为，展开后，再将纸片折叠，使边落在线段上，点的对应点为点，折痕为，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】如图，以正方形的边向外作正六边形，连接，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】C60单纯由碳原子结合形成的稳定分子，它的发现最初始于天文学领域的研究，由英国，美国科学家探明和勾画其碳分子结构，于1985年正式制得，它的发现使人类了解到一个全新的碳世界．如图是C60的分子结构图，它具有60个顶点和32个面，其中12个为正五边形，20个为正六边形，其中正六边形的每一个内角的度数是 度．
【变式3】风铃，又称铁马，古称“铎”，常见于中国传统建筑屋檐下（如图①）．风铎的底部可抽象为正六边形（如图②），连接．则 ．
考点7：正多边形外角问题
典例7：如图，一束太阳光线平行照射在地面的正六边形上，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】如图，是某小区花园内用正边形铺设的小路的局部示意图，它的中间区域是一个小正三角形，则（ ）
A． B． C． D．
【变式2】如图，已知是正六边形与正五边形的公共边，连接，则的度数为 ．
【变式3】如图，是某正多边形相邻的三条边，延长交于点，若，则该正多边形的边数为 ．
考点8：多（少）算一个角的问题
典例8：小云求一个多边形的内角和时，少加了一个内角，得到．
(1)求少加的内角的度数．
(2)请通过计算，判断这个多边形能否是正多边形．
【变式1】小马同学平时学习十分马虎，他在计算凸n边形的内角和时：
(1)若少计算一个内角度数，求得多边形的内角和为，则n的值是多少？
(2)若某一内角多计算了一次，求得多边形的内角和为，则n的值是多少？
【变式2】看图回答问题：
(1)内角和为，小明为什么说不可能？
(2)小华求的是几边形的内角和？
(3)错把外角当内角加一起的那个外角的度数你能求出来吗？它是多少度？
【变式3】请根据对话回答问题：
(1)多加的外角是________°；这个凸多边形的边数是________．
(2)求这个多边形的内角和及其对角线条数．
考点9：多边形外角和实际应用
典例9：如图所示，分别以n边形的顶点为圆心，以为半径画圆，当时，则图中阴影部分的面积之和为（　　）

A． B． C． D．
【变式1】“花影遮墙，峰峦叠窗”苏州园林空透的窗棂中蕴含着许多的数学元素．如图是窗棂是冰裂纹窗及这种窗棂中的部分图案．若，，则下列判断中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】如图，孔明在驾校练车，他由点出发向前行驶米到处，向左转．继续向前行驶同样的路程到处，再向左转．按这样的行驶方法，第一次回到点总共行驶了 ．
【变式3】机器人以的速度在平地上按下图步骤行走，该机器人从开始到停止所需时间为 s．

考点10：多边形内角和与外角和综合
典例10：(1)如图①②，试研究其中、与、之间的数量关系；
(2)如果我们把、称为四边形的外角，那么请你用文字描述上述的关系式；
(3)用你发现的结论解决下列问题：
如图③，、分别是四边形的外角、的平分线，，求的度数．
【变式1】【教材呈现】根据如图所示的华师版七年级下册教材第77页部分内容，解答下列问题．
如图9.1．9，一个三角形的每一个外角对应一个相邻的内角和两个不相邻的内角． 三角形的外角与内角有什么关系呢？在图9.1．10中，显然有（外角）（相邻的内角） 那么外角与其他两个不相邻的内角又有什么关系呢？
如图1，请写出与、之间的数量关系，并给出证明．
【拓展延伸】七年级某数学兴趣小组学习了关于三角形外角的性质后，提出问题：四边形的一个外角与它不相邻的三个内角之间具有怎样的数量关系？如图2，已知是四边形的一个外角，直接写出与的数量关系为：______．
【应用提升】如图3，为四边形的一个外角，平分交的角平分线于点F，若，则______°．
【变式2】阅读与思考
阅读下列材料，并完成相应的任务．
多边形分为凸多边形和凹多边形．
如果将一个多边形的任意一条边向两方无限延长成为一条直线时，其他各边都在此直线的同旁，那么这个多边形就叫做凸多边形．
如果一个多边形的所有边中有一条边向两方无限延长成为一条直线时，其他各边不都在此直线的同旁，那么这个多边形就叫做凹多边形．
我们知道，探索多边形内角和的方法是将其转化为三角形，利用三角形内角和获得结论，这一方法也可以用来解决其他求角度的问题．
如图，四边形是凸四边形，探究其内角和的方法是：连接对角线，则四边形内角和就转化为与内角和相加，为．
任务一：在上述阅读材料的探究过程中，体现了数学中的_____．
A．整体思想 B．方程思想
C．转化思想 D．分类讨论思想
任务二：如图1，四边形是凹四边形，请探究与，三个角之间的等量关系．
小明得出的结论是：．请你将下面小明的证明过程补充完整．
证明：如图1，连接并延长到点．
……
任务三：图2中的度数为_____．
【变式3】阅读如图的情景对话，然后解答问题：
(1)根据“内外等比多边形”的定义，请你判断小华提出的命题：“平行四边形一定是内外等比四边形”是真命题还是假命题？并说明理由．
(2)已知内外等比四边形的四个内角分别是，，，，（），请探索a，b，c，d之间的关系式，并说明理由．
(3)请回答小明的问题“三角形中有内外等比三角形吗？哪些三角形是呢？”请说明理由．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
专题03 多边形及其内角和
（一）多边形相关概念
（1）定义：在平面内，由一些段线首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形．
（2）对角线：从n边形的一个顶点可以引(n－3)条对角线，并且这些对角线把多边形分成了(n－2)个三角形；n边形对角线条数为．
（二）多边形内角和、外角和
（1）内角和：n边形内角和公式为(n－2)·180°
（2）外角和：任意多边形的外角和为360°．
（三）正多边形的相关计算
（1）定义：各边相等，各角也相等的多边形．
（2）正n边形的每个内角为，每一个外角为．
考点1：多边形的概念
典例1：如图所示的图形中，属于多边形的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】A
【知识点】多边形的概念与分类
【分析】本题考查多边形，根据多边形定义，逐个验证即可得到答案．
【详解】解：所示的图形中，多边形共有2个，
故选：A．
【变式1】下列图形中，属于多边形的有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】B
【知识点】多边形的概念与分类
【分析】本题考查了多边形的定义，根据多边形的定义进行判断即可，正确理解多边形的定义，平面内不在同一条直线上的几条线段首尾顺次相接组成的图形叫多边形．
【详解】解：根据多边形的定义，平面内不在同一条直线上的几条线段首尾顺次相接组成的图形叫多边形，
∴是多边形，共个，
故选：．
【变式2】在平面内， ， 的多边形叫正多边形．
【答案】 各边都相等 各内角也相等
【分析】根据正多边形的概念即可得出答案．
【详解】如果多边形的各边都相等，各内角也相等，那么就称它为正多边形．
故答案为：各边都相等，各内角也相等．
【点睛】本题考查了正多边形的概念，熟练掌握概念是解题的关键．
【变式3】(1)十边形的一个顶点的对角线把十边形分成 个三角形．
(2)正多边形是指 ， 的多边形．
【答案】 8 各边相等 各角相等
【知识点】多边形的概念与分类、多边形对角线的条数问题
【详解】试题解析：（1）∵过n边形的一个顶点的对角线可以把n边形分成（n-2）个三角形，
∴10-2=8．
（2）正多边形是指各边相等，各角也相等的多边形．
故答案为8，各边相等，各角相等．
考点2：多边形的对角线条数
典例2：八边形的对角线一共有（ ）条
A．20 B．24 C．28 D．40
【答案】A
【知识点】多边形对角线的条数问题
【分析】本题考查了多边形对角线的条数问题，掌握多边形对角线条数的计算公式是解题的关键．根据n边形对角线条数计算公式计算，即得答案．
【详解】当时，，
所以八边形的对角线共有20条．
故选：A．
【变式1】学习了多边形后，我们知道过多边形的一个顶点可作若干条对角线（三角形除外）．如图，过一个顶点，四边形有1条对角线，五边形有2条对角线，六边形有3条对角线……按照此规律，过十二边形一个顶点的对角线有（ ）
A．11条 B．10条 C．9条 D．8条
【答案】C
【知识点】多边形对角线的条数问题
【分析】本题考查了多边形对角线的条数问题，根据从一个多边形一个顶点出发，可以连的对角的条数是边数，即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：四边形从一个顶点出发，可以画条对角线，
五边形从一个顶点出发，可以画条对角线，
六边形从一个顶点出发，可以画条对角线，
∴十二边形从一个顶点出发，可以画条对角线，
故选：C．
【变式2】过边形的一个顶点，有8条对角线，边形没有对角线，五边形有条对角线，则的值为 ．
【答案】216
【知识点】多边形对角线的条数问题
【分析】本题主要考查了多边形的对角线，根据n边形从一个顶点出发可引出条对角线．从n个顶点出发引出条，而每条重复一次，所以n边形对角线的总条数为：，且n为整数，可得到m、n、p的值，进而可得答案．
【详解】解：∵过m边形的一个顶点有8条对角线，
∴，
解得，；
n边形没有对角线，；
∵五边形有p条对角线，
∴，
所以．
故答案为：216．
【变式3】从九边形的一个顶点出发，可以引 条对角线，九边形共有 条对角线，九边形的内角和为 ．
【答案】
【知识点】多边形对角线的条数问题、多边形内角和问题
【分析】本题考查九边形的对角线规律、九边形内角和等知识，根据多边形对角线定义，分析出一个顶点引出的对角线，再由九边形每个顶点均满足同样的性质即可得到答案；再有多边形内角和定理即可求出九边形内角和，熟记九边形对角线定义及对角线数量规律、多边形内角和定理是解决问题的关键．
【详解】解：对于九边形，共有9个顶点，由对角线定义可知，从九边形的一个顶点出发，除去这个点本身及这个点左右相邻的两个顶点（共计3个顶点）不能构成对角线以外，剩余的6个顶点均可以与选中的顶点连线构成对角线，则从九边形的一个顶点出发，可以引6条对角线；
从九边形的一个顶点出发，可以引出6条对角线，当不考虑重复情况时，9个顶点可以引出条对角线，若是九边形的两个顶点，则从顶点引出的一条对角线必定与从顶点引出的一条对角线重合，从而确定九边形共有条对角线；
由多边形内角和定理可知，九边形的内角和为，
故答案为：．
考点3：多边形与三角形个数
典例3：过边形的一个顶点可以画条对角线，将它分成个三角形，则的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、多边形对角线的条数问题、对角线分成的三角形个数问题
【分析】本题考查多边形的对角线，解题的关键是掌握：从边形的一个顶点出发可以引条对角线，这些对角线将边形分成个三角形．据此列式求出，的值，再代入计算即可．
【详解】解：∵过边形的一个顶点可以画出条对角线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的值是．
故选：C．
【变式1】从多边形一条边上的一点（不是顶点）出发，连接各个顶点得到2003个三角形，则这个多边形的边数为（　　）
A．2001 B．2005 C．2004 D．2006
【答案】C
【知识点】对角线分成的三角形个数问题
【分析】根据多边形一条边上的一点（不是顶点）出发，连接各顶点所得三角形数比多边形的边数少1即可求解．
【详解】解：多边形一条边上的一点（不是顶点）出发，连接各个顶点得到2003个三角形，
则这个多边形的边数为2003+1＝2004．
故选：C．
【点睛】本题主要考查多边形的概念，熟练掌握多边形的概念是解题的关键．
【变式2】如图，从一个多边形的某个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，可以把这个多边形分割成若干个三角形．
（1）根据以上多边形的边数与分割成三角形的个数之间的规律，猜测边形可以分割三角形的个数是 ；
（2）若已知一个多边形，按以上方法可分割成120个小三角形，则多边形的边数 ．
【答案】 122
【知识点】图形类规律探索、对角线分成的三角形个数问题
【分析】本题主要考查多边形的性质、图形的规律等知识，发现从n边形的一个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，形成的三角形个数为成为解题的关键．
（1）由所给图形得到分成的三角形的个数和多边形的边数的关系的规律即可解答；
（2）根据（1）得到的规律求得n的值即可．
【详解】解：（1）由图中可以看出：
四边形被分为个三角形，
五边形被分为个三角形，
六边形被分为个三角形，
，
边形被分为个三角形．
故本题答案为：．
（2）当时，．
故答案为：122．
【变式3】填空：
（1）从四边形的一个顶点出发，可以引 条对角线，将四边形分成 个三角形；
（2）从五边形的一个顶点出发，可以引 条对角线，将五边形分成 个三角形；
（3）从六边形的一个顶点出发，可以引 条对角线，将六边形分成 个三角形；
（4）从边形的一个顶点出发，可以引 条对角形，将边形分成 个三角形．
【答案】 1 2 2 3 3 4
【知识点】多边形对角线的条数问题、对角线分成的三角形个数问题
【分析】本题考查多边形的对角线，从一点引对角线的数量，可以考虑一共几个顶点，它本身没有，与它相邻的没有，通过作出图形，对图形中对角线条数和分成的三角形个数进行分析，找出规律，引申归纳出边形中的情况，即可解题．
【详解】（1）解：如图：
从四边形的一个顶点出发，可以引1条对角线，将四边形分成2个三角形，
故答案为：1，2．
（2）解：如图：
从五边形的一个顶点出发，可以引2条对角线，将四边形分成3个三角形，
故答案为：2，3．
（3）解：如图：
从六边形的一个顶点出发，可以引3条对角线，将四边形分成4个三角形，
故答案为：3，4．
（4）解：由前面的规律可知，从多边形的一个顶点出发，可以引对角线的条数为边数减3，可分成三角形个数为边数减2．
从边形的一个顶点出发，可以引条对角形，将边形分成个三角形．
故答案为：，．
考点4：多边形内角和问题
典例4：如图1所示的是一把木工台锯使用的六角尺，它能提供常用的几种测量角度．在图2的六角尺示意图中，求的值．
【答案】
【知识点】多边形内角和问题
【分析】本题考查了多边形的内角和，熟记多边形的内角和公式是解题的关键；根据六边形的内角和列方程求解即可．
【详解】解：由图中数据可知，，
解得：，
所以的值为105．
【变式1】在四边形中，的度数之比为，，求的度数．
【答案】的度数为
【知识点】多边形内角和问题
【分析】本题考查四边形的内角和，设，，，利用四边形内角和为得到x的方程，然后解方程求得x值即可．
【详解】解：设，，．
四边形的内角和为，，
，
，即．
．
答：的度数为．
【变式2】如图，在五边形中，，垂足为点E，，，求的度数．
【答案】
【知识点】多边形内角和问题
【分析】本题考查了多边形的内角和，熟记多边形的内角和公式是解题的关键；设，根据多边形的内角和列方程求解即可．
【详解】解：五边形的内角和是，
设，
，
，
，
，
根据题意得：，
解得，
．
【变式3】阅读小明和小红的对话，解决下列问题
我把一个多边形的各内角相加，得到的和为 多边形的内角和不可能是，我看了你的过程，你多加了一个外角
(1)通过列方程说明“多边形的内角和不可能是”的理由；
(2)求该多边形的内角和；
【答案】(1)见解析；
(2)
【知识点】多边形内角和问题
【分析】本题主要考查多边形的内角和和外角和，掌握多边形内角和的计算方法以及多边形的性质是解答本题的关键．
（1）设多边形的边数为n，根据多边形内角和列方程求解即可；
（2）首先得到该多边形的边数为10，然后利用多边形内角和定理求解即可；
【详解】（1）解：理由：设多边形的边数为n．
，
解得．
∵n为正整数，
∴多边形内角和不可能为；
（2）解：，
依题意：该多边形的边数为10，
，
故该多边形的内角和为.
考点5：多边形截角问题
典例5：若一个四边形截去一个角后，可能为（　　）边形
A．4或5 B．3或4
C．3或4或5 D．4或5或6
【答案】C
【知识点】多边形截角后的边数问题
【分析】本题主要考查了多边形，解题的关键是理解多边形截去一个角的位置可得：比原多边形可能少1条边，可能边的条数不变，也可能增加1条边．
根据多边形截去一个角的位置可得：比原多边形可能少1条边，可能边的条数不变，也可能增加1条边；据此求解即可．
【详解】解：若一个四边形截去一个角后，可能为3或4或5边形．
故选：C．
【变式1】如图，四边形去掉一个后，剩下的新图形不可能是（ ）边形．
A．三边形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
【答案】D
【知识点】多边形截角后的边数问题
【分析】本题考查了多边形，分情况，画出图形即可，能画出符合的所有情况是解题的关键．
【详解】解：如图所示，剩下的新图形可能是①三角形，②四边形，③五边形，不可能是六边形，
故选：D．
【变式2】一个多边形截去一个角后，形成一个六边形，那么原多边形边数为 ．
【答案】5或6或7
【知识点】多边形截角后的边数问题
【分析】实际画图，数形结合，可知六边形可以是五边形，六边形，七边形截去一个角后得到．
【详解】解：如图所示：
六边形可以是五边形，六边形，七边形截去一个角后得到．
故答案为：5或6或7．
【点睛】本题主要考查了多边形，此类问题要从多方面考虑，注意不能漏掉其中的任何一种情况．
【变式3】若一个多边形截去一个角后，得到的新多边形为十五边形，则原来的多边形边数为 ．
【答案】14或15或16
【知识点】多边形截角后的边数问题
【分析】分三种情况进行讨论，得出答案即可．
【详解】解：如图，一个多边形减去一个角后，比原来多边形少了一条边，
∴此时原多边形的边数为；
如图，一个多边形减去一个角后，与原来多边形的边数相同，
∴此时原多边形的边数为15；
如图，一个多边形减去一个角后，比原来多边形多了一条边，
∴此时原多边形的边数为；
综上分析可知，原来的多边形边数为14或15或16．
故答案为：14或15或16．
【点睛】本题主要考查了多边形的边数问题，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论．
考点6：正多边形内角和问题
典例6：如图，将正五边形纸片折叠，使点与点重合，折痕为，展开后，再将纸片折叠，使边落在线段上，点的对应点为点，折痕为，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】正多边形的内角问题、折叠问题
【分析】本题考查了正多边形的内角问题，轴对称的性质，熟练掌握正多边形内角的求法及轴对称的性质是解题的关键．先求得正五边形的内角，再根据轴对称的性质，求得，，最后根据三角形的内角和性质，即可求得答案．
【详解】正五边形的每一个内角为，将正五边形纸片折叠，使点与点重合，折痕为，
，
将纸片折叠，使边落在线段上，点的对应点为点，折痕为，
，，
．
故选：B．
【变式1】如图，以正方形的边向外作正六边形，连接，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角、正多边形的内角问题
【分析】本题考查了正多边形的内角和，等边对等角，三角形内角和定理等知识．熟练掌握正多边形的内角和，等边对等角，三角形内角和定理是解题的关键．
由题意可得，，则，由题意知，，根据，计算求解即可．
【详解】解：∵正方形，
∴，
∵正六边形，
∴，
∴，
由题意知，，
∴，
故选：B．
【变式2】C60单纯由碳原子结合形成的稳定分子，它的发现最初始于天文学领域的研究，由英国，美国科学家探明和勾画其碳分子结构，于1985年正式制得，它的发现使人类了解到一个全新的碳世界．如图是C60的分子结构图，它具有60个顶点和32个面，其中12个为正五边形，20个为正六边形，其中正六边形的每一个内角的度数是 度．
【答案】120
【知识点】正多边形的内角问题
【分析】本题主要考查了多边形的内角和定理，熟练掌握多边形的内角和定理，理解正六边形的性质是解决问题的关键．
首先根据多边形的内角和定理求出正六边形的内角和为，再根据正六边形的6个内角都相等可得出正六边形的每一个内角的度数．
【详解】∵正六边形的内角和为：，
又∵正六边形的6个内角都相等，
∴正六边形的每一个内角的度数是：．
故答案为：120．
【变式3】风铃，又称铁马，古称“铎”，常见于中国传统建筑屋檐下（如图①）．风铎的底部可抽象为正六边形（如图②），连接．则 ．
【答案】/30度
【知识点】等边对等角、正多边形的内角问题
【分析】此题考查了正多边形的性质，内角和的公式，三角形内角和，正确掌握正多边形的性质是解题的关键．根据正六边形的性质求出，，然后根据等腰三角形的性质及三角形内角和即可得到答案．
【详解】解：在正六边形中，
，，
∴，
故答案为：．
考点7：正多边形外角问题
典例7：如图，一束太阳光线平行照射在地面的正六边形上，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形的外角的定义及性质、正多边形的内角问题、正多边形的外角问题
【分析】本题考查正多边形的内角和、外角和的综合应用，平行线的性质．熟练掌握多边形的外角和是，是解题的关键．
如图，求出正六边形的一个内角和一个外角的度数，得到，平行线的性质，得到，三角形的外角的性质，得到，进而求出的度数．
【详解】解：如图：
∵正六边形的一个外角的度数为：，
∴正六边形的一个内角的度数为：，
即：，
∵一束太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上，，
，
，
，
故选：B．
【变式1】如图，是某小区花园内用正边形铺设的小路的局部示意图，它的中间区域是一个小正三角形，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】正多边形的内角问题、正多边形的外角问题
【分析】本题考查了多边形的内角与外角，根据镶嵌满足的条件，在小正方形的顶点处可以拼成求出正边形的一个内角，进而得到一个外角的度数，根据多边形的外角和是即可得出答案，掌握镶嵌满足的条件，在小正方形的顶点处可以拼成是解题的关键．
【详解】解：∵正三角形的一个内角是，
∴正边形的一个内角，
∴正边形的一个外角，
∴，
故选：．
【变式2】如图，已知是正六边形与正五边形的公共边，连接，则的度数为 ．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角、正多边形的内角问题、正多边形的外角问题
【分析】先求出正五边形和正六边形的内角，继而得到，再根据等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理即可求解．
【详解】解：由题意得，，
∴，
由题意得，，，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了多边形的内角与外角，外角和问题，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
【变式3】如图，是某正多边形相邻的三条边，延长交于点，若，则该正多边形的边数为 ．
【答案】
【知识点】正多边形的外角问题
【分析】本题主要考查正多边形和圆，正确记忆相关知识点是解题的关键．由该多边形内角都相等可知该多边形的外角也都相等，先算出外角再计算边数即可．
【详解】解：由该多边形内角都相等可知该多边形的外角也都相等，
，
，
，
则该正多边形的边数为，
故答案为：．
考点8：多（少）算一个角的问题
典例8：小云求一个多边形的内角和时，少加了一个内角，得到．
(1)求少加的内角的度数．
(2)请通过计算，判断这个多边形能否是正多边形．
【答案】(1)150度
(2)不是正多边形
【知识点】多（少）算一个角问题、正多边形的外角问题
【分析】本题考查了多边形的内角与外角;
（1）根据多边形的内角和是的整数倍求出多边形的边数，再由多边形的内角和求出少加的这个内角的度数；
（2）先假设这个多边形是正多边形，根据正多边形的性质，求出正多边形的外角度数，再确定正多边形的边数，得到的边数和（1）中的边数不一致，进而可得出答案．
【详解】（1）解：设这个多边形的边数为n，则，
解得．
∵为正整数，
∴，
∴少加的内角的度数为．
（2）解：若这个多边形是正多边形，则每个外角的度数为，
∴它的边数应等于．
由（1）可知，这个多边形的边数为14，，
∴这个多边形不是正多边形．
【变式1】小马同学平时学习十分马虎，他在计算凸n边形的内角和时：
(1)若少计算一个内角度数，求得多边形的内角和为，则n的值是多少？
(2)若某一内角多计算了一次，求得多边形的内角和为，则n的值是多少？
【答案】(1)；
(2)
【知识点】其他问题(一元一次方程的应用)、多（少）算一个角问题
【分析】本题主要考查了多边形的内角和公式，利用多边形的内角和是的倍数是解题的关键．
(1)设这个多边形的边数是n，重复计算的内角的度数是，根据多边形的内角和公式可知，多边形的内角度数是的倍数，然后利用数的整除性进行求解；
(2)设这个多边形的边数是n，没有计算在内的内角的度数是，根据多边形的内角和公式可知，多边形的内角度数是的倍数，然后利用数的整除性进行求解．
【详解】（1）解：方法一：设少算的那个内角的度数为，则由条件，
得．
因为n为自然数，，且，
故取，
得．
方法二：由条件，得，
且n为自然数，
故．
（2）解：方法一：设多算的那个内角的度数为，
则由条件，得．
因为n为自然数，，且，
故取，得．
方法二：由条件，得，
且n为自然数，
故．
【变式2】看图回答问题：
(1)内角和为，小明为什么说不可能？
(2)小华求的是几边形的内角和？
(3)错把外角当内角加一起的那个外角的度数你能求出来吗？它是多少度？
【答案】(1)见解析
(2)13边形的内角和
(3)能，这个外角为
【知识点】用一元一次不等式解决几何问题、多边形内角和问题、多（少）算一个角问题
【分析】本题主要考查了多边形内角和，一元一次不等式的应用．解决本题的关键是熟练掌握多边形的内角和公式．n边形的内角和是．
（1）n边形的内角和是，因而内角和一定是180度的倍数，据此可进行解答；
（2）设这个多边形的边数为n，根据已知可得，进行求解即可，注意n为正整数；
（3）根据上面的结果求出这个多边形的内角和，再用减去求出的结果，计算即可．
【详解】（1）∵不是的整数倍，
∴小明说不可能．
（2）设这个多边形的边数为n，
由题意，得．
解得．
∵n为整数，
∴．
∴小华求的是13边形的内角和．
（3）∵当时，，
，
∴这个外角为．
【变式3】请根据对话回答问题：
(1)多加的外角是________°；这个凸多边形的边数是________．
(2)求这个多边形的内角和及其对角线条数．
【答案】(1)，13；
(2)内角和是，对角线有65条
【知识点】多边形对角线的条数问题、多边形内角和问题、多（少）算一个角问题
【分析】本题考查多边形的内角和与外角和以及多边形的对角线问题．
（1）根据多边形的内角和公式可得内角和一定是180的倍数，用2024除以180，得到的余数即为多加的外角，再根据多边形的内角和公式可得边数；
（2）用2024减去多加的外角即可得到内角和；根据n边形的对角线条数为求解即可．
【详解】（1）解：∵n边形的内角和是，
∴多边形的内角和一定是180的倍数，
∵，
∴多加的外角是，
这个凸多边形的边数是；
（2）这个多边形的内角和为，
对角线条数为（条），
答：这个多边形的内角和是，对角线有65条．
考点9：多边形外角和实际应用
典例9：如图所示，分别以n边形的顶点为圆心，以为半径画圆，当时，则图中阴影部分的面积之和为（　　）

A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】多边形外角和的实际应用、求扇形面积
【分析】求出2023边形的外角和，即阴影部分的圆心角的和等于，再根据扇形的面积公式求出答案即可．
【详解】解：边形的外角和，
图中阴影部分的面积之和，
故选：B．
【点睛】本题考查了多边形的内角与外角和扇形的面积计算，能求出阴影部分的圆心角的度数和是解此题的关键．
【变式1】“花影遮墙，峰峦叠窗”苏州园林空透的窗棂中蕴含着许多的数学元素．如图是窗棂是冰裂纹窗及这种窗棂中的部分图案．若，，则下列判断中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】多边形外角和的实际应用
【分析】本题考查了多边形的外角和，熟练掌握多边形的外角和定理是解题的关键．根据多边形的外角和为，再结合图形即可解答．
【详解】解：多边形的外角和为，
，
，，
．
故选：A．
【变式2】如图，孔明在驾校练车，他由点出发向前行驶米到处，向左转．继续向前行驶同样的路程到处，再向左转．按这样的行驶方法，第一次回到点总共行驶了 ．
【答案】米
【知识点】多边形外角和的实际应用
【分析】本意主要考查了多边形的外角和定理，即任意多边形的外角和都是．根据题意可知汽车所走的路程正好是一个外角为的多边形的周长，求出多边形的周长即可．
【详解】解：根据题意可知汽车所走的路程正好是一个外角为的多边形的周长，
该多边形的边数为：，
第一次回到点总共行驶了：（米），
故答案为：米．
【变式3】机器人以的速度在平地上按下图步骤行走，该机器人从开始到停止所需时间为 s．

【答案】96
【知识点】正多边形的外角问题、多边形外角和的实际应用
【分析】该机器人所经过的路径是一个正多边形，利用除以，即可求得正多边形的边数，即可求得正多边形的周长，利用周长除以速度即可求得所需时间．
【详解】解：一次向右转，共需(次)才能回到原点．
故行走的路线为正八边形．
行走的路程为，
共需的时间．
故答案为：96．
【点睛】本题考查了正多边形的外角和定理，理解经过的路线为正多边形是解题的关键．
考点10：多边形内角和与外角和综合
典例10：(1)如图①②，试研究其中、与、之间的数量关系；
(2)如果我们把、称为四边形的外角，那么请你用文字描述上述的关系式；
(3)用你发现的结论解决下列问题：
如图③，、分别是四边形的外角、的平分线，，求的度数．
【答案】(1)；(2)四边形的任意两个外角的和等于与它们不相邻的两个内角的和；(3)
【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、多边形内角和与外角和综合
【分析】（1）根据四边形的内角和等于用表示出，再根据平角的定义用表示出，即可得解；
（2）根据（1）的结论，即可求解；
（3）根据（1）的结论求出，再根据角平分线的定义求出，然后利用三角形的内角和定理列式进行计算即可得解．
【详解】（1）解：、、、是四边形的四个内角，
，
，
，，
，
；
（2）答：四边形的任意两个外角的和等于与它们不相邻的两个内角的和；
（3）解：，
，
、分别是、的平分线，
， ，
，
．
【点睛】本题考查了多边形的内角和公式，平角的定义，角平分线的定义，三角形内角和定理的应用，整体思想的利用是解题的关键．
【变式1】【教材呈现】根据如图所示的华师版七年级下册教材第77页部分内容，解答下列问题．
如图9.1．9，一个三角形的每一个外角对应一个相邻的内角和两个不相邻的内角． 三角形的外角与内角有什么关系呢？在图9.1．10中，显然有（外角）（相邻的内角） 那么外角与其他两个不相邻的内角又有什么关系呢？
如图1，请写出与、之间的数量关系，并给出证明．
【拓展延伸】七年级某数学兴趣小组学习了关于三角形外角的性质后，提出问题：四边形的一个外角与它不相邻的三个内角之间具有怎样的数量关系？如图2，已知是四边形的一个外角，直接写出与的数量关系为：______．
【应用提升】如图3，为四边形的一个外角，平分交的角平分线于点F，若，则______°．
【答案】（教材呈现），证明见解析；（拓展延伸）；（应用提升）
【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形内角和定理的应用、多边形内角和与外角和综合
【分析】本题考查三角形与四边形的内角和，三角形的外角，角平分线的定义．
（教材呈现）根据三角形的内角和定理与邻补角互补即可解答；
（拓展延伸）根据四边形的内角和定理与邻补角互补即可解答；
（应用提升）由（教材呈现）可知，由角平分线的定义可得，，又由（拓展延伸）可知，从而，化简即可解答．
【详解】解：（教材呈现）
，
证明：∵，，
∴；
（拓展延伸）
∵，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：；
（应用提升）
由（教材呈现）可知
∵平分，平分
∴，，
由（拓展延伸）可知，
∴，
∴，
∴．
故答案为：
【变式2】阅读与思考
阅读下列材料，并完成相应的任务．
多边形分为凸多边形和凹多边形．
如果将一个多边形的任意一条边向两方无限延长成为一条直线时，其他各边都在此直线的同旁，那么这个多边形就叫做凸多边形．
如果一个多边形的所有边中有一条边向两方无限延长成为一条直线时，其他各边不都在此直线的同旁，那么这个多边形就叫做凹多边形．
我们知道，探索多边形内角和的方法是将其转化为三角形，利用三角形内角和获得结论，这一方法也可以用来解决其他求角度的问题．
如图，四边形是凸四边形，探究其内角和的方法是：连接对角线，则四边形内角和就转化为与内角和相加，为．
任务一：在上述阅读材料的探究过程中，体现了数学中的_____．
A．整体思想 B．方程思想
C．转化思想 D．分类讨论思想
任务二：如图1，四边形是凹四边形，请探究与，三个角之间的等量关系．
小明得出的结论是：．请你将下面小明的证明过程补充完整．
证明：如图1，连接并延长到点．
……
任务三：图2中的度数为_____．
【答案】任务一 ；任务二一 见解析；任务三
【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用、多边形内角和与外角和综合
【分析】本题考查了多边形的内角和外角公式．解题关键掌握多边形的内角和外角关系；
任务一：根据材料中“四边形内角和就转化为和内角和的和”可得答案；
任务二：先证明，，相加即可；
任务三：利用外角的性质，对顶角和三角形内角和定理转化求解．
【详解】解：任务一：根据材料中“四边形内角和就转化为和内角和的和”，可知体现了数学中的转化思想方法，
故答案为：C；
任务二：证明：连接并延长到点．
则为的外角，为的外角，
，
．
，
．
，
．
任务三：如下图：
根据三角形外角的性质得：，
又，
，
又，
．
【变式3】阅读如图的情景对话，然后解答问题：
(1)根据“内外等比多边形”的定义，请你判断小华提出的命题：“平行四边形一定是内外等比四边形”是真命题还是假命题？并说明理由．
(2)已知内外等比四边形的四个内角分别是，，，，（），请探索a，b，c，d之间的关系式，并说明理由．
(3)请回答小明的问题“三角形中有内外等比三角形吗？哪些三角形是呢？”请说明理由．
【答案】(1)真命题，见解析
(2)，见解析
(3)三角形中只有等边三角形是内外等比三角形，见解析
【知识点】等边三角形的判定、多边形内角和与外角和综合、判断命题真假
【分析】本题考查新定义，多边形的内角和外角的关系，理解“内外等比多边形”的定义是解题的关键．
（1）表示出四个内角及四个外角，继而可作出判断；
（2）分别表示出，，，，外角，根据内角中最小，外角中最大，判断是和相邻的外角，继而可得出结论；
（3）设出等比三边形的内角及外角，同（2）表示出各角，寻找关系，最终确定结论．
【详解】（1）解：（1）真命题．理由如下：
设平行四边形的四个内角分别是，，，，
则对应的四个外角度数分别为，，，，
四个内角和四个外角按从小到大排列完全相等，所以它们的比相等．
所以平行四边形一定是内外等比四边形是真命题．
（2）解：，理由如下：
设内外等比四边形的四个外角从小到大分别为，，，，
∵，
又，
∴，
同理，，，
∵内角中最小，外角中最大，
∴是和相邻的外角，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
∴．
（3）解：设内外等比三边形的三个内角分别是，，，（），它的三个外角从小到大分别是，，，
∵，
，，
∴，，，
，，，
∴，，．
∵内角中最小，外角中最大，
∴，
∴（记为①式），
∵内角中最大，外角中最小，
∴，
∴（记为②式），
由①②式可得，
∴，
即，满足，
∴是等边三角形，
∴三角形中只有等边三角形是内外等比三角形
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑