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专题02 二元一次方程组的应用
（一）解一元二次方程组应用的一般步骤
列二元一次方程组解应用题的一般步骤：
①审：审题，明确各数量之间的关系。
②设：设未知数
③找：找题中的等量关系
④列：根据等量关系列出两个方程，组成方程组
⑤解：解方程组，求出未知数的值
⑥答：检验方程组的解是否符合题意，写出答案。
考点1：年龄问题
典例1：甲对乙说：“我像你这样大岁数的那年，你的岁数等于我今年的岁数的一半；当你到我这样大岁数的时候，我的岁数是你今年岁数的二倍少7岁．”则今年甲的年龄为 岁， 乙的年龄为 岁．
【变式1】小强问他的数学老师今年多少岁了，数学老师说：“我像你这么大时，你才1岁．你到我这么大时，我就40岁了．”那么数学老师今年的岁数是 岁．
【变式2】 今年（2022年）4月20日，是云大附中建校95周年暨云大附中恢复办学40周年校庆日，我校初一年级数学兴趣小组的小明同学发现这样一个有趣的巧合；小明的爸爸和爷爷都是云附的老校友，且爸爸和妹妹的年龄差恰好与爷爷和小明的年龄差的和为95，而爸爸的年龄恰好比爷爷的年龄小40．已知小明今年13岁，妹妹今年4岁．
(1)求今年小明的爸爸和爷爷的年龄分别是多少岁？（要求用二元一次方程组解答）
(2)假如小明的爸爸和爷爷都是15岁初中华业的，请问小明的爸爸和爷爷分别是哪一年毕业的云附学子？
【变式3】根据小头爸爸与大头儿子的对话，求出大头儿子现在的年龄．
小头爸爸：儿子，现在我的年龄比你大23岁．
大头儿子：5年后，您的年龄比我的年龄的2倍还多8岁．
考点2：分配问题
典例2：芳芳和元元一起玩用火柴棍摆图形的游戏，三角形和正方形一共摆了10个（如图，任意两个图形之间没有公共边）．如果她们一共用了36根火柴棍，那么她们摆了个 三角形， 正方形．
【变式1】某旅店的客房有两人间和三人间两种，两人间每间200元，三人间每间250元，某学校50人的研学团到该旅店住宿，租住了若干客房.其中男生27人，女生23人.若要求男女不能混住，且所有租住房间必须住满.
（1）要想使花费最少，需要 间两人间；
（2）现旅店对两人间打八折优惠，且仅剩15间两人间，此时要想花费最少，需要 间三人间.
【变式2】 我校学生组织冬游活动，交通工具有两座车和五座车两种，两座车每人每次18元，五座车每人每次8元，共100名学生参与了活动，乘坐了两种车若干，且每辆车正好坐满．
(1)若一共花去车费1300元，则两种车各租用了多少辆？（列二元一次方程组解决问题）
(2)因场地停车位置有限，只能停靠24辆车．故新提供了大巴车可选择，每辆大巴车可乘坐7人．若每种车型必须都租用，请你设计符合要求的租车方案．
(3)若每辆大巴车的租金为30元一次，请你通过计算，找出租金最低的租车方案．
【变式3】小莉家用钢管做防盗窗，按设计要求，其中需要长为的钢管88根，长为的钢管36根（钢管的粗细均相同），并要求这些用料不能是焊接而成的．现钢材市场的这种规格的钢管每根都为．
(1)试问一根6米长的钢管有哪些裁剪方法呢？请填写下空(余料作废)．
方法1：当只裁剪长为1.2米的用料时，最多可剪_____________根；
方法2：当先剪下1根2.3米的用料时，余下部分最多能剪1.2米长的用料_____________根；
方法3：当先剪下2根2.3米的用料时，余下部分最多能剪1.2米长的用料_____________根．
(2)联合用（1）中的方法2和方法3各裁剪多少根6米长的钢管，才能刚好得到所需要的相应数量的材料？
(3)小明经过探究发现：如果联合（1）中的二种裁剪方法，还有一种不同于（2）中的方案能刚好得到所需要的相应数量的材料，请写出这个裁剪方案，并说理理由．
考点3：和差倍分问题
典例3：5月31日至6月2日，2024年国家非遗道州龙船赛在潇水河上隆重举行．道州龙船船头造型分龙、虎、凤、麒麟四大类，按色彩又分“六龙五虎”和“金凤银麒”，代表着每个村落社区特有的宗族信仰、文化标识和审美意趣．据了解本次比赛共计条龙船参赛，创造了一项新的吉尼斯世界记录，其中“六龙五虎”龙船数量比“金凤银麟”龙船数量的倍少条，则参赛的“金凤银麒”龙船为 条．
【变式1】某校举办初中生数学素养大赛，比赛共设四个项目：七巧拼图、趣题巧解、数学应用和魔方复原，每个项目得分都按一定百分比折算后记入总分，并规定总分在85分以上（含85分）设为一等奖．下表为甲、乙、丙三位同学的得分情况（单位：分），其中甲的部分信息不小心被涂黑了．
据悉，甲、乙、丙三位同学的七巧拼图和魔方复原两项得分折算后的分数之和均为20分．设趣题巧解和数学应用两个项目的折算百分比分别为x和y，请用含x和y的二元一次方程表示乙同学“趣题巧解和数学应用”两项得分折算后的分数之和为 ；如果甲获得了大赛一等奖，那么甲的“数学应用”项目至少获得 分．
【变式2】 在一次葡萄酒展会上，为方便送达相应客户，某葡萄酒商人决定租用40辆无人车运送A，B，C三种葡萄酒共310箱，按计划，40辆无人车都要装运，每辆无人车只能装运同一种葡萄酒，且必须装满，根据如表提供的信息，解答下列问题：
葡萄酒种类 A B C
每辆无人车装载量（箱） 6 8 9
(1)如果装运C种葡萄酒需16辆无人车，那么装运A，B两种葡萄酒各需多少辆无人车？
(2)如果装运每种葡萄酒至少需要11辆无人车，那么无人车的装运方案有哪几种？
【变式3】某地独特的气候资源，生产的洋芋品质好、干物质含量高且耐储存，品质、色泽、风味明显优于其他洋芋产区，因而受到国内外客商青睐，现欲将一批洋芋运往外地销售，若用2辆A型车和1辆B型车载满洋芋一次可运走10吨；用1辆A型车和2辆B型车载满洋芋一次可运走11吨．现有洋芋31吨，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满洋芋（两种车都租用）．根据以上信息，解答下列问题：
(1)1辆A型车和1辆B型车都载满洋芋一次可分别运送多少吨？
(2)请你帮该物流公司设计租车方案．
考点4：数学文化问题
典例4：《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中方程术是重要的数学成就．书中有一个方程问题：“五只雀，六只燕，共重1斤（等于16两），雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，问：每只雀、燕的重量各为多少？”答：每只雀有 两，每只燕有 两．
【变式1】《九章算术》是中国古代的数学专著，下面这道题是《九章算术》中第七章的一道题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？”译文：“几个人一起去购买某物品，如果每人出8钱，则多了3钱；如果每人出7钱，则少了4钱．问有多少人，物品的价格是多少？”设有x人，物品价格为y钱，可列方程组为 ．
【变式2】 我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？”意思是：“几个人一起去购买某物品，每人出8钱，则多出3钱；每人出7钱，则还差4钱，问人数和物品的价格分别是多少？”请你用二元一次方程组的知识解答这个问题．
【变式3】《九章算术》是我国乃至世界数学史上的瑰宝，尤其是方程思想
(1)“方程”二字最早见于我国《九章算术》这部经典著作中，该书的第八章名为“方程”如： 从左到右列出的算筹数分别表示方程中未知数，的系数与相应的常数项，即可表示方程，求： 表示的方程
(2)我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？”意思是：“几个人一起去购买某物品，每人出8钱，则多出3钱；每人出7钱，则还差4钱．问人数、物品的价格分别是多少？”
考点5：工程问题
典例5：市域（郊）成都至德阳段（线），全长约70公里，估计投资187亿．2023年3月开建，2026年12月达初期运行．中铁二院某工程队负责德阳市区某段建设，分两个班组分别从德阳南站和四川建院站同时开工掘进．已知甲组比乙组平均每天多掘进2.4米，经过5天施工，两组共掘进了110米．则甲班组平均每天掘进 米．
【变式1】一家商店进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元，若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付费用3480元，问：甲、乙两组工作一天，商店各应付多少钱？设：甲组工作一天商店应付x元，乙组工作一天商店付y元．列二元一次方程组为 ．
【变式2】 为打造集休闲娱乐、健身运动、观光旅游、体验自然等于一体的多功能活动区域．深圳湾公园海滨步道现有一段长350米的河边道路需整治，任务由，两个工程队先后接力完成，工程队每天整治15米，工程队每天整治10米，共用时30天．
根据题意，甲、乙两位同学分别列出了如下不完整的方程组：
甲：乙：
从甲、乙两位同学所列方程组中任选一组，补全以下解题过程，并利用此方程组求出，两个工程队分别整治河边道路多少米．
解：选择的方程组为____________（填“甲”或“乙”） 设为_______________________； 为_________________________．
【变式3】随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车制造商开发了一款新能源汽车，计划一年生产安装360辆．由于抽调不出足够的熟练工来完成安装任务，工厂决定招聘部分新工人，他们经过培训后也能独立进行新能源汽车的安装．生产开始后，调研部门发现：1名熟练工和3名新工人每月可安装12辆新能源汽车；2名熟练工和5名新工人每月可以安装22辆新能源汽车．
(1)每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆新能源汽车？
(2)如果工厂招聘n（）名新工人，使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务，那么工厂有哪几种新工人的招聘方案？
(3)在（2）的条件下，工厂给安装新能源汽车的每名熟练工人每月发放4000元的工资，给每名新工人每月发2400元的工资，那么工厂应招聘多少名新工人，使新工人的数量多于熟练工，同时工厂每月支出的工资总额W（元）尽可能少？
考点6：行程问题
典例6：A，B两地相距，甲骑电动车从A地出发到B地，与此同时，乙骑电动车从B地出发到A地，两人均保持匀速行驶．已知第两人相遇，又经过，甲剩余路程是乙剩余路程的8倍，则甲的骑行速度为 ．
【变式1】同型号的甲、乙两辆测试车加满气体燃料后均可行驶千米，即它们各自单独行驶并返回的最远距离是千米．现在它们都从地出发，行驶途中停下来从甲车的气体燃料桶抽一些气体燃料注入乙车的气体燃料桶，然后甲车立即掉头返回地，乙车继续行驶，到地后立即掉头返回地．最终两车都到达地，则地最远可距离地 千米．
【变式2】 小贵、小港两人从相距的两地相向而行．
(1)若小贵比小港先走，则他们在小港出发后相遇；若小港比小贵先走，则他们在小贵出发后相遇，求小贵、小港两人每小时各走多少千米？
(2)如果他们同时出发，并保持（1）中的速度，那么后两人还相距多少千米？
【变式3】甲、乙两车分别从相距千米的，两地相向而行．
(1)两车均保持匀速行驶且甲车的速度是乙车速度的2倍，若甲车比乙车提前2小时出发，则甲车出发后3小时两车相遇．求甲、乙两车的速度分别是多少（单位：千米/小时）？
(2)如果甲、乙两车保持（1）中的速度，两车同时出发相向而行，求经过多少小时两车相距30千米？
考点7：销售利润问题
典例7：某水果零售商店分两批次从批发市场共购进杨梅箱，已知第一、二次的进货价分别为每箱元、元，且第二次比第一次多付款元．若商店对这箱杨梅先按每箱元销售了x箱，剩下的按每箱元全部售完，则当x的值为 时，商店才正好不亏本．
【变式1】某服装店用6000元购进A，B两种新款服装，按标价售出后获得毛利润为3800元（毛利润标价进价）．这两种服装的进价、标价如下表所示，则这两种服装共购进 件．
A B
进价/（元/件） 60 100
标价/（元/件） 100 160
【变式2】 随着中国传统节日“端午节”的临近，某商场决定开展“欢度端午，回馈顾客”的让利促销活动，对部分品牌的粽子进行打折销售，其中甲品牌粽子打八折，乙品牌粽子打七五折．已知打折前，买6盒甲品牌粽子和3盒乙品牌粽子需660元；打折后，买5盒甲品牌粽子和4盒乙品牌粽子需520元．
(1)打折前甲、乙两种品牌的粽子每盒分别多少元？
(2)阳光敬老院需购买甲品牌粽子80盒、乙品牌粽子100盒，那么打折后购买这批粽子比不打折节省了多少钱？
【变式3】耀州瓷是北方青瓷的代表，出产于陕西省，以瓷质细腻，色泽青翠晶莹、线条明快流畅、造型端庄浑朴著称于世．某瓷器超市有A、B两种规格的倒装壶瓷器按定价销售，已知3件A种规格的倒装壶瓷器和2件B种规格的倒装壶瓷器总售价为1700元，4件A种规格的倒装壶瓷器和1件B种规格的倒装壶瓷器总售价为1600元．
(1)分别求出每件A种规格的倒装壶瓷器和每件B种规格的倒装壶瓷器的定价；
(2)旅游旺季期间，某天该瓷器超市通过销售这两种规格的倒装壶瓷器共获得3600元，且两种规格的倒装壶瓷器都有销售，请你计算该超市这天所有可能的销售方案（即每种规格的倒装壶瓷器各销售了多少件）．
考点8：方案问题
典例8：某公司后勤部准备去超市采购牛奶和咖啡若干箱，现有两种不同的购买方案，如下表：
（1）采购人员不慎将污渍弄到表格上，根据表中的数据，判断污渍盖住地方对应金额是 元；
（2）若后勤部购买牛奶25箱，咖啡20箱，则需支付金额1750元，进行打六折的促销活动，后勤部根据需要选择原价或打折的咖啡和牛奶，此次采购共花费了元，其中购买打折的牛奶箱数是所有牛奶、咖啡的总箱数的，则此次按原价采购的咖啡有 箱（直接写出答案）．
牛奶（箱） 咖啡（箱） 金额（元）
方案一 20 10 1100
方案二 30 15
【变式1】年级花费元用来购买甲、乙两种奖品（两种奖品都购买），奖励知识竞赛中的获奖同学，若甲种奖品每件元，乙种奖品每件元，则购买方案有 种.
【变式2】 随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，某汽车店到汽车城计划购进一批新能源汽车进行销售．据了解，购进辆型新能源汽车、辆型新能源汽车共需万元；购进辆型新能源汽车、辆型新能源汽车共需95万元．
(1)问两种型号的新能源汽车每辆进价分别为多少万元？
(2)若该公司计划正好用万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请设计出符合要求的所有购买方案．
(3)在问题（2）的条件下，销售辆型汽车可获利万元，销售辆型汽车可获利万元．假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案所获利润最大？请求出最大利润．
【变式3】某商店分两次购进A，B型两种台灯进行销售，两次购进的数量及费用如下表所示，由于物价上涨，第二次购进A，B型两种台灯时，两种台灯每台进价分别上涨，．
购进的台数 购进所需要的费用（元）
A型 B型
第一次 10 20 3000
第二次 15 10 4500
(1)求第一次购进A，B型两种台灯每台进价分别是多少元？
(2)A，B型两种台灯销售单价不变，第一次购进的台灯全部售出后，获得的利润为2800元，第二次购进的台灯全部售出后，获得的利润为1800元．
①求A，B型两种台灯每台售价分别是多少元？
②若按照第二次购进A，B型两种台灯的价格再购进一次，将再次购进的台灯全部售出后，要想使获得的利润为740元，求有哪几种购进方案？
考点9：数字问题
典例9：“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，中国古代数学史上经常研究这一神话．数学上的“九宫图”所体现的是一个表格，一行的三个数，列的三个数，斜对角的三个数之和都相等，也称为三阶幻方，如图是一个满足条件的三阶幻方的一部分，则的值为 ．
【变式1】我国南宋数学家杨辉在其所著《续古摘奇算法》中的攒九图一节中提出了“幻圆”的概念．如图是一个二阶幻圆模型，其内外两个圆周上四个数字之和以及外圆两直径上的四个数字之和都相等，则 ．
【变式2】 某两位数，两个数位上的数之和为11．这个两位数加上45，得到的两位数恰好等于原两位数的两个数字交换位置所表示的数，求原两位数．
(1)列一元一次方程求解．
(2)设原两位数的十位数字为，个位数字为，列二元一次方程组求解．
【变式3】在我国民间流传着许多诗歌形式的数学算题，这些题目叙述生动、活泼，它们大都是关于方程或方程组的应用题．由于诗歌的语言通俗易懂、雅俗共赏，因而一扫纯数学的枯燥无味之感，令人耳目一新，回味无穷．请根据下列诗意列方程组解应用题．
(1)周瑜寿属：而立之年督东吴，早逝英年两位数；十比个位正小三，个位六倍与寿符；哪位同学算得快，多少年寿属周瑜？诗的意思是：周瑜病逝时的年龄是一个大于30的两位数，其十位数上的数字比个位上的数字小3，个位上的数字的6倍正好等于这个两位数，求这个两位数．
(2)悟空顺风探妖踪，千里只用四分钟，归时四分行六百，风速多少请算清．
考点10：几何问题
典例10：将如图1所示的5个小长方形分别不重叠地放在两个形状、大小完全相同的大长方形中（如图2，3）．已知大长方形的长为，则图3中阴影部分的周长与图2中阴影部分的周长的差是 ．（用含的式子表示）
【变式1】如图1，在大正方形中剪去一个小正方形，再将图中的阴影剪拼成一个长方形，如图2，这个长方形的长为24，宽为16，则图2中部分的面积是 ．
【变式2】 现有8个大小相同的长方形，可拼成如图1、2所示的图形，在拼图2时，中间留下了一个边长为2的小正方形，求每个小长方形的面积．
小明设小长方形的长为x，宽为y，观察图形得出关于x、y的二元一次方程组，解出x、y的值，再根据长方形的面积公式得出每个小长方形的面积．
(1)请按照小明的思路完成上述问题：求每个小长方形的面积；
(2)某周末上午，小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，如图3所示．若小明把13个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是______cm；
(3)拓展学习：如图4，是由7块颜色不同的正方形组成的长方形，已知中间小正方形A的边长为1，求这个长方形的面积．
【变式3】如图，已知的面积是60，请完成下列问题：
(1)如图1，中，若是边上的中线，则的面积 的面积（填“”、“”或“”）；
(2)如图2，若、分别是的边上的中线，求四边形的面积可以用如下方法：连接，设，，联想第一小问结论，通过列方程组来求四边形的面积．
(3)如图3，，，请求出四边形的面积；
考点11：图表信息问题
典例11：太原五中计划购置篮球、钢笔、笔记本作为期末奖品，采购员小琪在某文体用品店购买完毕回到学校后发现发票被弄花了，有几个数据变得不清楚，如图所示．
货物或应税劳务、服务名称 篮球 钢笔 笔记本 合计 规格型号 单位 个 支 本 数量 6 46 单价 100.00 15.00 5.00 金额 600.00 900.0 税率 税额
价税合计（大写） 玖佰元整 （小写）900.00
请根据发票中现有的信息，帮助小琪复原弄花的数据，即分别求出购置钢笔、笔记本的数量及对应的金额．
【变式1】某山区有23名中小学生因贫困失学需要捐助，资助一名中学生需要学习费用a元，资助一名小学生需要学习费用b元，某校学生积极捐款，初中各年级学生捐款数额与用其恰好能帮助的贫困中学生和小学生人数的部分情况如下表：
七年级 八年级 九年级
捐款数额（元） 4000 4200 7400
捐助贫困中学生（名） 2 3
捐助贫困小学生（名） 4 3
(1)求a、b的值；
(2)九年级学生的捐款解决了其余贫困中小学生的学习费用，请将九年级学生可捐助的贫困中、小学生人数直接填入上表中（不需要写出计算过程）．
【变式2】 某公司生产的一种营养品信息如下表．已知甲食材每千克的进价是乙食材的2倍，购买4千克的甲食材比购买5千克的乙食材多花60元．
营养品信息表
营养成分 每千克含铁42毫克
配料表 原料 每千克含铁
甲食材 50毫克
乙食材 10毫克
(1)甲、乙两种食材每千克的进价分别是多少元？
(2)该公司每日用18000元购进甲、乙两种食材并恰好全部用完，那么该公司每日购进甲、乙两种食材各多少千克？
【变式3】为响应国家节能减排的号召，鼓励居民节约用电，各省市先后出台了“阶梯价格”制度，如表中是某市的电价标准（每月）．
阶梯 电量x（单位：度） 电费价格
一档 0＜x≤180 a元/度
二档 180＜x≤350 b元/度
三档 x＞350 0.9元/度
(1)已知小明家5月份用电252度，缴纳电费158.4元，6月份用电340度，缴纳电费220元，请你根据以上数据，求出表格中的a，b的值．
(2)7月份开始用电增多，小明家缴纳电费285.5元，求小明家7月份的用电量．
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专题02 二元一次方程组的应用
（一）解一元二次方程组应用的一般步骤
列二元一次方程组解应用题的一般步骤：
①审：审题，明确各数量之间的关系。
②设：设未知数
③找：找题中的等量关系
④列：根据等量关系列出两个方程，组成方程组
⑤解：解方程组，求出未知数的值
⑥答：检验方程组的解是否符合题意，写出答案。
考点1：年龄问题
典例1：甲对乙说：“我像你这样大岁数的那年，你的岁数等于我今年的岁数的一半；当你到我这样大岁数的时候，我的岁数是你今年岁数的二倍少7岁．”则今年甲的年龄为 岁， 乙的年龄为 岁．
【答案】 28 21
【知识点】年龄问题(二元一次方程组的应用)
【分析】设今年甲的年龄为x岁，乙的年龄为y岁，则甲比乙大岁，然后根据题意列出方程组求解即可．
【详解】解：设今年甲的年龄为x岁，乙的年龄为y岁，则甲比乙大岁，
由题意得：，
解得：，
即今年甲的年龄为28岁，乙的年龄为21岁，
故答案为：28，21．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找出合适的等量关系列出方程组是解题的关键．
【变式1】小强问他的数学老师今年多少岁了，数学老师说：“我像你这么大时，你才1岁．你到我这么大时，我就40岁了．”那么数学老师今年的岁数是 岁．
【答案】27
【知识点】年龄问题(二元一次方程组的应用)
【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用．设数学老师今年岁，小强今年岁，根据题意，列出方程组进行求解即可．
【详解】解：设数学老师今年岁，小强今年岁，由题意，得：
，解得：，
∴数学老师今年岁；
故答案为：27．
【变式2】 今年（2022年）4月20日，是云大附中建校95周年暨云大附中恢复办学40周年校庆日，我校初一年级数学兴趣小组的小明同学发现这样一个有趣的巧合；小明的爸爸和爷爷都是云附的老校友，且爸爸和妹妹的年龄差恰好与爷爷和小明的年龄差的和为95，而爸爸的年龄恰好比爷爷的年龄小40．已知小明今年13岁，妹妹今年4岁．
(1)求今年小明的爸爸和爷爷的年龄分别是多少岁？（要求用二元一次方程组解答）
(2)假如小明的爸爸和爷爷都是15岁初中华业的，请问小明的爸爸和爷爷分别是哪一年毕业的云附学子？
【答案】(1)爸爸36岁，爷爷76岁
(2)爸爸是2001年华业，爷爷是1961年毕业的云附学子
【知识点】年龄问题(二元一次方程组的应用)
【分析】（1）设今年小明的爸爸x岁，爷爷y岁，根据“爸爸和妹妹的年龄差恰好与爷爷和小明的年龄差的和为95，而爸爸的年龄恰好比爷爷的年龄小40”列出二元一次方程组求解即可．
（2）用现在年份减去年龄加15即可得到答案．
【详解】（1）设今年小明的爸爸x岁，爷爷y岁．
．
解得：
答：今年小明的爸爸36岁，爷爷76岁；
（2）（年）
（年）
小明的爸爸是2001年华业，爷爷是1961年毕业的云附学子．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，正确找出等量关系是解答本题的关键．
【变式3】根据小头爸爸与大头儿子的对话，求出大头儿子现在的年龄．
小头爸爸：儿子，现在我的年龄比你大23岁．
大头儿子：5年后，您的年龄比我的年龄的2倍还多8岁．
【答案】大头儿子现在的年龄为10岁
【知识点】年龄问题(二元一次方程组的应用)
【分析】设大头儿子现在的年龄是x岁，爸爸的年龄是y岁，根据题意列出二元一次方程组解得即可．
【详解】解：设大头儿子现在的年龄是x岁，爸爸的年龄是y岁，
由题意得：，
解得：，
答：大头儿子现在的年龄为10岁．
【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用，解题的关键是根据题意列出二元一次方程组．
考点2：分配问题
典例2：芳芳和元元一起玩用火柴棍摆图形的游戏，三角形和正方形一共摆了10个（如图，任意两个图形之间没有公共边）．如果她们一共用了36根火柴棍，那么她们摆了个 三角形， 正方形．
【答案】 4 6
【知识点】分配问题(二元一次方程组的应用)
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，根据题意正确列出二元一次方程组成为解题的关键．
设她们摆了x个三角形，y正方形，再根据题意列二元一次方程组求解即可．
【详解】解：设她们摆了x个三角形，y正方形，
由题意可得：，解得：，
所以设她们摆了4个三角形，6正方形．
故答案为：4，6．
【变式1】某旅店的客房有两人间和三人间两种，两人间每间200元，三人间每间250元，某学校50人的研学团到该旅店住宿，租住了若干客房.其中男生27人，女生23人.若要求男女不能混住，且所有租住房间必须住满.
（1）要想使花费最少，需要 间两人间；
（2）现旅店对两人间打八折优惠，且仅剩15间两人间，此时要想花费最少，需要 间三人间.
【答案】 1 8
【知识点】分配问题(二元一次方程组的应用)
【分析】（1）要想使花费最少，则应尽可能多租三人间；
（2）两人间打八折优惠时，应尽可能多租两人间，注意所有租住房间必须住满．
【详解】解：（1）由题意知，两人间每间200元，平均每人100元，三人间每间250元，平均每人元，
因此要想花费最少，则应尽可能多租三人间，
花费最少时，27个男生租9个三人间，23个女生可以租7个三人间和1个两个间，
故答案为：1；
（2）两人间打八折优惠，则160元，平均每人80元，
此时，要想花费最少，则应尽可能多租两人间，
设27个男生租x个两个间，y个三个间，23个女生租m个两个间，n个三个间，
则，，
当，时，满足，
因此27个男生租12个两个间，1个三个间，
此时还剩两人间：（个），
因此m可以取3，2，1，0，
当时，女生需要租三人间个，不合题意；
当时，女生需要租三人间个，不合题意；
当时，女生需要租三人间个，符合题意；
因此需要租三人间：（个），
故答案为：8．
【点睛】本题考查二元一次方程的应用，解题的关键是根据题意列出二元一次方程，注意“所有租住房间必须住满”这一条件．
【变式2】 我校学生组织冬游活动，交通工具有两座车和五座车两种，两座车每人每次18元，五座车每人每次8元，共100名学生参与了活动，乘坐了两种车若干，且每辆车正好坐满．
(1)若一共花去车费1300元，则两种车各租用了多少辆？（列二元一次方程组解决问题）
(2)因场地停车位置有限，只能停靠24辆车．故新提供了大巴车可选择，每辆大巴车可乘坐7人．若每种车型必须都租用，请你设计符合要求的租车方案．
(3)若每辆大巴车的租金为30元一次，请你通过计算，找出租金最低的租车方案．
【答案】(1)租用两座车共25辆，租用五座车共10辆
(2)租车方案有3种：方案一：乘2人的车8辆，乘5人的车14辆，乘7人的车2辆．方案二：乘2人的车10辆，乘5人的车9辆，乘7人的车5辆．方案三：乘2人的车12辆，乘5人的车4辆，乘7人的车8辆．
(3)方案三：乘2人的车12辆，乘5人的车4辆，乘7人的车8辆，租金最低为832元
【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、二元一次方程的解、分配问题(二元一次方程组的应用)
【分析】本题主要考查了二元一次方程的应用、二元一次方程组的应用、有理数混合运算等知识点，正确列出方程组和二元一次方程成为解题的关键．
（1）设租用的两座车共能坐学生a人，租用的五座车共能坐学生b人，根据共100名学生参与了活动，一共花去车费1300元列方程组求解即可；
（2）设租用两座车x辆，五座车y辆，则租用大巴车辆，再根据共100名学生参与了活动，据此列二元一次方程求解即可；
（3）分别求出三种方案的费用，然后再比较即可解答．
【详解】（1）解：设租用的两座车共能坐学生a人，租用的五座车共能坐学生b人，
根据题意；，
得：，解得：，
将代入①得：，解得：，
则（辆），（辆）．
答：租用两座车共25辆，租用五座车共10辆．
（2）解：设租用两座车x辆，五座车y辆，则租用大巴车辆，
根据题意：，即，
为非负整数，且，解得：或或，
则大巴车租用的数量依次为：，
则租车方案有3种：
方案一：乘2人的车8辆，乘5人的车14辆，乘7人的车2辆．
方案二：乘2人的车10辆，乘5人的车9辆，乘7人的车5辆．
方案三：乘2人的车12辆，乘5人的车4辆，乘7人的车8辆．
（3）解：方案一：租金为（元）；
方案二：租金为（元）；
方案三：租金为（元）；
，
方案三：乘2人的车12辆，乘5人的车4辆，乘7人的车8辆，租金最低为832元．
【变式3】小莉家用钢管做防盗窗，按设计要求，其中需要长为的钢管88根，长为的钢管36根（钢管的粗细均相同），并要求这些用料不能是焊接而成的．现钢材市场的这种规格的钢管每根都为．
(1)试问一根6米长的钢管有哪些裁剪方法呢？请填写下空(余料作废)．
方法1：当只裁剪长为1.2米的用料时，最多可剪_____________根；
方法2：当先剪下1根2.3米的用料时，余下部分最多能剪1.2米长的用料_____________根；
方法3：当先剪下2根2.3米的用料时，余下部分最多能剪1.2米长的用料_____________根．
(2)联合用（1）中的方法2和方法3各裁剪多少根6米长的钢管，才能刚好得到所需要的相应数量的材料？
(3)小明经过探究发现：如果联合（1）中的二种裁剪方法，还有一种不同于（2）中的方案能刚好得到所需要的相应数量的材料，请写出这个裁剪方案，并说理理由．
【答案】(1)；；；
(2)方法2剪28根，方法3剪4根；
(3)方法1剪14根，方法3剪18根．
【知识点】有理数的除法运算、分配问题(二元一次方程组的应用)
【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，根据题目中所给的信息合理列出方程是解题的关键．
（1）由总数每份数份数解答即可；
（2）设用方法2剪根，用方法3剪根，根据需要长为的钢管88根，长为的钢管36根列出方程运算即可；
（3）设用方法1剪根，用方法3剪根，根据需要长为的钢管88根，长为的钢管36根列出方程运算即可．
【详解】（1）解：方法1：，最多可剪根；
方法2：，最多可剪根；
方法3：，最多可剪根；
故答案为：；；；
（2）解：设用方法2剪根，用方法3剪根长的钢管才能刚好得到所需要的相应数量的材料，
∴，
解得：；
∴用方法2剪28根，方法3剪4根长的钢管，才能刚好得到所需要的相应数量的材料；
（3）解：设用方法1剪根，用方法3剪根长的钢管才能刚好得到所需要的相应数量的材料，
∴，
解得：；
∴用方法1剪14根，方法3剪18根长的钢管，才能刚好得到所需要的相应数量的材料；
考点3：和差倍分问题
典例3：5月31日至6月2日，2024年国家非遗道州龙船赛在潇水河上隆重举行．道州龙船船头造型分龙、虎、凤、麒麟四大类，按色彩又分“六龙五虎”和“金凤银麒”，代表着每个村落社区特有的宗族信仰、文化标识和审美意趣．据了解本次比赛共计条龙船参赛，创造了一项新的吉尼斯世界记录，其中“六龙五虎”龙船数量比“金凤银麟”龙船数量的倍少条，则参赛的“金凤银麒”龙船为 条．
【答案】
【知识点】和差倍分问题(二元一次方程组的应用)
【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设参赛的“六龙五虎”龙船为条，参赛的“金凤银麒”龙船为条，根据：本次比赛共计条龙船参赛，其中“六龙五虎”龙船数量比“金凤银麟”龙船数量的倍少条，可列出方程组，求解即可．正确理解题意，找出等量关系是解题的关键．
【详解】解：设参赛的“六龙五虎”龙船为条，参赛的“金凤银麒”龙船为条，
依题意，得：，
解得：，
∴参赛的“金凤银麒”龙船为条．
故答案为：．
【变式1】某校举办初中生数学素养大赛，比赛共设四个项目：七巧拼图、趣题巧解、数学应用和魔方复原，每个项目得分都按一定百分比折算后记入总分，并规定总分在85分以上（含85分）设为一等奖．下表为甲、乙、丙三位同学的得分情况（单位：分），其中甲的部分信息不小心被涂黑了．
据悉，甲、乙、丙三位同学的七巧拼图和魔方复原两项得分折算后的分数之和均为20分．设趣题巧解和数学应用两个项目的折算百分比分别为x和y，请用含x和y的二元一次方程表示乙同学“趣题巧解和数学应用”两项得分折算后的分数之和为 ；如果甲获得了大赛一等奖，那么甲的“数学应用”项目至少获得 分．
【答案】 或 90
【知识点】和差倍分问题(二元一次方程组的应用)、用一元一次不等式解决几何问题、求加权平均数
【分析】（1）根据加权平均数的定义即可列出含x和y的二元一次方程；
（2）先根据乙和丙的折算分列方程组求出x和y的值，再根据“85分以上（含85分）设为一等奖”列不等式求解即可．
【详解】（1）由题意得
或；
（2）由题意得
，
解得
．
设甲的数学应用得了m分，由题意得
95×0.4+0.3m≥85-20，
解得m≥90，
∴甲的“数学应用”项目至少获得90分．
【点睛】本题考查了加权平均数的定义，二元一次方程组的应用，以及一元一次不等式的应用，根据题意列出方程组和不等式是解答本题的关键．
【变式2】 在一次葡萄酒展会上，为方便送达相应客户，某葡萄酒商人决定租用40辆无人车运送A，B，C三种葡萄酒共310箱，按计划，40辆无人车都要装运，每辆无人车只能装运同一种葡萄酒，且必须装满，根据如表提供的信息，解答下列问题：
葡萄酒种类 A B C
每辆无人车装载量（箱） 6 8 9
(1)如果装运C种葡萄酒需16辆无人车，那么装运A，B两种葡萄酒各需多少辆无人车？
(2)如果装运每种葡萄酒至少需要11辆无人车，那么无人车的装运方案有哪几种？
【答案】(1)装运A种葡萄酒需13辆无人车，装运B种葡萄酒需11辆无人车；
(2)无人车的装运方案共有3种，
方案1：用11辆无人车装运A种葡萄酒，17辆无人车装运B种葡萄酒，12辆无人车装运C种葡萄酒；
方案2：用12辆无人车装运A种葡萄酒，14辆无人车装运B种葡萄酒，14辆无人车装运C种葡萄酒；
方案3：用13辆无人车装运A种葡萄酒，11辆无人车装运B种葡萄酒，16辆无人车装运C种葡萄酒．
【知识点】方案问题(二元一次方程组的应用)、和差倍分问题(二元一次方程组的应用)
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组（或二元一次方程）是解题的关键．
（1）设装运种葡萄酒需辆无人车，装运种葡萄酒需辆无人车，根据“葡萄酒商人决定租用40辆无人车运送，，三种葡萄酒共310箱，按计划，40辆无人车都要装运，每辆无人车只能装运同一种葡萄酒，且必须装满”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设用辆无人车装运种葡萄酒，用辆无人车装运种葡萄酒，则用辆无人车装运种葡萄酒，根据租用的40辆无人车恰好可以运送，，三种葡萄酒共310箱，可列出关于，的二元一次方程，结合，，均为不小于11的正整数，即可找出各装运方案．
【详解】（1）解：设装运种葡萄酒需辆无人车，装运种葡萄酒需辆无人车，
根据题意得：，
解得：．
答：装运种葡萄酒需13辆无人车，装运种葡萄酒需11辆无人车；
（2）解：设用辆无人车装运种葡萄酒，用辆无人车装运种葡萄酒，则用辆无人车装运种葡萄酒，
根据题意得：，
，
又，，均为不小于11的正整数，
或或，
无人车的装运方案共有3种，
方案1：用11辆无人车装运种葡萄酒，17辆无人车装运种葡萄酒，12辆无人车装运种葡萄酒；
方案2：用12辆无人车装运种葡萄酒，14辆无人车装运种葡萄酒，14辆无人车装运种葡萄酒；
方案3：用13辆无人车装运种葡萄酒，11辆无人车装运种葡萄酒，16辆无人车装运种葡萄酒．
【变式3】某地独特的气候资源，生产的洋芋品质好、干物质含量高且耐储存，品质、色泽、风味明显优于其他洋芋产区，因而受到国内外客商青睐，现欲将一批洋芋运往外地销售，若用2辆A型车和1辆B型车载满洋芋一次可运走10吨；用1辆A型车和2辆B型车载满洋芋一次可运走11吨．现有洋芋31吨，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满洋芋（两种车都租用）．根据以上信息，解答下列问题：
(1)1辆A型车和1辆B型车都载满洋芋一次可分别运送多少吨？
(2)请你帮该物流公司设计租车方案．
【答案】(1)1辆A型车载满洋芋一次可运送3吨，1辆B型车载满洋芋一次可运送4吨
(2)该物流公司共有3种租车方案，见解析
【知识点】二元一次方程的解、方案问题(二元一次方程组的应用)、和差倍分问题(二元一次方程组的应用)
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组．
（1）设1辆A型车载满洋芋一次可运送x吨，1辆B型车载满洋芋一次可运送y吨，根据题意列出二元一次方程组求解即可；
（2）根据题意得到，然后由a，b都是正整数求解即可．
【详解】（1）解：设1辆A型车载满洋芋一次可运送x吨，1辆B型车载满洋芋一次可运送y吨，
依题意得：，
解得．
答：1辆A型车载满洋芋一次可运送3吨，1辆B型车载满洋芋一次可运送4吨．
（2）解：∵现有洋芋31吨，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，
∴，
∵a，b都是正整数，
∴当时，；当时，；当时，；
∴该物流公司共有3种租车方案：
方案1：租用9辆A型车，1辆B型车
方案2：租用5辆A型车，4辆B型车；
方案3：租用1辆A型车，7辆B型车．
考点4：数学文化问题
典例4：《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中方程术是重要的数学成就．书中有一个方程问题：“五只雀，六只燕，共重1斤（等于16两），雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，问：每只雀、燕的重量各为多少？”答：每只雀有 两，每只燕有 两．
【答案】 / /
【知识点】古代问题(二元一次方程组的应用)
【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组．设每只雀有x两，每只燕有y两，根据五只雀、六只燕，共重1斤（等于16两），雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，列方程组求解即可．
【详解】解：设每只雀有x两，每只燕有y两，
由题意得，，整理得：，
解得：，
则每只雀有两，每只燕有两．
故答案为：，．
【变式1】《九章算术》是中国古代的数学专著，下面这道题是《九章算术》中第七章的一道题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？”译文：“几个人一起去购买某物品，如果每人出8钱，则多了3钱；如果每人出7钱，则少了4钱．问有多少人，物品的价格是多少？”设有x人，物品价格为y钱，可列方程组为 ．
【答案】
【知识点】古代问题(二元一次方程组的应用)
【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意．设有x人，物品价格为y钱，根据每人出8钱，则多了3钱；如果每人出7钱，则少了4钱，列出方程组即可．
【详解】解：设有x人，物品价格为y钱，
根据题意得：，
故答案为：．
【变式2】 我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？”意思是：“几个人一起去购买某物品，每人出8钱，则多出3钱；每人出7钱，则还差4钱，问人数和物品的价格分别是多少？”请你用二元一次方程组的知识解答这个问题．
【答案】人数为人，物品的价格为钱
【知识点】古代问题(二元一次方程组的应用)
【分析】此题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是根据题意列出方程组即可求解．设人数为人，物品的价格为钱，根据题意列出二元一次方程组即可求解．
【详解】解：设人数为人，物品的价格为钱，
由题知，，
解得：，
答：人数为人，物品的价格为钱．
【变式3】《九章算术》是我国乃至世界数学史上的瑰宝，尤其是方程思想
(1)“方程”二字最早见于我国《九章算术》这部经典著作中，该书的第八章名为“方程”如： 从左到右列出的算筹数分别表示方程中未知数，的系数与相应的常数项，即可表示方程，求： 表示的方程
(2)我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？”意思是：“几个人一起去购买某物品，每人出8钱，则多出3钱；每人出7钱，则还差4钱．问人数、物品的价格分别是多少？”
【答案】(1)
(2)共有7人；物品的价格为53元
【知识点】古代问题(二元一次方程组的应用)、古代问题(一元一次方程的应用)
【分析】本题考查一元一次方程以及二元一次方程的实际应用．
（1）根据横着的算筹为10，竖放的算筹为1，依次表示x，y的系数与等式后面的数字，即可列方程，然后组成方程组；
（2）根据总钱数不变列式求解即可得到答案．
【详解】（1）
解：表示的方程是；
（2）解：设有人，则物品的价格为钱，由题意可得，
，
解得：，
∴，
答：共有7人；物品的价格为53元．
考点5：工程问题
典例5：市域（郊）成都至德阳段（线），全长约70公里，估计投资187亿．2023年3月开建，2026年12月达初期运行．中铁二院某工程队负责德阳市区某段建设，分两个班组分别从德阳南站和四川建院站同时开工掘进．已知甲组比乙组平均每天多掘进2.4米，经过5天施工，两组共掘进了110米．则甲班组平均每天掘进 米．
【答案】12.2
【知识点】工程问题(二元一次方程组的应用)
【分析】本题主要考查二元一次方程组的实际应用，弄清题意挖掘题目蕴含的相等关系，据此列出方程组是解题的关键．
设甲班组平均每天掘进x米、乙班组平均每天掘进y米，根据“甲组比乙组平均每天多掘进2.4米，经过5天施工，两组共掘进了110米”列方程组求解可得．
【详解】解：设甲班组平均每天掘进x米、乙班组平均每天掘进y米．根据题意得：
，解得：．
答：甲班组平均每天掘进12.2米、乙班组平均每天掘进9.8米．
故答案为：12.2
【变式1】一家商店进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元，若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付费用3480元，问：甲、乙两组工作一天，商店各应付多少钱？设：甲组工作一天商店应付x元，乙组工作一天商店付y元．列二元一次方程组为 ．
【答案】．
【知识点】工程问题(二元一次方程组的应用)
【分析】（1）设甲组工作一天，商店各应付x元，乙组工作一天，商店各应付y元，根据等量关系甲做8天需要的费用＋乙作8天需要的费用＝3520元．甲组6天需付的费用＋乙做12天需付的费用＝3480元，由此可得出方程组．
【详解】解：设：甲组工作一天商店应付x元，乙组工作一天商店付y元．
由题意得．
故答案为．
【点睛】本题主要考查二元一次方程组的实际问题的应用，解题的关键是读懂题目的意思，根据题目给出的条件，设出未知数，分别找出甲组和乙组对应的工作时间，找出合适的等量关系，列出方程组．
【变式2】 为打造集休闲娱乐、健身运动、观光旅游、体验自然等于一体的多功能活动区域．深圳湾公园海滨步道现有一段长350米的河边道路需整治，任务由，两个工程队先后接力完成，工程队每天整治15米，工程队每天整治10米，共用时30天．
根据题意，甲、乙两位同学分别列出了如下不完整的方程组：
甲：乙：
从甲、乙两位同学所列方程组中任选一组，补全以下解题过程，并利用此方程组求出，两个工程队分别整治河边道路多少米．
解：选择的方程组为____________（填“甲”或“乙”） 设为_______________________； 为_________________________．
【答案】见解析
【知识点】工程问题(二元一次方程组的应用)
【分析】本题考查二元一次方程组解应用题，涉及二元一次方程组的解法，根据“两个工程队总共完成350米，共用时30天”分别列方程，求解即可得到答案．
【详解】解：选择的方程组为甲，
设为工程队工作的天数；
为工程队工作的天数．
根据提意得，
解此方程组得，
，，
答：，两个工程队分别整治河边道路150米和200米；
选择的方程组为乙，
设为工程队整治河边道路长度；
为工程队整治河边道路长度．
根据提意得，
解此方程组得，
答：，两个工程队分别整治河边道路150米和200米；
【变式3】随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车制造商开发了一款新能源汽车，计划一年生产安装360辆．由于抽调不出足够的熟练工来完成安装任务，工厂决定招聘部分新工人，他们经过培训后也能独立进行新能源汽车的安装．生产开始后，调研部门发现：1名熟练工和3名新工人每月可安装12辆新能源汽车；2名熟练工和5名新工人每月可以安装22辆新能源汽车．
(1)每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆新能源汽车？
(2)如果工厂招聘n（）名新工人，使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务，那么工厂有哪几种新工人的招聘方案？
(3)在（2）的条件下，工厂给安装新能源汽车的每名熟练工人每月发放4000元的工资，给每名新工人每月发2400元的工资，那么工厂应招聘多少名新工人，使新工人的数量多于熟练工，同时工厂每月支出的工资总额W（元）尽可能少？
【答案】(1)每名熟练工每月可以安装6辆电动汽车，每名新工人每月可以安装2辆电动汽车
(2)工厂有3种新工人的招聘方案：①新工人9人，熟练工2人；②新工人6人，熟练工3人；③新工人3人，熟练工4人
(3)应招聘6名新工人
【知识点】方案问题(二元一次方程组的应用)、工程问题(二元一次方程组的应用)
【分析】本题主要考查二元一次方程组和二元一次方程的应用，解题的关键是要能够理解题意，正确找到等量关系和不等关系，熟练解方程组和根据条件分析不等式中未知数的值．
（1）设每名熟练工每月可以安装辆电动汽车，每名新工人每月可以安装辆电动汽车．根据“1名熟练工和3名新工人每月可安装12辆新能源汽车”和“2名熟练工和5名新工人每月可以安装22辆新能源汽车”列方程组求解．
（2）设工厂有名熟练工．根据新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务，根据，都是正整数和，进行分析的值的情况；
（3）根据总费用熟练工人的费用新工人的费用列出代数式，分别代入（2）中方案，计算比较即可得出结论．
【详解】（1）解：设每名熟练工每月可以安装辆电动汽车，每名新工人每月可以安装辆电动汽车．
根据题意得：，
解得：．
答：每名熟练工每月可以安装6辆电动汽车，每名新工人每月可以安装2辆电动汽车．
（2）解：设工厂有名熟练工．
根据题意，得，
，
，
又，都是正整数，，
所以，6，3．
即工厂有3种新工人的招聘方案：
①，，即新工人9人，熟练工2人；
②，，即新工人6人，熟练工3人；
③，，即新工人3人，熟练工4人．
（3）解：由（2）新工人的招聘方案：要使新工人的数量多于熟练工，则，或，；
根据题意得：．
当时，（元）
当时，（元）
，
当，时，即工厂应招聘6名新工人，使新工人的数量多于熟练工，同时工厂每月支出的工资总额（元）尽可能少．
考点6：行程问题
典例6：A，B两地相距，甲骑电动车从A地出发到B地，与此同时，乙骑电动车从B地出发到A地，两人均保持匀速行驶．已知第两人相遇，又经过，甲剩余路程是乙剩余路程的8倍，则甲的骑行速度为 ．
【答案】
【知识点】行程问题(二元一次方程组的应用)
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设甲的骑行速度为，乙的骑行速度为，根据第10分钟两人相遇，又经过4分钟，甲剩余路程是乙剩余路程的8倍．列出二元一次方程组，解方程组即可．
【详解】解：设甲的骑行速度为，乙的骑行速度为，
依题意得：，
解得：，
∴甲的骑行速度为．
故答案为：．
【变式1】同型号的甲、乙两辆测试车加满气体燃料后均可行驶千米，即它们各自单独行驶并返回的最远距离是千米．现在它们都从地出发，行驶途中停下来从甲车的气体燃料桶抽一些气体燃料注入乙车的气体燃料桶，然后甲车立即掉头返回地，乙车继续行驶，到地后立即掉头返回地．最终两车都到达地，则地最远可距离地 千米．
【答案】
【知识点】行程问题(二元一次方程组的应用)
【分析】本题考查了二元一次方程组在行程问题中的应用，设甲行驶到地时返回，到达地燃料用完，乙行驶到地再返回地时燃料用完，根据题意得到关于和的二元一次方程组，解方程组即可求解，理清题中的数量关系，正确列出方程组是解题的关键.
【详解】解：设甲行驶到地时返回，到达地燃料用完，乙行驶到地再返回地时燃料用完，
如图，设，，
根据题意得，，
解得，
∴最远为千米，
故答案为：．
【变式2】 小贵、小港两人从相距的两地相向而行．
(1)若小贵比小港先走，则他们在小港出发后相遇；若小港比小贵先走，则他们在小贵出发后相遇，求小贵、小港两人每小时各走多少千米？
(2)如果他们同时出发，并保持（1）中的速度，那么后两人还相距多少千米？
【答案】(1)小贵每小时走，小港每小时走
(2)后两人相距
【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、行程问题(二元一次方程组的应用)
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
（1）设小贵每小时走，小港每小时走，根据“若小贵比小港先走，则他们在小港出发后相遇；若小港比小贵先走，则他们在小贵出发后相遇”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）根据后两人间的距离两人的速度之和运动时间，即可求出结论．
【详解】（1）解：设小贵每小时走，小港每小时走，
依题意，得：，
解得：；
答：小贵每小时走，小港每小时走．
（2）解：，
答：后两人相距．
【变式3】甲、乙两车分别从相距千米的，两地相向而行．
(1)两车均保持匀速行驶且甲车的速度是乙车速度的2倍，若甲车比乙车提前2小时出发，则甲车出发后3小时两车相遇．求甲、乙两车的速度分别是多少（单位：千米/小时）？
(2)如果甲、乙两车保持（1）中的速度，两车同时出发相向而行，求经过多少小时两车相距30千米？
【答案】(1)甲车的速度是60千米/小时，乙车的速度是30千米/小时
(2)小时或小时
【知识点】行程问题(一元一次方程的应用)、行程问题(二元一次方程组的应用)
【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次方程的实际应用，正确理解题意，根据题意找出等量关系是解题的关键．
（1）设甲车的速度是千米/小时，乙车的速度是千米/小时，根据题意列出方程组求解即可；
（2）设经过小时两车相距30千米，然后进行分类讨论：当两车未相遇时，当两车相遇后，分别列出方程求解即可．
【详解】（1）解：设甲车的速度是千米/小时，乙车的速度是千米/小时，
根据题意，得
解得，
答：甲车的速度是60千米/小时，乙车的速度是30千米/小时．
（2）解：设经过小时两车相距30千米，
根据题意，得：
当两车未相遇时，，
解得，
当两车相遇后，，
解得，
答：经过2小时或小时两车相距30千米．
考点7：销售利润问题
典例7：某水果零售商店分两批次从批发市场共购进杨梅箱，已知第一、二次的进货价分别为每箱元、元，且第二次比第一次多付款元．若商店对这箱杨梅先按每箱元销售了x箱，剩下的按每箱元全部售完，则当x的值为 时，商店才正好不亏本．
【答案】
【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用)、销售、利润问题(二元一次方程组的应用)
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意得出等量关系并列出方程组是解题的关键．
根据题意列方程组求出第一次和第二次分别购进的数量，再根据利润=销售总收入-进货总成本，即可求出恰好不亏本时的值．
【详解】解：设第一次购进a箱，第二次购进箱，根据题意得：
，
解得：，
∴第一次购进箱，第二次购进箱，
∵箱杨梅先按每箱元销售了x箱，剩下的按每箱元全部售完，且商店正好不亏本，
∴，
解得：．
故答案为：．
【变式1】某服装店用6000元购进A，B两种新款服装，按标价售出后获得毛利润为3800元（毛利润标价进价）．这两种服装的进价、标价如下表所示，则这两种服装共购进 件．
A B
进价/（元/件） 60 100
标价/（元/件） 100 160
【答案】80
【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)
【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，解此题的关键在于根据题意设出未知数，列出二元一次方程组，然后求解方程组即可．
设A种服装购进x件，B种服装购进y件，根据题意列出关于的二元一次方程组，然后求解即可．
【详解】解：设A种服装购进x件，B种服装购进y件．
由题意，得，
解得．
故A种服装购进50件，B种服装购进30件，
则这两种服装共购进件．
故答案为：80．
【变式2】 随着中国传统节日“端午节”的临近，某商场决定开展“欢度端午，回馈顾客”的让利促销活动，对部分品牌的粽子进行打折销售，其中甲品牌粽子打八折，乙品牌粽子打七五折．已知打折前，买6盒甲品牌粽子和3盒乙品牌粽子需660元；打折后，买5盒甲品牌粽子和4盒乙品牌粽子需520元．
(1)打折前甲、乙两种品牌的粽子每盒分别多少元？
(2)阳光敬老院需购买甲品牌粽子80盒、乙品牌粽子100盒，那么打折后购买这批粽子比不打折节省了多少钱？
【答案】(1)打折前甲品牌粽子每盒70元，乙品牌粽子每盒80元
(2)打折后购买这批粽子比不打折节省了3120元
【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、销售、利润问题(二元一次方程组的应用)
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组；
（1）设打折前甲品牌粽子每盒x元，乙品牌粽子每盒y元，根据“打折前，买6盒甲品牌粽子和3盒乙品牌粽子需600元；打折后，买5盒甲品牌粽子和4盒乙品牌粽子需要520元”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）根据节省钱数原价购买所需钱数打折后购买所需钱数，即可求出节省的钱数．
【详解】（1）解：设打折前甲品牌粽子每盒x元，乙品牌粽子每盒y元，
根据题意得：，
解得：，
答：打折前甲粽子每盒70元，乙粽子每盒80元；
（2）解：（元），
所以，打折后购买这批粽子比不打折节省了3120元．
【变式3】耀州瓷是北方青瓷的代表，出产于陕西省，以瓷质细腻，色泽青翠晶莹、线条明快流畅、造型端庄浑朴著称于世．某瓷器超市有A、B两种规格的倒装壶瓷器按定价销售，已知3件A种规格的倒装壶瓷器和2件B种规格的倒装壶瓷器总售价为1700元，4件A种规格的倒装壶瓷器和1件B种规格的倒装壶瓷器总售价为1600元．
(1)分别求出每件A种规格的倒装壶瓷器和每件B种规格的倒装壶瓷器的定价；
(2)旅游旺季期间，某天该瓷器超市通过销售这两种规格的倒装壶瓷器共获得3600元，且两种规格的倒装壶瓷器都有销售，请你计算该超市这天所有可能的销售方案（即每种规格的倒装壶瓷器各销售了多少件）．
【答案】(1)每件A种规格的倒装壶瓷器的定价为300元，每件B种规格的倒装壶瓷器的定价为400元；
(2)该超市这天一共有两种销售方案：销售A种规格的倒装壶瓷器8件，销售B种规格的倒装壶瓷器3件；销售A种规格的倒装壶瓷器4件，销售B种规格的倒装壶瓷器6件．
【知识点】二元一次方程的解、销售、利润问题(二元一次方程组的应用)
【分析】本题主要考查了二元一次方程的实际应用，二元一次方程组的实际应用：
（1）设每件A种规格的倒装壶瓷器的定价为x元，每件B种规格的倒装壶瓷器的定价为y元，根据3件A种规格的倒装壶瓷器和2件B种规格的倒装壶瓷器总售价为1700元，4件A种规格的倒装壶瓷器和1件B种规格的倒装壶瓷器总售价为1600元列出方程组求解即可；
（2）设销售A种规格的倒装壶瓷器m件，销售B种规格的倒装壶瓷器n件，根据共获得3600元可得关于m、n的二元一次方程，求出该方程的正整数解即可得到答案．
【详解】（1）解：设每件A种规格的倒装壶瓷器的定价为x元，每件B种规格的倒装壶瓷器的定价为y元，
由题意得，，
解得，
答：每件A种规格的倒装壶瓷器的定价为300元，每件B种规格的倒装壶瓷器的定价为400元；
（2）解：设销售A种规格的倒装壶瓷器m件，销售B种规格的倒装壶瓷器n件，
由题意得，，
∴，
∴，
∵m、n都是正整数，
∴当时，；
当时，；
∴该超市这天一共有两种销售方案：销售A种规格的倒装壶瓷器8件，销售B种规格的倒装壶瓷器3件；销售A种规格的倒装壶瓷器4件，销售B种规格的倒装壶瓷器6件．
考点8：方案问题
典例8：某公司后勤部准备去超市采购牛奶和咖啡若干箱，现有两种不同的购买方案，如下表：
（1）采购人员不慎将污渍弄到表格上，根据表中的数据，判断污渍盖住地方对应金额是 元；
（2）若后勤部购买牛奶25箱，咖啡20箱，则需支付金额1750元，进行打六折的促销活动，后勤部根据需要选择原价或打折的咖啡和牛奶，此次采购共花费了元，其中购买打折的牛奶箱数是所有牛奶、咖啡的总箱数的，则此次按原价采购的咖啡有 箱（直接写出答案）．
牛奶（箱） 咖啡（箱） 金额（元）
方案一 20 10 1100
方案二 30 15
【答案】 1650 6
【知识点】方案问题(二元一次方程组的应用)
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用，找准等量关系是解题的关键．
（1）设牛奶一箱x元，咖啡一箱y元，根据题意列出方程即可得到答案；
（2）①设牛奶一箱x元，咖啡一箱y元，根据题意列出方程组，求解即可；
②设牛奶与咖啡总箱数为a，则打折的牛奶箱数为，设原价咖啡为b箱，则打折咖啡与原价牛奶共有，列出方程求出答案即可．
【详解】解：（1）设牛奶一箱x元，咖啡一箱y元，
由题意得：，
（元），
故答案为：1650；
（2）设牛奶一箱x元，咖啡一箱y元，
由题意得：，
解得：，
答：牛奶每箱为30元，咖啡每箱为50元；
设牛奶与咖啡总箱数为a，则打折的牛奶箱数为，
打折牛奶价格为：（元），打折咖啡价格为：（元），
即打折咖啡价格与牛奶原价相同，
设原价咖啡为b箱，则打折咖啡与原价牛奶共有，
由题意得：
整理得：，
a、b均为正整数，
或，
，
，
即此次按原价采购的咖啡有6箱，
故答案为：6．
【变式1】年级花费元用来购买甲、乙两种奖品（两种奖品都购买），奖励知识竞赛中的获奖同学，若甲种奖品每件元，乙种奖品每件元，则购买方案有 种.
【答案】
【知识点】方案问题(二元一次方程组的应用)
【分析】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．设购买件甲种奖品，件乙种奖品，利用总价单价数量，即可得出关于，的二元一次方程，结合，均为正整数，即可求解．
【详解】解：设购买件甲种奖品，件乙种奖品，
依题意得：，
．
又 ，均为正整数，
或或，
共有种购买方案．
故答案为：．
【变式2】 随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，某汽车店到汽车城计划购进一批新能源汽车进行销售．据了解，购进辆型新能源汽车、辆型新能源汽车共需万元；购进辆型新能源汽车、辆型新能源汽车共需95万元．
(1)问两种型号的新能源汽车每辆进价分别为多少万元？
(2)若该公司计划正好用万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请设计出符合要求的所有购买方案．
(3)在问题（2）的条件下，销售辆型汽车可获利万元，销售辆型汽车可获利万元．假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案所获利润最大？请求出最大利润．
【答案】(1)每辆型车的进价为万元，每辆型车的进价为万元
(2)共有3中方案，方案一：购买型车辆，购买型车辆；方案二：购买型车辆，购买型车辆；方案三：购买型车辆，购买型车辆
(3)方案一获得利润最大，最大利润为万元
【知识点】方案问题(二元一次方程组的应用)、销售、利润问题(二元一次方程组的应用)
【分析】本题主要考查二元一次方程组的运用，二元一次方程根的计算，理解数量关系，正确列式计算是解题的关键．
（1）设每辆型车的进价为万元，每辆型车的进价为万元，列二元一次方程组求解即可；
（2）设购买型车辆，购买型车辆，由此列式，代值计算即可求解；
（3）根据利润的计算，进行比价即可求解．
【详解】（1）解：设每辆型车的进价为万元，每辆型车的进价为万元，
∴，
解得，，
∴每辆型车的进价为万元，每辆型车的进价为万元；
（2）解：设购买型车辆，购买型车辆，
∴，
∴，
∴是的倍数，且是正整数，
当时，，不符合题意；
当时，，，符合题意；
当时，，不符合题意；
当时，，，符合题意；
当时，，符合题意；
当时，，，符合题意；
当时，，符合题意；
∴共有3中方案，方案一：购买型车辆，购买型车辆；方案二：购买型车辆，购买型车辆；方案三：购买型车辆，购买型车辆；
（3）解：方案一：购买型车辆，购买型车辆，利润为（万元）；
方案二：购买型车辆，购买型车辆，利润为（万元）；
方案三：购买型车辆，购买型车辆，利润为（万元）；
∵，
∴方案一获得利润最大，最大利润为万元．
【变式3】某商店分两次购进A，B型两种台灯进行销售，两次购进的数量及费用如下表所示，由于物价上涨，第二次购进A，B型两种台灯时，两种台灯每台进价分别上涨，．
购进的台数 购进所需要的费用（元）
A型 B型
第一次 10 20 3000
第二次 15 10 4500
(1)求第一次购进A，B型两种台灯每台进价分别是多少元？
(2)A，B型两种台灯销售单价不变，第一次购进的台灯全部售出后，获得的利润为2800元，第二次购进的台灯全部售出后，获得的利润为1800元．
①求A，B型两种台灯每台售价分别是多少元？
②若按照第二次购进A，B型两种台灯的价格再购进一次，将再次购进的台灯全部售出后，要想使获得的利润为740元，求有哪几种购进方案？
【答案】(1)第一次购进A型台灯每台进价为200元，B型台灯每台进价为50元
(2)①A型台灯每台售价为340元，B型台灯每台售价为120元；②有3种购进方案：购进A型台灯1台，B型台灯11台；购进A型台灯4台，B型台灯7台；购进A型台灯7台，B型台灯3台
【知识点】方案问题(二元一次方程组的应用)、销售、利润问题(二元一次方程组的应用)
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找出等量关系式，正确列出方程（组）是解题的关键．
（1）根据等量关系式：第一次购买台A型台灯的费用第一次购买台B型台灯的费用元，第二次购买台A型台灯的费用第二次购买台B型台灯的费用元，列出方程组，接可求解；
（2）①根据等量关系式：第一次的台A型台灯的利润第一次的台B型台灯的利润元，第二次的台A型台灯的利润第二次购买台B型台灯的利润元，列出方程组，接可求解；
②设再购进A型台灯a台，B型台灯台，由按第二次购买的价格购买，a台A型台灯售出获得利润 台B型台灯售出获得利润元，列方程即可求解．
【详解】（1）解：设第一次购进A型台灯每台进价为x元，B型台灯每台进价为y元，
由题意得：，
解得：，
答：第一次购进A型台灯每台进价为200元，B型台灯每台进价为50元．
（2）解：①设A型台灯每台售价为m元，B型台灯每台售价为n元，
由题意得：，
解得，，
答：A型台灯每台售价为340元，B型台灯每台售价为120元；
②第二次购进的A型台灯的价格为：（元），B型台灯的价格为：（元），
设购进A型台灯a台，B型台灯台，
由题意得：，
整理得：，
∴
a、b为自然数，
或或，
有3种购进方案：
购进A型台灯1台，B型台灯11台；购进A型台灯4台，B型台灯7台；购进A型台灯7台，B型台灯3台；
考点9：数字问题
典例9：“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，中国古代数学史上经常研究这一神话．数学上的“九宫图”所体现的是一个表格，一行的三个数，列的三个数，斜对角的三个数之和都相等，也称为三阶幻方，如图是一个满足条件的三阶幻方的一部分，则的值为 ．
【答案】0
【知识点】数字问题(二元一次方程组的应用)
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．根据每一行的三个数、每列的三个数、斜对角的三个数之和都相等，列出二元一次方程组，解方程组，即可得出结论．
【详解】解：根据题意得：，
解得：，
，
故答案为：0．
【变式1】我国南宋数学家杨辉在其所著《续古摘奇算法》中的攒九图一节中提出了“幻圆”的概念．如图是一个二阶幻圆模型，其内外两个圆周上四个数字之和以及外圆两直径上的四个数字之和都相等，则 ．
【答案】3
【知识点】数字问题(二元一次方程组的应用)
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，正确理解题意列出对应的方程组求解是解题的关键．根据内外两个圆周上四个数字之和以及外圆两直径上的四个数字之和都相等列出方程组求解即可．
【详解】解：由题意得，，
即，
两式相加得：
，
故答案为：3．
【变式2】 某两位数，两个数位上的数之和为11．这个两位数加上45，得到的两位数恰好等于原两位数的两个数字交换位置所表示的数，求原两位数．
(1)列一元一次方程求解．
(2)设原两位数的十位数字为，个位数字为，列二元一次方程组求解．
【答案】(1)38
(2)38
【知识点】数字问题(一元一次方程的应用)、数字问题(二元一次方程组的应用)
【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及由实际问题抽象出二元一次方程组．
（1）设原两位数的个位数字为，则十位数字为，根据原两位数等于原两位数的两个数字交换位置所表示的数，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）设原两位数的十位数字为，个位数字为，根据原两位数两个数位上的数之和为11及原两位数等于原两位数的两个数字交换位置所表示的数，即可得出关于，的二元一次方程组，解方程即可．
【详解】（1）解：设原两位数的个位数字为，则十位数字为，
依题意，得：，
解得：，
，
∴原两位数为38；
（2）解：设原两位数的十位数字为，个位数字为，
依题意，得：，
解得，
∴原两位数为38．
【变式3】在我国民间流传着许多诗歌形式的数学算题，这些题目叙述生动、活泼，它们大都是关于方程或方程组的应用题．由于诗歌的语言通俗易懂、雅俗共赏，因而一扫纯数学的枯燥无味之感，令人耳目一新，回味无穷．请根据下列诗意列方程组解应用题．
(1)周瑜寿属：而立之年督东吴，早逝英年两位数；十比个位正小三，个位六倍与寿符；哪位同学算得快，多少年寿属周瑜？诗的意思是：周瑜病逝时的年龄是一个大于30的两位数，其十位数上的数字比个位上的数字小3，个位上的数字的6倍正好等于这个两位数，求这个两位数．
(2)悟空顺风探妖踪，千里只用四分钟，归时四分行六百，风速多少请算清．
【答案】(1)这个两位数是36
(2)风速为每分钟50里．
【知识点】行程问题(二元一次方程组的应用)、数字问题(二元一次方程组的应用)
【分析】本题考查了二元一次方程组在实际问题中运用，需要设两个未知数，再寻找建立方程组的两个等量关系．
（1）设这个两位数十位上的数字是x，个位上的数字是y，根据题意列二元一次方程组求解即可；
（2）设悟空的速度为每分钟m里，风速为每分钟n里，根据题意列二元一次方程组求解即可．
【详解】（1）设这个两位数十位上的数字是x，个位上的数字是y，
根据题意，得
解得
答：这个两位数是36；
（2）设悟空的速度为每分钟m里，风速为每分钟n里，
根据题意得，
解得
∴风速为每分钟50里．
考点10：几何问题
典例10：将如图1所示的5个小长方形分别不重叠地放在两个形状、大小完全相同的大长方形中（如图2，3）．已知大长方形的长为，则图3中阴影部分的周长与图2中阴影部分的周长的差是 ．（用含的式子表示）
【答案】/
【知识点】列代数式、整式加减的应用、几何问题(二元一次方程组的应用)
【分析】本题考查了列代数式，二元一次方程组，整式的加减设图1中的小长方形的长和宽分别为： ，大长方形的宽为，根据图形，列二元一次方程组；求得图1的长方形的长和宽，再计算两个图形中阴影部分的周长之差
【详解】设图1中的小长方形的长和宽分别为： ，大长方形的宽为
由图2可知
解得：
由图3可知：
设图2的阴影部分周长为 ，设图3的阴影部分周长为
故答案为：．
【变式1】如图1，在大正方形中剪去一个小正方形，再将图中的阴影剪拼成一个长方形，如图2，这个长方形的长为24，宽为16，则图2中部分的面积是 ．
【答案】64
【知识点】几何问题(二元一次方程组的应用)
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，根据已知建立方程组求解是解题关键．设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，根据在边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形，以及长方形的长为24，宽为16，建立方程组，进而得出a，b的长，即可解题．
【详解】解：设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，
根据题意得出：，
解得：，
故图2中部分的面积是：，
故答案为：64．
【变式2】 现有8个大小相同的长方形，可拼成如图1、2所示的图形，在拼图2时，中间留下了一个边长为2的小正方形，求每个小长方形的面积．
小明设小长方形的长为x，宽为y，观察图形得出关于x、y的二元一次方程组，解出x、y的值，再根据长方形的面积公式得出每个小长方形的面积．
(1)请按照小明的思路完成上述问题：求每个小长方形的面积；
(2)某周末上午，小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，如图3所示．若小明把13个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是______cm；
(3)拓展学习：如图4，是由7块颜色不同的正方形组成的长方形，已知中间小正方形A的边长为1，求这个长方形的面积．
【答案】(1)60
(2)20
(3)63
【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、几何问题(二元一次方程组的应用)
【分析】本题主要题考查了二元一次方程组的应用、一元一次方程的应用等知识点，分析题意、找到合适的等量关系列出方程组和方程是解题的关键．
（1）设小长方形的长为x，宽为y，观察图形即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出x、y的值，再根据长方形的面积公式求解即可；
（2）设每两个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯增高，单独一个纸杯的高度为，观察图形即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出x、y的值，然后根据题意列代数式求值即可；
（3）设1、2、3号正方形的边长为x，则4号正方形的边长为，5号正方形的边长为，6号正方形的边长为；再用两种方式表示出长、宽，然后根据长列出一元一次方程求得x的值，进而求得长方形的长和宽，最后求面积即可．
【详解】（1）解：设小长方形的长为x，宽为y，
根据题意得：，解得：，
∴．
∴每个小长方形的面积为60．
（2）解：设每两个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯增高，单独一个纸杯的高度为，
则，解得，
∴．
∴小明把13个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是．
故答案为：20．
（3）解：设1、2、3号正方形的边长为x，则4号正方形的边长为，5号正方形的边长为，6号正方形的边长为，
∴该长方形的长为或，宽为
∴，解得：，
∴该长方形的长为9，宽为7，
∴这个长方形的面积为．
【变式3】如图，已知的面积是60，请完成下列问题：
(1)如图1，中，若是边上的中线，则的面积 的面积（填“”、“”或“”）；
(2)如图2，若、分别是的边上的中线，求四边形的面积可以用如下方法：连接，设，，联想第一小问结论，通过列方程组来求四边形的面积．
(3)如图3，，，请求出四边形的面积；
【答案】(1)=
(2)四边形的面积为20
(3)
【知识点】几何问题(二元一次方程组的应用)、根据三角形中线求面积
【分析】本题考查了三角形中线的性质、二元一次方程组的应用：
（1）根据中线的性质即可求解；
（2）根据中线的性质可求得，，再根据题意列出二元一次方程组，求得，根据即可求解；
（3）连接，由，得到，同理可得，设，则，，由题意得列方程组即可得到结果．
熟练掌握三角形中线的性质及列出二元一次方程组是解题的关键．
【详解】（1）解： 是边上的中线，
，
故答案为：=．
（2） 是边上的中线，
，
同理，可得．
设，，则．
由题意得，．
可列方程组，
解得：，
．
（3）如图3，连接，如图所示：
∵，
，
，
，
设，则，，
由题意得：，，
可列方程组为：，
解得：，
，
故答案为：．
考点11：图表信息问题
典例11：太原五中计划购置篮球、钢笔、笔记本作为期末奖品，采购员小琪在某文体用品店购买完毕回到学校后发现发票被弄花了，有几个数据变得不清楚，如图所示．
货物或应税劳务、服务名称 篮球 钢笔 笔记本 合计 规格型号 单位 个 支 本 数量 6 46 单价 100.00 15.00 5.00 金额 600.00 900.0 税率 税额
价税合计（大写） 玖佰元整 （小写）900.00
请根据发票中现有的信息，帮助小琪复原弄花的数据，即分别求出购置钢笔、笔记本的数量及对应的金额．
【答案】钢笔的数量为10支，金额为150元，笔记本的数量为30本，金额为150元
【知识点】图表信息题(二元一次方程组的应用)
【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设钢笔购买了x支，笔记本购买了y本，根据数量总和为46，金额综合为900元，列出方程组进行求解即可．
【详解】解：设钢笔购买了x支，笔记本购买了y本，
由题意得，
解得，
则（元），（元），
答：钢笔的数量为10支，金额为150元，笔记本的数量为30本，金额为150元．
【变式1】某山区有23名中小学生因贫困失学需要捐助，资助一名中学生需要学习费用a元，资助一名小学生需要学习费用b元，某校学生积极捐款，初中各年级学生捐款数额与用其恰好能帮助的贫困中学生和小学生人数的部分情况如下表：
七年级 八年级 九年级
捐款数额（元） 4000 4200 7400
捐助贫困中学生（名） 2 3
捐助贫困小学生（名） 4 3
(1)求a、b的值；
(2)九年级学生的捐款解决了其余贫困中小学生的学习费用，请将九年级学生可捐助的贫困中、小学生人数直接填入上表中（不需要写出计算过程）．
【答案】(1)的值是800，的值是600．
(2)九年级学生可捐助的贫困中、小学生人数分别是4，7．
【知识点】图表信息题(二元一次方程组的应用)
【分析】本题考查二元一次方程组的应用，关键是以捐款钱数作为等量关系列方程组求解．
（1）资助一名中学生需要学习费用元，资助一名小学生需要学习费用元，根据表格中提供的七年级和八年级捐款数，和人数可求出和的值．
（2）设九年级学生可捐助贫困中学生人，小学生人，根据该山区贫困生的总人数及九年级捐款数额，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【详解】（1）资助一名中学生需要学习费用元，资助一名小学生需要学习费用元，
，
解得：．
所以的值是800，的值是600．
（2）设初三年级学生可捐助贫困中学生人，小学生人，
依题意得：，
解得：．
∴九年级学生捐助贫困中学生人数为4名，捐助贫困小学生人数为7名．
【变式2】 某公司生产的一种营养品信息如下表．已知甲食材每千克的进价是乙食材的2倍，购买4千克的甲食材比购买5千克的乙食材多花60元．
营养品信息表
营养成分 每千克含铁42毫克
配料表 原料 每千克含铁
甲食材 50毫克
乙食材 10毫克
(1)甲、乙两种食材每千克的进价分别是多少元？
(2)该公司每日用18000元购进甲、乙两种食材并恰好全部用完，那么该公司每日购进甲、乙两种食材各多少千克？
【答案】(1)甲食材每千克的进价为40元，乙食材每千克的进价为20元
(2)该公司每日购进甲食材400千克，乙食材100千克
【知识点】和差倍分问题(一元一次方程的应用)、图表信息题(二元一次方程组的应用)
【分析】（1）设乙食材每千克的进价为a元，则甲食材每千克的进价为2a元，由购买4千克的甲食材比购买5千克的乙食材多花60元建立方程求解即可
（2）抓住两个等量关系列方程求解：一是甲、乙两种食材每日购买的进价和为18000；二是制成营养品的含铁量与甲、乙两种食材含铁量的和相等，列出方程组即可求解．
【详解】（1）设乙食材每千克的进价为a元，则甲食材每千克的进价为2a元，由题意，得
4×2a－5×a＝60，
解得a＝20，
则2a＝40．
答：甲、乙两种食材每千克的进价分别是40元、20元；
（2）设该公司每日购进甲食材x千克，乙食材y千克，
由题意，得
解得
【点睛】本题考查了一元一次方程及一元二次方程组的应用，找出等量关系列方程是解题关键．
【变式3】为响应国家节能减排的号召，鼓励居民节约用电，各省市先后出台了“阶梯价格”制度，如表中是某市的电价标准（每月）．
阶梯 电量x（单位：度） 电费价格
一档 0＜x≤180 a元/度
二档 180＜x≤350 b元/度
三档 x＞350 0.9元/度
(1)已知小明家5月份用电252度，缴纳电费158.4元，6月份用电340度，缴纳电费220元，请你根据以上数据，求出表格中的a，b的值．
(2)7月份开始用电增多，小明家缴纳电费285.5元，求小明家7月份的用电量．
【答案】(1)a的值为0.6，b的值为0.7
(2)415度
【知识点】电费和水费问题(一元一次方程的应用)、图表信息题(二元一次方程组的应用)
【分析】(1)根据各档的电费价格和所用的电数以及所缴纳电费，列出方程组，进行求解即可；
(2)根据题意先判断出小明家所用的电所在的档，再设小明家家7月份用电量为x度，根据价格表列出等式，求出x的值即可．
【详解】（1）解：依题意得：，
解得：．
故a的值为0.6，b的值为0.7．
（2）解：若一个月用电量为350度，电费为180×0.6＋(350﹣180)×0.7=227（元），
∵285.5＞227，
∴小明家7月份用电量超过350度．
设小明家7月份用电量为x度，
依题意得：180×0.6＋(350﹣180)×0.7＋(x﹣350)×0.9=285.5，
解得：x=415．
答：小明家7月份的用电量为415度．
【点睛】此题考查了二元一次方程组的应用和一元一次方程的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的等量关系．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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