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专题02 分式运算
（一）分数的乘除法法则
分式的乘除法法则：
用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。式子表示为：
分式除以分式：除以一个数等于乘于这个数的倒数。式子表示为
（二）分数的乘方
分式的乘方：把分子、分母分别乘方。式子
注意：
①分式乘方要把分子、分母分别乘方。
②分式乘方时，要首先确定乘方结果的符号，负数的偶次方为正，负数的奇次方为负。
（三）分式加减法法则
同分母分式加减法：分母不变，把分子相加减。式子表示为
异分母分式加减法：先通分，化为同分母的分式，然后再加减。式子表示为
考点1：分式乘除法运算
典例1：计算：
．
【变式1】计算：
(1)；
(2)．
【变式2】计算
(1)
(2)
【变式3】分式计算：
(1)；
(2)．
考点2：分式的乘方运算
典例2：化简的结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】下列各式中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】计算：
（1） ．
（2） ．
【变式3】计算：
（1） ；（2） ；（3） ．
考点3：含乘方的分式乘除混合运算
典例3：计算：．
【变式1】计算：
(1)
(2)
(3)
【变式2】计算：
(1)；
(2)；
(3)．
【变式3】计算：
(1)；
(2)；
(3)．
考点4：同分母相加减
典例4：计算：．
【变式1】计算：．
【变式2】化简下列式子：
(1)；
(2)．
【变式3】计算
(1)
(2)
考点5：最简公分母与通分
典例5：通分：
(1)，；
(2)，；
(3)，，．
【变式1】通分：
(1)，，；
(2)，，．
【变式2】通分：
(1)，
(2)
【变式3】求下列各式的最简公分母，并通分．
(1)，，；
(2)，，．
考点6：异分母相加减
典例6：计算：
(1)；
(2)．
【变式1】计算：
(1)；
(2)．
【变式2】计算：
(1)；
(2)．
【变式3】计算：
(1)；
(2)．
考点7：分式化简求值
典例7：先化简，再从的整数解中选取一个数代入求值．
【变式1】先化简再求值：，已知．
【变式2】先化简，再求值：，并从，，，这四个数中取一个合适的数作为的值代入求值．
【变式3】计算：
(1)；
(2)先化简，再求值：
，然后从，0，1，3中选一个合适的数作为的值代入求值．
考点8：分式运算应用——比较大小
典例8：已知，．
(1)当时，比较与0的大小，并说明理由；
(2)设，若m为整数，求整数y的值．
【变式1】观察下列不等式：①；②；③；
根据上述规律，解决下列问题：
（1）完成第个不等式：___________；
（2）写出你猜想的第个不等式：_____________(用含的不等式表示)；
（3）利用上面的猜想，比较和的大小．
【变式2】七千年前中国长江流域的先民们就曾种植水稻，到目前国内杂交稻的种植面积有2亿亩．2019年10月21日至22日，被袁隆平看作突破亩产“天花板”关键的第三代杂交水稻，在湖南省衡阳市衡南县清竹村以首次公开测产方式全面亮相，其潜能巨大．如图，“第三代一号”水稻的实验田是边长为m米的正方形去掉一个边长为n米（m＞n）正方形蓄水池后余下的部分，“第三代二号”水稻的试验田是边长为（m﹣n）米的正方形，两块试验田的水稻都收获了a千克．
（1）试建立代数式，并比较哪种水稻的单位面积产量高？为什么？（提示：m，n均为正数）
（2）高的单位面积产量比低的单位面积产量高多少？
【变式3】比较与的大小（其中，且）．
(1)尝试（用“<”，“=”或“>”填空）：
①当，时， ；
②当，时， ；
(2)归纳：与有怎样的大小关系？试说明理由．
考点9：分式运算应用——规律探究
典例9：观察下面两组式子：
①；；；
②；；…．
请利用你发现的规律，解决下列问题：
(1)发现规律： ________；_________（n为正整数）；
(2)计算：；
(3)若，则_________．
【变式1】观察下列等式：
第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
第4个等式：，
……
按照以上规律，解答下列问题：
(1)写出第5个等式：___________________；
(2)写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示），并证明．
【变式2】观察下面的变化规律，解答下列问题：
，，，．
(1)若为正整数，猜想__________，并且验证你的猜想；
(2)解分式方程：；
(3)利用上述规律计算：．
【变式3】定义：若分式A与分式B的和等于它们的积，即，则称分式A与分式B互为“等和积分式”，如与，因为所以与互为“等和积分式”，其中一个分式是另外一个分式的“等和积分式”．
(1)分式与分式________“等和积分式”（填“是”或“不是”）；
(2)①若分式的“等和积分式”为A，求A的值；
②观察①的结果，寻找规律，求分式的“等和积分式．
考点10：分式运算应用——新定义
典例10：定义：如果分式A与分式B的和等于它们的积，即．，那么就称分式A与分式B“互为关联分式”，其中分式A是分式B的“关联分式”．
例如：分式与分式，因为，
，所以，所以分式与分式“互为关联分式”
(1)判断分式与分式________“互为关联分式”（选填“是”或“不是”）请通过计算说明：
(2)小明在研究“互为关联分式”时发现：因为，又因为A，B都不为0，所以所以，也就是“互为关联分式”的两个分式，将它们各自分子分母颠倒位置后相加，和为1．请你根据小明发现的“互为关联分式”的这个特征，求分式的“关联分式”
【变式1】阅读材料：我们定义：在分式中对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，如：，
当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，如：，；
假分式也可以化为带分式，即整式与真分式和的形式，如：
．
(1)思考：分式是______分式（填“真”或“假”）．
(2)探究：将假分式化为带分式______．
(3)拓展：先化简，并求x取何整数时，该式的值为整数．
【变式2】定义：如果两个分式A与B的差为常数，且这个常数为正数，则称A是B的“差常分式”，这个常数称为A关于B的“差常值”．如分式，，，则A是B的“差常分式”，A关于B的“差常值”为2．
(1)已知分式，，判断C是否是D的“差常分式”，若不是，请说明理由，若是，请证明并求出C关于D的“差常值”．
(2)已知分式，，其中E是F的“差常分式”，E关于F的“差常值”为2，求的值；
(3)已知分式，，其中M是N的“差常分式”，M关于N的“差常值”为1．若x为整数，且M的值也为整数，求满足条件的x的值．
【变式3】阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如，这样的分式就是假分式；再如：，这样的分式就是真分式类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）
如： ；
解决下列问题：
(1)分式是_____分式（填“真”或“假”）；
(2)将假分式化为带分式；
(3)如果x为整数，分式的值为整数，求所有符合条件的x的值．
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专题02 分式运算
（一）分数的乘除法法则
分式的乘除法法则：
用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。式子表示为：
分式除以分式：除以一个数等于乘于这个数的倒数。式子表示为
（二）分数的乘方
分式的乘方：把分子、分母分别乘方。式子
注意：
①分式乘方要把分子、分母分别乘方。
②分式乘方时，要首先确定乘方结果的符号，负数的偶次方为正，负数的奇次方为负。
（三）分式加减法法则
同分母分式加减法：分母不变，把分子相加减。式子表示为
异分母分式加减法：先通分，化为同分母的分式，然后再加减。式子表示为
考点1：分式乘除法运算
典例1：计算：
．
【答案】
【知识点】分式乘除混合运算
【分析】此题考查了分式的乘除混合运算．利用分式的除法和乘法法则计算即可．
【详解】解：
．
【变式1】计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【知识点】分式乘除混合运算、约分
【分析】本题考查分式的乘除，熟练掌握分式的乘除法运算法则是解答的关键．
（1）先将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简即可；
（2）先将除法转化为乘法，再根据分式的乘法和性质化简即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【变式2】计算
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【知识点】分式除法、分式乘除混合运算
【分析】本题主要考查了分式的除法计算，分式的乘除法计算：
（1）先把两个分式的分子和分母都分解因式，再把除法变成乘法后约分化简即可得到答案；
（2）先把第一个分式的分子分解因式，再把除法变成乘法后约分化简即可得到答案．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【变式3】分式计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【知识点】分式乘除混合运算、含乘方的分式乘除混合运算
【分析】本题考查了分式的运算，解题的关键是：
（1）先把除法转换为乘法，同时因式分解，然后约分即可；
（2）先计算分式的乘方，同时把除法转换为乘法，然后约分即可．
【详解】（1）解∶ 原式
；
（2）解：原式
．
考点2：分式的乘方运算
典例2：化简的结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】幂的乘方运算、分式乘方
【分析】本题主要考查了分式的乘方．熟练掌握分式乘方的法则，幂乘方法则，是解决问题的关键．分式乘方等于分子分母分别乘方，幂乘方底数不变，指数相乘．
运用分式乘方的法则和幂乘方的法则逐一判定，即得．
【详解】A、，∴A不正确；
B、，∴B不正确；
C、，∴C不正确；
D、，∴D正确．
故选：D．
【变式1】下列各式中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】分式乘方
【分析】根据分式的乘法法则计算依次判断即可．
【详解】A、，故该项错误；
B、，故该项错误；
C、，故该项错误；
D、，故该项正确；
故选：D．
【点睛】此题考查分式的乘方计算法则：等于分子、分母分别乘方，熟记法则是解题的关键．
【变式2】计算：
（1） ．
（2） ．
【答案】
【知识点】分式乘方
【分析】本题考查了分式的乘方，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
（1）原式利用分式的分子分母分别平方即可得到结果；
（2）原式利用分式的分子分母分别求立方即可得到结果．
【详解】解：（1）原式；
（2）原式．
故答案为：；．
【变式3】计算：
（1） ；（2） ；（3） ．
【答案】
【知识点】分式乘方
【分析】本题考查了分式的乘方，解题的关键是掌握分式的乘方的运算法则．
（1）根据分式的乘方法则直接计算即可；
（2）根据分式的乘方法则直接计算即可；
（3）根据分式的乘方法则直接计算即可．
【详解】解：（1），
故答案为：；
（2），
故答案为：；
（3），
故答案为：．
考点3：含乘方的分式乘除混合运算
典例3：计算：．
【答案】
【知识点】含乘方的分式乘除混合运算
【分析】本题主要考查了含乘方的分式乘除混合计算，先计算乘方，再计算分式乘除法即可．
【详解】解：
．
【变式1】计算：
(1)
(2)
(3)
【答案】(1)；
(2)；
(3)．
【知识点】运用平方差公式进行运算、分式乘除混合运算、含乘方的分式乘除混合运算
【分析】本题考查了分式的运算，掌握分式的运算法则，运算顺序是解题的关键．
（1）先把除法变成乘法，再利用分式的乘法法则计算；
（2）先算乘方，再算分式的乘法即可；
（3）先因式分解，把除法变乘法，再利用分式的乘法法则计算．
【详解】（1）解：原式
．
（2）解：原式
．
（3）解：原式
【变式2】计算：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)；
(2)；
(3)．
【知识点】含乘方的分式乘除混合运算
【分析】此题考查了分式的乘除混合运算，关键是掌握运算法则．
(1) 分子的积作积的分子，分母的积作积的分母再约分即可；
(2)先算乘方，再把除法变为乘法同时进行因式分解，约分即可得到答案．
(3) 先把除法运算转化成乘法运算，把分子分母分解因式再进行分式乘法运算即可．
【详解】（1）解：，
（2）解：
；
（3）解：
．
【变式3】计算：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】含乘方的分式乘除混合运算
【分析】本题考查了分式的混合运算，属于常考题型，熟练掌握分式的运算法则是解题关键．
（1）先计算分式的乘方，再根据分式的乘除法则解答即可；
（2）先计算分式的乘方，再根据分式的乘除法则解答即可；
（3）先计算分式的乘方，再根据分式的乘除法则解答即可．
【详解】（1）
；
（2）
；
（3）
．
考点4：同分母相加减
典例4：计算：．
【答案】
【知识点】同分母分式加减法
【分析】本题考查分式的减法，熟练掌握运算法则是关键．
同分母分式相减，分母不变，分子相减，再化简即可．
【详解】解：
．
【变式1】计算：．
【答案】
【知识点】同分母分式加减法
【分析】本题主要考查了同分母分式减法计算，直接根据同分母分式减法计算法则求解即可．
【详解】解：
．
【变式2】化简下列式子：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【知识点】同分母分式加减法
【分析】本题考查了同分母分式的加减法．
（1）根据同分母分式的运算法则计算即可；
（2）根据同分母分式的运算法则计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【变式3】计算
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)1
【知识点】同分母分式加减法
【分析】本题考查分式的加减，解题关键是熟练掌握分式运算法则．
（1）根据同分母分式加减法则计算即可；
（2）先变形，然后根据同分母分式加减法则计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
考点5：最简公分母与通分
典例5：通分：
(1)，；
(2)，；
(3)，，．
【答案】(1)，
(2)，
(3)，，
【知识点】最简公分母、通分
【分析】本题考查了通分，找出最简公分母是解此题的关键．
（1）先找出所有分式的最简公分母，再利用分式的性质把所有分式化为同分母的分式即可；
（2）先找出所有分式的最简公分母，再利用分式的性质把所有分式化为同分母的分式即可；
（3）先找出所有分式的最简公分母，再利用分式的性质把所有分式化为同分母的分式即可．
【详解】（1）解：（1）最简公分母是，
，
；
（2）解：最简公分母是，
，
；
（3）解：最简公分母是，
，
，
．
【变式1】通分：
(1)，，；
(2)，，．
【答案】(1)，，
(2)，，
【知识点】最简公分母、通分
【分析】（1）先找出最简公分母，然后通分即可；
（2）先找出最简公分母，然后通分即可．
【详解】（1）解：∵，
，
∴，，的最简公分母为：，
∴三个分式通分为：，，．
（2）解：∵，
，
，
∴分式，，的最简公分母为：，
三个分式通分为：，，．
【点睛】本题主要考查了通分，解题的关键是熟记最简公分母的定义，找出各个分母数字因数的最小公倍数，相同字母以及指数的最高次幂，即可写出各分式的最简公分母．
【变式2】通分：
(1)，
(2)
【答案】(1)，
(2)，，
【知识点】最简公分母、通分
【分析】本题主要考查分式的通分：
（1）先确定最简公分母为，然后再通分即可；
（2）先确定最简公分母为，然后再通分即可
【详解】（1）解：；
；
（2）解：
【变式3】求下列各式的最简公分母，并通分．
(1)，，；
(2)，，．
【答案】(1)最简公分母为；通分后为，，
(2)最简公分母为，通分后为，，
【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、最简公分母、通分
【详解】（1）∵，，的最简公分母是
∴通分后为，，
故答案为：最简公分母为；通分后为，，
（2）∵，，
∴，，，最简公分母为，通分后为，，
【点睛】本题考查分式的通分，正确进行因式分解和找到最简公分母是解题的关键
考点6：异分母相加减
典例6：计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)1
【知识点】异分母分式加减法、同分母分式加减法
【分析】本题考查了分式的加减运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（1）先将分母通分，变成同分母分式，再根据同分母的分式加减法运算即可；
（2）将式子变形后根据同分母的分式加减法运算即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【变式1】计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【知识点】异分母分式加减法
【分析】此题考查了异分母分式加减法，熟练掌握运算法则是解题的关键：
（1）先通分，再计算同分母分式减法；
（2）先通分，再计算同分母分式加减法．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【变式2】计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【知识点】运用平方差公式进行运算、异分母分式加减法
【分析】本题主要考查了异分母分式加减法运算，理解异分母分式加减法的运算法则是解答关键．
（1）先通分，再利用同分母分式加减法运算法则求解；
（2）先通分，再利用同分母分式加减法运算法则进行计算，最后再利用提取公因式法和平方差公式变形后约分求解．
【详解】（1）解：
（2）解：
．
【变式3】计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【知识点】异分母分式加减法
【分析】本题考查了分式的运算，整式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
（1）先通分，再合并同类项计算，即可解答；
（2）先根据平方差展开，再通分计算，最后约分，即可解答．
【详解】（1）解：原式
（2）解：原式
．
考点7：分式化简求值
典例7：先化简，再从的整数解中选取一个数代入求值．
【答案】，时，原式
【知识点】分式有意义的条件、分式化简求值、求一元一次不等式的整数解
【分析】本题考查的是分式的化简求值，绝对值不等式的含义，先计算括号内分式的减法运算，再计算除法运算得到化简的结果，再结合绝对值不等式与分式有意义的条件把代入计算即可．
【详解】解：∵，为整数，
∴，，，
；
∵分式有意义，
∴，，，
∴，
原式．
【变式1】先化简再求值：，已知．
【答案】，
【知识点】绝对值非负性、分式化简求值、加减消元法
【分析】本题考查了分式的化简求值、非负数的性质，根据分式的混合运算法则计算即可化简，再根据非负数的性质求出，，代入计算即可得解．
【详解】解：
，
∵，，，
∴，，
解得：，，
当，时，原式．
【变式2】先化简，再求值：，并从，，，这四个数中取一个合适的数作为的值代入求值．
【答案】，当时，或当时，．
【知识点】分式有意义的条件、分式化简求值
【分析】本题考查了分式的化简求值，先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再利用分式有意义的条件得出符合分式的的值，代入计算即可，注意代入数值时要使得分式分母不为，掌握分式的运算法则是解题的关键．
【详解】解：
，
∵且，
∴且，
∴当时，原式；
当时，原式．
【变式3】计算：
(1)；
(2)先化简，再求值：
，然后从，0，1，3中选一个合适的数作为的值代入求值．
【答案】(1)；
(2)，．
【知识点】分式加减乘除混合运算、分式化简求值
【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（1）先算括号里的分式减法，再算分式的除法即可得解；
（2）利用分式的运算法则将原式进行化简，然后根据分式有意义的条件确定x的值，再将其代入化简结果计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：解：原式
，
∵，，
∴，，，
∴，
∴原式．
考点8：分式运算应用——比较大小
典例8：已知，．
(1)当时，比较与0的大小，并说明理由；
(2)设，若m为整数，求整数y的值．
【答案】(1)，详见解析
(2)整数y为：4或3或0或1
【知识点】求使分式值为整数时未知数的整数值、分式加减乘除混合运算、异分母分式加减法
【分析】本题考查了分式的加减运算，分式的性质；
（1）计算，得出，即可求解；
（2）先化简，根据题意可得为整数，进而即可求解．
【详解】（1）解：．理由如下：
，
∵，
∴，，
∴，
即．
（2），
要使y为整数，则或，
∴整数y为：4或3或0或1．
【变式1】观察下列不等式：①；②；③；
根据上述规律，解决下列问题：
（1）完成第个不等式：___________；
（2）写出你猜想的第个不等式：_____________(用含的不等式表示)；
（3）利用上面的猜想，比较和的大小．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【知识点】数字类规律探索、分式加减乘除混合运算、不等式的性质
【分析】(1)根据给出的不等式写出第5个不等式；
(2)根据不等式的变化情况找出规律，根据规律解答；
(3)根据(2)中的规律计算，即可比较大小．
【详解】(1)①，
②，
③，
，
则第5个不等式为：，
故答案为：；
(2)第n个不等式为：，
故答案为：；
(3)，
其理由是：
由(2)得：，即，
∴，
∴，
则．
【点睛】本题考查了数字的变化规律，不等式的性质，分式的化简计算，根据给出的不等式正确找出变化规律是解题的关键．
【变式2】七千年前中国长江流域的先民们就曾种植水稻，到目前国内杂交稻的种植面积有2亿亩．2019年10月21日至22日，被袁隆平看作突破亩产“天花板”关键的第三代杂交水稻，在湖南省衡阳市衡南县清竹村以首次公开测产方式全面亮相，其潜能巨大．如图，“第三代一号”水稻的实验田是边长为m米的正方形去掉一个边长为n米（m＞n）正方形蓄水池后余下的部分，“第三代二号”水稻的试验田是边长为（m﹣n）米的正方形，两块试验田的水稻都收获了a千克．
（1）试建立代数式，并比较哪种水稻的单位面积产量高？为什么？（提示：m，n均为正数）
（2）高的单位面积产量比低的单位面积产量高多少？
【答案】（1）“第三代二号”水稻的试验田单位面积产量高，理由见解析；（2）高千克/米2．
【知识点】列代数式、运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算、分式加减乘除混合运算
【分析】（1）根据图形表示出试验田的面积，进而求出水稻的单位面积产量，比较即可；
（2）根据题意列出代数式，计算即可．
【详解】解：（1）“第三代二号”水稻的试验田单位面积产量高，理由为：
根据题意得：“第三代一号”水稻的实验田单位面积产量为（千克/米2），
“第三代二号”水稻的试验田单位面积产量为（千克/米2），
∵m，n为正数且m＞n，
∴（m2﹣n2）﹣（m﹣n）2＝m2﹣n2﹣m2+2mn﹣n2＝2mn﹣2n2＝2n（m﹣n）＞0，
∴（m2﹣n2）＞（m﹣n）2，即＜，
则“第三代二号”水稻的试验田单位面积产量高；
（2）根据题意得：﹣＝＝（千克/米2），
则高的单位面积产量比低的单位面积产量高千克/米2．
【点睛】本题主要考查了分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，根据题意列出正确的代数式．
【变式3】比较与的大小（其中，且）．
(1)尝试（用“<”，“=”或“>”填空）：
①当，时， ；
②当，时， ；
(2)归纳：与有怎样的大小关系？试说明理由．
【答案】(1)①；②；
(2)，理由见解析．
【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、运用完全平方公式进行运算、分式加减乘除混合运算、不等式的性质
【分析】（1）将①，代入两式求解，进行比较大小；②将，代入两式求解，进行比较大小；
（2）利用作差法比较大小即可．
【详解】（1）解：①当，时，，
∵
∴
故答案为：；
②当，时，，
∵
∴
故答案为：；
（2），理由如下：
∵，且
∴，
∴
∴，即
∴
【点睛】此题考查了代数式求值，分式大小比较，涉及了完全平方公式，分式的混合运算，不等式的性质，解题的关键是熟练掌握相关基础性质．
考点9：分式运算应用——规律探究
典例9：观察下面两组式子：
①；；；
②；；…．
请利用你发现的规律，解决下列问题：
(1)发现规律： ________；_________（n为正整数）；
(2)计算：；
(3)若，则_________．
【答案】(1)；
(2)
(3)6
【知识点】与实数运算相关的规律题、分式加减乘除混合运算
【分析】本题考查了二次根式的规律探究，分式运算等知识．根据题意推导一般性规律是解题的关键．
（1）由题意知， ， ；
（2）由 ，计算求解即可；
（3）由题意知， ，则，计算求解即可．
【详解】（1）解：由题意知， ，
，
故答案为：；；
（2）解：
；
（3）解：由题意知，
，
∴，
解得，，
故答案为：6．
【变式1】观察下列等式：
第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
第4个等式：，
……
按照以上规律，解答下列问题：
(1)写出第5个等式：___________________；
(2)写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示），并证明．
【答案】(1)
(2)，证明见解析．
【知识点】分式的规律性问题、分式加减乘除混合运算
【分析】此题考查的是归纳总结能力，抓住题目中的相似点找到其中的规律是解题的关键．
（1）观察前几个式子，然后进行仿写，即可得到答案；
（2）对题目中给的等式进行比较、归纳，可以发现规律为，第n个等式，左边第一项的分母为，分子是，第二项是，等式右边为．代入再进行验证正确性即可．
【详解】（1）解：第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
第4个等式：，
则第5个等式为：；
故答案为：；
（2）解：根据题意，则：
第n个等式为：；
证明：等式左边
，
等式右边，
∴左边右边．
【变式2】观察下面的变化规律，解答下列问题：
，，，．
(1)若为正整数，猜想__________，并且验证你的猜想；
(2)解分式方程：；
(3)利用上述规律计算：．
【答案】(1)，见解析
(2)
(3)
【知识点】解分式方程、分式加减乘除混合运算
【分析】本题主要考查了解分式方程，关键是分式的加减运算．
（1）猜想，再根据异分母分式相加减计算，即可求解；
（2）根据（1）中的规律把原方程变形为，可化为，解出即可；
（3）根据（1）中的规律把原式变形，可得到，即可求解．
【详解】（1）解：，
验证：右边
左边，
猜想成立；
（2）解：，
，
，
去分母得：，
解得：，
经检验：是原方程的根，
原方程的根为；
（3）解：
．
【变式3】定义：若分式A与分式B的和等于它们的积，即，则称分式A与分式B互为“等和积分式”，如与，因为所以与互为“等和积分式”，其中一个分式是另外一个分式的“等和积分式”．
(1)分式与分式________“等和积分式”（填“是”或“不是”）；
(2)①若分式的“等和积分式”为A，求A的值；
②观察①的结果，寻找规律，求分式的“等和积分式．
【答案】(1)是
(2)①；②分式的“等和积分式”为
【知识点】分式加减乘除混合运算、分式乘法、异分母分式加减法
【分析】本题考查分式的运算，掌握“等和积分式”的定义，是解题的关键；
（1）求出两个分式的和以及两个分式的积，进行判断即可；
（2）①根据“等和积分式”的定义，列出方程进行求解即可；②同①进行求解即可．
【详解】（1）解：∵，
；
∴分式与分式是“等和积分式”；
故答案为：是；
（2）①分式的“等和积分式”为，则，
，
；
②分式的“等和积分式”为，理由如下：
设分式的“等和积分式”为，则，
，
，
分式的“等和积分式”为．
即．
考点10：分式运算应用——新定义
典例10：定义：如果分式A与分式B的和等于它们的积，即．，那么就称分式A与分式B“互为关联分式”，其中分式A是分式B的“关联分式”．
例如：分式与分式，因为，
，所以，所以分式与分式“互为关联分式”
(1)判断分式与分式________“互为关联分式”（选填“是”或“不是”）请通过计算说明：
(2)小明在研究“互为关联分式”时发现：因为，又因为A，B都不为0，所以所以，也就是“互为关联分式”的两个分式，将它们各自分子分母颠倒位置后相加，和为1．请你根据小明发现的“互为关联分式”的这个特征，求分式的“关联分式”
【答案】(1)不是
(2)
【知识点】分式加减乘除混合运算、分式乘法、异分母分式加减法
【分析】本题主要考查了新定义下的分式运算，涉及分式的加减计算，分式的乘除法，
（1）根据关联分式的定义判断即可；
（2）根据“互为关联分式”的特征，假设其“关联分式”通过分式的运算即可求得答案．
【详解】（1）解：
．
．
所以．
所以分式与分式不是“互为关联分式”．
故答案为：不是；
（2）设分式的“关联分式”为．
那么．所以．
所以．
即分式的“关联分式”为．
【变式1】阅读材料：我们定义：在分式中对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，如：，
当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，如：，；
假分式也可以化为带分式，即整式与真分式和的形式，如：
．
(1)思考：分式是______分式（填“真”或“假”）．
(2)探究：将假分式化为带分式______．
(3)拓展：先化简，并求x取何整数时，该式的值为整数．
【答案】(1)真
(2)
(3)，
【知识点】分式的判断、分式加减乘除混合运算、分式化简求值
【分析】本题考查了分式的混合运算，读懂题目信息，理解真分式，假分式的定义及分式混合运算法则正确计算是解题的关键．
（1）根据真假分式的定义判断即可；
（2）仿照例题计算即可；
（3）先化简，再根据要求确定x的值．
【详解】（1）解：∵分子的次数小于分母的次数，
∴是真分式，
故答案为：真．
（2）解：，
故答案为：．
（3）解：
∵该式的值为整数，且，0，1，
∴．
【变式2】定义：如果两个分式A与B的差为常数，且这个常数为正数，则称A是B的“差常分式”，这个常数称为A关于B的“差常值”．如分式，，，则A是B的“差常分式”，A关于B的“差常值”为2．
(1)已知分式，，判断C是否是D的“差常分式”，若不是，请说明理由，若是，请证明并求出C关于D的“差常值”．
(2)已知分式，，其中E是F的“差常分式”，E关于F的“差常值”为2，求的值；
(3)已知分式，，其中M是N的“差常分式”，M关于N的“差常值”为1．若x为整数，且M的值也为整数，求满足条件的x的值．
【答案】(1)不是的“差常分式”；
(2)
(3)所有符合条件的的值为0，2，4，6．
【知识点】分式加减乘除混合运算
【分析】本题考查了分式的加减法，理解新定义和掌握分式的运算是解题的关键．
（1）根据新定义进行判断；
（2）根据新定义，列出方程求解；
（3）根据新定义列出方程，再根据整除的意义求解．
【详解】（1）解：不是的“差常分式”；
理由：，
不是的“差常分式”；
（2）解：由题意得：，
，
，
，
解得：，，
；
（3）解：由题意得：，
，
，
为整数，为整数，
的值为：或，
的值为：0，2，4，6，
所以所有符合条件的的值为0，2，4，6．
【变式3】阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如，这样的分式就是假分式；再如：，这样的分式就是真分式类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）
如： ；
解决下列问题：
(1)分式是_____分式（填“真”或“假”）；
(2)将假分式化为带分式；
(3)如果x为整数，分式的值为整数，求所有符合条件的x的值．
【答案】(1)真
(2)
(3)或
【知识点】分式的判断、分式加减乘除混合运算
【分析】本题考查了分式的混合运算；
（1）根据材料中“真分式”和“假分式”的定义进行判断即可；
（2）根据题中所给方法，利用分式的性质计算即可；
（3）先将分式化为带分式，再根据题意得出，然后分别计算即可．
【详解】（1）解：∵分式中分子的次数小于分母的次数，
∴分式是真分式，
故答案为：真；
（2）
；
（3），
∵x为整数，分式的值为整数，
∴，
∴或．
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