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专题03 因式分解单元过关（培优版）
考试范围：第4章；考试时间：120分钟；总分：150分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
评卷人得分
一、单选题
1．将分解因式的结果是（ ）
A． B．
C． D．
2．小明是一名密码翻译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：，，，，，分别对应下列六个字：县、爱、我、赣、游、美．现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）
A．我爱美 B．赣县游 C．我爱赣县 D．美我赣县
3．下列各式中，分解因式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．阅读材料：若，求x和y的值．
解：∵，
∴．∴．
问题：已知a、b、c是等腰的三边，且满足，求等腰三角形的周长为（ ）
A．12 B．15 C．12或15 D．3或6
5．如果，，，4，，分别对应6个字：鹿，鸣，数，我，爱，学，现将因式分解，结果呈现的可能是哪句话（ ）
A．我爱鹿鸣 B．爱鹿鸣 C．鹿鸣数学 D．我爱数学
6．甲、乙两个长方形的边长如图所示（m为不小于3的整数），其面积分别为，，若满足条件的整数n有且只有6个，则m的值为（ ）
A．7 B．8 C．5 D．9
7．下列因式分解变形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．对于任意整数n，都（ ）
A．能被2整除，不能被4整除 B．能被4整除，不能被8整除
C．能被8整除 D．能被5整除
9．已知，mn=12，则的值为（ ）
A．-84 B．84 C． D．300
10．已知，，则的结果为（ ）
A． B． C． D．
第II卷（非选择题）
评卷人得分
二、填空题
11．因式分解：
12．如果多项式是完全平方式，则的值为 ．
13．若有理数a、b互为相反数，c、d互为倒数，则 ．
14．若，，则 ．
15．若，则的值为 ．
16．对于定义一种新运算（是非零常数）．例如．若，，则 ．
17．已知，，，满足关系式，，则的值为 ．
18．如图，紧挨在一起的三个正方形的边长分别为a，b，c，且，图中的顶点分别是三个正方形的中心，则的面积为 ．
评卷人得分
三、解答题
19．分解因式：
(1)；
(2)．
20．计算：
21．完成下面各题
(1)若二次三项式可分解为，则______；
(2)若二次三项式可分解为，则______；______；
(3)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值．
22．整体思想是数学解题中常见的一种思想方法．阅读下列材料：
下面是某同学对多项式进行因式分解的过程．将“”
看成一个整体，令，则原式再将“y”还原即可．
解：设，
原式（第一步）
（第二步）
（第三步）
（第四步）
问题：
(1)该同学因式分解的结果不正确，请直接写出正确的结果______；
(2)根据材料，请模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解；
(3)根据材料，请模仿以上方法尝试计算：．
23．如图所示，两个长方形用不同形式拼成图1和图2两个图形．

(1)若图1中的阴影部分面积为；则图2中的阴影部分面积为 ．（用含字母a，b的式子且不同于图1的方式表示）
(2)由（1）你可以得到乘法公式 ．
(3)根据你所得到的乘法公式解决下面的问题：
计算：
①；
②．
③．
24．阅读材料： 像 ……这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号． 数学课上，老师出了一道题“已知，求 的值”．
聪明的小明同学根据上述材料，做了这样的解答：
因为 ，
所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，所以，所以．
请你根据上述材料和小明的解答过程，解决如下问题：
(1)的有理化因式是 ____________． ；
(2)比较大小： ___________（填，，， 或中的一种）；
(3)计算： ；
(4)若，求 的值．
25．如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为智慧数．例如，，，，因此3，5，7这三个数都是“智慧数”．
小组活动任务：从1开始，第2024个智慧数是哪个数呢
某数学兴趣小组的研究过程如下：
【阶段一】
特殊情况探讨：，，，，，……
【阶段二】
一般性探究：同学们想到设是正整数，
，
∴除1外，所有的奇数都是智慧数．
又∵①　　　，
∴除4外，所有能被②　　　整除的偶数都是智慧数．
∴还需要讨论被4除余2的数是否是智慧数．
如果是智慧数，那么必有两个正整数和，使得，即
……
【阶段三】
总结与归纳：把从1开始的正整数依次每4个分成一组，除第一组有③　　　个智慧数外，其余各组都有④　　　个智慧数，而且每组中第⑤　　　个不是智慧数．
请你完成以下任务：
（1）下列偶数中是智慧数的是　　　；
A．2018 B．2022 C．2024 D．2026
（2）请将【阶段二】【阶段三】中的①~⑤分别补充完整；
（3）请完成【阶段二】“……”部分的研究；
（4）在正整数中，从1开始，第2024个智慧数是　　　．
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专题03 因式分解单元过关（培优版）
考试范围：第4章；考试时间：120分钟；总分：150分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
评卷人得分
一、单选题
1．将分解因式的结果是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】平方差公式分解因式
【分析】此题考查了因式分解，熟练掌握公式法因式分解是解答此题的关键．利用平方差公式进行因式分解即可得解．
【详解】解：，
故选：D．
2．小明是一名密码翻译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：，，，，，分别对应下列六个字：县、爱、我、赣、游、美．现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）
A．我爱美 B．赣县游 C．我爱赣县 D．美我赣县
【答案】C
【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、因式分解的应用
【分析】本题主要考查了因式分解的应用．将所给的多项式因式分解，然后与已知的密码相对应得出文字信息．
【详解】解：∵
又∵，，，，分别对应下列四个个字：县，爱，我、赣，
∴结果呈现的密码信息是：我爱赣县．
故选：C．
3．下列各式中，分解因式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】提公因式法分解因式、平方差公式分解因式、判断是否是因式分解
【分析】本题考查因式分解，根据因式分解的概念和方法，逐一进行判断即可．
【详解】解：A选项是多项式的乘法，不是因式分解，错误；
B选项分解时，漏项，应为 错误；
C选项分解正确；
D选项的结果没有化成整式乘积的形式，也不是因式分解，错误．
故选 C．
4．阅读材料：若，求x和y的值．
解：∵，
∴．∴．
问题：已知a、b、c是等腰的三边，且满足，求等腰三角形的周长为（ ）
A．12 B．15 C．12或15 D．3或6
【答案】B
【知识点】完全平方公式分解因式、等腰三角形的定义、三角形三边关系的应用
【分析】先把通过因式分解变形为，再利用非负数的性质得到，再分当为腰，为底时，当为腰，为底时，两种情况结合构成三角形的条件和三角形周长计算公式求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得，
是等腰三角形，
可分两种情况：为腰，为底或为腰，为底，
当为腰，为底时，
∵，
∴不能构成三角形，这种情况不成立，
当为腰，为底时，
∵，
∴此时能构成三角形，
等腰三角形的周长，
综上所述，的三边长只能是，其周长为．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，等腰三角形的定义，构成三角形的条件，非负数的性质，正确把已知条件式进行因式分解是解题的关键．
5．如果，，，4，，分别对应6个字：鹿，鸣，数，我，爱，学，现将因式分解，结果呈现的可能是哪句话（ ）
A．我爱鹿鸣 B．爱鹿鸣 C．鹿鸣数学 D．我爱数学
【答案】A
【知识点】综合提公因式和公式法分解因式
【分析】将因式分解后得到，对照它们分别对应的字，即可得到答案．
【详解】解：
，，4，，分别对应6个字：鹿，鸣，我，爱，
原式因式分解后结果呈现的可能为：我爱鹿鸣
故选：A．
【点睛】本题考查因式分解，熟练掌握提公因式法，公式法---平方差公式是解此题的关键．
6．甲、乙两个长方形的边长如图所示（m为不小于3的整数），其面积分别为，，若满足条件的整数n有且只有6个，则m的值为（ ）
A．7 B．8 C．5 D．9
【答案】B
【知识点】计算多项式乘多项式、由一元一次不等式组的解集求参数、求不等式组的解集
【分析】本题主要考查了根据不等式组的解集情况求参数，解不等式组，多项式乘以多项式，先根据多项式乘以多项式的计算法则分别求出，．进而得到，再由满足条件的整数n有且只有6个，得到，据此求解即可．
【详解】解：由题意得，，
，
∴，
∵满足条件的整数n有且只有6个，
∴，
∴，
∴，
∵m是不少于3的正整数，
∴，
故选：B．
7．下列因式分解变形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】提公因式法分解因式、综合提公因式和公式法分解因式、十字相乘法
【分析】本题主要考查了因式分解，掌握提取公因式法和公式法成为解题的关键．
根据因式分解的方法逐项判断即可．
【详解】解：A、，不符合题意；
B、，不符合题意；
C、，不符合题意；
D、，符合题意．
故选：D．
8．对于任意整数n，都（ ）
A．能被2整除，不能被4整除 B．能被4整除，不能被8整除
C．能被8整除 D．能被5整除
【答案】C
【知识点】平方差公式分解因式、因式分解的应用
【分析】本题考查了因式分解，利用平方差公式分解因式得出，即可作出判断．
【详解】解：
，
为任意整数，
，既能被2整除又能被4整除，
又∵、是连续整数，
∴、必有一个是偶数，
∴能被8整除，即能被8整除，
故选：C．
9．已知，mn=12，则的值为（ ）
A．-84 B．84 C． D．300
【答案】C
【知识点】多个有理数的乘法运算、通过对完全平方公式变形求值、综合提公因式和公式法分解因式
【分析】根据，mn=12，利用完全平方公式变形求出，，再分情况求出答案.
【详解】∵，mn=12，
∴==，
∴，，
当m-n=1，m+n=7时，==mn（m+n）（m-n）=；
当m-n=1，m+n=-7时，==mn（m+n）（m-n）=12 （-7）1=-84；
当m-n=-1，m+n=7时，==mn（m+n）（m-n）=127 （-1）=-84；
当m-n=-1，m+n=-7时，==mn（m+n）（m-n）=12 （-7） （-1）=84；
故选：C.
【点睛】此题考查完全平方公式的变形计算，整式的因式分解，有理数的乘法计算法则，解题中运用分类讨论是思想解决问题.
10．已知，，则的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、综合提公因式和公式法分解因式、因式分解在有理数简算中的应用
【分析】将代数式因式分解，再代数求值即可.
【详解】
故选B
【点睛】本题考查知识点涉及因式分解以及代数式求值，熟练掌握因式分解，简化计算是解答本题的关键.
第II卷（非选择题）
评卷人得分
二、填空题
11．因式分解：
【答案】
【知识点】完全平方公式分解因式、平方差公式分解因式
【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键；因此此题可根据完全平方公式和平方差公式进行因式分解．
【详解】解：原式；
故答案为．
12．如果多项式是完全平方式，则的值为 ．
【答案】0或2
【知识点】求完全平方式中的字母系数
【分析】本题主要考查求完全平方式的字母系数．由题意得，然后再根据完全平方公式把右边展开即可得到的值．
【详解】解：∵，
而，
∴，
解得或0，
故答案为：0或2．
13．若有理数a、b互为相反数，c、d互为倒数，则 ．
【答案】
【知识点】有理数的乘方运算、已知式子的值，求代数式的值、相反数的应用、倒数
【分析】本题考查相反数，倒数，根据相反数的性质得到，即，根据倒数的定义得到，整体代入式子即可解答．
【详解】解：∵有理数a、b互为相反数，c、d互为倒数，
∴，，
∴
∴．
故答案为：
14．若，，则 ．
【答案】2
【知识点】平方差公式分解因式
【分析】本题考查平方差公式因式分解，解题的关键是熟练运用平方差公式．
根据平方差公式因式分解，即可求出答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：2．
15．若，则的值为 ．
【答案】或
【知识点】（x+p）（x+q）型多项式乘法、已知式子的值，求代数式的值、运用完全平方公式进行运算
【分析】本题考查了多项式乘多项式的法则以及已知式子的值，求代数式的值，先把展开，合并同类项，得，结合完全平方公式，列式化简求值，即可作答．
【详解】解：∵
∴，
即，
那么，
即，
∴的值为，
故答案为：．
16．对于定义一种新运算（是非零常数）．例如．若，，则 ．
【答案】
【知识点】构造二元一次方程组求解、已知字母的值 ，求代数式的值
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、代数式求值等知识，正确确定的值是解题关键．首先根据题意确定关于的二元一次方程，求解即可确定的值，然后代入求值即可．
【详解】解：根据题意，可得，
解得，
∴．
故答案为：．
17．已知，，，满足关系式，，则的值为 ．
【答案】74
【知识点】因式分解的应用、运用完全平方公式进行运算、分组分解法
【分析】本题主要考查了化简求值．熟练掌握完全平方公式，提公因式分解因式，是解题的关键．
将，这两式两边平方，再两边分别相加，提取公因式分解因式，可得，即可.
【详解】由题意得，①， ②，
得③，
得④，
得，
，
．
故答案为：74．
18．如图，紧挨在一起的三个正方形的边长分别为a，b，c，且，图中的顶点分别是三个正方形的中心，则的面积为 ．
【答案】
【知识点】面积及等积变换、平方差公式与几何图形、矩形性质理解、根据正方形的性质求面积
【分析】本题考查的是正方形的性质，割补法求解三角形的面积，矩形的性质，整式的混合运算，乘法公式的灵活应用，由可得答案．
【详解】解：如图作矩形．
∵图中的顶点分别是三个正方形的中心，
∴，
∴，，
．
故答案为：
评卷人得分
三、解答题
19．分解因式：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【知识点】平方差公式分解因式、综合提公因式和公式法分解因式
【分析】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用乘法公式分解因式是解题关键．
（1）直接利用平方差公式分解因式得出答案；
（2）直接提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
20．计算：
【答案】
【知识点】运用平方差公式进行运算
【分析】此题考查了平方差公式，首先利用平方差公式的逆运算求解，然后计算乘法即可．
【详解】解：
．
21．完成下面各题
(1)若二次三项式可分解为，则______；
(2)若二次三项式可分解为，则______；______；
(3)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值．
【答案】(1)
(2)9，5
(3)另一个因式为，的值为12．
【知识点】已知因式分解的结果求参数
【分析】本题考查因式分解的意义，解题关键是对题中所给解题思路的理解，同时要掌握因式分解与整式乘法是相反方向的变形，二者是一个式子的不同表现形式．
（1）将展开，根据所给出的二次三项式即可求出的值；
（2）展开，可得出一次项的系数，继而即可求出的值；
（3）设另一个因式为，得，可知，，继而求出和的值及另一个因式．
【详解】（1）解：，
，
解得：；
故答案为：；
（2）解：，
，
；
故答案为：9，5；
（3）解：设另一个因式为，得，
则，，
解得：，，
故另一个因式为，的值为12．
22．整体思想是数学解题中常见的一种思想方法．阅读下列材料：
下面是某同学对多项式进行因式分解的过程．将“”
看成一个整体，令，则原式再将“y”还原即可．
解：设，
原式（第一步）
（第二步）
（第三步）
（第四步）
问题：
(1)该同学因式分解的结果不正确，请直接写出正确的结果______；
(2)根据材料，请模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解；
(3)根据材料，请模仿以上方法尝试计算：．
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】完全平方公式分解因式、因式分解的应用
【分析】本题考查了因式分解-换元法，公式法，也是阅读材料问题，熟练掌握利用公式法分解因式是解题的关键．
（1）最后再利用完全平方公式将结果分解到不能分解为止；
（2）根据材料，用换元法进行分解因式；
（3）设…，则原式…，再将y代入即可求解．
【详解】（1）解：设
原式（第一步）
（第二步）
（第三步）
（第四步）
，
故答案为：；
（2）解：设，
原式
；
（3）解：设…，
原式……
………
…
…
……
23．如图所示，两个长方形用不同形式拼成图1和图2两个图形．

(1)若图1中的阴影部分面积为；则图2中的阴影部分面积为 ．（用含字母a，b的式子且不同于图1的方式表示）
(2)由（1）你可以得到乘法公式 ．
(3)根据你所得到的乘法公式解决下面的问题：
计算：
①；
②．
③．
【答案】(1)
(2)
(3)①；②；③
【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算、平方差公式与几何图形
【分析】本题考查平方差公式和完全平方公式．利用数形结合的思想是解答本题的关键．
（1）由图2可知该长方形的长为，宽为，从而由长方形面积公式即可得出答案；
（2）由图1和图2的阴影部分面积相等，即得出；
（3）①由平方差公式计算即可；
②由平方差公式和完全平方公式计算即可；
③式子先乘以，再由平方差公式计算即可．
【详解】（1）图2中的阴影部分面积为．
故答案为：；
（2）由（1）可以得到乘法公式：．
故答案为：；
（3）解：①
；
②
．
；
③
．
24．阅读材料： 像 ……这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号． 数学课上，老师出了一道题“已知，求 的值”．
聪明的小明同学根据上述材料，做了这样的解答：
因为 ，
所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，所以，所以．
请你根据上述材料和小明的解答过程，解决如下问题：
(1)的有理化因式是 ____________． ；
(2)比较大小： ___________（填，，， 或中的一种）；
(3)计算： ；
(4)若，求 的值．
【答案】(1)，
(2)
(3)2021
(4)7
【知识点】运用平方差公式进行运算、分母有理化、已知条件式，化简求值
【分析】本题主要考查了二次根式的运算，平方差公式．
（1）根据有理化因式的定义即可解决问题；
（2）根据题意得出所给两个二次根式都是正数，再结合有理化因式的定义比较它们的倒数大小即可解决问题；
（3）先将里的分母有理化，然后合并，再和相乘，最后算减法即可；
（4）根据题干所给示例进行计算即可．
【详解】（1）解：由题知，的有理化因式是，
∴．
故答案为：，；
（2）解：∵，，
显然，即
又∵和都是正数，
∴，
故答案为：；
（3）解：原式
；
（4）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
25．如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为智慧数．例如，，，，因此3，5，7这三个数都是“智慧数”．
小组活动任务：从1开始，第2024个智慧数是哪个数呢
某数学兴趣小组的研究过程如下：
【阶段一】
特殊情况探讨：，，，，，……
【阶段二】
一般性探究：同学们想到设是正整数，
，
∴除1外，所有的奇数都是智慧数．
又∵①　　　，
∴除4外，所有能被②　　　整除的偶数都是智慧数．
∴还需要讨论被4除余2的数是否是智慧数．
如果是智慧数，那么必有两个正整数和，使得，即
……
【阶段三】
总结与归纳：把从1开始的正整数依次每4个分成一组，除第一组有③　　　个智慧数外，其余各组都有④　　　个智慧数，而且每组中第⑤　　　个不是智慧数．
请你完成以下任务：
（1）下列偶数中是智慧数的是　　　；
A．2018 B．2022 C．2024 D．2026
（2）请将【阶段二】【阶段三】中的①~⑤分别补充完整；
（3）请完成【阶段二】“……”部分的研究；
（4）在正整数中，从1开始，第2024个智慧数是　　　．
【答案】（1）C；（2）①；②4；③1；④3；⑤二；（3）见解析；（4）2701
【知识点】运用平方差公式进行运算
【分析】（1）除4外，所有能被4整除的偶数都是智慧数；
（2）根据平方差公式即可求解；
（3）根据平方差公式即可求解；
（4）综合（1）和（2）可得，除1外，所有的奇数都是智慧数；除4外，所有能被4整除的偶数都是智慧数．
【详解】解：（1）A、，
B、，
C、，
D、，
是智慧数的是C．
故答案为：C；
（2）一般性探究：同学们想到设是正整数，
，
∴除1外，所有的奇数都是智慧数．
又∵，
∴除4外，所有能被4整除的偶数都是智慧数．
总结与归纳：把从1开始的正整数依次每4个分成一组，除第一组有1个智慧数外，其余各组都有3个智慧数，而且每组中第二个不是智慧数．
故答案为：①；②4；③1；④3；⑤二；
（3）如果是智慧数，那么必有两个正整数和，使得，即．
因为和这两个数的奇偶性相同，
所以①式中等号右边要么是4的倍数，要么是奇数，
而左边一定是偶数，但一定不是4的倍数，
可见等式左、右两边不相等，
所以不是智慧数，即被4除余2的正整数都不是智慧数．
（4）把从1开始的正整数依次每4个分成一组，除第一组有1个智慧数外，其余各组都有3个智慧数，而且每组中第二个不是智慧数，
又，
第2022个智慧数在（组），并且是第1个数，即．
故答案为：2701．
【点睛】本题考查了同余问题，新定义“智慧数”以及平方差公式的运用，解题关键是根据题目条件挖掘素材，得到方法，解决该类型题时，只要仿照文中给定的办法即可得出结论．
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