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专题02 实数及其运算
（一）实数概念及分类
（1）实数的分类
正有理数
有理数 零 有限小数或无限循环小数
实数 负有理数
正无理数
无理数 无限不循环小数
负无理数
正实数
实数 0
负实数
整数包括正整数、零、负整数。
零和正整数又叫自然数。
正整数、零、负整数、正分数、负分数统称为有理数。
（2）无理数归类
①开方开不尽的数，如等；
②有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如+8等；
③有特定结构的数，如0.1010010001…等；
（二）实数的大小比较
（1）实数与数轴上点的关系：
每一个无理数都可以用数轴上的一个点表示出来，
数轴上的点有些表示有理数，有些表示无理数，
实数与数轴上的点就是一一对应的
（2）实数大小的比较常用方法：
①数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。
②求差比较：设a、b是实数，
③求商比较法：设a、b是两正实数，
④绝对值比较法：设a、b是两负实数，则。
⑥平方法：设a、b是两负实数，则。
（三）实数的运算
（1）运算定律
①加法交换律
②加法结合律
③乘法交换律
④乘法结合律
⑤乘法分配律
（2）实数混合运算运算顺序：
实数混合运算时，将运算分为三级，加减为一级运算，乘除为二级运算，乘方为三级运算。同级运算时，从左到右依次进行；不是同级的混合运算，先算乘方，再算乘除，而后才算加减；运算中如有括号时，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号的顺序进行。
（四）实数非负性考查
（1）在实数范围内，正数和零统称为非负数。
（2）非负数有三种形式
①任何一个实数a的绝对值是非负数，即|a|≥0；
②任何一个实数a的平方是非负数，即≥0；
③任何非负数的算术平方根是非负数，即≥0
（3）非负数具有以下性质
①非负数有最小值零；
②非负数之和仍是非负数；
③几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0
考点1：实数的分类
典例1：下列实数中，有（ ）个有理数．
、、、、、9、0.01001000100001…
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的立方根、实数的分类
【分析】此题考查了实数的分类，把需要化简的数化简后，进行判断即可.
【详解】解：，，，
在、、、、、9、0.01001000100001…中，、、、9是有理数，共4个，
故选：C
【变式1】下列各数：，，，， ，，0.585885888588885…（相邻两个5 之间8的个数逐次加1）中，无理数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【知识点】求一个数的立方根、无理数、实数的分类
【分析】根据无理数的常见形式①最终结果含有开方开不尽的数，②最终结果含有的数，③形如（每两个增加一个），进行逐一判断即可．
【详解】解：为整数，是有理数；，，为分数，是有理数；
是最终结果含有开方开不尽的数，是无理数；
最终结果含有的数，是无理数；
0.585885888588885…（相邻两个5 之间8的个数逐次加1）是无理数．
故选：B．
【点睛】本题考查了无理数的定义，掌握无理数的常见形式是解题的关键．
【变式2】 已知下列实数：①0，②，③，④，⑤，⑥，其中整数有：_________，分数有：_________，无理数有：_________．（只需填写序号）
【答案】，，
【知识点】有理数的定义、求一个数的算术平方根、无理数、实数的分类
【分析】本题主要考查了实数的分类，有理数和无理数的定义，求一个数的算术平方根等知识点，熟练掌握实数的分类及有理数和无理数的定义是解题的关键．
根据有理数和无理数统称实数，分数和整数统称有理数，无限不循环小数是无理数进行分类即可．
【详解】解：，
由题意可得，
整数有：，
分数有：，
无理数有：，
故答案为：，，．
【变式3】把下列各数填入相应的横线内： ，0，，，，，，80%，，0.7373373337…（两个“7”之间依次多一个“3”），．
无理数：{ ___________…}；
整数：{ ___________…}；
分数：{ ___________…}；
实数：{ ___________…}．
【答案】见解析
【知识点】实数的分类
【分析】利用无理数，整数，分数以及实数的定义判断即可得到结果．
本题考查了实数的分类，熟练掌握相关的概念是解题的关键
【详解】无理数：{，，0.7373373337…（两个“7”之间依次多一个“3”）}；
整数：{0，，，}；
分数：{，，，80%}；
实数：{，0，，，，，，80%，，0.7373373337…（两个“7”之间依次多一个“3”），}．
故答案为：，，0.7373373337…（两个“7”之间依次多一个“3”）；0，，，；，，，80%；，0，，，，，，80%，，0.7373373337…（两个“7”之间依次多一个“3”），．
考点2：实数的性质
典例2：设、为实数，则下列说法正确的是（ ）
A．，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，则
【答案】B
【知识点】不等式的性质、实数的性质
【分析】本题考查了不等式的性质“性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变”，熟练掌握不等式的性质是解题关键．根据不等式的性质逐项判断即可得．
【详解】解：A、若，则，不能确定，所以此项说法错误，不符合题意；
B、若，，则，所以，此项说法正确，符合题意；
C、若，，则，所以此项说法错误，不符合题意；
D、若，则或，所以不一定大于0，此项说法错误，不符合题意；
故选：B．
【变式1】下列说法：
①一个无理数的相反数一定是无理数；
②一个有理数与一个无理数的和或差或积一定是无理数；
③一切实数都可以进行开立方运算，只有非负数才能进行开平方运算；
④实数的倒数是．
其中，正确的说法有（ ）
A．①② B．①③ C．①②③ D．①③④
【答案】B
【知识点】平方根概念理解、立方根概念理解、实数的性质、实数的混合运算
【分析】根据无理数的定义、实数的运算、立方根与平方根、倒数的定义逐个判断即可得．
【详解】解：一个无理数的相反数一定是无理数，则说法①正确；
一个有理数与一个无理数的和或差一定是无理数，但积不一定是无理数，如，则说法②错误；
一切实数都可以进行开立方运算，只有非负数才能进行开平方运算，则说法③正确；
实数的倒数是，则说法④错误；
综上，正确的说法有①③，
故选：B．
【点睛】本题考查了无理数、实数的运算、立方根与平方根、倒数，熟练掌握各定义和运算法则是解题关键．
【变式2】 下列说法：①立方根等于本身的数是，0，1；②没有平方根；③两个无理数的和还是无理数；④若，，则；⑤若，则；⑥，则是负数，其中正确的序号是 ．
【答案】①④/④①
【知识点】求一个数的平方根、实数的性质
【分析】本题主要考查了立方根，实数的性质以及运算法则，根据实数的性质，加减乘法法则逐一判断即可．
【详解】解：立方根等于本身的数是，0，1，故①说法正确；
时，，此时没有平方根，
时，，此时有平方根，故②说法错误；
，，两个均是无理数，它们的和为0，是有理数，故③说法错误；
若，，即，，则，故④说法正确；
若，即，则，即，故⑤说法错误；
若，则不一定是负数，例如，满足，但是是正数，故⑥说法错误；
故答案为：①④．
【变式3】对于任意两个实数a，b，定义一种新运算“”，规定．如，那么 ，的最小值为 ．
【答案】 4 8
【知识点】实数的性质、新定义下的实数运算
【分析】本题考查了实数的混合运算、去绝对值，以及一种新的运算，将所求的式子转化是解题的关键．根据运算法则，把要求的式子转化成我们学过的内容，再计算即可．
【详解】，
当时，原式，
当时，原式，
当时，原式，
所以的最小值为8，
故答案为：4，8
考点3：实数与数轴
典例3：如图，数轴上点P表示的数可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】实数与数轴、无理数的大小估算
【分析】本题主要考查数轴与实数、无理数大小比较等知识点，正确转化为算术平方根的形式是解题的关键．
根据数轴上的点处于3和4之间，即和之间，然后逐一判定比较即可．
【详解】解：A、由 ， 故该选项不符合题意；
B、由 ， 故该选项不符合题意；
C、由 ， 故该选项不符合题意；
D、由 ， 故该选项符合题意．
故选D．
【变式1】如图所示的数轴上，数轴上点A表示的数为，点B到点A的距离为1个单位长度，则点B所表示的数为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【知识点】实数与数轴
【分析】本题考查了实数与数轴，根据到点的距离为1的数分别位于点的左侧或右侧，即可求解．
【详解】到点的距离为1的数分别位于点的左侧或右侧，比点表示的数大1或小1，
点所表示的数为或.
故选：C．
【变式2】 如图，网格由9个边长为1的小正方形组成，以点为圆心，长为半径画圆弧交数轴于点，则点表示的实数为 ．
【答案】
【知识点】求一个数的算术平方根、实数与数轴
【分析】本题主要考查了实数与数轴，求一个数的算术平方根，根据题意可得四边形是正方形，利用割补法求出四边形的面积，进而求出的长即可得到答案．
【详解】解：由题意得，四边形是正方形，且其面积为，
∴，
∴点表示的实数为，
故答案为：．
【变式3】已知点、、在数轴上表示的数、、的位置如图所示，化简： ．
【答案】
【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的立方根、实数与数轴、整式的加减运算
【分析】本题主要考查了平方根、立方根的性质，根据数轴可知，则可知，，即可根据平方根，立方根的性质进行化简．
【详解】根据数轴可知，则可知，，
；
故答案为：．
考点4：实数的大小比较
典例4：下列各式中，错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】有理数的乘方运算、求一个数的算术平方根、实数的大小比较
【分析】此题考查实数的运算，根据乘方运算法则，实数大小比较法则，算术平方根的化简分别计算并判断．
【详解】解：A.，此项正确；
B.，，，
∴，故此项正确；
C.，故此项正确；
D.，故此项错误；
故选：D．
【变式1】比较下列各组数的大小，错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】实数的大小比较
【分析】本题考查了实数的大小比较，根据实数的大小比较法则比较即可，能选择适当的方法比较两个数的大小是解题的关键．
【详解】解：A、∵，
∴，故选项不符合题意；
B、∵，
∴，
∴，即，故选项符合题意；
C、∵，
∴，
∴，
∴即，故选项不符合题意；
D、∵，
∴，即，故选项不符合题意；
故选：B．
【变式2】 比较大小： ．
【答案】/小于
【知识点】实数的大小比较、无理数的大小估算
【分析】题考查了实数的大小比较，无理数的估算，熟练掌握实数的大小比较方法是解题的关键；根据估算和的大小，推出结果．
【详解】解：因为
所以，
所以，
所以．
故答案为：．
【变式3】比较大小： 1， （填“”、“”或“”）．
【答案】
【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的立方根、实数的大小比较、无理数的大小估算
【分析】本题考查实数大小比较，无理数的估算，根据，估计取值范围即可；估计和的取值范围，再比较大小即可．
【详解】解：∵，
∴，即；
∵，，
∴，
故答案为：，．
考点5：实数的运算
典例5：计算：
(1)
(2)
【答案】(1)10
(2)2
【知识点】有理数四则混合运算、求一个数的立方根、实数的混合运算
【分析】本题考查了实数的运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
（1）先计算乘法，再计算减法即可；
（2）先计算立方根和乘法，然后再进行加减计算即可解答．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【变式1】计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【知识点】实数的混合运算
【分析】本题考查实数的混合运算：
（1）先进行开方，去绝对值运算，再进行加减运算即可；
（2）先进行乘方，开方，去绝对值运算，再进行乘法运算，最后进行加减运算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）
．
【变式2】 计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【知识点】有理数乘法运算律、求一个数的算术平方根、求一个数的立方根、实数的混合运算
【分析】（）根据有理数的加减混合运算法则计算即可；
（）根据有理数的加减混合运算法则计算即可；
（）根据有理数的乘法分配律进行计算即可；
（）先算乘方，算术平方根，立方根，化简绝对值，再算乘法，最后算加减即可；
本题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
【变式3】计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【知识点】含乘方的有理数混合运算、实数的混合运算
【分析】本题考查实数的混合运算，熟练掌握相关运算法则，正确的计算，是解题的关键：
（1）利用减法法则进行计算即可；
（2）先进行开方运算，再进行乘除运算，最后进行加减运算即可；
（3）根据混合运算的法则进行计算即可；
（4）先乘方，再乘除，最后算加减．
【详解】（1）解：原式；
（2）原式；
（3）原式；
（4）原式．
考点6：实数运算的应用
典例6：如图是一个数值转换器示意图：
(1)当输入的x为36时，输出的y的值是_______；
(2)若输入x值后，始终输不出y的值，则满足题意的x值是_______；
(3)若输出的，则x的最小整数值是_______.
【答案】(1)
(2)0和1
(3)5
【知识点】求一个数的算术平方根、无理数、程序设计与实数运算
【分析】本题考查了算术平方根的计算和无理数的判断，
（1）根据运算规则即可求解；
（2）根据0的算术平方根是0，1的算术平方根是1即可判断；
（3）先得出输入的，，再根据运算法则，进行逆运算即可求解．
【详解】（1）解：当时，取算术平方根，不是无理数，
继续取6算术平方根，是无理数，
所以输出的y值为；
故答案为：；
（2）解：当，1时，始终输不出y值．因为0的算术平方根是0，1的算术平方根是1，一定是有理数；
故答案为：0，1；
（3）∵输出的，
∴，
∴输入的，
当时，5的算术平方根是，是无理数，
所以输出的y值为，
∴x的最小整数值是．
【变式1】对于实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数，例如：，．
（1）仿照以上方法计算： ； ．
（2）若，写出所有满足题意的的整数值 ．
如果我们对连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对10连续求根整数2次，这时候结果为1．
（3）对100连续求根整数， 次之后结果为1．
（4）只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是 ．
【答案】（1）2；45；（2），2，3；（3）255
【知识点】求一个数的算术平方根、无理数的大小估算、新定义下的实数运算
【分析】本题考查了估算无理数的大小的应用，主要考查学生的阅读能力和猜想能力，同时也考查了一个数的平方数的计算能力．
（1）先估算和的大小，再由新定义可得结果；
（2）根据定义可知，可得满足题意的的整数值；
（3）根据定义对100进行连续求根整数，可得3次之后结果为1；
（4）最大的正整数是255，根据操作过程分别求出255和256进行几次操作，即可得出答案．
【详解】解：（1）∵，，
，；
（2），，且，
，2，3；
（3）第一次：，
第二次：，
第三次：，
∴对100连续求根整数，3次之后结果为1；
（4）最大的正整数是255，
理由是：∵，，，，
∴，，，
对255只需进行3次操作后变为1，
∵，，，，
对256只需进行4次操作后变为1，
只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是2
【变式2】 阅读理解题：定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数i 叫做虚数单位，把形如（a，b为实数）的数叫做复数，其中a 叫这个复数的实部，b 叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．
例如计算：
；
根据以上信息，完成下列问题：
(1)填空： ___，___；
(2)计算：
(3)试一试：请利用以前学习的有关知识将，化简成的形式
【答案】(1)，1
(2)
(3)
【知识点】新定义下的实数运算、实数运算的实际应用
【分析】（1）根据题目中给出的进行计算即可；
（2）根据题意得到规律的结果是4个一循环，且每4个的结果和为：，据此求解即可；
（3）仿照分母有理化的方法对分子分母同时乘以进行求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴；；
故答案为：；1；
（2）解：∵，，，，…，
∴的结果是4个一循环，且每4个的结果和为：，
∵，
∴
；
（3）解：
．
【点睛】本题主要考查了新定义下的运算，数字类的规律探索，正确理解题意是解题的关键．
【变式3】先观察下列等式，再回答问题：
①；
②；
③
(1)根据上面三个等式提供的信息，请你猜想_______
(2)请按照上面各等式反映的规律，试写第n个等式：_______
(3)对任何实数a，表示不超过a的最大整数，如，
计算：
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】与实数运算相关的规律题
【分析】本题考查的是实数的运算规律的探究与运用，掌握“探究的方法以及灵活运用”是解本题的关键．
（1）根据题干例举的等式，即可答案；
（2）根据题干例举的等式，总结规律可得答案；
（3）先总结规律可得，再利用规律进行计算即可．
【详解】（1）解：根据题意： ；
（2）解：；
（3）解：原式
．
【变式4】定义：若无理数的被开方数（T为正整数）满足（其中n为正整数），则称无理数的“共同体区间”为．例如：因为，所以的“共同体区间”为．请回答下列问题：
(1)的“共同体区间”为__________；
(2)若无理数的“共同体区间”为，求的“共同体区间”；
(3)若x，y满足关系式：，则的“共同体区间”为__________．
【答案】(1)；
(2)的“共同体区间”为；
(3)．
【知识点】求一个数的算术平方根、无理数的大小估算、新定义下的实数运算
【分析】本题考查了算术平方根、无理数的大小估算、新定义下的实数运算等知识点，掌握相关知识是解题的关键．
（1）仿照题干中的方法，根据“共同体区间”的定义求解；
（2）先根据无理数的“共同体区间”求出的取值范围，再求出的取值范围，再根据“共同体区间”的定义求解；
（3）先根据已知得，解得，分别代入求值，再根据“共同体区间”的定义即可求解．
【详解】（1）解：
的“共同体区间”是，
故答案为：；
（2）解：∵无理数的“共同体区间”为，
即
的“共同体区间”为；
（3）解：∵ ，，
∴，
∴，
，
解得：，
当时，
的“共同体区间”为，
故答案为：．
【变式5】对任意的实数有如下规定：用表示不大于的最大整数，称为的整数部分，用表示的值，称为的小数部分．例如：．请回答下列问题：
(1)______，______；
(2)当时，以下四个命题中为真命题的是______（填序号）；
①；②；③；④若（为整数），则．
(3)当时，解关于的方程．
【答案】(1)2，；
(2)①②④；
(3)
【知识点】无理数整数部分的有关计算、实数运算的实际应用、其他问题(一元一次方程的应用)、判断命题真假
【分析】本题考查了无理数的估算
（1）根据无理数的估算可得，再根据题干规定即可求解；
（2）根据题干规定逐一判断即可；
（3）根据，方程可变形为，再将代入，即可求出的值．
【详解】（1）解：，
，
，，
故答案为：2，；
（2）解：表示的小数部分，
，
①命题是真命题；
根据定义可得，，
②命题是正命题；
表示的小数部分，
，
③命题是假命题；
，
，
，
，即，
④命题是真命题，
故答案为：①②④；
（3）解：，，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了无理数的估算，实数的运算，不等式的性质，一元一次方程的应用，真假命题的判断，正确理解题干规定是解题关键．
考点7：估计算术平方根的范围
典例7：观察表格中的数据：
由表格中的数据可知在哪两个数之间（ ）
A．在和之间 B．在和之间
C．在和之间 D．在和之间
【答案】C
【知识点】估计算术平方根的取值范围、无理数的大小估算
【分析】此题考查了估算无理数的大小，由可得，结合表格数据即可求解，掌握算术平方根的定义是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
即，
故选：．
【变式1】[x]表示不大于x的最大整数，如[3.15]＝3，[﹣2.7]＝﹣3，[4]＝4，则的值为（　　）
A．1011 B．2021 C．2022 D．1012
【答案】B
【知识点】估计算术平方根的取值范围、实数的混合运算
【分析】根据[x]表示不大于x的最大整数可得到，，，…，，然后计算即可．
【详解】解：∵，，，…，，
∴
＝
＝2021
故选：B．
【点睛】本题考查了实数的运算，理解[x]表示不大于x的最大整数及找到规律是解题的关键与难点．
【变式2】 我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么其面积．如果某个三角形的三边长分别为2，4，4，其面积介于整数和之间，那么的值是
【答案】3
【知识点】求一个数的算术平方根、估计算术平方根的取值范围
【分析】本题考查了算术平方根以及算术平方根的估算，首先计算三角形的面积为，在估算的范围，可得，从而可得答案．
【详解】解：由题意得，，
，
，介于整数和之间，
，
故答案为：3．
【变式3】用计算器计算了一部分数的平方，结果如下表：
x 16 17
2
根据表中的信息判断下列结论中，正确的有 ．（填序号）
①的平方根是 ；②；
③265的算术平方根比大；④只有4个正整数满足
【答案】①②④
【知识点】估计算术平方根的取值范围、求一个数的平方根、无理数的大小估算
【分析】本题主要考查了算术平方根的估算，无理数的估算，求一个数的平方根等等，根据一个正数的两个平方根互为相反数，结合即可判断①；根据被开方数小数点向右（向左）每移到两位，则开方的结果的小数点向右（向左）移动一位，据此可判断②；根据，即可判断③；根据即可判断④．
【详解】解：∵，
∴的平方根是，故①正确；
∵，
∴，故②正确；
∵，
∴265的算术平方根比小，故③错误；
∵，
∴满足的正整数有共4个，故④正确；
故答案为：①②④．
考点8：无理数的估算
典例8：估算 的值应在（ ）
A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间
【答案】B
【知识点】无理数的大小估算
【分析】本题考查了估算无理数的大小，利用得到，从而可对进行估算．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
故选：B．
【变式1】下列整数中，与最接近的是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【知识点】有理数的乘方运算、无理数的大小估算
【分析】本题考查了估算无理数的大小，有理数乘方的应用，由题意得出与35最接近的平方数，即 ， 然后可判断的范围，即可判断出来．
【详解】解：∵
∴，
∵，
∴，
∴，
故，与最接近的是：4，
故选：C．
【变式2】 已知、均为正整数，如果，我们称是的“主要值”，那么的主要值是 ．
【答案】
【知识点】无理数的大小估算、求一个数的算术平方根
【分析】本题考查无理数的估算，根据、均为正整数，如果，我们称是的“主要值”，可以求得的主要值．解题的关键是明确题意，估算出处于哪两个整数之间．
【详解】解：∵，
∴，即，
∴，
∴的主要值是．
故答案为：．
【变式3】我们规定：表示不超过的最大整数．如：，．则的值为 ．
【答案】
【知识点】无理数的大小估算
【分析】本题主要考查的是无理数大小的估算，掌握的意义是解题的关键．根据的定义确定其值，进行计算即可．
【详解】解： ，，，，，，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
考点9：无理数的整数、小数部分问题
典例9：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是其小数部分．请解答：
(1)的整数部分是______，小数部分是______；
(2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值；
(3)已知：，其中x是整数部分，y是小数部分，求的值．
【答案】(1)
(2)1
(3)
【知识点】无理数的大小估算、无理数整数部分的有关计算
【分析】本题主要考查了无理数整数部分和小数部分的计算，解题的关键是熟练掌握无理数的估算方法．
（1）先用夹逼法估算，即可解答；
（2）先用夹逼法估算和，得出和的值，即可解答；
（3）先得出的取值范围，再得出的取值范围，进而得出和的值，即可解答．
【详解】（1）解：∵，
∴，即，
∴的整数部分是4，小数部分是；
故答案为：；
（2）解：，
，
，
∵的小数部分为的整数部分为，
，
．
（3）解：∵，
∴，即，
，
∵是整数部分，是小数部分，
，
．
【变式1】我们知道，是一个无理数，无理数是无限不循环小数，若将这个数减去它的整数部分，差就是小数部分，即的整数部分是1，则小数部分是，请回答以下问题：
(1)已知为的整数部分，是的小数部分，则___________，___________．
(2)若，其中是整数，且，求的算术平方根．
【答案】(1)3；
(2)4
【知识点】求一个数的算术平方根、无理数整数部分的有关计算、已知式子的值，求代数式的值
【分析】本题考查了无理数的大小的估算和算术平方根，根据平方根的意义正确确定无理数的整数部分与小数部分是解题的关键．
（1）根据，即可求出的值；
（2）先求出的整数部分和分数部分，再求出x和y的值，把x和y值代入中，最后求出答案即可．
【详解】（1）解：∵，为的整数部分，是的小数部分，
∴，，
故答案为：3，．
（2）解：，即，
的整数部分是2，小数部分是，
，
，
是整数，且，
，，
，
的算术平方根为4，
的算术平方根为4．
【变式2】 阅读下列材料：
通过探究知道：…，它是个无限不循环小数，也叫无理数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，又例如：，即，的整数部分是2，小数部分是
(1)的整数部分是______．
(2)已知，其中x是一个整数，，求的值．
【答案】(1)1
(2)17
【知识点】无理数的大小估算、无理数整数部分的有关计算、实数的混合运算
【分析】本题考查的是无理数的估算，无理数的整数部分的理解，熟练的确定无理数的范围是解本题的关键．
（1）仿照材料估算即可得到答案；
（2）结合（1）求出x，y的值，再代入计算即可．
【详解】（1）∵，即，
∴的整数部分为1，
故答案为：1；
（2），
，
，
，
，
，
，
【变式3】已知：的算术平方根是5；的立方根为；是的整数部分；
(1)求的值；
(2)求的平方根．
【答案】(1)
(2)
【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的平方根、已知一个数的立方根，求这个数、无理数整数部分的有关计算
【分析】本题主要考查的是算术平方根的定义、估算无理数的大小，求得、、的值是解题的关键．
（1）先依据算术平方根、立方根的定义得到关于的方程，从而可求得的值，然后估算出的范围可得到的值，然后代入计算即可；
（2）根据（1）可求出的值，最后再求平方根即可．
【详解】（1）解：∵的算术平方根是5，
，
，
的立方根为，
，
，
，
，
又是的整数部分，
，
．
（2）解：∵，
，
的平方根是．
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专题02 实数及其运算
（一）实数概念及分类
（1）实数的分类
正有理数
有理数 零 有限小数或无限循环小数
实数 负有理数
正无理数
无理数 无限不循环小数
负无理数
正实数
实数 0
负实数
整数包括正整数、零、负整数。
零和正整数又叫自然数。
正整数、零、负整数、正分数、负分数统称为有理数。
（2）无理数归类
①开方开不尽的数，如等；
②有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如+8等；
③有特定结构的数，如0.1010010001…等；
（二）实数的大小比较
（1）实数与数轴上点的关系：
每一个无理数都可以用数轴上的一个点表示出来，
数轴上的点有些表示有理数，有些表示无理数，
实数与数轴上的点就是一一对应的
（2）实数大小的比较常用方法：
①数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。
②求差比较：设a、b是实数，
③求商比较法：设a、b是两正实数，
④绝对值比较法：设a、b是两负实数，则。
⑥平方法：设a、b是两负实数，则。
（三）实数的运算
（1）运算定律
①加法交换律
②加法结合律
③乘法交换律
④乘法结合律
⑤乘法分配律
（2）实数混合运算运算顺序：
实数混合运算时，将运算分为三级，加减为一级运算，乘除为二级运算，乘方为三级运算。同级运算时，从左到右依次进行；不是同级的混合运算，先算乘方，再算乘除，而后才算加减；运算中如有括号时，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号的顺序进行。
（四）实数非负性考查
（1）在实数范围内，正数和零统称为非负数。
（2）非负数有三种形式
①任何一个实数a的绝对值是非负数，即|a|≥0；
②任何一个实数a的平方是非负数，即≥0；
③任何非负数的算术平方根是非负数，即≥0
（3）非负数具有以下性质
①非负数有最小值零；
②非负数之和仍是非负数；
③几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0
考点1：实数的分类
典例1：下列实数中，有（ ）个有理数．
、、、、、9、0.01001000100001…
A．2 B．3 C．4 D．5
【变式1】下列各数：，，，， ，，0.585885888588885…（相邻两个5 之间8的个数逐次加1）中，无理数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【变式2】 已知下列实数：①0，②，③，④，⑤，⑥，其中整数有：_________，分数有：_________，无理数有：_________．（只需填写序号）
【变式3】把下列各数填入相应的横线内： ，0，，，，，，80%，，0.7373373337…（两个“7”之间依次多一个“3”），．
无理数：{ ___________…}；
整数：{ ___________…}；
分数：{ ___________…}；
实数：{ ___________…}．
考点2：实数的性质
典例2：设、为实数，则下列说法正确的是（ ）
A．，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，则
【变式1】下列说法：
①一个无理数的相反数一定是无理数；
②一个有理数与一个无理数的和或差或积一定是无理数；
③一切实数都可以进行开立方运算，只有非负数才能进行开平方运算；
④实数的倒数是．
其中，正确的说法有（ ）
A．①② B．①③ C．①②③ D．①③④
【变式2】 下列说法：①立方根等于本身的数是，0，1；②没有平方根；③两个无理数的和还是无理数；④若，，则；⑤若，则；⑥，则是负数，其中正确的序号是 ．
【变式3】对于任意两个实数a，b，定义一种新运算“”，规定．如，那么 ，的最小值为 ．
考点3：实数与数轴
典例3：如图，数轴上点P表示的数可能是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】如图所示的数轴上，数轴上点A表示的数为，点B到点A的距离为1个单位长度，则点B所表示的数为（ ）
A． B． C．或 D．或
【变式2】 如图，网格由9个边长为1的小正方形组成，以点为圆心，长为半径画圆弧交数轴于点，则点表示的实数为 ．
【变式3】已知点、、在数轴上表示的数、、的位置如图所示，化简： ．
考点4：实数的大小比较
典例4：下列各式中，错误的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】比较下列各组数的大小，错误的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】 比较大小： ．
【变式3】比较大小： 1， （填“”、“”或“”）．
考点5：实数的运算
典例5：计算：
(1)
(2)
【变式1】计算：
(1)
(2)
【变式2】 计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【变式3】计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
考点6：实数运算的应用
典例6：如图是一个数值转换器示意图：
(1)当输入的x为36时，输出的y的值是_______；
(2)若输入x值后，始终输不出y的值，则满足题意的x值是_______；
(3)若输出的，则x的最小整数值是_______.
【变式1】对于实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数，例如：，．
（1）仿照以上方法计算： ； ．
（2）若，写出所有满足题意的的整数值 ．
如果我们对连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对10连续求根整数2次，这时候结果为1．
（3）对100连续求根整数， 次之后结果为1．
（4）只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是 ．
【变式2】 阅读理解题：定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数i 叫做虚数单位，把形如（a，b为实数）的数叫做复数，其中a 叫这个复数的实部，b 叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．
例如计算：
；
根据以上信息，完成下列问题：
(1)填空： ___，___；
(2)计算：
(3)试一试：请利用以前学习的有关知识将，化简成的形式
【变式3】先观察下列等式，再回答问题：
①；
②；
③
(1)根据上面三个等式提供的信息，请你猜想_______
(2)请按照上面各等式反映的规律，试写第n个等式：_______
(3)对任何实数a，表示不超过a的最大整数，如，
计算：
【变式4】定义：若无理数的被开方数（T为正整数）满足（其中n为正整数），则称无理数的“共同体区间”为．例如：因为，所以的“共同体区间”为．请回答下列问题：
(1)的“共同体区间”为__________；
(2)若无理数的“共同体区间”为，求的“共同体区间”；
(3)若x，y满足关系式：，则的“共同体区间”为__________．
【变式5】对任意的实数有如下规定：用表示不大于的最大整数，称为的整数部分，用表示的值，称为的小数部分．例如：．请回答下列问题：
(1)______，______；
(2)当时，以下四个命题中为真命题的是______（填序号）；
①；②；③；④若（为整数），则．
(3)当时，解关于的方程．
考点7：估计算术平方根的范围
典例7：观察表格中的数据：
由表格中的数据可知在哪两个数之间（ ）
A．在和之间 B．在和之间
C．在和之间 D．在和之间
【变式1】[x]表示不大于x的最大整数，如[3.15]＝3，[﹣2.7]＝﹣3，[4]＝4，则的值为（　　）
A．1011 B．2021 C．2022 D．1012
【变式2】 我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么其面积．如果某个三角形的三边长分别为2，4，4，其面积介于整数和之间，那么的值是
【变式3】用计算器计算了一部分数的平方，结果如下表：
x 16 17
2
根据表中的信息判断下列结论中，正确的有 ．（填序号）
①的平方根是 ；②；
③265的算术平方根比大；④只有4个正整数满足
考点8：无理数的估算
典例8：估算 的值应在（ ）
A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间
【变式1】下列整数中，与最接近的是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【变式2】 已知、均为正整数，如果，我们称是的“主要值”，那么的主要值是 ．
【变式3】我们规定：表示不超过的最大整数．如：，．则的值为 ．
考点9：无理数的整数、小数部分问题
典例9：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是其小数部分．请解答：
(1)的整数部分是______，小数部分是______；
(2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值；
(3)已知：，其中x是整数部分，y是小数部分，求的值．
【变式1】我们知道，是一个无理数，无理数是无限不循环小数，若将这个数减去它的整数部分，差就是小数部分，即的整数部分是1，则小数部分是，请回答以下问题：
(1)已知为的整数部分，是的小数部分，则___________，___________．
(2)若，其中是整数，且，求的算术平方根．
【变式2】 阅读下列材料：
通过探究知道：…，它是个无限不循环小数，也叫无理数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，又例如：，即，的整数部分是2，小数部分是
(1)的整数部分是______．
(2)已知，其中x是一个整数，，求的值．
【变式3】已知：的算术平方根是5；的立方根为；是的整数部分；
(1)求的值；
(2)求的平方根．
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