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专题01 幂的运算
（一）幂的运算
①同底数幂的乘法：am·an=am+n。同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
②幂的乘方：(am)n=amn。幂的乘方，底数不变，指数相乘。
③积的乘方：(ab)n=anbn。积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
④同底数幂的除法：am÷an=am-n。同底数幂相除，底数不变，指数相减。
任何不等于0的数的0次幂都等于1。
考点1：同底数幂乘法
典例1：下列运算中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】代数式可以表示为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】 观察下列等式：…现有一组数：，如果，那么这组数据的和为 （用含S的代数式表示）．
【变式3】 ．
考点2：同底数幂乘法的逆用
典例2：计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】如图，在甲、乙、丙三只袋中分别装有小球16个、28个、28个，先从甲袋中取出个小球放入乙袋，再从乙袋中取出个小球放入丙袋，最后从丙袋中取出个小球放入甲袋，此时三只袋中球的个数都相同，则的值等于（ ）
A．128 B．64 C．32 D．16
【变式2】 计算： ．
【变式3】（1）若，则的值为 ；
（2）若，则的值为 ．
考点3：幂的乘方法则
典例3：计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】已知，则x的值为（　　）
A．17 B．16 C．15 D．14
【变式2】 如果，那么 ．
【变式3】如果， 那么我们规定． 例如：因为， 所以． 根据上述规定，若， 且满足， 则 ．
考点4：幂的乘方逆用
典例4：已知，，，，则 a、b、c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】已知，，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．2000 D．
【变式2】 若，则 ．
【变式3】我们定义：三角形，四边形；若，则 ．
考点5：幂的乘方综合运算
典例5：阅读下面的材料：
材料一：比较和的大小． 材料二：比较和的大小．
解：因为，且，所以，即． 解：因为，且，所以，即．
小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小． 小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小．
解决下列问题：
(1)比较，，的大小；
(2)比较，，的大小．
【变式1】计算
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)．
【变式2】 计算
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)．
【变式3】计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
考点6：积的乘方
典例6：下列算式中，正确的算式有（ ）
①；②；③；
④；⑤；⑥．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式1】的运算结果是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】 通过探究，当为正整数时，，那么根据这一结论，请计算 ．
【变式3】若，则 ．
考点7：积的乘方逆用
典例7：计算的值等于（ ）
A．4 B． C．5 D．
【变式1】已知，那么的值等于（ ）
A． B． C． D．
【变式2】 计算： ．
【变式3】若，则 的值是 ．
考点8：积的乘方综合运算
典例8：计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)．
【变式1】在数学中，我们经常会运用逆向思考的方法来解决一些问题，例如：“若，，求的值．”这道题我们可以这样思考：逆向运用同底数幂的乘法公式，即，所以，所以．
(1)若，，请你也利用逆向思考的方法求出的值．
(2)下面是小贤用逆向思考的方法完成的一道作业题，请你参考小贤的方法解答下面的问题：
小贤的作业
计算：．
解：．
①小贤的求解方法逆用了哪一条幂的运算性质，直接写出该逆向运用的公式：______．
②计算：．
【变式2】 计算：
(1)；
(2)．
【变式3】已知，求下列代数式的值：（结果用含的代数式表示）
(1)的值；
(2)的值；
(3)的值．
考点9：同底数幂除法
典例9：已知，求的值是（ ）
A．9 B．8 C．6 D．5
【变式1】若“※”代表一种运算，的结果是，则“※”代表的运算符号可以为（ ）
A．× B． C．+ D．-
【变式2】 已知，，，，则 ．
【变式3】已知，则 ．
考点10：零指数幂的性质
典例10：若，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【变式1】如果且，那么（ ）
A． B． C． D．或
【变式2】 已知，则m的值为
【变式3】已知，则代数式 ．
考点11：负整数指数幂
典例11：当，是正整数时，可以写成（ ）
A． B． C． D．
【变式1】若有意义，那么x的取值范围是（ ）
A． B． C．或 D．且
【变式2】 规定一种新运算“”：对于任意两个不为0的代数式、，有．那么当，时，的值是 ．
【变式3】若，则a，b，c，d的大小关系为 ．
考点12：同底数幂的逆用
典例12：已知，，，则的值是（ ）
A．212 B．54 C．31 D．27
【变式1】已知，则的值为（ ）
A． B．3 C．9 D．
【变式2】 如果，那么称为的“拉格数”，记为，由定义可知：．例如，因为，所以，．若，则 ．
【变式3】如果，那么称为的“拉格数”，记为由定义可知：．如，则，给出下列关于“拉格数”的结论：
①，②，③，④，⑤
其中正确的结论有 ．
考点13：科学计数法表示小于1的正数
典例13：锂是一种银白色、质较软、密度最小的金属．锂的原子半径为152pm，已知．则锂的原子直径用科学记数法表示为（ ）
A． B．
C． D．
【变式1】芯片制造过程中，需要在芯片表面上沉积各种薄膜层，如金属、绝缘体和半导体. 单位“埃”被用来描述薄膜的厚度，符号为“”.已知，即纳米的十分之一. 若将“”用科学记数法表示，则（ ）
A．8 B． C．9 D．
【变式2】 华为手机搭载的是华为自主研发的麒麟9010芯片，该款芯片达到了7纳米工艺水平，1纳米米，7纳米用科学记数法表示为： 米．
【变式3】中芯国际集成电路制造有限公司，是世界领先的集成电路晶圆代工企业之一，也是中国内地技术最先进、配套最完善、规模最大、跨国经营的集成电路制造企业集团，中芯国际第一代14纳米FinFET技术取得了突破性进展，并于2019年第四季度进入量产，代表了中国大陆自主研发集成电路的最先进水平，14纳米米，用科学记数法表示为 ．
考点14：幂的运算综合应用
典例14：计算：
(1)
(2)
(3)
(4)
【变式1】计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)（为正整数）．
【变式2】 计算或化简
(1)；
(2)；
(3) ．
【变式3】计算：
(1)；
(2)；
(3)
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专题01 幂的运算
（一）幂的运算
①同底数幂的乘法：am·an=am+n。同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
②幂的乘方：(am)n=amn。幂的乘方，底数不变，指数相乘。
③积的乘方：(ab)n=anbn。积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
④同底数幂的除法：am÷an=am-n。同底数幂相除，底数不变，指数相减。
任何不等于0的数的0次幂都等于1。
考点1：同底数幂乘法
典例1：下列运算中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂相乘、幂的乘方运算、积的乘方运算、计算单项式乘单项式
【分析】本题主要考查同底数幂的乘法，积的乘方与幂的乘方，单项式乘以单项式，运用相关运算法则计算出各选项的结果两进行判断即可．
【详解】解：A．，故此选项计算错误，不符合题意；
B. ，计算正确，此选项符合题意；
C. ，故此选项计算错误，不符合题意；
D. ，故此选项计算错误，不符合题意．
故选：B．
【变式1】代数式可以表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】合并同类项、同底数幂相乘、幂的乘方运算、同底数幂的除法运算
【分析】本题主要考查幂的运算，根据同底数幂的乘法和除法，幂的乘方法则，分别计算各个选项后，判断即可解答．
【详解】解：A、与不属于同类项，不能合并，故A选项不符合题意；
B、，故B选项符合题意；
C、，故C选项不符合题意；
D、，故D选项不符合题意．
故选：B．
【变式2】 观察下列等式：…现有一组数：，如果，那么这组数据的和为 （用含S的代数式表示）．
【答案】
【知识点】数字类规律探索、同底数幂相乘
【分析】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的等式，探索出等式的一般规律，并能灵活应用该规律计算是解题的关键．通过观察，然后根据题中所给规律可进行求解．
【详解】解：由…..；可知：
；
∵，
∴；
故答案为．
【变式3】 ．
【答案】
【知识点】乘方运算的符号规律、同底数幂相乘
【分析】本题考查同底数幂的乘法，解题的关键的是掌握：同底数的幂相等，底数不变，指数相加；乘方符号的规律：负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数．据此解答即可．
【详解】解：．
故答案为：．
考点2：同底数幂乘法的逆用
典例2：计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】有理数的乘方运算、同底数幂乘法的逆用、积的乘方的逆用
【分析】本题主要考查了同底数幂乘法的逆运算，积的乘方的逆运算，首先把化成，然后计算乘方，再从左向右依次计算，求出算式的值即可．
【详解】解：
故选：C．
【变式1】如图，在甲、乙、丙三只袋中分别装有小球16个、28个、28个，先从甲袋中取出个小球放入乙袋，再从乙袋中取出个小球放入丙袋，最后从丙袋中取出个小球放入甲袋，此时三只袋中球的个数都相同，则的值等于（ ）
A．128 B．64 C．32 D．16
【答案】C
【知识点】同底数幂乘法的逆用
【分析】本题考查同底数幂的乘法运算，求出原来三袋中小球的个数的平均数，即为最终三只袋中小球的个数，进而求出，将相乘即可得出结果．
【详解】解：最终每只袋中小球的个数为：，
∴，
∴，
∴；
故选C．
【变式2】 计算： ．
【答案】//
【知识点】同底数幂乘法的逆用
【分析】本题考查了幂的运算，逆用同底数幂相乘法则计算即可．
【详解】解：
，
故答案为：．
【变式3】（1）若，则的值为 ；
（2）若，则的值为 ．
【答案】 4
【知识点】同底数幂乘法的逆用、负整数指数幂
【分析】此题主要考查了同底数幂的乘除、幂的乘方与积的乘方运算．
（1）直接利用同底数幂的除法运算法则计算得出答案；
（2）直接利用同底数幂的除法运算法则将原式变形得出答案．
【详解】解：（1）∵，，
∴，
故答案为：；
（2）∵，
∴，
∴
，
故答案为：4．
考点3：幂的乘方法则
典例3：计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】幂的乘方运算、积的乘方运算
【分析】本题考查了积的乘方与幂的乘方，熟练掌握运算法则是解题关键．根据积的乘方与幂的乘方法则计算即可得．
【详解】解：，
故选：C．
【变式1】已知，则x的值为（　　）
A．17 B．16 C．15 D．14
【答案】A
【知识点】同底数幂相乘、幂的乘方运算
【分析】本题主要考查了幂的乘方、同底数幂的乘法，熟练掌握幂的乘方、同底数幂的乘法的运算法则是解题的关键．
根据幂的乘方与同底数幂的乘法法则进行解题即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故选：A．
【变式2】 如果，那么 ．
【答案】81
【知识点】幂的乘方运算、同底数幂相乘、已知式子的值，求代数式的值
【分析】本题主要考查了幂的乘方与同底数幂的乘法运算，熟练掌握运算法则是解题关键．根据幂的乘方运算以及同底数幂的乘法运算法则得出即可．
【详解】解：，
，
则．
故答案为：81．
【变式3】如果， 那么我们规定． 例如：因为， 所以． 根据上述规定，若， 且满足， 则 ．
【答案】
【知识点】同底数幂相乘、幂的乘方运算
【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方等知识．熟练掌握同底数幂的乘法，幂的乘方是解题的关键．由题意知，，，，由，可得，即，计算求解即可．
【详解】解：由题意知，，，，
∵，
∴，即，
解得，，
故答案为：．
考点4：幂的乘方逆用
典例4：已知，，，，则 a、b、c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】有理数大小比较、幂的乘方的逆用
【分析】本题主要考查有理数乘方的应用，解决本题的关键是熟记有理数的乘方法则．应先将化为指数都为11的乘方形式，再比较底数的大小，即可确定出的大小．
【详解】解：，
，
故选：A
【变式1】已知，，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．2000 D．
【答案】B
【知识点】积的乘方的逆用、幂的乘方的逆用、已知式子的值，求代数式的值
【分析】本题考查了幂的乘方运算以及同底数幂相乘，积的乘方，由已知证明可得，进而求得代数式的值．
【详解】解：∵，，
∴，
，
∴；
∴，
．
故选B．
【变式2】 若，则 ．
【答案】3
【知识点】同底数幂相乘、幂的乘方的逆用、同底数幂的除法运算
【分析】本题主要考查同底数幂的乘除法，利用同底数幂乘除法法则求出m的值即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：3．
【变式3】我们定义：三角形，四边形；若，则 ．
【答案】
【知识点】同底数幂乘法的逆用、幂的乘方的逆用
【分析】本题考查了新运算、幂的乘方、积的乘方、整体代入法求代数式的值．首先根据规定的新运算可得，从而可得：，根据幂的乘方和积的乘方的运算法则整理可得：，然后再整体代入计算可得原式．
【详解】解：，
，
．
故答案为： ．
考点5：幂的乘方综合运算
典例5：阅读下面的材料：
材料一：比较和的大小． 材料二：比较和的大小．
解：因为，且，所以，即． 解：因为，且，所以，即．
小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小． 小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小．
解决下列问题：
(1)比较，，的大小；
(2)比较，，的大小．
【答案】(1)
(2)
【知识点】有理数大小比较、幂的乘方的逆用
【分析】（1）根据材料一的结论解答本题；
（2）根据材料二的结论解答本题．
【详解】（1）解：∵，
，
，
∵，
∴；
（2）∵，
，
，
∵，
∴．
【点睛】本题考查幂的乘方，有理数大小比较，解题的关键是明确有理数大小的比较方法及幂的乘方运算法则．
【变式1】计算
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
【知识点】幂的乘方运算
【分析】（1）根据幂的乘方运算法则即可求解；
（2）根据幂的乘方运算法则即可求解；
（3）根据幂的乘方运算法则即可求解；
（4）根据幂的乘方运算法则即可求解；
（5）根据幂的乘方运算法则即可求解．
【详解】（1）解：原式；
（2）解：原式；
（3）解：原式；
（4）解：原式；
（5）解：原式；
【点睛】本题主要考查了幂的乘方运算，解题的关键是掌握：根据幂的乘方，底数不变，指数相乘．
【变式2】 计算
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
【知识点】同底数幂相乘、幂的乘方运算
【分析】①先根据幂的乘方得到原式，然后根据同底数幂的乘法法则运算；
②先根据幂的乘方得到原式，然后合并同类项即可；
③先根据幂的乘方得到原式，然后合并同类项即可；
④先根据幂的乘方得到原式，然后根据同底数幂的乘法法则运算；
⑤先根据幂的乘方和同底数幂的乘法得到原式，然后合并同类项即可．
【详解】（1）解：①原式
；
（2）②原式
；
（3）③原式
；
（4）④原式
；
（5）⑤原式
．
【点睛】本题考查幂的混合运算，涉及同底数幂的乘法，幂的乘方，同类项的合并等知识，正确计算是解题的关键．注意第（4）小题整体思想的运用．
【变式3】计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【知识点】合并同类项、同底数幂相乘、幂的乘方运算
【分析】本题考查了幂的乘方，同底数幂的乘法，合并同类项．
（1）（2）根据幂的乘方法则计算即可；
（3）（4）先根据幂的乘方，同底数幂的乘法法则计算，再合并同类项；
【详解】（1）解：
（2）解：
（3）解：
（4）解：
考点6：积的乘方
典例6：下列算式中，正确的算式有（ ）
①；②；③；
④；⑤；⑥．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】同底数幂相乘、幂的乘方运算、积的乘方运算
【分析】本题考查了幂的运算，熟记运算法则是解题的关键，根据幂的乘方，同底数幂的乘法，积的乘方进行计算即可得出答案．
【详解】解：①，正确；
②，错误；
③，正确；
④，错误；
⑤，正确；
⑥，错误；
综上分析可知：正确的算式为3个．
故选: C．
【变式1】的运算结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】幂的乘方运算、积的乘方运算
【分析】本题考查了积的乘方运算，利用积的乘方和幂的乘方运算法则进行计算即可求解，掌握积的乘方和幂的乘方运算法则是解题的关键．
【详解】解：，
故选：．
【变式2】 通过探究，当为正整数时，，那么根据这一结论，请计算 ．
【答案】
【知识点】含乘方的有理数混合运算、积的乘方运算
【分析】本题主要考查了积的乘方运算，正确将所求式子变形为是解题的关键．
所求式子可以变形为，根据积的乘方计算法则继续变形得到，由此根据题意求解即可．
【详解】解：∵，
∴
，
故答案为：．
【变式3】若，则 ．
【答案】
【知识点】幂的乘方运算、幂的乘方的逆用、积的乘方运算
【分析】本题考查积的乘方与幂的乘方逆用，先化简再代入求解即可．
【详解】解：∵，
∴
，
故答案为：．
考点7：积的乘方逆用
典例7：计算的值等于（ ）
A．4 B． C．5 D．
【答案】A
【知识点】同底数幂乘法的逆用、积的乘方的逆用
【分析】本题主要考查积的乘方，同底数幂相乘，解答的关键是掌握积的乘方，同底数幂相乘法则的逆用．
先逆用同底数幂相乘将化成，再逆用积的乘方法则计算，即可求解．
【详解】解：
．
故选：A．
【变式1】已知，那么的值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】幂的乘方的逆用、积的乘方的逆用
【分析】本题主要考查了幂的乘方、积的乘方等知识点，掌握幂的乘方和积的乘方的运算法则是解答本题的关键．
先根据幂的乘方和积的乘方的运算法则变形，然后将的值代入计算即可．
【详解】解：
．
故选C．
【变式2】 计算： ．
【答案】
【知识点】幂的乘方的逆用、积的乘方的逆用
【分析】本题主要考查积的乘方和幂的乘方，逆用积的乘方和幂的乘方运算法则进行求解即可．
【详解】解：
．
【变式3】若，则 的值是 ．
【答案】
【知识点】有理数的乘方运算、积的乘方的逆用、绝对值非负性、利用算术平方根的非负性解题
【分析】先根据非负数的性质分别求出、的值，再利用积的乘方的逆用即可得出答案．
【详解】
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了非负数的性质、积的乘方的逆用，熟练掌握运算法则是解题的关键．
考点8：积的乘方综合运算
典例8：计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)．
【答案】(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)
【知识点】幂的乘方运算、积的乘方运算
【分析】本题考查了幂的乘方积的乘方，积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘 ，据此即可求解；
（1）根据幂的乘方与积的乘方进行计算即可；
（2）根据幂的乘方与积的乘方进行计算即可；
（3）根据幂的乘方与积的乘方进行计算即可；
（4）根据幂的乘方与积的乘方进行计算即可；
（5）根据幂的乘方与积的乘方进行计算即可；
（6）根据幂的乘方与积的乘方进行计算，再合并同类项即可；
【详解】（1）解：原式
（2）解：原式
（3）解：原式
（4）解：原式
（5）解：原式
（6）解：原式
【变式1】在数学中，我们经常会运用逆向思考的方法来解决一些问题，例如：“若，，求的值．”这道题我们可以这样思考：逆向运用同底数幂的乘法公式，即，所以，所以．
(1)若，，请你也利用逆向思考的方法求出的值．
(2)下面是小贤用逆向思考的方法完成的一道作业题，请你参考小贤的方法解答下面的问题：
小贤的作业
计算：．
解：．
①小贤的求解方法逆用了哪一条幂的运算性质，直接写出该逆向运用的公式：______．
②计算：．
【答案】(1)6
(2)①；②5
【知识点】积的乘方的逆用、幂的乘方的逆用、同底数幂乘法的逆用
【分析】本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方，学会逆向运用幂的运算性质是解答本题的关键．
（1）逆向运用同底数幂的乘法、幂的乘方运算法则计算即可；
（2）①根据幂的运算性质，得出求解方法逆向运用了积的乘方运算法则，即可得出结论；②逆向运算积的乘方运算法则计算即可；
【详解】（1）解：，
，
，
，
，
．
的值为6．
（2）解：①小贤的求解方法逆用了积的乘方运算性质，即，
故答案为：；
②
．
【变式2】 计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【知识点】积的乘方运算、幂的乘方运算、同底数幂相乘
【分析】本题考查幂的运算，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键：
（1）根据同底数幂的乘法和积的乘方法则进行计算即可；
（2）根据同底数幂的乘法和幂的乘方法则进行计算即可。
【详解】（1）解：原式．
（2）原式．
【变式3】已知，求下列代数式的值：（结果用含的代数式表示）
(1)的值；
(2)的值；
(3)的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】积的乘方的逆用
【分析】本题主要考查了积的乘方的逆运算：
（1）利用积的乘方的逆运算，即可求解；
（2）利用积的乘方的逆运算，即可求解；
（3）利用积的乘方的逆运算，即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴；
（2）解：；
（3）解：．
考点9：同底数幂除法
典例9：已知，求的值是（ ）
A．9 B．8 C．6 D．5
【答案】A
【知识点】幂的乘方运算、同底数幂的除法运算
【分析】本题考查幂的乘方，同底数幂的除法，根据幂的乘方法则和同底数幂的除法法则，进行计算即可．
【详解】解：∵，
∴；
故选A．
【变式1】若“※”代表一种运算，的结果是，则“※”代表的运算符号可以为（ ）
A．× B． C．+ D．-
【答案】B
【知识点】同底数幂的除法运算
【分析】此题考查了同底数幂的除法．根据运算法则计算后即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴“※”代表的运算符号可以为，
故选：B
【变式2】 已知，，，，则 ．
【答案】9
【知识点】积的乘方的逆用、同底数幂的除法运算、同底数幂相乘、幂的乘方运算
【分析】根据，，，得到，再根据，得到，联立①②得到，然后利用幂的乘方将代数式变形，即可计算求值．
【详解】解：，，，
，
，
，
，
，
，
联立①②得：，
，
，
，
故答案为：9．
【点睛】本题主要考查了考查了同底数幂相乘，积的乘方的逆用，幂的乘方，同底数幂相除，熟练掌握相关运算法则是解题关键．
【变式3】已知，则 ．
【答案】16
【知识点】已知式子的值，求代数式的值、幂的乘方的逆用、同底数幂的除法运算
【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆用、同底数幂除法等知识点，灵活运用幂的乘方的逆用法则是解题的关键．
由，再根据幂的乘方的逆用、同底数幂除法化简，最后将代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
故答案为：16．
考点10：零指数幂的性质
典例10：若，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】零指数幂、求一元一次不等式的解集
【分析】本题考查了零指数幂，解一元一次不等式等知识点，熟练掌握零指数幂关于底数的规定是解题的关键：零指数幂规定，即任何不等于的数的次幂都等于．
根据零指数幂关于底数的规定可得，解之，即可得出答案．
【详解】解：，
，
解得：，
故选：．
【变式1】如果且，那么（ ）
A． B． C． D．或
【答案】D
【知识点】绝对值方程、有理数的乘方运算、零指数幂
【分析】本题考查了零指数幂，有理数的乘方，绝对值方程，考虑的奇偶情况是解题关键．根据有理数乘方的运算法则分两种情况讨论，分别求出满足题意的的值即可．
【详解】解：如果且，
当偶数时，，则或，
解得：或，
当奇数时，，解得，不符合题意；
即或，
故选：D．
【变式2】 已知，则m的值为
【答案】2
【知识点】同底数幂相乘、幂的乘方的逆用、同底数幂的除法运算
【分析】本题考查幂的乘方的逆用，同底数幂的乘法和除法运算，根据相应运算法则，求解即可．
【详解】解：∵
又∵，，
∴，
∴，
∴；
故答案为：2．
【变式3】已知，则代数式 ．
【答案】
【知识点】同底数幂相乘、幂的乘方运算、同底数幂的除法运算
【分析】本题考查了同底数幂的乘除法，幂的乘方，先把已知等式的左边写成底数是的幂，然后根据同底数幂的乘除法则进行计算，从而求出的值即可，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【详解】解：∵，
，
，
∴，
故答案为：．
考点11：负整数指数幂
典例11：当，是正整数时，可以写成（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】负整数指数幂
【分析】本题考查了负整数指数幂，根据负整数指数幂的定义可得（，是正整数），即可求解．
【详解】解：当，是正整数时，可以写成，
故选：A．
【变式1】若有意义，那么x的取值范围是（ ）
A． B． C．或 D．且
【答案】D
【知识点】零指数幂、负整数指数幂
【分析】本题考查了零指数幂和负整数指数幂的意义，根据底数不等于0列式求解即可．
【详解】解：∵有意义，
∴且，
∴或．
故选D．
【变式2】 规定一种新运算“”：对于任意两个不为0的代数式、，有．那么当，时，的值是 ．
【答案】
【知识点】零指数幂、负整数指数幂
【分析】本题考查的是负整数指数幂的含义，零次幂的含义，根据新定义运算可得 ，再进一步解答即可．
【详解】解：∵，
当，时，
；
【变式3】若，则a，b，c，d的大小关系为 ．
【答案】
【知识点】有理数大小比较、零指数幂、负整数指数幂
【分析】本题主要考查了零指数幂和负整数指数幂运算，先根据运算法则求出a，b，c，d的值，然后再比较大小即可．
【详解】解：，
，
，
，
∵，
∴．
故答案为：．
考点12：同底数幂的逆用
典例12：已知，，，则的值是（ ）
A．212 B．54 C．31 D．27
【答案】B
【知识点】同底数幂乘法的逆用、幂的乘方的逆用、同底数幂除法的逆用
【分析】本题考查幂的运算性质，熟知同底数幂的乘法、幂的乘方和同底数幂的除法是正确解决本题的关键．
逆用幂的运算，把变形成，再代入计算即可．
【详解】解：，
，，，
，
故答案为：B．
【变式1】已知，则的值为（ ）
A． B．3 C．9 D．
【答案】D
【知识点】同底数幂相乘、幂的乘方的逆用、同底数幂除法的逆用
【分析】本题考查了同底数幂乘法及其逆运算以及幂的乘方等知识点，熟练掌握相关运算法则是解本题的关键．根据同底数幂乘法，同底数幂乘法，幂的乘方运算法则进计算即可．
【详解】 ，
，
，
，
，
解得，
故选：D．
【变式2】 如果，那么称为的“拉格数”，记为，由定义可知：．例如，因为，所以，．若，则 ．
【答案】4
【知识点】同底数幂乘法的逆用、同底数幂除法的逆用
【分析】本题考查同底数幂的乘除法的实际应用，掌握同底数幂的乘除法法则是解题的关键．
结合定义，利用同底数幂的乘除法的逆运算得出，，进行计算即可．
【详解】解：由题意，设，
，
，
，
，
∴，
∵，
∴，
，
，
∵．
，
，
故答案为：4．
【变式3】如果，那么称为的“拉格数”，记为由定义可知：．如，则，给出下列关于“拉格数”的结论：
①，②，③，④，⑤
其中正确的结论有 ．
【答案】②③④
【知识点】同底数幂乘法的逆用、同底数幂除法的逆用
【分析】本题考查同底数幂的乘除法的实际应用，掌握同底数幂的乘除法法则是解题的关键．结合定义，利用同底数幂的乘除法的逆运算进行计算即可．
【详解】解：由题意，∵
，故①错误；
∵
∴，故②正确；
∵，，
∴，故③正确；
设，
∴
∴，
∴，
∴
∴，故④正确；
∴，
∵
∴
∴，故⑤错误；
那么正确的有②③④．
故答案为：②③④．
考点13：科学计数法表示小于1的正数
典例13：锂是一种银白色、质较软、密度最小的金属．锂的原子半径为152pm，已知．则锂的原子直径用科学记数法表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数整数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，本题考查用科学记数法表示较小的数，解题的关键是：注意直径和半径的区别．
【详解】解：由题意可得：，
直径为：，
故选：B．
【变式1】芯片制造过程中，需要在芯片表面上沉积各种薄膜层，如金属、绝缘体和半导体. 单位“埃”被用来描述薄膜的厚度，符号为“”.已知，即纳米的十分之一. 若将“”用科学记数法表示，则（ ）
A．8 B． C．9 D．
【答案】D
【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数
【分析】本题考查了科学记数法，解题关键是明确科学记数法的表示方法，正确确定指数．
【详解】解：，
写出科学记数法为，
故选：D．
【变式2】 华为手机搭载的是华为自主研发的麒麟9010芯片，该款芯片达到了7纳米工艺水平，1纳米米，7纳米用科学记数法表示为： 米．
【答案】
【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数
【分析】本题主要考查了科学记数法，将数据表示成形式为的形式，其中，n为整数，正确确定a、n的值是解题的关键．
将7纳米米写成其中，n为整数的形式即可．
【详解】解：．
故答案为：．
【变式3】中芯国际集成电路制造有限公司，是世界领先的集成电路晶圆代工企业之一，也是中国内地技术最先进、配套最完善、规模最大、跨国经营的集成电路制造企业集团，中芯国际第一代14纳米FinFET技术取得了突破性进展，并于2019年第四季度进入量产，代表了中国大陆自主研发集成电路的最先进水平，14纳米米，用科学记数法表示为 ．
【答案】
【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数
【分析】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键．根据科学记数法的定义，将一个数表示成（其中，为整数），即可得到答案．
【详解】解：由科学记数法的定义可得：，
故答案为：．
考点14：幂的运算综合应用
典例14：计算：
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)）
(2)
(3)
(4)0
【知识点】幂的混合运算、同底数幂的除法运算、零指数幂、负整数指数幂
【分析】本题考查幂的运算，零指数幂和负整数指数幂：
（1）根据同底数幂的除法法则进行计算即可；
（2）先进行幂的运算，再进行加减运算即可；
（3）先进行幂的运算，再合并同类项即可；
（4）先进行幂的运算，再合并同类项即可．
【详解】（1）解：原式；
（2）原式；
（3）原式；
（4）原式．
【变式1】计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)（为正整数）．
【答案】(1)
(2)0
(3)
(4)
(5)
【知识点】幂的混合运算、同底数幂相乘
【分析】本题考查同底数幂的乘法，同底数的幂相乘，底数不变，指数相加，掌握运算法则并正确进行符号运算是解题的关键．
（1）直接根据同底数幂的运算法则进行计算即可；
（2）先根乘方的法则确定各项的正负，再根据同底数幂的运算法则进行计算即可；
（3）直接根据同底数幂的运算法则进行计算即可；
（4）先根乘方的法则确定各项的正负，再根据同底数幂的运算法则进行计算即可；
（5）先根乘方的法则确定各项的正负，再根据同底数幂的运算法则进行计算即可．
【详解】（1）原式；
（2）原式；
；
（3）原式；
（4）原式；
（5）原式（n为正整数）．
．
【变式2】 计算或化简
(1)；
(2)；
(3) ．
【答案】(1)2； (2) ；(3)2
【知识点】含乘方的有理数混合运算、幂的混合运算、零指数幂、负整数指数幂
【分析】(1)根据负指数幂、零指数幂以及绝对值的性质可以解答本题；
(2)先计算幂的乘方，再计算同底数幂的乘除即可；
(3)逆用积的乘方把转化成，再运用积的乘方法则计算即可．
【详解】(1)
；
(2)
；
(3)
．
【点睛】本考查了了整式的乘除，负整数指数幂和零指数幂以及积的乘方幂的乘方，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．
【变式3】计算：
(1)；
(2)；
(3)
【答案】(1)
(2)0
(3)
【知识点】幂的混合运算、零指数幂、负整数指数幂
【分析】此题考查了零指数幂、负整数指数幂、整式的混合运算等知识．
（1）计算零指数幂、负整数幂、乘方后，进行加减法即可；
（2）利用同底数幂的乘法计算后，再计算加法即可；
（3）利用幂的运算法则计算后再合并同类项即可．
【详解】（1）
；
（2）
．
（3）
．
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