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专题03 乘法公式
（一）平方差公式
平方差公式：（a＋b）（a－b）＝a2－b2
【运用平方差公式注意事项】
①对因式中各项的系数、符号要仔细观察、比较，不能误用公式．如：(a＋3b)(3a-b)，不能运用平方差公式．
②公式中的字母a、b可以是一个数、一个单项式、一个多项式。所以，当这个字母表示一个负数、分式、多项式时，应加括号避免出现只把字母平方，而系数忘了平方的错误．
（二）完全平方公式
完全平方公式：（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2
（a－b）2＝a2－2ab＋b2
【扩展】
扩展一(公式变化)： +
+2ab
扩展二： + = 2(+ )
- = 4ab
考点1：平方差公式
典例1：下列各式中，能用平方差公式计算的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】运用平方差公式进行运算
【分析】本题考查了平方差公式，完全平方公式，能用平方差公式的式子特点：两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数．根据平方差公式的结构特点判断即可．
【详解】解：A、，不符合平方差公式的特点，不能用平方差公式计算，不符合题意；
B、，不符合平方差公式的特点，不能用平方差公式计算，不符合题意；
C、没有完全相同的项，也没有互为相反数的项，不能用平方差公式计算，不符合题意；
D、，符合平方差公式的特点，能用平方差公式计算，符合题意；
故选：D．
【变式1】（ ），括号内应填（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】运用平方差公式进行运算
【分析】本题主要考查了平方差公式，熟记公式结构是解题的关键．
逆用平方差公式即可求解．
【详解】解：，
括号内应填，
故选：C．
【变式2】 计算：
（1）（2024上海） ；
（2） ．
【答案】
【知识点】运用平方差公式进行运算
【分析】本题主要考查平方差公式，解答的关键是掌握平方差公式．
（1）变形后利用平方差公式进行运算即可；
（2）变形后利用平方差公式进行运算即可．
【详解】解：（1）
．
故答案为：．
（2）
．
故答案为：．
【变式3】计算：
（1） ；
（2） ；
（3） ．
【答案】
【知识点】运用完全平方公式进行运算、运用平方差公式进行运算、计算多项式乘多项式
【分析】本题考查了多项式乘以多项式，乘法公式；
（1）根据平方差公式进行计算即可求解；
（2）根据完全平方公式进行计算即可求解；
（3）根据多项式乘以多项式进行计算即可求解．
【详解】解：（1） ；
故答案为：．
（2） ；
故答案为：．
（3）
故答案为：．
考点2：平方差公式的简单应用
典例2：对任意整数n，整式的值都能（ ）
A．被10整除 B．被9整除 C．被8整除 D．被7整除
【答案】A
【知识点】整式的混合运算、运用平方差公式进行运算
【分析】本题主要考查了平方差公式、整式的混合运算等知识点，掌握整式的混合运算法则成为解题的关键．
先利用平方差公式、整式的混合运算法则化简，然后化简后的式子中只要含有因数即可解答．
【详解】解：
．
∵n为整数，
∴能被10整除．
故选：A．
【变式1】如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为“友谊数”．下列数中“友谊数”是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】运用平方差公式进行运算
【分析】此题考查了平方差公式，设较小的奇数为，较大的为，根据题意列出算式，求出解判断即可，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
【详解】解：设较小的奇数为，较大的为，
根据题意得：，
、若，即，不为整数，不符合题意；
、若，即，符合题意；
、若，即，不为整数，不符合题意；
若，即，不为整数，不符合题意；
故选：．
【变式2】 定义：若一个正整数能表示为两个正整数，的平方差，且，则称这个正整数为“师一优数”．例如：，，56就是一个“师一优数”．若将“师一优数”按从小到大排列，则第1个“师一优数”是 ，第150个“师一优数”是 ．
【答案】 24 1216
【知识点】数字类规律探索、运用平方差公式进行运算
【分析】本题考查了数字类规律探索、平方差公式，理解“师一优数”的定义，正确归纳类推出一般规律是解题关键．设满足“师一优数”的定义的两个正整数分别为和，则“师一优数”可表示为，再分别求出、和时的“师一优数”，归纳类推出一般规律，由此即可得．
【详解】解：设满足“师一优数”的定义的两个正整数分别为和，
则“师一优数”可表示为，
∵为正整数，
当时，第1个“师一优数”为；
当时，第2个“师一优数”为；
当时，第3个“师一优数”为；
归纳类推得：第个“师一优数”可表示为（为正整数）．
当时，，即第150个“师一优数”为1216，
故答案为：24，1216．
【变式3】阅读理解：引入新数，新数满足分配律、结合律与交换律，已知，则的值是 ．
【答案】
【知识点】运用平方差公式进行运算
【分析】本题考查了平方差公式的应用，解题的关键是根据平方差公式对所求式子进行化简．根据平方差公式对所求式子进行化简得到，再代入值计算即可．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
，
原式，
故答案为：．
考点3：平方差公式应用——几何背景
典例3：如图，将大正方形通过剪、割、拼后分解成新的图形，利用等面积法可证明某些乘法公式，在给出的四种拼法中，其中能够验证平方差公式的是（ ）
A．①② B．①③ C．①②③ D．①②④
【答案】C
【知识点】平方差公式与几何图形
【分析】本题考查平方差公式、完全平方公式的几何背景，用不同的代数式表示两个面积相等的部分是解决问题的关键．
根据各个图形的拼图的面积计算方法分别用等式表示后，再进行判断即可．
【详解】图①的如图阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的如图阴影部分是底为，高为的平行四边形，因此面积为，所以有，所以图①可以验证平方差公式；
图②的如图阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的如图阴影部分是长为，宽为的矩形，因此面积为，所以有，所以图②可以验证平方差公式；
图③的如图阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的如图阴影部分是底为，高为的平行四边形，因此面积为，所以有
，所以图③可以验证平方差公式；
图④的如图阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即’，拼成的如图阴影部分是长为，宽为的长方形，因此面积为，所以有，所以图④不能验证平方差公式；
综上所述，能验证平方差公式的有①②③，
故选∶C．
【变式1】如图，将大正方形通过剪、割、拼后组成新的图形，利用等面积法可证明某些乘法公式，在给出的幅图中，其中能够验证平方差公式的有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】C
【知识点】平方差公式与几何图形
【分析】本题考查了平方差公式，完全平方公式的几何背景，用不同的代数式表示两个面积相等的部分是解题的关键．根据各个图形的拼图的面积计算方法用代数式表示后，进行判断即可．
【详解】解：图1可以验证的等式为：，
图1可以验证平方差公式；
图2可以验证的等式为：，
图2可以验证平方差公式；
图3可以验证的等式为：，
图3可以验证平方差公式；
图4可以验证的等式为：，
图4不能验证平方差公式；
故选：C．
【变式2】 从一个边长为a的大正方形纸板中挖出一个边长为b的小正方形，将其裁成四个相同的梯形（如图①），然后拼成一个平行四边形（如图②）．
（1）图①中阴影部分的面积为 ；
（2）图②的面积可以表示为 ；
（3）这验证了平方差公式： ．
【答案】
【知识点】平方差公式与几何图形
【分析】本题考查平方差公式的证明，图①中阴影部分的面积可以表示为大正方形的面积与小正方形面积的差；图②中平行四边形的底为，高为，面积等于；由此可解．
【详解】解：（1）图①中阴影部分的面积为；
（2）图②的面积可以表示为；
（3）这验证了平方差公式：．
【变式3】如图，在边长为的正方形上裁去边长为的正方形．
（1）图，阴影面积是 ；
（2）图是将图中的阴影部分裁开，重新拼成梯形，根据图形可以得到乘法公式 ；
（3）运用得到的公式，计算： ．
【答案】 /
【知识点】运用平方差公式进行运算、平方差公式与几何图形
【分析】（）利用大正方形的面积减小正方形的面积即可求得；
（）根据图阴影面积和图面积相等即可直接填空；
（）根据平方差公式计算即可；
本题考查了平方差公式的证明和应用，理解平方差公式的结构特征是解题的关键．
【详解】解：（）阴影面积是，
故答案为：；
（）图面积为：，
∴根据图形可以得到乘法公式，
故答案为：；
（）
，
故答案为：．
考点4：平方差公式应用——简便运算
典例4：某同学在计算时，把3写成后，发现可以连续运用两数和乘以这两数差公式计算：．请借鉴该同学的经验，计算：（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【知识点】运用平方差公式进行运算
【分析】本题考查平方差公式，将原式乘以之后，连续使用平方差公式进而得出答案．
【详解】解：
，
故选：D．
【变式1】发现：，，，，，，，，依据上述规律，通过计算判断的结果的个位数字是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【知识点】数字类规律探索、运用平方差公式进行运算
【分析】本题考查了平方差公式和尾数特征．解题的关键是熟练掌握平方差公式的运用．观察时注意4的指数的奇偶性与个位数字的关系，利用平方差公式进行计算，然后利用观察的规律解答．
【详解】解：，，，，，，，，
观察上面运算结果发现：当4的指数是奇数时，运算结果的个位数字是4；当4的指数是偶数时，运算结果的个位数字是6；
．
由规律可得的个位数字是6，
∴的结果的个位数字是6．
故选：C．
【变式2】 计算： ．
【答案】
【知识点】有理数的加减混合运算、有理数的乘方运算、运用平方差公式进行运算
【分析】本题考查有理数混合运算，涉及平方差公式，根据平方差公式将恒等变形求解即可得到答案，熟记平方差公式是解决问题的关键．
【详解】解：
，
故答案为：．
【变式3】若，，，则a，b，c的大小关系为 （用“”连接）．
【答案】
【知识点】有理数大小比较、运用平方差公式进行运算
【分析】本题主要考查平方差公式的运用，有理数的大小比较，把各数转化为的形式，再比较即可．
【详解】解：，
，
，
，
，
故答案为：．
考点5：平方差公式应用——实际应用
典例5：为了美化校园环境，学校将正方形花坛的一组对边各增加，另一组对边各减少，则所得长方形花坛的面积与原来相比（ ）
A．减少了 B．增加了 C．保持不变 D．无法确定
【答案】A
【知识点】运用平方差公式进行运算
【分析】本题考查平方差公式的应用．用代数式表示变化前后的面积，比较得出答案．
【详解】解：设原正方形花坛的边长为，则正方形花坛的面积为，
长方形花坛的长和宽分别为，
则长方形花坛的面积为，
，且，
则所得长方形花坛的面积与原来相比减少了，
故选：A．
【变式1】某小区有一正方形草坪，如图所示，小区物业现对该草坪进行改造，将该正方形草坪边方向的长度增加4米，边方向的长度减少4米，则改造后的长方形草坪面积与原来正方形草坪面积相比（ ）
A．增加8平方米 B．增加16平方米 C．减少16平方米 D．保持不变
【答案】C
【知识点】列代数式、整式加减的应用、运用平方差公式进行运算
【分析】本题考查根据图形列代数式解决实际问题，涉及平方差公式、整式减法运算等知识，读懂题意，准确表示出改造前后的长方形草坪面积与原来正方形草坪面积，利用整式运算求解即可得到答案，利用代数式表示出图形面积是解决问题的关键．
【详解】解：如图所示：
设正方形草坪的边长为米，则由题意可知，，
，，
，即改造后的长方形草坪面积与原来正方形草坪面积相比减少16平方米，
故选：C．
【变式2】 有两块正方形纸片，较大的面积比较小的面积大28，较大纸片的边长比较小的纸片的边长大2，则两个纸片的面积分别是 和 ．
【答案】
【知识点】运用平方差公式进行运算、构造二元一次方程组求解
【分析】此题考查了平方差公式及解方程组的能力，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
设大正方形的边长为，小正方形的边长为，根据题意得出 ，，求解即可得出答案．
【详解】解：设大正方形的边长为，小正方形的边长为，
根据题意得：，
可得
解得：，
则大正方形的边长为，小正方形的边长为．
大正方形的面积为，小正方形的面积为．
故答案为：，．
【变式3】古希腊一位庄园主把一边长为a米（）的正方形土地租给老农，第二年他对老农说：“我把这块地的一边增加4米，相邻的一边减少4米，变成长方形土地继续租给你，租金不变”后来老农发现收益减少，感觉吃亏了．聪明的你帮老农算出土地面积其实减少了 平方米．
【答案】16
【知识点】运用平方差公式进行运算
【分析】本题主要平方差公式与几何图形的知识，正确理解题意列出代数式并计算是解题的关键．
分别求出变化前后2次的面积，作差即可．
【详解】原来的土地面积为平方米，第二年的面积为，
∵，
∴减少了16平方米，
故答案为：16．
考点6：完全平方公式
典例6：下列各式中，能用完全平方公式计算的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算
【分析】本题考查了完全平方公式，以及平方差公式，熟练掌握公式是解本题的关键．
利用平方差公式，及完全平方公式判断即可．
【详解】解：A．，此项符合题意；
B．，此项不符合题意；
C．，此项不符合题意；
D．，此项不符合题意．
故选：A．
【变式1】若对于两个多项式的乘积：，能用完全平方公式进行简捷运算，则满足的条件可以是（　　）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【知识点】运用完全平方公式进行运算
【分析】本题考查的是完全平方公式的应用，熟记完全平方公式的特点是解本题的关键．
【详解】解：根据完全平方公式的特点可得：
，
∴，，
故选C
【变式2】 下列算式中，适合运用完全平方公式计算的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】整式的混合运算、运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算
【分析】本题主要考查了完全平方公式，
先根据整式的乘法法则或公式计算，再根据完全平方公式的特征判断即可．
【详解】解：因为没有运用完全平方公式，所以A不符合题意；
因为没有运用完全平方公式，所以B不符合题意；
因为没有运用完全平方公式，所以C不符合题意；
因为运用完全平方公式，所以D符合题意．
故选：D．
【变式3】下列整式乘法能够运用完全平方公式计算的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】运用完全平方公式进行运算、运用平方差公式进行运算
【分析】利用完全平方公式判断即可．
【详解】解：A、，能用平方差公式，故此选项不符合题意；
B、，能用平方差公式，故此选项不符合题意；
C、，能用平方差公式，故此选项不符合题意；
D、，能用完全平方公式，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式和平方差公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
考点7：利用完全平方公式计算
典例7：计算： ．
【答案】
【知识点】计算多项式乘多项式、整式的混合运算、运用完全平方公式进行运算
【分析】此题考查了整式的混合运算，利用多项式乘以多项式的法则和完全平方公式进行计算，再合并同类项即可．
【详解】解：
故答案为：
【变式1】利用完全平方公式计算：
（1） ；
（2） ；
（3） ．
【答案】 ； ；
【知识点】计算多项式乘多项式、运用完全平方公式进行运算
【分析】本题考查了多项式的乘法-完全平方公式，熟记乘法公式是解本题的关键．
（1）用完平方公式式求解即可；
（2）用完全平方公式求解即可；
（3）用完全平方公式求解好可．
【详解】（1）；
（2）；
（3）；
故答案为：；；．
【变式2】 （1） ；（2） ；（3）
【答案】 4 2 9 3 16 4
【知识点】运用完全平方公式进行运算
【分析】（1）利用完全平方公式进行配方解题即可；
（2）利用完全平方公式进行配方解题即可；
（3）利用完全平方公式进行配方解题即可．
【详解】解：（1）；
（2）；
（3）；
故答案为：4；2；9；3；16；4．
【点睛】本题考查运用完全平方公式进行配方，掌握需添加一次项系数的一半的平方是解题的关键．
【变式3】计算：（1） ；（2） ．
【答案】
【知识点】运用完全平方公式进行运算
【分析】根据完全平方公式的运算法则计算即可．
【详解】解：（1）
，
故答案为：；
（2）
，
故答案为：．
【点睛】本题考查完全平方公式，多项式乘多项式．掌握是解题的关键．
考点8：完全平方公式应用——几何背景
典例8：把长和宽分别为和的四个相同的小长方形按不同方式拼成如图1的正方形和如图2的大长方形这两个图形，由两图形中阴影部分面积之间的关系可以验证等式（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用
【分析】本题考查的是利用几何图形的面积证明乘法公式，掌握“利用图形面积的不同的计算方法证明乘法公式”是解本题的关键．
由图1可得：阴影部分的面积为： 由图2可得：阴影部分的面积为： 再利用阴影部分的面积相等可得答案．
【详解】解：由图1可得：阴影部分的面积为：
由图2可得：阴影部分的面积为：
由阴影部分的面积相等可得：
故选：D．
【变式1】如图，小华同学用四个边长为的正方形、两个长和宽分别为和的长方形拼成图1和图2．则下列四个关系式中，能利用图1和图2验证的是（ ）
①；②；③；④．
A．①② B．②③ C．①③ D．②④
【答案】D
【知识点】多项式乘多项式与图形面积、平方差公式与几何图形、完全平方公式在几何图形中的应用
【分析】本题主要考查了整式乘法与几何图形面积，即运用几何直观理解、解决整式的乘法与几何图形的面积之间的联系，通过几何图形之间的数量关系对整式乘法做出几何解释．
根据图1、2不能得，可判断①；图1的面积可表示为，图2的面积可表示为，图1和图2的面积相等，据此可判断②；可看作边长为的正方形的面积，画出图形即可③；图2的面积可看作边长为的正方形减去一个边长为的正方形，据此可判断④，进而可得答案．
【详解】解：①根据图1、2不能得，不能验证，故①不符合题意；
②图1的面积可表示为，图2的面积可表示为，图1和图2的面积相等，故图1，图2可验证，②符合题意；
③可看作边长为的正方形的面积，如图所示：
图中阴影部分的面积即可表示成，与图1、图2的面积不相等，不能验证，③不符合题意；
④图2的面积可看作边长为的正方形减去一个边长为的正方形，图2可验证，④符合题意，
故选：D．
【变式2】 我国汉代数学家赵爽利用一幅“弦图”，证明了勾股定理，后人称该图为“赵爽弦图”．如图，“赵爽弦图”是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．如果该大正方形面积为49，小正方形面积为4，用，表示直角三角形的两直角边，下列四个推断：①；②；③；④．其中正确的推断是 ．
【答案】①②③
【知识点】以弦图为背景的计算题、完全平方公式在几何图形中的应用、通过对完全平方公式变形求值、求一个数的平方根
【分析】本题主题考查了勾股定理的证明，完全平方公式变形求值．根据所给图形，用含x和y的代数式分别表示出图中各部分图形的面积，再结合各部分图形面积之间的关系即可解决问题．
【详解】解：∵大正方形的面积为49，
∴大正方形的边长为7，
则由勾股定理得，．
故①正确．
∵小正方形的面积为4，
∴小正方形的边长为2，
∴；
故②正确．
∵，
∴，
∴．
故③正确．
∵，
∴（舍负值）．
故④错误．
故答案为：①②③．
【变式3】分别观察下列四组图形，在每个图形的下方，都有一个等式，其中图形与等式之间的对应关系表达相符的共有 组．（填组数）

【答案】4
【知识点】多项式乘多项式与图形面积、完全平方公式在几何图形中的应用
【分析】本题考查了多项式乘以多项式与图形面积，完全平方公式与图形面积，数形结合是解题的关键．
分别用两种方法表示图形面积，用大长方形的面积等于几个小的长方形或正方形的面积和，逐项分析判断
即可求解．
【详解】解：图，整体长方形的长为，宽为，因此面积为，
整体长方形由三个长方形构成的，这三个长方形的面积和为、、，
所以有：，
因此图符合题意；
图，整体长方形的长为，宽为，因此面积为，
整体长方形由四个长方形构成的，这四个长方形的面积和为，
所以有：，
因此图符合题意；
图，整体正方形的边长为，因此面积为，
整体正方形由四个部分构成的，这四个部分的面积和为，
所以有：，
因此图符合题意；
图，整体正方形的边长为，因此面积为，
整体正方形由四个部分构成的，其中较大的正方形的边长为，因此面积为，较小正方形的边长为，因此面积为，
另外两个长方形的长为，宽为，则面积为，
所以有，
即，
因此图4符合题意；
综上所述，4组均符合题意；
故答案为：4．
考点9：完全平方公式应用——简便运算
典例9：用简便方法计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)90000
(2)10000
【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算
【分析】本题考查了平方差公式和完全平方公式的应用，熟记公式的形式是解题关键．
（1）将原式写成，利用完全平方公式即可求解；
（2）将原式写成，利用平方差公式即可求解．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【变式1】运用乘法公式简便计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算
【分析】本题主要考查了运用完全平方公式和平方差公式进行计算；熟练掌握完全平方公式，平方差公式，是解题的关键．
（1）把写成，然后使用完全平方公式进行计算即可；
（2）把写成，然后使用平方差公式进行计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）
．
【变式2】 用简便方法计算：
(1)
(2)
(3)
【答案】(1)996004；
(2)；
(3)1
【知识点】运用完全平方公式进行运算
【分析】此题考查了乘法公式，熟练掌握公式是解答本题的关键．完全平方公式是；平方差公式是．
（1）把原式变为，利用完全平方公式计算；
（2）把原式变为，利用完全平方公式计算
（3）把原式变为，逆用完全平方公式计算；
【详解】（1）
（2）
（3）
【变式3】运用所学乘法公式进行简便运算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【知识点】有理数四则混合运算、运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算
【分析】本题考查了乘法的平方差公式，完全平方公式的应用，根据题意构造公式是解题的关键．
（1）将化为，利用平方差公式求解即可；
（2）将化为，利用完全平方公式求解即可．
【详解】（1）解：，
，
，
，
，
，
，
；
（2）
，
，
考点10：完全平方公式应用——求变形式
典例10：请阅读下列材料：
我们可以通过以下方法求代数式的最小值．
，
∵，
∴当时，有最小值．
请根据上述方法，解答下列问题：
(1)，则的值是______；
(2)求当x为何值时，代数式有最小值？并求出最小值为多少．
【答案】(1)
(2)当时，有最小值，最小值为
【知识点】通过对完全平方公式变形求值
【分析】本题考查了完全平方公式的应用，配方法的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）读懂题意，得，则，，即可作答．
（2）模仿题干，则，结合，则当时，有最小值，即可作答．
【详解】（1）解：依题意，则，
∴，，
∴；
故答案为：；
（2）解：依题意，，
∵，
∴当时，有最小值．
【变式1】已知，求下列代数式的值：
(1)；
(2)．
【答案】(1)11
(2)626
【知识点】通过对完全平方公式变形求值
【分析】题目主要考查利用完全平方公式变形求值，熟练掌握完全平方公式是解题关键．
（1）根据完全平方公式变形求值即可；
（2）根据完全平方公式变形求值即可．
【详解】（1）解：因为，
所以．
（2）因为，
所以，
所以．
【变式2】 已知．
(1)求的值；
(2)若，求的值．
【答案】(1)
(2)
【知识点】通过对完全平方公式变形求值
【分析】题目主要考查完全平方公式，根据题意进行变形求解即可．
（1）根据完全平方公式变形求解即可；
（2）根据完全平方公式变形求解即可．
【详解】（1）解：因为，
所以，
所以，
所以．
（2）因为由（1）可知，
所以．
因为，所以．
【变式3】用乘法公式计算．
(1)已知，，求的值．
(2)已知，求的值．
【答案】(1)53
(2)14
【知识点】通过对完全平方公式变形求值
【分析】（1）根据，，求和解答即可．
（2）根据完全平方公式解答即可．
本题考查了完全平方公式的变形计算，求代数式的值，熟练掌握公式是解题的关键．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵，，
∴．
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴．
考点11：乘法公式的应用——新定义
典例11：定义：将多项式变形为的形式，我们称为配方．其本质是完全平方公式的逆用，即：．
例如：若将多项式进行配方，则．
配方法在解决最值问题、代数式求值问题等均有广泛应用．
(1)将多项式配方为的形式，则__________， __________；
(2)若多项式，证明：无论取何值，均成立；
(3)已知为直角三角形的两条直角边的长，斜边长为，关于的代数式可变形为（为常数），求的值．
【答案】(1)；
(2)见解析
(3)
【知识点】运用完全平方公式进行运算
【分析】本题主要考查了配方法的应用，掌握完全平方公式是解题的关键．
（1）由即可得到的值；
（2）把的式子带入得到，利用完全平方公式的非负性得到结果；
（3）由题意得到，，利用求出的值．
【详解】（1）解：，
，
故答案为：，；
（2）解：，
，
；
，
．
无论x取何值，均成立；
（3）解：，
，
，
，
在直角三角形中，斜边长为6，
，
，
，
，
答：的值为．
【变式1】定义：若i的平方等于，即，则i叫做虚数单位．我们把形如（a，b为实数）的数叫做复数，a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部．复数有如下特点：
①它的加减法和乘法运算，与整式的加减法和乘法运算类似，如：
；．
②若两个复数的实部相等，且虚部互为相反数，则称这两个复数为共轭复数．如的共轭复数为．
(1)填空：① ； ② ；
(2)若是的共轭复数，求的值；
(3)已知，求的值．
【答案】(1)①5；②
(2)1
(3)3
【知识点】新定义下的实数运算、运用完全平方公式进行运算、运用平方差公式进行运算、通过对完全平方公式变形求值
【分析】本题主要是考查新定义运算问题及完全平方公式．
（1）按照定义及完全平方公式计算即可；
（2）先按照完全平方式及定义展开运算，求出a和b的值，再代入要求得式子求解即可；
（3）按照定义计算及的值，再利用完全平方公式的变形得出的值．
【详解】（1）解：①；
故答案为：5；
②；
故答案为：；
（2）解：∵，是的共轭复数，
∴，
∴；
（3）解：∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴．
【变式2】 对于实数a，b，定义新运算“*”，规定如下：．
例如：．
(1)若，求的值．
(2)若，求的值．
(3)若，，求的值．
【答案】(1)20
(2)6
(3)3或
【知识点】已知式子的值，求代数式的值、运用平方差公式进行运算、通过对完全平方公式变形求值
【分析】此题主要考查了整式的混合运算，读懂题意，理解新定义运算的运算规定，掌握完全平方公式、平方差公式及变形是解决本题的关键．
（1）先按给出的新定义运算，再整体代入求值；
（2）先按给出的新定义运算，再整体代入求值；
（3）先按给出的新定义运算，再根据已知，利用完全平方公式及变形求出的值，最后代入计算．
【详解】（1）解：
．
当时，
原式；
（2）
．
，
即．
原式
；
（3）
．
，，
，即．
．
．
．
或．
当，时，
原式；
当，时，
原式．
【变式3】定义：若数p可以表示成（x，y为自然数）的形式，则称p为“希尔伯特”数．例如：，，…所以3，39，147是“希尔伯特”数．
(1)请写出两个10以内的“希尔伯特”数．
(2)已知两个“希尔伯特”数，它们都可以用连续两个奇数按定义给出的运算表达出来，且它们的差是224，求这两个“希尔伯特”数．
【答案】(1)和1是“希尔伯特“数；
(2)327和103或903和679．
【知识点】运用平方差公式进行运算、整式的混合运算、新定义下的实数运算
【分析】（1）直接结合“希尔伯特”数的新定义求解即可；
（2）依题意，设两个“希尔伯特”数分别为：和，为自然数），进一步求解即可．
本题考查了实数 的新定义题型，平方差公式，整式的混合运算，做题的关键是抓住“希尔伯特”数的新定义求解．
【详解】（1）解：依题意，结合“希尔伯特”数的新定义直接写出两个：
，，
和1是“希尔伯特“数；
（2）解：依题意，设两个“希尔伯特”数分别为：和，为自然数），
由题意得：，
化简得：，
，
可得整数解：或，
这两个“希尔伯特”数分别为：327和103或903和679．
考点12：乘法公式的应用——规律探究
典例12：观察下列等式：
；
；
；
；
…
(1)请将2024写成两个整数平方差的形式：
；
(2)用含有字母n（n为正整数）的等式表示这一规律，并用已学的数学知识验证这一规律；
(3)相邻的两个整数的平方差是4的倍数吗？请说说你的理由．
【答案】(1)507，505
(2)规律：，验证见解析
(3)不是．理由见解析
【知识点】运用平方差公式进行运算
【分析】本题考查了平方差公式的应用，熟练掌握平方差公式是解此题的关键．
（1）根据并结合题中所给式子即可得解；
（2）根据题中所给式子得出规律，再结合平方差公式验证即可；
（3）设相邻的两个整数分别为，，其中为整数，再利用平方差公式验证即可．
【详解】（1）解：∵，
∴；
（2）解：规律：，验证如下：
∵，
∴；
（3）解：相邻的两个整数的平方差不是4的倍数，理由如下：
设相邻的两个整数分别为，，其中为整数，
∴，
∵为奇数，不是的倍数，
∴相邻的两个整数的平方差不是4的倍数．
【变式1】观察下列等式，并回答问题．
，
…
(1)将写成两整数平方差的形式：= -
(2)用含有字母n（的整数）的等式表示这一规律，并用已学的知识验证这一规律．
(3)相邻的两个整数的平方差一定是4的倍数吗？请说说你的理由．
【答案】(1)，
(2)（的整数），见解析
(3)不是，见解析
【知识点】运用平方差公式进行运算
【分析】本题考查了数字的变化类，整式的运算，解题的关键是整理题目给出的规律．
（1）根据题意给出的规律即可求出答案；
（2）利用整式的运算法则即可验证；
（3）根据题意列出式子即可求证．
【详解】（1）解：，
由题意可知：，
∴
故答案为：，；
（2）解：由题意可知：（的整数），
证明：右边左边；
（3）解：相邻的两个整数的平方差不是4的倍数，理由如下：
设相邻的两个整数分别：，
根据题意可知：，
∵的整数，
∴为奇数，
∴相邻的两个整数的平方差不是4的倍数．
【变式2】 观察：；．
嘉嘉发现规律：比任意一个偶数大3的数与此偶数的平方差能被3整除．
验证：
（1）的结果是3的______倍；
（2）设偶数为，试说明比大3的数与的平方差能被3整除；
延伸：
（3）比任意一个整数大3的数与此整数的平方差被6整除的余数是几？请说明理由．
【答案】（1）；（2）见解析；（3）3
【知识点】运用平方差公式进行运算
【分析】本题主要考查了平方差公式的应用；
（1）计算出92-62的结果，即可；
（2）由题意得偶数为，比偶数大3的数为，再利用平方差公式计算，即可；
（3）设这个数为，比大3的数为，再利用平方差公式计算，即可．
【详解】（1），
∴是3的15倍；
故答案为：；
（2）由题意得偶数为，比偶数大3的数为，
∴
∵为整数，
∴能被3整除；
（3）余数为3，理由如下：
设这个数为，比大3的数为，
所以被6整除余3，余数为3．
【变式3】我国南宋数学家杨辉用三角形解释了二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”，这个三角形给出了 （，2，3，…）的展开式的系数规律（按a的幂次由大到小的顺序排列）：
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
……
请依据上述规律，写出：
(1)的展开式：　　　　；
(2)的展开式：　　　　；
(3)的展开式中的系数是　　　　；
(4)的展开式中的系数是　　　　．
【答案】(1)
(2)
(3)2024
(4)
【知识点】单项式的系数、次数、多项式乘法中的规律性问题、运用完全平方公式进行运算
【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，多项式乘法中的规律性问题，单项式的系数等知识，掌握杨辉三角的规律是解题的关键．
（1）按照杨辉三角展开式的规律直接代入计算即可．
（2）按照杨辉三角展开式的规律直接代入计算即可．
（3）由杨辉三角规律可知：含的项是的展开式中的第二项，写出的展开式中第二项即可得出答案．
（4）由杨辉三角规律可知：含的项是的展开式中的第二项，写出的展开式中第二项即可得出答案．
【详解】（1）解：
（2）解：由杨辉三角可知：，
∴
（3）解：由杨辉三角规律可知：含的项是的展开式中的第二项，
∴的展开式中第二项为：
∴的展开式中的系数是2024．
（4）解：∵的展开式中是第二项即，
∴的展开式中的系数是．
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专题03 乘法公式
（一）平方差公式
平方差公式：（a＋b）（a－b）＝a2－b2
【运用平方差公式注意事项】
①对因式中各项的系数、符号要仔细观察、比较，不能误用公式．如：(a＋3b)(3a-b)，不能运用平方差公式．
②公式中的字母a、b可以是一个数、一个单项式、一个多项式。所以，当这个字母表示一个负数、分式、多项式时，应加括号避免出现只把字母平方，而系数忘了平方的错误．
（二）完全平方公式
完全平方公式：（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2
（a－b）2＝a2－2ab＋b2
【扩展】
扩展一(公式变化)： +
+2ab
扩展二： + = 2(+ )
- = 4ab
考点1：平方差公式
典例1：下列各式中，能用平方差公式计算的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1】（ ），括号内应填（ ）
A． B． C． D．
【变式2】 计算：
（1）（2024上海） ；
（2） ．
【变式3】计算：
（1） ；
（2） ；
（3） ．
考点2：平方差公式的简单应用
典例2：对任意整数n，整式的值都能（ ）
A．被10整除 B．被9整除 C．被8整除 D．被7整除
【变式1】如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为“友谊数”．下列数中“友谊数”是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】 定义：若一个正整数能表示为两个正整数，的平方差，且，则称这个正整数为“师一优数”．例如：，，56就是一个“师一优数”．若将“师一优数”按从小到大排列，则第1个“师一优数”是 ，第150个“师一优数”是 ．
【变式3】阅读理解：引入新数，新数满足分配律、结合律与交换律，已知，则的值是 ．
考点3：平方差公式应用——几何背景
典例3：如图，将大正方形通过剪、割、拼后分解成新的图形，利用等面积法可证明某些乘法公式，在给出的四种拼法中，其中能够验证平方差公式的是（ ）
A．①② B．①③ C．①②③ D．①②④
【变式1】如图，将大正方形通过剪、割、拼后组成新的图形，利用等面积法可证明某些乘法公式，在给出的幅图中，其中能够验证平方差公式的有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【变式2】 从一个边长为a的大正方形纸板中挖出一个边长为b的小正方形，将其裁成四个相同的梯形（如图①），然后拼成一个平行四边形（如图②）．
（1）图①中阴影部分的面积为 ；
（2）图②的面积可以表示为 ；
（3）这验证了平方差公式： ．
【变式3】如图，在边长为的正方形上裁去边长为的正方形．
（1）图，阴影面积是 ；
（2）图是将图中的阴影部分裁开，重新拼成梯形，根据图形可以得到乘法公式 ；
（3）运用得到的公式，计算： ．
考点4：平方差公式应用——简便运算
典例4：某同学在计算时，把3写成后，发现可以连续运用两数和乘以这两数差公式计算：．请借鉴该同学的经验，计算：（ ）
A． B． C．1 D．2
【变式1】发现：，，，，，，，，依据上述规律，通过计算判断的结果的个位数字是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【变式2】 计算： ．
【变式3】若，，，则a，b，c的大小关系为 （用“”连接）．
考点5：平方差公式应用——实际应用
典例5：为了美化校园环境，学校将正方形花坛的一组对边各增加，另一组对边各减少，则所得长方形花坛的面积与原来相比（ ）
A．减少了 B．增加了 C．保持不变 D．无法确定
【变式1】某小区有一正方形草坪，如图所示，小区物业现对该草坪进行改造，将该正方形草坪边方向的长度增加4米，边方向的长度减少4米，则改造后的长方形草坪面积与原来正方形草坪面积相比（ ）
A．增加8平方米 B．增加16平方米 C．减少16平方米 D．保持不变
【变式2】 有两块正方形纸片，较大的面积比较小的面积大28，较大纸片的边长比较小的纸片的边长大2，则两个纸片的面积分别是 和 ．
【变式3】古希腊一位庄园主把一边长为a米（）的正方形土地租给老农，第二年他对老农说：“我把这块地的一边增加4米，相邻的一边减少4米，变成长方形土地继续租给你，租金不变”后来老农发现收益减少，感觉吃亏了．聪明的你帮老农算出土地面积其实减少了 平方米．
考点6：完全平方公式
典例6：下列各式中，能用完全平方公式计算的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1】若对于两个多项式的乘积：，能用完全平方公式进行简捷运算，则满足的条件可以是（　　）
A．， B．，
C．， D．，
【变式2】 下列算式中，适合运用完全平方公式计算的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式3】下列整式乘法能够运用完全平方公式计算的是（ ）
A． B． C． D．
考点7：利用完全平方公式计算
典例7：计算： ．
【变式1】利用完全平方公式计算：
（1） ；
（2） ；
（3） ．
【变式2】 （1） ；（2） ；（3）
【变式3】计算：（1） ；（2） ．
考点8：完全平方公式应用——几何背景
典例8：把长和宽分别为和的四个相同的小长方形按不同方式拼成如图1的正方形和如图2的大长方形这两个图形，由两图形中阴影部分面积之间的关系可以验证等式（ ）
A． B．
C． D．
【变式1】如图，小华同学用四个边长为的正方形、两个长和宽分别为和的长方形拼成图1和图2．则下列四个关系式中，能利用图1和图2验证的是（ ）
①；②；③；④．
A．①② B．②③ C．①③ D．②④
【变式2】 我国汉代数学家赵爽利用一幅“弦图”，证明了勾股定理，后人称该图为“赵爽弦图”．如图，“赵爽弦图”是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．如果该大正方形面积为49，小正方形面积为4，用，表示直角三角形的两直角边，下列四个推断：①；②；③；④．其中正确的推断是 ．
【变式3】分别观察下列四组图形，在每个图形的下方，都有一个等式，其中图形与等式之间的对应关系表达相符的共有 组．（填组数）

考点9：完全平方公式应用——简便运算
典例9：用简便方法计算：
(1)；
(2)．
【变式1】运用乘法公式简便计算：
(1)；
(2)．
【变式2】 用简便方法计算：
(1)
(2)
(3)
【变式3】运用所学乘法公式进行简便运算：
(1)；
(2)．
考点10：完全平方公式应用——求变形式
典例10：请阅读下列材料：
我们可以通过以下方法求代数式的最小值．
，
∵，
∴当时，有最小值．
请根据上述方法，解答下列问题：
(1)，则的值是______；
(2)求当x为何值时，代数式有最小值？并求出最小值为多少．
【变式1】已知，求下列代数式的值：
(1)；
(2)．
【变式2】 已知．
(1)求的值；
(2)若，求的值．
【变式3】用乘法公式计算．
(1)已知，，求的值．
(2)已知，求的值．
考点11：乘法公式的应用——新定义
典例11：定义：将多项式变形为的形式，我们称为配方．其本质是完全平方公式的逆用，即：．
例如：若将多项式进行配方，则．
配方法在解决最值问题、代数式求值问题等均有广泛应用．
(1)将多项式配方为的形式，则__________， __________；
(2)若多项式，证明：无论取何值，均成立；
(3)已知为直角三角形的两条直角边的长，斜边长为，关于的代数式可变形为（为常数），求的值．
【变式1】定义：若i的平方等于，即，则i叫做虚数单位．我们把形如（a，b为实数）的数叫做复数，a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部．复数有如下特点：
①它的加减法和乘法运算，与整式的加减法和乘法运算类似，如：
；．
②若两个复数的实部相等，且虚部互为相反数，则称这两个复数为共轭复数．如的共轭复数为．
(1)填空：① ； ② ；
(2)若是的共轭复数，求的值；
(3)已知，求的值．
【变式2】 对于实数a，b，定义新运算“*”，规定如下：．
例如：．
(1)若，求的值．
(2)若，求的值．
(3)若，，求的值．
【变式3】定义：若数p可以表示成（x，y为自然数）的形式，则称p为“希尔伯特”数．例如：，，…所以3，39，147是“希尔伯特”数．
(1)请写出两个10以内的“希尔伯特”数．
(2)已知两个“希尔伯特”数，它们都可以用连续两个奇数按定义给出的运算表达出来，且它们的差是224，求这两个“希尔伯特”数．
考点12：乘法公式的应用——规律探究
典例12：观察下列等式：
；
；
；
；
…
(1)请将2024写成两个整数平方差的形式：
；
(2)用含有字母n（n为正整数）的等式表示这一规律，并用已学的数学知识验证这一规律；
(3)相邻的两个整数的平方差是4的倍数吗？请说说你的理由．
【变式1】观察下列等式，并回答问题．
，
…
(1)将写成两整数平方差的形式：= -
(2)用含有字母n（的整数）的等式表示这一规律，并用已学的知识验证这一规律．
(3)相邻的两个整数的平方差一定是4的倍数吗？请说说你的理由．
【变式2】 观察：；．
嘉嘉发现规律：比任意一个偶数大3的数与此偶数的平方差能被3整除．
验证：
（1）的结果是3的______倍；
（2）设偶数为，试说明比大3的数与的平方差能被3整除；
延伸：
（3）比任意一个整数大3的数与此整数的平方差被6整除的余数是几？请说明理由．
【变式3】我国南宋数学家杨辉用三角形解释了二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”，这个三角形给出了 （，2，3，…）的展开式的系数规律（按a的幂次由大到小的顺序排列）：
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
……
请依据上述规律，写出：
(1)的展开式：　　　　；
(2)的展开式：　　　　；
(3)的展开式中的系数是　　　　；
(4)的展开式中的系数是　　　　．
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