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专题03 中心对称
（一）中心对称的相关概念
（1）中心对称概念：把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫作对称中心.这两个图形旋转后能重合的对应点叫作关于对称中心的对称点.
如图，绕着点旋转后，与完全重合，则称和关于点对称，点是点关于点的对称点.
（2）中心对称图形概念：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫作中心对称图形，这个点就是它的对称中心.
（二）中心对称的性质
（1）中心对称的性质：
①中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分；
②中心对称的两个图形是全等图形.
（2）找对称中心的方法和步骤：
方法1：连接两个对应点，取对应点连线的中点，则中点为对称中心.
方法2：连接两个对应点，在连接两个对应点，两组对应点连线的交点为对称中心.
（三）平面直角坐标系——原点对称
两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点P’(-x，-y)
考点1：中心对称的定义
典例1：已知图形甲与图形乙，有如下三种说法：
①如果图形甲与图形乙成中心对称，那么它们不可能成轴对称；
②如果图形甲与图形乙成中心对称，那么图形甲不可能通过平移与图形乙重合；
③如果图形甲与图形乙成轴对称，那么图形甲不可能通过平移与图形乙重合；
上述说法中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．以上说法都不正确
【答案】D
【知识点】图形的平移、成轴对称的两个图形的识别、成中心对称
【分析】本题考查图形的变换，理解成中心对称图形、成轴对称图形、平移图形的定义是解答的关键．根据相关定义逐项判断，最好的方法是举反例或画图判断．
【详解】解：设图形甲与图形乙是半径相等的圆，如图，
①如果图形甲与图形乙成中心对称，那么它们有可能成轴对称，原说法不正确；
②如果图形甲与图形乙成中心对称，那么图形甲有可能通过平移与图形乙重合，原说法不正确；
③如果图形甲与图形乙成轴对称，那么图形甲有可能通过平移与图形乙重合，原说法不正确；
故选：D．
【变式1】下列各组图形中，与成中心对称的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】成中心对称
【分析】本题考查了成中心对称的知识，成中心对称 是指把一个图形绕着某一点旋转，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称；这个点叫做对称中心，这两个图形的对应点叫做关于中心的对称点；熟练掌握相关概念是解题的关键．
【详解】解：根据成中心对称的概念可得，与成中心对称的如图所示：
，
故选：D．
【变式2】下列图形中，左边的图形与右边的图形可看成中心对称的有 ．
【答案】B，D
【知识点】成中心对称
【分析】本题考查中心对称，根据中心对称的定义逐个判断即可得到答案；解题的关键是熟练掌握中心对称的定义：将一个图形沿某点旋转得到的新图形与原图形重合的图形叫中心对称图形．
【详解】解：由题意可得，
A选项左边的图形与右边的图形不成中心对称，不符合题意，
B选项左边的图形与右边的图形可看成中心对称，符合题意，
C选项左边的图形与右边的图形不成中心对称，不符合题意，
D选项左边的图形与右边的图形可看成中心对称，符合题意．
故答案为：B，D．
【变式3】如图，是一个中心对称图形，A为对称中心，若，则 ， ．
【答案】 30° 2
【知识点】成中心对称、全等三角形的性质
【分析】根据中心对称图形的性质，得到，再由全等三角形的性质解题即可．
【详解】解：∵A为对称中心，
∴绕点A旋转能与重合，
∴，
∴，，
∴．
【点睛】本题考查中心对称图形的性质、全等三角形的性质等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
考点2：中心对称作图
典例2：如图，格点在所给的网格图形中．
(1)画出绕点O顺时针旋转后的；
(2)画出关于点O成中心对称的图形．
【答案】(1)图见解析
(2)图见解析
【知识点】画旋转图形、画已知图形关于某点对称的图形
【分析】本题考查作图-旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的性质，灵活运用所学知识解决问题．
（1）利用旋转变换的性质分别作出A，B，C的对应点即可．
（2）利用中心对称的性质分别作出A，B，C的对应点即可．
【详解】（1）解：即为所作：
（2）解：即为所作：
．
【变式1】如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，的顶点均在格点上，在建立平面直角坐标系后，点的坐标为．

(1)以为对称中心，画出关于该点对称的；
(2)可以看成是______得到：经探究发现，和成中心对称，则对称中心的坐标为______．
【答案】(1)作图见详解
(2)向下平移5个单位长度；
【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、已知点平移前后的坐标，判断平移方式、画已知图形关于某点对称的图形、画两个图形的对称中心
【分析】本题主要考查平面直角坐标系中图形的变换，掌握中心对称图形的性质作图是解题的关键．
（1）根据对称中心的性质作图即可求解；
（2）根据平移性质，中心对称图形的性质作图，结合坐标与图形的性质即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求图形；

（2）解：如图所示，可以看成是向下平移5个单位长度得到：
连接，的对应点，

∴对称中心的坐标为．
故答案为：向下平移5个单位长度；．
【变式2】如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，的顶点均在格点上．
(1)画出将关于原点O的中心对称图形．
(2)将绕点E顺时针旋转得到，画出．
(3)若由绕着某点旋转得到的，则这点的坐标为______．
【答案】(1)作图见解析
(2)作图见解析
(3)
【知识点】画旋转图形、找旋转中心、旋转角、对应点、画已知图形关于某点对称的图形
【分析】本题主要考查了作关于原点对称的图形，旋转作图，确定旋转中心，
对于（1），作点A，B，C关于原点对称的点，再依次连接即可；
对于（2），将点D，F绕点E顺时针旋转得到点，再依次连接；
对于（3），连接，并作的垂直平分线，再连接，并作的垂直平分线，两条直线交于点P，确定坐标即可．
【详解】（1）如图所示，
（2）如图所示，
（3）如图所示，点P即为所求作的点，其坐标是．
故答案为：．
【变式3】如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别是，，．
(1)将向下平移6个单位长度得到，请画出；
(2)画出关于原点成中心对称的；
(3)若与关于某点成中心对称，请写出对称中心的坐标______．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【知识点】平移(作图)、画已知图形关于某点对称的图形
【分析】本题主要考查中心对称和平移：
（1）点，，的对应点分别为，，，连接点，，即可；
（2）点，，的对应点分别为点，，，连接点点，，即可；
（3）连接，，交点即为与的对称中心．
【详解】（1）点，，的对应点分别为，，，连接点，，即可．
（2）点，，的对应点分别为点，，，连接点点，，即可．
（3）连接，，交点即为与的对称中心．
故答案为：．
考点3：中心对称图形
典例3：下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．C． D．
【答案】D
【知识点】中心对称图形的识别
【分析】本题考查了中心对称图形，一个图形绕某点旋转，旋转后的图形能和原图形重合，那么这个图形是中心对称图形，据此判断即可求解，掌握中心对称图形的定义是解题的关键．
【详解】解：、该图形不是中心对称图形，不合题意；
、该图形不是中心对称图形，不合题意；
、该图形不是中心对称图形，不合题意；
、该图形是中心对称图形，符合题意；
故选：．
【变式1】纹样是中国文化的瑰宝，以下纹样既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形的识别、中心对称图形的识别
【分析】本题考查轴对称图形，中心对称图形，熟练掌握其定义是解题的关键．一个平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，若直线两旁的图形能够完全重合，那么这个图形即为轴对称图形；一个平面内，如果一个图形绕某个点旋转，若旋转后的图形与原来的图形完全重合，那么这个图形即为中心对称图形；据此进行判断即可．
【详解】解：A中图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，则A不符合题意；
B中图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，则B符合题意；
C中图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，则C不符合题意；
D中图形不是轴对称图形，但它是中心对称图形，则D不符合题意；
故选：B．
【变式2】如图，把标有序号中某个小正方形涂上阴影，使它与图中阴影部分组成的新图形是中心对称图形但不是轴对称图形，那么该小正方形的序号是 ．
【答案】①或⑥
【知识点】轴对称图形的识别、中心对称图形的识别
【分析】本题考查了轴对称图形的定义，中心对称图形的定义，根据沿着某条直线折叠，两边的图形能够重合的图形是轴对称图形；在平面内，把一个图形绕某点旋转，如果旋转后的图形与原图形重合，那么这两个图形互为中心对称图形；据此进行逐项判断即可
【详解】解：结合上图，把标有序号①或⑥的小正方形涂上阴影，可以与图中阴影部分组成的新图形是中心对称图形但不是轴对称图形；
把标有序号②的小正方形涂上阴影，是中心对称图形也是轴对称图形；
把标有序号③或④或⑤的小正方形涂上阴影，是轴对称图形；
则满足题意，该小正方形的序号是①或⑥，
故答案为：①或⑥．
【变式3】在线段、等腰三角形、正三角形、平行四边形、正方形、等腰梯形、五角星和圆中，共有 个既是轴对称图形又是中心对称图形．
【答案】/三
【知识点】轴对称图形的识别、中心对称图形的识别
【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．
【详解】解：线段、正方形、圆是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意，共3个；
等腰三角形、正三角形、等腰梯形、五角星是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意．
故答案为：．
考点4：中心对称性质——求坐标
典例4：如图，在平面直角坐标系中，把绕原点O旋转得到，点B的坐标为，则点D的坐标为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】求关于原点对称的点的坐标、根据中心对称的性质求面积、长度、角度、坐标与图形
【分析】本题考查了中心对称的性质，由“把绕原点O旋转得到”得，点与点关于原点对称，则它们对应的横坐标互为相反数，对应的纵坐标互为相反数，即可作答．
【详解】解：∵把绕原点O旋转得到，
∴点与点关于原点对称，
∵点B的坐标为
∴点D的坐标为
故选：C
【变式1】如图，位于第二象限的图案是由图案绕点逆时针旋转得到的，若点，，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】根据中心对称的性质求面积、长度、角度
【分析】点M、C关于点A中心对称，根据中心对称的特点，利用中点坐标公式即可求解．
【详解】由题意知：点M、C关于点A中心对称，
设点M的坐标为(，)，
∴，，
解得：，，
∴点M的坐标为(，)，
故选：C．
【点睛】本题考查了中心对称图形，掌握中点坐标公式是解题的关键．
【变式2】如图，在平面直角坐标系中，的两点的坐标分别为、，将线段绕某点旋转得到线段．若点的对应点的坐标为，则点的坐标为 ．

【答案】
【知识点】坐标与图形、根据中心对称的性质求面积、长度、角度
【分析】本题考查了坐标与图形，中心对称图形的性质，设旋转中心为点，点的坐标为，利用中点坐标公式可得，进而可求出点的坐标，掌握中心对称图形的性质是解题的关键．
【详解】解：设旋转中心为点，点的坐标为，
∵将线段绕某点旋转得到线段，点的对应点的坐标为，
∴点的坐标为，即，
∵点的对应点为点，
∴，，
∴，，
∴点的坐标为，
故答案为：．
【变式3】如图，在平面直角坐标系中，若与关于点D中心对称，则对称中心点D的坐标是 ．
【答案】
【知识点】画两个图形的对称中心、写出直角坐标系中点的坐标
【分析】根据旋转的性质，连接对应点，与的交点D即为对称中心，然后根据平面直角坐标系写出点D的坐标即可．
【详解】解：如图，连接，与相交于点D，点D即为对称中心，由图可得．
故答案为：．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化-旋转，熟练掌握旋转的性质，理解对应点的连线的交点即为对称中心是解题的关键，也是本题的难点．
考点5：中心对称性质——求面积
典例5：如图，在面积为12的□ABCD中，对角线BD绕着它的中点O按顺时针方向旋转一定角度后，其所在直线分别交AB、CD于点E、F，若AE=2EB，则图中阴影部分的面积等于（）
A．3 B．1 C． D．
【答案】A
【知识点】根据中心对称的性质求面积、长度、角度
【详解】∵□ABCD，
∴AO＝OC,∠CAB＝∠DCO.
∵在△AOE和△COF中AO＝OC,∠CAB＝∠DCO，∠AOE＝∠COF.
∴△AOE≌△COF.
∴S△FCO＝S△OAE.
∵面积为12的□ABCD，
∴S△DAB＝6.
过点D做DG⊥AB,OH⊥AB,
∵O为中点,
∴OH＝DG.
∴S阴影＝SOAB＝ S△DAB＝3.
故选A.
【点睛】本题考查的是平行四边形，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键.
【变式1】用一条直线 m 将如图 1 的直角铁皮分成面积相等的两部分．图 2、图 3 分别是甲、乙两同学给出的作法，对于两人的作法判断正确的是（ ）
A．甲正确，乙不正确 B．甲不正确，乙正确
C．甲、乙都正确 D．甲、乙都不正确
【答案】C
【知识点】根据中心对称的性质求面积、长度、角度
【分析】根据图形中所画出的虚线，可以利用图形中的长方形、梯形的面积比较得出直线两旁的面积的大小关系．
【详解】如图：图形2中，直线m经过了大长方形和小长方形的对角线的交点，所以两旁的图形的面积都是大长方形和小长方形面积的一半，所以这条直线把这个图形分成了面积相等的两部分，即甲做法正确；
图形3中，经过大正方形和图形外不添补的长方形的对角线的交点，直线两旁的面积都是大正方形面积的一半-添补的长方形面积的一半，所以这条直线把这个图形分成了面积相等的两部分，即乙做法正确．
故选C．
【点睛】此题主要考查了中心对称，根据图形中的割补情况，抓住经过对角线的交点的直线都能把长方形分成面积相等的两部分这一特点，即可解决问题．
【变式2】如图，在正六边形中，，点在边上，且，若经过点的直线将正六边形面积平分，则直线被正六边形所截的线段长是 ．
【答案】
【知识点】等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、正多边形的内角问题、根据中心对称的性质求面积、长度、角度
【分析】本题考查的是勾股定理，等边三角形的性质和判定，正多边形的知识，掌握“正六边形既是轴对称图形也是中心对称图形”是解本题的关键．
如图，连接，交于点，作直线交于，过作于，由正六边形是轴对称图形可得：，由正六边形是中心对称图形可得：，可得直线平分正六边形的面积，为正六边形的中心，再利用直角三角形的性质可得答案．
【详解】解：如图，连接，，交于点，作直线交于，过作于，
由正六边形是轴对称图形可得：，
由正六边形是中心对称图形可得：，
直线平分正六边形的面积，为正六边形的中心．
由正六边形的性质可得：，
∴为等边三角形，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，
∵，则，
∴
∴．
故答案为：．
【变式3】将五个边长都为的正方形按如图所示摆放，点A、B、C、D分别是四个正方形的中心，则图中四块阴影面积的和是 ．

【答案】9
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据中心对称的性质求面积、长度、角度
【分析】本题考查了中心对称和正方形的性质，熟记中心对称性的性质、判断出每一个阴影部分的面积等于正方形的面积的是解题的关键．证明，得到一个阴影部分的面积等于正方形面积的，四块阴影面积的总和正好等于一个正方形的面积，然后列式计算即可．
【详解】解：如图，连接、，
，
，
，，
，
，
一个阴影部分的面积等于正方形的面积的，
四块阴影面积的总和正好等于一个正方形的面积，
五个正方形的边长都为，
四块阴影面积的总和为，
故答案为：9．
考点6：中心对称的性质——求线段
典例6：如图，与关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是（　　）
A． B．
C． D．点B与点E是对应点
【答案】C
【知识点】根据中心对称的性质求面积、长度、角度
【分析】本题主要考查了中心对称，解题的关键是熟练掌握中心对称的定义以及性质．
根据中心对称的两个图形，对称点的连线经过对称中心且被对称中心平分，对应线段平行（或在同一条直线上）且相等，逐一判断．
【详解】A．，
∵与关于点O成中心对称，
∴，
∴此选项正确，不符合题意；
B．，
∵，
∴，
∴此选项正确，不符合题意；
C．，
∵，
∴此选项不正确，符合题意；
D．点B与点E是对应点，
∵点B与点E是对应点，
∴此选项正确，不符合题意．
故选：C．
【变式1】如图，与关于点D成中心对称，连接AB，以下结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】根据中心对称的性质求面积、长度、角度
【分析】根据中心对称图形的性质可得结论．
【详解】解：∵与关于点D成中心对称，
∴，，
∴
∴选项A、C、D正确，选项B错误；
故选B．
【点睛】本题主要考查了中心对称图形的性质，即对应点在同一条直线上，且到对称中心的距离相等．
【变式2】如图，在等边三角形中，为的中点，，与关于点中心对称，连接，则的长为 ．
【答案】
【知识点】等边三角形的性质、用勾股定理解三角形、根据中心对称的性质求面积、长度、角度
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质和中心对称，关键是熟练掌握等边三角形的性质和中心对称的性质．
根据等边三角形的性质，得，，，再根据中心对称的性质，得，，，最后根据勾股定理即可得出答案．
【详解】解∶三角形是等边三角形，为的中点，，
，，
，
与关于点中心对称，
，，，，
在中，根据勾股定理，
得，
故答案为∶．
【变式3】如图，是等腰三角形的底边中线，，，与关于点C中心对称，连接，则的长是 ．
【答案】
【知识点】根据中心对称的性质求面积、长度、角度、用勾股定理解三角形、三线合一
【分析】本题考查了等腰三角形的性质以及中心对称，勾股定理，根据等腰三角形的性质可得，，根据与关于点C中心对称，可得，，，再根据勾股定理可得的长．理解相关图形的性质是解决问题的关键．
【详解】解：∵是等腰三角形的底边中线，
∴，，
∴，
∵与关于点C中心对称，
∴，，，
∴，
∴．
故答案为：．
考点7：中心对称的性质——规律探究
典例7：在平面直角坐标系中，点，的对称中心是点A，另取两点，．有一电子青蛙从点处开始依次作关于点A，B，C的循环对称跳动，即第一次跳到点关于点A的对称点处，接着跳到点关于点B的对称点处，第三次再跳到点关于点C的对称点处，第四次再跳到点关于点A的对称点处，…，则点的坐标为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】中心对称图形规律问题、点坐标规律探索
【分析】本题考查了坐标规律探究，中心对称，坐标与图形变化对称，利用中心对称找出坐标规律是解题的关键．
首先利用题目所给公式一次求出前几个点的坐标，→→→→→→→…由此得到的坐标和的坐标相同，的坐标和的坐标相同，即坐标以6为周期循环，利用这个规律即可求出点的坐标．
【详解】解：∵点关于点的对称点，
∴，
∴，，
∴，
同理可得点，，，，，…
∴点P每6次一循环，
∵
∴点与点坐标相同，即．
故选：D．
【变式1】已知点，点，点是线段的中点，则，．在平面直角坐标系中有三个点，，，点关于点的对称点（即，，三点共线，且），关于点的对称点，关于点的对称点，…按此规律继续以，，三点为对称点重复前面的操作．依次得到点，，…，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】中心对称图形规律问题、点坐标规律探索
【分析】先利用定义依次求出各点，再总结规律即可求解．
【详解】解：由题意，，，，，，，， ……
可得每6次为一个循环，
∵，
∴点的坐标是，
故选：A．
【点睛】本题考查了数式规律，解题关键是理解题意并能发现规律．
【变式2】如图，在平面直角坐标系中，四边形是边长为2的正方形，A，C分别在y轴正半轴与x轴正半轴上，P点坐标为，将P点关于A对称得到，将关于O点对称得到，将关于C点对称得到，将关于B点对称得到，将关于A点对称得到，……，按照顺序以此类推，则的坐标为 ．
【答案】
【知识点】点坐标规律探索、中心对称图形规律问题
【分析】本题考查了点的坐标变化规律，中心对称．根据题意，探究规律，得出四次一个循环，利用规律求解即可．
【详解】解：如图，由题意，
∴与P重合，四次一个循环，
∵，
∴与重合，
∴．
故答案为：．
【变式3】如果将点P绕定点M旋转后与点Q重合，那么点P与点Q关于点M对称，定点M叫做对称中心，此时，M是线段的中点．如图，在平面直角坐标系中，的顶点A，B，O的坐标分别为，，，点，，，…中的相邻两点都关于的一个顶点对称，点与点关于点A对称，点与点关于点B对称，点与点关于点O对称，点与点关于点A对称，点与点关于点B对称，点与点关于点O对称……且这些对称中心依次循环．已知点的坐标是，则点的坐标为 ．
【答案】
【知识点】中心对称图形规律问题
【分析】此题主要考查了平面直角坐标系中中心对称的性质，以及找规律问题，根据已知得出点P的坐标每6个一循环是解题关键．
根据中心对称及平面直角坐标系中的有关知识，可以求得点关于点A的对称点坐标，以及点关于点B的对称点坐标，点关于点O的对称点，可以看出，点P的坐标每6个一循环，即可解答．
【详解】解：由题意可得：点，，，，，……
∴可知6个点一个循环，，
∴点的坐标与点的坐标相同，为．
故答案为：．
考点8：中心对称的应用——综合
典例8：在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，的位置如图所示，先作关于原点成中心对称的，再把向上平移4个单位长度得到．
(1)画出和；
(2)与关于某点成中心对称，直接写出对称中心的坐标是__________；
(3)已知为轴上一点．若的面积为3，直接写出点的坐标__________：
【答案】(1)见解析
(2)
(3)或
【知识点】平移(作图)、画已知图形关于某点对称的图形、判断中心对称图形的对称中心、利用网格求三角形面积
【分析】本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了平移变换．
（1）利用中心对称的点的坐标特征写出的坐标，描点得到，利用点平移的坐标特征写出的坐标，然后描点得到；
（2）连接，它们相交于Q点，则Q点为对称中心；
（3）设P点坐标为，利用三角形面积公式得到，然后解得P点坐标．
【详解】（1）解：如图，和为所作；
（2）解：如图，与关于Q点成中心对称，Q点的坐标为；
故答案为：；
（3）解：设P点坐标为，
∵的面积为3，
∴，
解得，
∴P点坐标为或．
故答案为：或．
∴．
【变式1】如图，已知点，的坐标分别为，．

(1)画出关于原点成中心对称的图形；
(2)将绕点按逆时针方向旋转时得到，画出；
(3)直接写出线段和的位置关系．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)垂直
【知识点】根据平行线判定与性质求角度、画旋转图形、根据旋转的性质说明线段或角相等、画已知图形关于某点对称的图形
【分析】本题考查了中心对称变换和旋转变换的作图、四边形的内角和、平行线的判定和性质、垂线的判定等知识，熟练掌握中心对称变换和旋转变换是解题的关键．
（1）根据关于原点成中心对称，找出、的对应点、，画出即可；
（2）根据绕点按逆时针方向旋转，找出、的对应点、，画出即可；
（3）延长、相交于点，延长、相交于点，根据中心对称变换，得出，点、、在同一直线上，根据“内错角相等两直线平行”，推出，根据旋转变换，得出，，由，等量代换得出，结合四边形的内角和为，计算，根据“两直线平行同旁内角互补”，计算，即可证明．
【详解】（1）解：如图，即为所求，

（2）解：如图，即为所求，

（3）解；线段和的位置关系是垂直，理由如下，
如图，延长、相交于点，延长、相交于点，

∵关于原点成中心对称的图形，
∴绕点旋转后和重合，
∴，点、、在同一直线上，
∴，
∵绕点按逆时针方向旋转时得到，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
【变式2】如图，三个顶点的坐标分别是，，．

(1)请画出绕点A 逆时针旋转后得到的
(2)请画出关于原点对称的
(3)在x轴上求作一点P，使的周长最小，请画出并直接写出点P的坐标．
【答案】(1)图见解析；
(2)图见解析；
(3)图见解析，．
【知识点】最短路径问题、坐标与图形变化——轴对称、画旋转图形、画已知图形关于某点对称的图形
【分析】本题考查了作图-旋转变换，轴对称最短路径等知识，掌握相关知识是解题的关键．
（1）根据网格特点和旋转的性质得到点、、绕点A 逆时针旋转后的对应点、、，依次连接、、即可；
（2）根据关于原点对称的点的坐标特征得出、、，依次连接、、即可；
（3）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，则最小，即的周长最小，则点即为所求．
【详解】（1）解：根据网格特点和旋转的性质得到点、、绕点A 逆时针旋转后的对应点、、，依次连接、、，则即为所求，如图：

（2）解：根据关于原点对称的点的坐标特征得出、、，依次连接、、，则即为所求，如图：

（3）解：作点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，则最小，即的周长最小，则点即为所求，如图：

由图可知，点的坐标为：．
【变式3】如图，在边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，点B，点O均为格点（每个小正方形的顶点叫做格点）．
(1)作点A关于点O的对称点；
(2)连接，将线段绕点顺时针旋转得点B对应点，画出旋转后的线段；
(3)连接，请你画一条直线把四边形的面积分成相等的两部分．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【知识点】网格中多边形面积比较、画旋转图形、画已知图形关于某点对称的图形
【分析】本题考查了利用中心对称的性质作图，利用旋转的性质作图．熟练掌握利用中心对称的性质作图，利用旋转的性质作图，是解题的关键．
（1）利用中心对称的性质作图即可；
（2）利用旋转的性质作图即可；
（3）找到中点以及中点，连接两个中点的直线即为所求．
【详解】（1）解：如图所示，点即为所求；
（2）解：连接，再画出；
（3）解：找到中点以及中点，连接两个中点，并延长画直线，可把四边形的面积分成相等的两部分．
考点9：中心对称的应用——图案设计
典例9：图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有3个小等边三角形已涂上阴影．请在余下的空白小等边三角形中，分别按下列要求选取一个涂上阴影（请将两个小题依次作答在图1，图2中，均只需画出符合条件的一种情形）：
(1)使得4个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形但不是中心对称图形．
(2)使得4个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形但不是轴对称图形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【知识点】 利用平移、轴对称、旋转、中心对称设计图案
【分析】本题考查利用旋转设计图案，利用轴对称的性质及中心对称的性质设计图案，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
（1）根据轴对称图形的定义画出图形即可（答案不唯一）．
（2）根据中心对称图形的定义画出图形即可（答案不唯一）．
【详解】（1）解：轴对称图形如图1所示；
（2）解：轴对称图形如图2所示．
【变式1】图①、图②均为的正方形网格，点A，B，C在格点上．
(1)在图①中确定格点D，并画出以点A，B，C，D为顶点的四边形，使其为轴对称图形，但不是中心对称图形（画一个即可）；
(2)在图②中确定格点E，并画出以A，B，C，E为顶点的四边形，使其为中心对称图形（画一个即可）．
【答案】(1)图形见解析；
(2)图形见解析
【知识点】 利用平移、轴对称、旋转、中心对称设计图案、在方格纸中补画图形使之成为中心对称图形、设计轴对称图案
【分析】（1）利用中心对称图形和轴对称图形的性质画出符合题意的图形即可；
（2）利用中心对称图形和轴对称图形的性质画出符合题意的图形即可．
【详解】（1）解：如图①，作点B关于直线的对称点D，
四边形即为所求作；
（2）解：如图②，四边形即为所求作．
【点睛】本题考查了利用旋转设计图案以及利用轴对称设计图案，正确把握中心对称和轴对称图形的定义是解题关键．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
【变式2】如图方格中，小正方形边长为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫做格点．请按下列要求画出一个符合题意的四边形，且顶点在格点上．
(1)在图1中画：是中心对称图形，但不是轴对称图形，且面积为8；
(2)在图2中画：既是中心对称图形又是轴对称图形，且面积为10；
(3)在图3中画：既是中心对称图形又是轴对称图形，且各边长都是无理数，面积为
【答案】(1)画图见解析
(2)画图见解析
(3)画图见解析
【知识点】 利用平移、轴对称、旋转、中心对称设计图案、根据正方形的性质与判定求面积、利用二次根式的性质化简
【分析】（1）根据中心对称图形性质和轴对称图形的性质即可在图中画平行四边形ABCD，且面积为8；
（2）根据中心对称图形性质和轴对称图形的性质即可在图中画矩形ABCD，且面积为10；
（3）根据中心对称图形性质和轴对称图形的性质即可在图中画正方形EFGH，且各边长都是无理数，面积为10．
【详解】（1）解：如图，四边形ABCD即为所求作的图形，
（2）如图，四边形ABCD即为所求作的图形，
（3）解：如图，四边形EFGH是所求作的图形，
由勾股定理可得：
∴四边形为正方形，面积为
【点睛】本题考查了作图-旋转变换，作图-轴对称变换，无理数，勾股定理及其逆定理的灵活运用，二次根式的化简，本题掌握轴对称图形和中心对称图形定义是解题的关键．
【变式3】在网格中画对称图形．
图1是五个小正方形拼成的图形，请你移动其中一个小正方形，重新拼成一个图形，使得所拼成的图形满足下列条件，并分别画在图2、图3、图4中（只需各画一个，内部涂上阴影）；
①是轴对称图形，但不是中心对称图形；
②是中心对称图形，但不是轴对称图形；
③既是轴对称图形，又是中心对称图形
【答案】①见解析；②见解析；③见解析
【知识点】 利用平移、轴对称、旋转、中心对称设计图案
【分析】利用轴对称图形和中心对称图形的定义按要求画出图形．
【详解】①如图2，是轴对称图形，但不是中心对称图形；
②如图3，是中心对称图形，但不是轴对称图形；
③如图4，既是轴对称图形，又是中心对称图形．
【点睛】本题主要考查了利用图形的基本变换作图，由一个基本图案通过平移、旋转和轴对称以及中心对称等方法可以变换出一些新图案，关键是要熟悉轴对称、平移以及旋转等图形变换的性质．
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专题03 中心对称
（一）中心对称的相关概念
（1）中心对称概念：把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫作对称中心.这两个图形旋转后能重合的对应点叫作关于对称中心的对称点.
如图，绕着点旋转后，与完全重合，则称和关于点对称，点是点关于点的对称点.
（2）中心对称图形概念：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫作中心对称图形，这个点就是它的对称中心.
（二）中心对称的性质
（1）中心对称的性质：
①中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分；
②中心对称的两个图形是全等图形.
（2）找对称中心的方法和步骤：
方法1：连接两个对应点，取对应点连线的中点，则中点为对称中心.
方法2：连接两个对应点，在连接两个对应点，两组对应点连线的交点为对称中心.
（三）平面直角坐标系——原点对称
两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点P’(-x，-y)
考点1：中心对称的定义
典例1：已知图形甲与图形乙，有如下三种说法：
①如果图形甲与图形乙成中心对称，那么它们不可能成轴对称；
②如果图形甲与图形乙成中心对称，那么图形甲不可能通过平移与图形乙重合；
③如果图形甲与图形乙成轴对称，那么图形甲不可能通过平移与图形乙重合；
上述说法中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．以上说法都不正确
【变式1】下列各组图形中，与成中心对称的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】下列图形中，左边的图形与右边的图形可看成中心对称的有 ．
【变式3】如图，是一个中心对称图形，A为对称中心，若，则 ， ．
考点2：中心对称作图
典例2：如图，格点在所给的网格图形中．
(1)画出绕点O顺时针旋转后的；
(2)画出关于点O成中心对称的图形．
【变式1】如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，的顶点均在格点上，在建立平面直角坐标系后，点的坐标为．

(1)以为对称中心，画出关于该点对称的；
(2)可以看成是______得到：经探究发现，和成中心对称，则对称中心的坐标为______．
【变式2】如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，的顶点均在格点上．
(1)画出将关于原点O的中心对称图形．
(2)将绕点E顺时针旋转得到，画出．
(3)若由绕着某点旋转得到的，则这点的坐标为______．
【变式3】如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别是，，．
(1)将向下平移6个单位长度得到，请画出；
(2)画出关于原点成中心对称的；
(3)若与关于某点成中心对称，请写出对称中心的坐标______．
考点3：中心对称图形
典例3：下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．C． D．
【变式1】纹样是中国文化的瑰宝，以下纹样既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）
A． B． C． D．
【变式2】如图，把标有序号中某个小正方形涂上阴影，使它与图中阴影部分组成的新图形是中心对称图形但不是轴对称图形，那么该小正方形的序号是 ．
【变式3】在线段、等腰三角形、正三角形、平行四边形、正方形、等腰梯形、五角星和圆中，共有 个既是轴对称图形又是中心对称图形．
考点4：中心对称性质——求坐标
典例4：如图，在平面直角坐标系中，把绕原点O旋转得到，点B的坐标为，则点D的坐标为（ ）

A． B． C． D．
【变式1】如图，位于第二象限的图案是由图案绕点逆时针旋转得到的，若点，，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】如图，在平面直角坐标系中，的两点的坐标分别为、，将线段绕某点旋转得到线段．若点的对应点的坐标为，则点的坐标为 ．

【变式3】如图，在平面直角坐标系中，若与关于点D中心对称，则对称中心点D的坐标是 ．
考点5：中心对称性质——求面积
典例5：如图，在面积为12的□ABCD中，对角线BD绕着它的中点O按顺时针方向旋转一定角度后，其所在直线分别交AB、CD于点E、F，若AE=2EB，则图中阴影部分的面积等于（）
A．3 B．1 C． D．
【变式1】用一条直线 m 将如图 1 的直角铁皮分成面积相等的两部分．图 2、图 3 分别是甲、乙两同学给出的作法，对于两人的作法判断正确的是（ ）
A．甲正确，乙不正确 B．甲不正确，乙正确
C．甲、乙都正确 D．甲、乙都不正确
【变式2】如图，在正六边形中，，点在边上，且，若经过点的直线将正六边形面积平分，则直线被正六边形所截的线段长是 ．
【变式3】将五个边长都为的正方形按如图所示摆放，点A、B、C、D分别是四个正方形的中心，则图中四块阴影面积的和是 ．

考点6：中心对称的性质——求线段
典例6：如图，与关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是（　　）
A． B．
C． D．点B与点E是对应点
【变式1】如图，与关于点D成中心对称，连接AB，以下结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】如图，在等边三角形中，为的中点，，与关于点中心对称，连接，则的长为 ．
【变式3】如图，是等腰三角形的底边中线，，，与关于点C中心对称，连接，则的长是 ．
考点7：中心对称的性质——规律探究
典例7：在平面直角坐标系中，点，的对称中心是点A，另取两点，．有一电子青蛙从点处开始依次作关于点A，B，C的循环对称跳动，即第一次跳到点关于点A的对称点处，接着跳到点关于点B的对称点处，第三次再跳到点关于点C的对称点处，第四次再跳到点关于点A的对称点处，…，则点的坐标为（ ）．
A． B． C． D．
【变式1】已知点，点，点是线段的中点，则，．在平面直角坐标系中有三个点，，，点关于点的对称点（即，，三点共线，且），关于点的对称点，关于点的对称点，…按此规律继续以，，三点为对称点重复前面的操作．依次得到点，，…，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】如图，在平面直角坐标系中，四边形是边长为2的正方形，A，C分别在y轴正半轴与x轴正半轴上，P点坐标为，将P点关于A对称得到，将关于O点对称得到，将关于C点对称得到，将关于B点对称得到，将关于A点对称得到，……，按照顺序以此类推，则的坐标为 ．
【变式3】如果将点P绕定点M旋转后与点Q重合，那么点P与点Q关于点M对称，定点M叫做对称中心，此时，M是线段的中点．如图，在平面直角坐标系中，的顶点A，B，O的坐标分别为，，，点，，，…中的相邻两点都关于的一个顶点对称，点与点关于点A对称，点与点关于点B对称，点与点关于点O对称，点与点关于点A对称，点与点关于点B对称，点与点关于点O对称……且这些对称中心依次循环．已知点的坐标是，则点的坐标为 ．
考点8：中心对称的应用——综合
典例8：在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，的位置如图所示，先作关于原点成中心对称的，再把向上平移4个单位长度得到．
(1)画出和；
(2)与关于某点成中心对称，直接写出对称中心的坐标是__________；
(3)已知为轴上一点．若的面积为3，直接写出点的坐标__________：
【变式1】如图，已知点，的坐标分别为，．

(1)画出关于原点成中心对称的图形；
(2)将绕点按逆时针方向旋转时得到，画出；
(3)直接写出线段和的位置关系．
【变式2】如图，三个顶点的坐标分别是，，．

(1)请画出绕点A 逆时针旋转后得到的
(2)请画出关于原点对称的
(3)在x轴上求作一点P，使的周长最小，请画出并直接写出点P的坐标．
【变式3】如图，在边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，点B，点O均为格点（每个小正方形的顶点叫做格点）．
(1)作点A关于点O的对称点；
(2)连接，将线段绕点顺时针旋转得点B对应点，画出旋转后的线段；
(3)连接，请你画一条直线把四边形的面积分成相等的两部分．
考点9：中心对称的应用——图案设计
典例9：图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有3个小等边三角形已涂上阴影．请在余下的空白小等边三角形中，分别按下列要求选取一个涂上阴影（请将两个小题依次作答在图1，图2中，均只需画出符合条件的一种情形）：
(1)使得4个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形但不是中心对称图形．
(2)使得4个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形但不是轴对称图形．
【变式1】图①、图②均为的正方形网格，点A，B，C在格点上．
(1)在图①中确定格点D，并画出以点A，B，C，D为顶点的四边形，使其为轴对称图形，但不是中心对称图形（画一个即可）；
(2)在图②中确定格点E，并画出以A，B，C，E为顶点的四边形，使其为中心对称图形（画一个即可）．
【变式2】如图方格中，小正方形边长为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫做格点．请按下列要求画出一个符合题意的四边形，且顶点在格点上．
(1)在图1中画：是中心对称图形，但不是轴对称图形，且面积为8；
(2)在图2中画：既是中心对称图形又是轴对称图形，且面积为10；
(3)在图3中画：既是中心对称图形又是轴对称图形，且各边长都是无理数，面积为
【变式3】在网格中画对称图形．
图1是五个小正方形拼成的图形，请你移动其中一个小正方形，重新拼成一个图形，使得所拼成的图形满足下列条件，并分别画在图2、图3、图4中（只需各画一个，内部涂上阴影）；
①是轴对称图形，但不是中心对称图形；
②是中心对称图形，但不是轴对称图形；
③既是轴对称图形，又是中心对称图形
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