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专题02 平行四边形的判定
（一）平行四边形的判定
平行四边形的判定： 几何表达式举例： (1) ∵AB∥CD AD∥BC ∴四边形ABCD是平行四边形 (2) ∵AB=CD AD=BC ∴四边形ABCD是平行四边形 (3)∵∠A=∠B ∠C=∠D ∴四边形ABCD是平行四边形 （4）∵AB=CD AB∥CD ∴四边形ABCD是平行四边形 （5）∵OA=OC OB=OD ∴四边形ABCD是平行四边形
（二）三角形中位线性质
三角形中位线定理：
三角形的中位线平行第三边，并且等于它的一半.
如图：DE=BC
考点1：平行四边形的判定——两组对边平行
典例1：已知：如图，点O是平行四边形的对角线的中点，E，F分别是和上的点，且．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)求证：；
【答案】(1)见解析；
(2)见解析；
【知识点】用SAS证明三角形全等（SAS）、证明四边形是平行四边形、利用平行四边形性质和判定证明
【分析】本题主要考查平行四边形的判定和性质，也考查了全等三角形的判定，熟练掌握相关的判定和性质是解答本题的关键．
（1）直接利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形证明即可；
（2）先利用平行四边形的性质得到，，继而得到，从而得证；
【详解】（1）∵平行四边形，
，
又，
∴四边形是平行四边形；
（2）∵平行四边形，
，，，
又∵四边形是平行四边形，
，
，
，
【变式1】如图，在菱形中，过点作对角线的垂线，交的延长线于点，连接，求证：四边形是平行四边形．

【答案】证明见解析
【知识点】垂直于同一直线的两直线平行、证明四边形是平行四边形、利用菱形的性质证明
【分析】本题考查了菱形的性质，平行线的判定，平行四边形的判定．根据菱形的对边平行，对角线互相垂直得出，，根据垂直于同一直线的两直线平行得出，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可证明．
【详解】证明：∵四边形是菱形，
∴，，
∵，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形．
【变式2】如图所示，点E在四边形的边上，连接，已知，求证：四边形为平行四边形．

【答案】见解析
【知识点】证明四边形是平行四边形、全等的性质和SAS综合（SAS）
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定，先证明，推出，再结合，即可得出结论．
【详解】证明：在和中，
，
∴；
∴，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形．
【变式3】如图，中，点为的中点，是上的一点，且，延长至点，使得，连接．
(1)求证：；
(2)求证：四边形是平行四边形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、证明四边形是平行四边形
【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，熟记判定方法是解本题的关键；
（1）先证明，再按照证明两个三角形全等即可；
（2）先证明，结合即可得到结论．
【详解】（1）证明：点为的中点，
，
在和中，
，，．
；
（2）由（1）证得，
，
，
∵，
四边形是平行四边形．
考点2：平行四边形的判定——两组对边相等
典例2：用六个全等的正三角形拼成如图所示的图形，请找出其中所有的平行四边形，并选择其中之一加以证明．
【答案】，见解析
【知识点】证明四边形是平行四边形
【分析】根据六个全等的正三角形，可得到 ，利用两组对边分别相等的四边形是平行四边形，即可求证．
【详解】解：所有的平行四边形为：，
根据题意得： ，
所以四边形 是平行四边形，
同理：四边形 是平行四边形．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定，等边三角形的性质，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．
【变式1】如图，平行四边形ABCD中，E、F分别是对角线BD上的两点，且BE＝DF，连接AE、AF、CE、CF．四边形AECF是什么样的四边形，说明你的道理．
【答案】四边形AECF是平行四边形，证明见解析.
【知识点】用SAS证明三角形全等（SAS）、利用平行四边形的性质证明、证明四边形是平行四边形
【分析】由四边形ABCD是平行四边形，得到AB＝CD，∠ABE＝∠CDF，再证明，可得 同理可证： 从而可得结论.
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠ABE＝∠CDF，
∵BE＝DF，
∴，
∴AE＝CF，
同理：CE＝AF，
∴四边形AECF是平行四边形．
【点睛】本题考查的是平行四边形的判定，三角形全等的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键.
【变式2】如图，以的各边向同侧作正三角形，即等边、、，连接，．求证:四边形是平行四边形．
【答案】证明见解析
【知识点】证明四边形是平行四边形、等边三角形的性质、全等的性质和SAS综合（SAS）
【分析】本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质以及等边三角形的性质．熟练掌握这些判定与性质是解题的关键．先利用等边三角形性质及手拉手全等模型分别证和，即判断四边形为平行四边形．
【详解】证明：和都是等边三角形，
，，，
，
，
在与中，，
，
，
是等边三角形，
，
，
同理可证，
，
四边形是平行四边形．
【变式3】综合与实践：
某数学活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程：

(1)基础计算：边长为2的等边三角形的面积为 ；
(2)实践操作：如图，在中， ．以为边向外作等边，以为边向外作等边，以为边向上作等边，连接，．
①探究面积：记的面积为，的面积为，则 的值为______；
②深入探究：请证明四边形是平行四边形，并求的度数．
【答案】(1)
(2)①；②证明见解析，
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的性质、用勾股定理解三角形、证明四边形是平行四边形
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，掌握手拉手全等模型是解题的关键．
（1）首先画出等边三角形，然后求出，得到，勾股定理求出，然后利用三角形面积公式求解即可；
（2）①首先得出，，，即可得出答案；
②证明，求出的度数；证明，，得到四边形是平行四边形．
【详解】（1）如图所示，是等边三角形，，，

∵是等边三角形，，
∴，
∴，
∴，
∴的面积；
（2）①同（1）的方法可得，，，
∴，
∵，，
∴，
∴；
②证明：∵和是等边三角形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
同理可得，
∴四边形是平行四边形．
考点3：平行四边形的判定——一组对边平行且相等
典例3：如图，，，点、在上，且．
(1)求证：；
(2)试证明：以、、、为顶点的四边形是平行四边形．
【答案】(1)详见解析
(2)详见解析
【知识点】根据平行线判定与性质证明、全等的性质和SAS综合（SAS）、证明四边形是平行四边形
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定及平行四边形的判定，解答此题的关键是要掌握判定方法．
（1）由全等三角形的判定定理SAS证得；
（2）利用（1）中的全等三角形的对应角相等证得，则，所以根据平行线的判定可以证得．由全等三角形的对应边相等证得，则易证得结论．
【详解】（1）解： ，
，
又 ，
，
，
在与中，
，
；
（2）连接、．
由(1)知，，
，，
，
，
又 ，
以、、、为顶点的四边形是平行四边形．
【变式1】如图，在 中 ，D、E 分别是、的中点，F 是 延长线上的点，且．
(1)图中的平行四边形有哪几个 请选择其中一个进行证明；
(2)与的面积相等吗 请说明理由．
【答案】(1)平行四边形，平行四边形，证明见解析
(2)相等，理由见解析
【知识点】利用平行四边形的性质证明、证明四边形是平行四边形
【分析】此题主要考查了平行四边形的判定和性质，关键是掌握平行四边形的判定定理，掌握平行四边形对角线分成的四个小三角形面积相等．
（1）根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得四边形ADCF是平行四边形，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形是平行四边形；
（2）根据等底等高的三角形面积相等即可证明．
【详解】（1）（1）图中的平行四边形有：平行四边形，平行四边形，
理由是：∵E为的中点，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∵D为的中点，
∴，
∴，，
∴四边形是平行四边形．
（2）由（1）知四边形是平行四边形，
∴ ，
∴．
【变式2】如图，点D，C在上，，，．
(1)求证：；
(2)连接，，猜想四边形的形状，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)四边形为平行四边形，理由见解析
【知识点】根据平行线判定与性质证明、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、证明四边形是平行四边形
【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，解决问题的关键是证明．
（1）利用证明，再根据全等三角形的性质可得；
（2）首先根据全等三角形的性质可得，再根据内错角相等两直线平行可得到，又，可证出四边形为平行四边形．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
即，
在与中，
∴，
∴；
（2）解：猜想：四边形为平行四边形，理由如下：
连接
由（1）知，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形为平行四边形．
【变式3】如图，四边形中，、，过点A作交的延长线于点E．求证：
(1)；
(2)四边形为平行四边形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、全等的性质和SAS综合（SAS）、证明四边形是平行四边形
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定以及性质，平行线的性质以及平行四边形的判定，掌握这些判定定理以及性质是解题的关键．
（1）直接用证明即可．
（2）由（1）得，由全等三角形的性质得出，由平行线的性质得出，由平角的定义得出，由等角的补角相等得出，由等角对等边可得出，等量代换可得出，结合，即可证明四边形为平行四边形．
【详解】（1）证明：∵，，，
∴；
（2）由（1）得，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴四边形为平行四边形．
考点4：平行四边形的判定——对角线互相平分
典例4：如图，的对角线交于点O，过点O交于点E，交于点F，G是的中点，H是的中点，试证明四边形是平行四边形．
【答案】见解析
【知识点】证明四边形是平行四边形、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，证是解题关键．
【详解】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴．
又∵，
∴，
∴．
∵G是的中点，H是的中点，
∴，
∴四边形是平行四边形．
【变式1】如图，在四边形中，对角线与交于点，且，．求证：四边形为平行四边形．
【答案】见解析
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、证明四边形是平行四边形
【分析】本题考查了平行四边形的判定定理，两条对角线互相平分的四边形是平行四边形．如图：，可以得到，，可证，得到，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可以证得结论．
【详解】证明：如图．
，
，，
在和中，
，
，
，
，
四边形为平行四边形．
【变式2】在数学活动课上，学习小组的同学们制作了两个特殊的直角三角板（和），按如图的方式放置，已知，，，连接．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若四边形是菱形，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【知识点】利用菱形的性质求线段长、证明四边形是平行四边形、用勾股定理解三角形
【分析】本题考查了平行四边形判定、菱形的性质、勾股定理等知识．
（1）由题意，利用证明，得到，进而得到，则问题可证；
（2）连接交于点O，先求出，再由面积法得到，再用勾股定理求出，进而求出即可．
【详解】（1）证明：在和中，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形；
（2）解：连接交于点O，

∵四边形为菱形，
∴，，，
在中，，
由(1)知，，
∴，
∵，
∴，
∴
在中，
，
∴，
∴
∴．
【变式3】如图所示，四边形ABCD中，∠A=∠ABC=90°，AD=3，BC=5，E是边CD的中点，连接BE并延长与AD的延长线相交于点F．
(1)求证：四边形BDFC是平行四边形．
(2)若BD=BC，求四边形BDFC的面积．
【答案】(1)见解析
(2)20
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、证明四边形是平行四边形
【分析】（1）根据“同旁内角互补，两直线平行”得出BCAD，再根据“两直线平行，内错角相等”可得∠CBE=∠DFE，然后利用“角角边”证明△BEC和△FCD全等，根据全等三角形对应边相等可得BE=EF，然后利用对角线互相平分的四边形是平行四边形证明即可；
（2）利用勾股定理列式求出AB，然后利用平行四边形的面积公式列式计算即可得．
【详解】（1）证明：∵∠A=∠ABC=90°，
∴BCAD，
∴∠CBE=∠DFE，
又∵E是边CD的中点，
∴CE=DE，
在△BEC与△FED中，
，
∴△BEC≌△FED，
∴BE=FE，
∴四边形BDFC是平行四边形；
（2）解：∵BD=BC=5，∠A=90°，AD=3，
∴AB=，
∴四边形BDFC的面积==5×4=20．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，平行线的判定、全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
考点5：平行四边形的性质与判定综合
典例5：如图，在中，点E，F分别是，的中点，连接，，交于点G，H，连接，．
(1)求证：；
(2)求证：四边形是平行四边形．
【答案】(1)详见解析
(2)详见解析
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用平行四边形性质和判定证明
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形全等的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）由平行四边形的性质可得，，，再证明，即可得证；
（2）由全等三角形的性质可得，再证明．得出，．从而推出．进而得出，即可得证．
【详解】（1）证明：由可得，，，
∵点，分别是边，的中点，
∴，．
∴．
∴．
（2）证明：∵，
∴．
∵四边形是平行四边形，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴，．
∴．
∴．
∴四边形是平行四边形．
【变式1】【问题背景】如图，在等边中，、两点分别在边、上，连接 ，以为边向右作等边，连接．
【初步发现】（1）求证：为等边三角形；
【深入探究】（2）求证：四边形为平行四边形；
【拓展延伸】（3）若，求四边形的面积．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、含30度角的直角三角形、等边三角形的性质、利用平行四边形性质和判定证明
【分析】（）根据等边三角形得和，以及和，则，可证，有，，再证，即可得出结论；
（）由等边三角形得和，则，可得，进一步得，即可得出结论；
（）过作于，则，由（）可知，，求得，结合等边三角形求得和，利用勾股定理得，然后用面积公式即可求解．
【详解】证明：（1）∵是等边三角形，
∴，，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
即，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴是等边三角形；
（2）由（）可知，是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（3）如图，过作于，
则，
由（）可知，，
∵，
∴，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴．
【点睛】此题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定定理、平行四边形的判定定理、勾股定理、含角的直角三角形的性质，解题的关键在熟练掌握相关的性质定理．
【变式2】如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点都在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中按下列步骤完成画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示.
(1)如图1，是与网格线的交点，先画线段交于点，连接，画的中点；
(2)如图2，先过点画的垂线，再画点关于的对称点．
【答案】(1)作图见详解
(2)作图见详解
【知识点】线段垂直平分线的性质、勾股定理与网格问题、平行四边形性质和判定的应用、画轴对称图形
【分析】（1）根据格点格点，平行四边形的性质在格点上取点，连接与网格交点，连接即可得点，根据矩形的性质，利用网格作矩形，可得对角线中点，取线段中点，根据中位线的性质即可求解；
（2）根据格点的特点取直角，运用勾股定理即可作线段的垂线；以为边作平行四边形可得，，延长交格点于点，由此即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，
在格点上取点，连接交格点于点，连接，交于点，连接即为所求线段；
以为对角线作矩形，连接，交于点，则点为线段中点，
∵，
∴取线段中点，连接交于点，
∴点即为所求线段中点；
（2）解：如图所示，
根据格点的特点，分别在格点上取点，有，且，
∴，则
∵，
∴，
∴是直角三角形，，即，
∴即为所求线段的垂直；
如图所示，
已知，连接，以为边作平行四边形，
∴，
∴，延长，交格点于点，
∴点即为所求点的位置．
【点睛】本题主要考查格点与几何图形的变换，掌握平行四边形的性质，勾股定理，格点的特点，轴对称的特点等知识的综合是解题的关键．
考点6：三角形中位线——求角
典例6：如图，在等边中，高，相交于点，连接，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、根据三线合一证明、等边三角形的性质、与三角形中位线有关的求解问题
【分析】此题考查了等边三角形的性质，三角形的中位线定理，以及平行线的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解本题的关键．
由三角形为等边三角形，利用等边三角形的性质得到三条边相等，每一个内角为，再由分别为高，利用三线合一得到分别为的中点，为角平分线，求出的度数，即为三角形的中位线，利用三角形的中位线定理得到与平行，利用两直线平行内错角相等可得出的度数．
【详解】解：∵为等边三角形，
∴，
∵，
∴分别为的中点，为的平分线，
∴为的中位线，
∴，
∴．
故选：D．
【变式1】如图，在中，，点D、E分别是边、的中点，连接、，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角、与三角形中位线有关的求解问题
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形中位线定理等知识，由等边对等角的性质，得到，进而得到，根据三角形中位线定理，可得，，从而推出，即可求解．
【详解】解：，，
，
，
点D、E分别是边、的中点，
是的中位线，
，，
，
，，
，
，
，
，
故选：B．
【变式2】如图，在四边形中，，点是对角线的中点，点和点分别是与的中点．若，则的度数是 ．
【答案】/140度
【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、等边对等角、三角形内角和定理的应用
【分析】此题考查三角形的中位线的性质，等腰三角形的判定及性质，三角形的内角和定理，熟记三角形的中位线的定义及定理是解题的关键．根据中位线定理推出， ，由此得到，推出是等腰三角形，根据三角形的内角和定理求出答案．
【详解】解：∵点是对角线的中点，点、分别是、的中点，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴=，
故答案为：．
【变式3】如图，在中，点、分别是、的中点，若，则的度数为 ．

【答案】
【知识点】与三角形中位线有关的求解问题
【分析】本题考查了三角形中位线定理，根据三角形中位线平行第三边求解即可．
【详解】点、分别是、的中点，
，
，
故答案为：．
考点7：三角形中位线——求线段
典例7：如图，是的中位线，的平分线交于点，连接并延长交于，若，则的长为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】A
【知识点】与三角形中位线有关的求解问题
【分析】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质与判定，根据中位线性质求出，，根据等腰三角形的性质与判定求出，再求出的长，最后可得答案．
【详解】解：∵是的中位线，
∴，，
∵是的平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
【变式1】如图，四边形中，为上一点，连接，点、分别是、的中点，连接，则的长等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】利用平行四边形的判定与性质求解、与三角形中位线有关的求解问题
【分析】本题主要考查了三角形中位线的判定以及性质，平行四边形的判定和性质，先证明，且，再证明四边形是平行四边形，由平行四边形的性质即可得出．
【详解】解：∵点、分别是、的中点，
∴，且，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
故选：B．
【变式2】如图，在中，D，E分别是的中点，交的延长线于点F． 若，，则的长为 ．
【答案】2
【知识点】线段垂直平分线的性质、与三角形中位线有关的求解问题
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线性质、三角形中位线定理等知识点，掌握线段垂直平分线性质和三角形中位线定理是解题的关键．
根据D是的中点，可得，进而求出，再根据三角形中位线定理求解即可．
【详解】解：∵ D是的中点， ，，
∴是的垂直平分线，
∴，
∴，
∵D，E分别是的中点，
∴是的中位线，
∴．
故答案为：2．
【变式3】如图，在中，已知平分于点是的中点．若，，则 ．
【答案】3
【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）
【分析】本题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质，掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．证明，根据全等三角形的性质得到，，进而求出，再根据三角形中位线定理解答即可．
【详解】解：平分，
，
，
，
在和中，
，
∴，
，，
，
，是的中点，
是的中位线，
，
故答案为：3．
考点8：三角形中位线——证明题
典例8：在中，E是的中点，相交于点F，．
(1)求证：四边形为平行四边形；
(2)连接交于点O，若，则的长为_____________．
【答案】(1)见解析
(2)
【知识点】用勾股定理解三角形、证明四边形是平行四边形、与三角形中位线有关的证明
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形的中位线定理、勾股定理等知识点，掌握相关结论是解题关键．
（1）由题意得是的中位线，推出，结合即可求证；
（2）由题意得，，，故可求出，，结合即可求解；
【详解】（1）证明：∵E是的中点，
∴是的中位线，
∴，
即：，
∵，
∴四边形为平行四边形
（2）解：∵是的中位线，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴
故答案为：
【变式1】如图，在中，点D在上，且于点E，点F是的中点．求证：．
【答案】见解析
【知识点】根据三线合一证明、与三角形中位线有关的证明
【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的中位线定理，根据题意可推出点是的中点，结合点F是的中点可得是的中位线，据此即可求证．
【详解】证明：∵
∴点是的中点．
∵点F是的中点．
∴是的中位线，
∴
【变式2】如图，在四边形中，已知，，，分别为边、、、的中点，求证：与互相平分．
【答案】见解析
【知识点】利用平行四边形性质和判定证明、与三角形中位线有关的证明
【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，平行四边形的判定和性质．连接，根据三角形中位线定理可得，从而得到，可证得四边形是平行四边形，即可求证．
【详解】证明：如图，连接，
∵，，，分别为边、、、的中点，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴与互相平分．
【变式3】如图，在中，、分别为边、上的中线，、相交于点G，点M、N分别是、的中点，连接，，求证：．
【答案】见解析
【知识点】与三角形中位线有关的证明
【分析】本题考查三角形中位线的性质，三角形的中位线平行于第三边且等于第三边长度的一半，连接，证明是的中位线，是的中位线，即可证明结论．
【详解】证明：如图，连接，
、为的中线，点M、N分别是，的中点，
，，，，
是的中位线，是的中位线，
，，
．
考点9：三角形中位线——辅助线
典例9：如图，在中，，，点E在射线上（不与点A，B重合），将线段绕点E顺时针旋转，得到线段，连接，取中点F，连接．
(1)如图1，若点E是中点时，点D，B，C恰好在一条直线上，用等式表示线段和的数量关系，并证明；
(2)当点E在射线上时，（1）中的结论是否成立，在图2，图3中任选一种情况完成证明．
【答案】(1)，证明见解析
(2)成立，证明见解析
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的判定和性质、与三角形中位线有关的证明
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，三角形中位线的性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形．
（1）证明，再根据三角形中位线定理可得，从而可得结论；
（2）当点E在上时，延长至G，使，连接，，可证得是等边三角形，从而，可得出是等边三角形，从而，，进而证得，从而，进一步得出结论，同样证得当点E在的延长线上时的情形．
【详解】（1）解：∵是等边三角形，
∴是等边三角形，
∴，
∵点E是的中点，
∴，
∴，
∵线段绕点E顺时针旋转得到线段，
∴，
∴，
∵点D，B，C恰好在一条直线上，
∴，
∴，
∴，
∵点F是的中点，点E是的中点，
∴，
∴；
（2）解：结论仍然成立，理由如下：
如图1，当点E在上时，
延长至G，使，连接，
∵F是的中点，
∴，
∴，
∵线段绕点E顺时针旋转得到线段，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
由（1）知，是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
如图2，当点E在的延长线上时，
延长至G，使，连接，
同理可得，，
∴，
∴．
【变式1】如图，在中，平分，点E是边上一点，连接，交于点F．
(1)若，直接写出的度数；（用含α的式子表示）
(2)在（1）的条件下，试用等式表示的数量关系，并证明．
【答案】(1)
(2)，证明见解析
【知识点】等腰三角形的性质和判定、与三角形中位线有关的证明
【分析】本题考查等腰三角形的性质与判定，三角形的中位线定理；
（1）由等腰三角形三线合一可得，，得到，再由，求出，最后根据计算即可；
（2）取中点，连接，则，是中位线，得到，推出，得到，最后根据推理得到．
【详解】（1）解：∵平分，
∴，，
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
（2）解：，证明如下：
如图，取中点，连接，则，
∵，
∴是中位线，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴．
【变式2】如图，D是等边中边上的一点，连接，在的右侧作，使，，连接．若平分，求的值．
【答案】
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、含30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质、与三角形中位线有关的证明
【分析】本题考查了等边三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，直角三角形的特征，三角形中位线定理等；延长到点F，使，连接，延长到点G，使，连接，由等边三角形的判定方法得为等边三角形，由可判定，由全等三角形的性质，由三角形中位线定理得，由直角三角形的特征得，即可求解；掌握等边三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，直角三角形的特征，三角形中位线定理，能根据题意构建等边三角形及直角三角形是解题的关键．
【详解】解：延长到点F，使，连接，延长到点G，使，连接，
，
，
，
．
，
为等边三角形，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
在和中
，
（），
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【变式3】如图，在四边形中，，M、N分别是的中点，延长与分别交于点E、F．求证：．
【答案】见解析
【知识点】与三角形中位线有关的证明、等腰三角形的性质和判定
【分析】此题主要考查了三角形中位线的性质．熟练掌握三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，正确作出辅助线是解决问题的关键．
取中点G，连接，根据三角形中位线定理可得到，由平行线的性质可得，从而可推出为等腰三角形，从而证得．
【详解】证明：连接，取中点G，连接，
∵点M，N分别是边的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
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专题02 平行四边形的判定
（一）平行四边形的判定
平行四边形的判定： 几何表达式举例： (1) ∵AB∥CD AD∥BC ∴四边形ABCD是平行四边形 (2) ∵AB=CD AD=BC ∴四边形ABCD是平行四边形 (3)∵∠A=∠B ∠C=∠D ∴四边形ABCD是平行四边形 （4）∵AB=CD AB∥CD ∴四边形ABCD是平行四边形 （5）∵OA=OC OB=OD ∴四边形ABCD是平行四边形
（二）三角形中位线性质
三角形中位线定理：
三角形的中位线平行第三边，并且等于它的一半.
如图：DE=BC
考点1：平行四边形的判定——两组对边平行
典例1：已知：如图，点O是平行四边形的对角线的中点，E，F分别是和上的点，且．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)求证：；
【变式1】如图，在菱形中，过点作对角线的垂线，交的延长线于点，连接，求证：四边形是平行四边形．

【变式2】如图所示，点E在四边形的边上，连接，已知，求证：四边形为平行四边形．

【变式3】如图，中，点为的中点，是上的一点，且，延长至点，使得，连接．
(1)求证：；
(2)求证：四边形是平行四边形．
考点2：平行四边形的判定——两组对边相等
典例2：用六个全等的正三角形拼成如图所示的图形，请找出其中所有的平行四边形，并选择其中之一加以证明．
【变式1】如图，平行四边形ABCD中，E、F分别是对角线BD上的两点，且BE＝DF，连接AE、AF、CE、CF．四边形AECF是什么样的四边形，说明你的道理．
【变式2】如图，以的各边向同侧作正三角形，即等边、、，连接，．求证:四边形是平行四边形．
【变式3】综合与实践：
某数学活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程：

(1)基础计算：边长为2的等边三角形的面积为 ；
(2)实践操作：如图，在中， ．以为边向外作等边，以为边向外作等边，以为边向上作等边，连接，．
①探究面积：记的面积为，的面积为，则 的值为______；
②深入探究：请证明四边形是平行四边形，并求的度数．
考点3：平行四边形的判定——一组对边平行且相等
典例3：如图，，，点、在上，且．
(1)求证：；
(2)试证明：以、、、为顶点的四边形是平行四边形．
【变式1】如图，在 中 ，D、E 分别是、的中点，F 是 延长线上的点，且．
(1)图中的平行四边形有哪几个 请选择其中一个进行证明；
(2)与的面积相等吗 请说明理由．
【变式2】如图，点D，C在上，，，．
(1)求证：；
(2)连接，，猜想四边形的形状，并说明理由．
【变式3】如图，四边形中，、，过点A作交的延长线于点E．求证：
(1)；
(2)四边形为平行四边形．
考点4：平行四边形的判定——对角线互相平分
典例4：如图，的对角线交于点O，过点O交于点E，交于点F，G是的中点，H是的中点，试证明四边形是平行四边形．
【变式1】如图，在四边形中，对角线与交于点，且，．求证：四边形为平行四边形．
【变式2】在数学活动课上，学习小组的同学们制作了两个特殊的直角三角板（和），按如图的方式放置，已知，，，连接．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若四边形是菱形，求的长．
【变式3】如图所示，四边形ABCD中，∠A=∠ABC=90°，AD=3，BC=5，E是边CD的中点，连接BE并延长与AD的延长线相交于点F．
(1)求证：四边形BDFC是平行四边形．
(2)若BD=BC，求四边形BDFC的面积．
考点5：平行四边形的性质与判定综合
典例5：如图，在中，点E，F分别是，的中点，连接，，交于点G，H，连接，．
(1)求证：；
(2)求证：四边形是平行四边形．
【变式1】【问题背景】如图，在等边中，、两点分别在边、上，连接 ，以为边向右作等边，连接．
【初步发现】（1）求证：为等边三角形；
【深入探究】（2）求证：四边形为平行四边形；
【拓展延伸】（3）若，求四边形的面积．
【变式2】如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点都在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中按下列步骤完成画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示.
(1)如图1，是与网格线的交点，先画线段交于点，连接，画的中点；
(2)如图2，先过点画的垂线，再画点关于的对称点．
考点6：三角形中位线——求角
典例6：如图，在等边中，高，相交于点，连接，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【变式1】如图，在中，，点D、E分别是边、的中点，连接、，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】如图，在四边形中，，点是对角线的中点，点和点分别是与的中点．若，则的度数是 ．
【变式3】如图，在中，点、分别是、的中点，若，则的度数为 ．

考点7：三角形中位线——求线段
典例7：如图，是的中位线，的平分线交于点，连接并延长交于，若，则的长为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【变式1】如图，四边形中，为上一点，连接，点、分别是、的中点，连接，则的长等于（ ）
A． B． C． D．
【变式2】如图，在中，D，E分别是的中点，交的延长线于点F． 若，，则的长为 ．
【变式3】如图，在中，已知平分于点是的中点．若，，则 ．
考点8：三角形中位线——证明题
典例8：在中，E是的中点，相交于点F，．
(1)求证：四边形为平行四边形；
(2)连接交于点O，若，则的长为_____________．
【变式1】如图，在中，点D在上，且于点E，点F是的中点．求证：．
【变式2】如图，在四边形中，已知，，，分别为边、、、的中点，求证：与互相平分．
【变式3】如图，在中，、分别为边、上的中线，、相交于点G，点M、N分别是、的中点，连接，，求证：．
考点9：三角形中位线——辅助线
典例9：如图，在中，，，点E在射线上（不与点A，B重合），将线段绕点E顺时针旋转，得到线段，连接，取中点F，连接．
(1)如图1，若点E是中点时，点D，B，C恰好在一条直线上，用等式表示线段和的数量关系，并证明；
(2)当点E在射线上时，（1）中的结论是否成立，在图2，图3中任选一种情况完成证明．
【变式1】如图，在中，平分，点E是边上一点，连接，交于点F．
(1)若，直接写出的度数；（用含α的式子表示）
(2)在（1）的条件下，试用等式表示的数量关系，并证明．
【变式2】如图，D是等边中边上的一点，连接，在的右侧作，使，，连接．若平分，求的值．
【变式3】如图，在四边形中，，M、N分别是的中点，延长与分别交于点E、F．求证：．
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