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专题01 变量之间的关系
（一）变量与常量
变量：在一个变化过程中数值发生变化的量。
常量：在一个变化过程中数值始终不变的量。
【注意】
①变量是可以变化的，而常量是已知数，且它是不会发生变化的。
②区分常量和变量就是在某个变化过程中该量的值是否发生变化。
考点1：常量与变量
典例1：某超市苹果的单价是3元／斤，若购买x斤苹果的总价是y元，则其中的常量是（ ）
A．3 B．x C．y D．不确定
【答案】A
【知识点】用表格表示变量间的关系
【分析】本题主要考查了常量与变量的区别，常量就是数值始终不变的量，变量是数值发生变化的量，根据总价=单价×数量列式，再根据在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量解答．
【详解】解： 某超市苹果的单价是3元／斤，若购买x斤苹果的总价是y元，则其中的常量是3，
故选：A．
【变式1】已知半径是R的圆，周长，下列说法正确的是（ ）
A．C，，R是变量，2是常量 B．C是变量，2，，R是常量
C．R是变量，，C是常量 D．C，R是变量，2，是常量
【答案】D
【知识点】用关系式表示变量间的关系
【分析】本题考查的是变量和常量，在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量．
根据变量和常量的概念解答即可．
【详解】解：在半径是的圆的周长中，、是变量，2、是常量，
故选：D．
【变式2】 在某地，人们发现在一定条件下某种蟋蟀叫的次数与气温之间有如下的近似关系：用蟋蟀1分钟叫的次数x加上30，再把结果除以7，就近似的得到该地当时的气温y（单位：）．在这个问题中，变量是 ．
【答案】蟋蟀1分钟叫的次数和该地当时的气温
【知识点】用关系式表示变量间的关系
【分析】此题考查了函数的变量，根据变量的定义结合具体问题情境进行判断即可．
【详解】解：根据题意得，在这个问题中，变量是蟋蟀1分钟叫的次数和该地当时的气温．
故答案为：蟋蟀1分钟叫的次数和该地当时的气温．
【变式3】小亮去超市买生鲜，电子秤的数据显示屏显示重量、单价、金额三个量，则这三个量中的变量是 ．
【答案】重量和金额
【知识点】用表格表示变量间的关系
【分析】本题考查常量与变量，掌握变量的定义是解题的关键．根据变量的定义判断即可．
【详解】解：∵单价保持不变，金额随着重量的变化而变化，
∴这三个量中的变量是重量和金额．
故答案为：重量和金额．
考点2：自变量与因变量
典例2：汽车以每小时100千米的速度匀速行驶，行驶的路程随时间的变化而变化，在这个变化过程中，自变量是（　　）
A．汽车 B．路程 C．速度 D．时间
【答案】D
【知识点】用关系式表示变量间的关系
【分析】本题考查了自变量，掌握主动发生变化的量是自变量是解题的关键；根据自变量的定义判断即可．
【详解】解：匀速行驶，速度不变，速度是常量，时间是自变量，路程是因变量，
故选：．
【变式1】圆的半径为r，面积S与r的关系式为，下列判断正确的是（ ）
A．r是因变量 B．π是常量 C．S是自变量 D．S，π，r都是变量
【答案】B
【知识点】函数的概念、用关系式表示变量间的关系
【分析】本题主要考查函数中常量与变量的概念，掌握其概念是解题的关键．根据常量（不会发生变化的量）与变量（会发生变化的量）的定义即可求解．
【详解】解：A、是自变量，故A选项错误，不符合题意；
B、是常量，故B选项正确，符合题意；
C、是因变量，故C选项错误，不符合题意；
D、是常量，故D选项错误，不符合题意；
故选：B．
【变式2】 一空水池，现需注满水，水池深．现以不变的流量注水，水的深度与对应的注水时间如下表：
水的深度 0.7 1.4 2.1 2.8
注水时间 0.5 1 1.5 2
（1）自变量是 ，因变量是 ；
（2）能推出注满水的时间是 ．
【答案】 注水时间 水的深度
【知识点】求自变量的值或函数值、用表格表示变量间的关系
【分析】（1）根据自变量与因变量的定义判断即可；
（2）根据水的深度每小时注水深度注水时间，写出关于的函数关系式，求出当时对应的的值即可．
本题考查函数的表示方法及常量与变量，掌握常量与变量、自变量与因变量的定义是本题的关键．
【详解】解：（1）依题意，自变量是注水时间，因变量是水的深度．
故答案为：注水时间，水的深度；
（2）根据表格数据，得，
得，
当时，得，
解得，
注满水的时间是．
故答案为：．
【变式3】一个等腰三角形的周长为24，其中它的腰长为自变量，底边长为因变量，则用表示的关系式是 .
【答案】
【知识点】列代数式、用关系式表示变量间的关系
【分析】根据等腰三角形的周长为24列出等式，移项使y在等号左边，其余在等号右边即可．
【详解】解：等腰三角形的周长为24，腰长为，底边长为，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查列关系式，解题的关键是理解自变量与因变量的定义．
考点3：表格表示两个变量关系
典例3：学校新买一台智能饮水机，某天中午小俊通过观察，记录了饮水机工作时间与水温的关系表格如下：
水温（） ．．．．．．
时间（时：分） ．．．．．．
请你帮小俊计算水烧开的时间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】用表格表示变量间的关系
【分析】本题考查了用表格表示变量间关系，正确找出变量间的变化规律是解题的关键，先根据表格找出水温与时间的变化规律，根据规律求解即可．
【详解】解：由变量关系表格可得，时间每经过分钟，升高水温比前一个分钟升高的水温少 ，
∵从到时，水温升高了 ，
∴时，水温为 ，到时，水温升高了 ，
∴时，水温为 ，此时水烧开，
故选∶．
【变式1】下表是不同的海拔高度对应的大气压强的值，仔细分析表格中数据，下列说法中正确的是（ ）
海拔高度/m 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000
大气压强/kpa 101.2 90.7 80.0 70.7 61.3 53.9 47.2 41.3 36.0
A．当海拔高度为2000m时，大气压强为70.7kpa
B．随着海拔高度的增加，大气压强越来越大
C．海拔高度每增加1000m，大气压强减小的值是变化的
D．珠穆朗玛峰顶端（海拔高度为8848.86m）的大气压强约为45kpa
【答案】C
【知识点】用表格表示变量间的关系
【分析】根据表格数据，依次判断各选项正确性即可．
【详解】A、当海拔高度为2000m时，大气压强为80.0kpa，该选项不符合题意；
B、随着海拔高度的增加，大气压强越来越小，该选项不符合题意；
C、海拔高度每增加1000m，大气压强减小的值为10.5，10.7，9.3，9.4，7.4，6.7，5.9，5.3，大气压强减小的值是变化的，该选项符合题意；
D、珠穆朗玛峰顶端（海拔高度为8848.86m）的大气压强低于36.0kpa，该选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查用表格表示变量间的关系，根据题意正确分析表格数据是解题的关键．
【变式2】 小明学习小组利用同一块木板，测量了小车从不同高度下滑的实际，他们得到如下数据：
支撑物的高度 10 20 30 40 50 60 70 80 90
小车下滑的时间 4.23 3.00 2.45 2.13 1.89 1.71 1.59 1.50 1.41
估计当支撑物的高度为时，小车下滑的时间为： ，请说出你估计的理由 ．
【答案】 （答案不唯一） 随着支撑物的高度的增加，小车下滑的时间逐渐较少
【知识点】用表格表示变量间的关系
【分析】本题考查用表格表示函数关系，解题的关键是观察所得数据之间的关系，发现规律．
【详解】根据表格数据，估计当支撑物的高度为时，小车下滑的时间为，理由：随着支撑物的高度的增加，小车下滑的时间逐渐较少．
故答案为：1.33s（答案不唯一）；随着支撑物的高度的增加，小车下滑的时间逐渐较少
【变式3】科学家就蟋蟀鸣叫的次数与室外温度的数量关系做了如下记录，如果这种数量关系不变，则当室外温度为F时，蟋蟀每分钟鸣叫的次数是 次．
温度/°F 76 78 80 82 84 …
每分钟鸣叫的次数/次 144 152 160 168 176 …
【答案】192
【知识点】用表格表示变量间的关系
【分析】本题主要考查了用表格表示变量之间的关系，根据表中的数据可知，温度每升高F，蟋蟀每分钟鸣叫的次数增加8次，据此列式计算即可．
【详解】解：根据蟋蟀鸣叫的次数与室外温度的数量关系表格可知：温度每升高F，
蟋蟀每分钟鸣叫的次数增加8次，
故当室外温度为F时，蟋蟀每分钟鸣叫的次数为：次，
故答案为：192．
考点4：关系式表示两个变量关系
典例4：一个蓄水池已有的水，现以每分钟的速度向池中注水，蓄水池中的水量（）与注水时间（分）之间的关系式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】用关系式表示变量间的关系
【分析】本题考查了函数关系式，利用蓄水量等于原蓄水量加注水量得出函数关系式即可，理解题意、明白等量关系是解题的关键．
【详解】解：∵一个蓄水池已有的水，现以每分钟的速度向池中注水，
∴蓄水池中的水量（）与注水时间（分）之间的关系式为，
故选：D．
【变式1】汽车离开汽车站后，以的速度匀速前进了，则汽车离开汽车站所走的路程与时间之间的关系式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】用关系式表示变量间的关系
【分析】本题考查用关系式表示变量之间的关系，解决本题的关键是能找出因变量和自变量之间的等量关系．
根据“路程、速度与时间的关系”列出函数解析式即可．
【详解】解：汽车离开汽车站所走的路程=速度×时间+初始路程，即：．
故选B．
【变式2】 某机床要加工一批机器毛绒玩具，每小时加工的件数与加工的时间如下表：
每小时加工件数（件） 30 20 18 9 …
加工时间（小时） 12 18 20 40
用x表示每小时加工毛绒玩具的件数，用y表示加工时间，用式子表示y与x之间的关系为 ．
【答案】
【知识点】用表格表示变量间的关系、用关系式表示变量间的关系
【分析】本题考查了反比例关系的意义，工作总量、工作时间、工作效率三者关系，正确掌握相关性质内容是解题的关键．观察表格数据，发现，，，，结合工作时间工作效率工作总量，且工作总量不变，即可作答．
【详解】解：由表格数据，得，，，，
∴这批毛绒玩具共360件，
∵工作总量不变，都是360件，
∴加工时间与每小时加工件数乘积都是360，即乘积不变，
∴，
故答案为：．
【变式3】一瓶牛奶的营养成分中，碳水化合物的含量是蛋白质含量的倍，碳水化合物、蛋白质与脂肪的含量共．设蛋白质、脂肪的含量分别为，，则与的关系式为 ．
【答案】
【知识点】用关系式表示变量间的关系
【分析】本题考查了由实际问题抽象出变量之间的关系式，熟练掌握以上知识是解题的关键．
先表示出碳水化合物的含量是，再根据碳水化合物、蛋白质与脂肪的含量共30g，列关系式即可．
【详解】解：∵碳水化合物的含量是蛋白质含量的倍，设蛋白质为，
∴碳水化合物的含量是，
∵碳水化合物、蛋白质与脂肪的含量共，设脂肪的含量为，
∴，
∴，
故答案为：．
考点5：根据关系式求变量的值
典例5：圆圆想把一些相同规格的塑料杯，尽可能多地放入高的柜子里（如图1）．她把杯子按如图这样整齐地叠放成一摞（如图2），但她不知道一摞最多能叠几个可以一次性放进柜子里．圆圆测量后发现，按这样叠放，这摞杯子的总高度随着杯子数量的变化而变化，记录的数据如下表所示：
杯子的数量（只） 1 2 3 4 5 6 …
总高度 10 11.4 12.8 14.2 15.6 17 …
请帮圆圆算一算，一次性放进高的柜子里，一摞最多能叠的杯子个数是（ ）

A．21 B．22 C．23 D．24
【答案】B
【知识点】用关系式表示变量间的关系、用一元一次不等式解决实际问题
【分析】本题考查函数关系式，一元一次不等式，解决本题的关键是从题表中梳理出总高度与纸杯之间的数量关系．根据表格可知，每增加一个杯子高度增加1.4，得到，根据纸杯总高度列关于的一元一次不等式求解．
【详解】解：由表格可得，每增加一个杯子，总高度增加，
则总高度．
则，
解得，，
则的最大值为22，
故选：B．
【变式1】弹簧原长（不挂重物），弹簧总长与重物质量的关系如表所示：
重物质量
弹簧总长 16 17 18 19 20
当重物质量为（在弹性限度内）时，弹簧的总长．（　　）
A．25 B． C．30 D．
【答案】C
【知识点】用表格表示变量间的关系、用关系式表示变量间的关系
【分析】本题主要考查了用关系式表示变量之间的关系，根据“重物质量每增加，弹簧伸长”写出关于的关系式，将代入该关系式求出对应的值即可．
【详解】解：由表格可知，重物质量每增加，弹簧伸长，当重物质量为时，弹簧总长度为，
∵当重物质量为0时，弹簧的原长度为，
∴弹簧总长与重物质量的关系式为，
当时，．
故选：C．
【变式2】 某小组做“油的沸点”实验（沸点是指液体沸腾时候的温度），研究一种食用油的温度随加热时间变化而变化，他们得到如下数据：
时间 0 10 20 30 40 50
油温 20 40 60 80 100 120
小红发现，加热到时油恰好沸腾，则油的沸点是 ．
【答案】230
【知识点】用关系式表示变量间的关系、求自变量的值或函数值
【分析】本题主要考查了用关系式表示变量之间的关系，求自变量或函数值，先根据表格中的数据得出每秒油温升高，从而得出油温与时间t的关系式为：，把代入得出，即可得出答案．
【详解】解：根据表格中的数据可知：每油温升高，
∴每秒油温升高，
且当时，油温为，
∴油温与时间t的关系式为：，
把代入得：
，
∴油的沸点是．
故答案为：230．
【变式3】某科技小组在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气中的温度之间的关系的一些数据如下表：下列说法：①空气的温度越高声音传播的速度越快；②声音速度与温度关系式可以是；③温度每升高，声音速度增加，其中正确的有 ．
温度（）
声速（）
【答案】①③/③①
【知识点】有理数减法的实际应用、用表格表示变量间的关系、用关系式表示变量间的关系
【分析】根据题意和表格信息，运用代入法进行有理数的运算即可求解．
【详解】解：根据题意，随着温度的上升，声速也在增大，故①正确；
当时，，故②错误；
从表格信息可知每升高，声音速度增加，故③正确；
综上所述，正确的有①③，
故答案为：①③．
【点睛】本题主要考查根据表格获取信息，代入法求值，理解表格信息，掌握代入法求值，有理数的运算等知识是解题的关键．
考点6：图像表示两个变量关系
典例6：某电影院的某个电影的每张电影票的售价为58元，售票张数为x，票房收入为w元，在这个售票过程中，始终不变的量是（　　）
A．售票的张数 B．余票的张数 C．每张电影票的售价 D．该电影院的票房收入
【答案】C
【知识点】用图象表示变量间的关系
【分析】本题考查的是常量和变量，常量是不变的量，变量是变化的量；根据上步结合已知即可解答．
【详解】解：在这个售票过程中，票房收入随售票张数的变化而变化，所以售票张数与余票张数以及票房收入都是变量，只有每张电影票的售价是始终不变的量．
故选：C．
【变式1】如图，可以近似的刻画下列哪种实际情境中的变化关系（ ）
A．一杯越晾越凉的水（水温与时间的关系）
B．一面冉冉上升的旗子（高度与时间的关系）
C．足球守门员大脚开出去的球（高度与时间的关系）
D．匀速行驶的汽车（速度与时间的关系）
【答案】C
【知识点】用图象表示变量间的关系
【分析】本题考查利用图象表示函数关系．根据函数的图象可以得到因变量随着自变量的增大而增大，随后又随着自变量的增大而减小．逐一进行判断即可．
【详解】解：由图象可知：因变量随着自变量的增大而增大，随后又随着自变量的增大而减小．
A．一杯越晾越凉的水（水温与时间的关系），水温随着时间的增加而下降，故该选项不符合题意；
B．一面冉冉上升的旗子（高度与时间的关系），高度随着时间的增加而增大， ，故该选项不符合题意；
C．足球守门员大脚开出去的球（高度与时间的关系），高度随着时间的增加先增大，后减小，故该选项符合题意；
D．匀速行驶的汽车（速度与时间的关系），速度不随着时间的变化而变化．故该选项不符合题意；
故选：C．
【变式2】 甲、乙两人同时骑自行车前往A地，他们距A地的路程与行驶时间之间的关系如图所示．甲乙的速度和为 ．
【答案】
【知识点】用图象表示变量间的关系
【分析】本题考查了用图象表示变量间的关系，根据图象求得甲、乙的速度是解题的关键．根据图象，利用速度等于路程除以时间，分别求出甲乙的速度即可得解．
【详解】解：根据图可知，甲距离A地，行驶时间为，乙距离A地，行驶时间为，
甲的速度为 ，乙的速度为 ，
甲乙的速度和为 ．
故答案为：
【变式3】如图所示是关于变量x，y的程序计算，若开始输入自变量x的值为3，则最后输出因变量y的值为 ．
【答案】30
【知识点】用图象表示变量间的关系、程序流程图与代数式求值
【分析】本题考查了求代数式的值，正确理解程序计算的流程是解题的关键．先将代入，求得的值为6，小于20，根据程序流程，将再次代入，求得的值为30，大于20，即可输出结果．
【详解】当时，，
当时，，
所以．
故答案为：30．
考点7：从图像获取变量信息
典例7：某天早晨，王老师从家出发步行前往学校，途中在路边一饭店吃早餐，如图所示是王老师从家到学校这一过程中所走的路程s（米）与时间t（米）之间的关系．下列说法错误的是（　　）
A．学校离他家500米，从出发到学校，王老师共用了25分钟
B．王老师吃早餐用10分钟
C．吃完早餐后的平均速度是100米/分钟
D．王老师吃早餐以前的速度比吃完早餐以后的速度慢
【答案】A
【知识点】从函数的图象获取信息、用图象表示变量间的关系
【分析】本题主要考查了函数的图象，解题时要熟练掌握并能结合函数的图象进行分析是关键．
依据题意，根据函数的图象逐个进行分析判断可以得解．
【详解】解：由题意，结合图象可得，
A．他家与学校的距离为1000米，从家出发到学校，王老师共用了25分钟，故选项说法错误，符合题意；
B．王老师从家出发10分钟后开始用早餐，到20分钟结束，花了：（分钟），故选项说法正确，不符合题意；
C．用完早餐以后的速度是：（米/分），故该选项说法正确，不符合题意，
D． 王老师用早餐前步行的速度是：（米/分），用完早餐以后的速度是100（米/分），故该选项说法正确，不符合题意，
故选：A．
【变式1】骑自行车是一种健康自然的运动旅游方式，长期坚持骑自行车可增强心血管功能，提高人体新陈代谢和免疫力.如图是骑行爱好者老刘某天骑自行车行驶路程（km）与时间（h）的关系图象，观察图象得到下列信息，其中错误的是（　　）

A．点表示老刘出发，他一共骑行 B．老刘实际骑行时间为
C．老刘的骑行速度为 D．老刘的骑行在的速度比的速度慢
【答案】B
【知识点】用图象表示变量间的关系
【分析】仔细观察图象，结合路程、速度、时间的关系逐项判断即可．
【详解】解：由图可知，点所对应的路程为80km，时间为5h，即表示出发5h，老刘共骑行80km，故A正确，不符合题意；
内的路程没有变化，
老刘实际骑行时间为，故B错误，符合题意；
老刘骑行的路程为30km，
的速度为，故C正确，不符合题意；
骑行的路程为，
的速度为，
，
老刘的骑行在的速度比的速度慢，故D正确，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了用图象表示变量之间的关系，读懂题意，从所给的图象中获取解题所需要的信息是解题的关键．
【变式2】 小明和小华是同班同学，也是邻居，某日早晨，小明7：00先出发去学校，走了一段路后，在途中停下来吃了早饭，后来发现上学时间快到了，就跑步到学校；小华离家后直接乘公交车到了学校．如图是他们从家到学校已走的路程和小明所用时间的关系图，则下列说法中正确的是 ．①小明吃早饭用时；②小华到学校的平均速度是；③小明跑步的平均速度是；④小华到学校的时间是7：05．

【答案】①②③
【知识点】用图象表示变量间的关系
【分析】观察图像，根据路程、速度、时间之间的关系依次判断即可．
【详解】由图知小明从家出发，第8分钟至第13分钟在吃早饭，因此小明吃早饭用了5分钟，故①正确；
由图知小华从家到学校的路程为1200米，用时分钟，因此小华到学校的速度为，故②正确；
由图知小明从第13分钟至第20分钟跑步到学校，用时分钟，跑的路程为米，因此小明跑步的速度为，故③正确；
由图知小华到学校的时间为7：13，故④错误．
故答案为：①②③
【点睛】本题主要考查了用图像法表示变量之间的关系，读懂题意，能从所给图像中获取信息是解题的关键．
【变式3】某车间的甲、乙两名工人分别同时生产同一种零件，每天完成规定工作量后即停止生产．开工两小时后，甲停下升级设备，乙每小时生产零件个数增加4个，他们一天生产零件的个数y与生产时间t（时）的关系如图所示，根据图象，下列结论正确的是 （填序号）．①乙升级设备用了2小时；②一天中甲乙生产量最多相差6个；③图中的，；③甲比乙提前1小时完成工作．
【答案】②④/④②
【知识点】用图象表示变量间的关系
【分析】本题主要考查了用图象表示两个变量的关系，根据图象即可判断①；求出升级设备前后甲的生产速度，以及2小时前后乙的生产速度，进而确定a、b、c的值，再分别求出对应时间段甲乙生产量最多相差的个数即可判断②③；求出乙需要的总时间即可判断④，进而可得结论．
【详解】解：甲升级设备用了小时，乙没有升级设备，故①说法错误；
由图象可知，当时，甲每小时生产个，乙每小时生产个，
∴当，且时，甲乙生产量最多相差个；
当时，乙每小时生产个，则当时，甲乙生产量最多相差个；
甲升级完成后每天生产个，
当时，由于甲比乙每小时生产得多，故当，甲乙生产量最多相差个，不符合题意；
当时，由于甲比乙每小时生产得多，故当时，甲乙生产量最多个；
综上所述，一天中甲乙生产量最多相差6个，故②正确；
∵，
∴，故③错误；
，，
∴甲比乙提前1小时完成工作，故④说法正确；
∴说法正确的有②④，
故答案为：②④．
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专题01 变量之间的关系
（一）变量与常量
变量：在一个变化过程中数值发生变化的量。
常量：在一个变化过程中数值始终不变的量。
【注意】
①变量是可以变化的，而常量是已知数，且它是不会发生变化的。
②区分常量和变量就是在某个变化过程中该量的值是否发生变化。
考点1：常量与变量
典例1：某超市苹果的单价是3元／斤，若购买x斤苹果的总价是y元，则其中的常量是（ ）
A．3 B．x C．y D．不确定
【变式1】已知半径是R的圆，周长，下列说法正确的是（ ）
A．C，，R是变量，2是常量 B．C是变量，2，，R是常量
C．R是变量，，C是常量 D．C，R是变量，2，是常量
【变式2】 在某地，人们发现在一定条件下某种蟋蟀叫的次数与气温之间有如下的近似关系：用蟋蟀1分钟叫的次数x加上30，再把结果除以7，就近似的得到该地当时的气温y（单位：）．在这个问题中，变量是 ．
【变式3】小亮去超市买生鲜，电子秤的数据显示屏显示重量、单价、金额三个量，则这三个量中的变量是 ．
考点2：自变量与因变量
典例2：汽车以每小时100千米的速度匀速行驶，行驶的路程随时间的变化而变化，在这个变化过程中，自变量是（　　）
A．汽车 B．路程 C．速度 D．时间
【变式1】圆的半径为r，面积S与r的关系式为，下列判断正确的是（ ）
A．r是因变量 B．π是常量 C．S是自变量 D．S，π，r都是变量
【变式2】 一空水池，现需注满水，水池深．现以不变的流量注水，水的深度与对应的注水时间如下表：
水的深度 0.7 1.4 2.1 2.8
注水时间 0.5 1 1.5 2
（1）自变量是 ，因变量是 ；
（2）能推出注满水的时间是 ．
【变式3】一个等腰三角形的周长为24，其中它的腰长为自变量，底边长为因变量，则用表示的关系式是 .
考点3：表格表示两个变量关系
典例3：学校新买一台智能饮水机，某天中午小俊通过观察，记录了饮水机工作时间与水温的关系表格如下：
水温（） ．．．．．．
时间（时：分） ．．．．．．
请你帮小俊计算水烧开的时间为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】下表是不同的海拔高度对应的大气压强的值，仔细分析表格中数据，下列说法中正确的是（ ）
海拔高度/m 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000
大气压强/kpa 101.2 90.7 80.0 70.7 61.3 53.9 47.2 41.3 36.0
A．当海拔高度为2000m时，大气压强为70.7kpa
B．随着海拔高度的增加，大气压强越来越大
C．海拔高度每增加1000m，大气压强减小的值是变化的
D．珠穆朗玛峰顶端（海拔高度为8848.86m）的大气压强约为45kpa
【变式2】 小明学习小组利用同一块木板，测量了小车从不同高度下滑的实际，他们得到如下数据：
支撑物的高度 10 20 30 40 50 60 70 80 90
小车下滑的时间 4.23 3.00 2.45 2.13 1.89 1.71 1.59 1.50 1.41
估计当支撑物的高度为时，小车下滑的时间为： ，请说出你估计的理由 ．
【变式3】科学家就蟋蟀鸣叫的次数与室外温度的数量关系做了如下记录，如果这种数量关系不变，则当室外温度为F时，蟋蟀每分钟鸣叫的次数是 次．
温度/°F 76 78 80 82 84 …
每分钟鸣叫的次数/次 144 152 160 168 176 …
考点4：关系式表示两个变量关系
典例4：一个蓄水池已有的水，现以每分钟的速度向池中注水，蓄水池中的水量（）与注水时间（分）之间的关系式为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】汽车离开汽车站后，以的速度匀速前进了，则汽车离开汽车站所走的路程与时间之间的关系式是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】 某机床要加工一批机器毛绒玩具，每小时加工的件数与加工的时间如下表：
每小时加工件数（件） 30 20 18 9 …
加工时间（小时） 12 18 20 40
用x表示每小时加工毛绒玩具的件数，用y表示加工时间，用式子表示y与x之间的关系为 ．
【变式3】一瓶牛奶的营养成分中，碳水化合物的含量是蛋白质含量的倍，碳水化合物、蛋白质与脂肪的含量共．设蛋白质、脂肪的含量分别为，，则与的关系式为 ．
考点5：根据关系式求变量的值
典例5：圆圆想把一些相同规格的塑料杯，尽可能多地放入高的柜子里（如图1）．她把杯子按如图这样整齐地叠放成一摞（如图2），但她不知道一摞最多能叠几个可以一次性放进柜子里．圆圆测量后发现，按这样叠放，这摞杯子的总高度随着杯子数量的变化而变化，记录的数据如下表所示：
杯子的数量（只） 1 2 3 4 5 6 …
总高度 10 11.4 12.8 14.2 15.6 17 …
请帮圆圆算一算，一次性放进高的柜子里，一摞最多能叠的杯子个数是（ ）

A．21 B．22 C．23 D．24
【变式1】弹簧原长（不挂重物），弹簧总长与重物质量的关系如表所示：
重物质量
弹簧总长 16 17 18 19 20
当重物质量为（在弹性限度内）时，弹簧的总长．（　　）
A．25 B． C．30 D．
【变式2】 某小组做“油的沸点”实验（沸点是指液体沸腾时候的温度），研究一种食用油的温度随加热时间变化而变化，他们得到如下数据：
时间 0 10 20 30 40 50
油温 20 40 60 80 100 120
小红发现，加热到时油恰好沸腾，则油的沸点是 ．
【变式3】某科技小组在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气中的温度之间的关系的一些数据如下表：下列说法：①空气的温度越高声音传播的速度越快；②声音速度与温度关系式可以是；③温度每升高，声音速度增加，其中正确的有 ．
温度（）
声速（）
考点6：图像表示两个变量关系
典例6：某电影院的某个电影的每张电影票的售价为58元，售票张数为x，票房收入为w元，在这个售票过程中，始终不变的量是（　　）
A．售票的张数 B．余票的张数 C．每张电影票的售价 D．该电影院的票房收入
【变式1】如图，可以近似的刻画下列哪种实际情境中的变化关系（ ）
A．一杯越晾越凉的水（水温与时间的关系）
B．一面冉冉上升的旗子（高度与时间的关系）
C．足球守门员大脚开出去的球（高度与时间的关系）
D．匀速行驶的汽车（速度与时间的关系）
【变式2】 甲、乙两人同时骑自行车前往A地，他们距A地的路程与行驶时间之间的关系如图所示．甲乙的速度和为 ．
【变式3】如图所示是关于变量x，y的程序计算，若开始输入自变量x的值为3，则最后输出因变量y的值为 ．
考点7：从图像获取变量信息
典例7：某天早晨，王老师从家出发步行前往学校，途中在路边一饭店吃早餐，如图所示是王老师从家到学校这一过程中所走的路程s（米）与时间t（米）之间的关系．下列说法错误的是（　　）
A．学校离他家500米，从出发到学校，王老师共用了25分钟
B．王老师吃早餐用10分钟
C．吃完早餐后的平均速度是100米/分钟
D．王老师吃早餐以前的速度比吃完早餐以后的速度慢
【变式1】骑自行车是一种健康自然的运动旅游方式，长期坚持骑自行车可增强心血管功能，提高人体新陈代谢和免疫力.如图是骑行爱好者老刘某天骑自行车行驶路程（km）与时间（h）的关系图象，观察图象得到下列信息，其中错误的是（　　）

A．点表示老刘出发，他一共骑行 B．老刘实际骑行时间为
C．老刘的骑行速度为 D．老刘的骑行在的速度比的速度慢
【变式2】 小明和小华是同班同学，也是邻居，某日早晨，小明7：00先出发去学校，走了一段路后，在途中停下来吃了早饭，后来发现上学时间快到了，就跑步到学校；小华离家后直接乘公交车到了学校．如图是他们从家到学校已走的路程和小明所用时间的关系图，则下列说法中正确的是 ．①小明吃早饭用时；②小华到学校的平均速度是；③小明跑步的平均速度是；④小华到学校的时间是7：05．

【变式3】某车间的甲、乙两名工人分别同时生产同一种零件，每天完成规定工作量后即停止生产．开工两小时后，甲停下升级设备，乙每小时生产零件个数增加4个，他们一天生产零件的个数y与生产时间t（时）的关系如图所示，根据图象，下列结论正确的是 （填序号）．①乙升级设备用了2小时；②一天中甲乙生产量最多相差6个；③图中的，；③甲比乙提前1小时完成工作．
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