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专题01 轴对称及其性质
（一）轴对称
轴对称概念：有一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．两个图形关于直线对称也叫做轴对称．
（二）轴对称图形
（1）轴对称图形概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形。这条直线就是它的对称轴。（对称轴必须是直线）
（2）轴对称图形的性质（重点）：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。类似的，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分．轴对称图形上对应线段相等、对应角相等。
（三）画对称图形
找到关键点，画出关键点的对应点，
按照原图顺序依次连接各点。
找对称轴：对应点连线的垂直平分线即为对称轴
考点1：轴对称与轴对称图形
典例1：“致中和，天地位焉，万物育焉．”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，下图是北京大学、中国人民大学、浙江大学、南京邮电大学的校徽，其中是轴对称图形的是（ ）
A．B． C． D．
【答案】A
【知识点】轴对称图形的识别
【分析】本题主要考查轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的识别是解题的关键．根据轴对称图形进行判断即可．
【详解】
解：是轴对称图形，选项A符合题意；
不是轴对称图形，选项B不符合题意；
不是轴对称图形，选项C不符合题意；
不是轴对称图形，选项D不符合题意；
故选A．
【变式1】下列图案中的两个图形成轴对称的一项是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】成轴对称的两个图形的识别
【分析】把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线（成轴）对称；显然只有B选项的其中一个图形可以沿一条直线折叠后与另一个图形重合．本题考查了成轴对称的两个图形的识别，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
【详解】解：A、两个图不形成轴对称，故该选项不符合题意；
B、两个图形成轴对称，故该选项符合题意；
C、两个图不形成轴对称，故该选项不符合题意；
D、两个图不形成轴对称，故该选项不符合题意；
故选：B．
【变式2】 如图所示，两个图形成轴对称的有 只填写序号
【答案】
【知识点】成轴对称的两个图形的识别
【分析】本题考查了两个图形成轴对称，两个图形成轴对称的关键是寻找对称轴，两个图形折叠后可重合．根据两个图形成轴对称的概念求解即可．
【详解】解：根据两个图形成轴对称的概念可得：的两个图形成轴对称，
故答案为：
【变式3】围棋起源于中国，古代称为“弈”．如图是两位同学的部分对弈图，轮到白方落子，观察棋盘，白方如果落子于点 的位置，则所得的对弈图是轴对称图形．（填写A，B，C，D中的一处即可，A，B，C，D位于棋盘的格点上）
【答案】A或C
【知识点】轴对称图形的识别
【分析】根据轴对称图形的定义解答即可．
本题考查了轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的定义是解题的关键．
【详解】根据轴对称图形的定义，发现放在B，D处不能构成轴对称图形，放在A或C处可以，
故答案为：A或C．
考点2：轴对称的性质
典例2：如图，若与关于直线对称，交于点O，则下列说法不一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】根据成轴对称图形的特征进行判断
【分析】本题考查轴对称的性质与运用，对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等．根据轴对称的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】解：∵与关于直线对称，
∴，，，故A、B、C选项正确，
不一定成立，故D选项错误，
所以，不一定正确的是D．
故选：D．
【变式1】如图，直线是四边形的对称轴，点在上．则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】根据成轴对称图形的特征进行判断
【分析】本题考查了轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．根据直线是四边形的对称轴，得到点与点对应，根据轴对称的性质即可得到结论．
【详解】解：直线是四边形的对称轴，
点与点对应，
，，，
点是直线上的点，
，，
A，B，C正确，而D错误，
故选：D．
【变式2】 如图，在中，，沿直线L翻折使点与点重合，直线L与边交于点，如果的周长为，，那么 ．
【答案】8
【知识点】折叠问题
【分析】本题考查了折叠的性质，一元一次方程的应用，由折叠得，设，则，再由的周长为得关于x的方程，解方程即可．
【详解】解：∵沿直线L翻折使点与点重合，直线L与边交于点，
∴，
设，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵的周长为，
∴，即，
∴，
∴，
故答案为：8．
【变式3】如图，将沿折叠，使，点A的对应点为点．若，，则 ， ．
【答案】
【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形内角和定理的应用、折叠问题
【分析】本题考查了折叠的性质、平行线的性质、三角形内角和定理，根据平行线的性质、折叠的性质、三角形内角和定理并结合图形计算即可得解．
【详解】解：∵，
∴，，，
∴，
由折叠的性质可得：，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：，．
考点3：画轴对称图形
典例3：如图，正方形网格中，每个小网格的边长是1．
(1)画出格点关于直线l对称的；
(2)与的位置关系是_______________；与的数量关系是_______________．
【答案】(1)见解析
(2)；
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、画轴对称图形、根据成轴对称图形的特征进行判断
【分析】本题考查了轴对称作图，轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）根据轴对称的性质，画图即可；
（2）根据成轴对称的性质以及全等三角形的判定和性质，进行作答即可．
【详解】（1）解：即为所求；
（2）解：由图得：；
连接，
∵，
∴，
∴，
故答案为：；．
【变式1】在如图的正方形网格纸中，每个小正方形的边长都是1，的三个顶点都在小正方形的顶点处，直线与网格中竖直的线相重合．
(1)在图中，作出关于直线对称的；
(2)在直线上找一点Q，使最小；
(3)的面积为　　　　．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)8
【知识点】画轴对称图形、根据成轴对称图形的特征进行求解、利用网格求三角形面积
【分析】此题主要考查了轴对称图形及其性质，利用网格求三角形的面积，最短路线等．
（1）先根据轴对称的性质作出点关于直线的对称点，点关于直线的对称点，点关于直线的对称点，再顺次连接即可；
（2）连接交于点，则点满足条件；
（3）利用割补法计算出的面积．
【详解】（1）解：如图，即为所作；
（2）解：连接交于点，则点为所求，
，
（3）解：正方形网格纸中，每个小正方形的边长都是1，
．
故答案为：8．
【变式2】 如图，在正方形网格中，有大小各异的三角形．

(1)请写出图①、图②、图③中的图案都具有的一个特征：______；
(2)已知图③中有两个小三角形被涂黑，请你再将其余小三角形涂黑两个，使整个被涂黑的图案构成一个新轴对称图形（作出两种不同的）；
(3)开动你的想象力，将图④中的三角形涂黑4个，设计出你喜欢的图案，使整个被涂黑的图案依旧构成一个轴对称图形．
【答案】(1)3个图案都为轴对称图形
(2)见解析
(3)见解析
【知识点】画轴对称图形、设计轴对称图案
【分析】本题主要考查轴对称的知识，熟练根据轴对称设计图案是解题的关键．
（1）根据图案判断即可；
（2）涂黑两个处在关于原对称轴对称位置上的两个三角形即可（答案不唯一）．
（3）同理（2）涂出自己喜欢的图案即可（答案不唯一）．
【详解】（1）解：由图知，图①、图②、图③中图案都是轴对称图形，
故答案为：都是轴对称图形；
（2）解：根据题意作图如下：（答案不唯一）

（3）解：根据题意作图如下：（答案不唯一）

【变式3】如图，方格纸中每个小方格都是边长为1的正方形，我们把以格点的连线为边的多边形称为“格点多边形”．如图中四边形就是一个“格点四边形”．
(1)求图中四边形的面积；
(2)在图中的方格纸中画一个格点四边形，使该四边形与原四边形关于直线成轴对称．（要求与，与，与，与相对应）
(3)在直线上找到一点，使的值最大（保作图痕迹）．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)见解析
【知识点】画轴对称图形、线段问题(轴对称综合题)、利用网格求三角形面积
【分析】本题考查了轴对称变换，两点之间线段最短；
（1）直接利用对角线垂直的四边形面积求法得出答案；
（2）利用轴对称的性质找到对应点，再依次连接即可；
（3）延长交于点，则点即为所求．
【详解】（1）解：四边形的面积为
（2）解：如图所示，即为所求；
（3）∵
∴当在上时取得等于号，
∴
∴
∴延长交于点，则点即为所求；如图所示
考点4：根据折叠求角度
典例4：综合与实践课上，老师让同学们以“利用角平分线的概念，解决有关问题”为主题开展数学活动．已知一张条形彩带，点在边上，点在边上，如图所示．
(1)如图1，将彩带沿翻折，点落在处，若，则____________；
(2)若将彩带沿同时向中间翻折，点落在处，点落在处；
①当点共线时，如图2，求的度数；
②当点不共线时：
如图3，若，求的度数；
如图4，设，直接写出满足的关系式．
【答案】(1)30
(2)①，② ，
【知识点】折叠问题、角平分线的有关计算
【分析】（1）先根据平角定义得出的度数，再根据翻折的性质即可得出的度数；
（2）①根据翻折和共线找到求解即可．
②根据题意得到进行计算求解即可．
根据题意得到进行计算求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）解：①由翻折可得，，
∴，
② ，
，
由①可得：，
由①可得：，，
，，
’
’
’
即．
【变式1】如图，把一张长方形纸片的一角任意折向长方形内，使点B落在点的位置，折痕为，再把折叠，使点C、D分别落在点的位置，折痕为，与在同一条直线上．
(1)分别直接写出与，与之间所满足的数量关系；
(2)与之间什么关系？
(3)是什么角？
【答案】(1)，
(2)与互余
(3)是直角
【知识点】求一个角的余角、利用邻补角互补求角度、折叠问题
【分析】本题主要考查了轴对称的性质，邻补角的性质，互余的定义等知识点，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．
（1）根据邻补角的性质可得答案；
（2）由轴对称的性质可得，，进而可得，于是可得答案；
（3）由轴对称的性质可得，，进而可得，然后根据即可得出答案．
【详解】（1）解： 由邻补角的性质可得：
，；
（2）解：由轴对称的性质可得：，，
∴，
∴，
答：与互余；
（3）解：由轴对称的性质可得：，，
∴，
∴，
∴，
答：是直角．
【变式2】 在等腰中，，高所在的直线相交于点F，将沿直线翻折，点C的对称点落在直线上，连接．
(1)如图1，当时，
①求证：；
②求的度数．
(2)当时，补全图2，并求证：．
【答案】(1)①详见解析；②
(2)详见解析
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定、折叠问题
【分析】本题主要考查等腰三角形中的翻折问题，熟练掌握翻折的性质以及全等三角形的判定是解题的关键．
（1）①根据题意证明即可得到结论；
②根据全等三角形的性质以及翻折的性质证明是等腰直角三角形，即可得到答案；
（2）根据题意补全图形，根据题意证明即可得到结论．
【详解】（1）解：①证明：是的高，，
，
是的高，
，
在和中，
，
，
；
②解：如图：
由①知：，
，
将沿直线翻折，点C的对称点落在直线上，
，
，
故是等腰直角三角形，
；
（2）解：补全图形如下：
，
，
是的高，
是等腰直角三角形，
，
是的高，
，
，
，
，
，
将沿直线翻折，点C的对称点落在直线上，
，
，
，
，
．
【变式3】如图，中，，，是的高，将沿折叠得到，点落在线段上．
(1)求的度数．
(2)过点作的平分线交于点，若，求的长．
【答案】(1)
(2)4
【知识点】直角三角形的两个锐角互余、等边对等角、折叠问题
【分析】本题考查直角三角形性质，折叠性质，等腰三角形的性质，解题词关键是熟练掌握直角三角形性质，折叠性质，等腰三角形的性质．
（1）本题考查了直角三角形性质及折叠的性质，先由三角形内角和定理求出，再由直角三角形的性质求出，再根据折叠的性质得出；
（2）本题考查了折叠性质及等腰三角形三线合一性质，先计算出，再由，得到．然后根据等腰三角形三线合一性质得出，即可求解．
【详解】（1），，
，
是的高，
，
，
将沿折叠得到，
，
．
（2）由（1）知，
．
，
，
．
平分，
．
，
．
考点5：轴对称的应用——规律探究
典例5：如图，已知和关于直线对称；如图，在射线上取点，连接，；如图，在射线上取点连接，，依此规律，第个图形中全等三角形的对数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】图形类规律探索、全等三角形综合问题、根据成轴对称图形的特征进行求解
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，轴对称的性质，图形类的规律探索，根据轴对称的性质和全等三角形的判定方法先得出图1和图2中全等三角形的对数，进而得出规律：第n个图形中全等三角形的对数是，即可解答．
【详解】解：∵和关于直线对称，
∴．，
在和中，
，
∴．
∴图1中有1对三角形全等；
同理图2中，，
∴，
∵．
∴，
在中，
，
∴，
∴图2中有对三角形全等；
同理：图3中有对三角形全等；
由此发现：第n个图形中全等三角形的对数是，
故选：C．
【变式1】如图，弹性小球从点P出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当小球第1次碰到矩形的边时的点为Q，第2次碰到矩形的边时的点为M，…．第2022次碰到矩形的边时的点为图中的（　　）
A．点P B．点Q C．点M D．点N
【答案】A
【知识点】台球桌面上的轴对称问题
【分析】根据反射角与入射角的定义作出图形，可知每6次反弹为一个循环组依次循环，用2022除以6，根据商和余数的情况确定所对应的点的坐标即可．
【详解】解：如图，经过6次反弹后动点回到出发点P，
∵2022÷6=337，
∴当点P第2022次碰到矩形的边时为第337个循环组的最后一次反弹，
∴第2022次碰到矩形的边时的点为图中的点P，
故选：A．
【点睛】此题主要考查了点的坐标的规律，作出图形，观察出每6次反弹为一个循环组依次循环是解题的关键．
【变式2】 下面四个图形是标出了长宽之比的台球桌的俯视图，一个球从一个角落以角击出，在桌子边沿回弹若干次后，最终必将落入角落的一个球囊．图中回弹次数为次，图中回弹次数为次，图中回弹次数为次，图中回弹次数为次．若某台球桌长宽之比为，按同样的方式击球，球在边沿回弹的次数为 次．
【答案】7
【知识点】台球桌面上的轴对称问题
【分析】根据题意画出图形，然后即可作出判断．
【详解】根据图形可得总共反射了7次．
故答案为7．
【点睛】本题考查了轴对称的知识，难度不大，注意画出图形会使问题比较简单直观．
【变式3】如图是一组按照某种规律摆放成的图案，则第2019个图案 轴对称图形(填“是”或“不是”)．
【答案】是
【知识点】轴对称图形的识别
【分析】作出前四个图形的对称轴，类推即可得出结论．
【详解】解：前四个图形的对称轴如下：
由此可得按此规律摆放成的图案都是轴对称图形．
故答案为：是．
【点睛】本题考查了图形的变化规律以及轴对称图形，注意由特殊到一般的分析方法．这类题型在中考中经常出现．
考点6：轴对称的应用——镜面对称
典例6：如图，小狗皮皮看到镜子里的自己，觉得很奇怪，此时他所看到的全身像是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】轴对称图形的识别
【分析】根据平面镜成像原理，像跟物应该关于镜面成轴对称.
【详解】根据平面镜成像原理，选项A是小狗在平面镜中的像.
故选A
【点睛】本题考核知识点：轴对称图形. 解题关键点：理解平面镜成像原理.
【变式1】甲在照镜子，如图，镜子里哪个是他的像？（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】成轴对称的两个图形的识别
【分析】此题主要考查了镜面对称，正确把握镜面对称的定义是解题关键．直接利用镜面对称的定义得出答案．
【详解】解：由镜面对称的性质，连接对应点的线段与镜面垂直并且被镜面平分，即可得出只有B与原图形成镜面对称．
故选：B．
【变式2】 小强站在镜前，从镜中看到镜子对面墙上挂着的电子钟，则如图所示的电子钟的实际时刻是 ．
【答案】21：05
【知识点】根据成轴对称图形的特征进行判断
【分析】由轴对称图形的性质进行分析即可得到正确答案．
【详解】解：由轴对称图形的性质可知，电子钟的实际时刻的数字图与镜子中的数字图成轴对称图形，所以实际时刻是：
故答案为：
【点睛】本题考查轴对称图形的性质，牢记相关的知识点是解题的关键．
【变式3】小明从镜子里看到对面电子钟的像如图所示，则实际时间是 ．

【答案】15：01
【知识点】根据成轴对称图形的特征进行判断
【分析】根据轴对称的性质——镜面对称解答即可．
【详解】解：根据平面镜成像原理及轴对称图形的性质可知实际时间为15：01；
故答案为：15：01
【点睛】本题实际上考查轴对称图形的性质，解题的关键是理解镜面对称是指在平面镜中的像与现实中的事物刚好顺序相反；且关于镜面对称解答这类关于数字在镜中成像问题的一般方法是画出平面镜中的图像的对称图形，再读出对称图形的时间，所得即是所求．
考点7：轴对称的应用——网格图
典例7：如图，在边长为1的小正方形所组成的网格上，每个小正方形的顶点都称为“格点”，的顶点都在格点上，用直尺完成下列作图：
(1)作出关于直线的对称图形；
(2)的面积为______．
【答案】(1)作图见解析
(2)
【知识点】画轴对称图形、利用网格求三角形面积
【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可．
（2）利用割补法求三角形的面积即可．
【详解】（1）解：如图，点，点，点关于的对称点分别为点，点，点，
连接，，，
则即为所作．
（2），
∴的面积为，
故答案为：．
【点睛】本题考查作图—轴对称变换、三角形的面积，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．
【变式1】数学活动课上，张老师组织同学们设计多姿多彩的几何图形，下图都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有3个小等边三角形已涂上阴影，请同学们在余下的空白小等边三角形中选取一个涂上阴影，使得4个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形，请画出4种不同的设计图形．
【答案】见解析
【知识点】画轴对称图形、设计轴对称图案
【分析】根据轴对称图形的定义画出图形即可．
【详解】解：如下图所示：
【点睛】本题考查利用轴对称设计图案，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
【变式2】 如图是的正方形网格，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形
(1)在图中画出三角形关于直线l成轴对称的三角形；
(2)在该网格中是否还存在与三角形成轴对称的其它格点三角形？如果存在，请在备用图中画出该三角形，并画出相应的对称轴．（对称三角形的顶点字母可省略不写）
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【知识点】画轴对称图形
【分析】本题考查作图—轴对称变换，掌握轴对称变换的性质是解题的关键．
（1）根据轴对称的性质作出图形即可；
（2）结合网格的特点，画出与三角形成轴对称的其它格点三角形和相应的对称轴即可．
【详解】（1）解：如图所示，三角形关于直线l成轴对称的三角形即为所求：
（2）解：如图所示，格点三角形和对称轴即为所求：
或或或
（答案不唯一，言之成理即可）
【变式3】如图是由边长为1的小正方形组成的正方形网格，是格点三角形（三角形的三个顶点都在正方形的顶点）上．
(1)是______三角形；（按角分类）
(2)的面积是______；
(3)作出格点，使与全等，且以A，B，C，D为顶点的四边形是轴对称图形．（作出一个符合要求的即可）
【答案】(1)钝角
(2)1
(3)见解析
【知识点】三角形的分类、画轴对称图形、利用网格求三角形面积
【分析】本题考查了三角形的分类，轴对称图形等知识，解题的关键是：
（1）根据三角形按角分类判断即可；
（2）根据三角形面积公式求解即可；
（3）根据轴对称的性质作图即可．
【详解】（1）解：是钝角三角形，
故答案为：钝角；
（2）解：，
故答案为：1；
（3）解：如图，即为所求，
或．
考点8：轴对称的应用——综合应用
典例8：已知：如图①长方形纸片中，．将长方形纸片沿直线翻折，使点落在边上，记作点，如图②．
(1)当，时，求线段的长度；
(2)设、，如果再将沿直线向右起折，使点落在射线上，记作点，若设线段，请根据题意画出图形，并求出的值；
(3)设，，沿直线向右翻折后交边于点，连接，当时，求的值．
【答案】(1)
(2)或，图见解析
(3)
【知识点】折叠问题
【分析】本题考查了长方形的性质，折叠的性质，四边形的面积，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
（）根据折叠的性质可得，从而求出结论；
（）根据点的位置分类讨论，分别画出对应的图形，根据折叠的性质分别用表示出和，根据题意列出方程即可求出结论；
（）过点作于，用和表示出和，结合已知等式即可求解；
【详解】（1）解：由折叠的性质可得，
∵，
∴；
（2）解：若点落在线段上时，如图所示，
由折叠的性质可得：，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得；
若点落在线段的延长线上时，如图所示，
由折叠的性质可得：，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得；
综上，的值或；
（3）解：如图所示，过点作于，
∴，
由题意可知：，，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
整理得，，
∴．
【变式1】在数学实验课上，老师让学生以“折叠筝形”为主题开展数学实践探究活动．定义：两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．
(1)概念理解：如图1，将一张纸对折压平，以折痕为边折出一个三角形，然后把纸展平，折痕为四边形．判断四边形的形状：______筝形（填“是”或“不是”）；
(2)性质探究：如图2，已知四边形纸片是筝形，请用测量、折叠等方法猜想筝形的角、对角线有什么几何特征，然后写出一条性质并进行证明；
(3)拓展应用：如图3，是锐角的高，将沿边翻折后得到，将沿边翻折后得到，延长，交于点G．若，当是等腰三角形时，的度数为______．
【答案】(1)是
(2)在筝形中较长的对角线平分较短的对角线所对的两个角；证明见解析
(3)或或
【知识点】全等三角形综合问题、等边对等角、折叠问题
【分析】（1）根据轴对称的性质，即可判断答案；
（2）连结，，证明，即可得得出结论；
（3）根据筝形的定义、性质及四边形内角和，求得，再分，，三种情况讨论，根据等腰三角形的性质，即可分别求得答案．
【详解】（1）解：四边形为对折后折出的三角形展开形成的四边形，
，，
四边形是筝形；
故答案为：是．
（2）解：性质：在筝形中较长的对角线平分较短的对角线所对的两个角；证明如下：
证明：如图所示，连结，，
四边形是筝形，
，，
，
，
，，
平分和；
（3）解：沿边翻折后得到，
，
，，
四边形是筝形，
，，
同理，，
在筝形中较长的对角线平分较短的对角线所对的两个角，
，
，，
，
当是等腰三角形时，有三种情况：
①当时，，
，
，
，
；
②当时，
，
，
，
；
③当时，
，
，
，
；
综上所述，的度数为或或．
故答案为：或或．
【点睛】本题考查了轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，四边形的内角和，将等腰三角形分三种情况讨论是解题的关键．
【变式2】 综合实践课上，同学们动手折叠一张正方形纸片，如图，点M是边 的中点，点P、Q是边上的两个动点，连接，将折叠，使点A 落在线段上的点处，是折痕，将折叠，使点B落在线段上的点处，是折痕．
(1)如图1，当点P与点Q重合时．
①线 段与 线 段 的位置关系是_______；
②找出的一个补角，并说明理由；
(2)如图2，当点P在点Q的左侧时，，求出的度数；
(3)若，直接写出的度数（用含α的代数式表示）．
【答案】(1)①；②或，理由见解析
(2)
(3)或
【知识点】角平分线的有关计算、与余角、补角有关的计算、同(等)角的余(补)角相等的应用、折叠问题
【分析】本题考查了正方形的性质，补角，折叠的性质，两个角的和与差，分类思想．
（1）① 根据折叠的性质，得，，结合，化简计算即可．
②根据，结合,得到的一个补角，结合，得到，结合，得到,再根据计算另一个补角即可．
（2）根据折叠的性质，得，，结合，，计算结合计算即可．
（3）分点P在点Q的左侧和右侧，两种情况计算即可．
【详解】（1）① 根据折叠的性质，得，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
故答案为：．
②∵， ,
∴，
∴的一个补角是，
∵，∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴,
∵，
∴，
∴，
∴的一个补角是，
故的补角是或．
（2）根据折叠的性质，得，，
∵，，
∴
∵，
∴．
（3）如图，当点P在点Q的左侧时，
根据折叠的性质，得，，
∵，，
∴，
∵，
∴．
当点P在点Q的右侧时，
根据折叠的性质，得，，
∵∴ ，
∴，
∵，
∴．
故得度数为或．
【变式3】在直角三角形ABC中，，点D，E分别在上，将沿翻折，得到．
(1)如图①，若，则______；

(2)如图②，的平分线交线段于点G.若，求证．

(3)已知，的平分线交直线于点G.当的其中一条边与平行时，直接写出的度数（可用含的式表示）．

【答案】(1)40；
(2)见解析；
(3)或或或
【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质求角的度数、折叠问题
【分析】（1）先求出，再利用翻折即可得出答案；
（2）根据角平分线的定义得出，设，
则，根据翻折得出，再求出，即可得出结论；
（3）分情况：①当，②当，③当，④当时， 在的下方，⑤当时，在的下方，分别求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵翻折，
∴，
∴，
故答案为：40；
（2）解：∵的平分线交线段于点G，
∴，
∵，
设，
∴，
∵翻折，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；

（3）解：
①当，如图①所示：

∴，
∵，
∴，
∵翻折，
∴，
∴，
∵的平分线交线段于点G，
∴，
∵，
∴；
②当，如图②所示：

∴，
∴，
∴，
∵的平分线交线段于点G，
∴，
∵，
∴；
③当，如图③所示：

∴，
∵翻折，，
∴，
∴，
∵的平分线交线段于点G，
∴，
∵，
∴；
④当时，在的下方，如图④所示：

∴，
∵的平分线交线段于点G，
∴，
∴；
⑤当时，在的下方，如图⑤所示：

∴，
∵翻折，，
∴，
∵的平分线交线段于点G，
∴，
∴；
综上所述，或或或．
【点睛】本题考查平行线的性质，翻折，三角形内角和定理，角的平分线的定义，注意分情况讨论是解（3）题的关键．
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专题01 轴对称及其性质
（一）轴对称
轴对称概念：有一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．两个图形关于直线对称也叫做轴对称．
（二）轴对称图形
（1）轴对称图形概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形。这条直线就是它的对称轴。（对称轴必须是直线）
（2）轴对称图形的性质（重点）：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。类似的，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分．轴对称图形上对应线段相等、对应角相等。
（三）画对称图形
找到关键点，画出关键点的对应点，
按照原图顺序依次连接各点。
找对称轴：对应点连线的垂直平分线即为对称轴
考点1：轴对称与轴对称图形
典例1：“致中和，天地位焉，万物育焉．”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，下图是北京大学、中国人民大学、浙江大学、南京邮电大学的校徽，其中是轴对称图形的是（ ）
A．B． C． D．
【变式1】下列图案中的两个图形成轴对称的一项是（　　）
A． B．
C． D．
【变式2】 如图所示，两个图形成轴对称的有 只填写序号
【变式3】围棋起源于中国，古代称为“弈”．如图是两位同学的部分对弈图，轮到白方落子，观察棋盘，白方如果落子于点 的位置，则所得的对弈图是轴对称图形．（填写A，B，C，D中的一处即可，A，B，C，D位于棋盘的格点上）
考点2：轴对称的性质
典例2：如图，若与关于直线对称，交于点O，则下列说法不一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】如图，直线是四边形的对称轴，点在上．则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】 如图，在中，，沿直线L翻折使点与点重合，直线L与边交于点，如果的周长为，，那么 ．
【变式3】如图，将沿折叠，使，点A的对应点为点．若，，则 ， ．
考点3：画轴对称图形
典例3：如图，正方形网格中，每个小网格的边长是1．
(1)画出格点关于直线l对称的；
(2)与的位置关系是_______________；与的数量关系是_______________．
【变式1】在如图的正方形网格纸中，每个小正方形的边长都是1，的三个顶点都在小正方形的顶点处，直线与网格中竖直的线相重合．
(1)在图中，作出关于直线对称的；
(2)在直线上找一点Q，使最小；
(3)的面积为　　　　．
【变式2】 如图，在正方形网格中，有大小各异的三角形．

(1)请写出图①、图②、图③中的图案都具有的一个特征：______；
(2)已知图③中有两个小三角形被涂黑，请你再将其余小三角形涂黑两个，使整个被涂黑的图案构成一个新轴对称图形（作出两种不同的）；
(3)开动你的想象力，将图④中的三角形涂黑4个，设计出你喜欢的图案，使整个被涂黑的图案依旧构成一个轴对称图形．
【变式3】如图，方格纸中每个小方格都是边长为1的正方形，我们把以格点的连线为边的多边形称为“格点多边形”．如图中四边形就是一个“格点四边形”．
(1)求图中四边形的面积；
(2)在图中的方格纸中画一个格点四边形，使该四边形与原四边形关于直线成轴对称．（要求与，与，与，与相对应）
(3)在直线上找到一点，使的值最大（保作图痕迹）．
考点4：根据折叠求角度
典例4：综合与实践课上，老师让同学们以“利用角平分线的概念，解决有关问题”为主题开展数学活动．已知一张条形彩带，点在边上，点在边上，如图所示．
(1)如图1，将彩带沿翻折，点落在处，若，则____________；
(2)若将彩带沿同时向中间翻折，点落在处，点落在处；
①当点共线时，如图2，求的度数；
②当点不共线时：
如图3，若，求的度数；
如图4，设，直接写出满足的关系式．
【变式1】如图，把一张长方形纸片的一角任意折向长方形内，使点B落在点的位置，折痕为，再把折叠，使点C、D分别落在点的位置，折痕为，与在同一条直线上．
(1)分别直接写出与，与之间所满足的数量关系；
(2)与之间什么关系？
(3)是什么角？
【变式2】 在等腰中，，高所在的直线相交于点F，将沿直线翻折，点C的对称点落在直线上，连接．
(1)如图1，当时，
①求证：；
②求的度数．
(2)当时，补全图2，并求证：．
【变式3】如图，中，，，是的高，将沿折叠得到，点落在线段上．
(1)求的度数．
(2)过点作的平分线交于点，若，求的长．
考点5：轴对称的应用——规律探究
典例5：如图，已知和关于直线对称；如图，在射线上取点，连接，；如图，在射线上取点连接，，依此规律，第个图形中全等三角形的对数是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】如图，弹性小球从点P出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当小球第1次碰到矩形的边时的点为Q，第2次碰到矩形的边时的点为M，…．第2022次碰到矩形的边时的点为图中的（　　）
A．点P B．点Q C．点M D．点N
【变式2】 下面四个图形是标出了长宽之比的台球桌的俯视图，一个球从一个角落以角击出，在桌子边沿回弹若干次后，最终必将落入角落的一个球囊．图中回弹次数为次，图中回弹次数为次，图中回弹次数为次，图中回弹次数为次．若某台球桌长宽之比为，按同样的方式击球，球在边沿回弹的次数为 次．
【变式3】如图是一组按照某种规律摆放成的图案，则第2019个图案 轴对称图形(填“是”或“不是”)．
考点6：轴对称的应用——镜面对称
典例6：如图，小狗皮皮看到镜子里的自己，觉得很奇怪，此时他所看到的全身像是（　　）
A． B． C． D．
【变式1】甲在照镜子，如图，镜子里哪个是他的像？（ ）
A． B． C． D．
【变式2】 小强站在镜前，从镜中看到镜子对面墙上挂着的电子钟，则如图所示的电子钟的实际时刻是 ．
【变式3】小明从镜子里看到对面电子钟的像如图所示，则实际时间是 ．

考点7：轴对称的应用——网格图
典例7：如图，在边长为1的小正方形所组成的网格上，每个小正方形的顶点都称为“格点”，的顶点都在格点上，用直尺完成下列作图：
(1)作出关于直线的对称图形；
(2)的面积为______．
【变式1】数学活动课上，张老师组织同学们设计多姿多彩的几何图形，下图都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有3个小等边三角形已涂上阴影，请同学们在余下的空白小等边三角形中选取一个涂上阴影，使得4个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形，请画出4种不同的设计图形．
【变式2】 如图是的正方形网格，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形
(1)在图中画出三角形关于直线l成轴对称的三角形；
(2)在该网格中是否还存在与三角形成轴对称的其它格点三角形？如果存在，请在备用图中画出该三角形，并画出相应的对称轴．（对称三角形的顶点字母可省略不写）
【变式3】如图是由边长为1的小正方形组成的正方形网格，是格点三角形（三角形的三个顶点都在正方形的顶点）上．
(1)是______三角形；（按角分类）
(2)的面积是______；
(3)作出格点，使与全等，且以A，B，C，D为顶点的四边形是轴对称图形．（作出一个符合要求的即可）
考点8：轴对称的应用——综合应用
典例8：已知：如图①长方形纸片中，．将长方形纸片沿直线翻折，使点落在边上，记作点，如图②．
(1)当，时，求线段的长度；
(2)设、，如果再将沿直线向右起折，使点落在射线上，记作点，若设线段，请根据题意画出图形，并求出的值；
(3)设，，沿直线向右翻折后交边于点，连接，当时，求的值．
【变式1】在数学实验课上，老师让学生以“折叠筝形”为主题开展数学实践探究活动．定义：两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．
(1)概念理解：如图1，将一张纸对折压平，以折痕为边折出一个三角形，然后把纸展平，折痕为四边形．判断四边形的形状：______筝形（填“是”或“不是”）；
(2)性质探究：如图2，已知四边形纸片是筝形，请用测量、折叠等方法猜想筝形的角、对角线有什么几何特征，然后写出一条性质并进行证明；
(3)拓展应用：如图3，是锐角的高，将沿边翻折后得到，将沿边翻折后得到，延长，交于点G．若，当是等腰三角形时，的度数为______．
【变式2】 综合实践课上，同学们动手折叠一张正方形纸片，如图，点M是边 的中点，点P、Q是边上的两个动点，连接，将折叠，使点A 落在线段上的点处，是折痕，将折叠，使点B落在线段上的点处，是折痕．
(1)如图1，当点P与点Q重合时．
①线 段与 线 段 的位置关系是_______；
②找出的一个补角，并说明理由；
(2)如图2，当点P在点Q的左侧时，，求出的度数；
(3)若，直接写出的度数（用含α的代数式表示）．
【变式3】在直角三角形ABC中，，点D，E分别在上，将沿翻折，得到．
(1)如图①，若，则______；

(2)如图②，的平分线交线段于点G.若，求证．

(3)已知，的平分线交直线于点G.当的其中一条边与平行时，直接写出的度数（可用含的式表示）．

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