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专题01 因式分解
（一）因式分解的定义
（1）因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．
（2）因式分解的定义注意事项：
①分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可；
②因式分解必须是恒等变形；
③因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止．
④因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式．
（二）因式分解的方法
（1）提公因式法：pa+pb+pc=p(a+b+c)；
【提公因式法的注意事项】
①定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数。
②定字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母。
③定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母最低次幂。
④查结果：最后检查核实，应保证含有多项式的因式中再无公因式。
（2）公式法
运用公式法分解因式的实质是把整式中的乘法公式反过来使用；
平方差公式： a2－b2＝（a＋b）（a－b）
② 完全平方公式： a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2
a2－2ab＋b2＝（a－b）2
（3）十字相乘：a2+(p+q)a+pq=(a+p)(a+q)
（三）因式分解的步骤
（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式。
（2）在各项提出公因式以后或各项没有公因式的情况下，观察多项式的项数：2项式可以尝试运用公式法分解因式；3项式可以尝试运用公式法、十字相乘法分解因式；4项式及4项式以上的可以尝试分组分解法分解因式
（3）分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解为止。
考点1：因式分解的定义
典例1：下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1】下列等式中，从左到右的变化是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】下列各式从左到右是因式分解的是 ．
①； ②；
③； ④；
⑤； ⑥．
【变式3】观察下列从左到右的变形：①；②；③；④．其中是因式分解的是 （填序号）．
考点2：由因式分解求字母
典例2：若，则的值是( )
A． B． C． D．
【变式1】若，那么k的值是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【变式2】已知二次三项式因式分解的结果是，则 ．
【变式3】多项式因式分解的结果是，则 ，
考点3：因式分解的几何证明
典例3：通过计算比较图1，图2中阴影部分的面积，可以验证的计算式子是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1】将几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个等式．例如，由图（）可得等式：，将图（）所示的卡片若干张进行拼图，可以将二次三项式分解因式为（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】有足够多如图的长方形和正方形的卡片，如果分别选取1号、2号、3号卡片各1张、2张、3张，可不重叠、无缝隙拼成右图的长方形，则运用拼图前后面积之间的关系可以写出一个因式分解的式子： ．
【变式3】如图，四边形ABCD是一个长方形，根据图中所标注的线段长度表示长方形ABCD的面积，可得到的表示一个多项式因式分解的代数恒等式为 ．
考点4：因式分解——提公因式
典例4：因式分解：
(1)；
(2)；
【变式1】因式分解：
【变式2】分解因式：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【变式3】把下列各式分解因式：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
考点5：因式分解——平方差公式
典例5：在实数范围内分解因式：．
丽华的解题过程如下：
解：原式．
请问丽华因式分解的结果正确吗？如果不正确，请把正确的解题过程写出来．
【变式1】分解因式：
(1)；
(2)；
【变式2】阅读与思考：分组分解法指通过分组分解的方式来分解用提公因式法和公式法无法直接分解的多项式，比如：四项的多项式一般按照“两两”分组或“三一”分组，进行分组分解．
例1：“两两分组”： 解：原式 ． 例2：“三一分组”： 解：原式 ．
归纳总结：用分组分解法分解因式要先恰当分组，然后用提公因式法或运用公式法继续分解．
请同学们在阅读材料的启发下解答下列问题：
分解因式：
(1)；
(2)．
【变式3】分解因式
(1)
(2)
(3)
考点6：因式分解——完全平方公式
典例6：参考某同学对多项式进行因式分解的过程：
解：设，
则
，
请你模仿以上方法对下列多项式进行因式分解．
(1)；
(2)．
【变式1】下面是莉莉同学的数学学习笔记的部分内容，请仔细阅读并完成相应的任务．
因式分解：． 解：设， 原式 ___________ （依据） ___________．
任务：
(1)将学习笔记补充完整．
(2)材料中的依据是指____________．（填序号）
①提取公因式；②平方差公式；③完全平方公式．
(3)请你模仿上述方法，对多项式进行因式分解．
【变式2】阅读以下材料
材料：因式分解：
解：将“”看成整体，令，则原式
再将“A”还原，得原式
上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题：
(1)因式分解：______；
(2)因式分解：；
【变式3】【阅读材料】
因式分解：．
解：将“”看成整体，令，则原式．再将“”还原，原式．上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法．
【问题解决】
(1)因式分解：；
(2)因式分解：；
(3)证明：若为正整数，则代数式的值一定是某个整数的平方．
考点7：因式分解——十字相乘法
典例7：将多项式因式分解，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1】下列因式分解不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】多项式因式分解的结果 ．
【变式3】分解因式： ．
考点8：平方差公式因式分解应用——整除问题
典例8：如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神奇数”．如：，，，因此4，这三个数都是神奇数，
(1)直接判断：______（是或不是）神奇数，______（是或不是）神奇数；
(2)设两个连续偶数为和（其中k取非负整数），下面是三个同学演算后的发现，请选出正确的“发现”________（填序号），并从你所选的序号中挑一个加以说理。
①莆莆发现：由这两个连续偶数构造的“神奇数”是4的倍数．
②田田发现：若长方形相邻两边长为两个连续偶数，则周长一定为神奇数．
③仁仁发现：若长方形相邻两边长为两个连续偶数，则面积一定为神奇数．
【变式1】如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．例如：，，，因此4，12，20这三个数都是“神秘数”．
(1)28和52这两个数是神秘数吗？为什么？
(2)设两个连续偶数为和（其中k取非负数），由这两个连续偶数构成的“神秘数”是4的倍数吗？为什么？
【变式2】观察下列各式：；；，不难发现规律：比任意一个偶数大3的数与此偶数的平方差能被3整除．
(1)的结果是3的____倍；
(2)设偶数为，试说明比大5的数与的平方差能被5整除；
(3)比任意一个整数大5的数与此整数的平方差被10整除的余数是几？说明理由．
【变式3】认真观察下面这些算式：
①，
②，
③，
④，
……
完成下列问题：
(1)照上面的规律，算式⑤为________；
(2)上述算式的规律可以用文字概括为：“两个连续奇数的平方差能被8整除”，若记算式中的前一个奇数为，请用含的式子表示这个规律，并证明；
(3)请直接判断“两个连续偶数的平方差能被8整除”是否正确．
考点9：完全平方公式因式分解应用——三角形形状
典例9：“我们把多项式及叫做完全平方式．”如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等．
例如：分解因式：
解：原式
例如：求代数式的最小值．
解：，
因为：，所以：当时，有最小值，最小值是．
根据阅读材料用配方法解决下列问题：
(1)分解因式：____________．
(2)当a，b为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值．
(3)已知a，b，c是的三条边，且满足，试判断的形状．
【变式1】我们已经学过利用提公因式法和公式法进行分解因式．对于超过三项的多项式，可以利用分组的方法进行分解因式．即先将一个多项式进行适当的分组（或组合），再利用已经学过的方法进行分解因式．如：
分解因式：
．
利用上述方法解决下列问题：
(1)分解因式：；
(2)已知的三边满足，判断的形状，并说明理由．
【变式2】阅读材料：若，求、的值．
解：，
，而，，
且，
，．
根据你的观察，探究下面的问题：
(1)，则_____；_____．
(2)已知的三边，，满足，则此三角形的形状为_____．
(3)已知的三边长、、都是正整数，且，求的周长．
【变式3】阅读材料：我们把多项式及这样的式子叫做完全平方式如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等．
例如：分解因式．
原式．
由上式可知: =，因为≥0，所以当=0，即时，的最小值是-4．
根据以上材料，利用多项式的配方解答下列问题．
(1)利用配方法分解因式：；
(2)根据上面解题思路可知多项式有最小值，即当x= 时，最小值是 ．
(3)已知、、分别是三边的长且，请判断的形状，并说明理由．
考点10：因式分解综合——整体法
典例10：先阅读材料，再回答问题：
分解因式：．
解：将“”看成整体，令，则原式，再将还原，得到：原式．
上述解题过程中用到了“整体思想”，它是数学中常用的一种思想．请你用整体思想解决下列问题：
(1)因式分解：_______．
(2)因式分解：_______．
(3)若为正整数，则的值为某一个正整数的平方．请说明理由．
【变式1】【阅读材料】
因式分解：．
解：将“”看成整体，令，则原式．
再将“”还原，原式．
上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法．
【问题解决】
(1)因式分解：；
(2)因式分解：；
(3)证明：若为正整数，则代数式的值一定是某个整数的平方．
【变式2】阅读材料A：利用完全平方公式，可以解决很多的数学问题．
例如：若，，求的值．
解：∵，，
∴，
即：．∴．
阅读材料B：在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元法），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．下面是小明同学用换元法对多项式进行因式分解的过程．
解：令，
原式（第一步）
（第二步）
（第三步）
（第四步）
(1)请根据材料A，解答问题：若，，求的值；
(2)请根据材料B，解答问题：
①在材料B中，老师说，小明同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果______；
②因式分解：．
(3)综合运用：
若实数x满足，求的值．
【变式3】阅读材料：
常用的分解因式方法有提公因式法、公式法等．但有的多项式只用上述方法就无法分解，如，细心观察这个式子会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，分解过程为：
…分组
…组内分解因式
…整体思想提公因式
这种分解因式的方法叫分组分解法．
根据以上材料，解答下列问题：
(1)按上述方法因式分解：
①；
②；
(2)已知， ，为的三边，且，试判断的形状并说明理由．
考点11：因式分解综合——添项、拆项
典例1：你数学老师教你因式分解的场面你一定还记忆犹新吧！现让我们来温故一下因式分解的几种方法并练习！
（1）提取公因式法：提取各单项式中的公因式，提取完后合并单项式分解因式： ；
（2）十字相乘法：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数．其实就是运用乘法公式的逆运算来进行因式分解：
①分解因式 ；
②解方程：．
（3）拆项添项法：即把多项式中某一项拆成两项或多项，或在多项式中添上两个符合相反的项．
① ；
② ；
除以上方法外因式分解还有双十字相乘法、换元法、因式定理法、待定系数法等．
[综合应用]分解因式： ．
【变式1】阅读与思考：
在因式分解中，有些多项式看似不能分解，如果添加某项，可以达到因式分解的效果，此类因式分解的方法称之为“添项法”． 例如： ． 参照上述方法，我们可以对因式分解，下面是因式分解的部分解答过程．
任务：
(1)请根据以上阅读材料补全对因式分解的过程．
(2)已知，，求的值．
【变式2】【阅读理解】
对于二次三项式，能直接用公式法进行因式分解，得到，但对于二次三项式，就不能直接用公式法了．
我们可以采用这样的方法：在二次三项式中先加上一项，使其成为完全平方式，再减去这项，使整个式子的值不变，于是：
像这样把二次三项式分解因式的方法叫做添（拆）项法．
(1)【问题解决】请用上述方法将二次三项式分解因式．
(2)运用材料中的添（拆）项法分解因式：．
【变式3】【学习材料】——拆项添项法
在对某些多项式进行因式分解时，需要把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符号相反的项，这样的分解因式的方法称为拆项添项法．如：
例1分解因式：．
解：原式＝ ．
例2分解因式：x3+5x﹣6．
解：原式＝x3－x+6x－6＝x（x2－1）+6（x－1）＝（x－1）（x2+x+6）．
【知识应用】请根据以上材料中的方法，解决下列问题：
(1)分解因式：x2+14x－51＝______．
(2)化简：．
考点12：因式分解综合——分组分解
典例12：阅读理解：因式分解有多种方法，除了提公因式法、公式法、十字相乘法等，还有分组分解法、拆项法、配方法等．一般情况下，我们需要综合运用多种方法才能解决问题．
例如：分解因式：．
解：原式第1步：拆项法，将拆成和
第2步：分组分解法，通过添括号进行分组
第3步：提公因式法和十字相乘法(局部)
第4步：提公因式法(整体)；
第5步：十字相乘法，最后结果分解彻底
(1)请你试一试分解因式：；
(2)请你试一试在实数范围内分解因式：．
【变式1】［阅读材料］
将四项及四项以上的多项式进行因式分解，我们一般使用分组分解法．分组分解法有两种分法：一是“”分组．二是“”分组．两种分组的主要区别就在于多项式中是否存在三项可以构成完全平方，若可以构成完全平方，则采用“”分组；若无法构成，则采用“”分组．
例如：；
．
［应用知识］
（1）因式分解：．
（2）因式分解：．
［拓展应用］
（3）已知一三角形的三边长分别是，且满足：．试判断这个三角形的形状，并说明理由．
【变式2】阅读理解∶
当一个多项式没有公因式又不能用公式法时，这里再介绍一种因式分解方法，叫分组分解法．
比如因式分解：
这种分组法是分组后用提公因式法分解；
比如因式分解：
这种分组法是分组后用公式法分解．
根据以上信息分解因式：
(1)；
(2)；
(3)．
【变式3】阅读下列材料：
因式分解的常用方法有提公因式法和公式法，但有的多项式仅用上述方法就无法分解，如．我们细心观察这个式子就会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合再运用平方差公式进行分解，
过程如下：
．
这种因式分解的方法叫分组分解法．
利用这种分组的思想方法解决下列问题：
(1)因式分解：；
(2)因式分解：．
考点13：因式分解综合——阅读理解
典例13：阅读下列材料：
因式分解的常用方法有提取公因式法和公式法，但有的多项式仅用上述方法无法分解，如，我们细心观察这个式子就会发现，前三项符合完全平方公式．
解题过程如下：．
这种因式分解的方法叫分组分解法．
利用这种分组分解的思想方法解决下列问题：
(1)因式分解：；
(2)因式分解：；
(3)若a，b为非零实数，，且，求的值．
【变式1】阅读下列材料：
因式分解的常用方法有提取公因式法和公式法，但有的多项式仅用上述方法就无法分解，如，我们细心观察这个式子就会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合再运用平方差公式进行分解．
过程如下：．
这种因式分解的方法叫分组分解法．
利用这种分组的思想方法解决下列问题：
(1)因式分解：；
(2)因式分解：；
(3)若、、为非零实数，且，求证：．
【变式2】阅读理解：
一位同学将代数式变形为，得到后分析发现，那么当时，此代数式有最小值是4．
请同学们思考以下问题：
(1)已知代数式，此代数式有最___________值（填“大”或“小”），且值为___________．
(2)已知代数式，此代数式有最___________值（填“大”或“小”），且值为___________．
(3)通过阅读材料分析代数式的最值情况，写出详细过程及结论．
(4)已知代数式（其中a、b、c为常数，且），探究此代数式的最值情况，若果有，请直接写出答案，如果没有，请说明理由．
【变式3】阅读下列材料：
在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，这种方法就是换元法．
对于．
解法一：设，则原式
；
解法二：设，，则原式
．
请按照上面介绍的方法解决下列问题：
(1)因式分解：；
(2)因式分解：；
(3)求证：多项式的值一定是非负数．
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专题01 因式分解
（一）因式分解的定义
（1）因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．
（2）因式分解的定义注意事项：
①分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可；
②因式分解必须是恒等变形；
③因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止．
④因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式．
（二）因式分解的方法
（1）提公因式法：pa+pb+pc=p(a+b+c)；
【提公因式法的注意事项】
①定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数。
②定字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母。
③定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母最低次幂。
④查结果：最后检查核实，应保证含有多项式的因式中再无公因式。
（2）公式法
运用公式法分解因式的实质是把整式中的乘法公式反过来使用；
平方差公式： a2－b2＝（a＋b）（a－b）
② 完全平方公式： a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2
a2－2ab＋b2＝（a－b）2
（3）十字相乘：a2+(p+q)a+pq=(a+p)(a+q)
（三）因式分解的步骤
（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式。
（2）在各项提出公因式以后或各项没有公因式的情况下，观察多项式的项数：2项式可以尝试运用公式法分解因式；3项式可以尝试运用公式法、十字相乘法分解因式；4项式及4项式以上的可以尝试分组分解法分解因式
（3）分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解为止。
考点1：因式分解的定义
典例1：下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】判断是否是因式分解
【分析】此题考查因式分解的定义，解题关键在于需要掌握因式分解的定义．把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，就是因式分解，通过分析各项中，哪项等式右边为乘积的形式，即可解答题目．
【详解】解：A、，从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
B、，等式的右边不是几个整式的积的形式，即从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；
C、，等式的右边不是几个整式的积的形式，即从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；
D、，从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意；
故选：D．
【变式1】下列等式中，从左到右的变化是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】判断是否是因式分解
【分析】此题考查了因式分解，理解分解因式概念是解题的关键．
把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做因式分解，据此进行判断即可．
【详解】解：A、从左到右的变形属于整式乘法，不是因式分解，不符合题意；
B、等式右边不是乘积形式，不是因式分解，不符合题意；
C、是因式分解，符合题意；
D、等式右边不是乘积形式，不是因式分解，不符合题意；
故选：C．
【变式2】下列各式从左到右是因式分解的是 ．
①； ②；
③； ④；
⑤； ⑥．
【答案】③④⑥
【知识点】判断是否是因式分解
【分析】根据因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，判断求解．
【详解】解：①是整式的乘法，不是因式分解，故不符合题意；
②右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，故不符合题意；
③是因式分解，故符合题意；
④是因式分解，故符合题意；
⑤等号不成立，不是因式分解，故不符合题意；
⑥是因式分解，故符合题意；
故答案为：③④⑥．
【点睛】此题考查了因式分解．解题的关键是掌握因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．
【变式3】观察下列从左到右的变形：①；②；③；④．其中是因式分解的是 （填序号）．
【答案】③
【知识点】判断是否是因式分解
【解析】略
考点2：由因式分解求字母
典例2：若，则的值是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】（x+p）（x+q）型多项式乘法、已知因式分解的结果求参数
【分析】本题考查了因式分解与多项式乘多项式，计算即可求解．
【详解】解：∵
∴
∴
∴，
故选：B．
【变式1】若，那么k的值是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【知识点】因式分解的应用、已知因式分解的结果求参数
【分析】本题考查了平方差公式的应用；先把等式右边利用平方差公式进行计算；然后与左边的比较即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
故选：C．
【变式2】已知二次三项式因式分解的结果是，则 ．
【答案】1
【知识点】已知因式分解的结果求参数、计算多项式乘多项式
【分析】本题考查因式分解的应用，利用多项式乘多项式的法则，将展开，求出的值，再代入代数式求值即可．
【详解】解：∵，且，
∴，
∴；
故答案为：1．
【变式3】多项式因式分解的结果是，则 ，
【答案】
【知识点】已知因式分解的结果求参数、（x+p）（x+q）型多项式乘法
【分析】本题考查了整式的因式分解，掌握多项式乘多项式法则及乘法与因式分解的关系是解决本题的关键．
先利用多项式乘多项式法则算乘法，再利用乘法与因式分解的关系得结论．
【详解】解：∵，
又∵多项式因式分解的结果是，
故答案为：．
考点3：因式分解的几何证明
典例3：通过计算比较图1，图2中阴影部分的面积，可以验证的计算式子是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】因式分解的应用
【分析】本题主要考查因式分解，先根据图和图，分别用两种方法表示出阴影部分面积，然后列出等式即可；掌握数形结合思想成为解题的关键．
【详解】解：图1中的阴影部分的面积为，
图2中的阴影部分的面积为，
∴，
故答案为∶D．
【变式1】将几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个等式．例如，由图（）可得等式：，将图（）所示的卡片若干张进行拼图，可以将二次三项式分解因式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】多项式乘多项式与图形面积、因式分解的应用
【分析】本题考查了因式分解的应用，作出图形，利用所示图形的面积间的和差关系即可求解，熟练掌握因式分解是解题的关键．
【详解】解：如下图：
∴，
故选：．
【变式2】有足够多如图的长方形和正方形的卡片，如果分别选取1号、2号、3号卡片各1张、2张、3张，可不重叠、无缝隙拼成右图的长方形，则运用拼图前后面积之间的关系可以写出一个因式分解的式子： ．
【答案】
【知识点】因式分解的应用
【分析】用两种不同法方法求长方形的面积．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了多项式相乘的几何背景，掌握长方形的面积公式是解题的关键．
【变式3】如图，四边形ABCD是一个长方形，根据图中所标注的线段长度表示长方形ABCD的面积，可得到的表示一个多项式因式分解的代数恒等式为 ．
【答案】
【知识点】多项式乘多项式与图形面积、因式分解的应用
【分析】根据长方形的面积=长×宽，长方形的面积=1个正方形的面积+2个矩形的面积，通过两种计算方法，得到代数恒等式m2+2mn=m（m+2n），得到等式．
【详解】解：∵长方形ABCD的面积=m2+2mn，
长方形ABCD的面积=m（m+2n），
∴m2+2mn=m（m+2n）．
故答案为：m2+2mn=m（m+2n）．
【点睛】本题考查因式分解的应用，用两种计算方法计算长方形的面积从而得到等式．
考点4：因式分解——提公因式
典例4：因式分解：
(1)；
(2)；
【答案】(1)
(2)
【知识点】提公因式法分解因式
【分析】本题考查了提公因式法分解因式，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
（1）原式提取公因式即可；
（2）原式提取公因式即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【变式1】因式分解：
【答案】
【知识点】提公因式法分解因式
【分析】本题考查了因式分解，提公因式，即可求解．
【详解】解：
【变式2】分解因式：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【知识点】提公因式法分解因式
【分析】本题考查的是提公因式法分解因式，掌握公因式的确定是解本题的关键；
（1）直接利用提公因式分解因式即可；
（2）直接利用提公因式分解因式即可；
（3）直接利用提公因式分解因式即可；
（4）直接利用提公因式分解因式即可；
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
；
【变式3】把下列各式分解因式：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【知识点】提公因式法分解因式
【分析】本题考查的是提公因式分解因式，确定公因式是解本题的关键；
（1）直接利用提公因式法分解因式即可；
（2）直接利用提公因式法分解因式即可；
（3）直接利用提公因式法分解因式即可；
（4）直接利用提公因式法分解因式即可；
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
；
考点5：因式分解——平方差公式
典例5：在实数范围内分解因式：．
丽华的解题过程如下：
解：原式．
请问丽华因式分解的结果正确吗？如果不正确，请把正确的解题过程写出来．
【答案】不正确，正确的解题过程见解析．
【知识点】平方差公式分解因式
【分析】本题考查了实数范围内分解因式，正确理解平方差公式的结构是关键．
分解因式要分解彻底，根据平方差公式进行两次分解即可．
【详解】解：不正确，正确的解题过程如下：
原式
．
【变式1】分解因式：
(1)；
(2)；
【答案】(1)
(2)
【知识点】平方差公式分解因式
【分析】本题主要考查了因式分解：
（1）利用平方差公式分解因式即可；
（2）先利用平方差公式去括号，然后合并同类项，再利用平方差公式分解因式即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【变式2】阅读与思考：分组分解法指通过分组分解的方式来分解用提公因式法和公式法无法直接分解的多项式，比如：四项的多项式一般按照“两两”分组或“三一”分组，进行分组分解．
例1：“两两分组”： 解：原式 ． 例2：“三一分组”： 解：原式 ．
归纳总结：用分组分解法分解因式要先恰当分组，然后用提公因式法或运用公式法继续分解．
请同学们在阅读材料的启发下解答下列问题：
分解因式：
(1)；
(2)．
【答案】(1)；
(2)
【知识点】分组分解法、平方差公式分解因式
【分析】本题主要考查因式分解，理解题目中的例题的方法是解题的关键．
（1）根据“两两分组”中的例题因式分解即可；
（2）根据“三一分组”中的例题写出因式分解的结果．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【变式3】分解因式
(1)
(2)
(3)
【答案】(1)；
(2)；
(3)
【知识点】平方差公式分解因式
【分析】本题考查了因式分解：
（1）利用平方差公式进行因式分解，即可求解；
（2）利用平方差公式进行因式分解，即可求解；
（3）利用平方差公式进行因式分解，即可求解；
【详解】（1）解：
．
（2）解：
（3）解：
考点6：因式分解——完全平方公式
典例6：参考某同学对多项式进行因式分解的过程：
解：设，
则
，
请你模仿以上方法对下列多项式进行因式分解．
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【知识点】完全平方公式分解因式
【分析】本题主要考查换元法的运用，公式法因式分解，掌握换元思想，公式法分解因式的方法是解题的关键．
（1）运用换元法设，再运用完全平方公式因式分解即可；
（2）方法一：设；方法二：设；再运用完全平方公式因式分解即可．
【详解】（1）解：设，
则
；
（2）解：方法一：设，
则
；
方法二：设，
则
．
【变式1】下面是莉莉同学的数学学习笔记的部分内容，请仔细阅读并完成相应的任务．
因式分解：． 解：设， 原式 ___________ （依据） ___________．
任务：
(1)将学习笔记补充完整．
(2)材料中的依据是指____________．（填序号）
①提取公因式；②平方差公式；③完全平方公式．
(3)请你模仿上述方法，对多项式进行因式分解．
【答案】(1)；
(2)③
(3)
【知识点】完全平方公式分解因式
【分析】本题考查因式分解的应用，用换元法化繁为简进行因式分解是解决本题的关键，应注意因式分解一定要分解到底；
（1）利用换元法和完全平方式进行分解即可；
（2）根据完全平方公式求解即可；
（3）利用换元法和完全平方式进行分解即可．
【详解】（1）．
解：设，
原式
．
（2）材料中的依据是指完全平方公式
（3）
设
原式
【变式2】阅读以下材料
材料：因式分解：
解：将“”看成整体，令，则原式
再将“A”还原，得原式
上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题：
(1)因式分解：______；
(2)因式分解：；
【答案】(1)
(2)
【知识点】完全平方公式分解因式
【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是仔细读题，理解题意，掌握整体思想解决问题的方法．
（1）将“”看成整体，得原式，利用完全平方公式因式分解即可；
（2）将“”看成整体，令，则原式，再将“A”还原，得：原式．
【详解】（1）解：
＝
＝；
故答案为：；
（2）解：设，
原式，
将A还原，则原式．
【变式3】【阅读材料】
因式分解：．
解：将“”看成整体，令，则原式．再将“”还原，原式．上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法．
【问题解决】
(1)因式分解：；
(2)因式分解：；
(3)证明：若为正整数，则代数式的值一定是某个整数的平方．
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【知识点】完全平方公式分解因式、因式分解的应用
【分析】本题考查换元法、提公因式法、公式法分解因式，理解“换元法”的意义，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键．
（1）用换元法设，将原式化为，再利用完全平方公式得出，再将A还原即可；
（2）设，则原式，再将B还原，最后再利用完全平方公式即可；
（3）先计算，再利用完全平方公式即可．
【详解】（1）解：令，
，
将“A”还原，可以得到：原式；
（2）解：令，
则
，
将“B”还原，可以得到：
原式；
（3）解：
，
∵n为正整数，
∴正整数．
∴，
∴代数式的值一定是某个整数的平方．
考点7：因式分解——十字相乘法
典例7：将多项式因式分解，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】十字相乘法
【分析】本题主要考查了分解因式，直接利用十字相乘法分解因式即可得到答案．
【详解】解：，
故选：A．
【变式1】下列因式分解不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】完全平方公式分解因式、十字相乘法
【分析】本题主要考查了多项式的因式分解．据完全平方公式以及十字相乘法进行解答．
【详解】解：A、，故本选项正确，不符合题意；
B、，故本选项正确，不符合题意；
C、，故本选项正确，不符合题意；
D、，故本选项错误，符合题意；
故选：D
【变式2】多项式因式分解的结果 ．
【答案】
【知识点】十字相乘法
【分析】本题考查了十字相乘法分解因式，牢记十字相乘法分解因式的方法是解题的关键：对于形如的二次三项式，若能找到两数、，使，且，那么就可以进行如下的因式分解，即．
按照十字相乘法分解因式的方法进行计算即可．
【详解】解：，
故答案为：．
【变式3】分解因式： ．
【答案】
【知识点】十字相乘法
【分析】本题考查了因式分解，先提取，再对进行因式分解，即可求解；掌握因式分解的方法是解题的关键．
【详解】解：原式
；
故答案：．
考点8：平方差公式因式分解应用——整除问题
典例8：如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神奇数”．如：，，，因此4，这三个数都是神奇数，
(1)直接判断：______（是或不是）神奇数，______（是或不是）神奇数；
(2)设两个连续偶数为和（其中k取非负整数），下面是三个同学演算后的发现，请选出正确的“发现”________（填序号），并从你所选的序号中挑一个加以说理。
①莆莆发现：由这两个连续偶数构造的“神奇数”是4的倍数．
②田田发现：若长方形相邻两边长为两个连续偶数，则周长一定为神奇数．
③仁仁发现：若长方形相邻两边长为两个连续偶数，则面积一定为神奇数．
【答案】(1)是，不是
(2)①②
【知识点】因式分解的应用
【分析】本题主要考查了因式分解的应用，找到一般规律是解题关键．
（1）设两个连续偶数为和（其中k取非负整数），则，据此即可判断；
（2）根据（1）中的结论即可判断；
【详解】（1）解：∵，
∴是神奇数；
设两个连续偶数为和（其中k取非负整数），
则，
令，解得：（不符合题意）；
∴不是神奇数；
故答案为：是，不是
（2）解：由（1）得：，
∴由这两个连续偶数构造的“神奇数”是4的倍数．故①正确；
若长方形相邻两边长为两个连续偶数，设其为和（k取正整数），
则周长，故周长一定为神奇数，故②正确；
面积，
∵为奇数，而是偶数，
∴面积不是神秘数．故③错误；
故答案为：①②
【变式1】如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．例如：，，，因此4，12，20这三个数都是“神秘数”．
(1)28和52这两个数是神秘数吗？为什么？
(2)设两个连续偶数为和（其中k取非负数），由这两个连续偶数构成的“神秘数”是4的倍数吗？为什么？
【答案】(1)28和52这两个数都是神秘数
(2)是，见解析
【知识点】运用平方差公式进行运算、因式分解的应用
【分析】此题主要考查了平方差公式的应用，此题是一道新定义题目，熟练记忆平方差公式是解题关键．
（1）根据“神秘数”的定义，只需看能否把28和52这两个数写成两个连续偶数的平方差即可判断；
（2）运用平方差公式进行计算，进而判断即可；
【详解】（1）解： 28和52这两个数是神秘数；
∵，，
∴28和52这两个数都是神秘数．
（2）解：由和这两个连续偶数构成的“神秘数”是4的倍数．
∵，
∴能被4整除，
∴由这两个连续偶数构成的“神秘数”是4的倍数．
【变式2】观察下列各式：；；，不难发现规律：比任意一个偶数大3的数与此偶数的平方差能被3整除．
(1)的结果是3的____倍；
(2)设偶数为，试说明比大5的数与的平方差能被5整除；
(3)比任意一个整数大5的数与此整数的平方差被10整除的余数是几？说明理由．
【答案】(1)19
(2)见解析
(3)余数为5，理由见解析
【知识点】因式分解的应用、平方差公式分解因式
【分析】本题主要考查了运用平方差公式分解因式，分解因式的应用；
（1）计算出的结果，即可；
（2）根据“比大5的数与的平方差”列式，再利用平方差公式计算即可；
（3）设这个数为，比大5的数为，再利用平方差公式计算即可．
【详解】（1）解：，
即的结果是3的倍，
故答案为：；
（2）解：偶数为，比大5的数为，
∴，
∵为整数，
∴能被5整除，
∴比大5的数与的平方差能被5整除；
（3）解：余数为，理由如下：
设这个数为，比大5的数为，
∴，
∵，
∴被10整除的余数是，
即比任意一个整数大5的数与此整数的平方差被10整除的余数是．
【变式3】认真观察下面这些算式：
①，
②，
③，
④，
……
完成下列问题：
(1)照上面的规律，算式⑤为________；
(2)上述算式的规律可以用文字概括为：“两个连续奇数的平方差能被8整除”，若记算式中的前一个奇数为，请用含的式子表示这个规律，并证明；
(3)请直接判断“两个连续偶数的平方差能被8整除”是否正确．
【答案】(1)
(2)，证明见解析
(3)不成立，理由见解析
【知识点】用反证法证明命题、因式分解的应用、数字类规律探索
【分析】本题考查平方差公式的应用、数字规律等知识点，将数进行合理的分解是解决整除问题的关键．对不成立的原因，举反例是行之有效的办法．
（1）仿照已有等式写出答案即可；
（2）根据文字概括用含的式子表示这个规律即可；
（3）采用举反例的方法即可解答．
【详解】（1）解：①，
②，
③，
④，
……
⑤．
故答案为．
（2）解：规律，证明如下：
两个连续奇数，前一个为，则后一个为
∵两个连续奇数的平方差能被8整除，
∴
，
∵n为整数，
∴两个连续奇数的平方差能被8整除．
（3）解：不成立，理由如下：
举反例，如，
∵12不是8的倍数，
∴这个说法不成立．
考点9：完全平方公式因式分解应用——三角形形状
典例9：“我们把多项式及叫做完全平方式．”如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等．
例如：分解因式：
解：原式
例如：求代数式的最小值．
解：，
因为：，所以：当时，有最小值，最小值是．
根据阅读材料用配方法解决下列问题：
(1)分解因式：____________．
(2)当a，b为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值．
(3)已知a，b，c是的三条边，且满足，试判断的形状．
【答案】(1)
(2)，时多项式有最小值，最小值4．
(3)是等腰三角形．
【知识点】因式分解的应用、完全平方公式分解因式、三角形的分类
【分析】本题考查了因式分解的应用，以及非负数的性质．本题的解答关键在于熟练的掌握因式分解的方法．
（1）根据阅读材料，先将变形为，再根据完全平方公式写成，然后利用平方差公式分解即可；
（2）利用配方法将多项式转化为，然后利用非负数的性质解答；
（3）利用配方法将多项式转化为，然后利用非负数的性质求出，，，即可判断的形状．
【详解】（1）解：，
故答案为：
（2）解：
∵，
∴
∴当，时，有最小值，最小值为4．
即，原式有最小值4．
（3）
∴
则，
∵，
∴，，，
解得，，，
∴，
∴是等腰三角形．
【变式1】我们已经学过利用提公因式法和公式法进行分解因式．对于超过三项的多项式，可以利用分组的方法进行分解因式．即先将一个多项式进行适当的分组（或组合），再利用已经学过的方法进行分解因式．如：
分解因式：
．
利用上述方法解决下列问题：
(1)分解因式：；
(2)已知的三边满足，判断的形状，并说明理由．
【答案】(1)
(2)等腰三角形，理由见解析
【知识点】分组分解法、因式分解的应用、构成三角形的条件
【分析】本题考查因式分解—分组分解法及应用，三角形三边关系，对于不能直接因式分解的式子可以用分组法因式分解，因式分解分组时要注意观察式子特点、分好组是关键．
（1）依据分组分解法，把分组为，然后用平方差公式和提公因式法分别因式分解，然后再提取公因式即可求解；
（2）通过分组分解法把化成，然后利用三角形三边关系得出，则，得到，即可得出结论．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：等腰三角形．
由，可得．
，
．
．
是等腰三角形．
【变式2】阅读材料：若，求、的值．
解：，
，而，，
且，
，．
根据你的观察，探究下面的问题：
(1)，则_____；_____．
(2)已知的三边，，满足，则此三角形的形状为_____．
(3)已知的三边长、、都是正整数，且，求的周长．
【答案】(1)2；0
(2)等边三角形
(3)
【知识点】运用完全平方公式进行运算、因式分解的应用、三角形三边关系的应用、等边三角形的判定
【分析】本题考查完全平方公式，平方的非负性，三角形的三边关系，熟练运用完全平方公式是解题的关键．
（1）由得到，根据平方的非负性求解即可；
（2）由得到，根据平方的非负性可得，即可解答；
（3）由得到，根据平方的非负性得到，，再根据三角形的三边关系得到，结合是正整数，求得，进而即可解答．
【详解】（1）解：，
，
，
∵，
，，
，．
故答案为：2；0；
（2）解：，
∴，
，
又且，
，，
，
是等边三角形．
故答案为：等边三角形
（3）解：，
，
，
，，
，，
，，
在中，、、分别三角形的三边，
，
，
又是正整数，
，
∴．
【变式3】阅读材料：我们把多项式及这样的式子叫做完全平方式如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等．
例如：分解因式．
原式．
由上式可知: =，因为≥0，所以当=0，即时，的最小值是-4．
根据以上材料，利用多项式的配方解答下列问题．
(1)利用配方法分解因式：；
(2)根据上面解题思路可知多项式有最小值，即当x= 时，最小值是 ．
(3)已知、、分别是三边的长且，请判断的形状，并说明理由．
【答案】(1)；
(2)当时，最小值为；
(3)的形状是等边三角形，证明见解析．
【知识点】因式分解的应用
【分析】本题主要考查因式分解及其应用，根据材料学会运用配方法因式分解是解题的关键．
（1）根据材料配方后，再运用平方差公式因式分解即可；
（2）配方后利用偶次幂的非负性即可解答；
（3）先配方后，然后利用偶次幂的非负性得到，即可解答．
【详解】（1）解：
．
（2）解：
，
当当时，最小值为．
（3）解：的形状是等边三角形，理由如下：
∵
∴，
利用拆项得：，
即：，
根据两个非负数互为相反数，只能都同时等于0才成立，
于是，，
所以可以得到，即：的形状是等边三角形．
考点10：因式分解综合——整体法
典例10：先阅读材料，再回答问题：
分解因式：．
解：将“”看成整体，令，则原式，再将还原，得到：原式．
上述解题过程中用到了“整体思想”，它是数学中常用的一种思想．请你用整体思想解决下列问题：
(1)因式分解：_______．
(2)因式分解：_______．
(3)若为正整数，则的值为某一个正整数的平方．请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)理由见解析
【知识点】完全平方公式分解因式、平方差公式分解因式、因式分解的应用
【分析】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是仔细读题，理解题意，掌握整体思想解决问题的方法．
（1）把看作一个整体，直接利用完全平方公式因式分解即可；
（2）原式变形为，再用平方差公式因式分解即可；
（3）将原式转化为，令，则原式， ，根据为正整数得到也为正整数，从而说明原式是整数的平方．
【详解】（1）
，
故答案为：；
（2），
，
，
故答案为：；
（3）
令，
则原式，
，
，
原式．
为正整数，
也为正整数，
代数式的值一定是某一个正整数的平方．
【变式1】【阅读材料】
因式分解：．
解：将“”看成整体，令，则原式．
再将“”还原，原式．
上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法．
【问题解决】
(1)因式分解：；
(2)因式分解：；
(3)证明：若为正整数，则代数式的值一定是某个整数的平方．
【答案】(1)
(2)
(3)见解析
【知识点】因式分解的应用、完全平方公式分解因式
【分析】本题考查分解因式的应用，理解“换元法”的意义，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键．
（1）用换元法设，将原式化为，再利用十字相乘法因式分解得出，再将A还原即可；
（2）设，则原式，再利用完全平方公式变形，将B还原即可；
（3）先计算，同理（2）计算即可．
【详解】（1）解：设，
原式，
．
（2）解：设，
原式
，
；
（3）证明：原式
设，
原式，
．
为正整数，
为正整数．
代数的值一定是某个整数的平方．
【变式2】阅读材料A：利用完全平方公式，可以解决很多的数学问题．
例如：若，，求的值．
解：∵，，
∴，
即：．∴．
阅读材料B：在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元法），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．下面是小明同学用换元法对多项式进行因式分解的过程．
解：令，
原式（第一步）
（第二步）
（第三步）
（第四步）
(1)请根据材料A，解答问题：若，，求的值；
(2)请根据材料B，解答问题：
①在材料B中，老师说，小明同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果______；
②因式分解：．
(3)综合运用：
若实数x满足，求的值．
【答案】(1)
(2)①；②
(3)
【知识点】完全平方公式分解因式、因式分解的应用
【分析】本题主要考查了分解因式及其应用，解题关键是熟练掌握利用完全平方公式分解因式和换元法分解因式．
（1）根据已知条件，利用完全平方公式求出即可；
（2）①设，把含有的多项式换元成含有的多项式，然后利用完全平方公式分解因式即可；
②把当作一个整体，利用完全平方公式分解因式即可；
（3）设，，先求出，，根据已知条件求出，然后利用，求出即可．
【详解】（1）解：，，
，
，
，
，
；
（2）①设，
原式
，
故答案为：；
②；
（3）设，，
，
实数满足，
，
，
，
，
，
，
．
【变式3】阅读材料：
常用的分解因式方法有提公因式法、公式法等．但有的多项式只用上述方法就无法分解，如，细心观察这个式子会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，分解过程为：
…分组
…组内分解因式
…整体思想提公因式
这种分解因式的方法叫分组分解法．
根据以上材料，解答下列问题：
(1)按上述方法因式分解：
①；
②；
(2)已知， ，为的三边，且，试判断的形状并说明理由．
【答案】(1)①；②；
(2)是等腰三角形，理由见解析；
【知识点】因式分解的应用、综合提公因式和公式法分解因式
【分析】（1）①本题考查因式分解，根据例题分组提取公因式，再结合公式法因式分解即可得到答案；②本题考查因式分解，根据例题分组提取公因式，再结合公式法因式分解即可得到答案；
（2）本题考查因式分解的应用，将因式分解即可得到积等于0，即可得到答案；
【详解】（1）解：①原式
；
②原式
；
（2）解：是等腰三角形，理由如下，
，
，
，
，
∵， ，为的三边，
，，，
，
，即，
是等腰三角形．
考点11：因式分解综合——添项、拆项
典例1：你数学老师教你因式分解的场面你一定还记忆犹新吧！现让我们来温故一下因式分解的几种方法并练习！
（1）提取公因式法：提取各单项式中的公因式，提取完后合并单项式分解因式： ；
（2）十字相乘法：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数．其实就是运用乘法公式的逆运算来进行因式分解：
①分解因式 ；
②解方程：．
（3）拆项添项法：即把多项式中某一项拆成两项或多项，或在多项式中添上两个符合相反的项．
① ；
② ；
除以上方法外因式分解还有双十字相乘法、换元法、因式定理法、待定系数法等．
[综合应用]分解因式： ．
【答案】（1）；（2）①；②；（3）①；②；综合应用：
【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、十字相乘法、分组分解法、因式分解的应用
【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键；
（1）根据提公因式法可进行分解因式；
（2）①根据十字相乘法可进行分解因式；②先移项，然后再对方程左边进行十字相乘，进而问题可求解；
（3）①把拆分，然后再根据提公因式和完全平方公式可进行分解因式；②把拆开，然后根据提公因式和平方差公式可进行分解因式；
综合应用：根据完全平方公式、十字相乘法及整体思想可进行分解因式．
【详解】解：（1）；
故答案为；
（2）①；
故答案为；
②
∴或，
∴；
（3）①
；
②
；
故答案为；；
综合应用：
；
故答案为．
【变式1】阅读与思考：
在因式分解中，有些多项式看似不能分解，如果添加某项，可以达到因式分解的效果，此类因式分解的方法称之为“添项法”． 例如： ． 参照上述方法，我们可以对因式分解，下面是因式分解的部分解答过程．
任务：
(1)请根据以上阅读材料补全对因式分解的过程．
(2)已知，，求的值．
【答案】(1)
(2)160
【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、已知式子的值，求代数式的值
【分析】本题考查因式分解，代数式求值．读懂题干，理解题意，掌握因式分解的方法是解题关键．
（1）在题干的基础上再提取公因式，整理求解即可；
（2）由（1）可知求出的值即可求出的值．将变形为，再代入和的值即得出的值，由此即得出结果．
【详解】（1）解：
．
；
（2）解：∵
，
∴．
【变式2】【阅读理解】
对于二次三项式，能直接用公式法进行因式分解，得到，但对于二次三项式，就不能直接用公式法了．
我们可以采用这样的方法：在二次三项式中先加上一项，使其成为完全平方式，再减去这项，使整个式子的值不变，于是：
像这样把二次三项式分解因式的方法叫做添（拆）项法．
(1)【问题解决】请用上述方法将二次三项式分解因式．
(2)运用材料中的添（拆）项法分解因式：．
【答案】(1)
(2)
【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、分组分解法
【分析】（1）根据实例同加同减一项配完全平方，再根据公式法因式分解即可得到答案；
（2）根据实例同加同减一项配完全平方，再根据公式法因式分解即可得到答案；
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
【点睛】本题考查因式分解，解题的关键是读懂题目的实例，配完全平方．
【变式3】【学习材料】——拆项添项法
在对某些多项式进行因式分解时，需要把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符号相反的项，这样的分解因式的方法称为拆项添项法．如：
例1分解因式：．
解：原式＝ ．
例2分解因式：x3+5x﹣6．
解：原式＝x3－x+6x－6＝x（x2－1）+6（x－1）＝（x－1）（x2+x+6）．
【知识应用】请根据以上材料中的方法，解决下列问题：
(1)分解因式：x2+14x－51＝______．
(2)化简：．
【答案】(1)（x+17）（x﹣3）
(2)．
【知识点】分式除法、完全平方公式分解因式、平方差公式分解因式、综合提公因式和公式法分解因式
【分析】（1）根据题意利用拆项添项法，并结合完全平方公式和平方差公式进行因式分解；
（2）根据题意利用拆项添项法对分式的分子进行因式分解，然后再约分化简．
【详解】（1）x2+14x－51
＝x2+14x+49﹣49﹣51
＝（x+7）2﹣100
＝（x+7+10）（x+7﹣10）
＝（x+17）（x﹣3），
故答案为：（x+17）（x﹣3）；
（2）∵x3+3x2﹣4＝x3+2x2+x2﹣4
＝x2（x+2）+（x+2）（x﹣2）
＝（x+2）（x2+x-2），
∴原式
．
【点睛】本题考查因式分解，理解题意，并熟练掌握完全平方公式和平方差公式的公式结构是关键．
考点12：因式分解综合——分组分解
典例12：阅读理解：因式分解有多种方法，除了提公因式法、公式法、十字相乘法等，还有分组分解法、拆项法、配方法等．一般情况下，我们需要综合运用多种方法才能解决问题．
例如：分解因式：．
解：原式第1步：拆项法，将拆成和
第2步：分组分解法，通过添括号进行分组
第3步：提公因式法和十字相乘法(局部)
第4步：提公因式法(整体)；
第5步：十字相乘法，最后结果分解彻底
(1)请你试一试分解因式：；
(2)请你试一试在实数范围内分解因式：．
【答案】(1)
(2)
【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、十字相乘法
【分析】本题主要考查了在实数范围内分解因式，熟练掌握分解因式的方法是解题的关键．
（1）根据题意原式可化为，再提取公因式可得，再应用平方差公式进行分解因式可得，再提取公因式可得，可化为，应用十字相乘法进行分解因式即可得出答案；
（2））原式可化为再提取公因式可得，再提取公因式可得，再应用实数范围内分解因式即可得出答案．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【变式1】［阅读材料］
将四项及四项以上的多项式进行因式分解，我们一般使用分组分解法．分组分解法有两种分法：一是“”分组．二是“”分组．两种分组的主要区别就在于多项式中是否存在三项可以构成完全平方，若可以构成完全平方，则采用“”分组；若无法构成，则采用“”分组．
例如：；
．
［应用知识］
（1）因式分解：．
（2）因式分解：．
［拓展应用］
（3）已知一三角形的三边长分别是，且满足：．试判断这个三角形的形状，并说明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）这个三角形为等边三角形．理由见解析
【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、因式分解的应用
【分析】本题考查了因式分解以及因式分解的应用．
（1）利用“”分组，再利用提公因式法分解即可；
（2）利用“”分组，先利用完全平方公式计算，再利用平方差公式分解即可；
（3）整理后，利用“”分组，再利用完全平方公式分解得到，根据非负数的性质求解即可．
【详解】解：（1）
；
（2）
；
（3）这个三角形为等边三角形．
理由：，
，
，
，
．
，
，
，
这个三角形是等边三角形．
【变式2】阅读理解∶
当一个多项式没有公因式又不能用公式法时，这里再介绍一种因式分解方法，叫分组分解法．
比如因式分解：
这种分组法是分组后用提公因式法分解；
比如因式分解：
这种分组法是分组后用公式法分解．
根据以上信息分解因式：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、分组分解法
【分析】（1）分组，提公因式分解；
（2）分组，分别运用平方差公式，提公因式法分解；
（3）运用整式乘法法则变形，再运用平方差公式展开，进一步化简．
【详解】（1）解：原式
（2）原式
（3）原式
．
【点睛】本题考查分组分解法，提公因式法，公式法因式分解；根据代数式具体情况合理分组是解题的关键．
【变式3】阅读下列材料：
因式分解的常用方法有提公因式法和公式法，但有的多项式仅用上述方法就无法分解，如．我们细心观察这个式子就会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合再运用平方差公式进行分解，
过程如下：
．
这种因式分解的方法叫分组分解法．
利用这种分组的思想方法解决下列问题：
(1)因式分解：；
(2)因式分解：．
【答案】(1)
(2)
【知识点】分组分解法、综合提公因式和公式法分解因式
【分析】（1）先将代数式进行分组，然后再根据公式法和提取公因式法进行因式分解即可；
（2）先将代数式进行分组，然后再根据公式法和提取公因式法进行因式分解即可．
【详解】（1）解：，
，
，
；
（2）解：，
，
，
．
【点睛】本题考查了用分组分解法对超过3项的多项式进行因式分解，合理分组是解题的关键，综合运用因式分解的几种方法是重难点．
考点13：因式分解综合——阅读理解
典例13：阅读下列材料：
因式分解的常用方法有提取公因式法和公式法，但有的多项式仅用上述方法无法分解，如，我们细心观察这个式子就会发现，前三项符合完全平方公式．
解题过程如下：．
这种因式分解的方法叫分组分解法．
利用这种分组分解的思想方法解决下列问题：
(1)因式分解：；
(2)因式分解：；
(3)若a，b为非零实数，，且，求的值．
【答案】(1)；
(2)；
(3)．
【知识点】综合提公因式和公式法分解因式
【分析】（1）先分组，再根据完全平方公式进行变形，最后根据平方差公式分解因式即可；
（2）先分组，再提取公因式，再分解因式即可；
（3）求出c的值，再代入，整理后得出，再求出答案即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：∵，
又∵，
∴，
，
整理得：，
，
，
即，
∴．
【点睛】本题考查了分解因式，能熟记分解因式的方法是解此题的关键，注意：分解因式的方法有提取公因式法，公式法，因式分解法，分组分解法等．
【变式1】阅读下列材料：
因式分解的常用方法有提取公因式法和公式法，但有的多项式仅用上述方法就无法分解，如，我们细心观察这个式子就会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合再运用平方差公式进行分解．
过程如下：．
这种因式分解的方法叫分组分解法．
利用这种分组的思想方法解决下列问题：
(1)因式分解：；
(2)因式分解：；
(3)若、、为非零实数，且，求证：．
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【知识点】分组分解法、综合提公因式和公式法分解因式、提公因式法分解因式、运用平方差公式进行运算
【分析】（1）根据阅读材料中的分组分解方法，先分组再利用平方差公式因式分解即可得到答案；
（2）根据阅读材料中的分组分解方法，先分组再利用提公因式法因式分解即可得到答案；
（3）根据阅读材料中的分组分解方法，先分组再综合运用提取公因式法和公式法因式分解即可得到答案．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）证明：，
，
，
，
，
，
，
，
∴．
【点睛】本题考查分组分解法，阅读材料，理解分组分解因式的思想方法是解决问题的关键．
【变式2】阅读理解：
一位同学将代数式变形为，得到后分析发现，那么当时，此代数式有最小值是4．
请同学们思考以下问题：
(1)已知代数式，此代数式有最___________值（填“大”或“小”），且值为___________．
(2)已知代数式，此代数式有最___________值（填“大”或“小”），且值为___________．
(3)通过阅读材料分析代数式的最值情况，写出详细过程及结论．
(4)已知代数式（其中a、b、c为常数，且），探究此代数式的最值情况，若果有，请直接写出答案，如果没有，请说明理由．
【答案】(1)小，
(2)大，13
(3)时，代数式有最小值；过程见解析
(4)当，时，代数式有最小值，
当， 时，代数式有最大值；理由见解析
【知识点】拆项、添项、配方、待定系数法、配方法的应用、完全平方公式分解因式、综合提公因式和公式法分解因式
【分析】（1）把配方，得到，根据，推出当时，代数式有最小值；
（2）把提负号再配方，得到，根据，推出当时，代数式有最大值13；
（3）把提公因式2后配方，得到，根据，推出当时，代数式有最小值；
（4）将提公因式a再配方， ，根据时，，推出当时，代数式有最小值；根据时，，推出当时，代数式有最大值．
【详解】（1）∵，
且，
∴当时，代数式有最小值；
故答案为：小，；
（2）∵，
且，
∴当时，代数式有最大值13；
故答案为：大，13；
（3）∵，
且，
∴当时，代数式有最小值；
（4）∵
，
且时，，
∴当时，代数式有最小值，
∵时，，
∴当时，代数式有最大值．
【点睛】本题主要考查了代数式的最值等，解决问题的关键是熟练掌握配方法，完全平方式的非负性．配方的前提须使二次项的系数化为“1”．
【变式3】阅读下列材料：
在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，这种方法就是换元法．
对于．
解法一：设，则原式
；
解法二：设，，则原式
．
请按照上面介绍的方法解决下列问题：
(1)因式分解：；
(2)因式分解：；
(3)求证：多项式的值一定是非负数．
【答案】(1)（1）
(2)
(3)见解析
【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、因式分解的应用
【分析】（1）仿照题意方法一、二求解即可；
（2）仿照题意方法二求解即可；
（3）先把多项式化成，然后仿照题意方法二得到原式，由此即可得答案．
【详解】（1）解：解法一：设，
则原式
；
方法二：设，
则原式
；
（2）解：设，
则原式
；
（3）解：
，
设，
则原式
，
∵，
∴，
∴多项式的值一定是非负数．
【点睛】本题主要考查了因式分解，正确理解题意是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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