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专题03 分式方程及应用
（一）分式方程
（1）解分式方程的基本步骤
①去分母(两边同乘最简公分母，约去分母，化成整式方程)。
②解整式方程(去括号-移项/合并同类项-系数化为1)。
③检验(把整式方程的解代入最简公分母，
若最简公分母为0 ，则x=a不是分式方程的解
若最简公分母不为0，则x=a是分式方程的解
④写出答案
（2）增根的概念：在分式方程化为整式方程的过程时，若整式方程的根使最简公分母为0（即根使整式方程成立，但分式方程中分母为0 ），那么这个根叫做原分式方程的增根。
（二）分式方程应用
分式方程解决实际问题的步骤：
① 根据题意找等量关系
② 设未知数
③列出方程
④解方程，并验根（对解分式方程尤为重要）
⑤ 写答案
考点1：分式方程定义
典例1：下列方程不是分式方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】分式方程的定义
【分析】本题考查了分式方程的定义，由分式构成的方程即为分式方程，据此进行逐项分析即可作答．
【详解】解：A、，分母含有未知数，是分式方程，故该选项不符合题意；
B、，分母含有未知数，是分式方程，故该选项不符合题意；
C、，分母含有未知数，是分式方程，故该选项不符合题意；
D、，分母不含有未知数，不是分式方程，故该选项符合题意；
故选：D．
【变式1】下列式子中，是分式方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】分式方程的定义
【分析】此题考查了分式方程得定义，分母中含有未知数的有理方程是分式方程，据此进行判断即可．
【详解】解：A．是一元二次方程，故选项不符合题意；
B．不是方程，故选项不符合题意；
C．是分式方程，故选项符合题意；
D．是一元一次方程，故选项不符合题意．
故选：C．
【变式2】有下列方程：①，②，③（为不等于2的常数），其中，属于分式方程的有 （填序号）．
【答案】②
【知识点】分式方程的定义
【分析】此题主要考查了分式方程的定义，利用分母中含有未知数的方程叫做分式方程，进而判断即可．
【详解】解：①是一元一次方程，
②是分式方程，
③（为不等于2的常数），是一元一次方程，
故答案为：②．
【变式3】下列方程是关于x的方程，其中是分式方程的是 （只填序号）
①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨．
【答案】④⑤⑥⑦⑨
【知识点】分式方程的定义
【分析】根据分式方程的定义：分母里含有未知数的方程叫做分式方程进行判断．
【详解】①是整式方程，故①不符合题意；
②是整式方程，故②不符合题意；
③是整式方程，故③不符合题意；
④是分式方程，故④符合题意；
⑤是分式方程，故⑤符合题意；
⑥是分式方程，故⑥符合题意；
⑦是分式方程，故⑦符合题意；
⑧是整式方程，故⑧不符合题意；
⑨是分式方程，故⑨符合题意；
故答案为：④⑤⑥⑦⑨．
【点睛】本题考查分式方程的定义，充分理解分式方程的定义是解答本题的关键．
考点2：列分式方程
典例2：《四元玉鉴》是中国古代著名的数学专著，书里记载一道这样的题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文．只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文，问绫、罗尺价各几何？”题目译文是：现在有绫布和罗布，布长共3丈（1丈=10尺），已知绫布和罗布分别全部出售后均能收入896文；绫布和罗布各出售1尺共收入120文．问两种布每尺各多少钱？若设绫布有x尺，根据题意可列方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】列分式方程
【分析】本题考查了分式方程的应用，等量关系式：绫布出售一尺收入罗布出售一尺共收入文，据此列方程，即可求解；找出等量关系式是解题的关键．
【详解】解：由题意得
，
故选：B．
【变式1】我国已经成为全球最大的电动汽车市场，电动汽车在环保、节能等方面较传统汽车都有明显优势．经过对某款电动汽车和某款燃油汽车对比调查发现，电动汽车平均每公里的充电费比燃油汽车平均每公里的加油费少0.4元．若充电费和燃油费均为300元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油汽车的3倍，求这款电动汽车平均每公里的充电费用是多少？若设这款电动汽车平均每公里的充电费用是x元，则下列正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】列分式方程
【分析】本题主要考查列分式方程，原来的燃油汽车行驶1千米所需的油费元，根据题意可得等量关系：燃油汽车所需油费300元所行驶的路程电动汽车所需电费300元所行驶的路程，根据等量关系列出方程即可．
【详解】解：根据题意，得，
故选：B．
【变式2】《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为天，根据题意，列方程为 ．
【答案】
【知识点】列分式方程
【分析】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．根据题意可知慢马的速度为，快马的速度为，再根据快马的速度是慢马的倍，即可列出相应的方程，本题得以解决．
【详解】解：由题意可得，
故答案为：．
【变式3】辛弃疾词曰：“稻花香里说丰年，听取蛙声一片．”五常稻花香大米味清淡略甜，绵软略粘，芳香爽口，是餐桌上的佳品．某收割队承接了五常水稻的收割任务，为了让五常大米早日上市，实际工作效率比原来提高了，结果提前天完成任务．设原计划每天收割的面积为，则列方程为 ．
【答案】
【知识点】列分式方程
【分析】本题考查了列分式方程解实际问题的应用，解答时根据条件建立方程是关键，解答时对求出的根必须检验，这是解分式方程的必要步骤．设原计划每天收割的面积为，则实际每天收割的面积为，根据结果提前2天完成任务列方程求解即可．
【详解】解：设原计划每天收割的面积为，则实际每天收割的面积为，根据题意得：
，
故答案为：．
考点3：解分式方程
典例3：解分式方程：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)无解
【知识点】解分式方程
【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握分式方程的解法与步骤是解题的关键．
（1）先去分母，把分式方程化为整式方程，再解整式方程并检验即可；
（2）先去分母，把分式方程化为整式方程，再解整式方程并检验即可．
【详解】（1）解：，
去分母，得：，
去括号，得：，
移项，得：，
合并同类项，得：，
系数化为，得：，
经检验，是原分式方程的解，
∴原方程的解是；
（2）解：，
去分母，得：，
去括号，得：，
移项，得：，
合并同类项，得：，
经检验，使得分母无意义，故是原方程的增根，
∴原分式方程无解．
【变式1】解分式方程．
(1)；
(2)．
【答案】(1)无解
(2)
【知识点】解分式方程
【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．
（1）利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可；
（2）利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可．
【详解】（1）解：
原方程去分母得：,
解得：，
检验：将代入得，
则是分式方程的增根，
故原方程无解；
（2）解：，
，
原方程去分母得：,
解得：，
检验：将代入，
故原方程的解为
【变式2】解下列分式方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)原分式方程无解
【知识点】解分式方程
【分析】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】（1）解：可化为，
方程两边都乘，得，
去括号移项得：，
解得，
经检验，是原分式方程的解，
∴原分式方程的解为．
（2）解：可化为，
去分母，得，
去括号得：，
解得：，
经检验，是原分式方程的增根，
∴原分式方程无解．
【变式3】解方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)；
(2).
【知识点】解分式方程
【分析】本题考查了分式方程的解法，熟悉解分式方程的步骤是解题关键．
（1）先把分式方程两边同乘化为整式方程求解，然后检验即可；
（2）先把分式方程两边同乘化为整式方程求解，然后检验即可．
【详解】（1）解：
方程两边同乘得：，
解得，
检验：当时，
所以原分式方程的解为；
（2）解：
方程两边同乘得：
，
解得，
经检验，是原方程的解.
所以原分式方程的解是.
考点4：根据方程解的情况——求字母
典例4：若关于的分式方程的解是非负数，求的取值范围．
【答案】且
【知识点】根据分式方程解的情况求值、求一元一次不等式的解集
【分析】本题考查了分式方程的解，注意分母不为0这个隐含条件是解题的关键．将看作已知数，表示出分式方程的解，根据解为非负数列出关于的不等式，求出不等式的解集即可得到的范围．
【详解】解：
解得：
分式方程的解为非负数，且
解得且
故答案为：且
【变式1】若关于的方程的解是正数，求的取值范围．
【答案】且
【知识点】根据分式方程解的情况求值、求不等式组的解集
【分析】本题主要考查了根据分式方程解的情况求参数，先解方程得到，再根据分式方程的解为正数且不能有增根列式求解即可．
【详解】解：
去分母得：，
去括号得：，
移项得： ，
合并同类项得：，
系数化为1得：，
∵关于的方程的解是正数，
∴，
∴且．
【变式2】已知关于x的分式方程．
(1)若该方程的解为，求m的值；
(2)若此方程的解为负数，求m的取值范围．
【答案】(1)
(2)且．
【知识点】解分式方程、根据分式方程解的情况求值
【分析】本题考查了分式方程的解，根据分式方程的解确定取值范围，熟练掌握计算的基本步骤是解题的关键．
（1）将分式方程的解代入方程，即可计算字母的值．
（2）先化分式方程为整式方程，求得解，根据解为负数，计算字母的范围即可．
【详解】（1）解：把代入原方程，
得：，
解得；
（2）解：方程两边同时乘以，
得，
得．
∵方程的解为负数，
∴，
解得，
∵原分式方程有解，
∴，
解得，
∴且．
【变式3】已知是关于的分式方程．
(1)当时，求方程的解；
(2)若该方程的解为正数，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)且
【知识点】解分式方程、根据分式方程解的情况求值
【分析】本题考查的是分式方程的解法，分式方程的解的定义，掌握解分式方程的一般步骤是解题的关键．
（1）将代入原方程，解关于x的方程即可求解；
（2）先求出原方程的解，然后根据解为正数和分式有意义得出关于a的不等式组，然后求解即可．
【详解】（1）解：原方程为，
解得，
检验：当时，．
∴是原方程的根；
（2）解：解分式方程得，
∵分式方程的解是正数，
∴且，
∴且，
解得：且，
∴的取值范围是：且．
考点5：分式方程增根
典例5：已知，关于的方程：．
(1)若方程有增根，求的取值；
(2)若方程无解，求的取值；
(3)若方程的解为整数，求整数的值．
【答案】(1)若方程有增根，的取值为或
(2)若方程无解，的取值为或或
(3)或
【知识点】根据分式方程解的情况求值、分式方程无解问题
【分析】本题考查了分式方程的增根，解分式方程，掌握分式方程的解法是解题的关键．
（）根据分式方程的解法得出，然后将增根代入求解即可；
（）分当时原分式方程无解，当或时方程有增根，从而求解；
（）由，得，然后根据方程的解为整数得出，，最后求解并检验即可；
【详解】（1）解：去分母，得，
去括号，得，
移项、合并同类项，得，
当时，得，
解得；
当时，得，
解得，
∴若方程有增根，的取值为或；
（2）解：∵，
∴当时原分式方程无解，
∴，
∵当或时方程有增根，
∴若方程无解，的取值为或或；
（3）解：∵，
∴，
∵方程的解为整数，
∴，，
当时，（舍去）；
当时，（舍去）；
当时，；
当时，；
∴或．
【变式1】关于x的方程．
(1)m为何值时，方程有增根？
(2)m为何值时，方程无解？
【答案】(1)当或时，方程有增根；
(2)当或或时，方程无解
【知识点】根据分式方程解的情况求值、分式方程无解问题
【分析】本题考查了分式方程的增根和无解问题，熟练掌握解分式方程的步骤和增根问题是解题的关键．
（1）去分母把分式方程化为整式方程，再把增根代入，即可求出m的值；
（2）分式方程无解，即化成整式方程时无解，或者求得的能令最简公分母为0，据此进行解答．
【详解】（1）解：
方程两边都乘，
得，
∵原方程有增根，
∴最简公分母，
解得或，
当时，则，
解得；
当时，则，
解得，
∴当或时，方程有增根；
（2）解：由（1）可得，
则，即，
当，即时整式方程无解，
当，即时整式方程无解，
当，即时整式方程无解，
∴当或或时，方程无解．
【变式2】已知关于x的分式方程．
(1)当时，求这个分式方程的解；
(2)小明认为当时，原分式方程无解，你认为小明的说法正确吗 请判断并说明理由．
【答案】(1)是原方程的解
(2)小明的说法正确，理由见解析
【知识点】分式方程无解问题、解分式方程
【分析】（1）转换为具体分式方程，解方程即可；
（2）转换为具体分式方程，解方程即可；
本题考查了分式方程的解法，无解的意义，熟练掌握解方程的基本步骤是解题的关键．
【详解】（1）当时，原方程可化为，
方程两边同乘以，得
解这个整式方程，得．
检验：把代入最简公分母得，
∴是原方程的解．
（2）小明的说法正确．理由如下：
当时，原方程可化为，
方程两边同乘以，得
解这个整式方程，得．
检验：当时，，
∴是原方程的增根，原分式方程无解．
∴小明的说法正确．
【变式3】学习“分式方程及其解法”的过程中，老师提出一个问题：若关于的分式方程的解为正数，求的取值范围．经过独立思考与分析后，小明和小聪开始交流解题思路，小明说：解这个关于的方程，得到方程的解为，由题目可得，所以，问题解决．小聪说：你考虑的不全面，还必须才行．
(1)请回答：______的说法是正确的，正确的理由是______；
(2)已知关于的方程的解为非负数，求的取值范围；
(3)若关于的方程无解，求的值．
【答案】(1)小聪，分式的分母不能为零（分式方程的解不能是增根）
(2)且
(3)当或时原方程无解
【知识点】根据分式方程解的情况求值、分式方程无解问题、解分式方程
【分析】本题考查了解分式方程以及根据分式方程的解确定参数范围，重点要掌握解分式方程的步骤：去分母化成整式方程；再解整式方程；验根．理解当分式方程无解时包含整式方程无解和有曾根两种情况．
（1）根据分式有意义的条件：分母不能为0，即可知道小聪说得对；
（2）首先按照解分式方程的步骤得到方程的解，再利用解是非负数即可求出的取值范围；
（3）按照解分式方程的步骤去分母得到整式方程，若分式方程无解，则得到增根或者整式方程无解，即可求出的范围．
【详解】（1）解：∵分式方程的解不能是增根，即不能使分式的分母为0
∴小聪说得对，分式的分母不能为0．
故答案为：小聪，分式的分母不能为零（分式方程的解不能是增根）；
（2）解方程，得，
方程的解为非负数，
，
，
，
，
且；
（3）原方程化简为：
原方程无解，
或
①当时，解得；
②当时，解得
当或时原方程无解．
考点6：分式方程实际应用——行程问题
典例6：小明和同学相约到离家2400米的电影院看电影，到电影院后，发现电影票忘带了，此时离电影开始还有25分钟，于是他跑步回家，拿到票后立刻找到一辆“共享单车”原路赶回电影院，已知小明骑车的时间比跑步的时间少用了4分钟，骑车的平均速度是跑步的平均速度的1.5倍．
(1)求小明跑步的平均速度；
(2)如果小明在家取票和寻找“共享单车”共用了6分钟，直接写出他能否在电影开始前赶到电影院？
【答案】(1)小明跑步的平均速度为200米／分钟
(2)小明不能在电影开始前赶到电影院
【知识点】分式方程的行程问题
【分析】本题考查了分式方程的应用，这样的问题中，一般有两个等量关系，一个等量关系用来确定题中的两个未知数之间的关系，一个等量关系用来列方程求解．注意解分式方程的应用题一定要检验求得的解是否是原分式方程的解且是否符合题意．
（1）设小明跑步的平均速度为米／分钟，用含的式子表示骑车的时间和跑步的时间，根据骑车的时间比跑步的时间少用了4分钟列方程求解即可；
（2）计算出骑车的时间，跑步的时间及找票的时间的和，与25分钟作比较即可解答．
【详解】（1）解：设小明跑步的平均速度为米／分钟，则骑车的平均速度为米／分钟，
依题意得，
解得：，
经检验，是原方程的根，
答：小明跑步的平均速度为200米／分钟．
（2）解：跑步的时间：分钟，
骑车的时间：分钟，
，
∴小明不能在电影开始前赶到电影院．
【变式1】人工智能是研究用计算机来模拟人的某些思维过程和智能行为（如学习、推理、思考、规划等）的学科，主要包括计算机实现智能的原理、制造类似于人脑智能的计算机，使计算机能实现更高层次的应用．2024我校为迎接30周年校庆举行创新大赛，决赛是用电脑程序控制智能赛车在指定赛道上进行30米比赛，“领航号”和“致远号”两辆赛车在第一轮比赛时，两辆赛车从起点同时出发，当“领航号”到达终点时，“致远号”才行驶到全程的，“领航号”比“致远号”每秒多行米．
(1)求“致远号”的行驶速度；
(2)如果将“领航号”的赛道长增加，“致远号”的赛道长不变，两辆赛车再次重新比赛，两车能同时到达各自终点吗？通过计算说明；
(3)若按照（2）中的路程行驶，请你调整其中一辆赛车的行驶速度，使两车能同时到达各自终点，并写出调整方案．
【答案】(1)3．2米/秒
(2)不能，见解析
(3)见解析
【知识点】分式方程的行程问题
【分析】本题考查列分式方程解应用题，解题的关键是根据题意确定等量关系列方程．
（1）根据“致远号”行全程的与 “领航号”行全程所用时间相等作为等量关系列方程；
（2）分别利用时间=路程÷速度求出二者时间，比较时间可以得出结果；
（3）根据“致远号”行30米与 “领航号”行36米所用时间相等作为等量关系列方程求解．
【详解】（1）解：设“致远号”的平均速度为x米/秒，则“领航号”的平均速度为米/秒，
由题意得，
解得：，
经检验是原方程的解．
答：“致远号”的行驶速度是3.2米/秒；
（2）解：不能同时到达．
设调整后“领航号”的行驶路程为（米），
“领航号”到达终点所用的时间为（秒），
“致远号”到达终点所用的时间为（秒），
两车不能同时到达；
（3）解：设调整后“领航号”的平均速度为y米/秒，，
解得：，
经检验是原方程的解；
设调整后“致远号”的平均速度为z米/秒，，
解得：
经检验是原方程的解．
答：调整后“领航号”的平均速度为或调整后“致远号”的平均速度为米/秒可使两车能同时到达终点．
【变式2】某校组织师生去距离学校的纪念馆开展研学活动．骑行爱好者张老师骑自行车先行后，其余师生乘汽车出发，结果同时到达．已知汽车的速度是张老师骑自行车的速度的3倍．设张老师骑自行车的速度为．
请根据相关信息，回答下列问题：
(1)用含有的代数式填空：
①汽车的速度为________；
②张老师骑自行车从学校到纪念馆所用的时间为_________；
③其余师生乘汽车从学校到纪念馆所用的时间为_________；
(2)求张老师骑自行车的速度．
【答案】(1)①；②；③
(2)张老师骑自行车的速度为
【知识点】分式方程的行程问题、列代数式
【分析】本题主要考查代数式，分式方程的运用，理解题目数量关系，掌握分式方程解实际问题的方法是解题的关键．
（1）①根据汽车速度是张老师速度的3倍列式即可；②根据行程中时间等于路程除以速度列式即可；③根据时间等于路程除以速度列式即可；
（2）根据数量关系，列分式方程求解即可．
【详解】（1）解：①设张老师骑自行车的速度为，
∴汽车的速度为，
故答案为：；
②去距离学校的纪念馆开展研学活动，设张老师骑自行车的速度为，
∴张老师骑自行车从学校到纪念馆所用的时间为，
故答案为：；
③去距离学校的纪念馆开展研学活动，汽车的速度为，
∴其余师生乘汽车从学校到纪念馆所用的时间为，
故答案为：；
（2）解：根据题意列式得，，
解得，，，
检验，当时，原分式方程分母为0，不符合题意，舍去，
当时，原分式方程有意义，符合题意，
∴张老师骑自行车的速度为．
【变式3】如图是学习分式方程的应用时，老师板书的问题和甲、乙两位同学不完整的解答过程．
张庄和李庄两地之间的路程是，嘉琪和爸爸二人都从张庄到李庄，嘉琪骑自行车，爸爸骑摩托车．爸爸比嘉琪晚出发，却和嘉琪同时到达．已知爸爸的速度是嘉琪的速度的2.5倍，嘉琪和爸爸二人的速度各是多少？ 甲： 乙：设嘉琪的速度为
根据以上信息，解答下列问题．
(1)甲同学所列方程中的x表示_______________；
(2)根据乙同学设的未知数，列方程并解答．
【答案】(1)嘉琪从张庄到李庄所用的时间
(2)方程见解析，嘉琪和爸爸二人的速度各是和
【知识点】分式方程的行程问题
【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，正确地理解题意列出方程是解题的关键．
（1）根据甲同学所列方程即可得到结论；
（2）根据题意列分式方程，解方程即可得到结论．
【详解】（1）解：甲同学所列方程中的表示嘉琪所用时间；
故答案为：嘉琪所用时间；
（2）解：设嘉琪的速度为，则爸爸的速度为，
根据题意得，，
解得：，
经检验：是原方程的解，
，
答：嘉琪和爸爸二人的速度各是和．
考点7：分式方程实际应用——工程问题
典例7：某工厂加工一批零件．现有甲、乙两种机器同时开工．已知甲、乙两种机器每分钟共加工40个零件，甲种机器加工95个零件所用的时间与乙种机器加工105个零件所用的时间相等．求甲、乙机器每分钟各加工零件的个数．
设甲种机器每分钟加工x个零件．
(1)根据题意，用含x的式子填写下表：
加工零件（个/分钟） 加工数量（个） 加工时间（分钟）
甲种机器 x 95
乙种机器 105
(2)列出方程，求出问题的解并写出答话．
【答案】(1)见解析
(2)过程见解析；甲种机器每分钟加工19个零件，乙种机器每分钟加工21个零件
【知识点】分式方程的工程问题、列代数式
【分析】本题考查了分式方程的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含x的代数式表示出各数量；（2）找准等量关系，正确列出分式方程．
（1）由甲、乙两种机器每分钟加工零件的总数及甲机器每分钟加工零件的数量，可得出乙种机器每分钟加工个零件，再利用工作时间工作总量工作效率，即可用含x的代数式表示出加工时间；
（2）根据甲种机器加工95个零件所用的时间与乙种机器加工105个零件所用的时间相等，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出x的值（即甲种机器每分钟加工零件的数量），再将其代入中，即可求出乙种机器每分钟加工零件的数量．
【详解】（1）解：∵甲、乙两种机器每分钟共加工40个零件，甲种机器每分钟加工x个零件，
∴乙种机器每分钟加工个零件，
∴甲种机器加工95个零件所需时间为分钟，乙种机器加工105个零件所需时间为分钟．
加工零件（个/分钟） 加工数量（个） 加工时间（分钟）
甲种机器 x 95
乙种机器 105
（2）解：根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
∴（个）．
答：甲种机器每分钟加工19个零件，乙种机器每分钟加工21个零件．
【变式1】某市为治理污水，保护环境，需铺设一段全长为4800米的污水排放管道，为了减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加，结果提前20天完成铺设任务．
(1)求原计划与实际每天铺设管道各多少米？
(2)负责该工程的施工单位，按原计划对工人的工资进行了初步的预算，工人每天人均工资为300元，所有工人的工资总金额不超过36万元．该公司原计划最多应安排多少名工人施工？
【答案】(1)原计划与实际每天铺设管道各为40米，48米
(2)该公司原计划最多应安排10名工人施工
【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、分式方程的工程问题
【分析】此题考查了分式方程的应用，以及一元一次不等式的应用，弄清题意是解本题的关键．
（1）设原计划每天铺设管道米，则实际施工每天铺设管道，根据原计划的时间实际的时间，列出方程，求出方程的解即可得到结果；
（2）设该公司原计划应安排名工人施工，根据工作时间工作总量工作效率计算出原计划的工作天数，进而表示出所有工人的工作总额，由所有工人的工资总金额不超过36万元列出不等式，求出不等式的解集，找出解集中的最大整数解即可．
【详解】（1）解：设原计划每天铺设管道米，则实际施工每天铺设管道米，
根据题意得：，
解得：，
经检验是分式方程的解，且符合题意，
，
则原计划与实际每天铺设管道各为40米，48米；
（2）解：设该公司原计划应安排名工人施工，（天），
根据题意得：，
解得：，
∴不等式的最大整数解为10，
则该公司原计划最多应安排10名工人施工．
【变式2】某市对一段道路的提升改造工程进行招标，甲、乙施工一天的工程费用分别为万元和万元，市政局根据甲乙两队的投标书测算，应有三种施工方案：
①甲队单独做这项工程刚好如期完成．
②乙队单独做这项工程，要比规定日期多5天．
③若甲、乙两队合作4天后，余下的工程由乙队单独做，也正好如期完成．
(1)求甲、乙单独完成这项工程各需多少天
(2)在确保如期完成的情况下，你认为选择方案_____最节省工程款（请直接填①②③）．
【答案】(1)甲队单独完成需要天，乙队单独完成需要天
(2)③
【知识点】分式方程的工程问题
【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，有理数乘法的实际应用，掌握了以上知识是解答本题的关键；
（1）设工程期为天，则甲队单独完成用天，乙队单独完成用天，把工作总量看做单位1，根据甲、乙两队合作4天后，余下的工程由乙队单独做，也正好如期完成列出方程求解即可；
（2）根据（1）所求分别求出对应方案的费用，比较即可得到结论．
【详解】（1）解：设工程期为天，则甲队单独完成用天，乙队单独完成用天，
由题意得，，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴，
答：甲队单独完成需要天，乙队单独完成需要天；
（2）解：选择方案③最节省工程款；
方案①的费用为万元，
方案②的费用万元，但耽误工期，不符合题意（舍）
方案③的费用为万元．
综上所述：选择方案③最节省工程款．
【变式3】我市地处“世界三大黄金玉米带”之一的核心种植区，为了提高玉米收割效率，计划引进甲、乙两种类型收割机．
(1)若相同时间内，1台甲型收割机能收割100公顷地，1台乙型收割机比1台甲型收割机能多收割20公顷地．1台乙型收割机比1台甲型收割机每天多收割公顷地，求甲、乙两种类型收割机每台每天收割的玉米地各是多少公顷．
(2)1台甲型收割机每天可以收割公顷地，1台乙型收割机每天可以收割公顷地，（其中）．现在要收割一块面积为公顷的玉米试验田，有两种收割方案：
方案一：一半的面积由1台甲型收割机收割，另一半的面积由1台乙型收割机收割；
方案二：完成整个收割工作的前一半时间由1台甲型收割机收割，后一半时间由1台乙型收割机收割．
①方案一所用时间是___________天；
方案二所用时间是___________天（用含、、的式子表示）
②请你判断哪种改造方案所用时间少？并说明理由．
【答案】(1)甲、乙两种类型收割机每台每天收割的玉米地分别是4公顷和4．8公顷
(2)①， ；②方案二所用时间少，理由见解析
【知识点】分式方程的工程问题、分式加减乘除混合运算
【分析】本题考查了分式方程的应用，分式的加减．
（1）设甲型收割机每台每天收割的玉米地是公顷，根据时间相同列方程求解即可；
（2）①设共用了t天，然后根据玉米试验田的面积为公顷列方程求解；
②用作差法比较即可．
【详解】（1）解：设甲型收割机每台每天收割的玉米地是公顷
则有：
解得．
检验，当时，
∴原分式方程的解为
乙型收割机：（公顷）
答：甲、乙两种类型收割机每台每天收割的玉米地分别是4公顷和公顷．
（2）解：①方案一所用时间是：
方案二：设共用了t天，由题意得，
，
解得．
故答案为：，
②方案二所用时间少
理由：
∵
∴
∴
∴
∴方案二所用时间少
考点8：分式方程实际应用——销售问题
典例8：下面是小花学习了“分式方程”后所作的课堂学习笔记，请认真阅读并完成相应的任务．
题目：元旦义卖，某班准备购进甲、乙两种商品，甲种商品每件的进价比乙种商品每件的进价多2元，用200元购进甲种商品和用120元购进乙种商品的数量相同．求甲、乙两种商品每件的进价各是多少元．
题目：元旦义卖，某班准备购进甲、乙两种商品，甲种商品每件的进价比乙种商品每件的进价多2元，用200元购进甲种商品和用120元购进乙种商品的数量相同．求甲、乙两种商品每件的进价各是多少元．
方法 分析问题 列出方程
解法一 设…等量关系：甲商品数量=乙商品数量
解法二 设…等量关系：甲商品进价一乙商品进价=2
(1)解法一所列方程中的x表示 ，解法二所列方程中的x表示 ．
A、甲种商品每件进价x元 B．乙种商品每件进价x元 C．甲种商品购进x件
(2)根据以上解法分别求出甲、乙两种商品的进价．
(3)若商店计划用不超过144元的资金购进甲、乙两种商品共40件，至多购进甲种商品多少件？
【答案】(1)A，C
(2)甲种商品的进价为5元/件，乙种商品的进价为3元/件
(3)至多购进甲种商品12件
【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、分式方程的经济问题
【分析】题主要考查的是分式方程的应用，分式方程的解法，一元一次不等式的应用．
（1）根据等量关系中代数式的含义可得答案；
（2）分别按照解分式方程的步骤求解；
（3）设甲商品购进a件，则乙商品购进件，利用商店计划用不超过144元的资金购进甲、乙两种商品，求解的范围，可得答案．
【详解】（1）解：设甲种商品每件进价x元，由甲商品数量等于乙商品数量，可得：，
设甲种商品购进x件，由甲商品进价减去乙商品进价等于2可得：；
故答案为：A，C；
（2）解：①，
，
，
解得：，
经检验是原方程的解，且符合题意；
∴，
答：甲种商品的进价为5元/件，乙种商品的进价为3元/件．
②
解得：，
经检验：是原方程的解，且符合题意，
所以甲种商品的进价为元/件，乙种商品的进价为元/件
答：甲种商品的进价为5元/件，乙种商品的进价为3元/件．
（3）解：设甲商品购进件，则乙商品购进件，
∵商店计划用不超过144元的资金购进甲、乙两种商品，
∴，
∴，
答：至多购进甲种商品12件．
【变式1】金师傅近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车．
燃油车 油箱容积：40升 油价：8.4元/升 续航里程：a千米 每千米行驶费用：元 新能源车 电池电量：60千瓦时 电价：0.6元/千瓦时 续航里程：a千米 每千米行驶费用： _____元
(1)用含a 的代数式表示新能源车每千米的行驶费用： 元；
(2)若燃油车每千米的行驶费用比新能源车多0.5元．
①分别求出这两款车每千米的行驶费用；
②若燃油车和新能源车每年的其他费用分别为4800元和7500元，问：当每年的行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低？ （年费用=年行驶费用+年其他费用）
【答案】(1)
(2)①燃油车每千米的行驶费用为0.56元，新能源车每千米的行驶费用为0.06元；②当每年的行驶里程大于5400千米时，买新能源车的年费用更低
【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、分式方程的经济问题、列代数式
【分析】本题考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用，列代数式，解题关键是明确题意，列出相应方程与不等式．
（1）用总电量乘以电的单价，再除以总里程，列出代数式，再化简即可；
（2）①根据燃油车每千米的行驶费用比新能源车多0.5元，列出分式方程，求解即可；
②设每年行驶里程为x千米时，根据新能源车的年费用更低，列出不等式，求解即可．
【详解】（1）解：由题意，得（元），
故答案为：．
（2）解：①根据题意，得
，
解得：，
经检验，是方程的解也符合题意，
∴燃油车每千米的行驶费用为：（元），
新能源车每千米的行驶费用为：（元），
答：燃油车每千米的行驶费用为0.56元，新能源车每千米的行驶费用为0.06元；
②设每年行驶里程为x千米时，买新能源车的年费用更低，根据题意，得
解得：，
答：当每年的行驶里程大于5400千米时，买新能源车的年费用更低．
【变式2】某青春党支部在精准扶贫活动中，给结对帮扶的贫困家庭赠送甲、乙两种树苗让其栽种．已知乙种树苗的价格比甲种树苗贵10元，用360元购买甲种树苗的棵数恰好与用480元购买乙种树苗的棵数相同．
(1)求甲、乙两种树苗每棵的价格各是多少元？
(2)在实际帮扶中，他们决定再次购买甲、乙两种树苗共50棵，此时，甲种树苗的售价比第一次购买时少3元，乙种树苗的售价不变，如果再次购买两种树苗的总费用不超过1500元，那么他们最多可购买多少棵乙种树苗？
【答案】(1)甲种树苗每棵的价格是30元，乙种树苗每棵的价格是40元；
(2)他们最多可购买11棵乙种树苗．
【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、分式方程的经济问题
【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，弄清题意，找准等量关系与不等关系列出方程或不等式是解决问题的关键．
（1）可设甲种树苗每棵的价格是x元，则乙种树苗每棵的价格是元，根据等量关系：用480元购买乙种树苗的棵数恰好与用360元购买甲种树苗的棵数相同，列出方程求解即可；
（2）可设他们可购买y棵乙种树苗，根据不等关系：再次购买两种树苗的总费用不超过1500元，列出不等式求解即可．
【详解】（1）解：设甲种树苗每棵的价格是x元，则乙种树苗每棵的价格是元，
依题意有，
解得：，
经检验，是原方程的解，
，
答：甲种树苗每棵的价格是30元，乙种树苗每棵的价格是40元；
（2）解：设他们可购买y棵乙种树苗，依题意有
，
∴，
解得，
∵y为整数，
∴y最大为11，
答：他们最多可购买11棵乙种树苗．
【变式3】每年的12月12日各大网络平台都会推出大型网购促销活动，吸引消费者购物．某一网络销售公司准备在这一天销售2000件“元旦礼盒”，找到甲工厂承接这项生产任务，甲工厂工作15天后还未加工完，于是提高了生产速度，提速后每天生产的数量比原来每天生产的数量多40件，又生产了5天才完成了任务．
(1)求甲工厂提速前每天生产“元旦礼盒”多少件？
(2)“双12”当天，“元旦礼盒”快速被抢空，该网络销售公司决定增加生产．安排甲、乙两家工厂共同加工生产该“元旦礼盒”2800件，甲工厂按提速前的速度和乙工厂一起加工完成一半后，更换了新的生产设备，两家工厂每天均比之前多生产一倍，结果比原计划提前4天完成任务，求更换新的生产设备前乙工厂每天加工“元旦礼盒”多少件？
【答案】(1)甲工厂提速前每天生产“元旦礼盒”90件
(2)更换新的生产设备前乙工厂每天加工“元旦礼盒”85件
【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用)、分式方程的经济问题
【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及分式方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出方程．
（1）设甲工厂提速前每天生产“元旦礼盒”x件，根据生产的总数量为2000件，列方程求解即可；
（2）设更换新的生产设备前乙工厂每天加工“元旦礼盒”y件，根据结果比原计划提前4天完成任务，列方程求解即可．
【详解】（1）解：设甲工厂提速前每天生产“元旦礼盒”x件，依题意，得：
，
解得：．
答：甲工厂提速前每天生产“元旦礼盒”90件．
（2）解：设更换新的生产设备前乙工厂每天加工“元旦礼盒”y件，依题意，得：
，
解得：．
经检验，是原方程的解．
答：更换新的生产设备前乙工厂每天加工“元旦礼盒”85件．
考点9：分式方程实际应用——其他问题
典例9：如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为a米（）的正方形去掉一个边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为米的正方形，两块试验田的小麦都收获了．
(1)①“丰收1号”单位面积产量为______，“丰收2号”单位面积产量为______（以上结果均用含a的式子表示）；
②通过计算可知，______（填“1号”或“2号”）小麦单位面积产量高；
(2)若高的单位面积产量比低的单位面积产量的多，求a的值；
(3)某农户试种“丰收1号”、“丰收2号”两种小麦种子，两种小麦试种的单位面积产量与实验田一致，“丰收1号”小麦种植面积为n平方米（n为整数），“丰收2号”小麦种植面积比“丰收1号”少45平方米，若两种小麦种植后，收获的产量相同，当且a为整数时，符合条件的n值为______（直接写出结果）．
【答案】(1)①，；②
(2)
(3)，，
【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、分式方程的其它实际问题、列代数式
【分析】本题考查分式方程的应用，不等式的应用．理解分式的基本性质，不等式的基本性质，根据题意列出方程是解题关键．
（1）①用“总产量面积”列式求得单位面积的产量；②根据，并利用不等式的性质作出比较；
（2）根据题意可以列出相应的方程，从而可以求得的值；
（3）根据题意列出方程，并结合，列不等式求解．
【详解】（1）解：①由题意，“丰收号”小麦的试验田的面积为，
∴“丰收号”单位面积产量为；
由题意，“丰收号”单位面积为，
∴“丰收号”单位面积产量为．
②∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
即“丰收号”小麦的单位面积产量高．
故答案为：号．
（2）解：根据题意，得：
，
解得：，
经检验：是原方程的解且符合题意．
∴的值是．
（3）解：根据题意，得：
，
整理，可得：，
∴，
当且a为整数（），
解得：，
又∵为正整数，且满足，
当时，，
当时，，
当时，，
∴符合条件的的值为，，．
【变式1】为了支持全民健身运动，某社区计划采购一批体育健身器材，现有A、B两种型号的健身器材，其中A型健身器材比B型健身器材每台售价高1000元．
(1)社区工作人员通过计算发现，用18000元购买A型健身器材的数量与用15000元购买B型健身器材的数量一样，求A、B两种型号健身器材每台的售价各是多少元？
(2)商家为了提高B型健身器材的销量，推出以旧换新活动：购买一台B型健身器材时，可以用一台B型旧健身器材抵值500元．社区计划只购买B型健身器材，现有B型旧健身器材和计划购买的B型健身器材数量一共是120台．若购买B型健身器材的实际总费用不少于420000元，且购买的B型健身器材数量是B型旧健身器材数量的2倍，则要在计划的基础上再多买m台B型健身器材，社区也还需要再拿出台B型旧健身器材参加抵值活动，求m的最小值．
【答案】(1)型号健身器材每台的售价为6000元，型号健身器材每台的售价为5000元
(2)的最小值为10
【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、分式方程的其它实际问题
【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次方程和一元一次不等式．
（1）设型号健身器材每台的售价为元，则型号健身器材每台的售价为元，根据“用18000元购买A型健身器材的数量与用15000元购买B型健身器材的数量一样”， 列出分式方程，解之即可得出结论；
（2）设原有型旧健身器材台，则计划购买型健身器材台，根据现有型旧健身器材和计划购买的型健身器材数量一共是120台，列出一元一次方程，解得，则，因此实际购买型健身器材台，社区共需要拿出台型旧健身器材参加抵值活动，再根据购买型健身器材的实际总费用不少于420000元，列出一元一次不等式，解不等式，即可解决问题．
【详解】（1）解：设型号健身器材每台的售价为元，则型号健身器材每台的售价为元，
依题意可得，，解得：，
检验，当时，，
所以，原分式方程的解为，则，
答：型号健身器材每台的售价为6000元，型号健身器材每台的售价为5000元；
（2）解：设原有型旧健身器材台，则计划购买型健身器材台，
由题意得：，
解得：，
，
实际购买型健身器材台，社区共需要拿出台型旧健身器材参加抵值活动，
由题意得：，
解得：，
、都是正整数，
的最小值为10，
答：的最小值为10．
【变式2】项目学习方案：
项目 情景 元旦将至，某学校购买花卉装点校园，同学们需完成了解花卉知识（包括花语等 知识），购买花卉、插花、摆放盆栽等任务
素材 一 采购小组到市场上了解到每枝种花卉比每枝种花卉便宜5元，用800元购买的种花卉数量为用320元购买的种花卉数量的2倍
任务 一 小组成员甲设用320元购买的种花卉的数量为，由题意得方程：①； 小组成员乙设②，由题意得方程：
素材 二 插花时，技术小组成员丙发现自己单位时间内可完成盆小盆栽的插花任务或 完成（）盆大盆栽的插花任务，并且完成35盆小盆栽所用时间与完成10盆大盆栽的时间相同
任务 二 求的值
(1)任务一中横线①处应填______，横线②处应填______．
(2)完成任务二．
【答案】(1)；每枝种花卉单价为元
(2)
【知识点】分式方程的其它实际问题、解分式方程、列分式方程
【分析】本题考查分式方程解应用题，读懂题意，找准等量关系准确列出方程是解决问题的关键．
（1）设用320元购买的种花卉的数量为，则每枝种花卉单价为元，根据用800元购买的种花卉数量为用320元购买的种花卉数量的2倍，即可列方程；结合可知表示用320元购买的种花卉数量，表示用800元购买的种花卉数量，即可得到答案；
（2）由题意，得到完成小盆栽的插花任务的效率为，完成大盆栽的插花任务的效率为，再由完成小盆栽的插花任务的效率为，完成大盆栽的插花任务的效率为，可得方程，解分式方程即可得到答案．
【详解】（1）解：设用320元购买的种花卉的数量为，则每枝种花卉单价为元，
每枝种花卉比每枝种花卉便宜5元，
每枝种花卉单价为元，
用800元购买的种花卉数量为用320元购买的种花卉数量的2倍，
；
，
表示用320元购买的种花卉数量，表示用800元购买的种花卉数量，
即小组成员乙设每枝种花卉单价为元；
故答案为：；每枝种花卉单价为元；
（2）解：单位时间内可完成盆小盆栽的插花任务或
完成（）盆大盆栽的插花任务，
完成小盆栽的插花任务的效率为，完成大盆栽的插花任务的效率为，
完成35盆小盆栽所用时间与完成10盆大盆栽的时间相同，
，解得，
经检验，是原分式方程的解，
．
【变式3】①的解为；
②的解为；
③的解为；
④的解为；
……
(1)请根据发现的规律直接写出第⑤、⑥个方程及他们的解；
(2)请你用一个含正整数n的式子表示上述规律，并求出它的解．
【答案】(1)第⑤个方程为，解为；第⑥个方程为，解为
(2)第n个方程为，．
【知识点】解分式方程、分式方程的其它实际问题
【分析】本题主要考查解分式方程及应用和数字的变化规律，熟练掌握分式方程的解法及理解题中规律是解题关键．
（1）观察或直接求解①②③中的方程的解；根据前三个方程的规律可得第⑤、⑥个方程及其解；
（2）根据（1）中各个方程的规律，可写出含正整数n的方程，求解即可．
【详解】（1）解：观察可知：
左边分子是正整数n，右边分子是左边分子的2倍．
右边整体比左边多了．
解x的值与方程左边的分子n存在的关系．
所以，第⑤个方程为，解为；
第⑥个方程为，解为；
（2）解：第n个方程为，
去分母，得解为
经检验，是原方程的解
∴原方程的解为
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专题03 分式方程及应用
（一）分式方程
（1）解分式方程的基本步骤
①去分母(两边同乘最简公分母，约去分母，化成整式方程)。
②解整式方程(去括号-移项/合并同类项-系数化为1)。
③检验(把整式方程的解代入最简公分母，
若最简公分母为0 ，则x=a不是分式方程的解
若最简公分母不为0，则x=a是分式方程的解
④写出答案
（2）增根的概念：在分式方程化为整式方程的过程时，若整式方程的根使最简公分母为0（即根使整式方程成立，但分式方程中分母为0 ），那么这个根叫做原分式方程的增根。
（二）分式方程应用
分式方程解决实际问题的步骤：
① 根据题意找等量关系
② 设未知数
③列出方程
④解方程，并验根（对解分式方程尤为重要）
⑤ 写答案
考点1：分式方程定义
典例1：下列方程不是分式方程的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】下列式子中，是分式方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】有下列方程：①，②，③（为不等于2的常数），其中，属于分式方程的有 （填序号）．
【变式3】下列方程是关于x的方程，其中是分式方程的是 （只填序号）
①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨．
考点2：列分式方程
典例2：《四元玉鉴》是中国古代著名的数学专著，书里记载一道这样的题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文．只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文，问绫、罗尺价各几何？”题目译文是：现在有绫布和罗布，布长共3丈（1丈=10尺），已知绫布和罗布分别全部出售后均能收入896文；绫布和罗布各出售1尺共收入120文．问两种布每尺各多少钱？若设绫布有x尺，根据题意可列方程是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1】我国已经成为全球最大的电动汽车市场，电动汽车在环保、节能等方面较传统汽车都有明显优势．经过对某款电动汽车和某款燃油汽车对比调查发现，电动汽车平均每公里的充电费比燃油汽车平均每公里的加油费少0.4元．若充电费和燃油费均为300元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油汽车的3倍，求这款电动汽车平均每公里的充电费用是多少？若设这款电动汽车平均每公里的充电费用是x元，则下列正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为天，根据题意，列方程为 ．
【变式3】辛弃疾词曰：“稻花香里说丰年，听取蛙声一片．”五常稻花香大米味清淡略甜，绵软略粘，芳香爽口，是餐桌上的佳品．某收割队承接了五常水稻的收割任务，为了让五常大米早日上市，实际工作效率比原来提高了，结果提前天完成任务．设原计划每天收割的面积为，则列方程为 ．
考点3：解分式方程
典例3：解分式方程：
(1)
(2)
【变式1】解分式方程．
(1)；
(2)．
【变式2】解下列分式方程：
(1)；
(2)．
【变式3】解方程：
(1)；
(2)．
考点4：根据方程解的情况——求字母
典例4：若关于的分式方程的解是非负数，求的取值范围．
【变式1】若关于的方程的解是正数，求的取值范围．
【变式2】已知关于x的分式方程．
(1)若该方程的解为，求m的值；
(2)若此方程的解为负数，求m的取值范围．
【变式3】已知是关于的分式方程．
(1)当时，求方程的解；
(2)若该方程的解为正数，求的取值范围．
考点5：分式方程增根
典例5：已知，关于的方程：．
(1)若方程有增根，求的取值；
(2)若方程无解，求的取值；
(3)若方程的解为整数，求整数的值．
【变式1】关于x的方程．
(1)m为何值时，方程有增根？
(2)m为何值时，方程无解？
【变式2】已知关于x的分式方程．
(1)当时，求这个分式方程的解；
(2)小明认为当时，原分式方程无解，你认为小明的说法正确吗 请判断并说明理由．
【变式3】学习“分式方程及其解法”的过程中，老师提出一个问题：若关于的分式方程的解为正数，求的取值范围．经过独立思考与分析后，小明和小聪开始交流解题思路，小明说：解这个关于的方程，得到方程的解为，由题目可得，所以，问题解决．小聪说：你考虑的不全面，还必须才行．
(1)请回答：______的说法是正确的，正确的理由是______；
(2)已知关于的方程的解为非负数，求的取值范围；
(3)若关于的方程无解，求的值．
考点6：分式方程实际应用——行程问题
典例6：小明和同学相约到离家2400米的电影院看电影，到电影院后，发现电影票忘带了，此时离电影开始还有25分钟，于是他跑步回家，拿到票后立刻找到一辆“共享单车”原路赶回电影院，已知小明骑车的时间比跑步的时间少用了4分钟，骑车的平均速度是跑步的平均速度的1.5倍．
(1)求小明跑步的平均速度；
(2)如果小明在家取票和寻找“共享单车”共用了6分钟，直接写出他能否在电影开始前赶到电影院？
【变式1】人工智能是研究用计算机来模拟人的某些思维过程和智能行为（如学习、推理、思考、规划等）的学科，主要包括计算机实现智能的原理、制造类似于人脑智能的计算机，使计算机能实现更高层次的应用．2024我校为迎接30周年校庆举行创新大赛，决赛是用电脑程序控制智能赛车在指定赛道上进行30米比赛，“领航号”和“致远号”两辆赛车在第一轮比赛时，两辆赛车从起点同时出发，当“领航号”到达终点时，“致远号”才行驶到全程的，“领航号”比“致远号”每秒多行米．
(1)求“致远号”的行驶速度；
(2)如果将“领航号”的赛道长增加，“致远号”的赛道长不变，两辆赛车再次重新比赛，两车能同时到达各自终点吗？通过计算说明；
(3)若按照（2）中的路程行驶，请你调整其中一辆赛车的行驶速度，使两车能同时到达各自终点，并写出调整方案．
【变式2】某校组织师生去距离学校的纪念馆开展研学活动．骑行爱好者张老师骑自行车先行后，其余师生乘汽车出发，结果同时到达．已知汽车的速度是张老师骑自行车的速度的3倍．设张老师骑自行车的速度为．
请根据相关信息，回答下列问题：
(1)用含有的代数式填空：
①汽车的速度为________；
②张老师骑自行车从学校到纪念馆所用的时间为_________；
③其余师生乘汽车从学校到纪念馆所用的时间为_________；
(2)求张老师骑自行车的速度．
【变式3】如图是学习分式方程的应用时，老师板书的问题和甲、乙两位同学不完整的解答过程．
张庄和李庄两地之间的路程是，嘉琪和爸爸二人都从张庄到李庄，嘉琪骑自行车，爸爸骑摩托车．爸爸比嘉琪晚出发，却和嘉琪同时到达．已知爸爸的速度是嘉琪的速度的2.5倍，嘉琪和爸爸二人的速度各是多少？ 甲： 乙：设嘉琪的速度为
根据以上信息，解答下列问题．
(1)甲同学所列方程中的x表示_______________；
(2)根据乙同学设的未知数，列方程并解答．
考点7：分式方程实际应用——工程问题
典例7：某工厂加工一批零件．现有甲、乙两种机器同时开工．已知甲、乙两种机器每分钟共加工40个零件，甲种机器加工95个零件所用的时间与乙种机器加工105个零件所用的时间相等．求甲、乙机器每分钟各加工零件的个数．
设甲种机器每分钟加工x个零件．
(1)根据题意，用含x的式子填写下表：
加工零件（个/分钟） 加工数量（个） 加工时间（分钟）
甲种机器 x 95
乙种机器 105
(2)列出方程，求出问题的解并写出答话．
加工零件（个/分钟） 加工数量（个） 加工时间（分钟）
甲种机器 x 95
乙种机器 105
【变式1】某市为治理污水，保护环境，需铺设一段全长为4800米的污水排放管道，为了减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加，结果提前20天完成铺设任务．
(1)求原计划与实际每天铺设管道各多少米？
(2)负责该工程的施工单位，按原计划对工人的工资进行了初步的预算，工人每天人均工资为300元，所有工人的工资总金额不超过36万元．该公司原计划最多应安排多少名工人施工？
【变式2】某市对一段道路的提升改造工程进行招标，甲、乙施工一天的工程费用分别为万元和万元，市政局根据甲乙两队的投标书测算，应有三种施工方案：
①甲队单独做这项工程刚好如期完成．
②乙队单独做这项工程，要比规定日期多5天．
③若甲、乙两队合作4天后，余下的工程由乙队单独做，也正好如期完成．
(1)求甲、乙单独完成这项工程各需多少天
(2)在确保如期完成的情况下，你认为选择方案_____最节省工程款（请直接填①②③）．
【变式3】我市地处“世界三大黄金玉米带”之一的核心种植区，为了提高玉米收割效率，计划引进甲、乙两种类型收割机．
(1)若相同时间内，1台甲型收割机能收割100公顷地，1台乙型收割机比1台甲型收割机能多收割20公顷地．1台乙型收割机比1台甲型收割机每天多收割公顷地，求甲、乙两种类型收割机每台每天收割的玉米地各是多少公顷．
(2)1台甲型收割机每天可以收割公顷地，1台乙型收割机每天可以收割公顷地，（其中）．现在要收割一块面积为公顷的玉米试验田，有两种收割方案：
方案一：一半的面积由1台甲型收割机收割，另一半的面积由1台乙型收割机收割；
方案二：完成整个收割工作的前一半时间由1台甲型收割机收割，后一半时间由1台乙型收割机收割．
①方案一所用时间是___________天；
方案二所用时间是___________天（用含、、的式子表示）
②请你判断哪种改造方案所用时间少？并说明理由．
考点8：分式方程实际应用——销售问题
典例8：下面是小花学习了“分式方程”后所作的课堂学习笔记，请认真阅读并完成相应的任务．
题目：元旦义卖，某班准备购进甲、乙两种商品，甲种商品每件的进价比乙种商品每件的进价多2元，用200元购进甲种商品和用120元购进乙种商品的数量相同．求甲、乙两种商品每件的进价各是多少元．
题目：元旦义卖，某班准备购进甲、乙两种商品，甲种商品每件的进价比乙种商品每件的进价多2元，用200元购进甲种商品和用120元购进乙种商品的数量相同．求甲、乙两种商品每件的进价各是多少元．
方法 分析问题 列出方程
解法一 设…等量关系：甲商品数量=乙商品数量
解法二 设…等量关系：甲商品进价一乙商品进价=2
(1)解法一所列方程中的x表示 ，解法二所列方程中的x表示 ．
A、甲种商品每件进价x元 B．乙种商品每件进价x元 C．甲种商品购进x件
(2)根据以上解法分别求出甲、乙两种商品的进价．
(3)若商店计划用不超过144元的资金购进甲、乙两种商品共40件，至多购进甲种商品多少件？
【变式1】金师傅近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车．
燃油车 油箱容积：40升 油价：8.4元/升 续航里程：a千米 每千米行驶费用：元 新能源车 电池电量：60千瓦时 电价：0.6元/千瓦时 续航里程：a千米 每千米行驶费用： _____元
(1)用含a 的代数式表示新能源车每千米的行驶费用： 元；
(2)若燃油车每千米的行驶费用比新能源车多0.5元．
①分别求出这两款车每千米的行驶费用；
②若燃油车和新能源车每年的其他费用分别为4800元和7500元，问：当每年的行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低？ （年费用=年行驶费用+年其他费用）
【变式2】某青春党支部在精准扶贫活动中，给结对帮扶的贫困家庭赠送甲、乙两种树苗让其栽种．已知乙种树苗的价格比甲种树苗贵10元，用360元购买甲种树苗的棵数恰好与用480元购买乙种树苗的棵数相同．
(1)求甲、乙两种树苗每棵的价格各是多少元？
(2)在实际帮扶中，他们决定再次购买甲、乙两种树苗共50棵，此时，甲种树苗的售价比第一次购买时少3元，乙种树苗的售价不变，如果再次购买两种树苗的总费用不超过1500元，那么他们最多可购买多少棵乙种树苗？
【变式3】每年的12月12日各大网络平台都会推出大型网购促销活动，吸引消费者购物．某一网络销售公司准备在这一天销售2000件“元旦礼盒”，找到甲工厂承接这项生产任务，甲工厂工作15天后还未加工完，于是提高了生产速度，提速后每天生产的数量比原来每天生产的数量多40件，又生产了5天才完成了任务．
(1)求甲工厂提速前每天生产“元旦礼盒”多少件？
(2)“双12”当天，“元旦礼盒”快速被抢空，该网络销售公司决定增加生产．安排甲、乙两家工厂共同加工生产该“元旦礼盒”2800件，甲工厂按提速前的速度和乙工厂一起加工完成一半后，更换了新的生产设备，两家工厂每天均比之前多生产一倍，结果比原计划提前4天完成任务，求更换新的生产设备前乙工厂每天加工“元旦礼盒”多少件？
考点9：分式方程实际应用——其他问题
典例9：如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为a米（）的正方形去掉一个边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为米的正方形，两块试验田的小麦都收获了．
(1)①“丰收1号”单位面积产量为______，“丰收2号”单位面积产量为______（以上结果均用含a的式子表示）；
②通过计算可知，______（填“1号”或“2号”）小麦单位面积产量高；
(2)若高的单位面积产量比低的单位面积产量的多，求a的值；
(3)某农户试种“丰收1号”、“丰收2号”两种小麦种子，两种小麦试种的单位面积产量与实验田一致，“丰收1号”小麦种植面积为n平方米（n为整数），“丰收2号”小麦种植面积比“丰收1号”少45平方米，若两种小麦种植后，收获的产量相同，当且a为整数时，符合条件的n值为______（直接写出结果）．
【变式1】为了支持全民健身运动，某社区计划采购一批体育健身器材，现有A、B两种型号的健身器材，其中A型健身器材比B型健身器材每台售价高1000元．
(1)社区工作人员通过计算发现，用18000元购买A型健身器材的数量与用15000元购买B型健身器材的数量一样，求A、B两种型号健身器材每台的售价各是多少元？
(2)商家为了提高B型健身器材的销量，推出以旧换新活动：购买一台B型健身器材时，可以用一台B型旧健身器材抵值500元．社区计划只购买B型健身器材，现有B型旧健身器材和计划购买的B型健身器材数量一共是120台．若购买B型健身器材的实际总费用不少于420000元，且购买的B型健身器材数量是B型旧健身器材数量的2倍，则要在计划的基础上再多买m台B型健身器材，社区也还需要再拿出台B型旧健身器材参加抵值活动，求m的最小值．
【变式2】项目学习方案：
项目 情景 元旦将至，某学校购买花卉装点校园，同学们需完成了解花卉知识（包括花语等 知识），购买花卉、插花、摆放盆栽等任务
素材 一 采购小组到市场上了解到每枝种花卉比每枝种花卉便宜5元，用800元购买的种花卉数量为用320元购买的种花卉数量的2倍
任务 一 小组成员甲设用320元购买的种花卉的数量为，由题意得方程：①； 小组成员乙设②，由题意得方程：
素材 二 插花时，技术小组成员丙发现自己单位时间内可完成盆小盆栽的插花任务或 完成（）盆大盆栽的插花任务，并且完成35盆小盆栽所用时间与完成10盆大盆栽的时间相同
任务 二 求的值
(1)任务一中横线①处应填______，横线②处应填______．
(2)完成任务二．
【变式3】①的解为；
②的解为；
③的解为；
④的解为；
……
(1)请根据发现的规律直接写出第⑤、⑥个方程及他们的解；
(2)请你用一个含正整数n的式子表示上述规律，并求出它的解．
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