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专题01 二元一次方程组及解法
（一）二元一次方程概念
含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程。
【注意】
①二元：含有两个未知数；
②一次：所含未知数的项的次数都是1。
例如：xy=1，xy的次数是二，属于二元二次方程。
③方程：方程的左右两边必须都是整式（分母不能出现未知数）。
二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．
二元一次方程有无数个解。
（二）二元一次方程组概念
含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组．
【注意】
①二元一次方程组的“二元”和“一次”都是针对整个方程组而言的，组成方程组的各个方程不必同时含有两个未知数，如也是二元一次方程组。
②方程组中的各个方程中，相同字母必须代表同一未知量。
③二元一次方程组中的各个方程应是整式方程。
二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。
【注意】
①二元一次方程组的解是方程中每个方程的解。
②一般情况下二元一次方程组的解是唯一的，但是有的方程组有无数个解或无解。
如：有的方程组无解，如：
（三）解二元一次方程组——代入消元
代入消元法：把二元一次方程组中一个方程的未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解。这个方法叫做代入消元法，简称代入法。
代入消元法的一般步骤：
①变：将其中一个方程变形，使一个未知数用含有另一个的未知数的代数式表示。
②代：用这个代数式代替另一个方程中的相应未知数，得到一元一次方程。
③解：解一元一次方程
④求：把求得的未知数的值带入代数式或原方程组中的任意一个方程中，求得另一个未知数的值。
⑤写：写出方程组的解。
⑥验：将方程组的解带入到原方程组中的每个方程中，若各方程均成立，则这对数值就是原方程组的解，负责解题有误。
（四）解二元一次方程组——加减消元
加减消元法：两个二元一次方程中同一个未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法。
加减消元法的一般步骤：
①变：将两个方程中其中一个未知数的系数化为相同（或互为相反数）。
②加减：通过相减（或相加）消去这个未知数，得到一个一元一次方程。
③解：解这个一元一次方程，得到一个未知数的值。
④求：将求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程，求出另一个未知数的值。
⑤写：写出方程组的解。
⑥验：将方程组的解带入到原方程组中的每个方程中，若各方程均成立，则这对数值就是原方程组的解，负责解题有误。
考点1：二元一次方程（组）定义
典例1：若是关于的二元一次方程，则（　　）
A．1 B． C．2 D．
【答案】C
【知识点】二元一次方程的定义
【分析】本题考查二元一次方程，根据二元一次方程的定义，得到且，进行求解即可．
【详解】解：由题意得：且，
解得．
故选C．
【变式1】下列方程： ； ； ； ； ．其中是二元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二元一次方程的定义
【分析】本题考查了二元一次方程的定义，根据二元一次方程的定义求解即可，正确理解二元一次方程的定义含有两个未知数，并且未知数的次数是的整式方程叫做二元一次方程是解题的关键．
【详解】 是二元一次方程；
不是二元一次方程；
不是二元一次方程；
是二元一次方程；
不是二元一次方程，
综上可知：是是二元一次方程，
故选：．
【变式2】 若方程组是关于x，y的二元一次方程组，则 ．
【答案】1
【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、判断是否是二元一次方程组
【分析】先根据二元一次方程组的定义得出，据此求出m、n的值，代入计算可得结果．
【详解】解：根据题意知，，
解得，，，
，，
，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了根据二元一次方程组的定义求参数，代数式求值问题，熟练掌握和运用二元一次方程组的定义是解决本题的关键．
【变式3】下列方程组中，不是二元一次方程组的是 ．
①；②；③；④
【答案】③④
【知识点】判断是否是二元一次方程组
【分析】根据二元一次方程组的概念可直接进行排除选项．
【详解】解：由二元一次方程组的概念可得：①；②是二元一次方程组，③；④不是二元一次方程组，因为不满足方程是整式及未知数的最高次项是2次，
故答案为③④．
【点睛】本题主要考查二元一次方程组的概念，熟练掌握二元一次方程组的概念是解题的关键．
考点2：二元一次方程（组）的解
典例2：解是的方程组可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】判断是否是二元一次方程组的解
【分析】本题考查了二元一次方程组的解，掌握二元一次方程组的满足每个方程式解题关键．将分别代入方程组，满足的方程组即为答案．
【详解】解：A、把代入方程组得：，不符合题意；
B、把代入方程组得：，符合题意；
C、把代入方程组得：，不符合题意；
D、把代入方程组得：，不符合题意；
故选：B．
【变式1】已知是方程的一个解，那么常数a的值是（ ）
A．5 B． C．3 D．
【答案】C
【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、二元一次方程的解
【分析】本题考查了二元一次方程组的解、解一元一次方程，将代入方程可得关于的一元一次方程，解方程即可得出答案．
【详解】解：由题意得：，
解得：，
故选：C．
【变式2】 若是关于x、y的方程的解，则a值为 ．
【答案】
【知识点】二元一次方程的解
【分析】本题考查了二元一次方程的解的定义，将代入得出关于的一元一次方程，解方程，即可求解．
【详解】解：依题意，
解得：，
故答案为：．
【变式3】已知方程的三个解为 方程的三个解为 则方程组的解为 ．
【答案】
【知识点】判断是否是二元一次方程组的解
【分析】根据方程组的解的定义，能够同时满足方程组中的两个方程的解是方程组的解观察得出两个方程的解中相同的解为方程组的解．
【详解】解：根据方程组的解的定义，能够同时满足方程组中的两个方程的解是方程组的解，
可知是这两个方程中所有的解中能同时满足两个方程的解，
∴方程组的解为，
故答案为：．
【点睛】此题主要是考查了方程组的解的定义，能够熟练掌握同时满足方程组中的两个方程的解是方程组的解是解答此题的关键．
考点3：二元一次方程（组）解的应用
典例3：某一商场经销的A、B两种商品，A商品每件进价40元，利润率为；B商品每件售价80元．在“元旦”期间，该商场对A、B两种商品开展如下的优惠促销活动：
打折前一次性购物总金额 优惠措施
少于等于450元 不优惠
超过450元，但不超过600元 按总售价打九折
超过600元 其中600元部分八折优惠，超过600元的部分打七折优惠
按上述优惠条件，若小华一次性购买A、B两种商品（两种商品每种商品不少于1件），实际共付款522元．则以下说法正确的个数是（ ）
①可能购买A商品3件，B商品5件；
②购买A商品与B商品的总件数可能为8件、9件、10件；
③如果在打折前买相同的物品，要比打折后多付58元或138元．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【知识点】二元一次方程的解
【分析】本题主要考查了二元一次方程的实际应用，先求出A商品每件售价，再设购买A商品x件，购买B商品y件，然后分打折前购买的总金额不超过600元和打折前购买的总金额超过600元两种情况，根据打折后的金额推出打折前的金额，进而建立方程求出x、y的值，再逐一判断即可得到答案．
【详解】解：∵A商品每件进价40元，利润率为，
∴A商品每件售价为元，
设购买A商品x件，购买B商品y件，
当打折前购买的总金额不超过600元时，则，
∴，
∴，
∵x、y都为正整数，
∴当时，，
当时，；
∴当购买A商品3件，B商品5件时，打折前的购物总金额为元，此时在打折前买相同的物品，要比打折后多付元；
当购买A商品7件，B商品2件时，打折前的购物总金额为元，此时在打折前买相同的物品，要比打折后多付元；
当打折前购买的总金额超过600元时，则，
∴，
∴，
∵x、y都为正整数，
∴当时，，
当时，；
∴当购买A商品3件，B商品6件时，打折前的购物总金额为元，此时在打折前买相同的物品，要比打折后多付元；
当购买A商品7件，B商品3件时，打折前的购物总金额为元，此时在打折前买相同的物品，要比打折后多付元；
∴如果在打折前买相同的物品，要比打折后多付58元或138元，
∵，
∴购买A商品与B商品的总件数可能为8件、9件、10件；
∴①②③的说法都正确，
故选：D．
【变式1】要把一张面值为100元的人民币换成零钱，现有足够的面值为20元、10元的人民币，则不同的换法一共有（ ）
A．5种 B．6种 C．8种 D．10种
【答案】B
【知识点】二元一次方程的解
【分析】本题主要考查了二元一次方程的实际应用，设面值为20元的有x张，面值为10元的有y值，则可得方程，求出方程的非负整数解即可得到答案．
【详解】解：设面值为20元的有x张，面值为10元的有y值，
由题意得，，
∴，
∵x、y都为非负整数，
∴当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
∴方程一共有6组不同的非负整数解，
∴不同的换法一共有6种，
故选：B．
【变式2】 现有一条长度为359mm的铜管料，把它锯成长度分别为39mm和29mm的两种不同规格的小铜管，（要求没有余料）．每锯一次损耗1mm的铜管料．为了使铜管料损耗最少，应分别锯成39mm的小铜管 段，29mm的小铜管 段．
【答案】 6 4．
【知识点】判断是否是二元一次方程组的解
【分析】本题的等量关系是截39的铜管的钢管料+截29的铜管的钢管料+据这两种钢管时损耗的钢管料=359，列出方程，求出未知数，然后将各种方案的损耗算出来，得出损耗最少的方案．
【详解】设应分别锯成39的小铜管段、29的小铜管段，
则损耗的钢管料应是，
根据题意，
得，
，
∵、都必须是正整数，
∴，
或，
∴锯成4段39的小铜管、3段29的小铜管损耗最少，
故答案为：6；4．
【点睛】本题考查了列方程解实际问题的运用，解答时关键是弄清题意，合适的等量关系，列出方程，注意等量关系式是解题的关键．
【变式3】综合与实践：有一个长为90cm，宽为60cm的矩形硬纸板（纸板的厚度忽略不计），如果把这块矩形硬纸板的四个角分别剪去2个同样大小的长方形和2个同样大小的正方形，然后折叠成一个有盖的盒子（如图），该盒子底面的宽和长分别是 xcm和ycm（x和y都是整数，若设计有盖盒子的底面周长大于200 cm，高大于4 cm，则符合条件的x，y的值为 （写出一对即可）

【答案】，（答案不唯一）
【知识点】二元一次方程的解
【分析】根据题意得，满足以及周长大于，高大于的一组正整数，即可作答．
【详解】解：如图可得，
解得：，
∵设计有盖盒子的底面周长大于200 cm，高大于4 cm，
∴当时，，底面周长为，高为：，符合题意，
故答案为：，．
考点4：解方程组——代入消元法
典例4：先阅读材料：
解方程组 解：由①得③， 把③代入②中得，解得． 把代入③中得，即． 故方程组的解为， 这种方法称为“整体代入法”．
请用上述方法解方程组．
【答案】
【知识点】代入消元法
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，先由第一个方程得到，再把③代入②求出x的值，进而求出y的值即可．
【详解】解：
由①得：，
把③代入②得：，解得，
把代入③得：，解得，
∴方程组的解为．
【变式1】解方程组：．
【答案】原方程组的解是
【知识点】代入消元法
【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握代入消元法是解题关键．
根据代入消元法，可得方程组的解．
【详解】把①代入②，得，
解得：，
把代入①中，得，
所以原方程组的解是
【变式2】 解方程组：
【答案】
【知识点】代入消元法
【分析】本题考查了解二元一次方程组（代入消元法），熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．
利用代入消元法解二元一次方程组即可．
【详解】解：把代入，得：，
解得：，
把代入，得：，
方程组的解是：．
【变式3】课上同学们用代入消元法解二元一次方程组下面是两位同学的解题思路，请你认真阅读并完成相应的任务．
小彬：由①，得______③ 将③代入②，得… 小颖：由①，得______，③ 将③代入②，得…
任务：
(1)按照小彬的思路，第一步要用含的代数式表示，得到方程③，即______；
第二步将③代入②，可消去未知数．
(2)按照小颖的思路，第一步要用含的代数式表示，得到方程③，即______；
第二步将“”看作整体，将③代入②，可消去未知数．
(3)按你从以上两种思路中任选一种求此方程组的解．
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】代入消元法
【分析】本题考查了解二元一次方程组、解一元一次方程，熟练掌握代入消元法解二元一次方程组是解题的关键．
（1）利用移项即可解答；
（2）利用移项即可解答；
（3）利用代入消元法进行计算即可．
【详解】（1）解：按照小彬的思路，第一步要用含的代数式表示，得到方程③，即，第二步将③代入②，可消去未知数，
故答案为：；
（2）解：按照小颖的思路，第一步要用含的代数式表示，得到方程③，即，第二步将“”看作整体，将③代入②，可消去未知数，
故答案为：；
（3）解：若选择小彬的思路：
把③代入②得：，
解得：，
把代入③得：，
原方程组的解为：；
若选择小颖的思路：
把③代入②中得：，
解得：，
把代入③中得：，
解得：，
原方程组的解为：．
考点5：解方程组——加减消元法
典例5：解方程组
【答案】
【知识点】加减消元法
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，直接利用加减消元法解方程组即可．
【详解】解：得：，解得，
把代入②得：，解得，
∴原方程组的解为．
【变式1】解方程组：．
【答案】
【知识点】加减消元法
【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，解题的关键是利用代入消元法或加减消元法消去一个未知数．
方程组利用加减消元法求解即可．
【详解】解：
得：
解得
将代入①得：
解得，
∴方程组的解为：．
【变式2】 解方程组：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【知识点】代入消元法、加减消元法
【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法是解答的关键．
（1）利用代入消元法解方程组即可；
（2）利用加减消元法解方程组即可．
【详解】（1）解：
②代入①得：，即，
把代入②得：，
∴方程组的解为；
（2）解：
①②得：，
把代入①得：，
所以方程组的解为：．
【变式3】解方程组
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【知识点】代入消元法、加减消元法
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的方法，是解题的关键．
（1）用加减消元法解二元一次方程组即可；
（2）用代入消元法解二元一次方程组即可．
【详解】（1）解：，
得：，
解得：，
把代入①得：，
解得：，
∴原方程组的解为：；
（2）解：，
由①得：，
把③代入②得：，
解得：，
把代入③得：，
∴原方程组的解为：．
考点6：解方程组——特殊法
典例6：阅读下列解方程组的方法，然后回答并解决有关问题：
解方程组时，如果我们直接考虑消元，那会很麻烦，而采用下面的解法求解会更方便．
解：得，，所以③，将③，得④，
，得，从而可得，所以原方程组的解为．
(1)请你用上述方法解方程组．
(2)猜想：关于、的方程组（是常数，）的解，并说明理由．
【答案】(1)
(2)，理由见解析
【知识点】加减消元法、二元一次方程组的特殊解法
【分析】本题考查的是解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的加减消元法和代入消元法并灵活变通是解答此题的关键．
（1）利用“加减消元法”解方程组；
（2）先假设该方程组的解，利用“加减消元法”解方程组验证即可．
【详解】（1）解：，
，得
③
，得④
，得
解得
把代入③，得，
解得，
原方程组的解是；
（2）解：猜想关于、的方程组的解为，
理由如下：
得，
③
，得④
，得
解得
把代入③，得，
解得，
原方程组的解是．
【变式1】整体思想就是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析，发现问题的整体结构特征，用“整体”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，进行有目的、有意识的整体处理整体思想方法在代数式的化简与求值、解方程（组）、几何证明等方面都有广泛的应用．
(1)解方程；
(2)在（1）的基础上，求方程组的解．
【答案】(1)
(2)
【知识点】加减消元法、二元一次方程组的特殊解法
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解及解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的步骤及巧用整体思想是解题的关键．
(1)根据解二元一次方程组的步骤对所给方程组进行求解即可；
(2)将和看作一个整体，得出关于m，n的二元一次方程组，再对其进行求解即可．
【详解】（1）解：，
得，
，
，
将代入①得，
，
，
所以原方程组的解为；
（2）解：由题知，
将和看作一个整体，
则，
解得，
所以原方程组的解为．
【变式2】 学习完“代入消元法”解二元一次方程组后，老师在黑板上写下一个方程组．
让同学们解答，爱动脑筋的小敏想到一种新的方法：
解：将②变形为，③
把①代入③，得，解得．
把代入①，解得．
方程组的解为．
这种把某个式子看成一个整体，从而使问题得到简化的方法叫做“整体代换”法，请你模仿小敏的“整体代换”法解方程组
【答案】
【知识点】二元一次方程组的特殊解法
【分析】本题考查的是代入法解方程组，先把方程②化为，再利用代入法解方程组即可．
【详解】解：，
由②得：③，
把①代入③得：，
解得：，
把代入①得：，
∴方程组的解为；
【变式3】数学方法：解方程组，若设，，则原方程组可变形为，解方程组得，所以，解方程组得．我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去代替它，这种解方程组的方法叫做换元法．
(1)请用这种方法解方程组；
(2)已知关于x、y的二元一次方程组的解为，则关于m、n的二元一次方程组的解为______．
【答案】(1)
(2)
【知识点】加减消元法、二元一次方程组的特殊解法
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，正确理解题意是解题的关键．
（1）设，则原方程组变形为，然后解方程组求出A、B的值进而建立方程组，解方程组即可得到答案；
（2）根据关于x、y的二元一次方程组的解为，得出，解关于m、n的方程组即可．
【详解】（1）解：设，
∴原方程组变形得：，
整理得：，
得：，
解得：，
把代入②得：，
∴，
解得：．
（2）解：∵关于x、y的二元一次方程组的解为，
∴关于m、n的二元一次方程组中，
解方程组得：．
考点7：构造二元一次方程组
典例7：若，求的值．
【答案】
【知识点】绝对值非负性、平方根概念理解、求一个数的立方根、构造二元一次方程组求解
【分析】首先根据绝对值的非负性、平方的非负性和：，得到关于、的二元一次方程组，解方程组求出、的值，再把、的值代入代数式中求解．
【详解】解：，
，，
，
解得
，
，
故答案为．
【点睛】本题主要考查了绝对值和平方的非负性、解二元一次方程组、立方根．解决本题的关键是根据绝对值和平方的非负性求出、的值．
【变式1】已知关于、的二元一次方程的解为和
(1)求、的值；
(2)当时，求的值．
【答案】(1)
(2)
【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、二元一次方程的解、已知二元一次方程组的解求参数、构造二元一次方程组求解
【分析】本题考查解二元一次方程以及二元一次方程组的解；
（1）将方程的解代入得到新的方程组解方程组即可得到答案；
（2）根据（1）得出，将代入即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意可得，
，
解得 ；
（2）解：由（1）得，
，
将代入可得，
．
【变式2】 已知与是同类项，求m，n的值．
【答案】．
【知识点】已知同类项求指数中字母或代数式的值、构造二元一次方程组求解
【分析】本题考查了同类项的定义，解二元一次方程组，根据“字母和字母指数相同的单项式是同类项”构造二元一次方程组求解即可．
【详解】解：∵与是同类项，
∴
解得：．
【变式3】（1）我们定义一个关于非零常数m， n的新运算，规．例如：．若，，求x，y的值．
（2）对于实数a、b，定义关于“”的一种运算：，例如．若，，求x＋y的值．
【答案】（1）；（2）
【知识点】构造二元一次方程组求解
【分析】（1）由题意，得，加减消元法解二元一次方程组，即可求解；
（2）根据题中的新定义得：，两式相加得：，进而即可求解．
【详解】（1）解：由题意，得
解得
（2）解：根据题中的新定义得：
两式相加得：
则
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出方程组解题的关键．
考点8：解方程组——错解复原问题
典例8：在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，而得解为，乙看错了方程组中的b，而得解为，根据上面的信息解答：
(1)求出正确的a，b的值
(2)求出原方程组的正确解．
【答案】(1)，
(2)
【知识点】加减消元法、二元一次方程组的错解复原问题
【分析】（1）把代入①，能求出，把代入②，求出即可；
（2）运用加减消元法求出原方程组的解，即可作答．
本题考查了解二元一次方程组、二元一次方程组的解和求代数式的值等知识点，能得出关于、的方程是解此题的关键．
【详解】（1）解：依题意，把代入①，得，
解得：，
把代入②，得，
解得：；
（2）解：由（1）得，
∴原方程组为，
，得，
把代入③，得，
∴，
解得原方程组的正确解为：，
【变式1】已知关于x，y的二元一次方程组，甲由于看错了方程组中的a，得到的方程组的解为，乙由于看错了b，得到方程组的解为．
(1)求a，b的值；
(2)若方程组的解与方程组的解相同，求的值．
【答案】(1)，；
(2)；
【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、加减消元法、二元一次方程组的错解复原问题、已知二元一次方程组的解的情况求参数
【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，以及代数式求值．
（1）根据甲由于看错了方程组中的a，把得到的方程组的解代入可得出，即可求出b的值，根据乙由于看错了b，把得到方程组的解代入可得出，即可求出a的值
（2）由（1）得到方程组并求解，把解代入，再解出m，n的值，代入代数式求值即可．
【详解】（1）解：∵甲由于看错了方程组中的a，得到的方程组的解为
∴，
解得；
∵乙由于看错了b，得到方程组的解为
∴，
解得；
（2）由（1）得方程组为，
解得，
∵方程组的解与方程组的解相同，
∴，
解得，
∴．
【变式2】 嘉嘉和淇淇同解一个关于x，y的二元一次方程组，嘉嘉把方程①抄错，求得方程组的解为，淇淇把方程②抄错，求得方程组的解为．
(1)求m和n的值；
(2)求方程组的正确的解．
【答案】(1)
(2)
【知识点】二元一次方程组的错解复原问题
【分析】本题考查解二元一次方程组，掌握二元一次方程组的解法、加减消元法、代入消元法是正确解答的关键．
（1）由于嘉嘉把方程①抄错，求得解满足方程②，淇淇把方程②抄错，求得的解满足方程①，进而求出、的值，
（2）将原方程组变为，进而求出、的值得出正确的答案．
【详解】（1）嘉嘉把方程①抄错，求得解为，
满足方程②，
即；
又淇淇把方程②抄错，求得的解为，
满足方程①，
即；
因此有，
解得；
（2）所以原方程组可变为，
即，
①②得，
，
解得，
把代入①得，，
解得，
原方程组的正确的解为．
【变式3】已知关于x，y的二元一次方程组，甲由于看错了方程组中的a，得到的方程组的解为，乙由于看错了b，得到方程组的解为．
(1)求a，b的值．
(2)若方程组的解与方程组的解相同，求的值．
(3)在（2）的条件下，是否存在k的值，使得关于x的方程有无数个解？若存在，求k的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；；
(2)；
(3)．
【知识点】已知二元一次方程组的解求参数、二元一次方程组的错解复原问题、已知二元一次方程组的解的情况求参数
【分析】本题考查了解二元一次方程组，根据二元一次方程组的解求参数，熟练二元一次方程组的解法是解题的关键．
（1）把代入，把代入，分别解方程即可求解；
（2）把；代入，求得方程组的解，再将解代入，利用加减消元法求得的值，即可求解；
（3）将的值代入，整理得，当时，方程有无数个解，据此求解即可．
【详解】（1）解：∵甲由于看错了方程组中的a，得到的方程组的解为，
∴，
解得；
∵乙由于看错了b，得到方程组的解为，
∴，
解得；
（2）解：由（1）得方程组为，解得，
∵方程组的解与方程组的解相同，
∴，
解得，
∴；
（3）解：存在，
由（2）得关于x的方程为，
整理得，
∵关于x的方程有无数个解，
∴，解得．
考点9：解方程组——同解问题
典例9：已知关于x、y的方程组的解和的解相同，求代数式的平方根．
【答案】
【知识点】方程组相同解问题
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，平方根，由同解方程求解x，y值是解题的关键．
根据两方程组的解相同可将和重新组成方程组，解方程组可求解x，y值，即可得关于a，b的方程组，进而可求解的值．
【详解】解：∵方程组的解和的解相同，
∴方程组的解和的解相同，
解得：，
∴，
解得：，
∴，
即代数式的平方根为．
【变式1】已知方程组与方程组解相同．
(1)求a，b的值
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)1
【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、方程组相同解问题
【分析】此题考查同解方程组问题，以及代数式求值，解题关键是根据两个方程组的解相同，可列出新的方程组求解．再把x和y的值代入求出a和b的值．
（1）因为两个方程组有相同的解，故只需把两个方程组中不含字母系数的方程和含有字母系数的方程分别组成方程组，求出未知数的值，再代入另一组方程组即可；
（2）根据（1）的结论代入代数式求值即可．
【详解】（1）解：由题意得：，
解得：，
将代入，
得：，
解得：，
（2）解：
【变式2】 已知关于x、y的方程组和的解相同，求的值．
【答案】1
【知识点】有理数的乘方运算、已知式子的值，求代数式的值、方程组相同解问题
【分析】此题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，乘方的性质，解题的关键是掌握二元一次方程组的求解，正确求得a、b的值．将两个方程组中不含有a，b的两个方程联立，组成新的方程组，求出x和y的值，再代入含有a，b的两个方程中，解关于a，b的方程组得出a，b的值，代入计算即可．
【详解】解：∵关于x、y的方程组和的解相同，
∴，
由得，
，
解得，
把代入①得，
，
解得，
∴方程组的解为，
把代入得，
，
得，
，
把代入③得，
，
解得，
∴．
【变式3】若关于，的二元一次方程组与方程组有相同的解．
(1)求这两个方程组的相同解；
(2)求的立方根．
【答案】(1)
(2)
【知识点】求一个数的立方根、方程组相同解问题、加减消元法
【分析】本题考查解二元一次方程组，二元一次方程组的解，
（1）根据题意联立，解方程组即可；
（2）把代入，解方程组后求出，的值，然后代入计算后再求立方根即可；
掌握同解方程组的意义是解题的关键．
【详解】（1）解：∵关于，的二元一次方程组与方程组有相同的解，
∴，
，得：，
解得：，
把代入，得：，
解得：，
∴这两个方程组的相同解为；
（2）把代入得：，
整理得：，
，得：，
解得：，
把代入，得：，
解得：，
∴，
∵的立方根为，
∴的立方根为．
考点10：解方程组——由解求参数
典例10：已知关于的方程组
(1)请直接写出方程的所有正整数解；
(2)无论数取何值，方程总有一个固定的解，请求出这个解；
(3)若方程组的解中恰为整数，也为整数，求的值．
【答案】(1)，；
(2)
(3)或3或或5
【知识点】二元一次方程的解、加减消元法、已知二元一次方程组的解的情况求参数
【分析】此题考查了解二元一次方程的整数解，二元一次方程组的解及解二元一次方程组，熟练掌握求方程组的解是本题的关键．
（1）用含的代数式表示，即可确定出方程的正整数解；
（2）由固定的解与无关，可得，代入可得固定的解；
（3）求出方程组中的值，根据恰为整数，也为整数，可确定的值．
【详解】（1）解：方程，
，
当时，；
当时，，
方程的所有正整数解为：．
（2）解：，
，
当时，，
即固定的解为：．
（3）解：，
得：，
，
，
恰为整数，也为整数，
是3的约数，
或，或3，或．
故或3或，或5.
【变式1】新趋势·新定义 对于未知数为的二元一次方程组，如果方程组的解满足．我们就说方程组的解与具有“邻好关系”．
(1)方程组的解是否具有“邻好关系”？说明你的理由：
(2)若方程组 的解与具有“邻好关系”，求的值．
【答案】(1)具有“邻好关系”，见解析
(2)或6
【知识点】判断是否是二元一次方程组的解、已知二元一次方程组的解的情况求参数
【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握新定义，是解题的关键：
（1）根据方程，即可得到，即可得出结论；
（2）先解二元一次方程组，根据新定义，得到关于的绝对值方程，进行求解即可．
【详解】（1）具有“邻好关系”．理由如下：方程组
由②得．
所以方程组的解具有“邻好关系”；
（2）解方程组得
因为方程组的解具有“邻好关系”，
所以，
所以，即．
所以或，
所以或6．
【变式2】 定义：可化为其中一个未知数的系数都为，另一个未知数的系数互为倒数，并且常数项互为相反数的二元一次方程组，称为“相关倒反方程组”．如 ．
(1)若关于的方程组 是“相关倒反方程组”，则 ， ．
(2)若关于的方程组 可化为“相关倒反方程组”，求该方程组的解．
【答案】(1)，；
(2)．
【知识点】加减消元法、已知二元一次方程组的解的情况求参数
【分析】（1）根据“相关倒反方程组”的定义即可求解；
（2）先把化为“相关倒反方程组”，根据“相关倒反方程组”的定义求出的值，然后解二元一次方程组即可；
本题考查了二元一次方程组的解法及新定义，理解新定义，掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．
【详解】（1）解：若关于的方程组 是“相关倒反方程组”，则，，
故答案为：，；
（2）解：根据题意 得：原方程组化为“相关倒反方程组”是 ，
所以，，
所以，，
所以原方程组为 ，
解得 ．
【变式3】已知关于、的方程组（1）的解、比（2）相应的解、正好都小，而（3）的解满足，
(1)求、的值；
(2)求的平方根．
【答案】(1)
(2)，的平方根为或
【知识点】求一个数的平方根、加减消元法、已知二元一次方程组的解的情况求参数
【分析】本题考查解二元一次方程组，平方根的定义，熟练掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键；
（1）由题意得：，求解，的值，进而求解，的值；
（2）利用加减消元法得到关于，的关系式，进而求解；
【详解】（1）由题意得：，
解得：，
方程组的解是，
方程组的解为：,
,
解得：
（2）
得：，
，
，
，
解得：，
，
的平方根是
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专题01 二元一次方程组及解法
（一）二元一次方程概念
含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程。
【注意】
①二元：含有两个未知数；
②一次：所含未知数的项的次数都是1。
例如：xy=1，xy的次数是二，属于二元二次方程。
③方程：方程的左右两边必须都是整式（分母不能出现未知数）。
二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．
二元一次方程有无数个解。
（二）二元一次方程组概念
含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组．
【注意】
①二元一次方程组的“二元”和“一次”都是针对整个方程组而言的，组成方程组的各个方程不必同时含有两个未知数，如也是二元一次方程组。
②方程组中的各个方程中，相同字母必须代表同一未知量。
③二元一次方程组中的各个方程应是整式方程。
二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。
【注意】
①二元一次方程组的解是方程中每个方程的解。
②一般情况下二元一次方程组的解是唯一的，但是有的方程组有无数个解或无解。
如：有的方程组无解，如：
（三）解二元一次方程组——代入消元
代入消元法：把二元一次方程组中一个方程的未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解。这个方法叫做代入消元法，简称代入法。
代入消元法的一般步骤：
①变：将其中一个方程变形，使一个未知数用含有另一个的未知数的代数式表示。
②代：用这个代数式代替另一个方程中的相应未知数，得到一元一次方程。
③解：解一元一次方程
④求：把求得的未知数的值带入代数式或原方程组中的任意一个方程中，求得另一个未知数的值。
⑤写：写出方程组的解。
⑥验：将方程组的解带入到原方程组中的每个方程中，若各方程均成立，则这对数值就是原方程组的解，负责解题有误。
（四）解二元一次方程组——加减消元
加减消元法：两个二元一次方程中同一个未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法。
加减消元法的一般步骤：
①变：将两个方程中其中一个未知数的系数化为相同（或互为相反数）。
②加减：通过相减（或相加）消去这个未知数，得到一个一元一次方程。
③解：解这个一元一次方程，得到一个未知数的值。
④求：将求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程，求出另一个未知数的值。
⑤写：写出方程组的解。
⑥验：将方程组的解带入到原方程组中的每个方程中，若各方程均成立，则这对数值就是原方程组的解，负责解题有误。
考点1：二元一次方程（组）定义
典例1：若是关于的二元一次方程，则（　　）
A．1 B． C．2 D．
【变式1】下列方程： ； ； ； ； ．其中是二元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】 若方程组是关于x，y的二元一次方程组，则 ．
【变式3】下列方程组中，不是二元一次方程组的是 ．
①；②；③；④
考点2：二元一次方程（组）的解
典例2：解是的方程组可能是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】已知是方程的一个解，那么常数a的值是（ ）
A．5 B． C．3 D．
【变式2】 若是关于x、y的方程的解，则a值为 ．
【变式3】已知方程的三个解为 方程的三个解为 则方程组的解为 ．
考点3：二元一次方程（组）解的应用
典例3：某一商场经销的A、B两种商品，A商品每件进价40元，利润率为；B商品每件售价80元．在“元旦”期间，该商场对A、B两种商品开展如下的优惠促销活动：
打折前一次性购物总金额 优惠措施
少于等于450元 不优惠
超过450元，但不超过600元 按总售价打九折
超过600元 其中600元部分八折优惠，超过600元的部分打七折优惠
按上述优惠条件，若小华一次性购买A、B两种商品（两种商品每种商品不少于1件），实际共付款522元．则以下说法正确的个数是（ ）
①可能购买A商品3件，B商品5件；
②购买A商品与B商品的总件数可能为8件、9件、10件；
③如果在打折前买相同的物品，要比打折后多付58元或138元．
A．0 B．1 C．2 D．3
【变式1】要把一张面值为100元的人民币换成零钱，现有足够的面值为20元、10元的人民币，则不同的换法一共有（ ）
A．5种 B．6种 C．8种 D．10种
【变式2】 现有一条长度为359mm的铜管料，把它锯成长度分别为39mm和29mm的两种不同规格的小铜管，（要求没有余料）．每锯一次损耗1mm的铜管料．为了使铜管料损耗最少，应分别锯成39mm的小铜管 段，29mm的小铜管 段．
【变式3】综合与实践：有一个长为90cm，宽为60cm的矩形硬纸板（纸板的厚度忽略不计），如果把这块矩形硬纸板的四个角分别剪去2个同样大小的长方形和2个同样大小的正方形，然后折叠成一个有盖的盒子（如图），该盒子底面的宽和长分别是 xcm和ycm（x和y都是整数，若设计有盖盒子的底面周长大于200 cm，高大于4 cm，则符合条件的x，y的值为 （写出一对即可）

考点4：解方程组——代入消元法
典例4：先阅读材料：
解方程组 解：由①得③， 把③代入②中得，解得． 把代入③中得，即． 故方程组的解为， 这种方法称为“整体代入法”．
请用上述方法解方程组．
【变式1】解方程组：．
【变式2】 解方程组：
【变式3】课上同学们用代入消元法解二元一次方程组下面是两位同学的解题思路，请你认真阅读并完成相应的任务．
小彬：由①，得______③ 将③代入②，得… 小颖：由①，得______，③ 将③代入②，得…
任务：
(1)按照小彬的思路，第一步要用含的代数式表示，得到方程③，即______；
第二步将③代入②，可消去未知数．
(2)按照小颖的思路，第一步要用含的代数式表示，得到方程③，即______；
第二步将“”看作整体，将③代入②，可消去未知数．
(3)按你从以上两种思路中任选一种求此方程组的解．
考点5：解方程组——加减消元法
典例5：解方程组
【变式1】解方程组：．
【变式2】 解方程组：
(1)
(2)
【变式3】解方程组
(1)；
(2)．
考点6：解方程组——特殊法
典例6：阅读下列解方程组的方法，然后回答并解决有关问题：
解方程组时，如果我们直接考虑消元，那会很麻烦，而采用下面的解法求解会更方便．
解：得，，所以③，将③，得④，
，得，从而可得，所以原方程组的解为．
(1)请你用上述方法解方程组．
(2)猜想：关于、的方程组（是常数，）的解，并说明理由．
【变式1】整体思想就是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析，发现问题的整体结构特征，用“整体”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，进行有目的、有意识的整体处理整体思想方法在代数式的化简与求值、解方程（组）、几何证明等方面都有广泛的应用．
(1)解方程；
(2)在（1）的基础上，求方程组的解．
【变式2】 学习完“代入消元法”解二元一次方程组后，老师在黑板上写下一个方程组．
让同学们解答，爱动脑筋的小敏想到一种新的方法：
解：将②变形为，③
把①代入③，得，解得．
把代入①，解得．
方程组的解为．
这种把某个式子看成一个整体，从而使问题得到简化的方法叫做“整体代换”法，请你模仿小敏的“整体代换”法解方程组
【变式3】数学方法：解方程组，若设，，则原方程组可变形为，解方程组得，所以，解方程组得．我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去代替它，这种解方程组的方法叫做换元法．
(1)请用这种方法解方程组；
(2)已知关于x、y的二元一次方程组的解为，则关于m、n的二元一次方程组的解为______．
考点7：构造二元一次方程组
典例7：若，求的值．
【变式1】已知关于、的二元一次方程的解为和
(1)求、的值；
(2)当时，求的值．
【变式2】 已知与是同类项，求m，n的值．
【变式3】（1）我们定义一个关于非零常数m， n的新运算，规．例如：．若，，求x，y的值．
（2）对于实数a、b，定义关于“”的一种运算：，例如．若，，求x＋y的值．
考点8：解方程组——错解复原问题
典例8：在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，而得解为，乙看错了方程组中的b，而得解为，根据上面的信息解答：
(1)求出正确的a，b的值
(2)求出原方程组的正确解．
【变式1】已知关于x，y的二元一次方程组，甲由于看错了方程组中的a，得到的方程组的解为，乙由于看错了b，得到方程组的解为．
(1)求a，b的值；
(2)若方程组的解与方程组的解相同，求的值．
【变式2】 嘉嘉和淇淇同解一个关于x，y的二元一次方程组，嘉嘉把方程①抄错，求得方程组的解为，淇淇把方程②抄错，求得方程组的解为．
(1)求m和n的值；
(2)求方程组的正确的解．
【变式3】已知关于x，y的二元一次方程组，甲由于看错了方程组中的a，得到的方程组的解为，乙由于看错了b，得到方程组的解为．
(1)求a，b的值．
(2)若方程组的解与方程组的解相同，求的值．
(3)在（2）的条件下，是否存在k的值，使得关于x的方程有无数个解？若存在，求k的值；若不存在，请说明理由．
考点9：解方程组——同解问题
典例9：已知关于x、y的方程组的解和的解相同，求代数式的平方根．
【变式1】已知方程组与方程组解相同．
(1)求a，b的值
(2)求的值．
【变式2】 已知关于x、y的方程组和的解相同，求的值．
【变式3】若关于，的二元一次方程组与方程组有相同的解．
(1)求这两个方程组的相同解；
(2)求的立方根．
考点10：解方程组——由解求参数
典例10：已知关于的方程组
(1)请直接写出方程的所有正整数解；
(2)无论数取何值，方程总有一个固定的解，请求出这个解；
(3)若方程组的解中恰为整数，也为整数，求的值．
【变式1】新趋势·新定义 对于未知数为的二元一次方程组，如果方程组的解满足．我们就说方程组的解与具有“邻好关系”．
(1)方程组的解是否具有“邻好关系”？说明你的理由：
(2)若方程组 的解与具有“邻好关系”，求的值．
【变式2】 定义：可化为其中一个未知数的系数都为，另一个未知数的系数互为倒数，并且常数项互为相反数的二元一次方程组，称为“相关倒反方程组”．如 ．
(1)若关于的方程组 是“相关倒反方程组”，则 ， ．
(2)若关于的方程组 可化为“相关倒反方程组”，求该方程组的解．
【变式3】已知关于、的方程组（1）的解、比（2）相应的解、正好都小，而（3）的解满足，
(1)求、的值；
(2)求的平方根．
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