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专题02 探究两直线平行的条件
（一）平行线及画法
（1）平行线的概念：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，平行用符号“∥”表示，
如：直线与直线互相平行，记作∥，读作a平行于b。
（2）平行线的画法：一落、二靠、三移、四画。
（3）判断同一平面内两直线的位置关系时，可以根据它们的公共点的个数来确定：
①有且只有一个公共点，两直线相交；
②无公共点，则两直线平行；
③两个或两个以上公共点，则两直线重合
（二）平行公理及推论
（1）平行公理（唯一性）：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
（2）平行公理的推论（传递性）：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行
几何描述 ：∵∥，∥
　　　　 ∴∥
（三）平行线的判定
判定方法1 ：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行
　　　　 简称：同位角相等，两直线平行
判定方法2 ：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行
　　　　 简称：内错角相等，两直线平行
判定方法3： 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行
　　　　 简称：同旁内角互补，两直线平行
几何符号语言：
∵　∠3＝∠2
∴　AB∥CD（同位角相等，两直线平行）
∵　∠1＝∠2
∴　AB∥CD（内错角相等，两直线平行）
∵　∠4＋∠2＝180°
∴　AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）
考点1：同位角的识别
典例1：如图所示，同位角共有（ ）
A．6对 B．8对 C．10对 D．12对
【答案】C
【知识点】同位角、内错角、同旁内角
【分析】根据同位角的定义，进行分析求解即可得到答案.
【详解】解：如图所示
由AB、CD、EF组成的“三线八角”中同位角有四对；
射线GM和直线CD被直线EF所截，形成2对同位角；
射线GM和直线HN被直线EF所截，形成2对同位角；
射线HN和直线AB被直线EF所截，形成2对同位角．
则总共10对．
故选C．
【点睛】本题主要考查同位角的概念．即两个都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角叫做同位角．
【变式1】如图，同位角共有（　　）对．
A．6 B．5 C．8 D．7
【答案】A
【知识点】同位角、内错角、同旁内角
【分析】根据同位角的概念解答即可．
【详解】解：同位角有6对，∠4与∠7，∠3与∠8，∠1与∠7，∠5与∠6，∠2与∠9，∠1与∠3，
故选：A．
【点睛】此题考查同位角，关键是根据同位角解答．
【变式2】 根据同位角的概念：两条直线被第三条直线所截而形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同侧，写出图中的一个同位角： ．
【答案】（或）
【知识点】同位角、内错角、同旁内角
【分析】本题考查了同位角，结合题意：同位角的概念：两条直线被第三条直线所截而形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同侧，且结合图形，即图中的一个同位角是或，进行作答．
【详解】解：依题意，图中的一个同位角是或，
故答案为：（或）．
【变式3】如图，直线l截直线a，b所得的8个角中，∠3的同位角是 ．
【答案】∠7
【知识点】同位角、内错角、同旁内角
【分析】根据同位角的定义判断即可．
【详解】解：∠3在直线a的右侧，在截线l的下方，在直线b的右侧，在截线l的下方的角是∠7，
∴∠3的同位角是∠7，
故答案为：∠7．
【点睛】本题考查了三线八角中的同位角，抓住同位角的特征是解题关键．
考点2：内错角的识别
典例2：如图，两只手的食指和拇指在同一平面内，在以下四种摆放方式中，它们构成的一对角可以看成内错角的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】同位角、内错角、同旁内角
【分析】根据同位角，同旁内角，内错角的定义，进行判断即可．
【详解】解：A、可以看成同位角，不符合题意；
B、可以看成同旁内角，不符合题意；
C、可以看成内错角，符合题意；
D、可以看成同位角，不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查三线八角．熟练掌握同位角，同旁内角，内错角的定义，是解题的关键．
【变式1】下列各图中，∠1与∠2是内错角的是( )
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】同位角、内错角、同旁内角
【分析】根据内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角进行分析即可．
【详解】解：A、与是同位角，故此选项不符合题意；
B、与是内错角，故此选项符合题意；
C、与不是内错角，故此选项不符合题意；
D、与是同旁内角，故此选项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题主要考查了内错角，解题的关键是明确同位角的边构成“”形，内错角的边构成“”形，同旁内角的边构成“”形．
【变式2】 如图，在不改变图形的情况下图中共有内错角 对．
【答案】4
【知识点】同位角、内错角、同旁内角
【分析】根据内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角即可得到答案．
【详解】解：根据内错角的定义可得：
∠AEF与∠DFE，∠A与∠ADC，∠BEF与∠AFE，∠EFD与∠FDC，共4对内错角，
故答案为：4．
【点睛】此题主要考查了内错角的定义，关键是掌握内错角的定义，内错角的边构成“Z“形．
【变式3】如图，直线，被所截，则与是 填内错角，同位角或同旁内角．
【答案】内错角
【知识点】同位角、内错角、同旁内角
【分析】由内错角的定义两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线截线的两旁，则这样一对角叫做内错角进行解答．
【详解】解：两条直线、被直线所截形成的角中，与都在、直线的之间，并且在直线的两旁，所以与是内错角．
故答案为：内错角．
【点睛】本题考查了同位角，内错角以及同旁内角．解答此类题确定三线八角是关键，可直接从截线入手．对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义．
考点3：同旁内角的识别
典例3：下列英文字母中，也存在同位角、内错角、同旁内角（不考虑字母宽度），其中含同旁内角最多的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】同位角、内错角、同旁内角
【分析】此题考查了同旁内角，根据同旁内角的定义进行判断．在截线的同旁，又都在被截两直线之间的角．
【详解】
∵ 有4个同旁内角， 有2个同旁内角， 有0个同旁内角， 有0个同旁内角，
∴其中含同旁内角最多的是 ．
故选：A．
【变式1】如图，与构成同旁内角的角有几个？（ ）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
【答案】B
【知识点】同位角、内错角、同旁内角
【分析】根据同旁内角的定义：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角可得答案．
【详解】解：如图：构成同旁内角的角有，，，，，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了同旁内角，关键是掌握同旁内角的边构成“”形．
【变式2】 如图：与构成同旁内角的角有 个．
【答案】3
【知识点】同位角、内错角、同旁内角
【分析】本题考查同旁内角，关键是掌握同旁内角的定义．根据两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角，由此即可得到答案．
【详解】解：能与构成同旁内角的角有、、，共3个．
故答案为：3．
【变式3】如图，给出以下结论：①与是对顶角；②与是同旁内角；③与是同位角；④与是内错角．其中正确的是 ．（填序号）

【答案】①③④
【知识点】同位角、内错角、同旁内角、对顶角的定义
【分析】根据对顶角，同位角，内错角，同旁内角的定义分析即可．
【详解】①与是对顶角，故①正确；
②与是对顶角，故②错误；
③与是同位角，故③正确；
④与是内错角，故④正确．
故答案为：①③④．
【点睛】本题考查了对顶角，同位角，内错角，同旁内角的定义，正确理解定义是解答本题的关键．
考点4：直尺、三角板画平行线
典例4：如图，点A、B、C、D在正方形网格的格点上，每个小方格的边长都为单位1．请按下述要求画图并回答问题：
(1)连结，作射线，直线；
(2)过点B作交于点E；
(3)在直线上求作一点P，使点P到B、D两点的距离最小，作图依据是；
(4)四边形的面积是．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
(4)
【知识点】两点之间线段最短、画出直线、射线、线段、用直尺、三角板画平行线、四边形其他综合问题
【分析】（1）根据射线，直线的定义画出图形即可；
（2）根据平行线的判定，画出图形即可；
（3）根据两点之间线段最短，画出图形即可；
（4），即可求解。
【详解】（1）解：如图1，射线，直线即为所求；
（2）解：如图1，即为所求；
（3）解：如图2，连接交于点P，点P即为所求，根据两点之间线段最短，可知当P、B、D三点共线时，为最小值，
故答案为：两点之间线段最短；
（4）解：如图3，，，，且，，
，
故答案为：。
【点睛】本题考查了作图，应用于设计作图，三角形的面积，两点之间线段最短，直线，射线，线段的定义等知识，理解题意，灵活运用所学知识解决问题是解题的关键。
【变式1】如图所示的网格中，每个小正方形的边长都为单位长度1，点P、M均在格点上，其中点P在的边上，点M在内部．
(1)读下列语句，按要求画出图形：
①过点M画的平行线；
②过点P画的垂线，交于点C；
(2)求三角形的面积．
【答案】(1)①画图见解析，②画图见解析
(2)3
【知识点】画垂线、与三角形的高有关的计算问题、用直尺、三角板画平行线
【分析】（1）①如图，取格点N，网格图的特点可得，画直线NM即可得到答案；②如图，取格点Q，作直线PQ交OA于C，从而可得答案；
（2）利用三角形的面积公式直接进行计算即可．
【详解】（1）解：①如图，直线即为所画的直线，
②如图，直线即为所画的垂线，
（2）如图，连接CM，
∴
【点睛】本题考查的是画已知直线的平行线，画已知直线的垂线，求解三角形的面积，掌握在网格中利用网格的特点画图是解本题的关键．
【变式2】 如图，按要求画图并填空：
(1)过点A作直线AB⊥OA，与∠O的另一边相交于点B；
(2)画出点A到OB的垂线段，垂足为点C；
(3)过点C作射线CDOA，交直线AB于点D；
(4)图中与∠O相等的角有　 　个．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
(4)2
【知识点】求一个角的余角、画出直线、射线、线段、画垂线、用直尺、三角板画平行线
【分析】（1）（2）（3）根据垂线，垂线段，平行线的定义画出图形即可；
（4）利用平行线的性质，垂线的性质即可解决问题．
【详解】（1）解：如图所示，直线AB为所求；
（2）如图所示，垂线段AC为所求；
（3）如图所示，直线CD为所求；
（4）∵AB⊥OA，
∴∠OAB＝90°，
∵CD∥OA，
∴∠CDB＝∠OAB＝90°
∵CD∥OA，
∴∠DCB＝∠O，
∵AC⊥BC，
∴∠ACB＝90°，
∵∠ADC＝90°，
∴∠CAD+∠ACD＝90°，∠ACD+∠DCB＝90°，
∴∠CAD＝∠DCB＝∠O，
∴图中与∠O相等的角有∠CAD，∠DCB．共2个．
故答案为：2．
【点睛】本题考查作图﹣复杂作图，垂线，平行线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
【变式3】如图，直线CD与直线AB相交于C．根据下列语句画图并测量和计算．
(1)过点P作PM⊥AB，垂足为M，PN⊥CD，垂足为N，并测量点P到CD的距离（精确到0.1cm）为　　；
(2)过点N作NQ∥AB；
(3)若∠ACD＝50°，计算∠MPN的度数为　　°．
【答案】(1)图见解析，垂线段PM，PN即为所求，1.5cm；
(2)图见解析，直线NQ即为所求；
(3)50
【知识点】直角三角形的两个锐角互余、用直尺、三角板画平行线、对顶角相等、点到直线的距离
【分析】（1）根据垂线段的定义画出图形即可；
（2）根据平行线的定义画出图形即可；
（3）利用对顶角相等和直角三角形的两锐角互余求解即可．
【详解】（1）解：如图，垂线段PM，PN即为所求．
通过测量得点P到CD的距离为1.5cm；
故答案为：1.5cm；
（2）解：如图，直线NQ即为所求；
（3）解：∵PM⊥AB，垂足为M，PN⊥CD，
∴∠CNE＝∠PME＝90°
∵∠ACD＝∠ECN＝50°，
∴∠CEN＝∠PEM＝90°﹣50°＝40°，
∴∠MPN＝90°﹣40°＝50°．
故答案为：50．
【点睛】本题考查垂线段、平行线、对顶角相等、直角三角形的两锐角互余，熟练掌握直角三角形的两锐角互余是解答的关键．
考点5：平行公理的应用
典例5：在下列说法中，正确的有（ ）个．
①过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ②已知、的两边分别平行，那么；
③垂直于同一条直线的两条直线平行； ④从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到直线的距离．
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】D
【知识点】垂直于同一直线的两直线平行、点到直线的距离、平行公理的应用
【分析】利用平行公理，平行线的性质定理，点到直线的距离的定义逐项判断即可．
【详解】解：同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，因此①错误；
、的两边分别平行时，或，因此②错误；
同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，因此③错误；
从直线外一点到这条直线所画的垂线段的长度叫做这点到直线的距离，故④错误；
故选：D．
【点睛】本题考查平行公理，平行线的性质定理，点到直线的距离的定义等，解题的关键是熟练掌握上述基本知识，不要漏掉前置条件．
【变式1】下列说法中不正确的有（ ）
①过任意一点可作已知直线的一条平行线
②同一平面内两条不相交的直线是平行线
③过已知直线外一点只能画一条直线与已知直线平行
④平行于同一直线的两直线平行．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B
【知识点】平面内两直线的位置关系、平行公理的应用
【分析】本题主要考查平行线的定义及平行公理，根据平行线的定义及平行公理进行判断．
【详解】解：①过直线外任意一点可作已知直线的一条平行线，故①不正确，
②同一平面内两条不相交的直线是平行线，故②正确；
③过已知直线外一点只能画一条直线与已知直线平行，故③正确；
④平行于同一直线的两直线平行，故④正确．
不正确的有①，共1个，
故选：B．
【变式2】 设a，b，l为平面内三条不同直线．①若，，则l与b的位置关系是 ；②若，，则a与b的位置关系是 ；③若，，则l与b的位置关系是 ．
【答案】 垂直 平行 平行
【知识点】平面内两直线的位置关系、平行公理的应用、垂直于同一直线的两直线平行、根据平行线的性质求角的度数
【分析】本题考查平行线的判定．利用平行线的性质，可求解①；在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行可求解②；由平行于同一条直线的两条直线互相平行，可求解③．
【详解】解：①如图，∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴l与b的位置关系是垂直；
②若，，则a与b的位置关系是平行；
③若，，则l与b的位置关系是平行．
故答案为：垂直；平行；平行．
【变式3】如图所示的是一个可折叠的衣架，是地平线，如果，那么就可确定点在同一条直线上．依据是______（填序号）．
①两点确定一条直线；②过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．
【答案】②
【知识点】平行公理的应用
【分析】本题考查平行线的判定和性质，平行公理及推理，根据过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行解决问题即可，熟练掌握平行线的判定，过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∵过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，
∴点在同一条直线上，
故答案为：②
考点6：平行公理推论的应用
典例6：在同一平面内有2025条互不重合的直线，如果，依此类推，那么与的位置关系是（ ）
A．垂直 B．平行 C．垂直或平行 D．不能确定
【答案】B
【知识点】平行公理推论的应用
【分析】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是掌握平行线的性质．
根据在同一平面内，平行于同一条直线的两直线平行，然后求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
故选：B．
【变式1】下列推理正确的是 （ ）
A．因为，，所以 B．因为，，所以
C．因为，，所以 D．因为，，所以
【答案】C
【知识点】平行公理推论的应用
【分析】本题考查了平行公理的推论，属于基础题型，熟练掌握基本知识是关键．根据平行公理的推论逐项判断即得答案．
【详解】解：A、由，，不能推出，所以本选项推理错误，不符合题意；
B、由，，不能推出，所以本选项推理错误，不符合题意；
C、由，，能推出，所以本选项推理正确，符合题意；
D、由，，不能推出，所以本选项推理错误，不符合题意．
故选：C．
【变式2】 下列4个命题，
①在同一平面内，、、是直线，，，则；
②在同一平面内，、、是直线，，，则；
③在同一平面内，、、是直线，，，则；
④在同一平面内，、、是直线，，，则．
正确的有 （填写序号）．
【答案】①③④
【知识点】平行公理推论的应用、垂直于同一直线的两直线平行
【分析】根据平行线的判定定理和推论，分析判断即可．
【详解】①在同一平面内，，，是直线，且，则，平行于同一直线的两直线平行，故原命题正确，符合题意．
②在同一平面内，，，是直线，且，，则，故原命题错误，不符合题意．
③在同一平面内，，，是直线，且，则，故原命题正确，符合题意．
④在同一平面内，，，是直线，且，，则，故原命题正确，符合题意．
故答案为：①③④．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定定理，准确分析判断是解题的关键．
【变式3】在同一平面内有2021条直线a1，a2，a3，…，a2021，如果a1⊥a2，a2∥a3，a3⊥a4，a4∥a5，…，那么a1与a5的位置关系是 ；a1与a2021的位置关系是 ．
【答案】 平行 平行
【知识点】垂直于同一直线的两直线平行、平行公理推论的应用
【分析】根据平行线的性质和规律得到：4条直线的位置关系为一个循环．
【详解】如图，a1⊥a2，a2∥a3，
∴a1⊥a3，
∵a3⊥a4，
∴a1∥a4，
∵a4∥a5，
∴a1∥a5，
…，
依此类推，a1⊥a6，a1⊥a7，a1∥a8，a1∥a9，连续4条直线的位置关系为一个循环．
∴2021＝505×4+1，
∴a1∥a2021．
故答案是：平行；平行．
【点睛】本题考查了平行线的性质，解题的关键是找到直线位置关系的规律．
考点7：同位角相等两直线平行
典例7：如图，已知，平分，交直线于点F，若，则与平行吗？请说明理由．
补全以下解题过程：
解：平行．理由如下：
因为，平分，
所以__________=__________°（角平分线的定义）
又因为，
所以____________________，
所以（__________）．
【答案】；60；；；同位角相等，两直线平行
【知识点】角平分线的有关计算、同位角相等两直线平行
【分析】本题考查了平行线的判定，角平分线的定义，先因为，平分，得，结合，则，即可证明．
【详解】解：解：平行．理由如下：
因为，平分，
所以（角平分线的定义）
又因为，
所以，
所以（同位角相等，两直线平行）．
故答案为：；60；；；同位角相等，两直线平行．
【变式1】如图，点在射线上，点在射线上，．与平行吗？为什么？
【答案】与平行．理由见解析
【知识点】同(等)角的余(补)角相等的应用、同位角相等两直线平行
【分析】本题主要考查了平行线的判定，根据平角的定义得出，结合已知可得出，再由可得出，进而可得出．
【详解】解：与平行．理由如下：
由题图可知，．
，
，
，
，
．
【变式2】 如图，直线，相交于点，平分，平分，，垂足为，试说明：．
【答案】见解析
【知识点】角平分线的有关计算、垂线的定义理解、同位角相等两直线平行
【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的判定，垂直的定义，熟悉掌握平行线的判定方法是解题的关键．
利用角平分线的定义证出的度数，再通过同位角的关系去判定即可．
【详解】解：∵平分，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【变式3】如图，与互为余角，，垂足为与平行吗？为什么？
【答案】，见解析
【知识点】垂线的定义理解、同位角相等两直线平行
【分析】本题考查了平行线的判定，垂线等知识点的应用，求出，根据平行线的判定定理即可推出答案．
【详解】解：，理由如下：
∵，，
∴，
即，
∵，
∴，
∴．
考点8：内错角相等两直线平行
典例8：如图．
(1)已知，，平分，与平行吗？为什么？
解：．理由如下：
因为，平分（已知），
所以（__________），
又因为（已知），
所以____________________，
所以（__________）．
(2)已知，平分，与平行吗？为什么？
【答案】(1)见解析
(2)平行，理由见解析
【知识点】角平分线的有关计算、同位角相等两直线平行、内错角相等两直线平行
【分析】本题主要考查角平分线的定义，平行线的判定，掌握平行线的判定方法是解题的关键．
（1）根据角平分线的定义得到，由内错角相等，两直线平行即可求解；
（2）根据同位角相等，两直线平行即可求解．
【详解】（1）解：．理由如下：
∵，平分（已知），
∴（角平分线的定义），
又∵（已知），
∴，
∴（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：角平分线的定义，，，内错角相等，两直线平行；
（2）解：平行．理由如下：
∵EF平分，
∴，
又∵，
∴，
∴．
【变式1】如图，，分别是的角平分线，，求证：．

【答案】见解析
【知识点】角平分线的有关计算、内错角相等两直线平行
【分析】先利用角平分线定义得到，，而，则，结合题意可得，最后根据平行线的判定定理得到．
【详解】证明：∵分别是的角平分线，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了平行线的判定，角平分线的定义．掌握平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行是解题关键．
【变式2】 如图，点分别在上，连接，于点，．

(1)求的度数；
(2)若，求证：．
【答案】(1)
(2)见解析
【知识点】内错角相等两直线平行、直角三角形的两个锐角互余、锐角互余的三角形是直角三角形
【分析】本题考查了平行线的判定，垂直的定义，直角三角形特征，熟练掌握平行线的判定，同角的余角相等是解题的关键；
（1）根据垂直的定义和直角三角形特征可得，再通过等量代换即可求出；
（2）根据同角的余角相等可得，再通过等量代换可得，即可证明．
【详解】（1）解：，
，
，
，
，
；
（2）证明：，
，
，
，
，
，
，
．
【变式3】如图，在四边形中，于点，平分交于点，．
(1)请完成下面的说理过程．
∵平分（已知）
∴__________________（____________________）
∵（已知）
∴________________________（等量代换）
∴（______________________）
(2)若，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【知识点】角平分线的有关计算、内错角相等两直线平行
【分析】本题考查平行线的判定，与角平分线有关的计算：
（1）根据平行线的判定和性质，进行作答即可；
（2）垂直得到，求出，角平分线求出的度数，进而求出即可．
【详解】（1）∵平分（已知）
∴（角平分线的定义）
∵（已知）
∴（等量代换）
∴（内错角相等，两直线平行）；
（2）∵
∴
∵，
∴
∴
∴．
考点9：同旁内角互补两直线平行
典例9：如图1，对于两条直线被第三条直线l3所截的同旁内角，满足，则称是的关联角．
(1)已知是的关联角．
①当时，___________；
②当时，直线的位置关系为 ___________；
(2)如图2，已知是的关联角，点是直线上一定点．
①求证：是的关联角；
②过点的直线分别交直线于点，且．当是图中某角的关联角时，写出所有符合条件的的度数为 ___________．
【答案】(1)①；②平行
(2)①见解析；②、或
【知识点】几何图形中角度计算问题、与余角、补角有关的计算、同旁内角互补两直线平行
【分析】（1）①根据关联角所满足的关系式即可解答，
②解与构成的方程组，根据和的关系来确定直线的位置关系．
（2）①由与与的互补关系，求出与之间的大小关系，进而命题得以证明．
②根据直线过点的形式可分种情况，每种情况均有个角与互为同旁内角，因此共有种情况，分别解出的度数即可．
【详解】（1）解：①∵是的关联角，，
∴．
故答案为：．
②由题意可得方程组，
解得，
∴，
∴．
故答案为：平行．
（2）解：①证明：∵是的关联角，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴是的关联角．
②当直线位于如图所示位置时：
∵是的关联角，，
∴．
若是的关联角，则．
若是的关联角，则，
解得．
当直线位于如图所示位置时：
∵，
∴，，
若是的关联角，则．
∵，
∴（舍去）．
若是的关联角，则，
解得．
故答案为：、或．
【点睛】本题主要考查新定义，角度的和差计算，平行线的判定，互补角的计算，理解新定义，掌握角度的和差计算方法，分类讨论思想，数形结合是解题的关键．
【变式1】完成下面的证明：
如图，平分，平分，且．
求证：．
证明：∵平分（已知），
∴（ ）．
又∵平分（ ），
∴______（ ）．
（ ）．
又∵（已知），
（______）（ ）．
∴（ ）．
【答案】角平分线的定义；已知；；角平分线的定义；等量代换；；等量代换；同旁内角互补，两直线平行
【知识点】角平分线的有关计算、同旁内角互补两直线平行
【分析】本题考查平行线的判定，角平分线定义，根据角平分线的定义以及同旁内角互补，两直线平行，进行作答即可．
【详解】证明：∵平分（已知），
∴（角平分线的定义）．
∵平分（已知），
∴（角平分线的定义）．
∴（等量代换）．
∵（已知），
∴（等量代换）．
∴（同旁内角互补，两直线平行）．
【变式2】 如图，，平分，，求证：．
【答案】见解析
【知识点】同旁内角互补两直线平行
【分析】此题考查了平行线的判定．根据角平分线定义及对顶角性质，则，再根据“同旁内角互补，两直线平行”即可得解．
【详解】证明：平分，，
，
，
，
，
∴．
【变式3】如图，，，．
(1)与有怎样的位置关系？为什么？
(2)与平行吗？若平行，请说明理由；若不平行，那么再加上什么条件就平行了呢？
【答案】(1)与的位置关系是：，理由见解析
(2)与不平行，添加条件①或②；③时，，理由见解析
【知识点】同位角相等两直线平行、内错角相等两直线平行、同旁内角互补两直线平行
【分析】（1）先由得，进而得，由此得，然后根据平行线的判定可得出与的位置关系；
（2）与不平行，加上条件或时，．
此题主要考查了平行线的判定和性质，准确识图，熟练掌握平行线的判定和性质是解决问题的关键．
【详解】（1）解：与的位置关系是：，理由如下：
，
，
，
，
又，
，
；
（2）与不平行，添加条件或时，，理由如下：
当时，
，
，
；
当时，
，
，
；
当时，
，
，
，
，
．
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专题02 探究两直线平行的条件
（一）平行线及画法
（1）平行线的概念：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，平行用符号“∥”表示，
如：直线与直线互相平行，记作∥，读作a平行于b。
（2）平行线的画法：一落、二靠、三移、四画。
（3）判断同一平面内两直线的位置关系时，可以根据它们的公共点的个数来确定：
①有且只有一个公共点，两直线相交；
②无公共点，则两直线平行；
③两个或两个以上公共点，则两直线重合
（二）平行公理及推论
（1）平行公理（唯一性）：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
（2）平行公理的推论（传递性）：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行
几何描述 ：∵∥，∥
　　　　 ∴∥
（三）平行线的判定
判定方法1 ：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行
　　　　 简称：同位角相等，两直线平行
判定方法2 ：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行
　　　　 简称：内错角相等，两直线平行
判定方法3： 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行
　　　　 简称：同旁内角互补，两直线平行
几何符号语言：
∵　∠3＝∠2
∴　AB∥CD（同位角相等，两直线平行）
∵　∠1＝∠2
∴　AB∥CD（内错角相等，两直线平行）
∵　∠4＋∠2＝180°
∴　AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）
考点1：同位角的识别
典例1：如图所示，同位角共有（ ）
A．6对 B．8对 C．10对 D．12对
【变式1】如图，同位角共有（　　）对．
A．6 B．5 C．8 D．7
【变式2】 根据同位角的概念：两条直线被第三条直线所截而形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同侧，写出图中的一个同位角： ．
【变式3】如图，直线l截直线a，b所得的8个角中，∠3的同位角是 ．
考点2：内错角的识别
典例2：如图，两只手的食指和拇指在同一平面内，在以下四种摆放方式中，它们构成的一对角可以看成内错角的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1】下列各图中，∠1与∠2是内错角的是( )
A． B．
C． D．
【变式2】 如图，在不改变图形的情况下图中共有内错角 对．
【变式3】如图，直线，被所截，则与是 填内错角，同位角或同旁内角．
考点3：同旁内角的识别
典例3：下列英文字母中，也存在同位角、内错角、同旁内角（不考虑字母宽度），其中含同旁内角最多的是（　　）
A． B． C． D．
【变式1】如图，与构成同旁内角的角有几个？（ ）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
【变式2】 如图：与构成同旁内角的角有 个．
【变式3】如图，给出以下结论：①与是对顶角；②与是同旁内角；③与是同位角；④与是内错角．其中正确的是 ．（填序号）

考点4：直尺、三角板画平行线
典例4：如图，点A、B、C、D在正方形网格的格点上，每个小方格的边长都为单位1．请按下述要求画图并回答问题：
(1)连结，作射线，直线；
(2)过点B作交于点E；
(3)在直线上求作一点P，使点P到B、D两点的距离最小，作图依据是；
(4)四边形的面积是．
【变式1】如图所示的网格中，每个小正方形的边长都为单位长度1，点P、M均在格点上，其中点P在的边上，点M在内部．
(1)读下列语句，按要求画出图形：
①过点M画的平行线；
②过点P画的垂线，交于点C；
(2)求三角形的面积．
【变式2】 如图，按要求画图并填空：
(1)过点A作直线AB⊥OA，与∠O的另一边相交于点B；
(2)画出点A到OB的垂线段，垂足为点C；
(3)过点C作射线CDOA，交直线AB于点D；
(4)图中与∠O相等的角有　 　个．
【变式3】如图，直线CD与直线AB相交于C．根据下列语句画图并测量和计算．
(1)过点P作PM⊥AB，垂足为M，PN⊥CD，垂足为N，并测量点P到CD的距离（精确到0.1cm）为　　；
(2)过点N作NQ∥AB；
(3)若∠ACD＝50°，计算∠MPN的度数为　　°．
考点5：平行公理的应用
典例5：在下列说法中，正确的有（ ）个．
①过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ②已知、的两边分别平行，那么；
③垂直于同一条直线的两条直线平行； ④从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到直线的距离．
A．3 B．2 C．1 D．0
【变式1】下列说法中不正确的有（ ）
①过任意一点可作已知直线的一条平行线
②同一平面内两条不相交的直线是平行线
③过已知直线外一点只能画一条直线与已知直线平行
④平行于同一直线的两直线平行．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【变式2】 设a，b，l为平面内三条不同直线．①若，，则l与b的位置关系是 ；②若，，则a与b的位置关系是 ；③若，，则l与b的位置关系是 ．
【变式3】如图所示的是一个可折叠的衣架，是地平线，如果，那么就可确定点在同一条直线上．依据是______（填序号）．
①两点确定一条直线；②过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．
考点6：平行公理推论的应用
典例6：在同一平面内有2025条互不重合的直线，如果，依此类推，那么与的位置关系是（ ）
A．垂直 B．平行 C．垂直或平行 D．不能确定
【变式1】下列推理正确的是 （ ）
A．因为，，所以 B．因为，，所以
C．因为，，所以 D．因为，，所以
【变式2】 下列4个命题，
①在同一平面内，、、是直线，，，则；
②在同一平面内，、、是直线，，，则；
③在同一平面内，、、是直线，，，则；
④在同一平面内，、、是直线，，，则．
正确的有 （填写序号）．
【变式3】在同一平面内有2021条直线a1，a2，a3，…，a2021，如果a1⊥a2，a2∥a3，a3⊥a4，a4∥a5，…，那么a1与a5的位置关系是 ；a1与a2021的位置关系是 ．
考点7：同位角相等两直线平行
典例7：如图，已知，平分，交直线于点F，若，则与平行吗？请说明理由．
补全以下解题过程：
解：平行．理由如下：
因为，平分，
所以__________=__________°（角平分线的定义）
又因为，
所以____________________，
所以（__________）．
【变式1】如图，点在射线上，点在射线上，．与平行吗？为什么？
【变式2】 如图，直线，相交于点，平分，平分，，垂足为，试说明：．
【变式3】如图，与互为余角，，垂足为与平行吗？为什么？
考点8：内错角相等两直线平行
典例8：如图．
(1)已知，，平分，与平行吗？为什么？
解：．理由如下：
因为，平分（已知），
所以（__________），
又因为（已知），
所以____________________，
所以（__________）．
(2)已知，平分，与平行吗？为什么？
【变式1】如图，，分别是的角平分线，，求证：．

【变式2】 如图，点分别在上，连接，于点，．

(1)求的度数；
(2)若，求证：．
【变式3】如图，在四边形中，于点，平分交于点，．
(1)请完成下面的说理过程．
∵平分（已知）
∴__________________（____________________）
∵（已知）
∴________________________（等量代换）
∴（______________________）
(2)若，求的度数．
考点9：同旁内角互补两直线平行
典例9：如图1，对于两条直线被第三条直线l3所截的同旁内角，满足，则称是的关联角．
(1)已知是的关联角．
①当时，___________；
②当时，直线的位置关系为 ___________；
(2)如图2，已知是的关联角，点是直线上一定点．
①求证：是的关联角；
②过点的直线分别交直线于点，且．当是图中某角的关联角时，写出所有符合条件的的度数为 ___________．
【变式1】完成下面的证明：
如图，平分，平分，且．
求证：．
证明：∵平分（已知），
∴（ ）．
又∵平分（ ），
∴______（ ）．
（ ）．
又∵（已知），
（______）（ ）．
∴（ ）．
【变式2】 如图，，平分，，求证：．
【变式3】如图，，，．
(1)与有怎样的位置关系？为什么？
(2)与平行吗？若平行，请说明理由；若不平行，那么再加上什么条件就平行了呢？
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