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专题02 图形的旋转
（一）旋转的定义
（1）旋转的概念：在平面内，把一个平面图形绕着平面内一个定点沿某一方向转动一个角度，就叫做图形的旋转．这个定点叫做旋转中心．转动的角叫做旋转角
如图所示，是绕定点逆时针旋转得到的，其中点与点叫作对应点，线段与线段叫作对应线段，与叫作对应角，点叫作旋转中心，（或）的度数叫作旋转的角度.
（2）【注意】旋转中心可以是图形内，也可以是图形外。
（3）【图形旋转的三要素】旋转中心、旋转方向和旋转角.
（二）旋转的性质
旋转的 性质 (1)对应点到旋转中心的距离相等; (2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角; (3)旋转前、后的图形全等
重点 解读 (1)图形中的每一个点都绕旋转中心旋转了同样大小的角度; (2)对应点到旋转中心的距离相等,对应线段相等,对应角相等; (3)图形的大小和形状都没有发生改变,只改变了图形的位置
（三）旋转作图
旋转作图 的依据 (1)任意一对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角; (2)对应点到旋转中心的距离相等
作图要素 (1)原图;(2)旋转中心;(3)旋转方向;(4)旋转角;(5)一对对应点
作图步骤 (1)连:连接原图形中一个关键点与旋转中心. (2)转:根据旋转方向与旋转角度,以(1)中关键点与旋转中心的连线为一边作一个旋转角. (3)截:在该旋转角的另一边上,从旋转中心开始截取此关键点到旋转中心的长度,得到该点的对应点.重复上述操作,作出所有关键点的对应点. (4)接:按原图形顺次连接所得到的各点. 注意:为了避免作图时的混乱,以上连、转、截这三步每个点独立完成后,再进行下一个点的旋转
考点1：旋转的定义
典例1：如图所示的各图中，上方图形可看成由下方图形绕着一个顶点顺时针旋转90°而形成的是(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】判断生活中的旋转现象
【分析】观察图形，根据图形的特征及旋转方向做出判定即可.
【详解】选项A、C顺时针旋转对角线是相交而不是重叠；选项D，顺时针旋转不重叠；只有选项符合题意．故选B．
【点睛】本题考查了旋转图形的性质，熟知旋转图形的性质是解决问题的关键．
【变式1】如果齿轮A以逆时针方向旋转，齿轮E旋转的方向（　　）
A．顺时针 B．逆时针
C．顺时针或逆时针 D．不能确定
【答案】B
【知识点】判断生活中的旋转现象
【分析】根据图示进行分析解答即可．
【详解】齿轮A以逆时针方向旋转，齿轮B以顺时针方向旋转，齿轮C以逆时针方向旋转，齿轮D以顺时针方向旋转，齿轮E以逆时针方向旋转，
故选B．
【点睛】此题考查旋转问题，关键是根据图示进行解答．
【变式2】下列现象中属于旋转的有 （填序号）
①火车在笔直行驶；②荡秋千运动；③地下水位下降；④钟摆的运动；⑤圆规画圆．
【答案】②④⑤
【知识点】生活中的平移现象、判断生活中的旋转现象
【分析】旋转变换：把一个图形绕着某个点旋转一定的角度，得到另一个图形，即为旋转变换；平移变换：把一个图形沿着一定的方向移动一定的距离，即为平移变换．
【详解】解：①火车在笔直行驶，③地下水位下降；是平移；
②荡秋千运动；④钟摆的运动；⑤圆规画圆,属于旋转，
故答案为：②④⑤．
【点睛】本题考查旋转和平移的概念，熟练掌握这两个基础概念是解题的关键．
【变式3】我们在日常生活中有许多行为动作：如①拉抽屉；②拧水龙头；③划小船；④调钟表；⑤推动推拉门；⑥转动方向盘；⑦乘电梯.我们用数学的眼光来看，其中属于旋转的有 .（填序号）
【答案】②④⑥
【知识点】判断生活中的旋转现象
【分析】根据平移的定义，旋转的定义判断即可．
【详解】①拉抽屉，平移运动；②拧水龙头，旋转运动；③划小船，不是旋转运动；④调钟表，旋转运动；⑤推动推拉门，平移运动；⑥转动方向盘，旋转运动；⑦乘电梯，平移运动，
故答案为②④⑥.
【点睛】本题考查了生活中的平移现象，生活中的旋转现象，熟练掌握平移的定义，旋转的定义是解题的关键．
考点2：旋转的性质——旋转中心、旋转角
典例2：如图，已知点，，，，连接，，将线段绕着某一点旋转一定角度，使其与线段重合（点A与点C重合，点B与点D重合），则这个旋转中心的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】找旋转中心、旋转角、对应点、求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标
【分析】本题考查坐标与图形变化-旋转，画出平面直角坐标系，作出新的，的垂直平分线的交点P，点P即为旋转中心．
【详解】解：平面直角坐标系如图所示，旋转中心是P点，，
故选：D．
【变式1】将两块全等的含角的直角三角板按图1的方式放置，已知，固定三角板，然后将三角板绕点C顺时针方向旋转至图2的位置，与分别交于点D、E，与交于点F．当，旋转角的度数是（ ）．

A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】直角三角形的两个锐角互余、三角形内角和定理的应用、找旋转中心、旋转角、对应点
【分析】根据三角形内角和定理得，根据直角三角形性质和对顶角相等得，求出即可．
【详解】解：由题意得到，，
则，
∵，
∴，
∴，
∴，
所以，
即旋转角是．
故选：A
【点睛】此题考查了图形的旋转、三角形内角和定理、直角三角形的性质等知识，熟练掌握三角形内角和定理、直角三角形的性质是解题的关键．
【变式2】如图，在正方形网格中，绕某点旋转一定的角度得到，则旋转中心是点 ．（填“”或“”）
【答案】
【知识点】找旋转中心、旋转角、对应点
【分析】本题考查了找旋转中心，根据网格的特点找到的垂直平分线的交点，即为所求
【详解】解：如图所示，的垂直平分线的交点为，点即为旋转中心
故答案为：．
【变式3】如图，一块含角的直角三角板绕点C顺时针旋转到，当B，C，在一条直线上时，三角板的旋转角度为 ．
【答案】/150度
【知识点】找旋转中心、旋转角、对应点
【分析】此题主要考查了旋转的性质，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，正确得出对应边是解题关键．直接利用旋转的性质得出对应边，再根据三角板的内角的度数得出答案．
【详解】解：∵将一块含角的直角三角板绕点C顺时针旋转到，
∴与是对应边，
∴旋转角．
故答案为：．
考点3：旋转的性质——求角
典例3：如图，在中，，将绕点B逆时针旋转，得到，点D恰好落在AC的延长线上，则旋转角的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角、根据旋转的性质求解
【分析】本题主要考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识点，灵活运用相关性质定理成为解题的关键．
由旋转的性质可知，然后利用等边对等角得，最后由三角形内角和即可求解即可．
【详解】解：由旋转可知∶．
∵点D在的延长线上，
∴．
∵，
∴，
∴，即旋转角的度数为．
故选：B．
【变式1】如图，把绕点C按顺时针方向旋转得．若于点D，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理的应用、根据旋转的性质求解
【分析】本题考查了图形的旋转，三角形内角和定理，根据旋转的性质可得，，再根据三角形内角和定理即可求解出答案．
【详解】解： 绕点C按顺时针方向旋转得，
，，
，
，
，
故选：A．
【变式2】如图，将绕点A逆时针方向旋转一定角度得到，使点落在上，与相交于点．若，，则的大小为 ．
【答案】
【知识点】直角三角形的两个锐角互余、三角形的外角的定义及性质、等边对等角、根据旋转的性质求解
【分析】本题主要考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、三角形外角的性质等知识点，掌握三角形外角的性质成为解题的关键．
由旋转的性质可得、，再根据直角三角形两锐角互余可得，进而得到，然后根据等腰三角形的性质进而得，最后根据三角形外角的性质求解即可．
【详解】解：∵将绕点A逆时针方向旋转一定角度得到，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，解得：．
故答案为：．
【变式3】如图，在中，，点D在斜边上．如果经过旋转后与完全重合，则的度数是 ．
【答案】/19度
【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角、根据旋转的性质求解
【分析】此题重点考查旋转的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识，由旋转得，，，则，所以，求得，推导出是解题的关键．
【详解】解：由题意可知，将顺时针旋转得到，点落在斜边上，
，，，
，
，
故答案为：．
考点4：旋转的性质——求线段
典例4：如图，在等腰中，，，以点B为旋转中心，将BC逆时针旋转得到线段，连接、．若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】含30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解
【分析】过点作于点，由，，，可得，，由旋转可得：，，推出是等边三角形，，，进而得到，，推出，可得，设，则，，在中，由勾股定理列方程求出，即可求解．
【详解】解：过点作于点，
，，，
，，即，
，
由旋转可得：，，
是等边三角形，，，
，，
，
，
，
设，则，，
，
，
在中，由勾股定理得：，即，
解得：，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理，旋转的性质，等边三角形的判定与性质，含度角的直角三角形性质，熟练掌握旋转的性质是解题关键．
【变式1】如图，将绕直角顶点按顺时针方向旋转，得到，点落在的延长线上．若，，点，是，的中点，则的长是（ ）
A． B．4 C．3 D．5
【答案】A
【知识点】用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半、根据旋转的性质求解
【分析】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，勾股定理；先利用勾股定理求出的长，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质求出 ，然后连接、，再根据旋转的性质求出，，再利用勾股定理列式求解即可．
【详解】连接，，
，，
，
是的中点，点是的中点，
，
绕点顺时针旋转得到，点，是，的中点，
∴
又 ，
是等腰直角三角形，
故选：A．
【变式2】如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转得到，连接，则的长度是 ．
【答案】4
【知识点】等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解
【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理的运用，掌握旋转的性质对应边相等，等边三角形的性质，勾股定理求线段长是解题的关键．
如图所示，连接，延长交于点，则，根据旋转的性质可得是等边三角形，则有，是中线，是角平分线，在中，设，则，则，在中，由勾股定理可得，，在中，由勾股定理即可求解．
【详解】解：如图所示，连接，延长交于点，则，
根据旋转可得，，
∴是等边三角形，，
∴，是中线，是角平分线，
在中，，
设，则，
∴，
∴，
在中，，
∴，即，
解得，，（不符合题意，舍去），
∴，
∴，
∵，
∴在中，，
故答案为：4 ．
【变式3】如图，在中，，，，将绕点A逆时针旋转，使点C落在边上的点E处，点B落在点D处，连接．
（1）的长为 ；
（2）的长为 ．
【答案】
【知识点】化为最简二次根式、用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解
【分析】本题考查了勾股定理，旋转的性质，掌握旋转的性质是解题关键．由勾股定理可得，由旋转的性质，得出，，，，再利用勾股定理求解即可．
【详解】解：在中，，，，
，
由旋转的性质可知，，，，，
，，
，
故答案为：，．
考点5：旋转中的坐标与图形变换
典例5：在平面直角坐标系中，将点绕原点顺时针旋转，则点的对应点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、求绕原点旋转90度的点的坐标、坐标系中的旋转
【分析】本题考查了坐标与图形，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，作辅助线构造全等三角形是解题关键．过点作轴于点，轴于点，结合旋转的性质，证明，得到，，即可得到的坐标．
【详解】解：如图，过点作轴于点，轴于点，
由旋转的性质可知，，，
，
轴，轴，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，，
，，
，
故选：A．
【变式1】在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是，，，将绕原点按顺时针方向旋转，得到，其中与对应，与对应，则的坐标是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】全等三角形的性质、根据旋转的性质求解、求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标
【分析】本题考查了坐标与图形，旋转的性质，全等三角形的性质；作轴于，作轴于，可得，进而根据全等三角形的性质得出，结合坐标系，即可求解．
【详解】解：作轴于，作轴于，
根据题意，如图：
，；
将绕原点按顺时针方向旋转，
在直角和直角中，
；
的坐标为
故选：B．
【变式2】如图，在平面直角坐标系中，点B在x轴上，，点A到x轴的距离为4，将绕点O逆时针旋转，得到，则点的坐标是 ．
【答案】
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、根据旋转的性质说明线段或角相等、求绕原点旋转90度的点的坐标
【分析】过点作轴于点，过点作轴于点，先求出，再证明，于是可得，，从而求出点的坐标．
【详解】解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点，
，
，点到轴的距离为4，
，
，
将绕点逆时针旋转，得到，
，，
，
，
，
，
，，
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化旋转，旋转的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识点，添加适当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
【变式3】如图，正比例函数的图象经过，两点，现将线段绕点B顺时针旋转得到线段，则点C的坐标为 .
【答案】
【知识点】正比例函数的性质、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标
【分析】本题考查了正比例函数的性质，全等三角形的判定和性质．利用待定系数法求得正比例函数的解析式，求得，过点作轴的直线，过点和作直线的垂线，垂足分别为和，证明，求得，，据此求解即可．
【详解】解：∵设正比例函数的解析式为，
∴，
解得，
∴正比例函数的解析式为，
∵正比例函数的图象经过，
∴，
∴，
过点作轴的直线，过点和作直线的垂线，垂足分别为和，如图，
∴，，
∵将线段绕点B顺时针旋转得到线段，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
故答案为：．
考点6：旋转作图
典例6：在图中网格上按要求画出图形，并回答问题：
(1)如果将三角形绕点向逆时针方向旋转，使得点、点、点的对应点分别为点、点、点，请画出三角形；
(2)画出三角形关于点成中心对称的三角形；
(3)三角形与三角形 （填“是”或“否”）关于某个点成中心对称？如果是，请在图中画出这个对称中心；如果不是，请描述通过怎样的运动可以使三角形与三角形重合．
【答案】(1)作图见解析
(2)作图见解析
(3)否；可把三角形绕点逆时针旋转可与三角形重合
【知识点】画旋转图形、根据旋转的性质求解、画已知图形关于某点对称的图形
【分析】本题考查了旋转作图，作中心对称图形，掌握旋转和中心对称图形的性质是解题的关键．
（）根据旋转的性质作图即可；
（）根据中心对称图形的性质作图即可；
（）根据中心对称图形的性质可判断三角形与三角形不是关于某个点成中心对称，再根据旋转性质即可求解；
【详解】（1）解：如图所示，三角形即为所求；
（2）解：如图所示，三角形即为所求；
（3）解：三角形与三角形不是关于某个点成中心对称，可把三角形绕点逆时针旋转可与三角形重合，
故答案为：否．
【变式1】如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长为1，三个顶点的坐标分别为，，
(1)的长等于________．
(2)请画出把向左平移2个单位得，并写出点的坐标；
(3)请画出把绕原点旋转得到，并写出点的坐标．
【答案】(1)
(2)见解析，
(3)见解析，
【知识点】已知两点坐标求两点距离、平移(作图)、由平移方式确定点的坐标、画旋转图形
【分析】本题考查作图平移变换、旋转变换，熟练掌握平移、旋转变换的性质是解答本题的关键．
（1）根据勾股定理求解即可；
（2）将三个顶点向左平移2个单位长度得到其对应点，再首尾顺次连接即可，然后写出坐标即可；
（3）作出A、B、C绕原点旋转得到的对应点、、，顺次连接即可，然后写出坐标即可．
【详解】（1）∵，
∴；
（2）如图所示，即为所求；
∴；
（3）如图所示，即为所求；
∴．
【变式2】如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为，，，将绕点P逆时针方向旋转得到，点A的对应点的坐标为，点B的对应点的坐标为．

(1)点P的坐标是 ；（填写正确的选项）
A． B． C．
(2)画出旋转后的，并写出的坐标是 ；
(3)线段的延长线与线段交于点M，直接写出的度数.
【答案】(1)A
(2)图见解析，
(3)
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、画旋转图形、求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标
【分析】此题考查了坐标与图形-旋转变换，旋转的性质，寻找旋转中心，全等三角形的判定与性质，解题的关键是理解题意，画出图形，结合有关性质正确求解．
（1）线段，的垂直平分线的交点P即为所求；
（2）根据要求作出图形，根据图形可得坐标；
（3）根据旋转的性质，即可解决问题．
【详解】（1）解：如图，旋转中心P的坐标为，
故选：A．
（2）解：如图，即为所求作，点坐标为，
故答案为：；
（3）解：由旋转的性质可得，，，
∴
∴，又，
∴，
则．

【变式3】如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是．
(1)将以点B为旋转中心旋转，画出旋转后对应的；
(2)平移，若A的对应点的坐标为，画出平移后的；
(3)若将绕某一点旋转可以得到，请直接写出旋转中心的坐标．
【答案】(1)图见解析
(2)图见解析
(3)
【知识点】平移(作图)、已知点平移前后的坐标，判断平移方式、画旋转图形
【分析】本题考查坐标与图形的变换—旋转与平移：
（1）根据旋转的性质，画出即可；
（2）根据平移的性质，画出即可；
（3）根据旋转的性质，确定旋转中心即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2）∵A的对应点的坐标为，
故将沿着轴，向上平移4个单位得到；
如图，即为所求；
（3）如图，点即为旋转中心坐标为：．
考点7：旋转的综合应用——最值
典例7：如图，中，，，，点E是边上一点，将绕点B顺时针旋转到，连接，则长的最小值是（　　）
A．2 B．2.5 C． D．
【答案】B
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、含30度角的直角三角形、斜边的中线等于斜边的一半、线段问题(旋转综合题)
【分析】取的中点为点D，连接，过点D作，垂足为H，在中，利用含30度角的直角三角形的性质可求出的长，的度数，再根据线段的中点定义可得，从而可得，然后利用旋转的性质可得：，，从而利用等式的性质可得，进而利用证明，最后利用全等三角形的性质可得，再根据垂线段最短，即可解答．
【详解】解：取的中点为点D，连接，过点D作，垂足为H，
∴，
∵，，，
∴，
∵点D是的中点，
∴，
∴，
由旋转得：，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
当时，即当点E和点H重合时，有最小值，且最小值为2.5，
∴长的最小值是2.5，
故选：B．
【点睛】本题考查了旋转的性质，垂线段最短，全等三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
【变式1】如图，在RtABC中，∠ABC=90°，AB=BC，点P在ABC内一点，连接PA，PB，PC，若∠BAP=∠CBP，且AP=6，则PC的最小值是（ ）
A．2 B．3 C．3-3 D．3
【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、线段问题(旋转综合题)
【分析】把△BPC绕点B逆时针旋转90°得到△ABP’，连接PP’，得到△PP’B是等腰直角三角形，再由当P’、P、C在同一直线上，且AP’⊥P’C时，AP’最短，故可得到△APP’是等腰直角三角形，找到PC与AP的关系即可求解．
【详解】把△BPC绕点B逆时针旋转90°得到△ABP’，连接PP’
则AP’=PC，BP=BP’，∠PBP’=90°，∠AP’B=∠CPB
故△PP’B是等腰直角三角形
∴∠PP’B=45°
∵∠BAP=∠CBP
∴∠BAP=∠ABP’
∴BP’AP
∴∠APB=90°
当P’、P、C在同一直线上，且AP’⊥P’C时，AP’最短
∴∠AP’B=90°+45°=135°
∴∠PAP’=180°-∠AP’B=45°
∴△APP’是等腰直角三角形
∴AP=AP’=6
∴PC=AP’=3
故选D．
【点睛】此题主要考查旋转的综合运用，解题的关键是根据题意找到AP’最短的情况．
【变式2】如图，将线段绕点B逆时针旋转得到线段，点D是平面内一动点，且D、B两点之间的距离为5，连接、，则的最小值为 ．
【答案】
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、角度问题(旋转综合题)
【分析】把绕点B顺时针旋转，交的延长线于点，过点B作，则，，利用等量代换可得，从而证得，可得，即的最小值为的值，再根据等腰三角形的性质可得，，根据直角三角形的性质和勾股定理求得，即可求解．
【详解】解：如图，把绕点B顺时针旋转，交的延长线于点，过点B作，则，，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴的最小值为的值，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查旋转的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质及勾股定理，根据旋转的性质构造全等三角形是解题的关键．
【变式3】如图，在矩形中，，连接，将线段绕着点A顺时针旋转得到，则线段的最小值为 ．
【答案】/
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、用勾股定理解三角形、线段问题(旋转综合题)
【分析】连接，过点A作，截取，连接，通过证明，得，再求出的长．最后在中，利用三边关系即可得出答案．
【详解】如图，连接，过点A作，截取，连接，
∵将线段绕着点A顺时针旋转得到，
∴，
∴，
∴．
又∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
∴在中，．
∵，
∴．
∵，且当点G，P，E三点共线时取等号，
∴的最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系等知识，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．
考点8：旋转的综合应用——周期
典例8：如图是两个完全重合的矩形，将其中一个始终保持不动，另一个矩形绕其对称中心按逆时针方向进行旋转，第一次旋转后得到图①，第二次旋转后得到图②，…，则第次旋转后得到的图形与图①～④中相同的是（ ）
A．图① B．图② C．图③ D．图④
【答案】B
【知识点】图形类规律探索、旋转中的规律性问题、中心对称图形规律问题
【分析】探究规律后利用规律解决问题即可．
【详解】观察图形可知每4次循环一次，，
∴第2022次旋转后得到的图形应与图②相同，
故选：B．
【点睛】本题考查中心对称、旋转变换，规律型问题，解题的关键是理解题意，学会探究规律利用规律解决问题．
【变式1】如图是一个装饰连续旋转闪烁所成的四个图形，照此规律闪烁，第2021次闪烁呈现出来的图形是（　　）
A．B． C． D．
【答案】A
【知识点】旋转中的规律性问题
【分析】观察图形的变化易得每旋转一次的度数，根据阴影所处的位置可得相应选项．
【详解】解：观察图形的变化可知：每旋转一次，旋转角为90°，即每4次旋转一周，
∵2021÷4＝505...1，
即第2021次与第1次的图案相同．
故选：A．
【点睛】此题考查了图形的变换规律问题，解题的关键是找到图形旋转的规律周期．
【变式2】有一个正六面体骰子，放在桌面上，将骰子按如图所示的顺时针方向滚动，每滚动90°算一次，则滚动第2019次后骰子朝下一面的点数是 ．

【答案】5
【知识点】正方体相对两面上的字、旋转中的规律性问题
【分析】观察图形知道点数三和点数四相对，点数二和点数五相对且四次一循环，从而确定答案．
【详解】解：观察图形知道点数三和点数四相对，点数二和点数五相对且滚动四次一循环，
∵2019÷4=504…3，
∴滚动第2019次后与第三次相同，
∴朝下的数字是2的对面5，
故答案为：5．
【点睛】本题考查了正方体相对两个面上的文字及图形的变化类问题，解题的关键是发现规律．
【变式3】如图，一个机器人最初面向北站立，按程序：每次移动都向前直走，然后逆时针转动一个角度，每次转动的角度增加．第一次直走后转动，第二次直走后转动，第三次直走后转动，如此下去．那么它在移动过程中第二次面向西方时一共走了 米．
【答案】45
【知识点】数字类规律探索、旋转中的规律性问题
【分析】根据走路规律，求出走的次数即可解得．
【详解】解：设第n次转动面向西方，
第二次面向西方时一共转了，
当时第二次面向西方，
一共走了（米）；
故答案为：45．
【点睛】此题考查了行程规律问题，解题的关键时根据规律列式求出走的次数．
考点9：旋转的综合应用——规律探究
典例9：将按如图方式放置在平面直角坐标系xOy中，其中，，顶点A的坐标为，将绕原点逆时针旋转，每次旋转，则第2024次旋转结束时，点A对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、坐标与旋转规律问题
【分析】本题考查坐标与图形变化-旋转，根据每次旋转可知6次一个循环，分别求出第一次到第六次的点A的坐标，利用规律解决问题即可．
【详解】解：如图，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∵将绕原点逆时针旋转，每次旋转，
∴第一次旋转后的坐标为，
第二次旋转后的坐标为，
第三次旋转后的坐标为，
第四次旋转后的坐标为，
第五次旋转后的坐标为，
第六次旋转后的坐标为，
，
6次一个循环，
∵，
∴第2024次旋转结束时，点A对应点的坐标为，
故选：C．
【变式1】如图，把正方形铁片置于平面直角坐标系中，顶点A的坐标，点在正方形铁片上，将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转，第一次旋转至图①位置，第二次旋转至图②位置，…，则正方形铁片连续旋转2019次后，则点P的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】坐标与旋转规律问题
【分析】本题考查图形与坐标规律，读懂题意，数形结合，找到坐标规律是解决问题的关键．
按照题意，连接右下角轴上的点与，如图所示，由旋转性质逐步求出各个位置时点的坐标，找到循环规律求解即可得到答案．
【详解】解：如图所示：
点 ，点，
，则，
由旋转的性质可得，
第一次；
如图所示：
，
，则由旋转的性质可得，
第二次，
如图所示：
，
，则由旋转的性质可得，
第三次，
如图所示：
，
，则由旋转性质可得，
第四次，
…
数形结合，发现点的位置4次一个循环，每循环一次横坐标增加12，
∵，
的纵坐标与相同为，横坐标为，
∴，
故选：A．
【变式2】如图，在平面直角坐标系中，等边顶点的坐标为，将绕点顺时针方向旋转，同时边扩大为原来的2倍，得到，再将作相同变换得到，…，依次类推，则点的坐标为 ．
【答案】
【知识点】坐标与旋转规律问题
【分析】本题考查了点坐标的规律探索、图形的旋转，正确归纳类推出一般规律是解题关键．先根据旋转的性质确定第2025次旋转后，点位于轴的正半轴上，再归纳类推出第次旋转后，（为正整数），由此即可得．
【详解】解：∵点的坐标为，
∴，
∵每次旋转角度为，
∴6次旋转，
∵，点位于轴的正半轴上，
∴第2025次旋转后，点位于轴的正半轴上，
由题意可知，第1次旋转后，，
第2次旋转后，，
第3次旋转后，，
归纳类推得：第次旋转后，（为正整数），
∴第2025次旋转后，，
∴点的坐标为，
故答案为：．
【变式3】如图，在中，顶点在轴的负半轴上，，，，将绕点逆时针旋转，每次旋转90°，则第6次旋转结束时点的坐标是 ．
【答案】
【知识点】用勾股定理解三角形、坐标与旋转规律问题
【分析】本题主要考查了勾股定理，点的坐标旋转规律， 正确找到规律是解题的关键．
先利用勾股定理求出点A的坐标，再根据题意得到规律每4次为一个循环，点B回到起始位置，则第6次旋转结束时点的坐标与第2次旋转点B的位置相同，即相当于把点B绕点A逆时针旋转，由此求解即可．
【详解】解：设点A的坐标为，
∴，
∵，
∴，
∴（正值舍去），
∴，
∵将绕点A逆时针旋转，每次旋转，
∴每4次为一个循环，点B回到起始位置，
∵，
∴ 第6次旋转结束时点的坐标与第2次旋转点B的位置相同，即相当于把点B绕点A逆时针旋转，
∴此时点B的对应点与点关于对称，
∴此时点B的对应点坐标为，
故答案为：．
考点10：旋转的综合应用——几何综合
典例10：如图是实验室中的一种摆动装置，在地面上，支架是底边为的等腰直角三角形，摆动臂可绕点旋转，摆动臂可绕点旋转，，．

(1)在旋转过程中，
当，，三点在同一直线上时，求的长．
当，，三点为同一直角三角形的顶点时，求的长．
(2)若摆动臂顺时针旋转，点的位置由外的点转到其内的点处，连结，如图，此时，，求的长．
【答案】(1)①或；②或；
(2)．
【知识点】用SAS证明三角形全等（SAS）、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、线段问题(旋转综合题)
【分析】 当，，三点在同一直线上时，分点在上和点在的延长线上，两种情况计算；当，，三点为同一直角三角形的顶点时，分为直角边和为斜边两种情况计算；
连接，根据可以求出，利用勾股定理可以求出，利用可证，根据全等三角形对应边相等可得．
【详解】（1）解：当，，三点在同一直线上时，
若点在的延长线上，
则，
若点在上，
则，
综上所述的长为或；
当，，三点为同一直角三角形的顶点时，
若为直角边，
则，
若为斜边，
，
综上所述当，，三点为同一直角三角形的顶点时，的长为或；
（2）解：如图所示，连接，

，，
，，
，
，
在中，，
，
，
，
在和中，
，
．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是添辅助线，构造全等三角形解决问题．
【变式1】如图1，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD=AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．
(1)观察猜想：图1中，请判断线段PM与PN的数量关系和位置关系，并说明理由；
(2)探究证明：把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形状，并说明理由；
(3)拓展延伸：把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD=3，AB=7，请直接写出△PMN面积的最大值．
【答案】(1)PM=PN，PM⊥PN．理由见解析
(2)△PMN是等腰直角三角形．理由见解析
(3)S△PMN最大=
【知识点】旋转模型(全等三角形的辅助线问题)、与三角形中位线有关的求解问题、面积问题(旋转综合题)
【分析】（1）利用三角形的中位线得出由可得出再根据三角形的中位线知得到
由从而得出即可得到结论．
（2）先判断出得出同（1）类似方法即可得出结论．
（3）先判断出BD最大时，的面积最大，而BD最大是即可得出结论．
【详解】（1）理由：
∵点P，N是BC，CD的中点，
∵点P，M是CD，DE的中点，
∵AB=AC，AD=AE，
∴BD=CE，
∴PM=PN，
∴∠DPN=∠ADC，
∴∠DPM=∠DCA，
∵∠BAC=90°，
∴∠ADC+∠ACD=90°，
∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCA+∠ADC=90°，
故答案为：
（2）△PMN是等腰直角三角形．
理由如下：
由旋转知，∠BAD=∠CAE，
∵AB=AC，AD=AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD=∠ACE，BD=CE，
利用三角形的中位线得，PN=BD，PM=CE，
∴PM=PN，
∴△PMN是等腰三角形，
同（1）的方法得，PM∥CE，
∴∠DPM=∠DCE，
同（1）的方法得，PN∥BD，
∴∠PNC=∠DBC，
∵∠DPN=∠DCB+∠PNC=∠DCB+∠DBC，
∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCE+∠DCB+∠DBC
=∠BCE+∠DBC=∠ACB+∠ACE+∠DBC
=∠ACB+∠ABD+∠DBC=∠ACB+∠ABC，
∵∠BAC=90°，
∴∠ACB+∠ABC=90°，
∴∠MPN=90°，
∴△PMN是等腰直角三角形；
（3）把绕点A旋转到如图所示的位置时，
由（2）知，△PMN是等腰直角三角形，PM=PN=BD，
∴PM最大时，△PMN面积最大，
∴点D在BA的延长线上，
∴BD=AB+AD=10，
∴PM=5，
∴S△PMN最大=PM2=×52=
【点睛】本题主要考查了三角形的中位线定理，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和质，属于几何变换综合题，熟练掌握这些性质和判定是解此题的关键．
【变式2】如图1，在中，，，点D、E分别在边、上，且，连接．现将绕点A顺时针方向旋转，旋转角为，分别连接、．
(1)如图2，当时，求证：；
(2)如图3，当时，延长交于点F，求证：垂直平分；
(3)连接，在旋转过程中，求的面积的最大值，并写出此时旋转角α的度数．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)的面积的最大值为，旋转角
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和判定、角度问题(旋转综合题)
【分析】（1）利用“”证得，即可得到结论；
（2）利用“”证得，推出，进而得出，再结合勾股定理，得出，利用等腰三角形“三线合一”的性质即可得到结论；
（3）观察图形，当点D在线段的垂直平分线上时，的面积取得最大值，利用等腰直角三角形的性质结合三角形面积公式即可求解．
【详解】（1）证明：由题意得，，，，
，
，
在和中，
，
，
；
（2）证明：根据题意：，，，
在和中，
，
，
，且，
，
，
，
，，，
，，
，
，
是线段的垂直平分线；
（3）解： 在中，边的长是定值，则边上的高取最大值时，的面积有最大值，
当点D在线段的垂直平分线上时，的面积取得最大值，如图，
，，，，
，，
，，
的面积的最大值为：，
此时旋转角．
【点睛】本题是几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，垂直平分线的判定和性质等知识，寻找全等三角形，利用数形结合的思想解决问题是解题关键．
【变式3】 已知：如图 1， 中， ，D、E分别是、上的点， 不难发现、的关系．
(1)将 绕A 点 旋转到图2 位 置时，写出、的 数量关系 ；
(2)当 时，将 绕 A 点 旋转到图3 位置．
①猜想与有什么数量关系和位置关系 请就图3 的情形进行证明；
②当点 C、D、E 在同一直线上时，直接写出的度数 ．
【答案】(1)
(2)①，，证明见解析，②或
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边对等角、其他问题(旋转综合题)
【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质．
（1）证明，即可作答；
（2）①同理先证明，即有，，在和中，根据，，即有，则有，问题得解；②分两种情况：第一种：当点 C、D、E 在同一直线上，且点D在线段上时，第二种：当点 C、D、E 在同一直线上，且点E在线段上时，画出图形，结合在等腰中，，以及，即可作答．
【详解】（1）∵，
即，
在和中，，，，
∴
∴；
（2）①，，
证明：如图，交于点F，交于点M，
∵，
∴，
即，
在和中，，，，
∴
∴，，
在和中，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
因此，；
②如图，
当点 C、D、E 在同一直线上，且点D在线段上时，如图I所示，
在等腰中，，
∵，
∴，
∴；
当点 C、D、E 在同一直线上，且点E在线段上时，如图II所示，
在等腰中，，
∵，
∴，
∴；
故的度数为：或．
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专题02 图形的旋转
（一）旋转的定义
（1）旋转的概念：在平面内，把一个平面图形绕着平面内一个定点沿某一方向转动一个角度，就叫做图形的旋转．这个定点叫做旋转中心．转动的角叫做旋转角
如图所示，是绕定点逆时针旋转得到的，其中点与点叫作对应点，线段与线段叫作对应线段，与叫作对应角，点叫作旋转中心，（或）的度数叫作旋转的角度.
（2）【注意】旋转中心可以是图形内，也可以是图形外。
（3）【图形旋转的三要素】旋转中心、旋转方向和旋转角.
（二）旋转的性质
旋转的 性质 (1)对应点到旋转中心的距离相等; (2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角; (3)旋转前、后的图形全等
重点 解读 (1)图形中的每一个点都绕旋转中心旋转了同样大小的角度; (2)对应点到旋转中心的距离相等,对应线段相等,对应角相等; (3)图形的大小和形状都没有发生改变,只改变了图形的位置
（三）旋转作图
旋转作图 的依据 (1)任意一对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角; (2)对应点到旋转中心的距离相等
作图要素 (1)原图;(2)旋转中心;(3)旋转方向;(4)旋转角;(5)一对对应点
作图步骤 (1)连:连接原图形中一个关键点与旋转中心. (2)转:根据旋转方向与旋转角度,以(1)中关键点与旋转中心的连线为一边作一个旋转角. (3)截:在该旋转角的另一边上,从旋转中心开始截取此关键点到旋转中心的长度,得到该点的对应点.重复上述操作,作出所有关键点的对应点. (4)接:按原图形顺次连接所得到的各点. 注意:为了避免作图时的混乱,以上连、转、截这三步每个点独立完成后,再进行下一个点的旋转
考点1：旋转的定义
典例1：如图所示的各图中，上方图形可看成由下方图形绕着一个顶点顺时针旋转90°而形成的是(　　)
A． B． C． D．
【变式1】如果齿轮A以逆时针方向旋转，齿轮E旋转的方向（　　）
A．顺时针 B．逆时针
C．顺时针或逆时针 D．不能确定
【变式2】下列现象中属于旋转的有 （填序号）
①火车在笔直行驶；②荡秋千运动；③地下水位下降；④钟摆的运动；⑤圆规画圆．
【变式3】我们在日常生活中有许多行为动作：如①拉抽屉；②拧水龙头；③划小船；④调钟表；⑤推动推拉门；⑥转动方向盘；⑦乘电梯.我们用数学的眼光来看，其中属于旋转的有 .（填序号）
考点2：旋转的性质——旋转中心、旋转角
典例2：如图，已知点，，，，连接，，将线段绕着某一点旋转一定角度，使其与线段重合（点A与点C重合，点B与点D重合），则这个旋转中心的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【变式1】将两块全等的含角的直角三角板按图1的方式放置，已知，固定三角板，然后将三角板绕点C顺时针方向旋转至图2的位置，与分别交于点D、E，与交于点F．当，旋转角的度数是（ ）．

A． B． C． D．
【变式2】如图，在正方形网格中，绕某点旋转一定的角度得到，则旋转中心是点 ．（填“”或“”）
【变式3】如图，一块含角的直角三角板绕点C顺时针旋转到，当B，C，在一条直线上时，三角板的旋转角度为 ．
考点3：旋转的性质——求角
典例3：如图，在中，，将绕点B逆时针旋转，得到，点D恰好落在AC的延长线上，则旋转角的度数是（　　）
A． B． C． D．
【变式1】如图，把绕点C按顺时针方向旋转得．若于点D，则（ ）
A． B． C． D．
【变式2】如图，将绕点A逆时针方向旋转一定角度得到，使点落在上，与相交于点．若，，则的大小为 ．
【变式3】如图，在中，，点D在斜边上．如果经过旋转后与完全重合，则的度数是 ．
考点4：旋转的性质——求线段
典例4：如图，在等腰中，，，以点B为旋转中心，将BC逆时针旋转得到线段，连接、．若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】如图，将绕直角顶点按顺时针方向旋转，得到，点落在的延长线上．若，，点，是，的中点，则的长是（ ）
A． B．4 C．3 D．5
【变式2】如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转得到，连接，则的长度是 ．
【变式3】如图，在中，，，，将绕点A逆时针旋转，使点C落在边上的点E处，点B落在点D处，连接．
（1）的长为 ；
（2）的长为 ．
考点5：旋转中的坐标与图形变换
典例5：在平面直角坐标系中，将点绕原点顺时针旋转，则点的对应点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是，，，将绕原点按顺时针方向旋转，得到，其中与对应，与对应，则的坐标是( )
A． B． C． D．
【变式2】如图，在平面直角坐标系中，点B在x轴上，，点A到x轴的距离为4，将绕点O逆时针旋转，得到，则点的坐标是 ．
【变式3】如图，正比例函数的图象经过，两点，现将线段绕点B顺时针旋转得到线段，则点C的坐标为 .
考点6：旋转作图
典例6：在图中网格上按要求画出图形，并回答问题：
(1)如果将三角形绕点向逆时针方向旋转，使得点、点、点的对应点分别为点、点、点，请画出三角形；
(2)画出三角形关于点成中心对称的三角形；
(3)三角形与三角形 （填“是”或“否”）关于某个点成中心对称？如果是，请在图中画出这个对称中心；如果不是，请描述通过怎样的运动可以使三角形与三角形重合．
【变式1】如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长为1，三个顶点的坐标分别为，，
(1)的长等于________．
(2)请画出把向左平移2个单位得，并写出点的坐标；
(3)请画出把绕原点旋转得到，并写出点的坐标．
【变式2】如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为，，，将绕点P逆时针方向旋转得到，点A的对应点的坐标为，点B的对应点的坐标为．

(1)点P的坐标是 ；（填写正确的选项）
A． B． C．
(2)画出旋转后的，并写出的坐标是 ；
(3)线段的延长线与线段交于点M，直接写出的度数.
【变式3】如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是．
(1)将以点B为旋转中心旋转，画出旋转后对应的；
(2)平移，若A的对应点的坐标为，画出平移后的；
(3)若将绕某一点旋转可以得到，请直接写出旋转中心的坐标．
考点7：旋转的综合应用——最值
典例7：如图，中，，，，点E是边上一点，将绕点B顺时针旋转到，连接，则长的最小值是（　　）
A．2 B．2.5 C． D．
【变式1】如图，在RtABC中，∠ABC=90°，AB=BC，点P在ABC内一点，连接PA，PB，PC，若∠BAP=∠CBP，且AP=6，则PC的最小值是（ ）
A．2 B．3 C．3-3 D．3
【变式2】如图，将线段绕点B逆时针旋转得到线段，点D是平面内一动点，且D、B两点之间的距离为5，连接、，则的最小值为 ．
【变式3】如图，在矩形中，，连接，将线段绕着点A顺时针旋转得到，则线段的最小值为 ．
考点8：旋转的综合应用——周期
典例8：如图是两个完全重合的矩形，将其中一个始终保持不动，另一个矩形绕其对称中心按逆时针方向进行旋转，第一次旋转后得到图①，第二次旋转后得到图②，…，则第次旋转后得到的图形与图①～④中相同的是（ ）
A．图① B．图② C．图③ D．图④
【变式1】如图是一个装饰连续旋转闪烁所成的四个图形，照此规律闪烁，第2021次闪烁呈现出来的图形是（　　）
A．B． C． D．
【变式2】有一个正六面体骰子，放在桌面上，将骰子按如图所示的顺时针方向滚动，每滚动90°算一次，则滚动第2019次后骰子朝下一面的点数是 ．

【变式3】如图，一个机器人最初面向北站立，按程序：每次移动都向前直走，然后逆时针转动一个角度，每次转动的角度增加．第一次直走后转动，第二次直走后转动，第三次直走后转动，如此下去．那么它在移动过程中第二次面向西方时一共走了 米．
考点9：旋转的综合应用——规律探究
典例9：将按如图方式放置在平面直角坐标系xOy中，其中，，顶点A的坐标为，将绕原点逆时针旋转，每次旋转，则第2024次旋转结束时，点A对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】如图，把正方形铁片置于平面直角坐标系中，顶点A的坐标，点在正方形铁片上，将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转，第一次旋转至图①位置，第二次旋转至图②位置，…，则正方形铁片连续旋转2019次后，则点P的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】如图，在平面直角坐标系中，等边顶点的坐标为，将绕点顺时针方向旋转，同时边扩大为原来的2倍，得到，再将作相同变换得到，…，依次类推，则点的坐标为 ．
【变式3】如图，在中，顶点在轴的负半轴上，，，，将绕点逆时针旋转，每次旋转90°，则第6次旋转结束时点的坐标是 ．
考点10：旋转的综合应用——几何综合
典例10：如图是实验室中的一种摆动装置，在地面上，支架是底边为的等腰直角三角形，摆动臂可绕点旋转，摆动臂可绕点旋转，，．

(1)在旋转过程中，
当，，三点在同一直线上时，求的长．
当，，三点为同一直角三角形的顶点时，求的长．
(2)若摆动臂顺时针旋转，点的位置由外的点转到其内的点处，连结，如图，此时，，求的长．
【变式1】如图1，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD=AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．
(1)观察猜想：图1中，请判断线段PM与PN的数量关系和位置关系，并说明理由；
(2)探究证明：把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形状，并说明理由；
(3)拓展延伸：把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD=3，AB=7，请直接写出△PMN面积的最大值．
【变式2】如图1，在中，，，点D、E分别在边、上，且，连接．现将绕点A顺时针方向旋转，旋转角为，分别连接、．
(1)如图2，当时，求证：；
(2)如图3，当时，延长交于点F，求证：垂直平分；
(3)连接，在旋转过程中，求的面积的最大值，并写出此时旋转角α的度数．
【变式3】 已知：如图 1， 中， ，D、E分别是、上的点， 不难发现、的关系．
(1)将 绕A 点 旋转到图2 位 置时，写出、的 数量关系 ；
(2)当 时，将 绕 A 点 旋转到图3 位置．
①猜想与有什么数量关系和位置关系 请就图3 的情形进行证明；
②当点 C、D、E 在同一直线上时，直接写出的度数 ．
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