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专题02 一元一次不等式
（一）一元一次不等式概念
不等式的左右两边都是整式，只含有一个未知数并且未知数的最高次数是1，像这样的不等式叫一元一次不等式.一元一次不等式的一般形式为：或。
例如，，是一元一次不等式，而，不是一元一次不等式。
（二）解一元一次不等式的步骤
①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤未知数的系数化为1
注意：去分母与系数化为一要特别小心，因为要在不等式两端同时乘或除以某一个数，要考虑不等号的方向是否发生改变的问题。
（三）解方程与解不等式的区别
一元一次方程 一元一次不等式
解法的依据 方程得两边加（或减）同一个数（或式子），方程的解不变 方程的两边乘（或除以）同一个不为零的数，方程的解不变 不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变 不等式的两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变 不等式的两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变
解法的步骤 ①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤未知数的系数化为1 ①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤未知数的系数化为1 在步骤①和步骤⑤中，如果乘数（或除以）是负数，不等号要改变方向
解得情况 一元一次方程只有一个解 一元一次不等式可以有无数多个解
考点1：一元一次不等式的概念
典例1：下列是一元一次不等式的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】若关于的一元一次不等式，则的值（　　）
A． B．1或 C．或 D．
【变式2】 关于x的不等式是一元一次不等式，则不等式的解集为 ．
【变式3】给出下列不等式：①x＋1＞x－x2；②y－1＞3；③x＋≥2；④x≤0；⑤3x－y＜5，其中属于一元一次不等式的是： ．（只填序号）
考点2：解一元一次不等式
典例2：解不等式（组）
(1)；
(2)．
【变式1】（1）求不等式 的非负整数解．
（2）解不等式组．
【变式2】 解不等式组：’并在数轴上表示出不等式组的解集．
【变式3】解不等式组请按下列步骤完成解答．
(1)解不等式①，得______．
(2)解不等式②，得______．
(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
(4)原不等式组的解集是______．
考点3：方程组与不等式综合
典例3：关于x，y的方程组的解中x与y的和小于5，则k的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【变式1】若关于，的方程组的解满足不等式，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】 已知方程组，且，则的取值范围是 ．
【变式3】若关于，的方程组满足，则的取值范围是 ．
考点4：不等式的整数解问题
典例4：已知关于的不等式的负整数解只有四个，求的取值范围．
【变式1】计算的结果为．
(1)若．求P的值；
(2)若P的值为正数，请你写出一个的整数值，并求出P的值．
【变式2】 规定新运算：，其中、是常数．已知，．
(1)求、的值；
(2)若，求，的值；
(3)若，，且，求的最小整数值．
【变式3】若不等式的最小整数解是关于x的方程的解，请求出代数式的值．
考点5：一元一次不等式解集应用
典例5：已知关于的方程组．若方程组的解满足，则的最小整数值为（ ）
A． B． C．0 D．1
【变式1】下面是两位同学对同一个不等式求解过程的对话：
小明：在求解的过程中要改变不等号的方向；
小强：求得不等式的最小整数解为．
根据上述对话信息，可知他们讨论的不等式是（　　）
A． B． C． D．
【变式2】 已知关于x的方程的解是非负数，则k的最小值为 ．
【变式3】对于实数对，定义偏左数为，偏右数为．对于实数对，若，则x的最小整数值是 ．
考点6：不等式与几何综合
典例6：如图是由黑白两种正方形地砖拼成的图案，且每块正方形地砖边长为0.6m．
(1)按图示规律，图1的长为______m，图2的长为______m，图3的长为______m；
(2)设图案的长为，当黑色地砖块数为n（n为正整数）时，______（用含n的代数式表示）；
(3)若要使不小于72m，则至少需要黑色地砖多少块
【变式1】如图，数轴上点为原点，点A、B、C表示的数分别是．
(1) ．（用含m的代数式表示）
(2)当时，求m的最小值．
【变式2】 数轴上有M，N两点，点M表示的数为，点N表示的数为．
(1)当时，求点N表示的数；
(2)若点N在点M的左侧，求m的最大整数值．
【变式3】如图，数轴上点O为原点，点A，B，C表示的数分别是，，．
(1)________（用含m的代数式表示）；
(2)若点B为线段的中点，求的长；
(3)设，求当与的差不小于时整数x的最小值．
考点7：含绝对值不等式的问题
典例7：先阅读绝对值不等式和的解法，再解答问题．
①因为，从数轴上（如图1）可以看出只有大于－6而小于6的数的绝对值小于6，所以的解集为．
②因为，从数轴上（如图2）可以看出只有小于－6的数和大于6的数的绝对值大于6．所以的解集为或．
(1)的解集为______，的解集为______；
(2)已知关于的二元一次方程组的解满足，其中是正整数，求的值．
【变式1】数学探究小组在学习了不等式知识后开展对绝对值不等式的解集的探究，首先对和进行探究：
根据绝对值的意义，将不等式的解集表示在数轴上（如图1），可得的解集是：；将不等式的解集表示在数轴上（如图2），可得的解集是：或．

根据以上探究，解答下列问题：
(1)填空：不等式（）的解集为______，不等式（）的解集为______；
(2)解不等式；
(3)求不等式的解集．
【变式2】 请阅读下面求含绝对值的不等式和的解集过程．
对于含绝对值的不等式，从图1的数轴上看：大于－3而小于3的数的绝对值小于3，所以的解集为；对于含绝对值的不等式，从图2的数轴上看：小于－3或大于3的数的绝对值大于3，所以的解集为或．
(1)含绝对值的不等式的解集为______；
(2)已知含绝对值的不等式的解集为，求实数，的值；
(3)已知关于，的二元一次方程的解满足，其中是正数，求的取值范围．
【变式3】已知、在数轴上分别表示、.
(1)对照数轴填写下表：
、两点的距离
(2)写出数轴上到和的距离之和为的所有整数，并求这些整数的和；
(3)若数轴上表示数a的点位于与6之间，求的值；
(4)若x表示一个有理数，且，求有理数的取值范围．
考点8：一元一次不等式的应用——销售问题
典例8：小丽利用暑假进行勤工俭学，摆摊销售A、B两种商品，其进价和售价如下表：
进价/元 售价/元
A 2 3.5
B 2.5 4.5
(1)小丽第一次用350元购进A、B两种商品，销售完后，共获利275元，第一次购进A、B两种商品各多少件？
(2)若小丽第二次共购进A、B两种商品250件，在进价和售价均不变的情况下，要使售完所有商品的利润不低于400元，则至少需要购进B种商品多少件？
【变式1】杭州第19届亚运会于2023年9月23日举行．某商场销售亚运会文化衫，每件进价为50元，试销售期间发现，销售定价为55元时，平均每天可售出210件，销售定价每上涨1元，销售量就减少3件．
(1)当每件文化衫的售价为58元时，平均每天售出_____件文化衫，每天的销售利润_____元．
(2)设每件文化衫的售价上涨元．
①平均每天售出_____件文化衫（用含的代数式表示）．
②若每天的销售利润恰好为2700元，且每件获利不超过，求的值．
【变式2】 象山有着“中国柑橘之乡”的美誉，经营户老张近期主要销售“红美人”和“象山青”两个柑橘品种．
红美人 象山青
进价（元斤） 20 5
售价（元斤） 35 10
(1)上周的“红美人”和“象山青”的进价和售价如下表所示，老张用3000元批发了“红美人”和“象山青”共300斤，上周售完后一共能赚多少钱？
(2)本周保持进价不变，老张仍用3000元批发了“红美人”和“象山青”共300斤，但在运输过程中“红美人”损坏了，而“象山青”没有损坏仍按原价销售．要想本周售完后的利润不低于上周的利润，“红美人”的售价最低定为多少？（精确到0.1元）
【变式3】随着哈尔滨市全力打造旅游城市政策的实施，哈尔滨这座历史悠久的北方名城，吸引了国内外多方友人奔赴而来，极大促进了哈市经济的发展，中央大街某商家抓住了这一商机，该商家决定购进甲 乙两种纪念品进行销售，若购进甲种纪念品1件和乙种纪念品2件共需要元；若购进甲种纪念品2件和乙种纪念品3件共需要元．
(1)求购进甲 乙两种纪念品每件各需要多少元？
(2)该商场决定购进甲 乙两种纪念品共件，若每件甲种纪念品的售价为元，每件乙种纪念品的售价为元，销售完这件纪念品所获得的利润不低于元，则该商场最少购进甲种纪念品多少件？
考点9：一元一次不等式的应用——分配问题
典例9：自发生新冠疫情以来，部分企业受到了不同程度的影响，为落实“保民生、促经济”政策，某玻璃制品销售公司今年3月份调整了职工的月工资分配方案，调整后月工资由基本保障工资和计件奖励工资两部分组成（计件奖励工资=销售每件的奖励金额×销售的件数），下表是甲，乙两位职工今年4月份的工资情况信息：
职工 甲 乙
月销售件数（件） 120 160
月工资 6000 6400
(1)求工资分配方案调整后职工的月基本保障工资和销售每件产品的奖励金额各是多少元？
(2)若职工丙今年5月份的工资不低于7000元，那么丙该月至少应销售多少件产品？
【变式1】黔南州历史悠久、人文毓秀，每年都吸引无数游客前来游玩．某经销商抓住商机，计划购进当地名产 我国十大名茶之一的都匀毛尖供游客选购．经调研：春茶毛尖1盒和夏茶毛尖2盒共需要200元；春茶毛尖2盒和夏茶毛尖5盒共需要450元．
(1)求春茶毛尖和夏茶毛尖的单价．
(2)若该经销商想购进这两种茶叶共100盒，且投入资金不少于7020元，怎样分配两种茶叶的数量才能使投入资金最少？并求出最少资金．
【变式2】 某校准备利用劳动课开展植树活动，绿化校园.现需要一批铁锹和运土的藤筐，据市场调查，购买把铁锹和个藤筐需花费 元；购买把铁锹和个藤筐需花费 元
(1)求铁锹和藤筐的单价.
(2)学校准备购买铁锹和藤筐共件，根据挖土和运土学生的分配，购买铁锹的数量不能超过，而且要求购买铁锹的数量不少于藤筐数量的 则该学校有几种购买方案
【变式3】某加工车间名工人生产螺钉和螺母，每人每天平均生产螺钉个或螺母个，一个螺钉要配两个螺母，
(1)为了使每天的产品刚好配套，应该分配多少名工人生产螺钉，多少工人生产螺母？
(2)若每一个螺钉的销售利润是元，每一个螺母的销售利润是元，工厂给车间规定每月的销售利润不少于万元，那么名工人每月至少加工多少天才能完成车间任务？
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专题02 一元一次不等式
（一）一元一次不等式概念
不等式的左右两边都是整式，只含有一个未知数并且未知数的最高次数是1，像这样的不等式叫一元一次不等式.一元一次不等式的一般形式为：或。
例如，，是一元一次不等式，而，不是一元一次不等式。
（二）解一元一次不等式的步骤
①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤未知数的系数化为1
注意：去分母与系数化为一要特别小心，因为要在不等式两端同时乘或除以某一个数，要考虑不等号的方向是否发生改变的问题。
（三）解方程与解不等式的区别
一元一次方程 一元一次不等式
解法的依据 方程得两边加（或减）同一个数（或式子），方程的解不变 方程的两边乘（或除以）同一个不为零的数，方程的解不变 不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变 不等式的两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变 不等式的两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变
解法的步骤 ①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤未知数的系数化为1 ①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤未知数的系数化为1 在步骤①和步骤⑤中，如果乘数（或除以）是负数，不等号要改变方向
解得情况 一元一次方程只有一个解 一元一次不等式可以有无数多个解
考点1：一元一次不等式的概念
典例1：下列是一元一次不等式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】一元一次不等式的定义
【分析】根据一元一次不等式的定义对各小题进行逐一分析即可．
【详解】、为整式，不是一元一次不等式，此选项不符合题意；
、中未知数的次数是，不是一元一次不等式，此选项不符合题意；
、中含有个未知数，不是一元一次不等式，此选项不符合题意；
、中含有个未知数，未知数的次数是，是一元一次不等式，此选项符合题意；
故选：．
【点睛】此题考查了一元一次不等式，解题的关键是理解含有一个未知数，未知数的次数是的不等式，叫做一元一次不等式．
【变式1】若关于的一元一次不等式，则的值（　　）
A． B．1或 C．或 D．
【答案】C
【知识点】一元一次不等式的定义
【分析】根据一元一次不等式的定义解答即可．
【详解】解：是关于的一元一次不等式，
，
或．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的定义，类似于一元一次方程，含有一个未知数，未知数的次数是1，未知数的系数不为0，左右两边为整式的不等式，叫做一元一次不等式．
【变式2】 关于x的不等式是一元一次不等式，则不等式的解集为 ．
【答案】
【知识点】一元一次不等式的定义、求一元一次不等式的解集
【分析】先根据一元一次不等式的概念得出的值，代入不等式，解之可得．
【详解】解：∵不等式是一元一次不等式，
∴，解得：，
则不等式为：，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式，解题的关键是掌握一元一次不等式的定义和解一元一次不等式的步骤．
【变式3】给出下列不等式：①x＋1＞x－x2；②y－1＞3；③x＋≥2；④x≤0；⑤3x－y＜5，其中属于一元一次不等式的是： ．（只填序号）
【答案】②④
【知识点】一元一次不等式的定义
【分析】根据一元一次不等式的定义，只要含有一个未知数，并且未知数的次数是1的不等式就是一元一次不等式．
【详解】①x＋1＞x－x2是一元二次不等式，故选项不符合题意；
②y－1＞3是一元一次不等式，故此选项符合题意；
③x＋≥2中不是整式，故选项不符合题意；
④x≤0是一元一次不等式，故此选项符合题意；
⑤3x－y＜5；含两个未知数，故选项不符合题意．
故答案为：②④
【点睛】本题考查一元一次不等式的定义中的未知数的最高次数为1次，本题还要注意未知数的系数不能是0．
考点2：解一元一次不等式
典例2：解不等式（组）
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【知识点】求一元一次不等式的解集、求不等式组的解集
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
（1）不等式去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解；
（2）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
【详解】（1）解：
解得；
（2）解：
由①得，
由②得，
∴不等式组的解为．
【变式1】（1）求不等式 的非负整数解．
（2）解不等式组．
【答案】（1）；（2）
【知识点】求不等式组的解集、求一元一次不等式的整数解
【分析】本题考查了一元一次不等式的解法及一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解答本题的关键．
（1）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求出不等式的解集，再找出其中的非负整数即可；
（2）先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解集．
【详解】解：（1）∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴非负整数解有：；
（2），
解①得，
解②得，
∴．
【变式2】 解不等式组：’并在数轴上表示出不等式组的解集．
【答案】不等式组的解集为，数轴见解析
【知识点】在数轴上表示不等式的解集、求不等式组的解集
【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
首先解每个不等式，两个不等式解集的公共部分就是不等式组的解集，将解集在数轴上表示出来即可．
【详解】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为，
将不等式组的解集在数轴上表示如下：
【变式3】解不等式组请按下列步骤完成解答．
(1)解不等式①，得______．
(2)解不等式②，得______．
(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
(4)原不等式组的解集是______．
【答案】(1)
(2)
(3)见解析
(4)
【知识点】求一元一次不等式的解集、在数轴上表示不等式的解集、求不等式组的解集
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
（1）求出不等式的解集即可；
（2）求出不等式的解集即可；
（3）在数轴上表示出不等式组的解集即可；
（4）根据数轴写出不等式组的解集．
【详解】（1）解：
，
，
故答案为：；
（2）解：
，
，
故答案为：；
（3）解：不等式组的解集在数轴上表示如下：
（4）解：不等式组的解集为：，
故答案为：．
考点3：方程组与不等式综合
典例3：关于x，y的方程组的解中x与y的和小于5，则k的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】求一元一次不等式的解集、已知二元一次方程组的解的情况求参数
【分析】本题考查根据二元一次方程组的解的情况求参数、解一元一次不等式，把两个方程相减，可得，进而可得，再求解即可．
【详解】解：，
由得，，
∵，
∴，
∴，
故选：D．
【变式1】若关于，的方程组的解满足不等式，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】求一元一次不等式的解集、已知二元一次方程组的解的情况求参数
【分析】此题考查了二元一次方程组、一元一次不等式的解法等知识，熟练掌握方程组的解法和一元一次不等式的解法是解题的关键．先解方程组，求得，的值，再代入，即可求解．
【详解】解：解关于，的方程组，
可得：，
把它代入得：，
解得：，
故选：B．
【变式2】 已知方程组，且，则的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】加减消元法、求一元一次不等式的解集
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组、解一元一次不等式等知识，熟练掌握二元一次方程组的解法和一元一次不等式的解法是解题关键．首先解方程组，可得，，结合可得关于的一元一次不等式，然后求解即可．
【详解】解：，
由，可得 ，解得，
将，可得 ，解得，
∵，
∴，解得．
故答案为：．
【变式3】若关于，的方程组满足，则的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数、求一元一次不等式的解集
【分析】解二元一次方程组得，．把，代入不等式即可求出的取值范围．
本题主要考查了解含有参数的二元一次方程组及一元一次不等式，用含有a的代数式表示出x、y是解题的关键．
【详解】解：
，得，
解得，
把代入②得，
，
，
，
解得．
故答案为：．
考点4：不等式的整数解问题
典例4：已知关于的不等式的负整数解只有四个，求的取值范围．
【答案】
【知识点】求一元一次不等式的整数解、求不等式组的解集
【分析】本题主要考查了根据不等式的解集情况求参数，解不等式组，先按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求出不等式的解集为，再根据不等式的负整数解只有四个得到，解不等式组即可得到答案．
【详解】解：
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得．
不等式的负整数解只有四个，
解得．
【变式1】计算的结果为．
(1)若．求P的值；
(2)若P的值为正数，请你写出一个的整数值，并求出P的值．
【答案】(1)
(2)2；3（答案不唯一）
【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、求一元一次不等式的整数解
【分析】（1）根据求代数式的值的基本步骤解答即可；
（2）根据P的值为正数，得到，解不等式，确定整数解，后计算即可．
本题考查了求代数式的值，解不等式求整数解，熟练掌握解不等式是解题的关键．
【详解】（1）解：当时，
．
（2）解：根据题意，得，
解得，
当时，
．
【变式2】 规定新运算：，其中、是常数．已知，．
(1)求、的值；
(2)若，求，的值；
(3)若，，且，求的最小整数值．
【答案】(1)，；
(2)，
(3)
【知识点】加减消元法、求一元一次不等式的解集、求一元一次不等式的整数解
【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式，一元一次不等式的整数解等知识点，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键．
（1）根据新运算得出方程组，再①②得出，求出，再把代入①求出即可；
（2）根据新运算得出方程组，再①②得出，求出，再把代入②求出即可；
（3）根据新运算得出方程组，再①②得出，根据求出的范围，再求出最小整数解即可．
【详解】（1）解：∵，，，
，
①②，得，
解得：，
把代入①，得，
解得：；
（2）解：由（1），，
∴，
，
，
①②，得，
解得：，
把代入②，得，
解得：；
（3）解：，，，
，
①②，得，
，
，
，
的最小整数值是．
【变式3】若不等式的最小整数解是关于x的方程的解，请求出代数式的值．
【答案】
【知识点】已知式子的值，求代数式的值、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、求一元一次不等式的整数解
【分析】本题考查解一元一次不等式的整数解、解一元一次方程、代数式求值，先解一元一次不等式求得不等式的最小整数解是，再代入方程求得，最后代入代数式求值即可．
【详解】解：，
解得，
∴不等式的最小整数解是，
∵不等式的最小整数解是关于x的方程的解，
∴把代入得，，
解得，
把代入得，．
考点5：一元一次不等式解集应用
典例5：已知关于的方程组．若方程组的解满足，则的最小整数值为（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】A
【知识点】加减消元法、求一元一次不等式解的最值
【分析】本题考查了解二元一次方程组，根据不等式的解集求参数，根据题意得出，进而可得，解不等式，即可求解．
【详解】解：
①+②得，
∴
∵
∴
解得：
∴的最小整数值为，
故选：A．
【变式1】下面是两位同学对同一个不等式求解过程的对话：
小明：在求解的过程中要改变不等号的方向；
小强：求得不等式的最小整数解为．
根据上述对话信息，可知他们讨论的不等式是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】求一元一次不等式解的最值
【分析】先根据不等式的性质求出每个不等式的解集，再求出不等式的最小整数解，最后得出选项即可．
【详解】解：A．，
，
，
，
，
（不等号的方向改变），
所以不等式的最小整数解不是，故本选项不符合题意；
B．，
，
，
，
（不等号的方向改变了），
所以不等式的最小整数解是，不是，故本选项不符合题意；
C．，
，
，
，
（不等号的方向改变了），
所以不等式的最小整数解是，不是，故本选项不符合题意；
D．，
，
，
，
（不等号的方向改变），
所以不等式的最小整数解是，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式和一元一次不等式的整数解，能正确根据不等式的性质进行变形是解此题的关键．
【变式2】 已知关于x的方程的解是非负数，则k的最小值为 ．
【答案】
【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、求一元一次不等式解的最值
【分析】本题主要考查解一元一次方程及一元一次不等式，列出关于k的不等式求出k的取值范围是解题关键．
把k看作已知数表示出方程的解，根据解为非负数，确定出k的范围，即可得出答案．
【详解】解：
解得：，
由题意得：，
解得：，
∴k的最小值为．
故答案为：．
【变式3】对于实数对，定义偏左数为，偏右数为．对于实数对，若，则x的最小整数值是 ．
【答案】8
【知识点】求一元一次不等式解的最值
【分析】根据题干信息先求出和，再求解不等式即可．
【详解】解：对于实数对，定义偏左数为，偏右数为，
对于实数对，，，
，
，
解得：，
的最小整数值是8，
故答案为：8．
【点睛】本题考查一元一次不等式的应用，新定义，解题的关键是根据题干所给信息列出不等式．
考点6：不等式与几何综合
典例6：如图是由黑白两种正方形地砖拼成的图案，且每块正方形地砖边长为0.6m．
(1)按图示规律，图1的长为______m，图2的长为______m，图3的长为______m；
(2)设图案的长为，当黑色地砖块数为n（n为正整数）时，______（用含n的代数式表示）；
(3)若要使不小于72m，则至少需要黑色地砖多少块
【答案】(1)1.8；3；4.2
(2)
(3)至少需要黑色地砖60块
【知识点】图形类规律探索、用一元一次不等式解决几何问题
【分析】本题考查的是图形的变化规律，从图形中找出砖块的变化规律是解题的关键．
（1）根据上述图形计算即可；
（2）根据（1）中的规律，可知：当图案的长为．当黑色地砖块数为为正整数）时，；
（3）由题可知，，求解即可．
【详解】（1）解：图1的长为：；
图2的长为：；
图3的长为：；
故答案为：1.8；3；4.2；
（2）解：根据（1）中的规律，可知：
当图案的长为．当黑色地砖块数为为正整数）时，
，
故答案为：；
（3）解：由题可知，，
，
（块，
至少需要黑色地砖块60块．
【变式1】如图，数轴上点为原点，点A、B、C表示的数分别是．
(1) ．（用含m的代数式表示）
(2)当时，求m的最小值．
【答案】(1)
(2)
【知识点】数轴上两点之间的距离、整式的加减运算、用一元一次不等式解决几何问题
【分析】本题考查数轴上两点间的距离，解一元一次不等式等知识，准确计算是解决问题的关键．
（1）用右边的点所表示的数减去左边的点所表示的数即可求解．
（2）利用，建立方程求得，求解即可．
【详解】（1）解：；
（2）解：∵，
∵，，
∴，
∴，
m最小取．
【变式2】 数轴上有M，N两点，点M表示的数为，点N表示的数为．
(1)当时，求点N表示的数；
(2)若点N在点M的左侧，求m的最大整数值．
【答案】(1)
(2)2
【知识点】数轴上的动点问题、已知字母的值 ，求代数式的值、用一元一次不等式解决几何问题
【分析】本题考查数轴上点表示数、代数式求值、一元一次不等式等知识点，掌握数轴上点表示数的大小与位置关系列出一元一次不等式解法是解题关键．
（1）直接将代入即可解答；
（2）根据点N在点M的左侧以及数轴上左侧的数小于右侧的数列出不等式求解即可．
【详解】（1）解：当时，求点N表示的数为．
（2）解：∵若点N在点M的左侧，
∴，
解得：，
∴m的最大整数值为2．
【变式3】如图，数轴上点O为原点，点A，B，C表示的数分别是，，．
(1)________（用含m的代数式表示）；
(2)若点B为线段的中点，求的长；
(3)设，求当与的差不小于时整数x的最小值．
【答案】(1)
(2)
(3)整数x的最小值为25
【知识点】数轴上两点之间的距离、几何问题(一元一次方程的应用)、用一元一次不等式解决几何问题
【分析】（1）直接利用两点之间的距离公式进行计算即可；
（2）点B为线段的中点，可得，再建立方程求解即可；
（3）由，，，再利用当与的差不小于，建立不等式求解即可．
【详解】（1）解：∵点A，B表示的数分别是，，
∴；
（2）∵点B为线段的中点，
∴，
∵，，
即，
解得．
∴B点表示的数为，
∴．
（3）∵，，，
由题意得，
解得，
∴，
∴整数x的最小值为25．
【点睛】本题主要考查数轴上两点间的距离，列方程、不等式解决问题，考查学生的几何直观和运算能力．
考点7：含绝对值不等式的问题
典例7：先阅读绝对值不等式和的解法，再解答问题．
①因为，从数轴上（如图1）可以看出只有大于－6而小于6的数的绝对值小于6，所以的解集为．
②因为，从数轴上（如图2）可以看出只有小于－6的数和大于6的数的绝对值大于6．所以的解集为或．
(1)的解集为______，的解集为______；
(2)已知关于的二元一次方程组的解满足，其中是正整数，求的值．
【答案】(1)；或
(2)
【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数、解|x|≥a型的不等式
【分析】本题主要考查了绝对值的几何意义、二元一次方程组的特殊解法，求一元一次不等式组的整理数解等知识点，理解绝对值的几何意义是解答本题的关键．
（1）根据阅读材料的结论即可解答；
（2）先将二元一次的方程组的两方程求和可得，再代入得到关于的绝对值方程，然后求解，最后确定满足题意的的值即可．
【详解】（1）解：由阅读材料提供方法可得：的解集为；
的解集为或．
故答案为；或．
（2）解：二元一次方程组
可得：，即
，
是正整数
．
【变式1】数学探究小组在学习了不等式知识后开展对绝对值不等式的解集的探究，首先对和进行探究：
根据绝对值的意义，将不等式的解集表示在数轴上（如图1），可得的解集是：；将不等式的解集表示在数轴上（如图2），可得的解集是：或．

根据以上探究，解答下列问题：
(1)填空：不等式（）的解集为______，不等式（）的解集为______；
(2)解不等式；
(3)求不等式的解集．
【答案】(1)，或
(2)或
(3)
【知识点】绝对值的意义、求一元一次不等式的解集、解|x|≥a型的不等式
【分析】此题是一个阅读题目，首先通过阅读把握题目中解题规律和方法，然后利用这些方法解决所给出的题目，所以解题关键是正确理解阅读材料的解题方法，才能比较好的解决问题．此题是一个绝对值的问题，有点难以理解，要反复阅读，充分理解题意．
（1）由于的解集是，的解集是或，根据它们即可确定 和的解集；
（2）把当做一个整体，首先利用（1）的结论可以求出的取值范围，然后就可以求出的取值范围；
（3）先在数轴上找出的解，即可得出不等式的解集．
【详解】（1）根据题干规律可得，不等式（）的解集为；
不等式（）的解集为或；
（2）由（1）得：由于，
所以或，
所以或，
所以的解集为或；
（3）由绝对值的意义得方程的解就是求在数轴上到1和对应点的距离之和等于5的点对应的x的值，
因为数轴上1和对应点的距离为3，
所以满足方程的x对应的点在1的右边或的左边．
若x对应的点在1的右边，可得；
若x对应的点在的左边，可得；
所以方程的解为或，
所以不等式的解集为．
【变式2】 请阅读下面求含绝对值的不等式和的解集过程．
对于含绝对值的不等式，从图1的数轴上看：大于－3而小于3的数的绝对值小于3，所以的解集为；对于含绝对值的不等式，从图2的数轴上看：小于－3或大于3的数的绝对值大于3，所以的解集为或．
(1)含绝对值的不等式的解集为______；
(2)已知含绝对值的不等式的解集为，求实数，的值；
(3)已知关于，的二元一次方程的解满足，其中是正数，求的取值范围．
【答案】(1)或
(2)
(3)
【知识点】解|x|≥a型的不等式、由不等式组解集的情况求参数、不等式组和方程组结合的问题
【分析】（1）由绝对值的几何意义即可得出答案；
（2）由知，据此得出，再结合可得出关于a、b的方程组，解之即可求出a、b的值
（3）由知 ，据此得出，解之求出m的取值范围，继而可得答案．
【详解】（1）解：根据绝对值的定义得：或，
故答案为：或；
（2）解：∵，
∴，
解得，
∵不等式的解集为，
∴，
解得：，
∴实数 ，；
（3）解：∵，
∴，
∵，
∴，
解得，
又m是正数，
∴．
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式， 解题的关键是掌握绝对值的几何意义及解一元一次不等式和不等式组的能力．
【变式3】已知、在数轴上分别表示、.
(1)对照数轴填写下表：
、两点的距离
(2)写出数轴上到和的距离之和为的所有整数，并求这些整数的和；
(3)若数轴上表示数a的点位于与6之间，求的值；
(4)若x表示一个有理数，且，求有理数的取值范围．
【答案】(1)6；2；12
(2)0
(3)10
(4)或
【知识点】数轴上两点之间的距离、绝对值的意义、解|x|≥a型的不等式
【分析】（1）根据数轴上点表示的有理数，即可求出两点间的距离．
（2）由数轴上两点间的距离，可得出只要在和7之间的整数均满足题意，进而即可求解．
（3）由题意得：，去绝对值即可求解．
（4）分类讨论：当时；当时；当时；去绝对值，解不等式即可求解．
【详解】（1）解：当，时，A、B两点的距离为；
当，时，A、B两点的距离为；
当，时，A、B两点的距离为，
、两点的距离 6 2 12
故答案为：6、2、12．
（2）7到的距离为，
7到之间的所有整数，均满足到和的距离之和为，
∴ 数轴上到7和的距离之和为14的所有整数有：，，，，，，，0，1，2，3，4，5，6，7；
，
答：所有这些整数的和为0．
（3）由题意得：，
则．
（4）当时，
不等式，即：，
解得：；
当时，
不等式，即，
则无解，
当时，不等式，即：，
解得：，
综上所述：有理数x的取值范围为：或．
【点睛】本题考查了数轴上两点间的距离、解一元一次不等式及绝对值的意义，熟练掌握数轴上两点之间的距离及绝对值不等式的解法是解题的关键．
考点8：一元一次不等式的应用——销售问题
典例8：小丽利用暑假进行勤工俭学，摆摊销售A、B两种商品，其进价和售价如下表：
进价/元 售价/元
A 2 3.5
B 2.5 4.5
(1)小丽第一次用350元购进A、B两种商品，销售完后，共获利275元，第一次购进A、B两种商品各多少件？
(2)若小丽第二次共购进A、B两种商品250件，在进价和售价均不变的情况下，要使售完所有商品的利润不低于400元，则至少需要购进B种商品多少件？
【答案】(1)第一次购进种商品50件、种商品100件
(2)至少需要购进种商品50件
【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、用一元一次不等式解决实际问题
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，正确建立方程组和不等式是解题关键．
（1）设第一次购进种商品件、种商品件，根据第一次购进两种商品的成本、销售完的利润建立方程组，解方程组即可得；
（2）设购进种商品件，则购进种商品件，根据利润不低于400元建立不等式，解不等式即可得．
【详解】（1）解：设第一次购进种商品件、种商品件，
由题意得：，
解得，
答：第一次购进种商品50件、种商品100件．
（2）解：设购进种商品件，则购进种商品件，
由题意得：，
解得，
答：至少需要购进种商品50件．
【变式1】杭州第19届亚运会于2023年9月23日举行．某商场销售亚运会文化衫，每件进价为50元，试销售期间发现，销售定价为55元时，平均每天可售出210件，销售定价每上涨1元，销售量就减少3件．
(1)当每件文化衫的售价为58元时，平均每天售出_____件文化衫，每天的销售利润_____元．
(2)设每件文化衫的售价上涨元．
①平均每天售出_____件文化衫（用含的代数式表示）．
②若每天的销售利润恰好为2700元，且每件获利不超过，求的值．
【答案】(1)201，1608
(2)①；②
【知识点】列代数式、营销问题(一元二次方程的应用)、用一元一次不等式解决实际问题
【分析】本题一元二次方程的实际应用，正确的列出代数式和方程，是解题的关键：
（1）根据销售定价每上涨1元，销售量就减少3件，列出算式求出销量，根据总利润等于单件利润乘以销量求出总利润即可；
（2）①根据销售定价每上涨1元，销售量就减少3件，列出代数式即可；
②根据总利润等于单件利润乘以销量，列出方程，进行求解即可．
【详解】（1）解：（件）；
（元）；
故答案为：201，1608
（2）解：①平均每天售出件文化衫；
故答案为：；
②由题意，的：，
解得：，；
不符合题意．
．
【变式2】 象山有着“中国柑橘之乡”的美誉，经营户老张近期主要销售“红美人”和“象山青”两个柑橘品种．
红美人 象山青
进价（元斤） 20 5
售价（元斤） 35 10
(1)上周的“红美人”和“象山青”的进价和售价如下表所示，老张用3000元批发了“红美人”和“象山青”共300斤，上周售完后一共能赚多少钱？
(2)本周保持进价不变，老张仍用3000元批发了“红美人”和“象山青”共300斤，但在运输过程中“红美人”损坏了，而“象山青”没有损坏仍按原价销售．要想本周售完后的利润不低于上周的利润，“红美人”的售价最低定为多少？（精确到0.1元）
【答案】(1)2500元
(2)36.7元斤
【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用)、用一元一次不等式解决实际问题
【分析】本题考查一元一次方程和一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程和不等式解决问题．
（1）设上周购进“红美人”斤，则利润为元，根据用3000元批发了“红美人”和“象山青”共300斤得：，解出的值可得答案；
（2）设“红美人”的售价为元斤，根据本周售完后的利润不低于上周的利润得：，解出的范围，即可得到答案．
【详解】（1）解：设上周购进“红美人”斤，则购进“象山青”斤，利润为元，
根据题意得：，
解得，
，
上周售完后一共能赚2500元；
（2）解：设“红美人”的售价为元斤，
根据题意得：，
解得，
“红美人”的售价最低定为36.7元斤，本周售完后的利润不低于上周的利润．
【变式3】随着哈尔滨市全力打造旅游城市政策的实施，哈尔滨这座历史悠久的北方名城，吸引了国内外多方友人奔赴而来，极大促进了哈市经济的发展，中央大街某商家抓住了这一商机，该商家决定购进甲 乙两种纪念品进行销售，若购进甲种纪念品1件和乙种纪念品2件共需要元；若购进甲种纪念品2件和乙种纪念品3件共需要元．
(1)求购进甲 乙两种纪念品每件各需要多少元？
(2)该商场决定购进甲 乙两种纪念品共件，若每件甲种纪念品的售价为元，每件乙种纪念品的售价为元，销售完这件纪念品所获得的利润不低于元，则该商场最少购进甲种纪念品多少件？
【答案】(1)购进甲种纪念品每件需要元，乙种纪念品每件需要元
(2)该商场最少购进甲种纪念品件
【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、用一元一次不等式解决实际问题
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用．找准等量关系，正确列出二元一次方程组与根据各数量关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
（1）设购进甲种纪念品每件需要元，乙种纪念品每件需要元，根据“购进甲种纪念品1件和乙种纪念品2件共需要元，购进甲种纪念品2件和乙种纪念品3件共需要元”，可列出关于、的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设该商场购进件甲种纪念品，则购进件乙种纪念品，利用总利润每件的销售利润销售数量，结合利润不低于元，可列出关于的一元一次不等式，解之取其中最小值即可得出结论．
【详解】（1）解：设购进甲种纪念品每件需要元，乙种纪念品每件需要元，
根据题意得：，
解得：．
答：购进甲种纪念品每件需要元，乙种纪念品每件需要元．
（2）设该商场购进件甲种纪念品，则购进件乙种纪念品，
根据题意得：，
解得：，
的最小值为．
答：该商场最少购进甲种纪念品件．
考点9：一元一次不等式的应用——分配问题
典例9：自发生新冠疫情以来，部分企业受到了不同程度的影响，为落实“保民生、促经济”政策，某玻璃制品销售公司今年3月份调整了职工的月工资分配方案，调整后月工资由基本保障工资和计件奖励工资两部分组成（计件奖励工资=销售每件的奖励金额×销售的件数），下表是甲，乙两位职工今年4月份的工资情况信息：
职工 甲 乙
月销售件数（件） 120 160
月工资 6000 6400
(1)求工资分配方案调整后职工的月基本保障工资和销售每件产品的奖励金额各是多少元？
(2)若职工丙今年5月份的工资不低于7000元，那么丙该月至少应销售多少件产品？
【答案】(1)4800元，10元
(2)220件
【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、用一元一次不等式解决实际问题
【分析】（1）设工资分配方案调整后职工的月基本保障工资为x元，销售每件产品的奖励金额为y元，利用调整后月工资=基本保障工资+销售每件的奖励金额销售的件数，结合甲、乙两位职工今年2月份的月销售数量及月工资，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设丙该月应销售m件产品，利用调整后月工资=基本保障工资+销售每件的奖励金额销售的件数，结合职工丙今年3月份的工资不低于7000元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
【详解】（1）解：设工资分配方案调整后职工的月基本保障工资为x元，销售每件产品的奖励金额为y元，
依题意得：，
解得：
答：工资分配方案调整后职工的月基本保障工资为4800元，销售每件产品的奖励金额为10元．
（2）设丙该月应销售m件产品，
依题意得：，
解得：
答：丙该月至少应销售220件产品．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
【变式1】黔南州历史悠久、人文毓秀，每年都吸引无数游客前来游玩．某经销商抓住商机，计划购进当地名产 我国十大名茶之一的都匀毛尖供游客选购．经调研：春茶毛尖1盒和夏茶毛尖2盒共需要200元；春茶毛尖2盒和夏茶毛尖5盒共需要450元．
(1)求春茶毛尖和夏茶毛尖的单价．
(2)若该经销商想购进这两种茶叶共100盒，且投入资金不少于7020元，怎样分配两种茶叶的数量才能使投入资金最少？并求出最少资金．
【答案】(1)春茶毛尖的单价为100元/盒，夏茶毛尖的单价为50元/盒
(2)该经销商购进春茶毛尖41盒、夏茶毛尖59盒时，投入的资金最少，最少资金为7050元
【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、用一元一次不等式解决实际问题
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用，正确建立方程组和不等式组是解题关键．
（1）设春茶毛尖的单价为元/盒，夏茶毛尖的单价为元/盒，根据题意建立方程组，解方程组即可得；
（2）设该经销商购进春茶毛尖盒，则购进夏茶毛尖盒，根据题意建立不等式组，解不等式组可得的取值范围，再结合为正整数，然后根据（1）的结果计算总费用，即可求出总费用最少的购买方案．
【详解】（1）解：设春茶毛尖的单价为元/盒，夏茶毛尖的单价为元/盒．
根据题意，得
解得
答：春茶毛尖的单价为100元/盒，夏茶毛尖的单价为50元/盒．
（2）解：设该经销商购进春茶毛尖盒，则购进夏茶毛尖盒．
根据题意，得，
解得．
为整数，且春茶毛尖购进的数量越少，投入资金越少，
最小可取41，
购进夏茶毛尖为（盒），
最少投入资金为（元）．
答：该经销商购进春茶毛尖41盒、夏茶毛尖59盒时，投入的资金最少，最少资金为7050元．
【变式2】 某校准备利用劳动课开展植树活动，绿化校园.现需要一批铁锹和运土的藤筐，据市场调查，购买把铁锹和个藤筐需花费 元；购买把铁锹和个藤筐需花费 元
(1)求铁锹和藤筐的单价.
(2)学校准备购买铁锹和藤筐共件，根据挖土和运土学生的分配，购买铁锹的数量不能超过，而且要求购买铁锹的数量不少于藤筐数量的 则该学校有几种购买方案
【答案】(1)铁锹的单价为30元，藤筐的单价为20元．
(2)三种方案
【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、用一元一次不等式解决实际问题
【分析】本题考查了二元一次方程组，一元一次不等式的应用；
（1）设铁锹的单价为 元，藤筐的单价为 元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组，即可求解；
（2）设购买铁锹把，则购买藤筐个，根据题意列出一元一次不等式，解不等式求正整数解即可求解．
【详解】（1）解：设铁锹的单价为 元，藤筐的单价为 元．
根据题意，得
解得
答：铁锹的单价为元，藤筐的单价为 元．
（2）设购买铁锹把，则购买藤筐个．
根据题意，得 ，解得 ．
又，
．
为正整数，
可以取 ，，
∴该学校有3种购买方案
【变式3】某加工车间名工人生产螺钉和螺母，每人每天平均生产螺钉个或螺母个，一个螺钉要配两个螺母，
(1)为了使每天的产品刚好配套，应该分配多少名工人生产螺钉，多少工人生产螺母？
(2)若每一个螺钉的销售利润是元，每一个螺母的销售利润是元，工厂给车间规定每月的销售利润不少于万元，那么名工人每月至少加工多少天才能完成车间任务？
【答案】(1)应该分配名工人生产螺钉，名工人生产螺母；
(2)天
【知识点】配套问题(一元一次方程的应用)、用一元一次不等式解决实际问题
【分析】本题考查了一元一次方程和一元一次不等式的应用，找出题中等量关系是解题的关键．
（1）设应分配名工人生产螺母，列出方程求解即可；
（2）设名工人每月加工天才能完成车间任务，则，求解即可．
【详解】（1）解：设应分配名工人生产螺母，则
解得：
∴生产螺母的工人数为：（人）
（2）解：设名工人每月加工天才能完成车间任务，则
a取整数，（天）
∴至少22天加工才能完成车间任务．
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