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专题01 平行四边形的性质
（一）平行四边形的性质
平行四边形的性质： 因为ABCD是平行四边形 几何表达式举例： (1) ∵ABCD是平行四边形 ∴AB∥CD AD∥BC (2) ∵ABCD是平行四边形 ∴AB=CD AD=BC (3) ∵ABCD是平行四边形 ∴∠ABC=∠ADC ∠DAB=∠BCD (4) ∵ABCD是平行四边形 ∴OA=OC OB=OD (5) ∵ABCD是平行四边形 ∴∠CDA+∠BAD=180°
考点1：平行四边形的定义及表示
典例1：下面给出了四组四边形中，，，的度数之比，其中能确定四边形为平行四边形的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1】根据所标数据，下列不一定是平行四边形的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】两组对边分别 的四边形叫做平行四边形，它用符号“”表示，平行四边形记作 ．
【变式3】在平面直角坐标系中，平行四边形的三个顶点：点，点，点．用含a，b，m，n的式子表示点B的坐标是
考点2：平行四边形的性质——求角
典例2：如图，在中，作的平分线交 于点E，连接，，若， ，则的度数为 （ ）
A． B． C． D．
【变式1】如图，中，平分，交边于点E，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】如图，将平行四边形纸片按如图方式折叠，使点A落到E处，交于点F，折痕为，若,，则的度数为 ．
【变式3】如图，在平行四边形 中，若 ，则 的度数是 ．
考点3：平行四边形的性质——求线段
典例3：如图，在中，的角平分线交于点E，的角平分线交于点F．若，，则的长是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【变式1】如图，点E为平行四边形的对角线上一点，，连接并延长至点F，使得，连接，则为（ ）
A．2.5 B．3 C．3.5 D．8
【变式2】如图所示，已知是平行四边形的边上一点，将沿直线折叠，点恰好落在边上的点处，如果的周长为，的周长为，那么的长等于 ．
【变式3】如图，中，为对角线，分别以点A、B为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线交于点E，交于点F，若，，则的长为 ．
考点4：平行四边形的性质——求面积
典例4：已知，点E是平行四边形边上一点，且，平行四边形的面积为24，则四边形的面积（ ）．
A．等于9 B．等于12 C．等于16 D．不能确定
【变式1】如图，在中，O是对角线上一点，连结，，若，，，的面积分别为，，，，则下列关于，，，，的等量关系中，不一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】如图，在平行四边形纸片中，，将纸片沿对角线对折至，交边于点E，此时恰为等边三角形，则图中折叠重合部分的面积是 ．
【变式3】如图，在平行四边形中，对角线、交于点，，，，则的面积等于 ．
考点5：平行四边形的性质——折叠问题
典例5：如图，在中，为边上一点，将沿折叠至处，与交于点，若，，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】如图，将平行四边形沿折痕折叠，使点与点重合，若，则的周长为（ ）

A．8 B．10 C．12 D．16
【变式2】如图，在中，将沿折叠后，点D恰好落在的延长线上的点E处若，则为 ．
【变式3】如图，小宇将一张平行四边形纸片折叠，使点落在长边上的点处，并得到折痕，小宇测得长边，则四边形的周长为 ．

考点6：平行四边形的性质——坐标系
典例6：如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】将以点、、、为顶点的平行四边形放置在平面直角坐标系中，若点为坐标原点，点的坐标是，点的坐标是，则点的坐标是（ ）
A．或） B．或
C．或或 D．或或
【变式2】如图，四边形是平行四边形，且，点A的坐标为，点B的坐标为，则点C的坐标为 ．
【变式3】如图，在坐标平面内，的边在x轴的正半轴上，A，C两点的坐标分别为，点B在第一象限，将直线沿y轴向上平移m（）个单位．若平移后的直线与边有交点，则m的取值范围是 ．
考点7：平行四边形的性质——证明题
典例7：四边形 中，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)E是上一点，连接，F在上，连接、，，，求证：；
【变式1】如图，在平行四边形中，于点E，点E为的中点，．点P在BE上，作于点F，连接．
(1)若，求的长；
(2)求证：．
【变式2】在平行四边形中，点、分别是、边的中点，连接、．
(1)如图1，求证：四边形是平行四边形；
(2)如图2，连接，分别交线段、于点、，在不添加任何辅助线和字母的情况下，请直接写出图中全等三角形（除外）．
【变式3】如图，在中，点，分别在，上，，连接与对角线相交于点．
(1)求证：；
(2)连接，为的中点，连接．若，求的长．
考点8：平行四边形的性质综合——最值
典例8：如图，在△ABC中，∠BAC=45°，AB=AC=8，P为AB边上一动点，以PA、PC为边作平行四边形PAQC，则对角线PQ的长度的最小值为（　　）
A．8 B．4 C． D．
【变式1】如图，王老师用四根木棒搭成了平行四边形的框架，量得，固定．逆时针转动，在转动过程中，关于平行四边形的面积变化情况：甲认为：先变大，后变小；乙认为：在转动过程中，平行四边形的面积有最大值，最大值是，则（　　）

A．甲说的对 B．乙说的对 C．甲、乙说的都对 D．甲、乙说的都不对
【变式2】如图，在 ABCD中，AB=2，BC=3，∠ABC=60°，对角线AC与BD交于点O，将直线l绕点O按顺时针方向旋转，分别交AD、BC于点E、F，则四边形ABFE周长的最小值是 ．
【变式3】如图，已知AB=12，点C，D在AB上，且AC=DB=2，点P从点C沿线段CD向点D运动（运动到点D停止），以AP、BP为斜边在AB的同侧画等腰Rt△APE和等腰Rt△PBF，连接EF，取EF的中点G，①△EFP的外接圆的圆心为点G；②四边形AEFB的面积不变；③EF的中点G移动的路径长为4；④△EFP的面积的最小值为8．以上说法中正确的有 ．
考点9：平行四边形的性质综合——动点
典例9：如图，在四边形中，，，，是的中点．点以每秒个单位长度的速度从点出发，沿向点运动，点同时以每秒个单位长度的速度从点出发，沿向点运动，点停止运动时，点也随之停止运动．当运动时间为多少秒时，以点，，，为顶点的四边形是平行四边形．

【变式1】如图1，在平行四边形中，，过点作于点．点从点出发，以每秒个单位的速度沿折线运动，到达点时停止．设点的运动时间为秒，的面积为．
(1)请直接写出与的函数关系式，并注明自变量的取值范围；
(2)在如图2所示的平面直角坐标系中画出y的函数图象，并写出函数y的一条性质：_____
(3)若直线与该函数图象恰有一个交点，则常数的取值范围是_____．
【变式2】如图，在四边形中，，，，．点从点出发，以的速度向点运动；同时点从点出发以的速度向点运动．规定运动时间为秒，当其中一点到达终点时另一点也同时停止运动．
(1) ____，____（分别用含有的式子表示）；
(2)四边形可能是平行四边形吗？说明理由．
(3)当四边形的面积是四边形面积的2倍时，求出的值．
(4)当点与四边形的任意两个顶点所形成的四边形是平行四边形时，直接写出的值．
【变式3】如图，平行四边形的顶点O为坐标原点，A点在轴正半轴上，，，点P从C点出发沿方向，以的速度向点B运动；点Q从A点同时出发沿方向，以的速度向原点运动，其中一个动点达到终点时，另一个动点也随之停止运动．
(1)求点C，B的坐标（结果用根号表示）
(2)从运动开始，经过多少时间，四边形是平行四边形；
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专题01 平行四边形的性质
（一）平行四边形的性质
平行四边形的性质： 因为ABCD是平行四边形 几何表达式举例： (1) ∵ABCD是平行四边形 ∴AB∥CD AD∥BC (2) ∵ABCD是平行四边形 ∴AB=CD AD=BC (3) ∵ABCD是平行四边形 ∴∠ABC=∠ADC ∠DAB=∠BCD (4) ∵ABCD是平行四边形 ∴OA=OC OB=OD (5) ∵ABCD是平行四边形 ∴∠CDA+∠BAD=180°
考点1：平行四边形的定义及表示
典例1：下面给出了四组四边形中，，，的度数之比，其中能确定四边形为平行四边形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】判断能否构成平行四边形
【分析】本题考查了平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
由平行四边形的判定方法直接判断，即可求解．
【详解】解：，
，，
∴四边形是平行四边形，
故选：D．
【变式1】根据所标数据，下列不一定是平行四边形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】判断能否构成平行四边形
【分析】本题考查平行四边形的判定．熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．根据平行四边形的判定方法逐一进行判断即可．
【详解】解：A、根据两组对边分别相等，可得到四边形为平行四边形，不符合题意；
B、根据内错角相等，两直线平行，只得到一组对边平行，不能得到四边形为平行四边形，符合题意；
C、根据对角线互相平分，可得到四边形为平行四边形，不符合题意；
D、根据同旁内角互补，两直线平行，得到四边形的两组对边分别平行，可得到四边形为平行四边形，不符合题意；
故选：B．
【变式2】两组对边分别 的四边形叫做平行四边形，它用符号“”表示，平行四边形记作 ．
【答案】 平行 ABCD
【知识点】利用平行四边形的性质求解
【分析】直接利用平行四边形的定义与表示方法求解即可求得答案．
【详解】解：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
平行四边形ABCD记作“ABCD”．
故答案为：平行；ABCD．
【点睛】本题考查了平行四边形的定义与表示方法．注意熟记平行四边形的定义是解此题的关键．
【变式3】在平面直角坐标系中，平行四边形的三个顶点：点，点，点．用含a，b，m，n的式子表示点B的坐标是
【答案】
【知识点】坐标与图形、利用平行四边形的性质求解、求点沿x轴、y轴平移后的坐标
【分析】本题考查了平行四边形的性质，点坐标的平移．由平行四边形，可知，由点，点，可知通过向右平移个单位，向上平移个单位到，由，可求．
【详解】解：∵平行四边形，
∴，
∵点，点，
∴通过向右平移个单位，向上平移个单位到，
∵，
∴，
故答案为：．
考点2：平行四边形的性质——求角
典例2：如图，在中，作的平分线交 于点E，连接，，若， ，则的度数为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】利用平行四边形的性质求解、等边三角形的判定和性质、全等的性质和SAS综合（SAS）、角平分线的有关计算
【分析】本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，利用平行四边形的性质，角平分线的定义等可求出，证明是等边三角形，可得出，，证明，得出，即可求解．
【详解】解∶∵四边形是平行四边形，
∴，，，，
∴，
又，
∴，，
∵平分，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，，
又，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故选：C
【变式1】如图，中，平分，交边于点E，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】根据平行线的性质求角的度数、利用平行四边形的性质求解
【分析】本题考查了平行四边形的性质、平行线的性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键．先根据平行四边形的性质可得，再根据平行线的性质可得，根据角平分线的定义可得，最后根据平行线的性质求解即可得．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
又∵，
∴，
故选：D．
【变式2】如图，将平行四边形纸片按如图方式折叠，使点A落到E处，交于点F，折痕为，若,，则的度数为 ．
【答案】/40度
【知识点】三角形的外角的定义及性质、利用平行四边形的性质求解、折叠问题
【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），平行四边形的性质，三角形外角的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
根据折叠的性质，平行四边形的性质以及三角形外角的性质即可得到结论．
【详解】解：将平行四边形纸片按如图方式折叠，使点A落到E处，
，，
四边形纸片为平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：
【变式3】如图，在平行四边形 中，若 ，则 的度数是 ．
【答案】/70度
【知识点】利用平行四边形的性质求解
【分析】本题考查了平行四边形的性质．由“在平行四边形中，”可求得与的度数，继而求得答案．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
考点3：平行四边形的性质——求线段
典例3：如图，在中，的角平分线交于点E，的角平分线交于点F．若，，则的长是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【知识点】根据等角对等边求边长、利用平行四边形的性质求解
【分析】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定等知识，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键．先根据平行四边形的性质可得，，根据平行线的性质可得，再根据角平分线的定义可得，从而可得，然后根据等腰三角形的判定可得，最后根据线段和差求解即可得．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，，，
∴，，
∴，
∵平分，平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
【变式1】如图，点E为平行四边形的对角线上一点，，连接并延长至点F，使得，连接，则为（ ）
A．2.5 B．3 C．3.5 D．8
【答案】B
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用平行四边形的性质求解
【分析】本题考查了全等三角形和平行四边形的性质定理与判定定理，过点F作交于点G，再利用全等三角形的判定定理与性质定理结合平行四边形的性质定理与判定定理即可得解．
【详解】解：过点F作交于点G，
∴，
又，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴且，
∴且，
∴四边形为平行四边形，
∴．
故选：B．
【变式2】如图所示，已知是平行四边形的边上一点，将沿直线折叠，点恰好落在边上的点处，如果的周长为，的周长为，那么的长等于 ．
【答案】
【知识点】利用平行四边形的性质求解、折叠问题
【分析】本题考查了平行四边形的性质及翻折变换，由折叠性得，， 根据题意可得，， 则，再根据平行四边形的性质可得，从而求解，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：由折叠性得，，
∵的周长为，的周长为，
∴，，
∴的周长的周长平行四边形的周长，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴ 的周长，
故答案为：．
【变式3】如图，中，为对角线，分别以点A、B为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线交于点E，交于点F，若，，则的长为 ．
【答案】5
【知识点】线段垂直平分线的性质、利用平行四边形的性质求解
【分析】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质和平行四边形的性质．连接，如图，利用基本作图得到垂直平分，则根据线段垂直平分线的性质得到，再根据平行四边形的性质得到，设，则，然后在中利用勾股定理得到，于是解方程得到的长．
【详解】解：连接，如图，
由作法得垂直平分，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，
设，则，
∵，
∴，
在中，，
解得，
即的长为5．
故答案为：5．
考点4：平行四边形的性质——求面积
典例4：已知，点E是平行四边形边上一点，且，平行四边形的面积为24，则四边形的面积（ ）．
A．等于9 B．等于12 C．等于16 D．不能确定
【答案】C
【知识点】利用平行四边形的性质求解
【分析】该题主要考查了平行四边形的面积计算，解题的关键是根据题意画出图形并得出．
根据题意得出即可求解；
【详解】解：如图，过点作交于点H，
则，
∵，
∴
，
故选：C．
【变式1】如图，在中，O是对角线上一点，连结，，若，，，的面积分别为，，，，则下列关于，，，，的等量关系中，不一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】利用平行四边形的性质求解、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）
【分析】本题考查了平行四边形的性质、三角形全等的判定与性质、三角形面积公式，掌握平行四边形的性质是解题的关键．
由平行四边形的性质得出，，即可判断B、C，作于，于，则，证明得出，从而得出，，即可判断A，只有当时，，即可判断D．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，，，
，
∴，故C正确，不符合题意，
，，
，
，故B正确，不符合题意；
如图，作于，于，则，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，，，，
，，
，故A正确，不符合题意；
只有当时，，故D错误，符合题意；
故选：D．
【变式2】如图，在平行四边形纸片中，，将纸片沿对角线对折至，交边于点E，此时恰为等边三角形，则图中折叠重合部分的面积是 ．
【答案】
【知识点】含30度角的直角三角形、勾股定理与折叠问题、利用平行四边形的性质求解
【分析】本题考查了平行四边形的性质和几何图形的翻折问题．根据翻折的性质，及已知的角度，可得为等边三角形，再由四边形为平行四边形，且，从而知道，A，B三点在同一条直线上，再由是对称轴，所以垂直且平分， ，求边上的高，从而得到面积．
【详解】解：∵恰为等边三角形，
∴
∴为等边三角形，
由四边形为平行四边形，且，
∴，所以，，
∴，A，B三点在同一条直线上，
∵是对折线，
∴垂直且平分，
∴，
过点C作，
则有，
∴，
∴，
∴折叠重合部分的面积是．
故答案为：．
【变式3】如图，在平行四边形中，对角线、交于点，，，，则的面积等于 ．
【答案】5
【知识点】含30度角的直角三角形、利用平行四边形的性质求解
【分析】此题考查了平行四边形的性质与三角形的面积，此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．由直角三角形性质可得，再根据平行四边形的性质得出，，再求面积即可．
【详解】解：如图，过点D作，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
故答案为：5
考点5：平行四边形的性质——折叠问题
典例5：如图，在中，为边上一点，将沿折叠至处，与交于点，若，，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理的应用、利用平行四边形的性质求解、折叠问题
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，折叠的性质，三角形内角和定理，熟练运用这些性质是本题的关键．由平行四边形的性质可得，由三角形的内角和定理可求的度数，由折叠的性质可求．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴．
由折叠的性质可得．
故选B．
【变式1】如图，将平行四边形沿折痕折叠，使点与点重合，若，则的周长为（ ）

A．8 B．10 C．12 D．16
【答案】C
【知识点】利用平行四边形的性质求解、折叠问题
【分析】由折叠性质可得，将周长转化为，则问题可解．
【详解】解：∵，
∴，
根据折叠的性质可知，
，则的周长为：
．
故选C．
【点睛】本题考查翻折变换，平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握图形翻折的性质．
【变式2】如图，在中，将沿折叠后，点D恰好落在的延长线上的点E处若，则为 ．
【答案】6
【知识点】折叠问题、利用平行四边形的性质求解、含30度角的直角三角形
【分析】本题考查了折叠的性质，平行四边形的性质，三角形内角和定理，含的直角三角形．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
由折叠的性质与题意可得，，由，可知，则，，进而可求的值．
【详解】解：由折叠的性质可得，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：6．
【变式3】如图，小宇将一张平行四边形纸片折叠，使点落在长边上的点处，并得到折痕，小宇测得长边，则四边形的周长为 ．

【答案】
【知识点】利用平行四边形的性质求解、证明四边形是平行四边形、折叠问题
【分析】可证，从而可得，再证四边形是平行四边形，可得，即可求解．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，
，
由折叠得：，
，，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
．
故答案：．
【点睛】本题考查了平行四边形判定及性质，折叠的性质，掌握相关的判定方法及性质是解题的关键．
考点6：平行四边形的性质——坐标系
典例6：如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】坐标与图形、利用平行四边形的性质求解
【分析】本题考查了平行四边形的性质、坐标与图形，根据平行四边形的性质可得，，结合点的坐标即可得出，点和点的纵坐标相等，从而即可得出答案，熟练掌握平行四边形的性质是解此题的关键．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵点，，，
∴，点和点的纵坐标相等，
∴点的坐标为，
故选：A．
【变式1】将以点、、、为顶点的平行四边形放置在平面直角坐标系中，若点为坐标原点，点的坐标是，点的坐标是，则点的坐标是（ ）
A．或） B．或
C．或或 D．或或
【答案】D
【知识点】坐标与图形、利用平行四边形的性质求解
【分析】本题考查了平面直角坐标系中的平行四边形存在性，熟练掌握此类题型的平移法或中点法是解题的关键．分三种情况进行讨论：当为对角线时，当为对角线时，当为对角线时，分别利用对边的平移方式相同解决即可．
【详解】解：当为对角线时，如图：

利用点到点的平移同点到点的平移方式，
即向右平移个单位，向上平移个单位，
则点平移后为，
即；
当为对角线时，如图：

利用点到点的平移同点到点的平移方式，
即向左平移个单位，向上平移个单位，
则点平移后为，
即；
当为对角线时，如图：

利用点到点的平移同点到点的平移方式，
即向左平移个单位，向下平移个单位，
则点平移后为，
即；
综上，点坐标为或或，
故选：D．
【变式2】如图，四边形是平行四边形，且，点A的坐标为，点B的坐标为，则点C的坐标为 ．
【答案】
【知识点】用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解、坐标与图形综合
【分析】本题考查了学生对平行四边形的性质、勾股定理和坐标与图象性质的理解和掌握，根据四边形是平行四边形，可求出C点的横坐标，再利用勾股定理求出的长，然后即可得出点C的坐标．此题难度不大，属于基础题．
【详解】解：∵点A的坐标为,点B的坐标为,
∴，
∴,
∴,
∴,点C在第二象 限,
∴点C的坐标为.
故答案为： ．
【变式3】如图，在坐标平面内，的边在x轴的正半轴上，A，C两点的坐标分别为，点B在第一象限，将直线沿y轴向上平移m（）个单位．若平移后的直线与边有交点，则m的取值范围是 ．
【答案】/
【知识点】利用平行四边形的性质求解、一次函数图象平移问题
【分析】本题考查了平行四边形的性质，一次函数的平移等知识．熟练掌握平行四边形的性质，一次函数的平移是解题的关键．
设平移后的直线解析式为，由，、、，可得，，当直线过时，，可求，当直线过时，，可求，由平移后的直线与边有交点，可得．
【详解】解：设平移后的直线解析式为．
∵，、、，
∴，．
当直线过时，，
解得：，
当直线过时，，
解得：，
∵平移后的直线与边有交点，
∴，
故答案为：．
考点7：平行四边形的性质——证明题
典例7：四边形 中，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)E是上一点，连接，F在上，连接、，，，求证：；
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用平行四边形的性质证明、证明四边形是平行四边形
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质和判定、全等三角形的判定与性质．
（1）依据题意，由，从而，又有，进而，故有，从而可以得出结论；
（2）依据题意，分别作于点G，于点H，由题意先证明，再证，进而可以得出结论．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形；
（2）证明：分别作于点G，于点H，则，
∵，，，
∴，
∴，
又∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
又∵，
∴．
∴．
【变式1】如图，在平行四边形中，于点E，点E为的中点，．点P在BE上，作于点F，连接．
(1)若，求的长；
(2)求证：．
【答案】(1)；
(2)见解析
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质证明
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，合理做出辅助线，构造全等三角形是解决本题的关键．
（1）由点E为中点，可得，再由已知条件求得，，再利用勾股定理求解即可；
（2）过点A作交于点H，易证，是等腰直角三角形，通过等腰直角三角形斜边和直角边的关系，等量代换可出求证的等式成立．
【详解】（1）解：∵点E为的中点，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，，
∴，
∴，，
∵，
∴；
（2）证明：过点A作交于点H，
则，
∴，
即，
∵，，
且，，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
在中，，
由勾股定理得：，
∴，
∵，
∴，
∴．
【变式2】在平行四边形中，点、分别是、边的中点，连接、．
(1)如图1，求证：四边形是平行四边形；
(2)如图2，连接，分别交线段、于点、，在不添加任何辅助线和字母的情况下，请直接写出图中全等三角形（除外）．
【答案】(1)见解析
(2)、、、
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用平行四边形的性质证明、证明四边形是平行四边形
【分析】（1）根据平行四边形的性质得到且，再根据线段的中点得到，最后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明；
（2）结合平行四边形的性质及全等三角形的判定方法即可找出图中的全等三角形．
【详解】（1）证明：四边形为平行四边形，
∴，，
∵、分别为、的中点，
∴，，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形．
（2）解：∵四边形为平行四边形，
∴，，，
∵、分别为、的中点，
∴，，
∴，
在与中
∴，
∴，
∵，
∴，
∴在与中
∴，
∴，
∵，
∴，
在与中
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴在与中
∴．
综上，图中有以下全等三角形：
、、、．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定、线段的中点，熟练掌握图形的性质和判定是解题的关键．
【变式3】如图，在中，点，分别在，上，，连接与对角线相交于点．
(1)求证：；
(2)连接，为的中点，连接．若，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)4
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用平行四边形的性质证明、与三角形中位线有关的求解问题
【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
（1）由“”可证，可得；
（2）由三角形中位线定理可求的长．
【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
又，
∴，
；
（2）解：∵，
∴，即点O是的中点，
又点为的中点，
∴是的中位线，
∴．
考点8：平行四边形的性质综合——最值
典例8：如图，在△ABC中，∠BAC=45°，AB=AC=8，P为AB边上一动点，以PA、PC为边作平行四边形PAQC，则对角线PQ的长度的最小值为（　　）
A．8 B．4 C． D．
【答案】D
【知识点】平行四边形性质的其他应用
【分析】由平行四边形的性质可知O是PQ中点，PQ最短也就是PO最短，所以应该过O作AB的垂线P′O，然后根据等腰直角三角形的性质即可求出PQ的最小值．
【详解】解：设AC、PQ交于点O，如图所示：
∵四边形PAQC是平行四边形，
∴AO=CO，OP=OQ，
∵PQ最短也就是PO最短，
∴过O作OP′⊥AB于点P′，
∵∠BAC=45°，
∴△AP′O是等腰直角三角形，
∵AO=AC=×8=4，
∴OP′= AO=2，
∴PQ的最小值=2OP′=4，
故选D．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰直角三角形性质以及垂线段最短的性质等知识；解题的关键是作高线构建等腰直角三角形．
【变式1】如图，王老师用四根木棒搭成了平行四边形的框架，量得，固定．逆时针转动，在转动过程中，关于平行四边形的面积变化情况：甲认为：先变大，后变小；乙认为：在转动过程中，平行四边形的面积有最大值，最大值是，则（　　）

A．甲说的对 B．乙说的对 C．甲、乙说的都对 D．甲、乙说的都不对
【答案】C
【知识点】平行四边形性质的其他应用
【分析】如图，作于点M，则平行四边形的面积，可得，即平行四边形的高的最大值是8cm，进而可判断甲乙的说法.
【详解】解：如图，作于点M，
则平行四边形的面积，
∵，，
∴，即平行四边形的高的最大值是8cm，
∴在转动过程中，平行四边形的面积有最大值，最大值是，故乙的说法正确；
在逆时针转动过程中，先逐渐变大，到与相等时，取得最大值，然后又逐渐变小，所以平行四边形的面积先变大，后变小；故甲的说法正确；
所以甲乙的说法都是正确的，
故选：C.

【点睛】本题考查了平行四边形的面积，正确理解题意、得出平行四边形高的变化情况是解题的关键.
【变式2】如图，在 ABCD中，AB=2，BC=3，∠ABC=60°，对角线AC与BD交于点O，将直线l绕点O按顺时针方向旋转，分别交AD、BC于点E、F，则四边形ABFE周长的最小值是 ．
【答案】5+
【知识点】平行四边形性质的其他应用
【分析】作AM⊥BC于M，证明△AOE≌△COF，即可推出四边形ABFE周长，所以当EF最小时，四边形ABFE周长最小即可算出最小值.
【详解】解：作AM⊥BC于M，如下图所示：
∵∠ABC=60°，
∴ ， ，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OA=OC，AD∥CB，
∴∠EAO=∠FCO，
在△AOE和△COF中
，
∴ ，
∴ ，
∴四边形ABFE周长 ，
当EF的值最小时，四边形ABFE周长有最小值，此时EF⊥BC，即的最小值，
∴四边形ABFE周长的最小值是 ．
故答案为．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，结合线段和最短问题，正确转换线段之间的关系表达出周长是解题关键.
【变式3】如图，已知AB=12，点C，D在AB上，且AC=DB=2，点P从点C沿线段CD向点D运动（运动到点D停止），以AP、BP为斜边在AB的同侧画等腰Rt△APE和等腰Rt△PBF，连接EF，取EF的中点G，①△EFP的外接圆的圆心为点G；②四边形AEFB的面积不变；③EF的中点G移动的路径长为4；④△EFP的面积的最小值为8．以上说法中正确的有 ．
【答案】①③
【知识点】平行四边形性质的其他应用、利用平行四边形的性质证明、利用平行四边形的性质求解
【详解】试题解析：如图
，
分别延长AE、BF交于点H．
∵等腰Rt△APE和等腰Rt△PBF，
∴∠A=∠FPB=45°，∠B=∠EPA=45°，
∴AH∥PF，BH∥PE，∠EPF=180°-∠EPA-∠FPB=90°，
∴四边形EPFH为平行四边形，
∴EF与HP互相平分．
∵G为EF的中点，
∴G也为PH中点，
即在P的运动过程中，G始终为PH的中点，
∴G的运行轨迹为△HCD的中位线MN．
∵CD=12-2-2=8，
∴MN=4，即G的移动路径长为4．
故③EF的中点G移动的路径长为4，正确；
∵G为EF的中点，∠EPF=90°，
∴①△EFP的外接圆的圆心为点G，正确．
∴①③正确．
∵点P从点C沿线段CD向点D运动（运动到点D停止），易证∠EPF=90°，所以四边形面积便是三个直角三角形的面积和，设cp=x，则四边形面积S=，
∴AP不断增大，
∴四边形的面积S也会随之变化，故②错误．
④等腰Rt△APE和等腰Rt△PBF，
∠EPF=90°，
AP=PE，BP=PF，
当AP=AC=2时，即PE=，PF=5，
S△PEF最小=PE PF=5，故④错误．
故答案为①③．
考点9：平行四边形的性质综合——动点
典例9：如图，在四边形中，，，，是的中点．点以每秒个单位长度的速度从点出发，沿向点运动，点同时以每秒个单位长度的速度从点出发，沿向点运动，点停止运动时，点也随之停止运动．当运动时间为多少秒时，以点，，，为顶点的四边形是平行四边形．

【答案】或秒
【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、利用平行四边形的性质求解
【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用、平行四边形的判定．因为，所以当时以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，本题要分两种情况考虑：当点 在点右侧时，当Q在点左侧时．
【详解】当点 在点右侧时，
点是的中点，
，
，，
，
解得：；
当Q在点左侧时，
，，
解得：，
综上所述经过秒或秒时以点，，，为顶点的四边形是平行四边形．
【变式1】如图1，在平行四边形中，，过点作于点．点从点出发，以每秒个单位的速度沿折线运动，到达点时停止．设点的运动时间为秒，的面积为．
(1)请直接写出与的函数关系式，并注明自变量的取值范围；
(2)在如图2所示的平面直角坐标系中画出y的函数图象，并写出函数y的一条性质：_____
(3)若直线与该函数图象恰有一个交点，则常数的取值范围是_____．
【答案】(1)
(2)图象见解析，性质：当时，函数有最大值（答案不唯一，合理即可）
(3)或
【知识点】动点问题的函数图象、求一次函数解析式、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解
【分析】本题考查了动点的函数，包括求函数的解析式，画函数图象，根据图象写函数的性质，比较函数值的大小，还考查了平行四边形的性质，勾股定理；
（1）直接确定三角形的底和高求解即可，注意分类讨论；
（2）先确定，，然后连接即可画出图象，再观察函数图象，可以从最值写出函数的一条性质；
（3）通过平移直线，与相交，找到只有一个交点时的临界点，根据函数图象求解即可．
【详解】（1）解：∵在平行四边形中，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵点从点出发，以每秒个单位的速度沿折线运动，到达点时停止，
∴当点到达点时秒，当点到达点时秒，
∴当时，点在线段上，此时，；
当时，点在线段上，
此时，；
∴；
（2）解：函数图象如图：
由函数图象可得，当时，函数有最大值（答案不唯一，合理即可）；
（3）解：平移直线，与相交，函数图象如图：
把代入可得；
把代入可得，解得；
把代入可得，解得；
由函数图象可得，直线与该函数图象恰有一个交点，则常数的取值范围是或．
【变式2】如图，在四边形中，，，，．点从点出发，以的速度向点运动；同时点从点出发以的速度向点运动．规定运动时间为秒，当其中一点到达终点时另一点也同时停止运动．
(1) ____，____（分别用含有的式子表示）；
(2)四边形可能是平行四边形吗？说明理由．
(3)当四边形的面积是四边形面积的2倍时，求出的值．
(4)当点与四边形的任意两个顶点所形成的四边形是平行四边形时，直接写出的值．
【答案】(1)，．
(2)四边形不可能是平行四边形，理由见解析
(3)；
(4)或3或5
【知识点】利用平行四边形的性质求解、几何问题(一元一次方程的应用)
【分析】本题考查了列代数式、一元一次方程的应用、平行四边形的判定和性质，利用分类讨论思想是解决问题的关键．
（1）根据路程等于速度乘以时间，即可求解；
（2）根据平行四边形的性质进行判断即可；
（3）设点到距离为，根据四边形的面积是四边形面积的2倍，可列方程，解方程即可得到答案；
（4）分四种情况讨论，根据平行四边形对边相等，列出一元一次方程，解方程即可．
【详解】（1）解：∵点以的速度由向运动，点以的速度由向运动，
∴，，
∴，
故答案为：，．
（2）四边形不可能是平行四边形，
由题意可得，，若四边形是平行四边形，则，
但是，
∴四边形不可能是平行四边形
（3）解：设点到的距离为，
∵四边形的面积是四边形面积的2倍，
∴可得：，
解得：；
（4）解：若四边形是平行四边形，
∴，
∴可得：，
解得：，
若四边形是平行四边形，
∴，
∴可得：，
解得：，
若四边形是平行四边形，
∴，
∴可得：，
解得：（不合题意，舍去），
若四边形是平行四边形，
∴，
∴可得：，
解得：，
综上可得：当或3或5时，点、与四边形的任意两个顶点所形成的四边形是平行四边形．
【变式3】如图，平行四边形的顶点O为坐标原点，A点在轴正半轴上，，，点P从C点出发沿方向，以的速度向点B运动；点Q从A点同时出发沿方向，以的速度向原点运动，其中一个动点达到终点时，另一个动点也随之停止运动．
(1)求点C，B的坐标（结果用根号表示）
(2)从运动开始，经过多少时间，四边形是平行四边形；
【答案】(1)，
(2)经过秒，四边形是平行四边形
【知识点】利用平行四边形的性质求解、含30度角的直角三角形、写出直角坐标系中点的坐标
【分析】（1）如图，过C作于E，则，，由勾股定理得，，则，由平行四边形，可知，，进而可得；
（2）设从运动开始，经过x秒，四边形是平行四边形，由题意知，，，，由四边形是平行四边形，可得，即，计算求解即可；
【详解】（1）解：如图，过C作于E，
∴，
∴，
由勾股定理得，，
∴，
∵平行四边形，
∴，，
∴；
（2）解：设从运动开始，经过x秒，四边形是平行四边形，
由题意知，，，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，即，
解得：，
∴运动开始，经过秒，四边形是平行四边形；
【点睛】本题考查了含的直角三角形，勾股定理，平行四边形的性质，点坐标，一元一次方程的 应用，菱形的判定等知识．熟练掌握含的直角三角形，勾股定理，平行四边形的性质，点坐标，一元一次方程的应用是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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