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专题01 认识三角形
（一）三角形概念
三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾依次相接所组成的图形叫做三角形。
三角形特性
三角形用符号“△”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”。
（二）三角形分类
三角形按边的关系分类如下：
三角形按角的关系分类如下：
（三）三角形稳定性
三角形具有稳定性
四边形及多边形不具有稳定性
要使多边形具有稳定性，方法是将多边形分成多个三角形，这样多边形就具有稳定性了。
（四）三角形的三边关系
三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边
（1）三角形三边长分别是a，b，c，则a＋b＞c或c－b＜a。
（2）已知三角形两边的长度分别为a，b，求第三边长度的范围：|a－b|＜c＜a＋b
（五）三角形的相关线段
（1）①高线概念：从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。
②高线性质：利用两个锐角互余（等量代换）；利用等面积法求线段长度
（2）①中线概念：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线。
②中线性质：线段中点性质求线段相等；三角形的中线可以将三角形分为面积相等的两个小三角形
（3）①角平分线概念：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线
②角平分线性质：角度相等求解角度
考点1：三角形的概念及分类
典例1：图中以为边的三角形的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【变式1】下面是用火柴棒围成的图形，其中是三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】 下列说法：①三角形按边分类可分为三边不相等的三角形、等腰三角形和等边三角形；②等边三角形是特殊的等腰三角形；③三角形按边分类可分为等腰三角形、直角三角形、锐角三角形；④有两边相等的三角形一定是等腰三角形，其中正确的是 ．（请填写序号）
【变式3】如图，图中三角形的个数为 ；以为边的三角形是 ，以为一个内角的三角形是 ；在中，的对边是 ．
考点2：三角形的稳定性
典例2：下列图形中，不是运用三角形的稳定性的是（ ）

A．屋顶支撑架 B．自行车脚架 C．伸缩门 D．旧门钉木条
【变式1】如图，某中学的电动伸缩校门利用的数学原理是（　　）

A．三角形的稳定性 B．两点之间，线段最短
C．三角形两边之和大于第三边 D．四边形的不稳定性
【变式2】 如图所示，要使一个六边形木架在同一平面内不变形，至少还要再钉上 根木条．
【变式3】下列图中哪些具有稳定性？ ．
考点3：三角形的三边关系
典例3：下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）
A．，， B．，， C．，， D．，，
【变式1】用四根长度分别为，，，的小木棒摆三角形，那么所摆成的三角形的周长不可能是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】 如图，在中，有 （填“”“”或“”），理由是 ，这个结论是由基本事实 得到的．
【变式3】已知等腰三角形的两条边长分别是8和3，则此等腰三角形的周长是 ．
考点4：三角形的三边关系的应用
典例4：在平面内，将长度分别为1，3，1，d的四条线段，首尾顺次相接组成一个凸四边形，如图所示，则d的值可能是（ ）
A．1 B．3 C．5 D．6
【变式1】如图，为了估计一池塘岸边两点A，B之间的距离，小颖同学在池塘一侧选取了一点P，测得，，那么点A与点B之间的距离可能是（　　）

A． B． C． D．
【变式2】 已知三角形两边长分别为6和3，第三边的长是整数，这个三角形周长的最小值是 .
【变式3】已知一个三角形的三条边长分别为．
（）当时， 三角形的三边关系；当时， 三角形的三边关系；当时， 三角形的三边关系．（填“符合”或“不符合”）
（）根据三角形的三边关系，写出的取值范围： ．
考点5：三角形的相关线段——中线、高线、角平分线
典例5：如图，在三角形中，，为的中点，延长交于．为上的一点，于．下列判断正确的有（ ）
（1）是三角形的角平分线．
（2）是三角形边上的中线．
（3）为三角形边上的高．
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
【变式1】如图，在中，，为的中点，连接并延长交于点，过点作于点，延长交于点．下面说法错误的是（ ）
A．是的角平分线 B．是的高
C．是的高 D．是的中线
【变式2】 在画三角形的三条重要线段：角平分线、中线和高线时，不一定画在三角形内部的是 .
【变式3】如图，中，，，，，垂足分别为、、，则线段 是中边上的高．
考点6：三角形中线的应用——面积
典例6：如图，在中，是边上的中线，E是的中点，连接，若的面积为，则阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．条件不足，无法求出
【变式1】如图，在中，已知点，，分别为边、、的中点，且，则阴影部分三角形的面积为（ ）

A． B． C． D．
【变式2】 如图，已知△ABC三条中线相交于点O，则△ABO与△DBO的面积之比为
【变式3】如图，在中，是边上的中线，是的边上的中线，若的面积是48，则的面积是 ．
考点7：三角形角平分线的应用——求角
典例7：如图，将沿折叠，使点C落在边上的点D处，且恰好是的角平分线，若，则（ ）

A． B． C． D．
【变式1】如图，是的角平分线，是的角平分线，与交于点，角，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】 如图，在中，，、、分别平分的外角、内角和外角．下列结论正确的是： ．（只填序号）①；②；③．
【变式3】如图，在中，，平分交于点，点为的延长线上一点，过点作于点，若，则 ．
考点8：三角形高线的应用——求角
典例8：如图所示，在中，，是两条高，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点．下面说法中：①：②；③；④．正确的是（ ）
A．①②③④ B．①②④ C．①②③ D．③④
【变式2】 如图，、分别是的高和角平分线，已知，，则 度．
【变式3】如图，在中，是边上的高，是的平分线，若，，则 ．
考点9：三角形高线的应用——求线段
典例9：如图，在中，过点作于点，过点作于点，若，则的高与的比是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】如图，，是的两条高，，，，则的长为（　　）

A． B． C． D．
【变式2】 ．如图，在中，是高，是中线，，，则的长为 ．
【变式3】如图，在中，，，，边上的高，则的长为 ．
考点10：利用网格图求三角形面积
典例10：如图，方格纸中小正方形的边长为1，A，B两点在格点上，请在图中格点上找到点C，使得的面积为2．满足条件的点C有（　　）个．
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【变式1】如图，在正方形网格中，每个小正方形的面积为1，点在格点上，在格点取一点C，使得的面积等于1的点个数有（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
【变式2】 如图，网格中的小正方形的边长均为2，小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点都在格点上，则的面积为 ．
【变式3】如图，在的网格中，每个小正方形的边长为，点，，均在格点上，是与网格线的交点，则的长为 ．
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专题01 认识三角形
（一）三角形概念
三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾依次相接所组成的图形叫做三角形。
三角形特性
三角形用符号“△”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”。
（二）三角形分类
三角形按边的关系分类如下：
三角形按角的关系分类如下：
（三）三角形稳定性
三角形具有稳定性
四边形及多边形不具有稳定性
要使多边形具有稳定性，方法是将多边形分成多个三角形，这样多边形就具有稳定性了。
（四）三角形的三边关系
三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边
（1）三角形三边长分别是a，b，c，则a＋b＞c或c－b＜a。
（2）已知三角形两边的长度分别为a，b，求第三边长度的范围：|a－b|＜c＜a＋b
（五）三角形的相关线段
（1）①高线概念：从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。
②高线性质：利用两个锐角互余（等量代换）；利用等面积法求线段长度
（2）①中线概念：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线。
②中线性质：线段中点性质求线段相等；三角形的中线可以将三角形分为面积相等的两个小三角形
（3）①角平分线概念：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线
②角平分线性质：角度相等求解角度
考点1：三角形的概念及分类
典例1：图中以为边的三角形的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【知识点】三角形的识别与有关概念、三角形的个数问题
【分析】此题主要考查了三角形．关键是掌握三角形的定义，由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．
由D、E、C三点分别与端点相连，可构成3个三角形，
【详解】解：图中以为边的三角形有：，，．共有3个．
故选：B．
【变式1】下面是用火柴棒围成的图形，其中是三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】三角形的识别与有关概念
【分析】本题考查三角形的定义，根据不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接得到的封闭图形是三角形解题即可．
【详解】解：首尾顺次相接得到三角形的是B选项，
故选：B．
【变式2】 下列说法：①三角形按边分类可分为三边不相等的三角形、等腰三角形和等边三角形；②等边三角形是特殊的等腰三角形；③三角形按边分类可分为等腰三角形、直角三角形、锐角三角形；④有两边相等的三角形一定是等腰三角形，其中正确的是 ．（请填写序号）
【答案】②④/④②
【知识点】三角形的分类
【分析】本题考查了三角形的分类，以及等腰三角形和等边三角形的关系．理解等边三角形是特殊的等腰三角形，但等腰三角形不一定是等边三角形是解题的关键．
根据三角形的分类方法逐项判断即可；
【详解】解：①因为等边三角形是特殊的等腰三角形，应归类于等腰三角形，故原说法错误；
②等边三角形是特殊的等腰三角形，原说法正确；
③三角形按角分类可分为钝角三角形、直角三角形、锐角三角形，按照边分类可分为三边不相等的三角形、等腰三角形，故原说法错误；
④有两边相等的三角形一定是等腰三角形，该说法正确．
综上所述：说法正确的有②④．
答案为：②④．
【变式3】如图，图中三角形的个数为 ；以为边的三角形是 ，以为一个内角的三角形是 ；在中，的对边是 ．
【答案】 ，， ，，
【知识点】三角形的识别与有关概念
【分析】此题主要考查了三角形，关键是掌握三角形的相关概念．
根据三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形可得图中三角形的个数；根据组成三角形的线段叫做三角形的边；根据相邻两边组成的角叫做三角形的内角进行分析．
【详解】图中的三角形有、、、、、，共个；以为边的三角形有、、，以为一个内角的三角形是、、；中的对边是
故答案为：；；；．
考点2：三角形的稳定性
典例2：下列图形中，不是运用三角形的稳定性的是（ ）

A．屋顶支撑架 B．自行车脚架 C．伸缩门 D．旧门钉木条
【答案】C
【知识点】三角形的稳定性及应用、四边形的不稳定性
【分析】本题考查了三角形的稳定性在实际生活中的应用，利用三角形的稳定性进行解答即可，解题的关键是分析能否在同平面内组成三角形．
【详解】解：C选项中伸缩门是利用了四边形的不稳定性，A、B、D选项中都是利用了三角形的稳定性，
故选：C．
【变式1】如图，某中学的电动伸缩校门利用的数学原理是（　　）

A．三角形的稳定性 B．两点之间，线段最短
C．三角形两边之和大于第三边 D．四边形的不稳定性
【答案】D
【知识点】四边形的不稳定性
【分析】根据电动伸缩门的工作原理，结合四边形的不稳定性即可得到答案．
【详解】解：∵电动伸缩门的整体形状为四边形，且电动伸缩门的长度可以伸长和变短，
∴利用的是四边形的不稳定性，
故选D．
【点睛】本题考查四边形的性质，熟练掌握四边形的相关知识的解本题的关键．
【变式2】 如图所示，要使一个六边形木架在同一平面内不变形，至少还要再钉上 根木条．
【答案】3
【知识点】三角形的稳定性及应用
【分析】根据三角形的稳定性，要使六边形木架在同一平面内不变形，只要把六边形木架变成几个不重叠的三角形即可．
【详解】如图，过左上角的A点分别钉三根木条AB、AC、AD即可把六边形木架变成三个不重叠的三角形．
故答案为3．
【点睛】本题考查三角形的稳定性，通过多观察、多思考、多练习熟练掌握三角形稳定性的应用是解题关键．
【变式3】下列图中哪些具有稳定性？ ．
【答案】(1)(6)
【知识点】三角形的稳定性及应用、四边形的不稳定性
【分析】根据三角形具有稳定性，只要图形分割成了三角形，则具有稳定性．
【详解】解：根据三角形具有稳定性，只要图形分割成了三角形，则具有稳定性．
显然具有稳定性的有：(1)(6)
故答案为(1)(6).
【点睛】考查了三角形的稳定性及多边形的知识，注意根据三角形的稳定性进行判断．
考点3：三角形的三边关系
典例3：下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）
A．，， B．，， C．，， D．，，
【答案】C
【知识点】构成三角形的条件
【分析】本题主要考查了三角形三边关系的应用，三角形任意一边大于其余两边之差，小于其余两边之和，满足此关系则可组成三角形，据此进一步判断即可．
【详解】解：A．，不能组成三角形，故该选项不正确，不符合题意；
B．，不能组成三角形，故该选项不正确，不符合题意；
C．，能组成三角形，故该选项正确，符合题意；
D．，不能组成三角形，故该选项不正确，不符合题意；
故选：C．
【变式1】用四根长度分别为，，，的小木棒摆三角形，那么所摆成的三角形的周长不可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】构成三角形的条件
【分析】本题主要考查了三角形的三边关系等知识点，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键．根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”即可解答．
【详解】解：当三角形三边长分别为：时，
∵，能构成三角形，周长，
当三角形三边长分别为：时，
∵，能构成三角形，周长，
当三角形三边长分别为：时，
∵，能构成三角形，周长，
当三角形三边长分别为：时，
∵，不能构成三角形，
∴所摆成的三角形的周长不可能是．
故选：B．
【变式2】 如图，在中，有 （填“”“”或“”），理由是 ，这个结论是由基本事实 得到的．
【答案】 三角形的任意两边之和大于第三边 两点之间线段最短
【知识点】两点之间线段最短、构成三角形的条件
【分析】本题考查了三角形三边关系及两点之间线段最短，是基础题型，比较简单．根据三角形的三边关系及两点之间，线段最短作答．
【详解】解：如图，在中，有（填“>”“<”或“=”），理由是三角形的任意两边之和大于第三边，这个结论是由基本事实两点之间线段最短得到的．．
故答案为：；三角形的任意两边之和大于第三边；两点之间线段最短．
【变式3】已知等腰三角形的两条边长分别是8和3，则此等腰三角形的周长是 ．
【答案】
【知识点】等腰三角形的定义、构成三角形的条件
【分析】将8和3分别作为腰分类讨论即可．
【详解】解：当8为腰时，三边为：8，8，3，
则周长为，
当3为腰时，三边为：8，3，3，
根据三角形三边关系：，
故不能构成三角形．
故答案为：
【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，相关知识点有：三角形三边关系，准确分类讨论是解题关键．
考点4：三角形的三边关系的应用
典例4：在平面内，将长度分别为1，3，1，d的四条线段，首尾顺次相接组成一个凸四边形，如图所示，则d的值可能是（ ）
A．1 B．3 C．5 D．6
【答案】B
【知识点】确定第三边的取值范围
【分析】本题考查了三角形的三边关系定理．如图，设这个凸四边形为，连接，并设，先在中，根据三角形的三边关系定理可得，再在中，根据三角形的三边关系定理可得，即从而可得，据此即可解答．
【详解】解：如图，设这个凸四边形为，连接，并设，
在中，，即，
在中，，即，
所以．
观察四个选项可知，只有选项B符合．
故选：B．
【变式1】如图，为了估计一池塘岸边两点A，B之间的距离，小颖同学在池塘一侧选取了一点P，测得，，那么点A与点B之间的距离可能是（　　）

A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】确定第三边的取值范围
【分析】根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边可以确定的取值范围，从而可以解答本题．
【详解】解：∵在中，，，
∴，
∴，
故点A与点B之间的距离可能是．
故选：B．
【点睛】本题考查三角形三边关系，解题的关键是明确三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．
【变式2】 已知三角形两边长分别为6和3，第三边的长是整数，这个三角形周长的最小值是 .
【答案】13
【知识点】确定第三边的取值范围
【分析】本题考查三角形的三边关系，正确得出第三边的取值范围是解答的关键．根据三角形三边关系求出第三边的取值，即可求解
【详解】解：设第三边长为，
∴，
∵第三边为整数，
∴最小整数为，
∴ 周长最小为，
故答案为：．
【变式3】已知一个三角形的三条边长分别为．
（）当时， 三角形的三边关系；当时， 三角形的三边关系；当时， 三角形的三边关系．（填“符合”或“不符合”）
（）根据三角形的三边关系，写出的取值范围： ．
【答案】 不符合 符合 不符合
【知识点】确定第三边的取值范围、三角形三边关系的应用
【分析】（）根据三角形的三边关系即可判断求解；
（）根据三角形的三边关系即可求解；
本题考查了三角形的三边关系，掌握三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键．
【详解】解：（）当时，不符合三角形的三边关系；当时，符合三角形的三边关系；当时，不符合三角形的三边关系，
故答案为：不符合；符合；不符合；
（）由三角形的三边关系得，，
即，
故答案为：．
考点5：三角形的相关线段——中线、高线、角平分线
典例5：如图，在三角形中，，为的中点，延长交于．为上的一点，于．下列判断正确的有（ ）
（1）是三角形的角平分线．
（2）是三角形边上的中线．
（3）为三角形边上的高．
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
【答案】A
【知识点】与三角形的高有关的计算问题、根据三角形中线求长度、三角形角平分线的定义
【分析】本题考查了三角形的高，中线，角平分线的定义，根据三角形的角平分线、三角形的中线、三角形的高的概念进行判断．连接三角形的顶点和对边中点的线段即为三角形的中线；三角形的一个角的角平分线和对边相交，顶点和交点间的线段叫三角形的角平分线；从三角形的一个顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段叫三角形的高．
【详解】解：①根据三角形的角平分线的概念，知是三角形的角平分线，是三角形的角平分线，故此判断错误；
②根据三角形的中线的概念，知是三角形边上的中线，故此判断错误；
③根据三角形的高的概念，此判断正确．
故选：A．
【变式1】如图，在中，，为的中点，连接并延长交于点，过点作于点，延长交于点．下面说法错误的是（ ）
A．是的角平分线 B．是的高
C．是的高 D．是的中线
【答案】D
【知识点】与三角形的高有关的计算问题、根据三角形中线求长度、三角形角平分线的定义
【分析】根据三角形的角平分线、中线和高的定义判断即可．本题考查的是三角形的角平分线、中线和高，熟记它们的定义是解题的关键．
【详解】解：A、，
是的角平分线，本选项说法正确，不符合题意；
B、，
是的边上的高线，本选项说法正确，不符合题意；
C、，，
是的角平分线和高线，本选项说法正确，不符合题意；
D、为的中点，
是的边上的中线，故本选项说法错误，符合题意；
故选：D．
【变式2】 在画三角形的三条重要线段：角平分线、中线和高线时，不一定画在三角形内部的是 .
【答案】高线
【知识点】画三角形的高、三角形角平分线的定义
【分析】根据三角形的角平分线、中线和高的定义求解．
【详解】解：三角形的角平分线和中线都在三角形内部，
而锐角三角形的三条高在三角形内部，
直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，
钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部．
故答案为：高线．
【点睛】考查了三角形的角平分线、中线和高：三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段．锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点．
【变式3】如图，中，，，，，垂足分别为、、，则线段 是中边上的高．
【答案】/
【知识点】画三角形的高
【分析】本题考查了三角形的高，熟练掌握三角形的高的定义是解题的关键．
根据过三角形的一个顶点向对边引垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线作答即可．
【详解】解：∵，
∴线段是中边上的高，
故答案为：．
考点6：三角形中线的应用——面积
典例6：如图，在中，是边上的中线，E是的中点，连接，若的面积为，则阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．条件不足，无法求出
【答案】B
【知识点】根据三角形中线求面积
【分析】本题考查了三角形的中线性质，掌握三角形的中线把三角形的面积分成相等的两个部分是解题的关键．根据三角形中线，可以知道，，从而计算出答案．
【详解】解：∵是边上的中线，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵是的中点，
，
，
，
故选：B．
【变式1】如图，在中，已知点，，分别为边、、的中点，且，则阴影部分三角形的面积为（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】根据三角形中线求面积
【分析】本题考查三角形的中线以及三角形的面积，熟记三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形是解答本题的关键．
根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答即可．
【详解】解：是的中点，
，，
，
即，
是的中点，
，
阴影部分的面积等于，
故选：A．
【变式2】 如图，已知△ABC三条中线相交于点O，则△ABO与△DBO的面积之比为
【答案】
【知识点】重心的有关性质、重心的概念
【分析】根据三角形的重心性质得，过点B作交AD的延长线与点G，则BG是和的高，根据三角形的面积公式即可得．
【详解】解：由题可知，点O是的重心，
∴，
如图所示，过点B作交AD的延长线与点G，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形的重心及重心性质，解题的关键是掌握这些知识点．
【变式3】如图，在中，是边上的中线，是的边上的中线，若的面积是48，则的面积是 ．
【答案】12
【知识点】根据三角形中线求面积
【分析】本题主要考查了三角形面积的求法，三角形中线的性质等知识点，根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分，求出面积比，即可解答，掌握三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分是解答本题的关键．
【详解】解：∵在中，是上的中线，
根据中线的性质可得：，
同理，
∴，
∵的面积是48，
∴，
故答案为：12．
考点7：三角形角平分线的应用——求角
典例7：如图，将沿折叠，使点C落在边上的点D处，且恰好是的角平分线，若，则（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理的应用、折叠问题、三角形角平分线的定义
【分析】本题考查了折叠问题，角平分线，三角形内角和定理，解题的关键是利用折叠的性质和角平分线的定义求出．
【详解】解：将沿折叠，使点C落在边上的点D处，
则共线，和全等，
，
恰好是的角平分线，
，
，
若，
，
则，
故选：C．
【变式1】如图，是的角平分线，是的角平分线，与交于点，角，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理的应用、三角形角平分线的定义
【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义和应用，熟练掌握三角形内角和定理和角平分线的定义是解题的关键．
连接，根据题意得到，，进而得出，得到，根据三角形内角和定理计算即可得到答案．
【详解】解：如图，连接，
是的角平分线，是的角平分线，
，，
，
，
，
，
，
，
，
故选：C ．
【变式2】 如图，在中，，、、分别平分的外角、内角和外角．下列结论正确的是： ．（只填序号）①；②；③．
【答案】①②
【知识点】三角形的外角的定义及性质、与平行线有关的三角形内角和问题、三角形角平分线的定义
【分析】本题考查了与平行线有关的角平分线的计算，涉及了三角形的外角定理，根据，即可判断①；根据 即可判断②；根据，、，即可判断③；
【详解】解：∵， ，平分
∴
∴，故①正确；
∵
∴
∵平分，平分
∴
∴
∵
∴，故②正确；
∵，
∴，
∵，
∴，
∵
∴，故③错误；
故答案为：①②
【变式3】如图，在中，，平分交于点，点为的延长线上一点，过点作于点，若，则 ．
【答案】/20度
【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用、三角形角平分线的定义
【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质，根据三角形内角和定理求出的度数，再根据角平分线的定义求出的度数，再根据三角形外角的性质求出的度数，最后根据直角三角形两锐角互余即可求出的度数．
【详解】解：，，
，
，
平分，
，
是的一个外角，
，
，
，
，
故答案为：．
考点8：三角形高线的应用——求角
典例8：如图所示，在中，，是两条高，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】与三角形的高有关的计算问题、直角三角形的两个锐角互余、三角形的外角的定义及性质
【分析】本题考查了三角形的高的定义，直角三角形两个锐角互余，三角形的外角的性质，掌握以上知识是解题的关键．根据直角三角形中的两个锐角互余求得：，根据三角形的外角性质可得，即可求解．
【详解】解： 在中，，是两条高，，
，，
，
故选：C．
【变式1】如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点．下面说法中：①：②；③；④．正确的是（ ）
A．①②③④ B．①②④ C．①②③ D．③④
【答案】C
【知识点】与三角形的高有关的计算问题、根据三角形中线求面积、三角形的外角的定义及性质、三角形角平分线的定义
【分析】本题主要考查三角形的中线，高线，角平分线，灵活运用三角形的中线，高线，角平分线的性质是解题的关键．
根据三角形中线的性质可证明①；根据三角形的高线可得，利用三角形外角的性质结合角平分线的定义可求解，可判定②；根据角平分线的定义可求解③；根据已知条件无法判定④．
【详解】解：∵是的中线，
∴，
∴，故①正确；
∵是的高线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵为的角平分线，
∴，
∵，，
∴，故②正确；
∵，
∴，
∴，故③正确；
根据已知条件无法证明，故④错误，
综上所述，正确的是①②③．
故选：C．
【变式2】 如图，、分别是的高和角平分线，已知，，则 度．
【答案】20
【知识点】与三角形的高有关的计算问题、与角平分线有关的三角形内角和问题
【分析】本题主要考查了角平分线，三角形高的定义和三角形的内角和定理，解题的关键是掌握以上知识点．
根据角平分线的定义和高的定义结合三角形的内角和定理来解答．
【详解】解：∵，
，
又∵是的平分线，
，
又∵是的高线，
，
在中，，
于是．
故答案为：20．
【变式3】如图，在中，是边上的高，是的平分线，若，，则 ．
【答案】
【知识点】角平分线的有关计算、与三角形的高有关的计算问题、三角形内角和定理的应用
【分析】本题考查了三角形的内角和定理，直角三角形的特征；由三角形的内角和定理 ，由角平分线得，由三角形内角和及直角三角形的特征即可求解；掌握三角形内角和定理，直角三角形的特征是解题的关键．
【详解】解：
，
是的平分线，
，
，
是边上的高，
，
，
故答案：．
考点9：三角形高线的应用——求线段
典例9：如图，在中，过点作于点，过点作于点，若，则的高与的比是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】与三角形的高有关的计算问题
【分析】本题主要考查与高有关的计算，根据等积关系求解即可．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴，
故选：A．
【变式1】如图，，是的两条高，，，，则的长为（　　）

A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】与三角形的高有关的计算问题
【分析】本题考查了三角形的面积．要求高长，只需分别以和为底边，利用面积相等即可求解．
【详解】解： ，，
，
，
，
，
故选：A．
【变式2】 ．如图，在中，是高，是中线，，，则的长为 ．
【答案】3
【知识点】与三角形的高有关的计算问题
【分析】本题考查了三角形的高线和中线的意义，根据和求出，根据是中线即可求解．
【详解】
∵是中线
故答案为：3
【变式3】如图，在中，，，，边上的高，则的长为 ．
【答案】
【知识点】与三角形的高有关的计算问题
【分析】本题考查了与三角形的高有关的计算问题，先算出，因为边上的高，所以，解出，即可作答．
【详解】解： ∵，，，
∴
∵边上的高，
∴，
解得．
故答案为：10．
考点10：利用网格图求三角形面积
典例10：如图，方格纸中小正方形的边长为1，A，B两点在格点上，请在图中格点上找到点C，使得的面积为2．满足条件的点C有（　　）个．
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】D
【知识点】利用网格求三角形面积
【分析】本题主要考查了三角形的面积，熟练掌握三角形的面积是解题的关键．利用面积公式找到其中一个，做平行线即可得到所有满足的点．
【详解】解：根据题意画出，
满足条件的格点6个，
故选D．
【变式1】如图，在正方形网格中，每个小正方形的面积为1，点在格点上，在格点取一点C，使得的面积等于1的点个数有（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【知识点】利用网格求三角形面积
【分析】本题主要考查了三角形的面积问题，能够结合图形进行求解．以为腰可得出4个等腰直角三角形，其面积为1，又有两个钝角三角形，其面积也为1，故满足条件的点共有6个．
【详解】如图，以为腰可得出4个等腰直角三角形，其面积为1，又有两个钝角三角形，其面积也为1，故满足条件的点共有6个．
这样的点共有6个．
故选：C．
【变式2】 如图，网格中的小正方形的边长均为2，小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点都在格点上，则的面积为 ．
【答案】
【知识点】利用网格求三角形面积
【分析】此题考查了网格中求三角形的面积，利用网格的特点进行解答即可．
【详解】解：根据网格特点可知，交的延长线于点D，
∵
∴的面积，
故答案为：
【变式3】如图，在的网格中，每个小正方形的边长为，点，，均在格点上，是与网格线的交点，则的长为 ．
【答案】/
【知识点】与三角形的高有关的计算问题、利用网格求三角形面积
【分析】本题考查网格中的三角形的面积，熟练掌握网格中三角形的面积求法和分割法求解三角形面积是解题的关键．利用网格求出的面积，再利用即可求解．
【详解】解：由图可得的面积为，
由，
则，
解得：，
故答案为：．
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