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专题01 认识分式
（一）分式的概念
概念：一般地，如果A，B表示两个整数，并且B中含有字母，那么式子叫做分式，A为分子，B为分母。
（二）与分式有关的条件问题
要求 表示
分式有意义 分母≠0
分式无意义 分母=0
分式值为0 分子为0且分母不为0
分式值为正或大于0 分子分母同号 A>0,B>0 A<0,B<0
分式值为负或小于0 分子分母异号 ①A>0,B<0 ②A<0,B>0
分式值为1 分子分母值相等 A=B
分式值为-1 分子分母值互为相反数 A+B=0
（三）分式的基本性质
基本性质（基础）：分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。
字母表示：
其中A、B、C是整式，C≠0。
拓展：分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，即
注意：在应用分式的基本性质时，要注意C≠0这个限制条件和隐含条件B≠0。
（四）最简分式与分式的约分
（1）约分的定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去。
（2）最简分式的定义：分子与分母没有公因式的分式。
（3）分式约分步骤：
①提分子、分母公因式
②约去公因式
③观察结果，是否是最简分式或整式。
注意：
①约分前后分式的值要相等.
②约分的关键是确定分式的分子和分母的公因式.
③约分是对分子、分母的整体进行的，也就是分子的整体和分母的整体都除以同一个因式
（五）最简公分母与分式通分
（1）通分的定义：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。
（2）最简公分母的定义：取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。
（3）分式通分的关键：确定最简公分母。
确定分式的最简公分母的方法
①因式分解
②系数：各分式分母系数的最小公倍数；
③字母：各分母的所有字母的最高次幂
④多项式：各分母所有多项式因式的最高次幂
⑤积
考点1：分式的定义
典例1：有下列各式：①；②；③；④．其中是分式的是（）
A．①② B．③④ C．①③ D．①②③④
【变式1】在，，，，中分式的个数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【变式2】有下列各式∶①；②；③；④．其中是分式有 ．（填序号）
【变式3】下列各式：，，，，，0中，是分式的有 ，是单项式的有 ．
考点2：分式有无意义的条件
典例2：根据下列表格信息，可能为（　　）
0 1 2
0 无意义
A． B． C． D．
【变式1】下列关于分式的判断，正确的是（　　）
A．当时，无意义
B．当时，无意义
C．当时，的值为0
D．当时，的值为负数
【变式2】按要求填空．
（1）分式有意义时，的取值范围是 ．
（2）分式无意义时，的值是 ．
（3）分式的值为0时， ．
【变式3】已知分式，当 时，分式无意义，当 时，分式值为0，当 时分式有意义．
考点3：分式值为零的条件
典例3：分式的值为零，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【变式1】已知时，分式无意义；时，分式的值为0，则的值为（ ）
A．2 B． C．1 D．
【变式2】已知分式（，为常数）满足表格中的信息，则的值为 ．
的取值
分式的值 无意义
【变式3】已知分式，当时，该分式没有意义；当时，该分式的值为0，则 ．
考点4：分式求值
典例4：若，则代数式的值为（ ）
A． B． C．3 D．4
【变式1】如图，若，则表示的值的点落在（　　）
A．第①段 B．第②段 C．第③段 D．第④段
【变式2】若分式，则分式的值为 ．
【变式3】已知非零实数x，y满足，则的值等于 ．
考点5：根据分式值的符号求字母取值
典例6：若分式有意义，下列说法错误的是（ ）．
A．当时，分式的值为正数 B．当时，分式无意义
C．当时，分式的值为0 D．当时，分式的值为1
【变式1】关于分式，下列说法不正确的是（　　）
A．当x=0时，分式没有意义
B．当x＞5时，分式的值为正数
C．当x＜5时，分式的值为负数
D．当x=5时，分式的值为0
【变式2】当x 时，分式有意义；如果分式的值为0，那么x的值是 ．当x满足 时，分式的值为负数．
【变式3】填空：
（1）当x为 时，分式的值为0；
（2）当为 时，分式的值为正；
（3）当为 时，分式的值为负．
考点6：根据分式值为整数求字母的值
典例6：能使分式值为整数的整数x有（ ）个．
A．0 B．1 C．2 D．8
【变式1】使分式的值为整数的所有整数x的和是（ ）
A．3 B．2 C．0 D．-2
【变式2】如果m为整数，那么使分式的值为整数的m为 ．
【变式3】若x取整数，则使分式的值为整数的x的值有 个．
考点7：分式的基本性质
典例7：下列分式变形正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【变式1】如果把分式中的x，y的值都扩大为原来的3倍，那么分式的值（ ）
A．扩大为原来的3倍 B．缩小为原来的
C．扩大为原来的9倍 D．保持不变
【变式2】不改变分式值，把分式分子、分母的最高次项系数化正数：=
【变式3】不改变分式的值，把它的分子与分母中的各项系数都化成整数，结果为 ．
考点8：约分与通分
典例8：（1）约分：；
（2）通分：．
【变式1】约分
(1)
(2)
【变式2】约分：
(1)
(2)
(3)
【变式3】通分：
(1)，，；
(2)，；
(3)，，．
考点9：最简分式
典例9：下列分式中最简分式是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】下列说法正确的是（ ）
A．代数式化简后得
B．分式中x，y都扩大3倍，分式的值不变
C．分式的值为0，则x的值为
D．分式是最简分式
【变式2】下列各式中，最简分式有 个．
①；②；③；④；
【变式3】在分式中，最简分式有 ．
考点10：运用分式基本性质求值
典例10：已知，则等于（ ）
A． B． C． D．
【变式1】下列说法正确的是（ ）
A．分式的值为零，则的值为
B．根据分式的基本性质，等式
C．把分式的分子与分母的各项系数都化为整数的结果为
D．分式是最简分式
【变式2】阅读下面的材料，并解答问题：
分式的最大值是多少？
解：，
因为，所以的最小值是2，所以的最大值是2，
所以的最大值是4，即的最大值是4．
根据上述方法，试求分式的最小值是 ．
【变式3】如果分式的值为9，把式中的x，y同时扩大为原来的3倍，则分式的值是 ．
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专题01 认识分式
（一）分式的概念
概念：一般地，如果A，B表示两个整数，并且B中含有字母，那么式子叫做分式，A为分子，B为分母。
（二）与分式有关的条件问题
要求 表示
分式有意义 分母≠0
分式无意义 分母=0
分式值为0 分子为0且分母不为0
分式值为正或大于0 分子分母同号 A>0,B>0 A<0,B<0
分式值为负或小于0 分子分母异号 ①A>0,B<0 ②A<0,B>0
分式值为1 分子分母值相等 A=B
分式值为-1 分子分母值互为相反数 A+B=0
（三）分式的基本性质
基本性质（基础）：分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。
字母表示：
其中A、B、C是整式，C≠0。
拓展：分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，即
注意：在应用分式的基本性质时，要注意C≠0这个限制条件和隐含条件B≠0。
（四）最简分式与分式的约分
（1）约分的定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去。
（2）最简分式的定义：分子与分母没有公因式的分式。
（3）分式约分步骤：
①提分子、分母公因式
②约去公因式
③观察结果，是否是最简分式或整式。
注意：
①约分前后分式的值要相等.
②约分的关键是确定分式的分子和分母的公因式.
③约分是对分子、分母的整体进行的，也就是分子的整体和分母的整体都除以同一个因式
（五）最简公分母与分式通分
（1）通分的定义：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。
（2）最简公分母的定义：取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。
（3）分式通分的关键：确定最简公分母。
确定分式的最简公分母的方法
①因式分解
②系数：各分式分母系数的最小公倍数；
③字母：各分母的所有字母的最高次幂
④多项式：各分母所有多项式因式的最高次幂
⑤积
考点1：分式的定义
典例1：有下列各式：①；②；③；④．其中是分式的是（）
A．①② B．③④ C．①③ D．①②③④
【答案】C
【知识点】分式的判断
【分析】本题考查了分式的定义，根据分母中含有字母的式子是分式，可得答案，分母中含有字母的式子是分式，否则是整式，注意是常数不是字母．
【详解】解：①，③是分式，②，④不是分式，
故选：C．
【变式1】在，，，，中分式的个数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【知识点】分式的判断
【分析】一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式．
【详解】解：，，分母中含字母，是分式；
，分母中不含字母，不是分式；
故选B．
【点睛】本题主要考查的是分式的定义，掌握分式的定义是解题的关键．
【变式2】有下列各式∶①；②；③；④．其中是分式有 ．（填序号）
【答案】①②④
【知识点】分式的判断
【分析】本题考查分式的识别，根据形如，均为整式，且中含有字母，这样的式子叫做分式，进行判断即可．注意不是字母．
【详解】解：①，是分式；
②，是分式；
③，不是分式；
④，是分式；
故答案为：①②④
【变式3】下列各式：，，，，，0中，是分式的有 ，是单项式的有 ．
【答案】 ， ，，0
【知识点】单项式的判断、分式的判断
【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．
【详解】解：，，分母有字母，故是分式．
单项式有，，0．
故答案为：，；，，0．
【点睛】本题考查分式的定义，单项式的识别，解题的关键注意区分是否为分式不应化简，π是常数，不是字母．
考点2：分式有无意义的条件
典例2：根据下列表格信息，可能为（　　）
0 1 2
0 无意义
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】分式值为零的条件、分式无意义的条件
【分析】本题考查的是分式有意义的条件、分式为0是条件，掌握分式的分母不为0是解题的关键．根据分式有意义的条件、分式为0是条件解答．
【详解】解：当时，分式无意义，
分式的分母可能是．
当时，分式的值为0，
分式的分子可能是．
分式可能是．
故选：C．
【变式1】下列关于分式的判断，正确的是（　　）
A．当时，无意义
B．当时，无意义
C．当时，的值为0
D．当时，的值为负数
【答案】A
【知识点】分式值为零的条件、分式有意义的条件、分式无意义的条件
【分析】本题考查了分式的意义，掌握当分式的分母为零时，分式无意义；当分式的分子为零时，分式的值为零是解题关键．根据分式的性质逐一判断即可．
【详解】A、当时，无意义，符合题意；
B、当时，无意义，不符合题意；
C、当时，的值不存在，不符合题意；
D、当时，的值为正数，不符合题意．
故选：A．
【变式2】按要求填空．
（1）分式有意义时，的取值范围是 ．
（2）分式无意义时，的值是 ．
（3）分式的值为0时， ．
【答案】 0
【知识点】分式无意义的条件、分式有意义的条件、分式值为零的条件
【分析】本题考查了分式有意义、分式无意义的条件及分式值为零的条件，熟知它们的特征是解题的关键；
（1）根据分式有意义的条件是分母不等于零， 即可解答；
（2）分式无意义的条件是分母等于零， 即可解答；
（3）分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零， 即可解答．
【详解】（1）分式有意义，
，
解得：，
故答案为：；
（2）分式无意义，
，
解得：；
故答案为：；
（3）分式的值为0，
且，
解得：
故答案为：0；
【变式3】已知分式，当 时，分式无意义，当 时，分式值为0，当 时分式有意义．
【答案】 2
【知识点】分式值为零的条件、分式有意义的条件、分式无意义的条件
【分析】本题主要考查了分式有意义，无意义和分式值为0的条件，分式值为0的条件是分子为0，分母不为0，分式有意义的条件是分母不为0，分式无意义的条件是分母为0，据此求解即可．
【详解】解：∵无有意义，
∴，
∴；
∵的值为0，
∴，
∴；
∵有意义，
∴，
∴；
故答案为：；2；．
考点3：分式值为零的条件
典例3：分式的值为零，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】分式值为零的条件、分式有意义的条件
【分析】本题考查了分式的值为零的条件，直接利用分式的值为零则分子为零，分母不为零，进而得出答案，熟知分式的值为时要满足的条件是解题的关键．
【详解】解：∵分式的值为，
∴且，
解得，
故选：．
【变式1】已知时，分式无意义；时，分式的值为0，则的值为（ ）
A．2 B． C．1 D．
【答案】D
【知识点】分式值为零的条件、分式有意义的条件
【分析】本题考查了分式有意义的条件及分式的值为零的条件，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键．当分母不为零时，分式有意义；当当分母为零时，分式无意义；当分母不为零且分子为零时，分式的值为零．当时，根据分母为零可求得，当时，根据分母不为零，分子为零，可求得，由此即可求的答案．
【详解】当时，分式无意义，
，
解得，
当时，分式的值为0，
，
解得，
．
故选：D．
【变式2】已知分式（，为常数）满足表格中的信息，则的值为 ．
的取值
分式的值 无意义
【答案】
【知识点】分式值为零的条件、分式无意义的条件、解分式方程
【分析】本题主要考查了分式无意义的条件，分式的求值，解分式方程，代数式求值等等，分式无意义的条件是分母为，据此可求出的值；根据当时，分式的值为，可求出的值，进而得到关于的方程，解方程求出的值，再求出的值即可得到答案，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：∵当时分式无意义，
∴，
∴；
∵当时，分式的值为，
∴，
∴；
∴分式为，
∴根据表格可知：，，
解得：，
经检验：是原分式方程的解，
∴，
故答案为：．
【变式3】已知分式，当时，该分式没有意义；当时，该分式的值为0，则 ．
【答案】
【知识点】分式值为零的条件、分式无意义的条件
【分析】本题考查了分式无意义以及分式值为零的条件；
根据分式没有意义，分母为零；分式值为零，分子为零，分母不为零列式求出，，然后计算即可．
【详解】解：∵当时，该分式没有意义，
∴，
∴，
∵当时，该分式的值为0，
∴，此时，
∴，
∴，
故答案为：．
考点4：分式求值
典例4：若，则代数式的值为（ ）
A． B． C．3 D．4
【答案】A
【知识点】已知式子的值，求代数式的值、分式的求值、分式化简求值
【分析】由可得，代入分式，化简即可．
【详解】解：由可得
将代入可得：
原式
故选：A
【点睛】此题考查了分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的四则运算．
【变式1】如图，若，则表示的值的点落在（　　）
A．第①段 B．第②段 C．第③段 D．第④段
【答案】D
【知识点】分式的求值、用数轴上的点表示有理数
【分析】将代入化简求值，再根据数轴的性质即可得．
【详解】解：，
，
，
表示的值的点落在第④段，
故选：D．
【点睛】本题考查了分式的值、数轴，正确求出分式的值是解题关键．
【变式2】若分式，则分式的值为 ．
【答案】
【知识点】分式的求值
【分析】本题考查分式的化简求值，由题干条件找出之间的关系，根据已知条件，将分式整理为，再代入则分式中求值即可．
【详解】解：∵，
∴，
，
将整体代入分式得
．
故答案为：．
【变式3】已知非零实数x，y满足，则的值等于 ．
【答案】5
【知识点】分式的求值
【分析】本题考查分式的求值，根据，得到，整体代入法求出分式的值即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴；
故答案为：5．
考点5：根据分式值的符号求字母取值
典例6：若分式有意义，下列说法错误的是（ ）．
A．当时，分式的值为正数 B．当时，分式无意义
C．当时，分式的值为0 D．当时，分式的值为1
【答案】A
【知识点】分式值为零的条件、分式无意义的条件、分式的求值、求分式值为正（负）数时未知数的取值范围
【分析】本题考查了分式的值，分式的值为零，分式有意义的条件，分式的值为正，熟练掌握这些知识是解题的关键．
根据分式的值为0的条件，分式有意义的条件，分式的值为正，分式的值，逐项判断即可．
【详解】解：A、当时，分母，但的值可能是正数也可能是负数，根据“两数相除同号得正，异号得负”可判定分式的值可能是正数，也可能是负数，还可能是0，故此选项错误，符合题意；
B、当时，分母，所以当时，分式无意义，故此选项正确，不符合题意；
C、当时，分母，分子，当时，分式的值为0，故此选项正确，不符合题意；
D、当时，分母，，当时，分式的值为1，故此选项正确，不符合题意．
故选：A．
【变式1】关于分式，下列说法不正确的是（　　）
A．当x=0时，分式没有意义
B．当x＞5时，分式的值为正数
C．当x＜5时，分式的值为负数
D．当x=5时，分式的值为0
【答案】C
【分析】此题可化转化为分别求当分式等于0、大于0、小于0、无意义时的x的取值范围，分别计算即可求得解．
【详解】A．当x=0时，分母为0，分式没有意义；正确，但不符合题意．
B．当x>5时，分式的值为正数；正确，但不符合题意
C．当0＜x＜5时，分式的值为负数；当x=0是分式没有意义，当x＜0时，分式的值为负数，原说法错误，符合题意．
D．当x=5时，分式的值为0；正确，但不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查分式的性质的运用，注意分式中分母不为0的隐性条件．
【变式2】当x 时，分式有意义；如果分式的值为0，那么x的值是 ．当x满足 时，分式的值为负数．
【答案】 1 x<2且x≠-1
【知识点】分式值为零的条件、分式有意义的条件、求分式值为正（负）数时未知数的取值范围
【分析】根据分式有意义的条件、分式的值为0的条件及分式的值为负数的条件即可解答．
【详解】∵分式有意义，
∴，
即；
∵分式的值为0，
∴且，
∴x=1；
∵分式的值为负数，
∴x-2<0且
即x-2<0且x+1≠0，
∴x<2且x≠-1．
故答案为：；1；x<2且x≠-1．
【点睛】本题是基础题，考查了分式有意义的条件、分式的值为0的条件及分式的值为负数的条件，熟练运用分式有意义的条件、分式的值为0的条件及分式的值为负数的条件是解决问题的关键．
【变式3】填空：
（1）当x为 时，分式的值为0；
（2）当为 时，分式的值为正；
（3）当为 时，分式的值为负．
【答案】 2 />-0.5
【知识点】分式值为零的条件、求分式值为正（负）数时未知数的取值范围
【分析】（1）根据分式值为0的条件解答即可；
（2）分式的值为正即分子分母同号，由，得，从而得出，解答即可；
（3）分式的值为负即分子分母异号，由，得，从而得出，解答即可．
【详解】解：（1）由，得，
当时，；
故答案为：2；
（2）由分式的值为正，得与同号，
∵，
∴，
∴，
解得：x，
故答案为：；
（3）由分式的值为负，得与异号，
∵，
∴，
∴，
解得：x，
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式的值为0、分式的值为正数或负数的条件，熟练掌握分式的值为0、分式的值为正数或负数的条件是解决本题的关键，注意讨论分式的值的前提是要使分式有意义．
考点6：根据分式值为整数求字母的值
典例6：能使分式值为整数的整数x有（ ）个．
A．0 B．1 C．2 D．8
【答案】D
【知识点】求使分式值为整数时未知数的整数值
【分析】此题主要考查了分式的值，正确化简分式是解题关键．将转化为，进一步求解即可．
【详解】解：，
∵分式的值为整数，
∴的值为整数，
∴，
∵也是整数，
∴，
解得：；
故选D．
【变式1】使分式的值为整数的所有整数x的和是（ ）
A．3 B．2 C．0 D．-2
【答案】B
【知识点】求使分式值为整数时未知数的整数值、有理数的加减混合运算
【分析】由整除的性质可知，是的约数，分别求得符合题意的x值，再求和即可．
【详解】解：∵，
∵是整数，
∴或，
解得或1或2或，
所以所有整数x的和为：，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了分式的值，掌握整除的性质是解题的关键．本题是基础知识的考查，比较简单．
【变式2】如果m为整数，那么使分式的值为整数的m为 ．
【答案】或或0或1
【知识点】求使分式值为整数时未知数的整数值
【分析】本题主要考查分式的值，熟练掌握相关知识点并全面讨论是解题关键．
分式，讨论就可以了，即是2的约数即可完成．
【详解】解： ，
若原分式的值为整数，那么，，1，2
由得，；
由得，；
由得，；
由得，；
或或0或1，
故答案为：或或0或1．
【变式3】若x取整数，则使分式的值为整数的x的值有 个．
【答案】4
【知识点】求使分式值为整数时未知数的整数值
【分析】先将假分式分离可得出，根据题意只需是6的整数约数即可．
【详解】解：
由题意可知，是6的整数约数，
∴
解得：，
其中x的值为整数有：共4个．
故答案为：4．
【点睛】本题考查的知识点是分式的值是整数的条件，分离假分式是解此题的关键，通过分离假分式得到，从而使问题简单．
考点7：分式的基本性质
典例7：下列分式变形正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】判断分式变形是否正确
【分析】本题考查分式的基本性质，熟练掌握其性质是解题的关键．
利用分式的基本性质逐项判断即可．
【详解】解：，则A不符合题意；
，则B不符合题意；
无法约分，则C不符合题意；
，则D符合题意；
故选：D．
【变式1】如果把分式中的x，y的值都扩大为原来的3倍，那么分式的值（ ）
A．扩大为原来的3倍 B．缩小为原来的
C．扩大为原来的9倍 D．保持不变
【答案】B
【知识点】利用分式的基本性质判断分式值的变化
【分析】本题考查了分式的基本性质，能够正确利用分式的基本性质变形是解题的关键．根据分式的基本性质，可得答案．
【详解】解：把分式中的，的值都扩大为原来的3倍，
∴，
∴缩小为原来的，
故选：B．
【变式2】不改变分式值，把分式分子、分母的最高次项系数化正数：=
【答案】
【知识点】将分式的分子分母的最高次项化为正数
【分析】根据添括号法则，对所求式子添括号，根据分式基本性质进行化简即可.
【详解】
故答案为.
【点睛】考查了分式的基本性质以及添括号法则，注意当括号前面加“-”时，括号里的各项都改变正负号.
【变式3】不改变分式的值，把它的分子与分母中的各项系数都化成整数，结果为 ．
【答案】
【知识点】将分式的分子分母各项系数化为整数
【分析】本题考查了分式的性质，分子分母同时乘以，即可求解．
【详解】解：
故答案为：．
考点8：约分与通分
典例8：（1）约分：；
（2）通分：．
【答案】（1）．（2），
【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算、约分、通分
【分析】本题考查了分式的性质，分式化简，平方差公式，完全平方公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）运用平方差公式，完全平方公式整理，再结合分式的性质进行化简，即可作答．
（2）先得，故它们的最简公分母是，再结合分式的性质进行整理，即可作答．
【详解】解：（1）．
（2）依题意，，
则它们的最简公分母是，
∴，．
【变式1】约分
(1)
(2)
【答案】(1)；
(2)
【知识点】约分
【分析】本题考查约分，用到的知识点是分式的基本性质，分式的基本性质是分式的分子、分母同时乘以或除以同一个非0的数或式子，分式的值不变．
（1）首先将分母因式分解，然后根据分式的基本性质求解即可；
（2）首先将分子分母因式分解，然后根据分式的基本性质求解即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【变式2】约分：
(1)
(2)
(3)
【答案】(1)；
(2)；
(3)．
【知识点】约分
【分析】本题考查分式的约分，用到的知识点是分式的基本性质，分式的基本性质是分式的分子、分母同时乘以或除以同一个非0的数或式子，分式的值不变．
（1）根据分式的基本性质求解即可；
（2）首先将分子分母因式分解，然后根据分式的基本性质求解即可；
（3）首先将分子分母因式分解，然后根据分式的基本性质求解即可．
【详解】（1）解：
；
（2）
；
（3）
．
【变式3】通分：
(1)，，；
(2)，；
(3)，，．
【答案】(1)，，；
(2)，；
(3)，，．
【知识点】通分
【分析】本题考查了通分，准确熟练地进行计算是解题的关键．
（1）先求出最简公分母是，然后根据分式的基本性质进行计算，即可解答；
（2）先求出最简公分母是，然后根据分式的基本性质进行计算，即可解答；
（3）先求出最简公分母是，然后根据分式的基本性质进行计算，即可解答．
【详解】（1）解：最简公分母是，
所以，，；
（2）解：最简公分母是，
所以，；
（3）解：最简公分母是，
所以，，．
考点9：最简分式
典例9：下列分式中最简分式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】最简分式
【分析】本题考查最简分式， 解题的关键是掌握：分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式．据此解答即可．
【详解】解：A．∵，
∴不是最简分式，故此选项不符合题意；
B．∵，
∴不是最简分式，故此选项不符合题意；
C．∵是最简分式，故此选项符合题意；
D．∵，
∴不是最简分式，故此选项不符合题意．
故选：C．
【变式1】下列说法正确的是（ ）
A．代数式化简后得
B．分式中x，y都扩大3倍，分式的值不变
C．分式的值为0，则x的值为
D．分式是最简分式
【答案】D
【知识点】解分式方程、最简分式、分式值为零的条件
【分析】本题考查了分式的化简，解分式方程，最简分式等知识．熟练掌握分式的化简，解分式方程，最简分式是解题的关键．
根据分式的化简，解分式方程，最简分式对各选项判断作答即可．
【详解】解：A中，故不符合要求；
B中分式中x，y都扩大3倍，为，故不符合要求；
C中分式的值为0，
∴，
解得，（舍去），故不符合要求；
D中分式是最简分式，故符合要求；
故选：D．
【变式2】下列各式中，最简分式有 个．
①；②；③；④；
【答案】
【知识点】最简分式
【分析】此题考查了最简分式的定义，根据最简分式的定义，只要判断出分子分母是否有公因式即可，
掌握最简分式的概念是解题的关键．
【详解】解：①，③的分子、分母中不含有公因式，是最简分式，故符合题意；
②的分子、分母中含有公因式，不是最简分式，故不符合题意；
④的分子、分母中含有公因式，不是最简分式，故不符合题意；
的分子、分母中含有公因式，不是最简分式，故不符合题意；
综上，最简分式有个，
故答案为：．
【变式3】在分式中，最简分式有 ．
【答案】
【知识点】最简分式、约分
【分析】根据最简分式的意义对每项进行检验判断．
【详解】解：由 =，得到此分式不是最简分式；
由 =m﹣n，得到此分式不是最简分式；
由 =，得到此分式不是最简分式；
由 =﹣1，得到此分式不是最简分式；
而分子分母没有公因式，是最简分式．
故答案为： ．
【点睛】本题考查分式的应用，熟练掌握最简分式的意义和正确进行分式约分的方法是解题关键．
考点10：运用分式基本性质求值
典例10：已知，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】将分式的分子分母各项系数化为整数、等式的性质
【分析】本题主要考查了等式的基本性质、代数式求值、分式的基本性质等知识点，运用等式的基本性质得到成为解题的关键．
根据等式的基本性质得到，然后代入代数式计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
故选：A．
【变式1】下列说法正确的是（ ）
A．分式的值为零，则的值为
B．根据分式的基本性质，等式
C．把分式的分子与分母的各项系数都化为整数的结果为
D．分式是最简分式
【答案】D
【知识点】分式值为零的条件、最简分式、判断分式变形是否正确、将分式的分子分母各项系数化为整数
【分析】根据分式的值为0的条件，分式的基本性质，最简分式的定义，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、分式的值为零，则的值为，选项错误，不符合题意；
B、当时，没有意义，，选项错误，不符合题意；
C、把分式的分子与分母的各项系数都化为整数的结果为，选项错误，不符合题意；
D、分式是最简分式，选项正确，符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查分式的值为0的条件，分式的基本性质，最简分式．熟练掌握相关知识点，是解题的关键．
【变式2】阅读下面的材料，并解答问题：
分式的最大值是多少？
解：，
因为，所以的最小值是2，所以的最大值是2，
所以的最大值是4，即的最大值是4．
根据上述方法，试求分式的最小值是 ．
【答案】
【知识点】利用分式的基本性质判断分式值的变化
【分析】本题考查了分式的性质及有理数的乘方，先利用分式的性质化简，再根据有理数的乘方的符号规律可得的最大值为，进而可求解，熟练掌握分式的性质是解题的关键．
【详解】解：，
，
的最小值为，
的最大值为，
的最小值为，
即的最小值是，
故答案为：．
【变式3】如果分式的值为9，把式中的x，y同时扩大为原来的3倍，则分式的值是 ．
【答案】3
【知识点】利用分式的基本性质判断分式值的变化
【分析】根据分式的基本性质计算求解．
【详解】解：∵分式的值为9，把式中的x，y同时扩大为原来的3倍，
∴原式＝．
故答案为：3．
【点睛】本题考查利用分式的基本性质判断分式值的变化，理解分式的基本性质准确对原式进行化简计算是解题关键．
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