资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
专题02 简单的轴对称图形
（一）等腰三角形
（1）等腰三角形性质：
①等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）
②等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。（三线合一）
（2）等腰三角形的判定：
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）.
（二）等边三角形
（1）等边三角形性质
①等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60
②在直角三角形中，如果一个锐角等于30 ，那么它所对的直角边等于斜边的一半
（2）等边三角形判定
①三个角都相等的三角形是等边三角形。
②有一个角是60 的等腰三角形是等边三角形。
（三）垂直平分线的性质
（1）概念：经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（或线段的中垂线）
（2）性质：线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；
（3）判定：与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
（四）尺规作垂直平分线
（1）过一点作已知线段的垂线
求作：AB的垂线，使它经过点C
作法：①以点C为圆心，大于到线段距离为半径作弧，交AB与点D、E。
②分别以点D、E为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点F。
③作直线CF，CF即为所求的直线
（2）作已知线段的垂直平分线
作法：①以A为圆心大于长为半径作弧，以B为圆心大于长为半径作弧,两弧交于C、D两点
②连接CD，即为所求
（五）角平分线的性质
（1）概念：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线。
（2）角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等；
数学语言：
∵∠MOP=∠NOP，PA⊥OM PB⊥ON
∴PA=PB
（六）尺规作角平分线
作法：①在OA和OB上分别截取OD、OE，使OD=OE。
②分别以D、E为圆心，以大于DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点C
③作射线OC，则OC就是∠AOB的平分线
考点1：等腰三角形的对称轴
典例1：等腰三角形的对称轴是（　　）
A．底边上的高所在的直线 B．底边上的高
C．底边上的中线 D．顶角平分线
【答案】A
【知识点】画对称轴、三线合一
【分析】根据轴对称的性质、等腰三角形的性质得出即可．
【详解】解：等腰三角形的对称轴是底边的垂直平分线，
故选．
【点睛】本题考查了轴对称性质的应用，能熟记轴对称的性质是解此题的关键，注意：对称轴是一条直线．
【变式1】等腰三角形的对称轴，最多可以有( )
A．1条 B．3条 C．6条 D．无数条
【答案】B
【知识点】求对称轴条数
【详解】一般等腰三角形有一条，即底边上的中线所在直线；若是特殊的等腰三角形即等边三角形，则有三条，即每条边上的中线所在直线．
故选：B．
【变式2】 下列命题中：①直角三角形是轴对称图形；②等腰三角形的对称轴是底边上的中线；③等边三角形一边上的高就是这边的垂直平分线； ④一条线段只有一条对称轴．不正确的有 ．
【答案】①②③④
【知识点】画对称轴、判断命题真假
【分析】根据轴对称图形的定义解答即可．
【详解】①等腰直角三角形是轴对称图形，故不正确；
②等腰三角形的对称轴是底边上的中线所在的直线，故不正确；
③等边三角形一边上的高所在的直线就是这边的垂直平分线，故不正确；
④一条线段有两条对称轴，故不正确．
故答案为：①②③④．
【点睛】此题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的定义、性质定理及判定定理．
【变式3】下列说法：①全等的两个三角形一定成轴对称；②等腰三角形最少有1条对称轴，最多有3条对称轴；③成轴对称的两个图形一定全等；④任意两条相交直线都组成一个轴对称图形．其中正确的有 ．（填序号）
【答案】②③④
【知识点】等腰三角形的定义、求对称轴条数、全等三角形的性质
【分析】根据全等三角形、等腰三角形、轴对称的性质，对各个选项逐个分析，即可得到答案．
【详解】①全等的两个三角形，不一定构成轴对称的条件，故①不正确；
②等腰三角形最少有1条对称轴，当等腰三角形的三边相等时，有3条对称轴，故②正确；
③成轴对称的两个图形一定全等，故③正确；
④任意两条相交直线都组成一个轴对称图形，故④正确
故答案为：②③④．
【点睛】本题考查了轴对称、全等三角形、等腰三角形的知识；解题的关键是熟练掌握轴对称的性质，从而完成求解．
考点2：等边对等角的性质应用
典例2：如图，中，，，点在线段上，且满足．则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角
【分析】本题考查了等边对等角，三角形内角和，解题的关键是掌握以上知识点．
首先根据等边对等角得到，然后利用三角形内角和定理得到，然后根据等边对等角得到，进而求解即可．
【详解】∵中，，，
∴
∴
∵
∴
∴．
故选：C．
【变式1】如图，中，是边上一点，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用、等边对等角
【分析】本题考查了等腰三角形的性质：①等腰三角形的两腰相等；②等腰三角形的两个底角相等，也考查了三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
设，然后根据，，表示出和的度数，最后根据三角形的内角和定理即可求解．
【详解】解：∵，
∴，．
设，
∴．
∵，
∴，
在中，
∵，
∴，
∴，
∴．
故选D．
【变式2】 如图，在中，，，平分，点是射线上一点，如果是以为腰的等腰三角形，那么的度数是 ．
【答案】或
【知识点】等边对等角、三角形内角和定理的应用
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是能够分类讨论，难度不是很大，是常考的题目之一．根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出，再分两种情况进行讨论：①；②，分别求出结果即可．
【详解】解：在中，，，
，
∵平分，
∴；
分两种情况：
①当时，；
②当时，．
综上所述，的度数为或．
【变式3】如图，在△ABC中，AC＝AE，BC＝BD，则∠ACB与∠DCE满足的关系式是 ．
【答案】∠ACB+2∠DCE=180°
【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角
【分析】根据此题的条件，找出等腰三角形，找出相等的边与角度，设出未知量，找出满足条件的方程．
【详解】解：∵AC=AE，BC=BD，
∴设∠AEC=∠ACE=x，∠BDC=∠BCD=y，
∴∠A=180°-2x°，∠B=180°-2y°，
∵∠ACB+∠A+∠B=180°，
∴∠ACB +（180-2x）+（180°-2y）=180°，即∠ACB +360°-2（x+y）=180°，
∵∠DCE=180°-∠BDC-∠AEC=180°-（x+y），
∴∠ACB+2∠DCE=180°．
故答案为：∠ACB+2∠DCE=180°．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，以及等腰三角形的性质，等腰三角形的性质可以解决三角形的边角相等问题，特别注意其中的转化意识对学生分析和解决问题能力的提高有非常重要的价值．熟练掌握等腰三角形的性质是解本题的关键．
考点3：“三线合一”应用
典例3：如图，在四边形中，，连接，延长、交于点E，．
(1)求证：；
(2)若，，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、三线合一
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质；
（1）根据直接证明，根据全等三角形的性质，即可得证；
（2）根据等腰三角形的性质得出，进而根据（1）的结论，即可求解．
【详解】（1）证明：在中，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
又∵，，
∴．
【变式1】如图，在中，，点在上，且点在的垂直平分线上，连接．
(1)若，求的周长；
(2)分别过点作于、于，若，，求的长．
【答案】(1)
(2)
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、线段垂直平分线的性质、三线合一
【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，等腰三角形三线合一，垂直平分线的性质．
（1）根据垂直平分线的性质得到，由的周长为即可解答；
（2）先证明，推出，求出，再根据等腰三角形三线合一求出，由即可解答．
【详解】（1）解：点在的垂直平分线上，
∴，
∴的周长为，
∵，
∴的周长为；
（2）解：∵、，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
【变式2】 如图1，中，，，E为AB的中点，连接CE，过点A作于点D，交于点F．
(1)求的度数；
(2)求证：；
(3)如图2，等腰直角中，，，CD平分，交AB于点D，于点E，若，求的面积．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)4
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、三线合一
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质．
（1）根据等腰三角形的性质可得，，再由，即可求解；
（2）根据题意可得为等腰直角三角形，从而得到，可证明，从而得到，即可求证；
（3）分别延长，，相交于点F，由（2）得，，从而得到，再根据三角形的面积公式计算，即可求解．
【详解】（1）解：，为的中点，
，，
，
，
，，
，
而，
；
（2）证明：，，
为等腰直角三角形，
，
又，，
，
．
为的中点，
，
．
（3）解：如图，分别延长，，相交于点F，
由（2）得，，
，
，
，
的面积为．
【变式3】如图，在中，，是边上的中线，的垂直平分线分别交、、于点、、，连接，．

(1)试说明：；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【知识点】三角形内角和定理的应用、线段垂直平分线的性质、等边对等角、三线合一
【分析】（1）根据等腰三角形的三线合一性质，结合线段的垂直平分线性质证明；
（2）根据等腰三角形的三线合一性质，等腰三角形中等边对等角原理，直角三角形的性质和三角形内角和定理计算．
【详解】（1）因为，点是的中点，
所以，所以是的垂直平分线，
所以，
因为是的垂直平分线，所以，
所以；
（2）因为，点是的中点，
所以平分，
因为，所以，
所以，
因为，所以，
所以，
所以，
因为，所以，
所以．
【点睛】本题考查了等腰三角形三线合一性质，线段垂直平分线性质，直角三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键．
考点4：等边三角形性质
典例4：下面关于等边三角形的说法中，不正确的是（ ）
A．等边三角形的三边都相等 B．等边三角形的三个内角都是
C．等边三角形有三条对称轴 D．等腰三角形具有等边三角形的性质
【答案】D
【知识点】等边三角形的性质
【分析】本题主要考查等腰三角形，等边三角形的性质及联系；根据等边三角形，等腰三角形的性质进行解答即可．
【详解】解：等边三角形是特殊的等腰三角形，等边三角形具有等腰三角形的性质，D选项错误；符合题意．
其他选项均正确．
故选：D．
【变式1】如图，是等边三角形，点为右侧一点，连接、、，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角、等边三角形的性质
【分析】本题考查了等边三角形的性质及等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，根据题意可得，由，推出，利用三角形内角和定理求出，进而求出，结合等腰三角形的性质即可解答．
【详解】解：∵是等边三角形，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：A．
【变式2】 如图，在等边边上取、两点，沿折叠，使点落在边上的点的位置，若，则 ．
【答案】
【知识点】三角形折叠中的角度问题、等边三角形的性质
【分析】本题考查等边三角形的性质、直角三角形的性质、三角形的内角和定理和折叠的性质，熟练运用这些知识是解题关键．由等边三角形的性质可得，由直角三角形的性质可得，由折叠的性质可得，由三角形的内角和定理可求出．
【详解】∵是等边三角形，
∴．
∵，
∴．
∴在中，．
∵沿着折叠至，
∴，
∴．
故答案为：
【变式3】如图，和均是等边三角形，分别与交于点M、N，有如下结论：①；②；③其中，正确结论的是 ．
【答案】①②/②①
【知识点】灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合）、等边三角形的性质
【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质是解题的关键．
利用等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，证明即可．
【详解】∵和均是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，故①正确；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，故②正确；
∵，
∴，
∴，
故③错误；
故答案为：①②．
考点5：等腰三角形性质——多解性
典例5：已知在△ABC中，AB＝AC，且∠B＝α，则α的取值范围是（　　）
A．a≤45° B．0° ＜ α ＜ 90° C．α＝90° D．90° ＜ α ＜ 180°
【答案】B
【知识点】等边对等角
【分析】由已知条件结合等腰三角形的性质及三角形内角和为180°，可得两个角之和小于180°，进而可求解．
【详解】解：∵在△ABC中，AB＝AC，∠B＝α，
∴∠B=∠C＝α，
∵三角形内角和∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠B+∠C＜180°，
即：2α＜180°，
∴α＜90°，
又由题意可知，α＞0° ，
∴0°＜α＜90°，
故选：B．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质及三角形内角和定理是解题关键．
【变式1】在中，，的垂直平分线与直线所成的角为，则等于（ ）
A． B．或 C．或 D．或
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质、等边对等角
【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质， 熟知线段垂直平分线上任意一点， 到线段两端点的距离相等是解答此题的关键 ．由于的形状不能确定， 故应分是锐角三角形与钝角三角形两种情况进行讨论 ．
【详解】解： 如图①， 当的中垂线与线段相交时， 则可得，
，
，
，
；
如图②， 当的中垂线与线段的延长线相交时， 则可得，
，
，
，
，
．
底角为或．
故选：B．
【变式2】 若等腰三角形的一个角为，则这个等腰三角形的顶角度数为
【答案】或
【知识点】等边对等角
【分析】等腰三角形的一个内角是，则该角可能是底角，也可能是顶角，注意分情况讨论．
【详解】解：分两种情况：
当的角是底角时，则顶角度数为；
当的角是顶角时，则顶角为．
故答案为：或．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的性质及三角形的内角和定理是解答问题的关键．
【变式3】等腰三角形的一个外角是140°，则它的顶角的度数为 ．
【答案】40°或100°
【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角
【分析】由该等腰三角形的外角是140°，可求出相邻的内角为40°．分情况讨论，①当40°角为顶角时，40°即为所求；②当40°角为底角时，结合三角形内角和定理即可求出顶角大小．
【详解】解：根据题意可知该等腰三角形的一个内角为：，
①当40°角为顶角时，即该等腰三角形顶角度数为40°；
②当40°角为底角时， 该等腰三角形顶角度数
故答案为：40°或100°．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理．注意分类讨论是解答本题的关键．
考点6：等腰三角形性质应用
典例6：等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰的周长为20，其中一边长为8，则它的“优美比”为（ ）
A． B． C．或2 D．或
【答案】D
【知识点】等腰三角形的定义
【分析】本题考查等腰三角形的定义．分为腰长和底边长，两种情况进行讨论即可．
【详解】解：当为腰长时，
∵等腰的周长为20，
∴的底边长为：，
∴“优美比”为；
当为底边长时，
的腰长为：，
∴“优美比”为；
故选：D．
【变式1】如图，是等腰三角形，点是底边上任意一点，、分别与两边垂直，等腰三角形的腰长为，面积为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】等腰三角形的定义
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的面积，连接，根据三角形的面积公式可得，根据等腰三角形的性质即可求得OE+OF的值．
【详解】解：连接，如图，
∵，
∵，
∴，
∴．
故选：B．
【变式2】 在古代文明中，人们开始观察并研究各种自然形状和图案，其中包括等腰三角形．古希腊数学家对几何学进行了系统的研究，并提出了许多与等腰三角形相关的定理和性质．已知等腰三角形的一边长为，且它的周长为，则它的底边长为 ．
【答案】或
【知识点】三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义
【分析】本题考查等腰三角形，三角形的三边关系，分长为的边分别为腰和底边，两种情况进行讨论求解即可．
【详解】解：当长为的边为腰时，底边长为：，
此时：，三边能构成三角形，符合题意；
当长为的边为底边时，腰长为：，
此时：，三边能构成三角形，符合题意；
故答案为：或．
【变式3】若等腰三角形的两边长分别是和 ，则这个等腰三角形的周长是 ．
【答案】或/或
【知识点】等腰三角形的定义、三角形三边关系的应用
【分析】本题考查了等腰三角形的定义和三角形的三边关系．等腰三角形两边的长为和，具体哪条是底边，哪条是腰没有明确说明，因此要分两种情况讨论．
【详解】解：由等腰三角形的定义，分以下两种情况：
（1）当边长为的边为腰时，
则这个等腰三角形的三边长分别为，，，
∵，
∴满足三角形的三边关系定理，
此时这个等腰三角形的周长为；
（2）当边长为的边为腰时，
则这个等腰三角形的三边长分别为，，，满足三角形的三边关系定理，
此时这个等腰三角形的周长为；
综上，这个等腰三角形的周长为或，
故答案为：或．
考点7：等边三角形性质应用
典例7：如图，和均是等边三角形，A、C、B三点共线，与相交于点P，与分别与，交于点M，N．则下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的性质
【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等边三角形的性质．根据证明即可判断①正确；利用全等三角形的性质结合三角形内角和定理即可判断②正确；证明，得出，即可判断④正确；根据，，得出，根据，得出，即可判断③不正确．
【详解】解：∵和均是等边三角形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，故①正确；
∵，
∴，
∵，，
∴，
即，故②正确；
∵，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，故④正确；
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，故③不正确；
综上分析可知，正确的有3个，故B正确．
故选：B．
【变式1】若和都是等边三角形，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理的应用、全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的性质
【分析】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理．由已知条件推导出，从而，再通过角之间的转化，利用三角形内角和定理能求出的度数．
【详解】解：和都是等边三角形，且，
，，，
又，，
，
，
，
，
，
，
．
故选：D．
【变式2】 如图，等边，D为边的中点，点E在边上，连接，若，则 度．
【答案】15
【知识点】等边对等角、三线合一、等边三角形的性质
【分析】本题考查等边三角形的性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是掌握等腰三角形，等边三角形的性质．利用等边三角形的性质求出，再利用等腰三角形的性质求出可得结论．
【详解】解：是等边三角形，是的中点，
故答案为：15．
【变式3】如图，D为等边内一点，连接、、，，点P为右侧一点，连接、，，，则的度数为 ．
【答案】/度
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、线段垂直平分线的判定、等边三角形的性质
【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质、等边三角形性质及垂直平分线的判定与性质，根据等边三角形的性质以及已知条件可得是的垂直平分线，根据三线合一可得，进而证明，根据全等三角形的性质，即可求解．
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，
又∵
∴是的垂直平分线，
∴，
∵，，，
∴，
∴．
故答案为：．
考点8：新定义问题
典例8：我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（）．如图，在中，，顶角的正对记作，这时，根据上述角的正对定义，则的值为（ ）

A． B． C． D．1
【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质
【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，定义新运算，理解新定义运算的规则，掌握等边三角形的判定和性质是解题的关键．
根据顶角正对的概念，结合等边三角形三边关系即可求解．
【详解】解：∵在中，，，
∴是等边三角形，即，
∴，
故选：D ．
【变式1】定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰是“倍长三角形”，底边长为3，则腰的长为（ ）
A．1.5 B．3 C．6 D．1.5或6
【答案】C
【知识点】等腰三角形的定义、三角形三边关系的应用
【分析】本题考查等腰三角形，三角形的三边关系．分类讨论：或，然后根据三角形三边关系即可得出结果．
【详解】解：∵是等腰三角形，底边，
∴．
当时，是“倍长三角形”；
当时，，
根据三角形三边关系，此时A、B、C不构成三角形，不符合题意；
∴当等腰是“倍长三角形”，底边，则腰的长为6．
故选：C．
【变式2】 定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”若等腰中，，则它的特征值 ．
【答案】7或
【知识点】等边对等角、三角形内角和定理的应用
【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，熟记等腰三角形的性质是解题的关键，要注意到本题中，已知的底数，要进行判断是底角或顶角，以免造成答案的遗漏．可知等腰三角形的两底角相等，则可求得底角的度数，从而可求解．
【详解】解：①当为顶角时，等腰三角形两底角的度数为：
∴特征值
②当为底角时，顶角的度数为：
∴特征值
综上所述，特征值为或．
故答案为：7或．
【变式3】定义：若三角形满足其中两边之和等于第三边的三倍，则称该三角形为“三倍三角形”．若等腰三角形是三倍三角形，且其中一边长为，则的周长为 ．
【答案】或
【知识点】三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义
【分析】本题主要考查等腰三角形的性质和三角形的三边关系，设等腰三角形的腰长为，底长为，分两种情况讨论：当时；当时．
【详解】设等腰三角形的腰长为，底长为．
（1）当时，分两种情况：
①若，解得．
则三角形的三边长为，，，不符合题意．
②若，解得，
则的三边长为，，，符合题意．
的周长为．
（2）当时，分两种情况：
①若，解得，
则三角形的三边长为，，，不符合题意．
②若，解得，
则的三边长为，，，符合题意．
的周长为．
综上所述，的周长为或．
考点9：垂直平分线的性质——求角
典例9：如图，在中，以点为圆心，的长为半径作弧，与交于点，分别以点和点为圆心、大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点若，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】直角三角形的两个锐角互余、三线合一、线段垂直平分线的性质
【分析】本题考查了作图 基本作图，等腰三角形的性质与判定，直角三角形中两个锐角互余；根据作图过程可得，是的垂直平分线，可得，根据三线合一可得，再根据，，即可求出的度数，进而即可求解．
【详解】解：由作图过程可知：是的垂直平分线，
∴，
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：A．
【变式1】如图，中， ，的平分线交于点D，若垂直平分，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】角平分线的有关计算、线段垂直平分线的性质、等边对等角
【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、角平分线的定义，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．根据线段垂直平分线的性质得到，得到，根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算即可．
【详解】解：∵垂直平分，
∴，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴，
故选：C．
【变式2】 如图，直线，垂足为点，且．若，则的度数为 ．
【答案】/度
【知识点】线段垂直平分线的性质、三线合一
【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，先证明，，结合等腰三角形的性质可得，，再进一步求解即可.
【详解】解：∵直线，垂足为点，且．
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
故答案为：
【变式3】如图，在中，，垂直平分，，则的度数为 ．
【答案】/64度
【知识点】等腰三角形的性质和判定、线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理的应用
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质可得，根据等腰三角形的性质可得，进一步可得，即可求解．
【详解】解：∵垂直平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：
考点10：垂直平分线的性质——求线段
典例10：如图，中，，的垂直平分线交于点D，若，．则的周长为（ ）
A．6 B．10 C．12 D．8
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质
【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质，属较简单题目．解答此题的关键是求出的周长，这也是此题的突破点．先根据线段垂直平分线的性质求出，再通过等量代换求出即可求解．
【详解】解： 的垂直平分线交于点D，，
，
，
的周长，
，，
的周长．
故答案为：9．
【变式1】如图，在中，，的平分线交于点，又是的垂直平分线，垂足为．则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、线段垂直平分线的性质
【分析】本题考查了垂直平分线的性质，三角形内角和，角平分线的性质，因为的平分线交于点，是的垂直平分线，垂足为．得，结合计算，即可作答．
【详解】解：如图：
∵的平分线交于点，
∴，
∵是的垂直平分线，垂足为，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得
即，
故选：B
【变式2】 如图，在中，，线段的垂直平分线交，于点M，N，若，则的长为 ．
【答案】1
【知识点】线段垂直平分线的性质
【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．根据线段垂直平分线的性质得到，进而解答即可．
【详解】解：∵是线段的垂直平分线，
∴，
∴，
故答案为：1．
【变式3】如图，在中，为边的垂直平分线，于点，交的延长线于点，若，则的长为 ．
【答案】9
【知识点】两直线平行内错角相等、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、线段垂直平分线的性质
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、三角形全等的判定与性质、平行线的性质，正确找出两个全等三角形是解题关键．先求出，再根据线段垂直平分线的性质可得，，根据平行线的性质可得，然后证出，根据全等三角形的性质可得，根据线段和差可得的长，由此即可得．
【详解】解：∵，
∴，
∵为边的垂直平分线，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：9．
考点11：尺规垂直平分线
典例11：（1）如图1，有分别过A、B两个加油站的公路a、b相交于点O，现准备在∠AOB内建一个油库，要求油库的位置点P到A、B两加油站的距离相等，而且P到两条公路a、b的距离也相等．请用尺规作图作出点P（不写作法，保留作图痕迹）．
（2）如图2，此图形为轴对称图形，请用无刻度的直尺，准确地画出它的对称轴（保留作图痕迹）．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【知识点】作角平分线(尺规作图)、作已知线段的垂直平分线、根据成轴对称图形的特征进行判断
【分析】本题考查的是尺规作图的应用，包括作角的平分线、作线段的垂直平分线，以及轴对称图形的性质．
（1）连接，作的垂直平分线，再作的平分线，垂直平分线与角平分线的交点即为油库的所在地．
（2）根据轴对称图形的性质，利用对应点连线一定交在对称轴上，进而得出两点，画出对称轴即可．
【详解】解：（1）如图，点即为油库应该修建的位置．
（2）如图，直线就是它的对称轴，
【变式1】下图是某休闲广场的平面示意图，A，D是广场的两个入口，，，是小路，现要在广场（四边形）内部修建一处喷泉（点P），使喷泉P满足以下两个条件：
①喷泉P到小路，的距离相等；
②喷泉P到入口A和D的距离相等．
请利用尺规确定点P的位置（保留作图痕迹，不必写作法）．
【答案】见解析
【知识点】角平分线的性质定理、作角平分线(尺规作图)、线段垂直平分线的性质、作已知线段的垂直平分线
【分析】本题主要考查了尺规作图、垂直平分线的性质、角平分线的性质等知识点，掌握角平分线和垂直平分线的尺规作图方法是解题的关键．
作的角平分线，作线段的垂直平分线，两线的交点即为所求点P的位置．
【详解】解：如图：点P的位置即为所求．
【变式2】 如图，已知是锐角三角形．
(1)请用无刻度直尺和圆规作图：作直线l，使l上的各点到B、C两点的距离相等；设直线l与分别交于点M、N，在线段上找一点O，使点O到边的距离相等；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【知识点】角平分线的性质定理、作角平分线(尺规作图)、线段垂直平分线的性质、作已知线段的垂直平分线
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的尺规作图和角平分线的尺规作图，线段的垂直平分线的性质，角平分线的性质和勾股定理等知识，熟知线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．
（1）根据要求先作的垂直平分线，再作出的角平分线，交直线于点O，交点即为O点；
（2）过点O作于点H．证明，利用勾股定理求出，利用面积法求解即可．
【详解】（1）解：如图，直线，点O即为所求；
（2）解：过点O作于点H．
∵平分，
∴，
∵垂直平分线段，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【变式3】如图，已知等腰顶角．

(1)在上作一点D，使（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明，最后用黑色墨水笔加黑）．
(2)求证：是等腰三角形．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析．
【知识点】作已知线段的垂直平分线、作垂线(尺规作图)、等腰三角形的性质和判定
【分析】（1）作的垂直平分线交于；
（2）利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出，再利用得到，所以，从而可判断是等腰三角形．
【详解】（1）解：如图，点为所作，

（2）证明：∵，
∴ ，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形．
【点睛】本题考查了尺规作图和等腰三角形的判定与性质．熟记相关结论是解题关键．
考点12：角平分线的性质——求线段
典例12：在四边形中，，的平分线与交于点，连接，恰好，则下列结论不正确的是（ ）
A． B．
C．平分 D．
【答案】B
【知识点】两直线平行内错角相等、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、角平分线的性质定理
【分析】本题考查了角平分线的判定与性质，平行线性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并作出合适的辅助线是解题的关键．延长交的延长线于点，根据是的角平分线，，可证，得到，，，结合，从而证明平分，，得到，，，可证选项A，最后由，可证选项D，综上无法证明选项B，即可得到答案．
【详解】解：延长交的延长线于点，如图
是的角平分线，
，
，，
，
平分，故C选项不符合题意；
又
，，，故A选项不符合题意；
，
，故D选项不符合题意；
综上，无法得出B选项；
故选：B．
【变式1】如图，中，，平分，交于点，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】角平分线的性质定理
【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理，求三角形的面积，过点D作，交于点E，再根据角平分线的性质定理得出，然后根据求出，即可得出答案．
【详解】解：过点D作，交于点E，
平分，，
∴．
∵，
∴，
解得，
∴．
故选：A．
【变式2】 如图，在中，，平分，于点，，则的长为 ．
【答案】4
【知识点】角平分线的性质定理
【分析】此题考查了角平分线的性质，角平分线上的点到角的两边的距离相等．由线段的和差关系可得的长，再根据角平分线的性质可得答案．
【详解】解：∵平分，，于点，
∴，
故答案为：4．
【变式3】如图，已知在中，，平分，且，则点到边的距离为
【答案】7
【知识点】角平分线的性质定理
【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线上点到角两边的距离相等是解题的关键．过点D作于点E，根据角平分线的性质定理，即可求解．
【详解】解：过点D作于点E，
∵，平分，，
∴，
即点D到边的距离是7，
故答案为：7．
考点13：角平分线的性质——求面积
典例13：如图，在等腰三角形中，，是边上的高，在，上分别截取线段，，使；分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点P，作射线，交于点M，过点M作于点N．若，，，则的面积是（ ）
A．24 B．18 C．12 D．6
【答案】A
【知识点】角平分线的性质定理、三线合一
【分析】本题考查了等腰三角形的性质、角平分线的性质定理，由等腰三角形的性质可得，由作图可得平分，由角平分线的性质定理可得，从而得出，再由三角形面积公式计算即可得解．
【详解】解：∵在等腰三角形中，，是边上的高，
∴，
由作图可得：平分，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：A．
【变式1】如图，CD是等腰三角形ABC底边上的中线，BE平分∠ABC，交CD于点E，AC＝8，DE＝2，则BCE的面积是（　　）
A．4 B．6 C．8 D．12
【答案】C
【知识点】三线合一、角平分线的性质定理
【分析】过点E作于，根据角平分线的性质得到，再根据三角形的面积公式计算即可．
【详解】解：如图，过点E作于，
，是等腰三角形底边上的中线，
，
平分，，，
，
又，
的面积，
故选：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质以及角平分线的性质，熟练掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
【变式2】 如图，射线是的角平分线，D是射线上一点，于点P，，若点Q是射线上一点，，则的面积是
【答案】
【知识点】角平分线的性质定理
【分析】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．作于点，根据角平分线的性质得到，根据三角形的面积计算公式，即可得到答案．
【详解】解：作于点，
射线是的角平分线，
，，
，
的面积．
故答案为：．
【变式3】如图， ，和分别平分和，过点P，且与垂直，若， ，则四边形的面积是 ．
【答案】
【知识点】两直线平行同旁内角互补、全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的性质定理
【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，掌握相关知识点是解题的关键．
作于点，根据，，得到，根据平分，平分得到，，即可得到答案．
【详解】解：过点作于点，
∴，
∵，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∵，
∴()，
∴，
同理可得：，
，
∴四边形的面积，
故答案为： ．
考点14：角平分线的性质综合——最值
典例14：如图，平分，为的中点，，垂足为点，，为上的一个动点，是的延长线与的交点，，则的最小值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】A
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、角平分线的性质定理
【分析】根据两条平行线之间的距离可知当CD⊥OM时，CD取最小值，利用全等三角形的判定和性质得出AC=AD=AE=3，进而解答即可．
【详解】解：由题意可得，
当CD⊥OM时，CD取最小值，
∵OB平分∠MON，AE⊥ON于点E，CD⊥OM，
∴AD=AE=3，
∵BC∥OM，
∴∠DOA=∠B，
∵A为OB的中点，
∴AB=AO，
在△ABC与△ADO中，
∴△ABC≌△AOD（ASA），
∴AC=AD=3，
∴CD=AC+AD=3+3=6，
故选：A．
【点睛】此题考查全等三角形的判定和性质、平行线之间的距离，关键是利用全等三角形的判定和性质得出AC=AD=AE=3．
【变式1】如图，AB∥CD，BE和CE分别平分∠ABC和∠BCD，AD过点E，且AD⊥AB，点P为线段BC上一动点，连接PE．若AD＝14，则PE的最小值为（ ）
A．7 B．10 C．6 D．5
【答案】A
【知识点】角平分线的性质定理
【分析】当EP⊥BC时，EP最短，根据角平分线的性质，可知EP=EA=ED=AD，由AD＝14，求出即可．
【详解】解：当EP⊥BC时，EP最短，
∵AB∥CD，AD⊥AB，
∴AD⊥CD，
∵BE平分∠ABC，AE⊥AB，EP⊥BC，
∴EP=EA，
同理，EP=ED，
此时，EP=AD=×14=7，
故选A．
【点睛】本题考查了角平分线的性质和垂线段最短，熟练找到P点位置并应用角平分线性质求EP是解题关键．
【变式2】 如图，在中，，，，，平分交于点，点、分别是、边上的动点，则的最小值为 ．
【答案】
【知识点】角平分线的性质定理、全等的性质和SAS综合（SAS）
【分析】此题主要考查了角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，点到直线的距离，垂线段最短，三角形的面积公式，作出辅助线构造出全等三角形是解本题的关键．
在上取一点，使得，连接，根据全等三角形的判定和性质，则，得到，当点，，在同一条直线上且时，有最小值，即最小，最后用面积法，进行解答，即可．
【详解】解：在上取一点，使得，连接，
∵平分，
∴，
∵是公共边，
∴，
∴，
∴，
当点，，在同一条直线上且时，有最小值，即最小，其值为，
∵，
∴，
∴最小值为．
故答案为：．
【变式3】如图，在中，，AD平分，交BC于D，若，P为上一动点，则的最小值为 ．
【答案】3
【知识点】垂线段最短、角平分线的性质定理
【分析】此题主要考查角平分线的性质和垂线段最短，作于H，根据角平分线的性质得到，然后根据垂线段最短求解．
【详解】解：如图，
作于H，
∵AD平分，，
∴，
∵P为上一动点，
∴的最小值为的长.
故答案为：3.
考点15：尺规作角平分线
典例15：如图，D、E是的边上的点，连接，．
(1)尺规作图：作的角平分线，交于点F，连接（保留作图痕迹，不写作法，不写结论）；
(2)在（1）的条件下，若，求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、作角平分线(尺规作图)
【分析】本题考查了尺规作图、平行线的性质，全等三角形的性质和判定，三角形内角和定理，解题的关键是掌握以上知识点．
（1）根据尺规作角平分线的步骤作图即可；
（2）根据题意证明出，即可得到．
【详解】（1）如图，即为所求；
（2）证明：在中，180°，
在中，，
且，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
在和中，
，，，
∴，
∴．
【变式1】如图，在中，是边上的高．

(1)作的平分线，交于点E（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
(2)若的面积是20，，求的长度．
【答案】(1)见解析
(2)4
【知识点】角平分线的性质定理、作角平分线(尺规作图)
【分析】本题考查尺规基本作图-作已知角的平分线、角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解答本题的关键．
（1）根据尺规基本作图-作已知角的平分线的作图方法作图即可；
（2）过点E作于点F，由三角形的面积公式可得，结合角平分线的性质可得．进而可得答案．
【详解】（1）解：如图，即为所求．

（2）解：过点E作于点F，

∵△BCE的面积是20，，，
∴，
∴，
∵是边上的高，
∴，
∵CE为∠ACB的平分线，，
∴．
【变式2】 如图，在中，是的角平分线．
(1)实践与操作：作的角平分线，交于点（尺规作图，不要求写作法，保留作图痕迹）；
(2)应用与证明：求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、作角平分线(尺规作图)
【分析】本题考查尺规基本作图-作角的平分线、全等三角形的判定与性质，熟练掌握尺规基本作图-作角的平分线以及全等三角形的判定与性质是解答本题的关键．
（1）按照尺规基本作图-作角的平分线的作图步骤作图即可．
（2）证明，即可得出结论．
【详解】（1）解：如图，为所求．
（2）证明：，
．
平分平分，
．
在和中，
，
．
．
【变式3】如图，在中，，．
（1）根据要求用尺规作图：作的平分线交于点；（不写作法，只保留作图痕迹．）
（2）根据要求用尺规作图：作出点到边的距离；（不写作法，只保留作图痕迹．）
（3）在（1）（2）的条件下，，求的面积．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）6
【知识点】作角平分线(尺规作图)、作垂线(尺规作图)
【分析】（1）根据要求作出图形即可． （2）过点D作DE⊥AB于E．证明DE=DC=2，可得结论．
【详解】解：（1）作图，射线AD即为所求作．
（2）如图，线段DE即为所求.
（3）过点D作DE⊥AB于E．
∵DC⊥AC，DE⊥AB，AD平分∠BAC，
∴DE=DC=2，
∴S△ABD= AB DE=×6×2=6．
【点睛】本题考查基本作图，角平分线的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
专题02 简单的轴对称图形
（一）等腰三角形
（1）等腰三角形性质：
①等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）
②等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。（三线合一）
（2）等腰三角形的判定：
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）.
（二）等边三角形
（1）等边三角形性质
①等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60
②在直角三角形中，如果一个锐角等于30 ，那么它所对的直角边等于斜边的一半
（2）等边三角形判定
①三个角都相等的三角形是等边三角形。
②有一个角是60 的等腰三角形是等边三角形。
（三）垂直平分线的性质
（1）概念：经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（或线段的中垂线）
（2）性质：线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；
（3）判定：与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
（四）尺规作垂直平分线
（1）过一点作已知线段的垂线
求作：AB的垂线，使它经过点C
作法：①以点C为圆心，大于到线段距离为半径作弧，交AB与点D、E。
②分别以点D、E为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点F。
③作直线CF，CF即为所求的直线
（2）作已知线段的垂直平分线
作法：①以A为圆心大于长为半径作弧，以B为圆心大于长为半径作弧,两弧交于C、D两点
②连接CD，即为所求
（五）角平分线的性质
（1）概念：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线。
（2）角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等；
数学语言：
∵∠MOP=∠NOP，PA⊥OM PB⊥ON
∴PA=PB
（六）尺规作角平分线
作法：①在OA和OB上分别截取OD、OE，使OD=OE。
②分别以D、E为圆心，以大于DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点C
③作射线OC，则OC就是∠AOB的平分线
考点1：等腰三角形的对称轴
典例1：等腰三角形的对称轴是（　　）
A．底边上的高所在的直线 B．底边上的高
C．底边上的中线 D．顶角平分线
【变式1】等腰三角形的对称轴，最多可以有( )
A．1条 B．3条 C．6条 D．无数条
【变式2】 下列命题中：①直角三角形是轴对称图形；②等腰三角形的对称轴是底边上的中线；③等边三角形一边上的高就是这边的垂直平分线； ④一条线段只有一条对称轴．不正确的有 ．
【变式3】下列说法：①全等的两个三角形一定成轴对称；②等腰三角形最少有1条对称轴，最多有3条对称轴；③成轴对称的两个图形一定全等；④任意两条相交直线都组成一个轴对称图形．其中正确的有 ．（填序号）
考点2：等边对等角的性质应用
典例2：如图，中，，，点在线段上，且满足．则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【变式1】如图，中，是边上一点，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】 如图，在中，，，平分，点是射线上一点，如果是以为腰的等腰三角形，那么的度数是 ．
【变式3】如图，在△ABC中，AC＝AE，BC＝BD，则∠ACB与∠DCE满足的关系式是 ．
考点3：“三线合一”应用
典例3：如图，在四边形中，，连接，延长、交于点E，．
(1)求证：；
(2)若，，，求的长．
【变式1】如图，在中，，点在上，且点在的垂直平分线上，连接．
(1)若，求的周长；
(2)分别过点作于、于，若，，求的长．
【变式2】 如图1，中，，，E为AB的中点，连接CE，过点A作于点D，交于点F．
(1)求的度数；
(2)求证：；
(3)如图2，等腰直角中，，，CD平分，交AB于点D，于点E，若，求的面积．
【变式3】如图，在中，，是边上的中线，的垂直平分线分别交、、于点、、，连接，．

(1)试说明：；
(2)若，求的度数．
考点4：等边三角形性质
典例4：下面关于等边三角形的说法中，不正确的是（ ）
A．等边三角形的三边都相等 B．等边三角形的三个内角都是
C．等边三角形有三条对称轴 D．等腰三角形具有等边三角形的性质
【变式1】如图，是等边三角形，点为右侧一点，连接、、，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】 如图，在等边边上取、两点，沿折叠，使点落在边上的点的位置，若，则 ．
【变式3】如图，和均是等边三角形，分别与交于点M、N，有如下结论：①；②；③其中，正确结论的是 ．
考点5：等腰三角形性质——多解性
典例5：已知在△ABC中，AB＝AC，且∠B＝α，则α的取值范围是（　　）
A．a≤45° B．0° ＜ α ＜ 90° C．α＝90° D．90° ＜ α ＜ 180°
【变式1】在中，，的垂直平分线与直线所成的角为，则等于（ ）
A． B．或 C．或 D．或
【变式2】 若等腰三角形的一个角为，则这个等腰三角形的顶角度数为
【变式3】等腰三角形的一个外角是140°，则它的顶角的度数为 ．
考点6：等腰三角形性质应用
典例6：等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰的周长为20，其中一边长为8，则它的“优美比”为（ ）
A． B． C．或2 D．或
【变式1】如图，是等腰三角形，点是底边上任意一点，、分别与两边垂直，等腰三角形的腰长为，面积为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】 在古代文明中，人们开始观察并研究各种自然形状和图案，其中包括等腰三角形．古希腊数学家对几何学进行了系统的研究，并提出了许多与等腰三角形相关的定理和性质．已知等腰三角形的一边长为，且它的周长为，则它的底边长为 ．
【变式3】若等腰三角形的两边长分别是和 ，则这个等腰三角形的周长是 ．
考点7：等边三角形性质应用
典例7：如图，和均是等边三角形，A、C、B三点共线，与相交于点P，与分别与，交于点M，N．则下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【变式1】若和都是等边三角形，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】 如图，等边，D为边的中点，点E在边上，连接，若，则 度．
【变式3】如图，D为等边内一点，连接、、，，点P为右侧一点，连接、，，，则的度数为 ．
考点8：新定义问题
典例8：我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（）．如图，在中，，顶角的正对记作，这时，根据上述角的正对定义，则的值为（ ）

A． B． C． D．1
【变式1】定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰是“倍长三角形”，底边长为3，则腰的长为（ ）
A．1.5 B．3 C．6 D．1.5或6
【变式2】 定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”若等腰中，，则它的特征值 ．
【变式3】定义：若三角形满足其中两边之和等于第三边的三倍，则称该三角形为“三倍三角形”．若等腰三角形是三倍三角形，且其中一边长为，则的周长为 ．
考点9：垂直平分线的性质——求角
典例9：如图，在中，以点为圆心，的长为半径作弧，与交于点，分别以点和点为圆心、大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点若，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【变式1】如图，中， ，的平分线交于点D，若垂直平分，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】 如图，直线，垂足为点，且．若，则的度数为 ．
【变式3】如图，在中，，垂直平分，，则的度数为 ．
考点10：垂直平分线的性质——求线段
典例10：如图，中，，的垂直平分线交于点D，若，．则的周长为（ ）
A．6 B．10 C．12 D．8
【变式1】如图，在中，，的平分线交于点，又是的垂直平分线，垂足为．则（ ）
A． B． C． D．
【变式2】 如图，在中，，线段的垂直平分线交，于点M，N，若，则的长为 ．
【变式3】如图，在中，为边的垂直平分线，于点，交的延长线于点，若，则的长为 ．
考点11：尺规垂直平分线
典例11：（1）如图1，有分别过A、B两个加油站的公路a、b相交于点O，现准备在∠AOB内建一个油库，要求油库的位置点P到A、B两加油站的距离相等，而且P到两条公路a、b的距离也相等．请用尺规作图作出点P（不写作法，保留作图痕迹）．
（2）如图2，此图形为轴对称图形，请用无刻度的直尺，准确地画出它的对称轴（保留作图痕迹）．
【变式1】下图是某休闲广场的平面示意图，A，D是广场的两个入口，，，是小路，现要在广场（四边形）内部修建一处喷泉（点P），使喷泉P满足以下两个条件：
①喷泉P到小路，的距离相等；
②喷泉P到入口A和D的距离相等．
请利用尺规确定点P的位置（保留作图痕迹，不必写作法）．
【变式2】 如图，已知是锐角三角形．
(1)请用无刻度直尺和圆规作图：作直线l，使l上的各点到B、C两点的距离相等；设直线l与分别交于点M、N，在线段上找一点O，使点O到边的距离相等；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，若，求的长．
【变式3】如图，已知等腰顶角．

(1)在上作一点D，使（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明，最后用黑色墨水笔加黑）．
(2)求证：是等腰三角形．
考点12：角平分线的性质——求线段
典例12：在四边形中，，的平分线与交于点，连接，恰好，则下列结论不正确的是（ ）
A． B．
C．平分 D．
【变式1】如图，中，，平分，交于点，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】 如图，在中，，平分，于点，，则的长为 ．
【变式3】如图，已知在中，，平分，且，则点到边的距离为
考点13：角平分线的性质——求面积
典例13：如图，在等腰三角形中，，是边上的高，在，上分别截取线段，，使；分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点P，作射线，交于点M，过点M作于点N．若，，，则的面积是（ ）
A．24 B．18 C．12 D．6
【变式1】如图，CD是等腰三角形ABC底边上的中线，BE平分∠ABC，交CD于点E，AC＝8，DE＝2，则BCE的面积是（　　）
A．4 B．6 C．8 D．12
【变式2】 如图，射线是的角平分线，D是射线上一点，于点P，，若点Q是射线上一点，，则的面积是
【变式3】如图， ，和分别平分和，过点P，且与垂直，若， ，则四边形的面积是 ．
考点14：角平分线的性质综合——最值
典例14：如图，平分，为的中点，，垂足为点，，为上的一个动点，是的延长线与的交点，，则的最小值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【变式1】如图，AB∥CD，BE和CE分别平分∠ABC和∠BCD，AD过点E，且AD⊥AB，点P为线段BC上一动点，连接PE．若AD＝14，则PE的最小值为（ ）
A．7 B．10 C．6 D．5
【变式2】 如图，在中，，，，，平分交于点，点、分别是、边上的动点，则的最小值为 ．
【变式3】如图，在中，，AD平分，交BC于D，若，P为上一动点，则的最小值为 ．
考点15：尺规作角平分线
典例15：如图，D、E是的边上的点，连接，．
(1)尺规作图：作的角平分线，交于点F，连接（保留作图痕迹，不写作法，不写结论）；
(2)在（1）的条件下，若，求证：．
【变式1】如图，在中，是边上的高．

(1)作的平分线，交于点E（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
(2)若的面积是20，，求的长度．
【变式2】 如图，在中，是的角平分线．
(1)实践与操作：作的角平分线，交于点（尺规作图，不要求写作法，保留作图痕迹）；
(2)应用与证明：求证：．
【变式3】如图，在中，，．
（1）根据要求用尺规作图：作的平分线交于点；（不写作法，只保留作图痕迹．）
（2）根据要求用尺规作图：作出点到边的距离；（不写作法，只保留作图痕迹．）
（3）在（1）（2）的条件下，，求的面积．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑