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专题03 一元一次不等式组
（一）一元一次不等式组
①一元一次不等式组：一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。
②不等式组的解集：几个不等式的解集的公共部分，叫做由它们组成的不等式组的解集。解不等式组就是求它的解集。
③解不等式组：先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式的解集。
不等式组的解集的确定方法（a＞b）：
（二）不等式组的实际应用
列一元一次不等式（组）解应用题的一般步骤：
（1）审：认真审题，分清已知量、未知量及其关系，找出题中不等关系，要抓住题设中的关键“字眼”，如“大于”“小于”“不小于”“不大于”“至少”“最多”等.
（2）设：设出适当的未知数,并用含未知数的代数式表示出题目中涉及的量.
（3）列：根据题中的不等关系，列出不等式.
（4）解：解出所列不等式的解集.
（5）验：检验答案是否符合题意.
（6）答：写出答案.
在以上步骤中，审题是基础，根据题意找出不等关系是关键，而根据不等关系列出不等式又是解题难点.以上过程可简单表述为: .
考点1：一元一次不等式组的概念
典例1：下列各项中，是一元一次不等式组的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】一元一次不等式组的定义
【分析】本题考查了一元一次不等式组的定义，根据一元一次不等式组的定义逐个判断即可．含有相同字母的几个不等式，如果每个不等式都是一次不等式，那么这几个不等式组合在一起，就叫一元一次不等式组．
【详解】解：A. 第二个不等式中有的式子不是整式，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意；
B. 有两个未知数，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意；
C. 最高二次，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意；
D. 是一元一次不等式组，故本选项符合题意；
故选：D．
【变式1】下列不等式组中，属于一元一次不等式组的有(　　)
①；②；③；④；⑤．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】一元一次不等式组的定义
【分析】一元一次不等式组中指含有一个相同的未知数，并且所含未知数的项的最高次数是1次，不等式的两边都是整式，根据以上内容判断即可．
【详解】解：①⑤是一元一次不等式组，②③④不是一元一次不等式组，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的定义，熟练掌握一元一次不等式组的定义是解题的关键．
【变式2】 下列不等式组：① ② ③ ④ ⑤．其中是一元一次不等式组的有 个．
【答案】2
【知识点】一元一次不等式组的定义
【分析】利用一元一次不等式组定义解答即可．
【详解】解：①是一元一次不等式组；
②含有两个未知数，不是一元一次不等式组；
③是一元一次不等式组；
④不是一元一次不等式组；
⑤，未知数的最高次数是2次，不是一元一次不等式组，
其中是一元一次不等式组的有2个，
故答案为：2．
【点睛】此题主要考查了一元一次不等式组，关键是掌握几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一次不等式组．
【变式3】某生物兴趣小组要在温箱里同时培养A，B两种菌苗，已知A种菌苗生长的适宜温度的范围是 ，B种菌苗生长的适宜温度 的范围是 ，那么温箱里的温度应该设定的范围是 ．
【答案】
【知识点】一元一次不等式组的定义
【分析】本题考查了求不等式组解集的意义；由题意知，温度要同时适宜两种菌苗的生长，就是求这两个范围的公共部分．
【详解】解：这两个温度范围的公共部分是：；
故答案为：．
考点2：一元一次不等式组的解集
典例2：把不等式的解集表示在数轴上，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】求不等式组的解集、在数轴上表示不等式的解集
【分析】本题考查的是利用数轴确定不等式组的解集，通过数轴确定解集的公共部分即可得到答案．
【详解】解：A． 没有公共部分，即无解． 不符合题意；
B． 表示的解集为∶ ，符合题意，
C．没有公共部分，即无解． 不符合题意，
D． 表示的解集为：，不符合题意；
故选B．
【变式1】不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】在数轴上表示不等式的解集、求不等式组的解集
【分析】本题考查了不等式组的解法和数轴表示法，注意画图时实心、空心与数学符号的对应关系．分别解两个不等式，得和，联立在一起，可得．
【详解】解：∵解不等式，
∴，
∵解不等式，
∴，
∴不等式组解集是，
数轴表示为：
故选：A．
【变式2】 一个不等式组中的两个不等式的解集在数轴上的表示如图所示，则这个不等式组的解集是 ．
【答案】/
【知识点】在数轴上表示不等式的解集
【分析】本题考查了数轴表示不等式的解集，根据数轴上空心点表示不含等号，实心点表示含等号，向右表示大于，向左表示小于，即“大小小大中间找”的方法进行取值，由此即可求解．
【详解】解：根据图示可得，不等式组的解析为，
故答案为： ．
【变式3】如图所示的是一个关于的一元一次不等式组的解集在数轴上的表示，则此不等式组的解集是 ．
【答案】
【知识点】在数轴上表示不等式的解集
【分析】根据数轴表示的不等式解集求解即可．
【详解】解：根据数轴的意义，得不等式的解集为，
故答案为．
【点睛】本题主要考查了用数轴表示不等式组的解集，熟知数轴与不等式解集的关系式解题的关键．
考点3：解一元一次不等式组
典例3：解方程（不等式）组：
(1)；
(2)．
【答案】(1)，
(2)
【知识点】加减消元法、求不等式组的解集
【分析】本题考查了解二元一次方程组和解一元一次不等式组，熟悉解二元一次方程组和解一元一次不等式组的基本过程是解题的关键．
（1）方程组整理后，利用加减消元法即可求解；
（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可求解．
【详解】（1）解：，
将去分母得：，
化简后为：，
将得到：，
得：，
解得：，
把代入得：，
该方程组解为；
（2）解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
该不等式组解为：；
【变式1】解下列不等式（组），并将解集在数轴上表示出来：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)，数轴见解析
(2)，数轴见解析
(3)1，数轴见解析
(4)，数轴见解析
【知识点】求一元一次不等式的解集、在数轴上表示不等式的解集、求不等式组的解集
【分析】本题考查解一元一次不等式（组）、不等式的解集在数轴上表示，
（1）不等式去括号、移项合并同类项进行求解，并在数轴上表示即可；
（2）不等式去分母、去括号、移项合并同类项进行求解，并在数轴上表示即可；
（3）分别求出每个不等式的解集，再找出公共部分，并在数轴上表示即可；
（4）分别求出每个不等式的解集，再找出公共部分，并在数轴上表示即可．
【详解】（1）解：
∴
∴
∴
解得：，
把解集在数轴上表示如图，
（2）解：
去分母，
去括号，
移项得，
合并同类项得，
解得：
把解集在数轴上表示如图，
（3）解：
解不等式①得：
解不等式②得：
∴不等式组的解集为：1
把解集在数轴上表示如图，
（4）解：
解不等式①得：
解不等式②得：
∴不等式组的解集为：
把解集在数轴上表示如图，
【变式2】 解下列方程组或不等式组：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【知识点】加减消元法、求不等式组的解集
【分析】本题主要考查了解一元二次方程组、解不等式组等知识点，掌握相关计算方法是解题的关键．
（1）直接运用加减消元法求解即可；
（2）先分别求出各不等式的解集，然后再确定不等式组的解集即可．
【详解】（1）解：，
得：，解得：，
将代入①得：，解得：，
所以该方程组的解为：．
（2）解：，
解不等式①可得：，
解不等式②可得：，
所以该不等式组的解集为：．
【变式3】解不等式（组）：
(1)；
(2)
【答案】(1)；
(2)．
【知识点】求一元一次不等式的解集、求不等式组的解集
【分析】本题考查了一元一次不等式的解法和一元一次不等式组的解法，求一元一次不等式组的解集就是要找不等式组中不等式的解集的公共部分．
根据解不等式的步骤：移项、合并同类项、系数化为解不等式，系数化为时要注意不等号的方向是否需要改变；
分别求出不等式组中两个不等式的解集，再找到这两个解集的公共部分即为不等式组的解集．
【详解】（1）解：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为：；
（2）解：
解不等式得：，
解不等式得：，
原不等式组的解是．
考点4：不等式组的实际应用
典例4：身体质量指数即指数，是国际上常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的一个指标，计算公式为：体重身高的平方（体重单位：千克；身高单位：米）．国家卫健委制定的中国标准如下表：
指数范围
身体描述 偏低 正常 超重 肥胖
已知某同学体重67.5千克，身高1.5米．
(1)通过计算，选择对该同学合适的身体描述；
(2)若该同学想要达到“正常”的身体描述，在身高不变的前提下，请给出该同学合适的体重范围．
【答案】(1)该同学的身体描述为肥胖
(2)
【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、一元一次不等式组的其他应用
【分析】本题考查了不等式的应用．
（1）先根据计算公式计算出，再根据表格得出结论即可；
（2）设在身高1.5米的前提下，设体重减轻x千克后身体达到正常，根据题意列出不等式，解不等式即可．
【详解】（1）解：∵体重67.5千克，身高1.5米，
∴，
∴该同学的身体描述为肥胖；
（2）解：设在身高1.5米的前提下，设体重减轻x千克后身体达到正常，
则，
∴解得，
∴该同学应该减轻体重的范围为．
【变式1】根据以下素材，探索完成任务：
快餐方案的确定
素材1 鸡蛋、牛奶和谷物的部分营养成分见表： 项目鸡蛋牛奶谷物蛋白质153.09.0脂肪5.23.632.4碳水化合物1.44.550.8
素材2 L中学为学生提供的早餐中，包含一个的鸡蛋、一份牛奶和一份谷物食品．
素材3 L中学为学生提供的午餐有A、B两种套餐（见表）．为了平衡膳食，建议控制学生的主食和肉类摄入量，在一周内，每个学生午餐主食的摄入量不超过，午餐肉类摄入量不超过． 套餐主食肉类其他AB
问题解决
任务1 若一份早餐包含一个的鸡蛋、牛奶和谷物食品，求该份早餐中蛋白质总含量为多少？
任务2 已知L中学提供的一份早餐的总质量为，蛋白质总含量占早餐总质量的．则每份早餐中牛奶和谷物食品各多少？
任务3 为平衡膳食，每个学生一周内午餐可以选择A、B套餐各几天（一周按5天计算）
【答案】任务一：；任务二：该早餐中牛奶，谷物；任务三：每个学生一周内午餐可以选择套餐3天、套餐2天或可以选择套餐4天、套餐1天．
【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、其他问题(二元一次方程组的应用)、一元一次不等式组的其他应用
【分析】本题考查了有理数混合运算的应用，二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，理解题意，正确列方程组和不等式组是解题关键．
任务一：根据题意得到谷物、牛奶以及鸡蛋中每的蛋白质含量，即可得到答案；
任务二：设该早餐中牛奶，谷物，根据“早餐的总质量为，蛋白质总含量占早餐总质量的”列二元一次方程组求解即可；
任务三：设每周共有天选套餐，天选套餐，根据“在一周内，每个学生午餐主食的摄入量不超过，午餐肉类摄入量不超过”列一元一次不等式组，取整数解即可．
【详解】解：任务一：由题意可知：谷物中蛋白质含量，牛奶中蛋白质含量，鸡蛋中蛋白质含量，
则．
答：该份早餐中蛋白质总含量为；
任务二：设该早餐中牛奶，谷物，
列方程组得：，
解得：，
答：该早餐中牛奶，谷物；
任务三：设每周共有天选套餐，天选套餐，
根据题意得：．
解得：
或，
当时，；当时，．
答：每个学生一周内午餐可以选择套餐3天、套餐2天或可以选择套餐4天、套餐1天．
【变式2】 根据以下素材，探索完成任务．
背景 深外初中部与南科大物理系联合开发“高阶科学实验之旅”拓展课程，学校拟向公交公司租借A、B两种车共8辆，带领学生走进南科大，了解量子物理全球前沿发展动态，参观高精尖实验室．
素材1 A型车最大载客量是60人，B型车的最大载客量是40人，已知A型车每辆的租金是500元，B型车每辆的租金是350元．
素材2 八年级的师生共有360人，根据学校预算，租车的费用需要控制在3300元（包含3300元）以内．
问题解决
任务1 根据素材2中该校八年级师生的实际情况，该如何租车？请给出所有满足条件的租车方案．（用一元一次不等式组求解）
任务2 在所有满足条件的租车方案中，花费最少的方案比预算3300元省多少钱？
【答案】任务一：共有2种租车方案，详见解析；任务二：200元钱
【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、不等式组的方案选择问题
【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的实际应用——方案问题，熟练掌握并利用一元一次不等式解决实际问题是解题的关键；
任务1：设租用A型车a辆，则租用B型车辆，根据总载客量不少于360人且总租金不超过3300元，可列出关于a的一元一次不等式组，解之可得出a的取值范围，再结合a为正整数，即可得出租车方案；
任务2：求出选择每种租车方案所需总租金，比较后，用3300元减去花费最少的总租金，即可得出结论．
【详解】解：任务1：设租用A型车a辆，则租用B型车辆，
根据题意得：
解得：
又∵a为整数，
∴或3
∴共有2种租车方案，
方案1：租用A型车2辆，B型车6辆；
方案2：租用A型车3辆，B型车5辆；
任务2：选择方案1所需总租金为（元）；
选择方案2所需总租金为（元）．
∵，则（元），
∴花费最少的方案比预算3300元省200元钱．
【变式3】扎染文化是我国传统文化的重要组成部分，扎染文化的发展带动了旅游相关产业的发展，电视剧《去有风的地方》的热映不仅推动了云南大理旅游业的热潮，也增进了人们对扎染文化的了解，云南大理某扎染坊购进甲、乙两种布料共100件，其中两种布料的成本价和销售价如表：
成本价（元/件） 销售价（元/件）
甲种布料 60 100
乙种布料 40 70
(1)设购进甲种布料x件，销售完甲、乙两种布料后获得的利润为W元，请写出W关于x的表达式
(2)若此次购进甲种布料的数量不超过乙种布料的数量的1.5倍，试问怎样进货方案才能使销售完甲、乙两种布料后获得的利润最大？最大利润是多少元？
【答案】(1)
(2)购进甲种布料60件，购进乙种布料40件才能使销售完甲、乙两种布料后获得的利润最大，最大利润是3600元
【知识点】最大利润问题(一次函数的实际应用)、不等式组的方案选择问题
【分析】本题考查了一次函数的应用、一元一次不等式组的应用，熟练掌握一次函数的性质是解题关键．
（1）先求出购进乙种布料件，再根据利润（甲种布料的销售价甲种布料的成本价）甲种布料的销售量（乙种布料的销售价乙种布料的成本价）乙种布料的销售量即可得函数关系式；再根据两种布料的购进的数量均大于0求出的取值范围，由此即可得；
（2）先求出的取值范围，再利用一次函数的增减性求解即可得．
【详解】（1）解：由题意可知，购进甲种布料件，购进乙种布料件，
则，
∵，
∴，
所以关于的表达式为．
（2）解：∵此次购进甲种布料的数量不超过乙种布料的数量的倍，
∴，
∴，
由（1）可知，，
由一次函数的性质可知，在内，随的增大而增大，
∴当时，取得最大值，最大值为，
此时，
答：购进甲种布料60件，购进乙种布料40件才能使销售完甲、乙两种布料后获得的利润最大，最大利润是3600元．
考点5：利用不等式组求字母取值
典例5：不等式组的解集是，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】求一元一次不等式的解集、由一元一次不等式组的解集求参数
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，解题的关键是熟练掌握解不等式组的方法和步骤．
先求解不等式，结合原不等式组的解集是，得出关于的不等式，求解即可．
【详解】解：解不等式，
可得：，
∵原不等式组的解集是，
∴，
解得：，
故答案为：C．
【变式1】若不等式组的解集为，则a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】求一元一次不等式的解集、由一元一次不等式组的解集求参数
【分析】此题主要考查了解一元一次不等式组，关键是熟练掌握不等式解集的取法：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．先分别解出两个不等式，再根据不等式组的解集为确定a的取值范围即可．
【详解】解：，
解①得
解②得
∵不等式组的解集为，
∴，
∴．
故选B．
【变式2】 如果一元一次不等式组的解集为，则m的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】由一元一次不等式组的解集求参数
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
【详解】根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了即可确定m的范围．
解：∵一元一次不等式组的解集为，
，
解得．
故答案为：．
【变式3】若关于的一元一次不等式组有解，且关于的方程的解为正整数，则符合条件的整数的和为 ．
【答案】3
【知识点】由一元一次不等式组的解集求参数、已知方程的解，求参数
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次方程的整数解问题，正确理解题意是借的关键．求得不等式组的解集为，则，故，对于一元一次方程的解为，而，可得，由于的解为正整数，即可确定m的值，即可求解．
【详解】解：解不等式，得；
解不等式，得，
∴，
∴，
∴
对于方程，解得：，则，
∴，
∴，
∵的解为正整数，
∴符合题意的有，
∴符合条件的整数的和为：，
故答案为：3．
考点6：利用不等式组求代数式的值
典例6：已知不等式组 的解集是，则的值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、求不等式组的解集、由一元一次不等式组的解集求参数
【分析】本题考查了解一元一次不等式组及一元一次不等式组的解，代数式求值，先解不等式组得到，再根据不等式组的解集为得，，据此即可求出的值，再把的值代入代数式计算即可求解，根据不等式组的解集求出的值是解题的关键．
【详解】解：解不等式得 ，，
解不等式得，，
∴不等式组的解集为，
又∵不等式组的解集为，
∴ ，，
解得，，
∴，
故选：．
【变式1】若关于x的不等式组的解集为，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】有理数的乘方运算、由一元一次不等式组的解集求参数
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组的解集得到a、b的值，代入计算即可．
【详解】解：，
解①得：，
解②得：，
∵不等式组的解集为，
∴，
解得：，
∴．
故选：C．
【变式2】 若关于x的不等式组的解集为，则的值 ．
【答案】
【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、由一元一次不等式组的解集求参数
【分析】此题考查了解一元一次不等式组，解出不等式组的解集，根据题意，可以求出，的值，代入即可求值．解题的关键是熟练掌握解不等式组．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∵不等式组的解集为：，
∴，，
解得：，，
则，
故答案为：．
【变式3】已知不等式组的解集是，则 ．
【答案】
【知识点】由一元一次不等式组的解集求参数、求不等式组的解集、已知字母的值 ，求代数式的值
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组的解集求得、的值，再代入计算即可，正确求出每一个不等式解集是解题的关键．
【详解】解：，
解不等式得，，
解不等式得，，
∵不等式组的解集为，
∴，，
解得，，
∴，
故答案为：．
考点7：不等式组解集的应用
典例7：已知关于的不等式组，其中，在数轴上的对应点如图所示，则这个不等式组的解集为（　　）
A． B． C． D．无解
【答案】A
【知识点】求不等式组的解集
【分析】本题考查的是由数轴确定不等式组的解集，根据“大大取大，小小取小，大小小大中间找，小小大大找不了（无解）”确定不等式组的解集是解题的关键．
先根据数轴确定a，b的大小，再根据确定不等式组的解集的原则确定解集即可．
【详解】解：∵由数轴可知，，
∴关于的不等式组的解集为．
故选A．
【变式1】定义一种运算：，则不等式的解集是（　　）
A． B．或 C．或 D．或
【答案】B
【知识点】求不等式组的解集
【分析】此题考查的是一元一次不等式组的解法，理解新运算的定义，掌握一元一次不等式组的解法，利用分类讨论思想是解题的关键．分和两种情况，根据新定义列出不等式组分别求解即可．
【详解】解：根据新运算的定义可得，
当时，，
，解得，
当时，，
，解得，
综上，不等式的解集是或．
故选：B．
【变式2】 定义新运算“”，规定：，若关于x的不等式组的解集为，则a的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】求不等式组的解集、由一元一次不等式组的解集求参数
【分析】先根据定义的新运算法则化简不等式组，然后解不等式组，最后根据解集为确定a的取值范围即可．
【详解】解：根据新定义关于x的不等式组可化为：
解不等式①可得：
解不等式①可得：
因为该不等式组的解集为
∴，解得：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了新定义运算在不等式组中的应用，解题的关键是准确理解新定义的运算．
【变式3】定义一种运算：，例如：，根据上述定义，不等式组的解集是 ．
【答案】
【知识点】求不等式组的解集
【分析】根据，可以将不等式组不等式组可以转化为，然后求解即可．
【详解】解：由题意可得，不等式组可以转化为，
解得，
故答案为：．
【点睛】本题考查解一元一次不等式组、新定义，解答本题的关键是明确新定义，会利用新定义转化不等式组．
考点8：不等式组与方程组综合
典例8：已知方程组的解满足，．
(1)求m的取值范围；
(2)化简：．
【答案】(1)；
(2)
【知识点】整式的加减运算、加减消元法、不等式组和方程组结合的问题
【分析】本题考查的是解二元一次方程组，解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
（1）解方程组得和的值，由，得，解之即可；
（2）知，，再去绝对值符号、括号，计算加减即可．
【详解】（1）解：解方程组得，
，，
，
解得；
（2）解：，
，，
则．
【变式1】题目：已知关于x、y的方程组，
求：（1）若，求a值；
（2）若，求a值．
问题解决：
（1）王磊解决的思路：观察方程组中x、y的系数发现，将可得，又因为，则a值为______；
（2）王磊解决的思路：观察方程组中x、y的系数发现，若将方程组中的①与②直接进行加减，已经不能解决问题，经过思考，王磊将，，得，
再将得：，又因为，…，请根据王磊的思路，求出m、n及a的值；
问题拓展：
（3）已知关于x、y的不等式组，若，求a的取值范围．
【答案】（1）5；（2），，；（3）
【知识点】加减消元法、不等式组和方程组结合的问题
【分析】本题考查含参数的二元一次方程组、含参数的一元一次不等式组，（1）由王磊解决的思路可得，把整体代入求解即可；
（2）由王磊解决的思路可得，先利用加减消元法求得，，再代入求a得值即可；
（3）由，得，，再由得，，把代入不等式求解即可．
【详解】解：（1），
将可得，，
∵，
∴，
解得，
故答案为：5；
（2），
将，，得，
由得：，
∵，
∴，
由得，，
解得，
把代入⑤得，，
解得，
把，代入⑦得，，
解得；
（3），
由，得，，
由得，，
∵，
∴，
∴．
【变式2】 已知方程组中x为非正数，y为负数．
(1)求a的取值范围；
(2)化简：；
(3)在（1）的范围中，当a为何整数时，不等式的解集为
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】不等式组和方程组结合的问题、不等式的性质、化简绝对值
【分析】（1）先求出方程组的解，即可得出不等式组，求出不等式组的解集即可；
（2）根据，再化简绝对值即可；
（3）根据不等式的解集求出的范围，即可得出答案．
【详解】（1）解：解方程组得：，
方程组中为非正数，为负数，
，
解得：，
即的取值范围是；
（2）解：∵，
∴，
∴,
∴
；
（3）解：，
∴，
要使不等式的解集为，
必须，
解得：，
，为整数，
，
所以当为时，不等式的解集为．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式或解一元一次不等式组，化简绝对值等知识点，能求出的取值范围是解此题的关键．
【变式3】若关于、的二元一次方程组，
(1)若、满足方程，求的值；
(2)若，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【知识点】加减消元法、不等式组和方程组结合的问题
【分析】本题考查解二元一次方程组和解一元一次不等式，解题的关键：（1）正确找出等量关系列出关于的一元一次方程，（2）根据不等量关系列出关于的一元一次不等式组．
（1）用加减消元法得出用含有的式子a表示，代入，求出的值即可，
（2）用含有的式子表示， 代入，得到关于的一元一次不等式组，解之即可．
【详解】（1）解：，
解得：，
代入得：，
解得：，
故的值为；
（2）解：，
∴，
∴，
把，代入得：，
解得：，
故的取值范围为：．
考点9：不等式组与新定义问题
典例9：对于任意实数a，b，定义关于@的一种运算如下，例如，．
(1)填空： _________； _________；
(2)若，求x的取值范围．
(3)若关于x的不等式恰有两个正整数解，求m的取值范围．
【答案】(1)4，4
(2)
(3)
【知识点】有理数四则混合运算、求一元一次不等式的解集、求不等式组的解集
【分析】此题主要考查了新定义，有理数的运算，解一元一次不等式和一元一次不等式组，一元一次不等式组的解集，理解题目中给出的新定义运算的法则，及一元一次不等式组的解集，熟练掌握有理数的运算，解一元一次不等式和一元一次不等式组是解决问题的关键．
（1）根据新定义计算即可；
（2）先计算，然后将不等式可转化为，解此不等式可得的取值范围；
（3）先计算，因此可将不等式可转化为，由此可解得，再根据恰有两个正整数解，得到，解不等式组即可．
【详解】（1）解：，
，，
故答案为：4，4；
（2）解：，
不等式可转化为：，
；
（3）解：，
不等式可转化为：，
，
∵关于x的不等式恰有两个正整数解，
∴，
解得：．
【变式1】阅读下列材料：定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，那么称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”．例如：方程的解为，不等式组的解集为，因为，所以称方程是不等式组的相伴方程．
(1)方程是不是不等式组的相伴方程？请说明理由；
(2)若关于的方程是不等式组的相伴方程，求的取值范围．
【答案】(1)是，理由见解析
(2)
【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、求不等式组的解集
【分析】本题主要考查了新定义“相伴方程”，正确理解新定义“相伴方程”，熟练掌握解一元一次方程和一元一次不等式组的方法是解题关键．
（1）分别求解方程和不等式组，然后根据“相伴方程”的定义，即可获得答案；
（2）分别求解不等式组和方程，结合“相伴方程”的定义可得关于的不等式组，求解即可获得答案．
【详解】（1）解：方程是不等式组的相伴方程，理由如下：
解不等式组，得：，
解方程，得：，
∵，
∴方程是不等式组的相伴方程；
（2）解不等式组，得：，
解方程，得：，
∵关于的方程是不等式组的相伴方程，
∴，解得．
【变式2】 新定义：若某一元一次方程的解在某一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”，例如：方程的解为，而不等式组 的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组 的“关联方程”．
(1)在方程①；②；③ 中，关于的不等式组 的“关联方程”是 ；(填序号)
(2)若关于的方程是不等式组的“关联方程”，求的取值范围；
【答案】(1)①②
(2)
【知识点】解一元一次方程（二）——去括号、求不等式组的解集
【分析】本题考查解一元一次方程，解一元一次不等式组，理解材料中的不等式组的“关联方程”是解题的关键．
（1）先求出方程的解和不等式组的解集，再判断即可；
（2）先求出不等式组的解集，然后再解方程求出，最后根据“关联方程”的定义列出关于的不等式组并求解即可．
【详解】（1）解：①，
解得：，
②，
解得：，
③，
解得：，
，
解不等式④得：，
解不等式⑤得：，
该不等式组的解集为：，和在的范围内，不等式组的“关联方程”是①②，
故答案为：①②．
（2），
解不等式①得：，
解不等式②得：，
不等式组的解集为：，
，
解得：，
关于的方程是不等式组的“关联方程”，
，
解得：，
的取值范围是．
【变式3】我们定义一个关于实数a，b的新运算，规定：．例如：．解答下列问题：
(1)若，，分别求出和的值；
(2)若满足，且，求的取值范围．
【答案】(1)的值为，的值为
(2)
【知识点】新定义下的实数运算、加减消元法、求不等式组的解集
【分析】本题考查新定义，解二元一次方程组，解一元一次不等式组，理解新定义运算法则是解题的关键．
（1）根据新定义运算法则可得出二元一次方程组，求解即可；
（2）根据新定义运算法则可得出一元一次不等式组，求解即可．
【详解】（1）解：，，
，，即，
解得：，
的值为，的值为；
（2）解：，且，
，，即，
解得：，
的取值范围为：．
考点10：解特殊不等式组
典例10：我们已经学习了有理数乘法，不等式组与方程组的知识，它们之间有着一定的逻辑关联，请解决以下问题：
(1)阅读理解：解不等式．
解：根据两数相乘，同号得正，原不等式可以转化为或，
解不等式组，得；解不等式组，得．
原不等式的解集为或．
问题解决：根据以上材料，解不等式．
(2)已知关于，的方程组的解满足不等式组，求满足条件的的整数值．
【答案】(1)
(2)可取的整数值为，．
【知识点】加减消元法、求不等式组的解集、解特殊不等式组
【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法及二元一次方程组的解法，熟练掌握求不等式组的解集及二元一次方程组的解的方法是解题关键．
（1）根据阅读材料可得：当和异号时不等式成立，据此即可转化为不等式问题求解即可；
（2）根据题意求出方程组的解，然后代入不等式组求解即可．
【详解】（1）解：根据两数相乘，异号得负，原不等式可以转化为：或．
解不等式组，不等式组无解；
解不等式组 ，解得．
所以原不等式组的解集为：；
（2）解：
得：，解得，
将代入①得，，
∴方程组的解为，
∵，
∴，
解不等式组得：，
∴可取的整数值为，．
【变式1】阅读下列关于不等式的解题思路：
由两实数的乘法法则“两数相乘，同号得正”可得：
①或②，
解不等式组①得，
解不等式组②得，
等式的解集为或
请利用上面的解题思路解答下列问题：
(1)求出的解集；
(2)求不等式的解集．
【答案】(1)
(2)或
【知识点】求不等式组的解集、解特殊不等式组
【分析】（1）根据实数的乘法法则以及解一元一次不等式组解决此题．
（2）根据实数的除法法则以及解一元一次不等式组解决此题．
【详解】（1）由两数相乘，异号为负，得：
①或②，
解不等式组①，无解；解不等式组②，
的解集为
（2）由两数相除，同号为正，得：
①或②，
解不等式组①，；解不等式组②，
不等式的解集为或
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解决本题的关键．
【变式2】 先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：
例题：解一元二次不等式．
解：∵，∴可化为．
由有理数的乘法法则：两数相乘，同号得正，得
①②
解不等式组①，得；解不等式组②，得，
∴的解集为或，
即一元二次不等式的解集为或．
(1)一元二次不等式的解集为_______；
(2)试解一元二次不等式；
(3)试解不等式．
【答案】(1)或
(2)一元二次不等式的解集为0＜x＜5
(3)的解集为1＜x＜4
【知识点】求一元一次不等式的解集、求不等式组的解集、解特殊不等式组
【分析】（1）利用平方差公式进行因式分解；
（2）利用提公因式法对不等式的左边进行因式分解，再求解可得；
（3）需要分类讨论：① ②据此求解可得．
【详解】（1）解：由原不等式得：（x+3）（x-3）＞0
∴ 或
解得：x＞3或x＜-3．
故答案为：或 ；
（2）∵，
∴可化为．
由有理数的乘法法则：两数相乘，异号得负，得
① ②
解不等式组①，得0＜x＜5；
解不等式组②，无解，
∴的解集为0＜x＜5，
即一元二次不等式的解集为：0＜x＜5．
（3）由有理数的除法法则：两数相除，异号得负，得
① ②
解不等式组①，得1＜x＜4；
解不等式组②，无解，
∴的解集为1＜x＜4．
【点睛】本题考查不等式组的解法，一元一次不等式组的应用．利用了转化的思想，这种转化思想的依据为：两数相乘（除），同号得正，异号得负的符号法则．
【变式3】阅读以下例题：解不等式：
解：①当，则
即可以写成：
解不等式组得：
②当若，则
即可以写成：
解不等式组得：
综合以上两种情况：不等式解集：或．
（以上解法依据：若，则a，b同号）请你模仿例题的解法，解不等式：
(1)；
(2)．
【答案】(1)或
(2)
【知识点】求不等式组的解集、解特殊不等式组
【分析】（1）根据例题可得：此题分两个不等式组和，分别解出两个不等式组即可；
（2）根据两数相乘，异号得负可得此题也分两种情况）①，②，解出不等式组即可．
【详解】（1）当时，，
可以写成,
解得：；
当时，，
可以写成,
解得：，
综上：不等式解集：或；
（2）当时，，
可以写成，
解得；
当时，，
可以写成，
解得：无解，
综上：不等式解集：．
【点睛】此题主要考查了不等式的解法，关键是正确理解例题的解题根据，然后再进行计算．
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专题03 一元一次不等式组
（一）一元一次不等式组
①一元一次不等式组：一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。
②不等式组的解集：几个不等式的解集的公共部分，叫做由它们组成的不等式组的解集。解不等式组就是求它的解集。
③解不等式组：先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式的解集。
不等式组的解集的确定方法（a＞b）：
（二）不等式组的实际应用
列一元一次不等式（组）解应用题的一般步骤：
（1）审：认真审题，分清已知量、未知量及其关系，找出题中不等关系，要抓住题设中的关键“字眼”，如“大于”“小于”“不小于”“不大于”“至少”“最多”等.
（2）设：设出适当的未知数,并用含未知数的代数式表示出题目中涉及的量.
（3）列：根据题中的不等关系，列出不等式.
（4）解：解出所列不等式的解集.
（5）验：检验答案是否符合题意.
（6）答：写出答案.
在以上步骤中，审题是基础，根据题意找出不等关系是关键，而根据不等关系列出不等式又是解题难点.以上过程可简单表述为: .
考点1：一元一次不等式组的概念
典例1：下列各项中，是一元一次不等式组的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】下列不等式组中，属于一元一次不等式组的有(　　)
①；②；③；④；⑤．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式2】 下列不等式组：① ② ③ ④ ⑤．其中是一元一次不等式组的有 个．
【变式3】某生物兴趣小组要在温箱里同时培养A，B两种菌苗，已知A种菌苗生长的适宜温度的范围是 ，B种菌苗生长的适宜温度 的范围是 ，那么温箱里的温度应该设定的范围是 ．
考点2：一元一次不等式组的解集
典例2：把不等式的解集表示在数轴上，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1】不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】 一个不等式组中的两个不等式的解集在数轴上的表示如图所示，则这个不等式组的解集是 ．
【变式3】如图所示的是一个关于的一元一次不等式组的解集在数轴上的表示，则此不等式组的解集是 ．
考点3：解一元一次不等式组
典例3：解方程（不等式）组：
(1)；
(2)．
【变式1】解下列不等式（组），并将解集在数轴上表示出来：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【变式2】 解下列方程组或不等式组：
(1)
(2)
【变式3】解不等式（组）：
(1)；
(2)
考点4：不等式组的实际应用
典例4：身体质量指数即指数，是国际上常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的一个指标，计算公式为：体重身高的平方（体重单位：千克；身高单位：米）．国家卫健委制定的中国标准如下表：
指数范围
身体描述 偏低 正常 超重 肥胖
已知某同学体重67.5千克，身高1.5米．
(1)通过计算，选择对该同学合适的身体描述；
(2)若该同学想要达到“正常”的身体描述，在身高不变的前提下，请给出该同学合适的体重范围．
【变式1】根据以下素材，探索完成任务：
快餐方案的确定
素材1 鸡蛋、牛奶和谷物的部分营养成分见表： 项目鸡蛋牛奶谷物蛋白质153.09.0脂肪5.23.632.4碳水化合物1.44.550.8
素材2 L中学为学生提供的早餐中，包含一个的鸡蛋、一份牛奶和一份谷物食品．
素材3 L中学为学生提供的午餐有A、B两种套餐（见表）．为了平衡膳食，建议控制学生的主食和肉类摄入量，在一周内，每个学生午餐主食的摄入量不超过，午餐肉类摄入量不超过． 套餐主食肉类其他AB
问题解决
任务1 若一份早餐包含一个的鸡蛋、牛奶和谷物食品，求该份早餐中蛋白质总含量为多少？
任务2 已知L中学提供的一份早餐的总质量为，蛋白质总含量占早餐总质量的．则每份早餐中牛奶和谷物食品各多少？
任务3 为平衡膳食，每个学生一周内午餐可以选择A、B套餐各几天（一周按5天计算）
【变式2】 根据以下素材，探索完成任务．
背景 深外初中部与南科大物理系联合开发“高阶科学实验之旅”拓展课程，学校拟向公交公司租借A、B两种车共8辆，带领学生走进南科大，了解量子物理全球前沿发展动态，参观高精尖实验室．
素材1 A型车最大载客量是60人，B型车的最大载客量是40人，已知A型车每辆的租金是500元，B型车每辆的租金是350元．
素材2 八年级的师生共有360人，根据学校预算，租车的费用需要控制在3300元（包含3300元）以内．
问题解决
任务1 根据素材2中该校八年级师生的实际情况，该如何租车？请给出所有满足条件的租车方案．（用一元一次不等式组求解）
任务2 在所有满足条件的租车方案中，花费最少的方案比预算3300元省多少钱？
【变式3】扎染文化是我国传统文化的重要组成部分，扎染文化的发展带动了旅游相关产业的发展，电视剧《去有风的地方》的热映不仅推动了云南大理旅游业的热潮，也增进了人们对扎染文化的了解，云南大理某扎染坊购进甲、乙两种布料共100件，其中两种布料的成本价和销售价如表：
成本价（元/件） 销售价（元/件）
甲种布料 60 100
乙种布料 40 70
(1)设购进甲种布料x件，销售完甲、乙两种布料后获得的利润为W元，请写出W关于x的表达式
(2)若此次购进甲种布料的数量不超过乙种布料的数量的1.5倍，试问怎样进货方案才能使销售完甲、乙两种布料后获得的利润最大？最大利润是多少元？
考点5：利用不等式组求字母取值
典例5：不等式组的解集是，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】若不等式组的解集为，则a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】 如果一元一次不等式组的解集为，则m的取值范围是 ．
【变式3】若关于的一元一次不等式组有解，且关于的方程的解为正整数，则符合条件的整数的和为 ．
考点6：利用不等式组求代数式的值
典例6：已知不等式组 的解集是，则的值等于（ ）
A． B． C． D．
【变式1】若关于x的不等式组的解集为，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】 若关于x的不等式组的解集为，则的值 ．
【变式3】已知不等式组的解集是，则 ．
考点7：不等式组解集的应用
典例7：已知关于的不等式组，其中，在数轴上的对应点如图所示，则这个不等式组的解集为（　　）
A． B． C． D．无解
【变式1】定义一种运算：，则不等式的解集是（　　）
A． B．或 C．或 D．或
【变式2】 定义新运算“”，规定：，若关于x的不等式组的解集为，则a的取值范围是 ．
【变式3】定义一种运算：，例如：，根据上述定义，不等式组的解集是 ．
考点8：不等式组与方程组综合
典例8：已知方程组的解满足，．
(1)求m的取值范围；
(2)化简：．
【变式1】题目：已知关于x、y的方程组，
求：（1）若，求a值；
（2）若，求a值．
问题解决：
（1）王磊解决的思路：观察方程组中x、y的系数发现，将可得，又因为，则a值为______；
（2）王磊解决的思路：观察方程组中x、y的系数发现，若将方程组中的①与②直接进行加减，已经不能解决问题，经过思考，王磊将，，得，
再将得：，又因为，…，请根据王磊的思路，求出m、n及a的值；
问题拓展：
（3）已知关于x、y的不等式组，若，求a的取值范围．
【变式2】 已知方程组中x为非正数，y为负数．
(1)求a的取值范围；
(2)化简：；
(3)在（1）的范围中，当a为何整数时，不等式的解集为
【变式3】若关于、的二元一次方程组，
(1)若、满足方程，求的值；
(2)若，求的取值范围．
考点9：不等式组与新定义问题
典例9：对于任意实数a，b，定义关于@的一种运算如下，例如，．
(1)填空： _________； _________；
(2)若，求x的取值范围．
(3)若关于x的不等式恰有两个正整数解，求m的取值范围．
【变式1】阅读下列材料：定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，那么称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”．例如：方程的解为，不等式组的解集为，因为，所以称方程是不等式组的相伴方程．
(1)方程是不是不等式组的相伴方程？请说明理由；
(2)若关于的方程是不等式组的相伴方程，求的取值范围．
【变式2】 新定义：若某一元一次方程的解在某一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”，例如：方程的解为，而不等式组 的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组 的“关联方程”．
(1)在方程①；②；③ 中，关于的不等式组 的“关联方程”是 ；(填序号)
(2)若关于的方程是不等式组的“关联方程”，求的取值范围；
【变式3】我们定义一个关于实数a，b的新运算，规定：．例如：．解答下列问题：
(1)若，，分别求出和的值；
(2)若满足，且，求的取值范围．
考点10：解特殊不等式组
典例10：我们已经学习了有理数乘法，不等式组与方程组的知识，它们之间有着一定的逻辑关联，请解决以下问题：
(1)阅读理解：解不等式．
解：根据两数相乘，同号得正，原不等式可以转化为或，
解不等式组，得；解不等式组，得．
原不等式的解集为或．
问题解决：根据以上材料，解不等式．
(2)已知关于，的方程组的解满足不等式组，求满足条件的的整数值．
【变式1】阅读下列关于不等式的解题思路：
由两实数的乘法法则“两数相乘，同号得正”可得：
①或②，
解不等式组①得，
解不等式组②得，
等式的解集为或
请利用上面的解题思路解答下列问题：
(1)求出的解集；
(2)求不等式的解集．
【变式2】 先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：
例题：解一元二次不等式．
解：∵，∴可化为．
由有理数的乘法法则：两数相乘，同号得正，得
①②
解不等式组①，得；解不等式组②，得，
∴的解集为或，
即一元二次不等式的解集为或．
(1)一元二次不等式的解集为_______；
(2)试解一元二次不等式；
(3)试解不等式．
【变式3】阅读以下例题：解不等式：
解：①当，则
即可以写成：
解不等式组得：
②当若，则
即可以写成：
解不等式组得：
综合以上两种情况：不等式解集：或．
（以上解法依据：若，则a，b同号）请你模仿例题的解法，解不等式：
(1)；
(2)．
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