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专题01 两直线的位置关系
（一）相交线所形成的角
两条直线相交所成的四个角中：
（1）相邻的两个角叫做邻补角，特点是两个角共用一条边，另一条边互为反向延长线，性质是邻补角互补；
①邻补角：两个角有一条公共边，它们的另一条边互为反向延长线。具有这种关系的两个角，互为邻补角。如：∠1、∠2。
（2）相对的两个角叫做对顶角，特点是它们的两条边互为反向延长线。性质是对顶角相等。
②对顶角：两个角有一个公共顶点，并且一个角的两条边，分别是另一个角的两条边的反向延长线，具有这种关系的两个角，互为对顶角。如：∠1、∠3。对顶角相等。
（二）垂线及其性质
（1）垂直：如果两条直线相交成直角，那么这两条直线互相垂直；交点叫垂足；垂直是特殊的相交。
（2）垂线特点：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
（3）点到直线的距离： 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫点到直线的距离。连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
（三）三线八角
（1）同位角：形如“F”型；在两条直线的上方，又在直线EF的同侧，具有这种位置关系的两个角叫同位角。如：∠1和∠5。
（2）内错角：形如“Z”型；在两条直线之间，又在直线EF的两侧，具有这种位置关系的两个角叫内错角。如：∠3和∠5。
（3）同旁内角：形如“U”型；在两条直线之间，又在直线EF的同侧，具有这种位置关系的两个角叫同旁内角。如：∠3和∠6。
考点1：相交线与平行线
典例1：下列例子中，不能看作平行线的是（ ）
A．人行道上的斑马线 B．长方形门窗的边框
C．五线谱 D．螺丝上的螺旋线
【答案】D
【知识点】平面内两直线的位置关系
【分析】本题考查了平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线．根据在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线即可确定．
【详解】解：人行道上的斑马线、长方形门窗的边框、五线谱能看作平行线，
螺丝上的螺旋线不在同一平面内，不是平行线
故选：D．
【变式1】下列说法正确的是（ ）
A．在同一平面内，没有公共点的两条线段是平行线
B．在同一平面内，不重合的两条直线是平行线
C．在同一平面内，没有公共点的两条直线是平行线
D．不相交的两条直线是平行线
【答案】C
【知识点】平面内两直线的位置关系
【分析】此题考查了平行线的定义，熟记平行线的定义是解题的关键．
根据平行线的定义判断求解即可．
【详解】解：在同一平面内，没有公共点的两条直线是平行线，故A错误，不符合题意；
同一平面内，不相交的两条直线是平行线，故B错误，不符合题意；
同一平面内，没有公共点的两条直线是平行线，故C正确，符合题意；
同一平面内，不相交的两条直线是平行线，故D错误，不符合题意；
故选：C．
【变式2】 观察如图图形，并阅读图形下面的相关文字．像这样的十条直线相交最多的交点个数有 ．
【答案】45
【知识点】相交线
【分析】根据直线两两相交且不交于同一点，可得答案．
【详解】解：每条直线都与其他九条直线有一个交点，即9个交点，十条直线一共有9×10 =90个交点，因为每个交点都重复了一次，所以十条直线相交最多的交点个数有90÷2=45，
故答案为：45．
【点睛】本题考查了相交线，n条直线与其它每条直线都有一个交点，可有（n 1）个交点，n条直线有n（n 1）个交点，每个交点都重复了一次，n条直线最多有 个交点．
【变式3】某城市新区规划建设10条主干道（道路近似于直线），为有效引导车流，交通运输局计划每条主干道交汇点处设置一组交通信号灯，则交通运输局需要准备的交通信号灯组数最多为 ．
【答案】45
【知识点】相交线
【分析】此题考查平面内不重合直线的位置关系，是寻找规律的题型，找到n条直线相交，最多有个交点是解题的关键；要探求相交直线的交点的最多个数，则应尽量让每两条直线产生不同的交点．根据两条直线相交有一个交点，然后可画出图形找出规律即可求解．
【详解】解：如图，
∵两条直线相交，最多有1个交点，
三条直线相交，最多有个交点，
四条直线相交，最多有个交点．
五条直线相交，最多有个交点；
…..；
∴n条直线相交，最多有个交点；
∴10条直线相交，最多有个交点；
即交通运输局需要准备的交通信号灯组数最多为45；
故答案为45．
考点2：对顶角的概念
典例2：下列图形中，与互为对顶角的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】对顶角的定义
【分析】本题主要考查对顶角，根据有公共顶点，且角的两边互为反向延长线的两个角是对顶角，进行判断即可．
【详解】解：通过观察与的位置特征，只有B中与同时满足有公共顶点，且的两边是的两边的反向延长线，故B选项，符合题意．
故选：B．
【变式1】下列图形中，与互为对顶角的是（）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】对顶角的定义
【分析】本题考查对顶角的意义，掌握对顶角的概念是解题的关键．根据对顶角的意义，一个角的两边分别是另一角两边的反向延长线，这样的两个角是对顶角，进行判断即可．
【详解】解：根据对顶角的意义得，C选项的图象符合题意，
故选：C．
【变式2】 两条相交直线所成的四个角中，有 没有 的两个角叫作对顶角．
【答案】 公共顶点 公共边
【知识点】对顶角的定义
【分析】本题考查对顶角的定义，解题的关键是掌握对顶角的定义：有一个公共边，并且一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线的两个角，即可．
【详解】解：∵对顶角的定义：有一个公共边，并且一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线的两个角，
∴两条相交直线所成的四个角中，有公共顶点，没有公共边的两个角叫作对顶角．
故答案为：公共顶点；公共边．
【变式3】如图，当光线从空气射入水中时，光线的传播方向发生了改变，这就是折射现象．图中与是不是对顶角？ ．（填“是”或“不是”）
【答案】不是
【知识点】对顶角的定义
【分析】本题考查了对顶角的定义，如果两个角有公共顶点，其中一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，那么这两个角是对顶角．根据对顶角的定义直接判断即可．
【详解】解：由对顶角的定义可知：与不是对顶角．
故答案为：不是．
考点3：余角、补角的概念
典例3：如图所示，，，那么图中互余的角共有（ ）
A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
【答案】C
【知识点】求一个角的余角
【分析】本题考查了求一个角的余角，熟练掌握余角的定义是解题的关键．
根据余角的定义进行判断即可得出答案．
【详解】解：由题意可得：，
∴，，，
∴，，
∴，
综上，图中互余的角共有4对，
故选：C．
【变式1】如图，C是直线上一点，，图中和的关系是（ ）
A．互为余角 B．互为补角 C．相等 D．无法确定
【答案】A
【知识点】求一个角的余角
【分析】本题主要考查了互余，互补的知识，掌握各角之间的数量关系是解题的关键．
根据平角定义求出，即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴．
∵是平角，
∴，
即，
可知和互为余角．
故选：A．
【变式2】 如果 为，就说这两个角 ，简称 ，其中每一个角是另一个角的 ．
如果 为，就说这两个角 ，简称 ，其中每一个角是另一个角的 ．
【答案】 两个角的和 互为余角 互余 余角 两个角的和 互为补角 互补 补角
【知识点】求一个角的余角、求一个角的补角
【分析】根据余角和补角的概念求解即可．
【详解】解：如果两个角的和为，就说这两个角互为余角，简称互余，其中每一个角是另一个角的余角．
如果两个角的和为，就说这两个角互为补角，简称互补，其中每一个角是另一个角的补角．
故答案为：两个角的和；互为余角；互余；余角；两个角的和；互为补角；互补；补角．
【点睛】此题考查了余角和补角的概念，解题的关键是熟练掌握余角和补角的概念．
【变式3】若，则的余角为 ．
【答案】．
【知识点】求一个角的余角
【分析】根据余角的意义：的余角为，代入求出即可．
【详解】∵，
∴它的余角为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了对余角的理解和运用，注意：若和互为余角，则 ．
考点4：对顶角、余角、补角的角度计算
典例4：如图，点直线上，，那么下列结论错误的是（ ）
A． B．
C．与互为余角 D．与互为补角
【答案】B
【知识点】几何图形中角度计算问题、与余角、补角有关的计算、同(等)角的余(补)角相等的应用
【分析】本题考查了角的计算比较．熟练掌握余角，补角的定义和性质，角的和差计算，是解题的关键．
根据互余、互补的性质，角的和差关系，结合图形，判断即可．
【详解】解：A、∵，
∴，
∴,
∴，
∴选项正确；
B、∵，
∴，
∴选项不正确；
C、∵，
∴选项正确；
D、∵,
∴选项正确．
故选：B．
【变式1】将一副三角板按不同位置摆放，下图中与互余的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】与余角、补角有关的计算、同(等)角的余(补)角相等的应用、三角形的外角的定义及性质
【分析】根据平角的定义可判断A，D，根据同角的余角相等可判断B，根据三角形的外角的性质可判断C，从而可得答案.
【详解】解：选项A：根据平角的定义得：∠α+90°+∠β=180°，
∴∠α+∠β=90°， 即∠α与∠β互余；故A符合题意；
选项B：如图，
故B不符合题意；
选项C：如图，
故C不符合题意；
选项D：
故D不符合题意；
故选A
【点睛】本题考查的是平角的定义，互余的含义，同角的余角相等，三角形的外角的性质，掌握“与直角三角形有关的角度的计算”是解本题的关键.
【变式2】 如图，点、、分别为内部三点，连接、、，，，，，则的补角的度数为 ．
【答案】40
【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算、与余角、补角有关的计算
【分析】本题主要考查了角平分线、角的和差、余角和补角等知识点，掌握余角和补角的定义成为解题的关键．
根据题意可得，进而得到，再根据余角的定义求得，然后求得，最后根据补角的定义即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
∴的补角为．
故答案为：40．
【变式3】如图，点是直线上一点，射线平分，在内部，在内部，，且，则下列四个结论正确的有 ．
①；②图中与互余的角有2个；③图中相等的角有5对；④图中互补的角有7对．
【答案】①②③④
【知识点】角平分线的有关计算、与余角、补角有关的计算
【分析】本题考查与角平分线有关的计算，与余角和补角有的计算，根据角平分线平分角，和为90度的两个角为互为余角，和为180度的两个互为补角，以及角的和差关系，逐一进行判断即可．
【详解】解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，；故①正确；
∴，
∵，，
∴与互余的角有共2个；故②正确；
∵，
∴图中相等的角有5对；故③正确；
∵，
，，
∴图中互补的角有7对；故④正确；
故答案为：①②③④．
考点5：三角板中的角度计算
典例5：如图，将两块三角板的直角顶点重合．
(1)写出以C为顶点的所有相等的角_____________________________．
(2)若，求的度数．
(3)猜想：与之间的数量关系为___________．
【答案】(1)
(2)
(3)，理由见解析
【知识点】同(等)角的余(补)角相等的应用、求一个角的余角、三角板中角度计算问题
【分析】本题主要考查了三角板中角度的计算，同角的余角相等，熟练掌握相关知识是解题的关键．
（1）根据同角的余角相等求解即可；
（2）由图得，求的度数即可；
（3）根据，即可得出结论．
【详解】（1）解：由题意得，
，
；
（2）解：，
，
；
（3）解：，
．
【变式1】数学活动课上，小聪同学摆弄着自己刚购买的一套三角板，将两块直角三角板的直角顶点C叠放在一起，然后转动三角板，在转动过程中，请解决以下问题：
如图所示：
(1)①_______（填“>”“<”或“=”）；
②当时，求的度数；
(2)若为任意锐角时，你能求出与的数量关系吗？若能，请求出；若不能，请说明理由．
【答案】(1)①；②
(2)能，
【知识点】三角板中角度计算问题、与余角、补角有关的计算
【分析】本题考查的是角的和差运算，与余角补角相关的计算；
（1）①由可得；②求解，结合，利用可得答案；
（2）由，，再结合角的和差运算可得答案．
【详解】（1）解：①∵，
∴，
∴；
② ，，
，
由（1）知，
．
（2）解：当为任意锐角时，，
理由如下： ，，
．
【变式2】 如图，将一副三角板中两个直角顶点重合于点O，按如图方式叠放在一起．
(1)若，求的度数；
(2)猜想与的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)
(2)与互补，理由见解析
【知识点】三角板中角度计算问题、与余角、补角有关的计算
【分析】此题考查补角余角问题，熟练掌握余角、补角的性质是解题的关键；
（1）先根据计算出，然后再根据计算即可；
（2）将拆成，然后与相加即可得出结论．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴；
（2）与互补，理由如下：
，
即与互补．
【变式3】如图，将一副直角三角板的直角顶点叠放在一起．

【计算与观察】
（1）若，则_____；若，则_____；
【猜想与证明】
（2）猜想与的大小有何特殊关系？并说明理由．
【拓展与运用】
（3）若，求的度数．
【答案】（1）； ；（2）；（3）；
【知识点】三角板中角度计算问题、几何图形中角度计算问题、与余角、补角有关的计算
【分析】本题考查余角和补角，角的和差定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
（1）根据角的和差可得，再进一步求解可得，再求解，进一步可得答案．
（2）利用角的和差可得，，再进一步可得答案．
（3）利用（2）的结论计算即可．
【详解】解：（1），，
，
，
；
，，
，
．
（2）猜想得：（或与互补）．
理由：，，
，
，
．
（3），，
，
解得．
考点6：垂线的定义及画法
典例6：如图，在同一平面内，，，垂足为，则直线和直线重合的理由是（　　）
A．两点确定一条直线
B．已知直线的垂线只有一条
C．垂线段最短
D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【答案】D
【知识点】垂线的定义理解
【分析】本题考查了垂线的定义，直接利用垂线的性质：在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，进而判断得出答案，掌握垂线的定义是解题的关键．
【详解】解：在同一平面内，，，垂足为，则直线和直线重合的理由是：同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，
故选：．
【变式1】如图，已知直线，点在直线上，用三角尺过点画直线的垂线．下列选项中，三角尺摆放位置正确的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】画垂线
【分析】根据直角三角板画垂线的步骤：一利用直角三角板的一直角边贴在已知直线上，二移动三角板另一直角边到已知点，三过已知点画垂线，四画出垂直符号对每一项判断即可．
【详解】解：∵三角尺过点画直线的垂线：
一、利用直角三角板的一直角边贴在已知直线上，
二、移动三角板另一直角边到已知点，
三、过已知点画垂线，
四、画垂直符合，
∴项符合题意，不符合题意；
故选．
【点睛】本题考查了利用直角三角板画垂线的步骤：一利用直角三角板的一直角边贴在已知直线上，二移动三角板另一直角边到已知点，三过已知点画垂线，四画出垂直符号，熟记直角三角板画垂线的步骤是解题的关键．
【变式2】 如图，直线和交于O点，平分于点，则 ．
【答案】/120度
【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算、垂线的定义理解、对顶角相等
【分析】本题考查相交线对顶角性质，角平分线定义，垂直定义，掌握对顶角性质，角平分线定义，垂直定义是解题关键．
根据对顶角性质可得．根据平分，可得，根据，得出，利用两角和得出即可．
【详解】解：∵、相交于点，
∴．
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【变式3】如果两个角的两边分别垂直，其中一个角比另一个角的2倍少，那么这两个角的和是 ．
【答案】或
【知识点】与余角、补角有关的计算、垂线的定义理解
【分析】设一个角为，另一个角为，根据两个角的两边分别垂直得到或，求得或，即可得解；
【详解】设一个角为，另一个角为，
∵两个角的两边分别垂直，
∴或，
解得：或，
∴当时，，
当时，，
即：，，
∴这两个角的和为或；
故答案是：或．
【点睛】本题主要考查了角的计算和垂线的定义，准确分析计算是解题的关键．
考点7：垂线段的性质
典例7：立定跳远是常州体育中考项目之一，女生成绩达到或超过获得满分，达到或超过获得加分．如图，一女生在起跳线上的点A处起跳，，垂足为C．若该女生获得满分但未加分，则下列说法中正确的是（ ）
A．可能为 B．可能为
C．可能为 D．可能为
【答案】D
【知识点】垂线段最短
【分析】本题考查了垂线段最短，熟练掌握垂线段的性质是关键．
根据题意和垂线段最短的性质判断即可．
【详解】解：∵该女生获得满分但未加分，
∴
∵，
∴可能为，
故选项D符合题意．
故选：D．
【变式1】如图是人行横道的示意图，若从点P通过马路，通过测量在四条路线中，距离最短的路线是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】垂线段最短
【分析】本题考查了平行线间垂线段最短．熟练掌握平行线间垂线段最短是解题的关键．
根据平行线间垂线段最短判断作答即可．
【详解】解：由题意知，距离最短的路线是，
故选：C．
【变式2】 如图，三角形中，，P为直线上一动点，则线段的最小值是 ．
【答案】
【知识点】用勾股定理解三角形、垂线段最短
【分析】此题考查了勾股定理和垂线段最短，根据勾股定理求出，当时，的值最小，利用等积法求出答案即可．
【详解】解：在中，，
∴，
∵当时，的值最小，
此时：，
∴，
故答案为：．
【变式3】如图，在中，过点C作于点D，M是边上的一个动点，连接．若，则线段的长的最小值是 ．
【答案】6
【知识点】垂线段最短
【分析】本题主要考查点到直线的距离，根据垂线段最短可得结论．
【详解】解：∵，且，
根据“垂线段最短”可知，当点M与点D重合时，最短，
所以，的最小值为的长，
所以，的最小值为6，
故答案为：6．
考点8：点到直线的距离
典例8：如果直线l外一点P与直线l上三点的连线段长分别为6cm，8cm，10cm，则点P到直线l的距离是（　　）
A．不超过6cm B．6cm C．8cm D．10cm
【答案】A
【知识点】垂线段最短、点到直线的距离
【分析】根据垂线段最短得出两种情况：①当4cm是垂线段的长时，②当4cm不是垂线段的长时，求出即可．
【详解】解：∵6＜8＜10，
∴根据垂线段最短得出：当6cm是垂线段的长时，点P到直线l的距离是6cm；当6cm不是垂线段的长时，点P到直线l的距离小于6cm，
即点P到直线l的距离小于或等于6cm，即不超过6cm，
故选：A．
【点睛】本题考查了点到直线的距离的应用，熟悉相关性质是解题的关键．
【变式1】是直线外一点，分别是上三点，已知．若点到的距离是，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】点到直线的距离
【分析】本题主要考查了点到直线的距离，熟知直线外一点到直线上各点的所有线段中，垂线段最短是解答本题的关键．根据“直线外一点到直线上各点的所有线段中，垂线段最短”进行解答即可．
【详解】解：∵直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，
∴点P到直线l的距离，即．
故选：A．
【变式2】 如图，在三角形中，，，垂足为．若，，，则点A到直线的距离为 ，点到直线的距离为 ，点到直线的距离为 ．
【答案】 4 3
【知识点】点到直线的距离
【分析】本题考查了点到直线的距离，解题的关键是熟练掌握点到直线的距离的定义；根据三角形等面积法求出，再根据点到直线的距离的定义即可得解．
【详解】解：，
，
，
点A到直线的距离为，点到直线的距离为，点到直线的距离为，
故答案为：4，3，．
【变式3】如图，已知，，，，则图中线段的长度可以表示点到直线的距离的有 条，其中表示点到直线的距离的是 ，点到直线的距离是 ．
【答案】 线段的长度
【知识点】点到直线的距离
【分析】本题考查了点到直线的距离：过这一点做目标直线的垂线，由这一点至垂足的距离，根据定义即可求解．
【详解】图中线段的长度可以表示点到直线的距离的有：
表示点到直线的距离的是线段的长度
点到直线的距离是线段的长度，即为
故答案为：；线段的长度；．
考点9：与垂直有关的角度计算
典例9：如图，直线交于点，平分，．
(1)若，求的度数；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)
(2)
【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算、垂线的定义理解、对顶角相等
【分析】本题考查角平分线的定义，垂直的定义，对顶角性质等知识；
（1）先根据角平分线的定义得出，再求出，根据垂直得出，进而根据平角得出答案；
（2）先求出，再得出，根据对顶角相等得出，进而根据角平分线的定义得出答案．
【详解】（1）解：∵平分，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴．
【变式1】如图，直线、交于点O，平分，．
(1)求的度数；
(2)画射线，使，求的度数．
【答案】(1)
(2)见解析，的度数为或
【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算、垂线的定义理解、对顶角相等
【分析】本题考查了垂线，角平分线的定义，对顶角相等，分两种情况讨论是解题的关键．
（1）先利用对顶角相等可得：，然后利用角平分线的定义进行计算，即可解答；
（2）分两种情况：当在直线的上方时；当在直线的下方时；然后分别进行计算即可解答．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵平分，
∴；
（2）解：分两种情况：
当在直线的上方时，如图：
∵，
∴，
∵，
∴；
当在直线的下方时，如图：
∵，
∴，
∵，
∴；
综上所述：的度数为或．
【变式2】 如图，直线，交于点，，垂足为O．
(1)若，求的度数；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)
(2)
【知识点】几何图形中角度计算问题、垂线的定义理解
【分析】此题考查了垂直的定义，平角、邻补角．
（1）根据垂直定义求出，进而求出的度数，再利用平角的定义得到答案；
（2）根据和，求出，即可求出答案．
【详解】（1）解：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）解：设，
∵，
∴，
∵，即，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴．
【变式3】如图，直线，相交于点O，．
(1)若，求证：；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【知识点】几何图形中角度计算问题、垂线的定义理解
【分析】本题考查了垂直的定义，角的和差；
（1）由垂直的定义得，等量代换得，即可得证；
（2）由角的和差得 ，即可求解；
理解垂直的定义，熟练利用角的和差进行计算是解题的关键．
【详解】（1）证明：因为，
所以，
所以，
因为，
所以，
即，
所以．
（2）解：因为，
所以，
因为，
所以，
所以
，
所以，
所以．
考点10：相交线的应用——规律探究
典例10：观察以下图形，寻找对顶角及邻补角．

(1)图（1）中共有　　　　对对顶角，　　　　对邻补角．
(2)图（2）中共有　　　　对对顶角，　　　　对邻补角．
(3)图（3）中共有　　　　对对顶角，　　　　对邻补角．
(4)根据上面的规律，直线条数与对顶角对数之间的关系为∶若n条直线相交于一点，则可形成　　　　对对顶角，　　　　对邻补角．
(5)若100条直线相交于一点，则可形成多少对对顶角？多少对邻补角？
【答案】(1)2，4
(2)6，12
(3)12，24
(4)
(5)可形成9900对对顶角；19800对邻补角
【知识点】图形类规律探索、对顶角的定义、邻补角的定义理解
【分析】本题考查有规律性的数学问题，关键是由特殊情况总结出一般规律．由特殊情况总结出一般规律，应用规律即可求解．
（1）根据图形直接得出答案即可；
（2）根据图形直接得出答案即可；
（3）根据图形直接得出答案即可；
（4）由特殊情况总结出一般规律；
（5）再由（4）得出的规律进行解答即可．
【详解】（1）图①中共有2对对顶角，4对邻补角，
故答案为：2，4；
（2）图②中共有6对对顶角，12对邻补角，
故答案为：6，12；
（3）图③中共有12对对顶角，24对邻补角，
故答案为：12，24；
（4）根据上面的规律，直线条数与对顶角对数之间的关系为：若有条直线相交于一点，则可形成对对顶角．对邻补角，
故答案为：，；
（5）若100条直线相交于一点，则可形成9900对对顶角，19800对邻补角，
【变式1】观察下列图形，并阅读相关文字．
2条直线相交，3条直线相交，4条直线相交，5条直线相交；
有2对对顶角，有6对对顶角，有12对对顶角，有20对对顶角；
通过阅读分析上面的材料，计算后得出规律，当n条直线相交于一点时，有多少对对顶角出现（n为大于2的整数）．
【答案】n条直线相交，有n（n﹣1）对对顶角．
【知识点】对顶角相等
【分析】由材料可以得到：利用对顶角的个数，除以对应的相交直线的条数，就得到图形的顺序数．因而有n条直线相交时，这个图形是第(n-1)个图形，因而对顶角的个数是： n(n-1)
【详解】2条直线相交，有2×1=2对对顶角；
3条直线相交，有3×2=6对对顶角；
4条直线相交，有4×3=12对对顶角；
5条直线相交，有5×4=20对对顶角；
…
n条直线相交，有对对顶角．
【变式2】 观察下列图形,并阅读相关文字.
通过阅读分析上面的材料,计算后得出规律,当n条直线相交于一点时,有多少对对顶角出现 (n大于2的整数)
【答案】n(n-1)
【知识点】对顶角的定义
【详解】分析：由材料可以得到：2条直线相交，有2×1=2对对顶角，3条直线相交，有3×2=6对对顶角，4条直线相交，有4×3=12对对顶角，5条直线相交，有5×4=20对对顶角，……，依次类推，即可求得n条直线相交时对顶角的个数．
详解：2条直线相交，有2×1=2对对顶角；
3条直线相交，有3×2=6对对顶角；
4条直线相交，有4×3=12对对顶角；
5条直线相交，有5×4=20对对顶角；
…；
n条直线相交，有n（n-1）对对顶角．
点睛：本题是一个探索规律型的题目，解决的关键由所给图形找出规律，这是中考中经常出现的问题．
【变式3】下列各图中，直线都交于一点，请探究交于-一点的直线的条数与所形成的对顶角的对数之间的规律．
(1)请观察上图并填写下表
交于一点的直线的条数 2 3 4
对顶角的对数
(2)若n条直线交于一点，则共有_____________对对顶角(用含n的代数式表示).
(3)当100条直线交于一点时，则共有_____________对对顶角
【答案】（1）2，6，12；（2）；（3）9900.
【知识点】对顶角的定义
【分析】（1）在复杂图形中数对顶角的对数时,我们一般先确定图形中包含几个两条直线相
交的基本图形，在每个基本图形中有2对对顶角,从而计算出所有对顶角的对数.
（2）根据计算写出规律即可；
（3）根据规律进行计算即可．
【详解】解：（1）由图可得，2条直线交于一点，则有对对顶角；3条直线交于一点，则 对对顶角；4条直线交于一点，则有对对顶角，
故答案为2，6，12；
（2）依据规律可得，n条直线交于一点，则共有n（n 1）对对顶角；
故答案为n（n 1）；
（3）当n＝100时，n（n 1）＝100×99＝9900；
故答案为9900．
【点睛】本题考查了对顶角的定义，熟记对顶角的概念是解题的关键.
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专题01 两直线的位置关系
（一）相交线所形成的角
两条直线相交所成的四个角中：
（1）相邻的两个角叫做邻补角，特点是两个角共用一条边，另一条边互为反向延长线，性质是邻补角互补；
①邻补角：两个角有一条公共边，它们的另一条边互为反向延长线。具有这种关系的两个角，互为邻补角。如：∠1、∠2。
（2）相对的两个角叫做对顶角，特点是它们的两条边互为反向延长线。性质是对顶角相等。
②对顶角：两个角有一个公共顶点，并且一个角的两条边，分别是另一个角的两条边的反向延长线，具有这种关系的两个角，互为对顶角。如：∠1、∠3。对顶角相等。
（二）垂线及其性质
（1）垂直：如果两条直线相交成直角，那么这两条直线互相垂直；交点叫垂足；垂直是特殊的相交。
（2）垂线特点：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
（3）点到直线的距离： 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫点到直线的距离。连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
（三）三线八角
（1）同位角：形如“F”型；在两条直线的上方，又在直线EF的同侧，具有这种位置关系的两个角叫同位角。如：∠1和∠5。
（2）内错角：形如“Z”型；在两条直线之间，又在直线EF的两侧，具有这种位置关系的两个角叫内错角。如：∠3和∠5。
（3）同旁内角：形如“U”型；在两条直线之间，又在直线EF的同侧，具有这种位置关系的两个角叫同旁内角。如：∠3和∠6。
考点1：相交线与平行线
典例1：下列例子中，不能看作平行线的是（ ）
A．人行道上的斑马线 B．长方形门窗的边框
C．五线谱 D．螺丝上的螺旋线
【变式1】下列说法正确的是（ ）
A．在同一平面内，没有公共点的两条线段是平行线
B．在同一平面内，不重合的两条直线是平行线
C．在同一平面内，没有公共点的两条直线是平行线
D．不相交的两条直线是平行线
【变式2】 观察如图图形，并阅读图形下面的相关文字．像这样的十条直线相交最多的交点个数有 ．
【变式3】某城市新区规划建设10条主干道（道路近似于直线），为有效引导车流，交通运输局计划每条主干道交汇点处设置一组交通信号灯，则交通运输局需要准备的交通信号灯组数最多为 ．
考点2：对顶角的概念
典例2：下列图形中，与互为对顶角的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】下列图形中，与互为对顶角的是（）
A． B．
C． D．
【变式2】 两条相交直线所成的四个角中，有 没有 的两个角叫作对顶角．
【变式3】如图，当光线从空气射入水中时，光线的传播方向发生了改变，这就是折射现象．图中与是不是对顶角？ ．（填“是”或“不是”）
考点3：余角、补角的概念
典例3：如图所示，，，那么图中互余的角共有（ ）
A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
【变式1】如图，C是直线上一点，，图中和的关系是（ ）
A．互为余角 B．互为补角 C．相等 D．无法确定
【变式2】 如果 为，就说这两个角 ，简称 ，其中每一个角是另一个角的 ．
如果 为，就说这两个角 ，简称 ，其中每一个角是另一个角的 ．
【变式3】若，则的余角为 ．
考点4：对顶角、余角、补角的角度计算
典例4：如图，点直线上，，那么下列结论错误的是（ ）
A． B．
C．与互为余角 D．与互为补角
【变式1】将一副三角板按不同位置摆放，下图中与互余的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】 如图，点、、分别为内部三点，连接、、，，，，，则的补角的度数为 ．
【变式3】如图，点是直线上一点，射线平分，在内部，在内部，，且，则下列四个结论正确的有 ．
①；②图中与互余的角有2个；③图中相等的角有5对；④图中互补的角有7对．
考点5：三角板中的角度计算
典例5：如图，将两块三角板的直角顶点重合．
(1)写出以C为顶点的所有相等的角_____________________________．
(2)若，求的度数．
(3)猜想：与之间的数量关系为___________．
【变式1】数学活动课上，小聪同学摆弄着自己刚购买的一套三角板，将两块直角三角板的直角顶点C叠放在一起，然后转动三角板，在转动过程中，请解决以下问题：
如图所示：
(1)①_______（填“>”“<”或“=”）；
②当时，求的度数；
(2)若为任意锐角时，你能求出与的数量关系吗？若能，请求出；若不能，请说明理由．
【变式2】 如图，将一副三角板中两个直角顶点重合于点O，按如图方式叠放在一起．
(1)若，求的度数；
(2)猜想与的数量关系，并说明理由．
【变式3】如图，将一副直角三角板的直角顶点叠放在一起．

【计算与观察】
（1）若，则_____；若，则_____；
【猜想与证明】
（2）猜想与的大小有何特殊关系？并说明理由．
【拓展与运用】
（3）若，求的度数．
考点6：垂线的定义及画法
典例6：如图，在同一平面内，，，垂足为，则直线和直线重合的理由是（　　）
A．两点确定一条直线
B．已知直线的垂线只有一条
C．垂线段最短
D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【变式1】如图，已知直线，点在直线上，用三角尺过点画直线的垂线．下列选项中，三角尺摆放位置正确的是（ ）

A． B． C． D．
【变式2】 如图，直线和交于O点，平分于点，则 ．
【变式3】如果两个角的两边分别垂直，其中一个角比另一个角的2倍少，那么这两个角的和是 ．
考点7：垂线段的性质
典例7：立定跳远是常州体育中考项目之一，女生成绩达到或超过获得满分，达到或超过获得加分．如图，一女生在起跳线上的点A处起跳，，垂足为C．若该女生获得满分但未加分，则下列说法中正确的是（ ）
A．可能为 B．可能为
C．可能为 D．可能为
【变式1】如图是人行横道的示意图，若从点P通过马路，通过测量在四条路线中，距离最短的路线是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】 如图，三角形中，，P为直线上一动点，则线段的最小值是 ．
【变式3】如图，在中，过点C作于点D，M是边上的一个动点，连接．若，则线段的长的最小值是 ．
考点8：点到直线的距离
典例8：如果直线l外一点P与直线l上三点的连线段长分别为6cm，8cm，10cm，则点P到直线l的距离是（　　）
A．不超过6cm B．6cm C．8cm D．10cm
【变式1】是直线外一点，分别是上三点，已知．若点到的距离是，则（ ）
A． B． C． D．
【变式2】 如图，在三角形中，，，垂足为．若，，，则点A到直线的距离为 ，点到直线的距离为 ，点到直线的距离为 ．
【变式3】如图，已知，，，，则图中线段的长度可以表示点到直线的距离的有 条，其中表示点到直线的距离的是 ，点到直线的距离是 ．
考点9：与垂直有关的角度计算
典例9：如图，直线交于点，平分，．
(1)若，求的度数；
(2)若，求的度数．
【变式1】如图，直线、交于点O，平分，．
(1)求的度数；
(2)画射线，使，求的度数．
【变式2】 如图，直线，交于点，，垂足为O．
(1)若，求的度数；
(2)若，求的度数．
【变式3】如图，直线，相交于点O，．
(1)若，求证：；
(2)若，求的度数．
考点10：相交线的应用——规律探究
典例10：观察以下图形，寻找对顶角及邻补角．

(1)图（1）中共有　　　　对对顶角，　　　　对邻补角．
(2)图（2）中共有　　　　对对顶角，　　　　对邻补角．
(3)图（3）中共有　　　　对对顶角，　　　　对邻补角．
(4)根据上面的规律，直线条数与对顶角对数之间的关系为∶若n条直线相交于一点，则可形成　　　　对对顶角，　　　　对邻补角．
(5)若100条直线相交于一点，则可形成多少对对顶角？多少对邻补角？
【变式1】观察下列图形，并阅读相关文字．
2条直线相交，3条直线相交，4条直线相交，5条直线相交；
有2对对顶角，有6对对顶角，有12对对顶角，有20对对顶角；
通过阅读分析上面的材料，计算后得出规律，当n条直线相交于一点时，有多少对对顶角出现（n为大于2的整数）．
【变式2】 观察下列图形,并阅读相关文字.
通过阅读分析上面的材料,计算后得出规律,当n条直线相交于一点时,有多少对对顶角出现 (n大于2的整数)
【变式3】下列各图中，直线都交于一点，请探究交于-一点的直线的条数与所形成的对顶角的对数之间的规律．
(1)请观察上图并填写下表
交于一点的直线的条数 2 3 4
对顶角的对数
(2)若n条直线交于一点，则共有_____________对对顶角(用含n的代数式表示).
(3)当100条直线交于一点时，则共有_____________对对顶角
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