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专题01 概率初步
（一）事件类型
①必然事件：有些事情我们事先肯定它一定发生，这些事情称为必然事件.
②不可能事件：有些事情我们事先肯定它一定不会发生，这些事情称为不可能事件.
③不确定事件：许多事情我们无法确定它会不会发生，这些事情称为不确定事件.
（二）概率
（1）概率的概念：某种事件在某一条件下可能发生，也可能不发生，但可以知道它发生的可能性的大小，我们把刻划（描述）事件发生的可能性的大小的量叫做概率.
（2）一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m中结果，那么事件A发生的概率为概率公式：随机事件A的概率。
P（必然事件）=1；P（不可能事件）=0
（三）求概率的方法
（1）列表法：
当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时，我们常用列表的方式，不重不漏地列举出所有可能的结果，再求出概率。
（2）树状法：
当试验中存在三个及以上的元素且出现的所有可能的结果较多时，我们常用画树状图的方式，不重不漏地列举出所有可能的结果，再求出概率。
考点1：事件的分类
典例1：成语“守株待兔”表示（ ）
A．随机事件 B．必然事件 C．不可能事件 D．确定事件
【变式1】下列事件是必然事件的是（ ）
A．嘉兴明天最高气温是
B．13名学生中，至少有两名学生的生日在同一个月．
C．射击运动员射击一次，命中10环．
D．某运动员跳高的最好成绩是8米．
【变式2】 下列事件中，必然事件是 ，不可能事件是 ，随机事件是 （请填写序号）
①元元能长到；
②用电话随机拨一串数字，刚好打通了好朋友的电话；
③小丽能跳高；
④掷出的标枪会落地．
【变式3】下列事件中是确定事件的是 （填序号）：①掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是奇数；②车辆随机经过一个路口，遇到红灯；③对于实数、，有；④有三条线段，将这三条线段首尾顺次相接可以组成一个三角形；⑤人中至少有2人在同一个月过生日．
考点2：随机事件的可能性
典例2：袋中有红球4个，白球若干个，这些球除颜色外其他都相同，从袋中随机取出1个球，如果取到白球的可能性较大，那么袋中白球的个数可能是（）
A．3 B．小于3 C．4 D．大于4
【变式1】从甲地到乙地有①②③④四条不同的公交线路．为了解早高峰期间这四条线路上的公交车从甲地到乙地的用时情况，在每条线路上随机选取了500个班次的公交车，收集了这些班次的公交车用时(单位：)的数据，统计如下：
公交车用时 用时频数 线路 合计
59 151 166 124 500
50 50 122 278 500
45 365 167 23 500
65 90 154 191 500
早高峰期间，乘坐（ ）线路上的公交车，从甲地到乙地“用时不超过”的可能性最大
A．① B．② C．③ D．④
【变式2】 口袋里有红、绿、黄三种大小外形相同的球，其中红球4个，绿球5个，任意摸出一个球，摸到绿球的可能性是，则摸到黄球的可能性是 ．
【变式3】从一副扑克牌中任意抽取1张，有下列事件：①这张牌是“A”；②这张牌是“红桃”；③这张牌是“大王”；④这张牌是“黑色的”．请将这些事件发生的可能性从小到大排列： ．（填序号）
考点3：频率及稳定性
典例3：某人将一枚质量均匀的硬币连续抛10次，落地后正面朝上6次，反面朝上4次，下列说法正确的是（ ）
A．出现反面的频率是6 B．出现反面的频率是4
C．出现反面的频率是0.4 D．出现反面的频率是0.6
【变式1】不透明的口袋中装有10个黄球和若干个白球，它们除颜色外完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.6附近，估计口袋中白球大约有（　　）
A．12个 B．15个 C．18个 D．20个
【变式2】 暑假将至，东营区教育局向全区师生发出倡议“不去河沟游玩，防落水，不去河沟游泳，防溺水”．在这句宣传语中，“水”字出现的频率为 ．
【变式3】两位同学进行投篮，甲同学投20次，投中15次；乙同学投15次，投中9次，命中率高的是 ．
考点4：概率的认识
典例4：某随机事件发生的概率的值不可能是（ ）
A．0.001 B．0.5 C．0.999 D．1
【变式1】下列事件发生的概率为0的是（ ）
A．随意掷一枚均匀的硬币两次，至少有一次反面朝上．
B．今年冬天黑龙江会下雪．
C．随意掷两个均匀的骰子，朝上面的点数之和为18．
D．一个转盘被分成6个扇形，按红、白、白、红、红、白排列，转动转盘，指针停在红色区域．
【变式2】 天气预报称，明天全市的降水概率为，下列说法中正确的是（　　）
A．明天全市将有的地方会下雨 B．明天全市将有的时间会下雨
C．明天全市下雨的可能性较大 D．明天全市一定会下雨
【变式3】“从布袋中取出一只红球的概率是”，这句话的意思是（ ）
A．若取出一只球肯定是红球
B．取出一只红球的可能性是
C．若取出一只球肯定不是红球
D．若取出100只球中，一定有99只红球
考点5：用频率估计概率
典例5：箱子里有若干个红球、白球和黄球，从箱子中一次拿两个球出来．多次实验统计如下：
至少有一个球是白球的次数 13 20 35 71 107 146 288
至少有一个球是白球的频率 0.65 0.67 0.70 0.71 0.713 0.73 0.72
小明估计至少有一个球是白球的概率约是 （保留一位小数）．
【变式1】在一只不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球若干，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，然后把它放回袋中，不断重，如表是活动进行中的一组统计数据：
摸球的次数n n 200 300 500 800 1000
摸到白球的次数m 100 116 186 290 480 602
摸到白球的频率 0.59 0.58 0.62 0.58 0.60 0.602
任意摸出一个球，则“摸到白球”的概率约是 ．（结果精确到0.1）
【变式2】 现实生活中二维码随处可见，其中码眼用于帮助识别二维码的方向和位置．如图所示的二维码中有三个码眼，某小组同学为了解该二维码中码眼面积在二维码面积中的占比，利用计算机编程做了随机点生成实验，实验数据如下表所示，则估计“一个点生成在码眼区域”的概率是 （精确到0.01）．
在二维码内生成的点数 100 200 300 500 700 800 900 1000
在码眼区域内生成的点数 16 15 52 85 120 136 153 170
（结果保留小数点后三位） 0.160 0.175 0.173 0.170 0.171 0.170 0.170 0.170
【变式3】如图，是一个边长为的正方形及其内切圆，随机地往正方形内投一米粒，则下列说法正确的是 ．（填序号）
①若投次，有次落在圆内，则米粒落在圆内的频率为；
②若投次，有次落在圆内，则投次，米粒落在圆内的概率为；
③米粒落在圆内的概率＝；
④若投次，有次落在圆内，随着实验次数的增加，则的值接近于．
考点6：简单事件的概率
典例6：小慧购买了一些盲盒后，得到如图所示的若干张印有不同型号的歼敌机的卡片，卡片除正面图案外其余均相同．若将卡片背面朝上，从中任意抽取一张，则抽取的卡片正面图案是歼的概率是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】如图，电路图上有3个开关和1个小灯泡，现随机闭合两个开关，小灯泡发光的概率为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】 不透明袋子中装有10个球，其中有4个绿球、3个黑球、3个红球，这些球除了颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则是绿球的概率为 ．
【变式3】一个箱子装有除颜色外都相同的2个白球，2个黄球，1个红球．现添加上述同种型号的1个球，使得从中随机抽取1个球，白颜色的球被抽到的可能性是 ，那么添加的球是 ．
考点7：列表或树状图法求概率
典例7：如图，将甲转盘三等分，乙转盘四等分，自由转动转盘．
(1)转动甲转盘，指针指向的数字小于3的概率是____；
(2)同时自由转动两个转盘，用列举法求两个转盘指针指向的数字均为偶数的概率．
【变式1】某商场举行“抽奖返现”有奖促销活动，顾客购买商品的金额达到100元，即可按以下方案抽奖一次；达到200元，即可抽奖两次；以此类推．
方案：从装有1个红球、1个黄球、1个蓝球（仅颜色不同）的不透明袋中随机摸出1个球．若是红球，则获得奖金5元；若是黄球，则获得奖金3元；若是蓝球，则获得奖金2元；每次兑奖后将摸出的球放回袋中．
某顾客在该商场购买商品的金额为200元，请用列表或画树状图求下列事件的概率：
(1)两次抽奖的奖金和等于10元．
(2)两次抽奖的奖金和不低于5元．
【变式2】 从一副新扑克牌中选取三张扑克牌，牌面数字分别是3，4，5，将三张扑克牌充分洗匀，背面朝上放在桌面上．
(1)从这三张扑克牌中随机抽取一张，抽到的牌面数字是奇数的概率是______．
(2)小华与小明用这三张扑克牌做游戏，游戏规则：先从中随机抽取一张牌，将牌面数字作为十位上的数字，然后将该牌放回并洗匀，再从中随机抽取一张牌，将牌面数字作为个位上的数字，若组成的两位数是2的倍数，则小华胜；若组成的两位数是5的倍数，则小明胜．你认为这个游戏对双方公平吗？请判断并用画树状图法或列表法说明理由．
【变式3】庆祝北京冬奥会三周年暨奥林匹克历史知识产权授权产品“冰墩墩”蛇年新春特别版“蛇墩墩”系列新品在北京发布，现场发布了五个形象的“蛇墩墩”手办，产品在设计上则采用了“五福临门”的寓意．小明收集了如图所示的五张印有“蛇墩墩”图案的卡片：．“福星蛇墩墩”，．“禄星蛇墩墩”，．“寿星蛇墩墩”，．“喜星蛇墩墩”，．“财星蛇墩墩”（除正面内容不同外，其余均相同），现将五张卡片背面朝上，洗匀放好．
(1)小明从五张卡片中随机抽取一张卡片是“福星蛇墩墩”的概率是______；
(2)小明从五张卡片中随机抽取一张卡片，不放回，记下卡片正面内容后，再将剩下四张卡片洗匀后从中随机抽取一张卡片，记下卡片正面内容，请用列表法或画树状图法，求小明两次抽取的卡片中都没有抽到“福星蛇墩墩”的概率．
考点8：游戏的公平性
典例8：年月日凌晨，“神舟十九号”载人飞船成功发射，这不仅是“神舟十九号”载人飞船任务的成功，更是中国航天事业雄心勃勃的豪情壮志，展现了大国崛起的力量．为激发学生弘扬爱国奋斗精神，以航天英雄为榜样，不断攀登新的科学高峰，某校举办以“相约浩瀚太空，逐梦航天强国”为主题的演讲比赛．九（）班的小希和小辰都想参加比赛，她们演讲水平相当，但名额只有一个．为了公平起见，班委决定通过转动转盘来决定人选．如图，现给出两个均分且标有数字的转盘，规则：分别转动两个转盘，将盘转出的数字作为被减数，盘转出的数字作为减数，若差为负数，则小希参加；若差为正数，则小辰参加．（若指针恰好指在分割线上，则重转，直到指针指向某一区域为止）
(1)小希转动一次盘，指针指向的数字是偶数的概率是_______．
(2)这个游戏规则对双方公平吗？请判断，并通过画树状图或列表的方法说明理由．
【变式1】小明和小亮玩一个游戏：取三张大小、质地都相同的卡片，上面分别标有数字3、4、5（背面完全相同），现将标有数字的一面朝下．小明从中任意抽取一张，记下数字后放回洗匀，然后小亮从中任意抽取一张，计算小明和小亮抽得的两个数字之和．
(1)请你用画树状图或列表的方法，求出这两数和为8的概率．
(2)如果和为奇数，则小明胜；若和为偶数，则小亮胜．你认为这个游戏规则对双方公平吗？做出判断，并说明理由．
3 4 5
3
4
5
【变式2】 小明、小红和小亮玩“摸牌”游戏．规则如下：将牌面数字分别为1，2，3的三张纸牌（除牌面数字外，其余都相同）背面朝上，洗匀后放在桌面上，小明先从中随机摸出一张，记下数字后放回并洗匀，小红再从中随机摸出一张．若两次摸到的数字之和大于4，则小明胜；若和小于4，则小红胜；若和等于4，则小亮获胜．
(1)小明从三张纸牌中随机摸出一张，摸到“1”的概率是______；
(2)请用列表或画树状图的方法，说明小明胜出的概率是多少？
(3)你认为这个游戏公平吗？为什么？
【变式3】在学校开展的数学活动课上，小明、小红和小刚制作了一个正三棱锥(质量均匀，4个面完全相同)，并在各个面上分别标记数字1，2，3，4，游戏规则如下：小明和小刚投掷三棱锥各1次，并记录底面的数字，如果两次投掷所得底面数字相等，那么重新投掷；如果两次投掷所得底面数字的和小于5，那么小明赢；如果两次投掷所得底面数字的和等于5，那么小红赢；如果两次投掷所得底面数字的和大于5，那么小刚赢．
(1)投掷1次，底面数字出现3是 事件(填“不可能”“必然”或“随机”)；投掷两次，底面数字和为5的概率为 ．
(2)请用列表或画树状图的方法表示上述游戏中所有可能出现的结果，分别求出小明、小红和小刚赢的概率，并判断此游戏对三人是否公平．
1 2 3 4
1 3 4 5
2 3 5 6
3 4 5 7
4 5 6 7
考点9：几何与转盘的概率
典例9：如图，一个游戏转盘中，红、黄、蓝三个扇形的圆心角度数分别为，，．让转盘自由转动，指针停止后落在蓝扇形区域的概率是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】如图是一个游戏转盘．自由转动转盘，当转盘停止转动后，指针最大可能落在（ ）
A．紫色区域 B．红色区域 C．黄色区域 D．蓝色区域
【变式2】 小明同学根据“赵爽弦图”设计了一个如图所示的的正方形飞镖盘，小明随机投掷一次飞镖，飞镖落在阴影区域的概率为 ．
【变式3】如图，一枚飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成，向游戏板随机投掷一枚飞镖，击中黑色区域的概率是 ．
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专题01 概率初步
（一）事件类型
①必然事件：有些事情我们事先肯定它一定发生，这些事情称为必然事件.
②不可能事件：有些事情我们事先肯定它一定不会发生，这些事情称为不可能事件.
③不确定事件：许多事情我们无法确定它会不会发生，这些事情称为不确定事件.
（二）概率
（1）概率的概念：某种事件在某一条件下可能发生，也可能不发生，但可以知道它发生的可能性的大小，我们把刻划（描述）事件发生的可能性的大小的量叫做概率.
（2）一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m中结果，那么事件A发生的概率为概率公式：随机事件A的概率。
P（必然事件）=1；P（不可能事件）=0
（三）求概率的方法
（1）列表法：
当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时，我们常用列表的方式，不重不漏地列举出所有可能的结果，再求出概率。
（2）树状法：
当试验中存在三个及以上的元素且出现的所有可能的结果较多时，我们常用画树状图的方式，不重不漏地列举出所有可能的结果，再求出概率。
考点1：事件的分类
典例1：成语“守株待兔”表示（ ）
A．随机事件 B．必然事件 C．不可能事件 D．确定事件
【答案】A
【知识点】事件的分类
【分析】本题考查了随机事件“在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件”、必然事件“必然事件发生的可能性为1”、不可能事件“不可能事件的发生的可能性为0”，熟练掌握各定义是解题关键．根据随机事件、必然事件和不可能事件的定义求解即可得．
【详解】解：“守株待兔”可能发生，也可能不发生，是随机事件，
故选：A．
【变式1】下列事件是必然事件的是（ ）
A．嘉兴明天最高气温是
B．13名学生中，至少有两名学生的生日在同一个月．
C．射击运动员射击一次，命中10环．
D．某运动员跳高的最好成绩是8米．
【答案】B
【知识点】事件的分类
【分析】本题考查了随机事件“在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件”、必然事件“在一定条件一定发生的事件是必然事件，发生的可能性为1”，熟记定义是解题关键．根据随机事件和必然事件的定义逐项判断即可得．
【详解】解：A、嘉兴明天最高气温是，是随机事件，则此项不符合题意；
B、因为一年只有12个月，所以13名同学中，至少有两名学生的生日在同一个月，则此项是必然事件，符合题意；
C、射击运动员射击一次，命中10环，是随机事件，则此项不符合题意；
D、某运动员跳高的最好成绩是8米，是随机事件，则此项不符合题意；
故选：B．
【变式2】 下列事件中，必然事件是 ，不可能事件是 ，随机事件是 （请填写序号）
①元元能长到；
②用电话随机拨一串数字，刚好打通了好朋友的电话；
③小丽能跳高；
④掷出的标枪会落地．
【答案】 ④ ①③/③① ②
【知识点】事件的分类
【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件以及随机事件，解题的关键是掌握必然事件、不可能事件以及随机事件的定义．根据随机事件的定义对各小题进行分析即可．
【详解】①元元能长到，是不可能事件；
②用电话随机拨一串数字，刚好打通了好朋友的电话，是随机事件；
③小丽能跳高，是不可能事件；
④掷出的标枪会落地，是必然事件．
故答案为：④；①③；②
【变式3】下列事件中是确定事件的是 （填序号）：①掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是奇数；②车辆随机经过一个路口，遇到红灯；③对于实数、，有；④有三条线段，将这三条线段首尾顺次相接可以组成一个三角形；⑤人中至少有2人在同一个月过生日．
【答案】③⑤/⑤③
【知识点】构成三角形的条件、事件的分类
【分析】本题考查了确定事件和随机事件的定义，根据确定事件和随机事件的定义来区分判断即可，必然事件和不可能事件统称确定性事件；必然事件：在一定条件下，一定会发生的事件称为必然事件；不可能事件：在一定条件下，一定不会发生的事件称为不可能事件；随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件．
【详解】解：①掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是奇数，是随机事件；
②车辆随机经过一个路口，遇到红灯，是随机事件；
③对于实数、，有，是不可能事件，是确定性事件；
④有三条线段，将这三条线段首尾顺次相接可以组成一个三角形，是随机事件；
⑤人中至少有2人在同一个月过生日，是确定性事件．
故答案为：③⑤．
考点2：随机事件的可能性
典例2：袋中有红球4个，白球若干个，这些球除颜色外其他都相同，从袋中随机取出1个球，如果取到白球的可能性较大，那么袋中白球的个数可能是（）
A．3 B．小于3 C．4 D．大于4
【答案】D
【知识点】判断事件发生的可能性的大小
【分析】本题考查可能性大小的比较：只要总情况数目相同，谁包含的情况数目多，谁的可能性就大；反之也成立；若包含的情况相当，那么它们的可能性就相等．根据取到白球的可能性较大可以判断出白球的数量大于红球的数量，从而得解．
【详解】解：∵袋中有红球4个，取到白球的可能性较大，
∴袋中的白球数量大于红球数量，
即袋中白球的个数大于4．
故选：D．
【变式1】从甲地到乙地有①②③④四条不同的公交线路．为了解早高峰期间这四条线路上的公交车从甲地到乙地的用时情况，在每条线路上随机选取了500个班次的公交车，收集了这些班次的公交车用时(单位：)的数据，统计如下：
公交车用时 用时频数 线路 合计
59 151 166 124 500
50 50 122 278 500
45 365 167 23 500
65 90 154 191 500
早高峰期间，乘坐（ ）线路上的公交车，从甲地到乙地“用时不超过”的可能性最大
A．① B．② C．③ D．④
【答案】C
【知识点】判断事件发生的可能性的大小
【分析】本题考查了可能性的 ，分别计算出用时不超过的可能性的大小，比较即可得出答案，解题的关键是掌握估计思想的运用．
【详解】解：因为①线路公交车用时不超过的可能性为；
②线路公交车用时不超过的可能性为；
③线路公交车用时不超过的可能性为；
④线路公交车用时不超过的可能性为，
所以③线路上的公交车用时不超过的可能性最大．
故选 C．
【变式2】 口袋里有红、绿、黄三种大小外形相同的球，其中红球4个，绿球5个，任意摸出一个球，摸到绿球的可能性是，则摸到黄球的可能性是 ．
【答案】
【知识点】判断事件发生的可能性的大小
【分析】根据绿球有5种可能，利用摸到绿球的可能性是求出总球数，再计算出黄球数，进而求黄球可能性即可，
本题考查了可能性的意义，掌握如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的可能性大小为是解题的关键．
【详解】解：根据题意，得球总数为：（个），
故黄球有（个），
故摸出一个黄球的可能性是：，
答：提出一个黄球的可能性是．
故答案为：．
【变式3】从一副扑克牌中任意抽取1张，有下列事件：①这张牌是“A”；②这张牌是“红桃”；③这张牌是“大王”；④这张牌是“黑色的”．请将这些事件发生的可能性从小到大排列： ．（填序号）
【答案】③①②④
【知识点】判断事件发生的可能性的大小
【分析】本题主要考查了随机事件发生的可能性的大小，解答此题的关键是判断出一副扑克牌中含“A”、“红桃”、“小王”、“黑色的”的牌的张数各是多少．
先分别求出一副扑克牌中含“A”、“红桃”、“小王”、“黑色的”的张数各是多少，然后根据每张牌被抽到的机会相等，只要比较出哪个事件的可能结果最多，即可判断出这些事件发生的可能性的大小，并将这些事件按发生的可能性从小到大顺序排列即可．
【详解】解：一副扑克牌中含“A”4张，“红桃”13张，“大王”1张，“黑色的”26张，
∵1＜4＜13＜26，
∴将这些事件按发生的可能性从小到大顺序排列：③①②④．
故答案为：③①②④．
考点3：频率及稳定性
典例3：某人将一枚质量均匀的硬币连续抛10次，落地后正面朝上6次，反面朝上4次，下列说法正确的是（ ）
A．出现反面的频率是6 B．出现反面的频率是4
C．出现反面的频率是0.4 D．出现反面的频率是0.6
【答案】C
【知识点】求某事件的频率
【分析】此题主要考查了频数与频率，正确掌握频率的定义是解题关键．
直接利用频率求法，频数÷总数＝频率，进而得出答案．
【详解】解：∵某人将一枚质量均匀的硬币连续抛10次，落地后正面朝上6次，反面朝上4次，
∴出现反面的频率是．
故选：C
【变式1】不透明的口袋中装有10个黄球和若干个白球，它们除颜色外完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.6附近，估计口袋中白球大约有（　　）
A．12个 B．15个 C．18个 D．20个
【答案】B
【知识点】求某事件的频率
【分析】本题主要考查了利用频率估计概率．设口袋中白球大约有x个，根据概率公式列出算式，再进行计算即可得出答案．
【详解】解：设口袋中白球大约有x个，
∵摸到白色球的频率稳定在0.6左右，
∴，
解得：，
经检验，是原方程的解，
∴估计口袋中白球大约有15个．
故选：B
【变式2】 暑假将至，东营区教育局向全区师生发出倡议“不去河沟游玩，防落水，不去河沟游泳，防溺水”．在这句宣传语中，“水”字出现的频率为 ．
【答案】
【知识点】求某事件的频率
【分析】本题考查了频率的计算，用“水”字出现的次数除以总的字的个数即可求解，掌握频率的计算方法是解题的关键．
【详解】解：“不去河沟游玩，防落水，不去河沟游泳，防溺水”，共有个字，其中“水”字出现的次数为次，
∴“水”字出现的频率为，
故答案为：．
【变式3】两位同学进行投篮，甲同学投20次，投中15次；乙同学投15次，投中9次，命中率高的是 ．
【答案】甲同学
【知识点】求某事件的频率
【分析】计算出两位同学的命中率并比较它们的大小即可判断谁的命中率高．
【详解】甲同学的命中率为，
乙同学的命中率为，且，
故甲同学的命中率高．
故答案为：甲同学．
【点睛】本题考查了用频率估计概率，掌握频率的求法是问题的关键．
考点4：概率的认识
典例4：某随机事件发生的概率的值不可能是（ ）
A．0.001 B．0.5 C．0.999 D．1
【答案】D
【知识点】概率的意义理解
【分析】本题主要考查了概率的意义和概率公式，解题的关键是掌握随机事件的取值范围．
根据随机事件的取值范围是求解即可．
【详解】解：随机事件的取值范围是，
∴某随机事件发生的概率的值不可能是1．
故选：D．
【变式1】下列事件发生的概率为0的是（ ）
A．随意掷一枚均匀的硬币两次，至少有一次反面朝上．
B．今年冬天黑龙江会下雪．
C．随意掷两个均匀的骰子，朝上面的点数之和为18．
D．一个转盘被分成6个扇形，按红、白、白、红、红、白排列，转动转盘，指针停在红色区域．
【答案】C
【知识点】事件的分类、概率的意义理解
【分析】本题主要考查了概率的意义，事件的分类，根据只有不可能发生的事件的概率为0进行求解即可．
【详解】解：A、随意掷一枚均匀的硬币两次，至少有一次反面朝上是可能发生的，即该事件事件发生的概率不为0，不符合题意；
B、今年冬天黑龙江可能会下雪，即该事件事件发生的概率不为0，不符合题意；
C、随意掷两个均匀的骰子，朝上面的点数之和不可能为18，即该事件事件发生的概率为0，符合题意；
D、一个转盘被分成6个扇形，按红、白、白、红、红、白排列，转动转盘，指针可能停在红色区域，即该事件事件发生的概率不为0，不符合题意；
故选：C．
【变式2】 天气预报称，明天全市的降水概率为，下列说法中正确的是（　　）
A．明天全市将有的地方会下雨 B．明天全市将有的时间会下雨
C．明天全市下雨的可能性较大 D．明天全市一定会下雨
【答案】C
【知识点】概率的意义理解
【分析】本题考查概率的意义，掌握生活中常用的知识点是解题的关键．下雨的降水概率指的是下雨的可能性，据此进行解题即可．
【详解】解：天气预报称，明天全市的降水概率为，则代表明天全市下雨的可能性较大，
故C说法正确，
故选：C．
【变式3】“从布袋中取出一只红球的概率是”，这句话的意思是（ ）
A．若取出一只球肯定是红球
B．取出一只红球的可能性是
C．若取出一只球肯定不是红球
D．若取出100只球中，一定有99只红球
【答案】B
【知识点】概率的意义理解
【分析】根据概率的意义即可解答．
【详解】解：∵从布袋中取出一个红球的概率为，
∴这是一个随机事件，布袋中除了有红球，还有可能有别的球，
∴布袋中取出一只红球的可能性是．
故选：B．
【点睛】本题考查了概率的意义，正确理解概率的含义是解决本题的关键．概率是反映事件发生机会的大小的概念．
考点5：用频率估计概率
典例5：箱子里有若干个红球、白球和黄球，从箱子中一次拿两个球出来．多次实验统计如下：
至少有一个球是白球的次数 13 20 35 71 107 146 288
至少有一个球是白球的频率 0.65 0.67 0.70 0.71 0.713 0.73 0.72
小明估计至少有一个球是白球的概率约是 （保留一位小数）．
【答案】0.7
【知识点】由频率估计概率
【分析】本题主要考查了用频率估计概率，大量反复实验下频率的稳定值即为概率值，据此可得答案．
【详解】解：由题意得，随着实验次数的增加，至少有一个球是白球的频率稳定在附近，
∴小明估计至少有一个球是白球的概率约是，
故答案为：．
【变式1】在一只不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球若干，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，然后把它放回袋中，不断重，如表是活动进行中的一组统计数据：
摸球的次数n n 200 300 500 800 1000
摸到白球的次数m 100 116 186 290 480 602
摸到白球的频率 0.59 0.58 0.62 0.58 0.60 0.602
任意摸出一个球，则“摸到白球”的概率约是 ．（结果精确到0.1）
【答案】0.6
【知识点】由频率估计概率
【分析】本题考查了利用频率估计概率，由于摸到白球的频率稳定在0.6左右，由此可估计摸到白球的概率为0.6．
【详解】解：随着n的值越来越大，摸到白球的频率接近0.6，
∴任意摸出一个球，则“摸到白球”的概率约是0.6．
故答案为：0.6．
【变式2】 现实生活中二维码随处可见，其中码眼用于帮助识别二维码的方向和位置．如图所示的二维码中有三个码眼，某小组同学为了解该二维码中码眼面积在二维码面积中的占比，利用计算机编程做了随机点生成实验，实验数据如下表所示，则估计“一个点生成在码眼区域”的概率是 （精确到0.01）．
在二维码内生成的点数 100 200 300 500 700 800 900 1000
在码眼区域内生成的点数 16 15 52 85 120 136 153 170
（结果保留小数点后三位） 0.160 0.175 0.173 0.170 0.171 0.170 0.170 0.170
【答案】0.17
【知识点】由频率估计概率
【分析】本题考查了利用频率估计概率．大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
【详解】解：观察表格发现：随着实验次数的增多，“一个点生成在码眼区域”的频率逐渐稳定到0.17附近，
∴估计“一个点生成在码眼区域”的概率为0.17，
故答案为：0.17．
【变式3】如图，是一个边长为的正方形及其内切圆，随机地往正方形内投一米粒，则下列说法正确的是 ．（填序号）
①若投次，有次落在圆内，则米粒落在圆内的频率为；
②若投次，有次落在圆内，则投次，米粒落在圆内的概率为；
③米粒落在圆内的概率＝；
④若投次，有次落在圆内，随着实验次数的增加，则的值接近于．
【答案】①③④
【知识点】根据数据描述求频率、几何概率、由频率估计概率
【分析】本题考查了频率估计概率，几何概率，直接根据题意得出圆的面积进而利用圆的面积除以正方形面积得出答案．
【详解】解：依题意，圆的面积为，正方形的面积为：
∴米粒落在圆内的概率为；
①若投次，有次落在圆内，则米粒落在圆内的频率为，故①正确；
②若投次，有次落在圆内，则投次，米粒落在圆内的概率为，故②错误；
③米粒落在圆内的概率＝，故③正确；
④若投次，有次落在圆内，随着实验次数的增加，则概率接近，即，
∴的值接近于，故④正确；
故答案为：①③④．
考点6：简单事件的概率
典例6：小慧购买了一些盲盒后，得到如图所示的若干张印有不同型号的歼敌机的卡片，卡片除正面图案外其余均相同．若将卡片背面朝上，从中任意抽取一张，则抽取的卡片正面图案是歼的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】根据概率公式计算概率
【分析】本题考查了根据概率公式求概率，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．
【详解】解：由题意可得：抽取的卡片正面图案是歼的概率是，
故选：A．
【变式1】如图，电路图上有3个开关和1个小灯泡，现随机闭合两个开关，小灯泡发光的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】根据概率公式计算概率
【分析】本题主要考查了简单概率计算，结合电路图进行分析时解题关键．由电路图可知，随机闭合两个开关，可有三种可能，其中能使小灯泡发光的有2种可能结果，即可获得答案．
【详解】解：由电路图可知，随机闭合两个开关，可有三种可能，
闭合开关，小灯泡发光，
闭合开关，小灯泡发光，
闭合开关，小灯泡不发光，
所以，随机闭合两个开关，小灯泡发光的概率为．
故选：C．
【变式2】 不透明袋子中装有10个球，其中有4个绿球、3个黑球、3个红球，这些球除了颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则是绿球的概率为 ．
【答案】/0.4
【知识点】根据概率公式计算概率
【分析】本题考查了概率公式的应用，熟练掌握概率公式是解题的关键．
用绿球的个数除以球的总数即可．
【详解】解：∵不透明袋子中装有10个球，其中有4个绿球、3个黑球、3个红球，这些球除颜色外无其他差别，
∴从袋子中随机取出1个球， 它是绿球的概率为．
故答案为：．
【变式3】一个箱子装有除颜色外都相同的2个白球，2个黄球，1个红球．现添加上述同种型号的1个球，使得从中随机抽取1个球，白颜色的球被抽到的可能性是 ，那么添加的球是 ．
【答案】红球或黄球/黄球或红球
【知识点】根据概率公式计算概率、根据概率作判断
【分析】用原来袋中白球的数量比上袋中小球的总数量即可算出原来从袋中随便摸出一个小球是白球的概率，将该概率与放球后抽到白色小球的概率进行比较即可得出答案．
【详解】∵，
∴原来白颜色的球被抽到的可能性是 ；
∵＞ ，
∴添加的球是红球或黄球．
故答案为：红球或黄球．
【点睛】本题考查了根据概率公式求概率，理解题意是解题的关键．
考点7：列表或树状图法求概率
典例7：如图，将甲转盘三等分，乙转盘四等分，自由转动转盘．
(1)转动甲转盘，指针指向的数字小于3的概率是____；
(2)同时自由转动两个转盘，用列举法求两个转盘指针指向的数字均为偶数的概率．
【答案】(1)
(2)
【知识点】根据概率公式计算概率、列表法或树状图法求概率
【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求出事件A或B的概率．
（1）根据甲盘中的数字，可判断求出概率；
（2）列出符合条件的所有可能，然后确定符合条件的可能，求出概率即可.
【详解】（1）解：甲转盘共有1，2，3三个数字，其中小于3的有1，2，
∴指针指向的数字小于3的概率是，
故答案为：
（2）解：树状图如下：

由树状图知，共有12种等可能情况，其中两个转盘指针指向的数字为偶数数的有2种情况，
所以两个转盘指针指向的数字均为偶数的概率．
【变式1】某商场举行“抽奖返现”有奖促销活动，顾客购买商品的金额达到100元，即可按以下方案抽奖一次；达到200元，即可抽奖两次；以此类推．
方案：从装有1个红球、1个黄球、1个蓝球（仅颜色不同）的不透明袋中随机摸出1个球．若是红球，则获得奖金5元；若是黄球，则获得奖金3元；若是蓝球，则获得奖金2元；每次兑奖后将摸出的球放回袋中．
某顾客在该商场购买商品的金额为200元，请用列表或画树状图求下列事件的概率：
(1)两次抽奖的奖金和等于10元．
(2)两次抽奖的奖金和不低于5元．
【答案】(1)
(2)
【知识点】列表法或树状图法求概率
【分析】本题主要考查了用树状图或列表法求等可能事件的概率，方法是用树状图或列表法列举出所有可能出现的结果总数，找出符合条件的结果数，用分数表示即可，注意每种情况发生的可能性相等．利用画树状图或列表的方法，得出所有可能出现的结果总数，从中找到符合条件的结果数，进而求出概率即可．
（1）利用列表法即可求解；
（2）利用列表法即可求解．
【详解】（1）解：列表为：
共有9种等可能的结果，两次抽奖的奖金和等于10元只有1种情况，
∴两次抽奖的奖金和等于10元的概率是；
（2）解：由（1）列表得两次抽奖的奖金和不低于5元
∴两次抽奖的奖金和不低于5元有8种情况，
∴两次抽奖的奖金和不低于5元的概率是．
【变式2】 从一副新扑克牌中选取三张扑克牌，牌面数字分别是3，4，5，将三张扑克牌充分洗匀，背面朝上放在桌面上．
(1)从这三张扑克牌中随机抽取一张，抽到的牌面数字是奇数的概率是______．
(2)小华与小明用这三张扑克牌做游戏，游戏规则：先从中随机抽取一张牌，将牌面数字作为十位上的数字，然后将该牌放回并洗匀，再从中随机抽取一张牌，将牌面数字作为个位上的数字，若组成的两位数是2的倍数，则小华胜；若组成的两位数是5的倍数，则小明胜．你认为这个游戏对双方公平吗？请判断并用画树状图法或列表法说明理由．
【答案】(1)
(2)这个游戏对双方公平，理由见解析
【知识点】根据概率公式计算概率、列表法或树状图法求概率
【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．
（1）根据概率公式计算即可得解；
（2）列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可．
【详解】（1）解：由题意可得：从这三张扑克牌中随机抽取一张，抽到的牌面数字是奇数的概率是；
（2）解：这个游戏对双方公平，理由如下：
列表得：
第一次第二次 3 4 5
3 33 43 53
4 34 44 54
5 35 45 55
由表格可得，共有种等可能出现的结果，其中组成的两位数是2的倍数的情况有种，组成的两位数是5的倍数的情况有种，
∴小华胜的概率为，小明胜的概率为；
∵，
∴这个游戏对双方公平．
【变式3】庆祝北京冬奥会三周年暨奥林匹克历史知识产权授权产品“冰墩墩”蛇年新春特别版“蛇墩墩”系列新品在北京发布，现场发布了五个形象的“蛇墩墩”手办，产品在设计上则采用了“五福临门”的寓意．小明收集了如图所示的五张印有“蛇墩墩”图案的卡片：．“福星蛇墩墩”，．“禄星蛇墩墩”，．“寿星蛇墩墩”，．“喜星蛇墩墩”，．“财星蛇墩墩”（除正面内容不同外，其余均相同），现将五张卡片背面朝上，洗匀放好．
(1)小明从五张卡片中随机抽取一张卡片是“福星蛇墩墩”的概率是______；
(2)小明从五张卡片中随机抽取一张卡片，不放回，记下卡片正面内容后，再将剩下四张卡片洗匀后从中随机抽取一张卡片，记下卡片正面内容，请用列表法或画树状图法，求小明两次抽取的卡片中都没有抽到“福星蛇墩墩”的概率．
【答案】(1)
(2)
【知识点】根据概率公式计算概率、列表法或树状图法求概率
【分析】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率：
（1）根据概率计算公式求解即可；
（2）先列表或画树状图得到所有等可能性的结果数，再找到两次抽取的卡片都没有抽到“福星蛇墩墩”的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
【详解】（1）解：∵一共有5张卡片，卡片上的文字是“福星蛇墩墩”的卡片有1张，且每张卡片被抽到的概率相同，
∴小明从中随机抽取一张卡片，抽取的卡片上的文字是“福星蛇墩墩”的概率为；
（2）解：画树状图下：
由树状图可知，共有20种等可能的结果，两次抽取的卡片中都没有抽到“福星蛇墩墩”的有12种，
则小明两次抽取的卡片中都没有抽到“福星蛇墩墩”的概率为．
考点8：游戏的公平性
典例8：年月日凌晨，“神舟十九号”载人飞船成功发射，这不仅是“神舟十九号”载人飞船任务的成功，更是中国航天事业雄心勃勃的豪情壮志，展现了大国崛起的力量．为激发学生弘扬爱国奋斗精神，以航天英雄为榜样，不断攀登新的科学高峰，某校举办以“相约浩瀚太空，逐梦航天强国”为主题的演讲比赛．九（）班的小希和小辰都想参加比赛，她们演讲水平相当，但名额只有一个．为了公平起见，班委决定通过转动转盘来决定人选．如图，现给出两个均分且标有数字的转盘，规则：分别转动两个转盘，将盘转出的数字作为被减数，盘转出的数字作为减数，若差为负数，则小希参加；若差为正数，则小辰参加．（若指针恰好指在分割线上，则重转，直到指针指向某一区域为止）
(1)小希转动一次盘，指针指向的数字是偶数的概率是_______．
(2)这个游戏规则对双方公平吗？请判断，并通过画树状图或列表的方法说明理由．
【答案】(1)
(2)这个游戏规则对双方公平，理由见解析
【知识点】根据概率公式计算概率、列表法或树状图法求概率、游戏的公平性
【分析】（）根据概率公式直接计算即可；
（）根据题意列表求出两个人参加的概率，比较即可判断求解；
本题考查了用树状图或列表法求概率，游戏的公平性，掌握树状图或列表法是解题的关键．
【详解】（1）解：小希转动一次盘，指针指向的数字是偶数的概率是，
故答案为：；
（2）解：这个游戏规则对双方公平，理由如下：
列表如下：
由表可得，共有等结果，其中结果为负数的有种，结果为正数的有种，
∴，，
∵，
∴这个游戏规则对双方公平．
【变式1】小明和小亮玩一个游戏：取三张大小、质地都相同的卡片，上面分别标有数字3、4、5（背面完全相同），现将标有数字的一面朝下．小明从中任意抽取一张，记下数字后放回洗匀，然后小亮从中任意抽取一张，计算小明和小亮抽得的两个数字之和．
(1)请你用画树状图或列表的方法，求出这两数和为8的概率．
(2)如果和为奇数，则小明胜；若和为偶数，则小亮胜．你认为这个游戏规则对双方公平吗？做出判断，并说明理由．
【答案】(1)
(2)这个游戏规则对双方是不公平的，理由见解析
【知识点】列表法或树状图法求概率、游戏的公平性
【分析】此题考查了列表法求概率．注意树状图与列表法可以不重不漏的表示出所有等可能的情况．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
（1）首先根据题意列表，然后根据表求得所有等可能的结果与两数和为8的情况，再利用概率公式求解即可；
（2）分别求出和为奇数、和为偶数的概率，即可得出游戏的公平性．
【详解】（1）解：列表如下：
3 4 5
3
4
5
总共有9种结果，每种结果出现的可能性相同，而两数和为8的结果有3种，
因此P（两数和为8）；
（2）这个游戏规则对双方不公平．
理由：因为P（和为奇数），P（和为偶数），
因为，
所以这个游戏规则对双方是不公平的．
【变式2】 小明、小红和小亮玩“摸牌”游戏．规则如下：将牌面数字分别为1，2，3的三张纸牌（除牌面数字外，其余都相同）背面朝上，洗匀后放在桌面上，小明先从中随机摸出一张，记下数字后放回并洗匀，小红再从中随机摸出一张．若两次摸到的数字之和大于4，则小明胜；若和小于4，则小红胜；若和等于4，则小亮获胜．
(1)小明从三张纸牌中随机摸出一张，摸到“1”的概率是______；
(2)请用列表或画树状图的方法，说明小明胜出的概率是多少？
(3)你认为这个游戏公平吗？为什么？
【答案】(1)
(2)树状图见解析，小明胜出的概率是
(3)公平，理由见解析
【知识点】根据概率公式计算概率、列表法或树状图法求概率、游戏的公平性
【分析】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求概率：
（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画出树状图得到所有符合题意的等可能性的结果数，再分别找到两次数字之和大于和小于以及等于的结果，即可求解．
（3）根据（2）的结论，即可求解．
【详解】（1）解：共有3三张纸牌，小明从三张纸牌中随机摸出一张，摸到“1”的概率是；
故答案为：．
（2）解：画树状图如图，
由树状图可知，一共有9种等可能性的结果数，其中两次摸到的数字之和大于4的结果数有3种，两次摸到的数字之和小于4有3种，和等于4，有3种，
∴小明获胜的概率为，小红获胜的概率为，小亮获胜的概率为，
（3）∵小明和小红、小亮获胜的概率都为，
∴该游戏公平．
【变式3】在学校开展的数学活动课上，小明、小红和小刚制作了一个正三棱锥(质量均匀，4个面完全相同)，并在各个面上分别标记数字1，2，3，4，游戏规则如下：小明和小刚投掷三棱锥各1次，并记录底面的数字，如果两次投掷所得底面数字相等，那么重新投掷；如果两次投掷所得底面数字的和小于5，那么小明赢；如果两次投掷所得底面数字的和等于5，那么小红赢；如果两次投掷所得底面数字的和大于5，那么小刚赢．
(1)投掷1次，底面数字出现3是 事件(填“不可能”“必然”或“随机”)；投掷两次，底面数字和为5的概率为 ．
(2)请用列表或画树状图的方法表示上述游戏中所有可能出现的结果，分别求出小明、小红和小刚赢的概率，并判断此游戏对三人是否公平．
【答案】(1)随机，
(2)此游戏对三人是公平的
【知识点】事件的分类、列表法或树状图法求概率、游戏的公平性
【分析】本题考查了游戏的公平性：判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平．也考查了列表法与树状图法．
（1）根据题意在表格内列举出所有情形，找出所有等可能的情况数，得出投掷两次，底面数字和为5的情况即可求解；
（2）根据题意列出表格，分别求出三人获胜得概率，比较即可得到游戏公平与否．
【详解】（1）解：投掷1次，底面数字出现3是随机事件；
列表如下：
1 2 3 4
1 3 4 5
2 3 5 6
3 4 5 7
4 5 6 7
从上表可知，共有12种等可能的情况，投掷两次，底面数字和为5的情况有4种，
故投掷两次，底面数字和为5的概率为，
故答案为：随机，；
（2）由（1）可知，两次投掷所得底面数字的和小于5的情况有4种，则小明赢的概率为，
两次投掷所得底面数字的和等于5的情况有4种，则小红赢的概率为，
两次投掷所得底面数字的和大于5的情况有4种，则小刚赢的概率为，
故此游戏对三人是公平的．
考点9：几何与转盘的概率
典例9：如图，一个游戏转盘中，红、黄、蓝三个扇形的圆心角度数分别为，，．让转盘自由转动，指针停止后落在蓝扇形区域的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】几何概率
【分析】本题将概率的求解设置于转动转盘游戏中，考查学生对简单几何概型的掌握情况，既避免了单纯依靠公式机械计算的做法，又体现了数学知识在现实生活、甚至娱乐中的运用，体现了数学学科的基础性．用到的知识点为：概率相应的面积与总面积之比．求出蓝色区域圆心角在整个圆中所占的比例，这个比例即为所求的概率．
【详解】解：∵蓝色扇形区域的圆心角为，
所以蓝色区域所占的面积比例为，
即转动圆盘一次，指针停在蓝色区域的概率是，
故选D．
【变式1】如图是一个游戏转盘．自由转动转盘，当转盘停止转动后，指针最大可能落在（ ）
A．紫色区域 B．红色区域 C．黄色区域 D．蓝色区域
【答案】A
【知识点】几何概率
【分析】本题考查了几何概率，根据几何概率的定义，面积越大，指针指向该区域的可能性越大，能利用图形直接得出结论是解题的关键．
【详解】解：由图可知，紫色所对的扇形面积最大，
∴指针落在的区域可能性最大的是紫色区域，
故选A．
【变式2】 小明同学根据“赵爽弦图”设计了一个如图所示的的正方形飞镖盘，小明随机投掷一次飞镖，飞镖落在阴影区域的概率为 ．
【答案】
【知识点】几何概率
【分析】此题主要考查了几何概率问题，根据概率=相应的面积与总面积之比求解即可．
【详解】解：设小正方形的边长为1，则总面积为，阴影部分的面积为
∴阴影部分的面积占总面积的，
∴飞镖落在阴影区域的概率为．
故答案为：．
【变式3】如图，一枚飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成，向游戏板随机投掷一枚飞镖，击中黑色区域的概率是 ．
【答案】
【知识点】几何概率
【分析】本题考查了几何概率：求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率，计算方法是长度比、面积比、体积比等．直接利用黑色区域的面积除以游戏板的面积即可；
【详解】解：设每个小正方形格子的长度都是1，
∴ 黑色区域的面积，游戏板的面积，
所以击中黑色区域的概率为，
故答案为：．
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