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课后限时练9　电场
1．[源于人教版必修三P20科学漫步改编]上海中心大厦是我国最高的摩天大楼，总高为632米，为了防止雷电的危害，大楼顶部装有避雷针，可以主动“接闪”，以此保护大楼的安全。一次雷雨时上海中心大厦“接闪”前积雨云层与避雷针附近产生的电场的电场线和等势面如图所示，实线为电场线，虚线为等差等势面，a、b、c、d是电场中的四个点，靠近避雷针的云底部积聚负电荷，取无穷远处电势为0，下列说法正确的是(　　)
A．a点的电场强度大于c点的电场强度
B．b点的电势高于d点的电势
C．一电子在a点的电势能大于在d点的电势能
D．一质子从b点移动至c点，静电力做正功
2．(2025·1月八省联考河南卷)某电场的电势φ随位置x的变化关系如图所示，O点为坐标原点，a、b、c、d为x轴上的四个点。一带正电粒子从d点由静止释放，在静电力作用下沿x轴运动，不计重力，则粒子(　　)
A．将在a、d之间做周期性运动
B．在d点的电势能大于在a点的电势能
C．在b点与c点所受静电力方向相同
D．将沿x轴负方向运动，可以到达O点
3．(2024·浙江6月选考)如图所示，空间原有大小为E、方向竖直向上的匀强电场，在此空间同一水平面的 M、N两点固定两个等量异种点电荷，绝缘光滑圆环ABCD垂直MN放置，其圆心O在MN的中点，半径为R，AC和BD分别为竖直和水平的直径。质量为m、电荷量为＋q的小球套在圆环上，从A点沿圆环以初速度v0做完整的圆周运动，重力加速度为g，则(　　)
A．小球从A到C的过程中电势能减少
B．小球不可能沿圆环做匀速圆周运动
C．可求出小球运动到B点时的加速度
D．小球在D点受到圆环的作用力方向平行MN
4．如图所示，边长为L的正四面体ABCD的中心为O，A、B两点分别固定等量异种点电荷－q、＋q，下列说法正确的是(　　)
A．C、D两点电场强度大小相等，方向不同
B．C、D两点电势相等
C．将一试探电荷＋Q从C点沿直线移到D点，静电力先做负功后做正功
D．O点电场强度大小为
5．(2025·安徽百师联盟高三下二轮联考三)如图所示，在竖直平面内的长方形abcd内有匀强电场，一质量为m、带电荷量为q的带正电小球从b点进入该长方形后，仅在重力和静电力作用下沿直线匀速运动到d点。长方形长、宽分别为4L和3L，重力加速度为g。则小球从b点运动到d点的过程中，下列说法正确的是(　　)
A．小球电势能增加了3mgL
B．小球机械能增加了5mgL
C．b、d两点的电势差为
D．静电力对小球做的功为4mgL
6．(多选)(2025·河南一模)如图甲所示，两平行金属板A、B的板长和板间距均为d，两板之间的电压随时间周期性变化规律如图乙所示。一不计重力的带电粒子以速度v0从O点沿板间中线射入极板之间，若t＝0时刻进入电场的带电粒子在t＝T时刻刚好沿A板右边缘射出电场，则(　　)
A．t＝0时刻进入电场的粒子在t＝时刻速度大小为v0
B．t＝时刻进入电场的粒子在t＝时刻速度大小为v0
C．t＝时刻进入电场的粒子在两板间的最大偏移量为
D．t＝时刻进入电场的粒子最终平行于极板射出电场
7．(16分)(2025·湖北武汉市武昌区高三下学期5月质量检测)如图所示，在真空中以竖直向上为y轴正方向建立三维直角坐标系O xyz，整个空间内存在沿x轴正方向的匀强电场(图中未画出)。一质量为m、电荷量为q的带电微粒在点M(0，l，0.5l)被静止释放，恰能通过点N(l，0，0.5l)。不计空气阻力，已知重力加速度为g。
(1)M、N两点间的电势差是多少？
(2)若该微粒从M点以初速度v0＝沿z轴正方向出发，则经时间t＝该微粒的位置坐标是多少？
(3)若电场方向变为竖直向上，并在空间添加一沿z轴正方向的匀强磁场，该微粒从M点以初速度v0＝沿x轴正方向出发，仍能运动到N点，则粒子从M点出发经多长时间能经过N点？
课后限时练9
1．C　[根据电场线的疏密表示电场强度的大小，结合题图可知a点的电场强度小于c点的电场强度，选项A错误；靠近避雷针的云底部积聚负电荷，根据静电感应可知避雷针上带正电，电场线的分布与等量的两异种电荷的电场线分布情况相似，根据沿电场线方向电势逐渐降低，可知b点的电势低于d点的电势，选项B错误；根据沿电场线方向电势逐渐降低，可知a点的电势低于d点的电势，再根据电势能Ep＝qφ，电子带负电，则电子在a点的电势能大于在d点的电势能，选项C正确；b、c在同一等势面上，所以一质子从b点移动至c点，静电力不做功，选项D错误。]
2．A　[由题图可知，a、d两点电势相等，根据Ep＝qφ可知粒子在d点的电势能等于在a点的电势能，故B错误；φ-x图像斜率表示电场强度，由题图可知，b点与c点的电场强度方向相反，根据F＝qE可知在b点与c点所受静电力方向相反，故C错误；根据沿着电场线方向电势降低可知在d点电场方向为x轴负方向，粒子带正电，则粒子受到沿着x轴负方向的静电力，即粒子将沿x轴负方向运动，粒子仅受静电力做功，则粒子的动能和电势能之和恒定，根据B选项分析可知粒子在d点的电势能等于在a点的电势能，则粒子在d点的动能等于在a点的动能，均为0，即粒子将在a、d之间做周期性运动，不能到达O点，故A正确，D错误。故选A。]
3．C　[根据等量异种点电荷的电场线特点可知，圆环所在平面为等势面，匀强电场方向竖直向上，则小球从A到C的过程电势增加，电势能增加，故A错误；当电场强度满足Eq＝mg时，小球运动时受到的向心力大小不变，可沿圆环做匀速圆周运动，故B错误；根据动能定理(mg－Eq)R＝mm，可求出小球到B点时的速度vB，根据a1＝可得小球在B点时的向心加速度，再根据牛顿第二定律mg－Eq＝ma2，可得小球的切向加速度a2，再根据矢量合成可得B点的加速度为a＝，故C正确；小球在D点受到圆环指向圆心的力提供向心力，故小球在D点受到圆环的作用力方向不平行MN，故D错误。]
4．B　[A、B两点分别固定等量异种点电荷，则C、D两点电场强度大小相等，方向也相同，故A错误；空间中C、D两点连线在等量异种点电荷连线的垂直平分面上，故在同一个等势面上，即φC＝φD，将一试探电荷＋Q从C点沿直线移到D点静电力一直不做功，故B正确，C错误；O点是正四面体的中心，其外接球的半径为r＝L，＋q在O点电场强度大小为E1＝，设两等大电场强度的夹角为α，根据几何关系可知cos α＝，cos ，合成后O点电场强度大小为E＝2E1cos ，故D错误。故选B。]
5．C　[小球仅在重力和静电力作用下沿直线匀速运动，静电力等于重力，静电力做功为W＝3mgL，静电力做正功，则小球电势能减少了3mgL，整个过程中，重力与静电力做功，由于重力做负功，静电力做正功，则机械能增加，增加量为ΔE＝3mgL，故A、B、D错误；b、d两点的电势差为U＝，故C正确。故选C。]
6．AD　[在时刻，粒子在水平方向上的分速度为v0，两平行金属板A、B的板长和板间距均为d，则有v0·T＝×2×2，解得vy＝v0，则t＝时刻，vy＝v0，根据平行四边形定则知，粒子的速度为v＝v0，故A正确；当t＝0时刻射入电场的粒子，运动时间为电场变化周期的整数倍，则有水平方向d＝v0T，竖直方向每移动的位移都相同设为Δy，则有Δy＝aaT2＝d，当该粒子在时刻进入电场，则此时粒子竖直方向上在静电力的作用下，先做匀加速，再匀减速，接着反向再匀加速和匀减速后回到中线位置，由运动的对称性可知，竖直方向先匀加速后匀减速的位移为y1＝2×aaT2＝，故C错误；t＝时刻进入电场的粒子在t＝时刻，竖直方向速度为v'y＝a·，根据平行四边形定则知，粒子的速度为v＝v0，故B错误；由于水平方向做匀速直线运动，所以粒子无论什么时候进入电场，运动时间都是T，粒子在t＝时刻以速度v0进入电场，竖直方向先向上加速，竖直方向速度为零，粒子最终平行于极板射出电场，故D正确。故选AD。]
7．解析：(1)带电微粒所受合力为恒力，从M到N点做匀加速直线运动，由M、N两点的位置关系得mg＝Eq，匀强电场中UMN＝El，联立解得UMN＝。
(2)经时间t，沿x轴方向，有Δx＝at2＝·t2＝0.5l
沿y轴方向Δy＝(－g)t2＝－0.5l
沿z轴方向Δz＝v0t＝l，则坐标为(0.5l，0.5l，1.5l)。
(3)静电力和重力平衡，故微粒在磁场中做匀速圆周运动，半径R＝l
周期T＝
所以能经过N点的时间为t＝T＝(2n＋0.5)π(n＝0，1，2，…)。
答案：(1)　(2)(0.5l，0.5l，1.5l)　(3)(2n＋0.5)π(n＝0，1，2，…)
4/4　电场与磁场
第9课时　电场
【备考指南】　本讲涉及的知识点多且抽象难懂，包含的思想方法多，综合性强，考查面广。在复习备考过程需注意以下几点：
1．建构知识体系，透析电场规律。以电场强度、电势、电势能、电势差、静电力做功等基本概念入手，夯实电场基础，掌握基本模型。
2．前后联系，归纳方法，善于利用类比法把复杂、抽象的电场问题转化为较熟悉的力学问题，掌握对称法、等效法、微元法等解题方法，学会解决静电场综合问题。
3．关心科技，善于思考、关注本讲知识在科技、生产、生活实践中的体现，培养考生的综合应用能力。
热点一　电场的性质
1．电场强度的求解
2．电势高低、电势能大小的判断方法
物理量 判断方法
电势高低 ①根据电场线的方向判断 ②由UAB＝判断 ③根据静电力做功(或电势能)判断
电势能大小 ①根据Ep＝qφ判断 ②根据ΔEp＝－W电，由静电力做功判断 ③根据能量守恒定律判断
3．匀强电场中电势差与电场强度的关系
在匀强电场中由公式U＝Ed得出的“一式二结论”
[典例1]　[电场强度的叠加](2024·河北卷)如图所示，真空中有两个电荷量均为q(q>0)的点电荷，分别固定在正三角形ABC的顶点B、C。M为三角形ABC的中心，沿AM的中垂线对称放置一根与三角形共面的均匀带电细杆，电荷量为。已知正三角形ABC的边长为a，M点的电场强度为0，静电力常量为k。顶点A处的电场强度大小为(　　)
A． B．(6＋)
C．(3＋1) D．(3＋)
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[典例2]　[双电荷模型](2025·湖南衡阳一模)如图所示，ABCD是正四面体，虚线圆为三角形ABD的内切圆，切点分别为M、N、P，O为圆心，正四面体的顶点A、B和D分别固定有电荷量为＋Q、＋Q和－Q的点电荷，下列说法正确的是(　　)
A．M、P两点的电场强度相同
B．M、O、N、P四点的电势φN>φO>φP>φM
C．将带正电的试探电荷由O点沿直线移动到C点，电势能先增大后减小
D．将固定在D点的点电荷移动到C点，电场力做功为零
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[典例3]　[电场能的性质](2025·云南卷)某介电电泳实验使用非匀强电场，该电场的等势线分布如图所示。a、b、c、d四点分别位于电
势为－2 V、－1 V、1 V、2 V的等势线上，则(　　)
A．a、b、c、d中a点电场强度最小
B．a、b、c、d中d点电场强度最大
C．一个电子从b点移动到c点电场力做功为2 eV
D．一个电子从a点移动到d点电势能增加了4 eV
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热点二　电场中的图像
电场中几种常见的图像
v-t图像 当带电粒子只受静电力时，从v-t图像上能确定粒子运动的加速度方向、大小变化情况，进而可判定粒子运动中经过的各点的电场强度方向、电场强度大小、电势高低及电势能的变化情况
φ-x图像 (1)从φ-x图像中可以直接判断各点电势的高低，进而确定电场强度的方向及试探电荷电势能的变化 (2)φ-x图线切线的斜率大小表示沿x轴方向电场强度E的大小
E-x图像 以电场强度沿x轴方向为例： (1)E>0表示电场强度沿x轴正方向，E<0表示电场强度沿x轴负方向 (2)图线与x轴围成的“面积”大小表示电势差大小，两点的电势高低需根据电场方向判定
Ep-x图像 (1)图像的切线斜率大小表示静电力大小 (2)可用于判断电场强度、动能、加速度等随位移的变化情况
[典例4]　[φ-x图像](2025·海南卷)某静电场电势φ在x轴上分布如图所示，图线关于φ轴对称，M、P、N是x轴上的三点，OM＝ON；有一电子从M点静止释放，仅受x方向的电场力作用，则下列说法正确的是(　　)
A．P点电场强度方向沿x负方向
B．M点的电场强度小于N点的电场强度
C．电子在P点的动能小于在N点的动能
D．电子在M点的电势能大于在P点的电势能
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[典例5]　[E-x图像](多选)(2025·福建龙岩模拟)如图甲所示，两个可看作点电荷的带电绝缘小球均紧靠着塑料圆盘边缘，小球A固定不动(图中未画出)。小球B绕圆盘边缘在平面内从θ＝0沿逆时针缓慢移动，测量圆盘中心O处的电场强度，获得沿x方向的电场强度Ex随θ变化的图像(如图乙)和沿y方向的电场强度Ey随θ变化的图像(如图丙)。下列说法正确的是(　　)
A．小球A带正电荷，小球B带负电荷
B．小球A、B所带电荷量之比为1∶2
C．小球B绕圆盘旋转一周过程中，盘中心O处的电场强度先增大后减小
D．小球B绕圆盘旋转一周过程中，盘中心O处的电场强度最小值为2 V/m
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热点三　带电粒子或带电体在电场中的运动
带电粒子或带电体在电场中的运动常见类型及处理方法：
(1)带电粒子或带电体在电场中的直线运动模型。
带电粒子或带电体在电场中静止、匀速直线运动或匀变速直线运动。
处理方法：
动力学角度：利用F＝ma和v＝v0＋at，x＝计算出a、t、x等。
功能角度：利用qU＝，E＝计算出v、E、q等。
(2)带电粒子或带电体在电场中的曲线运动模型。
带电粒子或带电体在电场中的类平抛或类斜抛运动。
处理方法：运用运动的合成与分解，建立沿合力方向的y轴以及与之垂直的x轴，将运动分解为x轴方向的匀速直线运动和y轴方向的匀变速直线运动。然后利用动力学原理或功能关系进行求解。
(3)带电体在电场、重力场的复合场中的运动模型。
带电体在电场、重力场的叠加场中的运动，可以把这两种场看作一个“等效重力场”，“等效g”和速度共线，带电体做直线运动，“等效g”和速度不共线，带电体做“等效抛体运动”或“等效圆周运动”。利用牛顿运动定律和能量关系分析解答。
[典例6]　[带电粒子在非匀强电场中的运动](多选)(2024·海南卷)如图所示，真空中有两个点电荷，电荷量均为－q(q>0)，固定于相距为2r的P1、P2两点，O是P1P2连线的中点，M点在P1P2连线的中垂线上，距离O点为r，N点在P1P2连线上，距离O点为x(x r)，已知静电力常量为k，则下列说法正确的是(　　)
A．P1P2连线中垂线上电场强度最大的点到O点的距离为r
B．P1P2连线中垂线上电场强度的最大值为
C．将一电子从M点由静止释放，电子的加速度一直减小
D．将一电子从N点由静止释放，电子的运动可视为简谐运动
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[典例7]　[带电体在匀强电场中的直线运动](2025·四川成都模拟)光滑绝缘斜面ABC处于水平向右的匀强电场中，如图所示，斜面AB的长度为2 m，倾角θ＝37°，电荷量为＋q、质量为m的小球(可视为质点)以4 m/s的初速度v0沿斜面匀速上滑。g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。下列选项中分析正确的是(　　)
A．匀强电场的电场强度为
B．小球在B点的电势能大于在A点的电势能
C．仅将电场强度变为原来的2倍，则小球加速度大小为4 m/s2
D．仅将电场强度变为原来的一半，则小球运动到B点时的速度为v0
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[典例8]　[带电粒子在匀强电场中的曲线运动](2025·江苏卷)如图所示，在电场强度为E、方向竖直向下的匀强电场中，两个相同的带正电粒子a、b同时从O点以初速度v0射出，速度方向与水平方向夹角均为θ。已知粒子的质量为m，电荷量为q，不计重力及粒子间相互作用。求：
(1)a运动到最高点的时间t；
(2)a到达最高点时，a、b间的距离H。
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[典例9]　[带电体的圆周运动](多选)(2025·广西南宁检测)如图所示，在竖直平面内有水平向左的匀强电场，在匀强电场中有一根长为L的绝缘细线，细线一端固定在O点，另一端系一质量为m、带电荷量为q的小球。小球静止时细线与竖直方向成θ角，此时让小球获得初速度且恰能绕O点在竖直平面内做圆周运动，重力加速度为g。则(　　)
A．匀强电场的电场强度大小为
B．小球获得初速度的大小为
C．小球从初始位置运动至轨迹的最左端增加的机械能为mgL tan θ(1＋sin θ)
D．小球从初始位置在竖直平面内顺时针运动一周的过程中，其电势能先减小后增大
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　等效重力场中的圆周运动问题
1．“等效重力”及“等效重力加速度”
在匀强电场中，将重力与静电力进行合成，如图所示，则F合为“等效重力
场”中的“等效重力”，g′＝为“等效重力场”中的“等效重力加速度”，F合的方向为“等效重力”的方向，也是“等效重力加速度”的方向。
2．等效最“高”点与最“低”点的确定方法
在“等效重力场”中过圆周运动的圆心作“等效重力”的作用线，其反向延长线交于圆周上的那个点即为圆周运动的等效最“高”点，沿着“等效重力”的方向延长交于圆周的那个点即为等效最“低”点，如图所示。
1．[新考法·三维空间中电场叠加]如图所示为匀强电场中的立方体ABCD-EFGH，边长为2 cm。已知φA＝10 V，φB＝4 V，φD＝0 V，φE＝2 V，则该匀强电场的电场强度大小为(　　)
A．5 V/m B．5 V/m
C．500 V/m D．500 V/m
2．[新图像·U-F图像]如图所示，某压力传感器中平行板电容器内的绝缘弹性结构是模仿犰狳设计的，逐渐增大施加于两极板压力F的过程中，F较小时弹性结构易被压缩，极板间距d容易减小；F较大时弹性结构闭合，d难以减小。将该电容器充电后断开电源，极板间电势差U与F的关系曲线可能正确的是(　　)
　　　　　
A　　　　　　　　　　B
　　　　　
C　　　　　　　　　　D
3．[不等量同种电荷的电场叠加](多选)(2025·山东卷)球心为O、半径为R的半球形光滑绝缘碗固定于水平地面上，带电荷量分别为＋2q和＋q的小球甲、乙刚好静止于碗内壁A、B两点，过O、A、B的截面如图所示，C、D均为圆弧上的点，OC沿竖直方向，∠AOC＝45°，OD⊥AB，A、B两点间距离为R，E、F为AB连线的三等分点。下列说法正确的是(　　)
A．甲的质量小于乙的质量
B．C点电势高于D点电势
C．E、F两点电场强度大小相等，方向相同
D．沿直线从O点到D点，电势先升高后降低
第9课时　电场
热点一
典例1　D　[由点电荷的电场强度公式和电场强度叠加原理可知，两点电荷在M点产生的电场强度大小为E＝cos 60°＝，方向沿MA方向，又M点的电场强度为0，所以细杆在M处产生的电场强度大小也为E＝，方向沿AM方向，由对称性可知细杆在A处产生的电场强度大小也为E＝，方向沿MA方向，又由点电荷的电场强度公式和电场强度叠加原理可知，两点电荷在A处产生的电场强度大小为E'＝cos 30°＝，方向沿MA方向，所以A处的电场强度大小为EA＝E＋E'＝(3＋)，D正确。]
典例2　D　[根据题意，由对称性可知，M、P两点的电场强度大小相等，但方向不同，故A错误；根据等量同种正点电荷空间等势面的分布特点可知，在A、B两处的正点电荷产生的电场中，M、P两点的电势相等，且N点电势高于O点的电势，O点的电势高于M、P点的电势；在D点的负点电荷产生的电场中，N点的电势高于O点的电势，O点的电势高于M、P两点的电势，M、P两点的电势相等，综上所述，可知M、O、N、P四点的电势φN>φO>φP＝φM，故B错误；等量异种电荷连线中垂面为等势面，则在B、D两处的点电荷产生的电场中，OC连线为等势线，在A点的正点电荷产生的电场中，从O到C电势逐渐变小，综上所述，可知从O到C电势逐渐变小，将带正电的试探电荷由O点沿直线移动到C点，电势能一直减小，故C错误；根据等量同种正点电荷空间等势面的分布特点可知，在A、B两处的正点电荷产生的电场中，C、D两点的电势相等，则将固定在D点的点电荷移动到C点，电场力做功为零，故D正确。故选D。]
典例3　C　[根据等势面越密集电场强度越大，可知a、b、c、d中a点电场强度最大，C点电场强度最小，故A、B错误；一个电子从b点移动到c点电场力做功为Wbc＝－eUbc＝2 eV，故C正确；一个电子从a点移动到d点电场力做功为Wad＝－eUad＝4 eV，由于电场力做正功电势能减小，则一个电子从a点移动到d点电势能减小了4 eV，故D错误。故选C。]
热点二
典例4　D　[由题图可知在x正半轴沿＋x方向电势降低，则电场强度方向沿x正方向，故A错误；φ-x图像斜率表示电场强度，由题图可知M点的电场强度大小等于N点的电场强度，方向相反，故B错误；电子在电势低处电势能大，故电子在P点的电势能小于在N点的电势能，根据能量守恒可知，电子在P点的动能大于在N点的动能，故C错误；电子在电势低处电势能大，故电子在M点的电势能大于在P点的电势能，故D正确。故选D 。]
典例5　BD　[由乙、丙两题图可知，当θ＝时，小球B在O点正上方，此时Ex＝0，Ey＝－6 V/m，则说明小球A一定在y轴上固定；当θ＝0时，Ex＝－4 V/m，小球B在O点正右侧，而水平方向电场强度方向为x轴负向，则说明小球B为正电荷，此时Ey＝－2 V/m，竖直方向的电场强度方向为y轴负向，若小球A在O点正上方固定，则小球A带正电荷，若小球A在O点正下方固定，则小球A带负电荷，所以小球A的带电性质不能确定，故A错误；由于两小球都紧靠在塑料圆盘的边缘，所以到O点的距离相同，当θ＝0时，Ex＝－4 V/m，Ey＝－2 V/m，由E＝可得QA∶QB＝1∶2，故B正确；盘中心O处的电场强度为小球A和小球B在O点产生的电场强度的矢量和，随着小球B从θ＝0转到2π的过程中，EA和EB大小都不变，当θ＝时，O处的合电场强度最大；当θ＝时，O处的合电场强度最小，所以小球B从θ＝0转到2π的过程中，中心O处的电场强度先增大后减小再增大，故C错误；小球B绕圆盘旋转一周过程中，当θ＝时，O处的电场强度最小，其值大小为E＝EA＋EB＝(－2＋4) V/m＝2 V/m，故D正确。故选BD。]
热点三
典例6　BCD　[设中垂线上某点和P1或P2的连线与P1P2连线间的夹角为θ，有0≤θ<，则该点处的电场强度E＝2sin θ＝，设f(θ)＝sin θcos2θ，则f'(θ)＝cos θ－3sin2θcos θ，当f'(θ)＝0，即sin θ＝时，f(θ)取最大值，f(θ)m＝，此时电场强度最大，Em＝f(θ)m＝，对应的点到O点的距离h＝rtan θ＝r，A错误，B正确；由于r>r，则电子从M点向上运动的过程中，其所受的电场力越来越小，加速度越来越小，C正确；电子在O点处所受电场力为0，在N点所受电场力指向平衡位置O点，则从N点释放后，将在等量同种负点电荷的连线上做往复运动，设电子运动过程中距O点的距离为x'，则电子受到的电场力F＝，由于r x≥x'，则F＝，即F与x'成正比，因此电子的运动可视为简谐运动，D正确。]
典例7　D　[根据受力平衡可得mgsin θ＝qEcos θ，解得匀强电场的电场强度为E＝，故A错误；电场力做正功，小球的电势能减少，则小球在B点的电势能小于在A点的电势能，故B错误；仅将电场强度变为原来的2倍，根据牛顿第二定律可得2qEcos θ－mgsin θ＝ma，解得a＝6 m/s2，故C错误；仅将电场强度变为原来的一半，小球向上减速运动，根据牛顿第二定律可得mgsin θ－qEcos θ＝ma'，解得a'＝3 m/s2，根据运动学公式可得＝－2a'xAB，解得vB＝2 m/s＝v0，故D正确。故选D。]
典例8　解析：(1)根据题意，不计重力及粒子间相互作用，则竖直方向上，对a根据牛顿第二定律有qE＝ma
a运动到最高点，由运动学公式有v0sin θ＝at
联立解得t＝。
(2)方法一：根据题意可知，两个粒子均在水平方向上做匀速直线运动，且水平方向上的初速度均为v0cos θ，则两粒子一直在同一竖直线上，斜上抛的粒子竖直方向上运动的位移大小为x1＝
斜下抛的粒子竖直方向上运动的位移大小为x2＝v0tsin θ＋at2＝
则粒子a到达最高点时与粒子b之间的距离x＝x1＋x2＝。
方法二：两个粒子均受到相同电场力，以a粒子为参考系，b粒子以2v0sin θ的速度向下做匀速直线运动，则a到达最高点时，a、b间的距离H＝2v0sin θ·t＝。
答案：(1)　(2)
典例9　AB　[小球静止时细线与竖直方向成θ角，对小球受力分析如图，小球受重力、拉力和静电力，三力平衡，根据平衡条件有mgtan θ＝qE，解得E＝，A正确；小球恰能绕O点在竖直平面内做圆周运动，在等效最高点A由重力和静电力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律有＝m，则小球从初始位置运动到A点的过程中，由动能定理可得－mg·2Lcos θ－qE·2Lsin θ＝mm，联立解得小球获得的初速度大小为v0＝，B正确；由功能关系和能量守恒定律可得小球从初始位置运动至轨迹的最左端静电力做负功，故机械能减小，减小的机械能为E＝Ep电＝qE(L＋Lsin θ)＝q·(L＋Lsin θ)＝mgLtan θ(1＋sin θ)，C错误；小球从初始位置开始在竖直平面内顺时针运动一周的过程中，静电力先做负功，后做正功，再做负功，则其电势能先增大后减小再增大，D错误。故选AB。]
随堂练——研高考·测风向
1．D　[建立如图所示的空间直角坐标系，分别求出x、y、z三个方向上的电场强度，电场强度沿x轴方向的分量Ex＝＝500 V/m，电场强度沿y轴方向的分量Ey＝＝300 V/m，电场强度沿z轴方向的分量Ez＝＝400 V/m，则合场强大小为E＝＝500 V/m，故选D。
]
2．D　[根据公式Q＝CU和电容的决定式C＝ 可得U＝·d，根据题意F较小时易被压缩，故可知当F较小时，随着F的增大，d在减小，且减小得越来越慢，与电源断开后Q不变，故此时极板间的电势差U在减小，且减小得越来越慢；当F增大到一定程度时，再增大F后，d基本不变，故此时U保持不变，结合图像，最符合情境的是D选项。故选D。]
3．BD　[设小球甲、乙间的库仑力大小为F，对小球甲、乙受力分析如图所示，小球甲沿绝缘碗切线方向由平衡条件有m甲gcos 45°＝Fcos 60°，对小球乙沿绝缘碗切线方向由平衡条件有m乙gcos 15°＝Fcos 60°，联立可得m甲>m乙，A错误；将小球甲、乙形成的电场视为A、B处为一对带电荷量均为＋q的等量同种点电荷与A处为带电荷量为＋q的点电荷形成电场的叠加，在A处单个点电荷形成的电场中，由于C点与点电荷的距离更近，则C点的电势更高，在等量同种点电荷形成的电场中，沿OD垂线从C点移动到OD上的过程，电势逐渐降低，然后继续移向D点，电势继续降低，综上由电势的叠加原理可知，C点电势高于D点电势，B正确；由点电荷电场强度公式和电场强度叠加原理可知，E点电场强度大小为EE＝，F点的电场强度大小EF＝，E、F两点电场强度大小不相等，C错误；单独研究小球甲、乙形成的电场，沿直线从O点运动到D点，电势均先升高后降低，所以由电势的叠加原理可知，沿直线从O点运动到D点，电势先升高后降低，D正确。
]
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专题三　电场与磁场
第9课时　电场
【备考指南】　本讲涉及的知识点多且抽象难懂，包含的思想方法多，综合性强，考查面广。在复习备考过程需注意以下几点：
1．建构知识体系，透析电场规律。以电场强度、电势、电势能、电势差、静电力做功等基本概念入手，夯实电场基础，掌握基本模型。
2．前后联系，归纳方法，善于利用类比法把复杂、抽象的电场问题转化为较熟悉的力学问题，掌握对称法、等效法、微元法等解题方法，学会解决静电场综合问题。
3．关心科技，善于思考、关注本讲知识在科技、生产、生活实践中的体现，培养考生的综合应用能力。
热点一　电场的性质
1．电场强度的求解
2．电势高低、电势能大小的判断方法
物理量 判断方法
电势高低 ①根据电场线的方向判断
②由UAB＝判断
③根据静电力做功(或电势能)判断
电势能大小 ①根据Ep＝qφ判断
②根据ΔEp＝－W电，由静电力做功判断
③根据能量守恒定律判断
3．匀强电场中电势差与电场强度的关系
在匀强电场中由公式U＝Ed得出的“一式二结论”
[典例1]　[电场强度的叠加](2024·河北卷)如图所示，真空中有两个电荷量均为q(q>0)的点电荷，分别固定在正三角形ABC的顶点B、C。M为三角形ABC的中心，沿AM的中垂线对称放置一根与三角形共面的均匀带电细杆，电荷量为。已知正三角形ABC的边长为a，M点的电场强度为0，静电力常量为k。顶点A处的电场强度大小为(　　)
A． B．(6＋)
C．(3＋1) D．(3＋)
√
D　[由点电荷的电场强度公式和电场强度叠加原理可知，两点电荷在M点产生的电场强度大小为E＝cos 60°＝，方向沿MA方向，又M点的电场强度为0，所以细杆在M处产生的电场强度大小也为E＝，方向沿AM方向，由对称性可知细杆在A处产生的电场强度大小也为E＝，方向沿MA方向，又由点电荷的电场强度公式和电场强度叠加原理可知，两点电荷在A处产生的电场强度大小为E′＝cos 30°＝，方向沿MA方向，所以A处的电场强度大小为EA＝E＋E′＝(3＋)，D正确。]
【教师备选资源】
(2024·全国甲卷)在电荷量为Q的点电荷产生的电场中，将无限远处的电势规定为0时，距离该点电荷r处的电势为k，其中k为静电力常量；多个点电荷产生的电场中某点的电势，等于每个点电荷单独存在时该点的电势的代数和。电荷量分别为Q1和Q2的两个点电荷产生的电场的等势线如图中曲线所示(图中数字的单位是伏特)，则(　　)
A．Q1<0，＝－2
B．Q1>0，＝－2
C．Q1<0，＝－3
D．Q1>0，＝－3
√
B　[根据沿电场线方向电势降低，结合题图可知，Q1>0，Q2<0，A、C错误；设两点电荷间的距离为3L，则有k＋k＝0，解得＝－2，B正确，D错误。]
[知识拓展]　将无限远处电势规定为0时，孤立的正点电荷的电场中电势都是正数，孤立的负点电荷的电场中电势都是负数；电势是标量，所以多个点电荷的电场中电势等于各点电荷产生的电场在此处的电势的代数和。
[典例2]　[双电荷模型](2025·湖南衡阳一模)如图所示，ABCD是正四面体，虚线圆为三角形ABD的内切圆，切点分别为M、N、P，O为圆心，正四面体的顶点A、B和D分别固定有电荷量为＋Q、＋Q和－Q的点电荷，下列说法正确的是(　　)
A．M、P两点的电场强度相同
B．M、O、N、P四点的电势φN>φO>φP>φM
C．将带正电的试探电荷由O点沿直线移动到C点，
电势能先增大后减小
D．将固定在D点的点电荷移动到C点，电场力做功为零
√
D　[根据题意，由对称性可知，M、P两点的电场强度大小相等，但方向不同，故A错误；根据等量同种正点电荷空间等势面的分布特点可知，在A、B两处的正点电荷产生的电场中，M、P两点的电势相等，且N点电势高于O点的电势，O点的电势高于M、P点的电势；在D点的负点电荷产生的电场中，N点的电势高于O点的电势，O点的电势高于M、P两点的电势，M、P两点的电势相等，综上所述，可知M、O、N、P四点的电势φN>φO>φP＝φM，故B错误；等量异种电荷连线中垂面为等势面，则在B、D两处的点电荷产生的电场
中，OC连线为等势线，在A点的正点电荷产生的电场中，从O到C电势逐渐变小，综上所述，可知从O到C电势逐渐变小，将带正电的试探电荷由O点沿直线移动到C点，电势能一直减小，故C错误；根据等量同种正点电荷空间等势面的分布特点可知，在A、B两处的正点电荷产生的电场中，C、D两点的电势相等，则将固定在D点的点电荷移动到C点，电场力做功为零，故D正确。故选D。]
[典例3]　[电场能的性质](2025·云南卷)某介电电泳实验使用非匀强电场，该电场的等势线分布如图所示。a、b、c、d四点分别位于电势为－2 V、－1 V、1 V、2 V的等势线上，则(　　)
A．a、b、c、d中a点电场强度最小
B．a、b、c、d中d点电场强度最大
C．一个电子从b点移动到c点电场力做功为2 eV
D．一个电子从a点移动到d点电势能增加了4 eV
√
C　[根据等势面越密集电场强度越大，可知a、b、c、d中a点电场强度最大，C点电场强度最小，故A、B错误；一个电子从b点移动到c点电场力做功为Wbc＝－eUbc＝2 eV，故C正确；一个电子从a点移动到d点电场力做功为Wad＝－eUad＝4 eV，由于电场力做正功电势能减小，则一个电子从a点移动到d点电势能减小了4 eV，故D错误。故选C。]
热点二　电场中的图像
电场中几种常见的图像
v-t图像 当带电粒子只受静电力时，从v-t图像上能确定粒子运动的加速度方向、大小变化情况，进而可判定粒子运动中经过的各点的电场强度方向、电场强度大小、电势高低及电势能的变化情况
φ-x图像 (1)从φ-x图像中可以直接判断各点电势的高低，进而确定电场强度的方向及试探电荷电势能的变化
(2)φ-x图线切线的斜率大小表示沿x轴方向电场强度E的大小
E-x图像 以电场强度沿x轴方向为例：
(1)E>0表示电场强度沿x轴正方向，E<0表示电场强度沿x轴负方向
(2)图线与x轴围成的“面积”大小表示电势差大小，两点的电势高低需根据电场方向判定
Ep-x图像 (1)图像的切线斜率大小表示静电力大小
(2)可用于判断电场强度、动能、加速度等随位移的变化情况
[典例4]　[φ-x图像](2025·海南卷)某静电场电势φ在x轴上分布如图所示，图线关于φ轴对称，M、P、N是x轴上的三点，OM＝ON；有一电子从M点静止释放，仅受x方向的电场力作用，则下列说法正确的是(　　)
A．P点电场强度方向沿x负方向
B．M点的电场强度小于N点的电场强度
C．电子在P点的动能小于在N点的动能
D．电子在M点的电势能大于在P点的电势能
√
D　[由题图可知在x正半轴沿＋x方向电势降低，则电场强度方向沿x正方向，故A错误；φ-x图像斜率表示电场强度，由题图可知M点的电场强度大小等于N点的电场强度，方向相反，故B错误；电子在电势低处电势能大，故电子在P点的电势能小于在N点的电势能，根据能量守恒可知，电子在P点的动能大于在N点的动能，故C错误；电子在电势低处电势能大，故电子在M点的电势能大于在P点的电势能，故D正确。故选D 。]
【教师备选资源】
(2024·重庆卷)沿空间某直线建立x轴，该直线上的静电场方向沿x轴，其电势φ随位置x变化的图像如图所示，一电荷量为e带负电的试探电荷，经过x2点时动能为1.5 eV，速度沿x轴正方向。若该电荷仅受静电力，则其将(　　)
A．不能通过x3点
B．在x3点两侧往复运动
C．能通过x0点
D．在x1点两侧往复运动
√
B　[带负电的试探电荷在x2处动能为 1.5 eV，电势能为－1 eV，总能量为0.5 eV，且试探电荷速度沿x轴正方向，在x2～x3区域试探电荷受到沿x轴正方向的静电力，做加速运动，在x3处速度最大，试探电荷继续运动到x3右侧，做减速运动，当速度为零时，电势能为
0.5 eV，即运动到电势为－0.5 V处减速到零，开始向x轴负方向运动，后反向回到x2处动能仍为1.5 eV，继续向左运动，在电势为
－0.5 V 处减速到零又反向，不会运动到x0、x1处，即试探电荷在x3点两侧往复运动。故选B。]
[典例5]　[E-x图像](多选)(2025·福建龙岩模拟)如图甲所示，两个可看作点电荷的带电绝缘小球均紧靠着塑料圆盘边缘，小球A固定不动(图中未画出)。小球B绕圆盘边缘在平面内从θ＝0沿逆时针缓慢移动，测量圆盘中心O处的电场强度，获得沿x方向的电场强度Ex随θ变化的图像(如图乙)和沿y方向的电场强度Ey随θ变化的图像(如图丙)。下列说法正确的是(　　)
A．小球A带正电荷，小球B带负电荷
B．小球A、B所带电荷量之比为1∶2
C．小球B绕圆盘旋转一周过程中，盘中心O处的电场强度先增大后减小
D．小球B绕圆盘旋转一周过程中，盘中心O处的电场强度最小值为2 V/m
√
√
BD　[由乙、丙两题图可知，当θ＝时，小球B在O点正上方，此时Ex＝0，Ey＝－6 V/m，则说明小球A一定在y轴上固定；当θ＝0时，Ex＝－4 V/m，小球B在O点正右侧，而水平方向电场强度方向为x轴负向，则说明小球B为正电荷，此时Ey＝－2 V/m，竖直方向的电场强度方向为y轴负向，若小球A在O点正上方固定，则小球A带正电荷，若小球A在O点正下方固定，则小球A带负电荷，所以小球A的带电性质不能确定，故A错误；由于两小球都紧靠在塑料圆盘的边缘，所以到O点的距离相同，当θ＝0时，Ex＝－4 V/m，Ey＝
－2 V/m，由E＝可得QA∶QB＝1∶2，故B正确；盘中心O处的电场强度为小球A和小球B在O点产生的电场强度的矢量和，随着小球B从θ＝0转到2π的过程中，EA和EB大小都不变，当θ＝时，O处的合电场强度最大；当θ＝时，O处的合电场强度最小，所以小球B从θ＝0转到2π的过程中，中心O处的电场强度先增大后减小再增大，故C错误；小球B绕圆盘旋转一周过程中，当θ＝时，O处的电场强度最小，其值大小为E＝EA＋EB＝(－2＋4) V/m＝2 V/m，故D正确。故选BD。]
热点三　带电粒子或带电体在电场中的运动
带电粒子或带电体在电场中的运动常见类型及处理方法：
(1)带电粒子或带电体在电场中的直线运动模型。
带电粒子或带电体在电场中静止、匀速直线运动或匀变速直线运动。
处理方法：
动力学角度：利用F＝ma和v＝v0＋at，x＝计算出a、t、x等。
功能角度：利用qU＝，E＝计算出v、E、q等。
(2)带电粒子或带电体在电场中的曲线运动模型。
带电粒子或带电体在电场中的类平抛或类斜抛运动。
处理方法：运用运动的合成与分解，建立沿合力方向的y轴以及与之垂直的x轴，将运动分解为x轴方向的匀速直线运动和y轴方向的匀变速直线运动。然后利用动力学原理或功能关系进行求解。
(3)带电体在电场、重力场的复合场中的运动模型。
带电体在电场、重力场的叠加场中的运动，可以把这两种场看作一个“等效重力场”，“等效g”和速度共线，带电体做直线运动，“等效g”和速度不共线，带电体做“等效抛体运动”或“等效圆周运动”。利用牛顿运动定律和能量关系分析解答。
[典例6]　[带电粒子在非匀强电场中的运动](多选)(2024·海南卷)如图所示，真空中有两个点电荷，电荷量均为－q(q>0)，固定于相距为2r的P1、P2两点，O是P1P2连线的中点，M点在P1P2连线的中垂线上，距离O点为r，N点在P1P2连线上，距离O点为x(x r)，已知静电力常量为k，则下列说法正确的是(　　)
A．P1P2连线中垂线上电场强度最大的点到O点
的距离为r
B．P1P2连线中垂线上电场强度的最大值为
C．将一电子从M点由静止释放，电子的加速度一直减小
D．将一电子从N点由静止释放，电子的运动可视为简谐运动
√
√
√
BCD　[设中垂线上某点和P1或P2的连线与P1P2连线间的夹角为θ，有0≤θ<，则该点处的电场强度E＝2sin θ＝，设f (θ)＝sinθcos2θ，则f ′(θ)＝cosθ－3sin2θcosθ，当f ′(θ)＝0，即sin θ＝时，f (θ)取最大值，f(θ)m＝，此时电场强度最大，Em＝
f (θ)m＝，对应的点到O点的距离h＝r tan θ＝r，A错误，B正确；由于r>r，则电子从M点向上运动的过程中，其所受的电场
力越来越小，加速度越来越小，C正确；电子在O点处所受电场力为0，在N点所受电场力指向平衡位置O点，则从N点释放后，将在等量同种负点电荷的连线上做往复运动，设电子运动过程中距O点的距离为x′，则电子受到的电场力F＝＝，由于r x≥x′，则F＝，即F与x′成正比，因此电子的运动可视为简谐运动，D正确。]
[典例7]　[带电体在匀强电场中的直线运动](2025·四川成都模拟)光滑绝缘斜面ABC处于水平向右的匀强电场中，如图所示，斜面AB的长度为2 m，倾角θ＝37°，电荷量为＋q、质量为m的小球(可视为质点)以4 m/s的初速度v0沿斜面匀速上滑。g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。下列选项中分析正确的是(　　)
A．匀强电场的电场强度为
B．小球在B点的电势能大于在A点的电势能
C．仅将电场强度变为原来的2倍，则小球加速度大小为4 m/s2
D．仅将电场强度变为原来的一半，则小球运动到B点时的速度为v0
√
D　[根据受力平衡可得mg sin θ＝qE cos θ，解得匀强电场的电场强度为E＝，故A错误；电场力做正功，小球的电势能减少，则小球在B点的电势能小于在A点的电势能，故B错误；仅将电场强度变为原来的2倍，根据牛顿第二定律可得2qE cos θ－mg sin θ＝ma，解得a＝6 m/s2，故C错误；仅将电场强度变为原来的一半，小球向上减速运动，根据牛顿第二定律可得mg sin θ－qE cos θ＝ma′，解得a′＝3 m/s2，根据运动学公式可得＝－2a′xAB，解得vB＝2 m/s＝v0，故D正确。故选D。]
[典例8]　[带电粒子在匀强电场中的曲线运动](2025·江苏卷)如图所示，在电场强度为E、方向竖直向下的匀强电场中，两个相同的带正电粒子a、b同时从O点以初速度v0射出，速度方向与水平方向夹角均为θ。已知粒子的质量为m，电荷量为q，不计重力及粒子间相互作用。求：
(1)a运动到最高点的时间t；
(2)a到达最高点时，a、b间的距离H。
[解析]　(1)根据题意，不计重力及粒子间相互作用，则竖直方向上，对a根据牛顿第二定律有qE＝ma
a运动到最高点，由运动学公式有v0sin θ＝at
联立解得t＝。
(2)方法一：根据题意可知，两个粒子均在水平方向上做匀速直线运动，且水平方向上的初速度均为v0cos θ，则两粒子一直在同一竖直线上，斜上抛的粒子竖直方向上运动的位移大小为x1＝＝
斜下抛的粒子竖直方向上运动的位移大小为x2＝v0tsin θ＋at2＝
则粒子a到达最高点时与粒子b之间的距离x＝x1＋x2＝。
方法二：两个粒子均受到相同电场力，以a粒子为参考系，b粒子以2v0sinθ的速度向下做匀速直线运动，则a到达最高点时，a、b间的距离H＝2v0sin θ·t＝。
[答案]　(1)　(2)
[典例9]　[带电体的圆周运动](多选)(2025·广西南宁检测)如图所示，在竖直平面内有水平向左的匀强电场，在匀强电场中有一根长为L的绝缘细线，细线一端固定在O点，另一端系一质量为m、带电荷量为q的小球。小球静止时细线与竖直方向成θ角，此时让小球获得初速度且恰能绕O点在竖直平面内做圆周运动，重力加速度为g。则(　　)
A．匀强电场的电场强度大小为
B．小球获得初速度的大小为
C．小球从初始位置运动至轨迹的最左端增加的机械能为mgL tan θ(1＋sin θ)
D．小球从初始位置在竖直平面内顺时针运动一周的过程中，其电势能先减小后增大
√
√
AB　[小球静止时细线与竖直方向成θ角，对小球受力分析如图，小球受重力、拉力和静电力，三力平衡，根据平衡条件有mg tan θ＝qE，解得E＝，A正确；小球恰能绕O点在竖直平面内做圆周运动，在等效最高点A由重力和静电力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律有＝m，则小球从初始位置运动到A点的过程中，
由动能定理可得－mg·2L cos θ－qE·2L sin θ
＝解得小球获得的初速度大小
为v0＝，B正确；由功能关系和能量守恒定律可得小球从初始位置运动至轨迹的最左端静电力做负功，故机械能减小，减小的机械能为E＝Ep电＝qE(L＋L sin θ)＝q·(L＋L sin θ)＝
mgL tan θ(1＋sin θ)，C错误；小球从初始位置开始在竖直平面内顺时针运动一周的过程中，静电力先做负功，后做正功，再做负功，则其电势能先增大后减小再增大，D错误。故选AB。]
方法总结　等效重力场中的圆周运动问题
1．“等效重力”及“等效重力加速度”
在匀强电场中，将重力与静电力进行合成，如图所示，则F合为“等效重力场”中的“等效重力”，g′＝为“等效重力场”中的“等效重力加速度”，F合的方向为“等效重力”的方向，也是“等效重力加速度”的方向。
2．等效最“高”点与最“低”点的确定方法
在“等效重力场”中过圆周运动的圆心作“等效重力”的作用线，其反向延长线交于圆周上的那个点即为圆周运动的等效最“高”点，沿着“等效重力”的方向延长交于圆周的那个点即为等效最“低”点，如图所示。
1．[新考法·三维空间中电场叠加]如图所示为匀强电场中的立方体ABCD-EFGH，边长为2 cm。已知φA＝10 V，φB＝4 V，φD＝0 V，φE＝2 V，则该匀强电场的电场强度大小为(　　)
A．5 V/m
B．5 V/m
C．500 V/m
D．500 V/m
√
D　[建立如图所示的空间直角坐标系，分别求出x、y、z三个方向上的电场强度，电场强度沿x轴方向的分量Ex＝＝500 V/m，电场强度沿y轴方向的分量Ey＝＝300 V/m，电场强度沿z轴方向的分量Ez＝＝400 V/m，则合场强大小为E＝
＝500 V/m，故选D。]
2．[新图像·U-F图像]如图所示，某压力传感器中平行板电容器内的绝缘弹性结构是模仿犰狳设计的，逐渐增大施加于两极板压力F的过程中，F较小时弹性结构易被压缩，极板间距d容易减小；F较大时弹性结构闭合，d难以减小。将该电容器充电后断开电源，极板间电势差U与F的关系曲线可能正确的是(　　)
√
D　[根据公式Q＝CU和电容的决定式C＝ 可得U＝·d，根据题意F较小时易被压缩，故可知当F较小时，随着F的增大，d在减小，且减小得越来越慢，与电源断开后Q不变，故此时极板间的电势差U在减小，且减小得越来越慢；当F增大到一定程度时，再增大F后，d基本不变，故此时U保持不变，结合图像，最符合情境的是D选项。故选D。]
3．[不等量同种电荷的电场叠加](多选)(2025·山东卷)球心为O、半径为R的半球形光滑绝缘碗固定于水平地面上，带电荷量分别为
＋2q和＋q的小球甲、乙刚好静止于碗内壁A、B两点，过O、A、B的截面如图所示，C、D均为圆弧上的点，OC沿竖直方向，∠AOC＝45°，OD⊥AB，A、B两点间距离为R，E、F为AB连线的三等分点。下列说法正确的是(　　)
A．甲的质量小于乙的质量
B．C点电势高于D点电势
C．E、F两点电场强度大小相等，方向相同
D．沿直线从O点到D点，电势先升高后降低
√
√
BD　[设小球甲、乙间的库仑力大小为F，对小球甲、乙受力分析如图所示，小球甲沿绝缘碗切线方向由平衡条件有m甲g cos 45°＝
F cos 60°，对小球乙沿绝缘碗切线方向由平衡条件有m乙g cos 15°＝F cos 60°，联立可得m甲>m乙，A错误；将小球甲、乙形成的电场视为A、B处为一对带电荷量均为＋q的等量同种点电荷与A处为带电荷量为＋q的点电荷形成电场的叠加，
在A处单个点电荷形成的电场中，由于C
点与点电荷的距离更近，则C点的电势
更高，在等量同种点电荷形成的电场中，沿OD垂线从C点移动到OD上的过程，电势逐渐降低，然后继续移向D点，电势继续降低，综上由电势的叠加原理可知，C点电势高于D点电势，B正确；由点电荷电场强度公式和电场强度叠加原理可知，E点电场强度大小为EE＝＝
，F点的电场强度大小EF＝＝，E、F两点电场强度
大小不相等，C错误；单独研究小球甲、乙形成的电场，沿直线从O点运动到D点，电势均先升高后降低，所以由电势的叠加原理可知，沿直线从O点运动到D点，电势先升高后降低，D正确。]
说明：单选题每小题4分，多选题每小题6分，本试卷总分42分
1．[源于人教版必修三P20科学漫步改编]上海中心大厦是我国最高的摩天大楼，总高为632米，为了防止雷电的危害，大楼顶部装有避雷针，可以主动“接闪”，以此保护大楼的安全。一次雷雨时上海中心大厦“接闪”前积雨云层与避雷针附近产生的电场的电场线和等势面如图所示，实线为电场线，虚线为等差等势面，a、b、c、d是电场中的四个点，靠
近避雷针的云底部积聚负电荷，取无穷远处电势为0，
下列说法正确的是(　　)
课后限时练9　电场
题号
1
3
5
2
4
6
7
题号
1
3
5
2
4
6
7
A．a点的电场强度大于c点的电场强度
B．b点的电势高于d点的电势
C．一电子在a点的电势能大于在d点的电势能
D．一质子从b点移动至c点，静电力做正功
√
C　[根据电场线的疏密表示电场强度的大小，结合题图可知a点的电场强度小于c点的电场强度，选项A错误；靠近避雷针的云底部积聚负电荷，根据静电感应可知避雷针上带正电，电场线的分布与等量的两异种电荷的电场线分布情况相似，根据沿电场线方向电势逐渐降低，可知b点的电势低于d点的电势，选项B错误；根据沿电场线方向电势逐渐降低，可知a点的电势低于d点的电势，再根据电势能Ep＝qφ，电子带负电，则电子在a点的电势能大于在d点的电势能，选项C正确；b、c在同一等势面上，所以一质子从b点移动至c点，静电力不做功，选项D错误。]
题号
1
3
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题号
2
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7
2．(2025·1月八省联考河南卷)某电场的电势φ随位置x的变化关系如图所示，O点为坐标原点，a、b、c、d为x轴上的四个点。一带正电粒子从d点由静止释放，在静电力作用下沿x轴运动，不计重力，则粒子(　　)
A．将在a、d之间做周期性运动
B．在d点的电势能大于在a点的电势能
C．在b点与c点所受静电力方向相同
D．将沿x轴负方向运动，可以到达O点
√
A　[由题图可知，a、d两点电势相等，根据Ep＝qφ可知粒子在d点的电势能等于在a点的电势能，故B错误；φ-x图像斜率表示电场强度，由题图可知，b点与c点的电场强度方向相反，根据F＝qE可知在b点与c点所受静电力方向相反，故C错误；根据沿着电场线方向电势降低可知在d点电场方向为x轴负方向，粒子带正电，则粒子受到沿着x轴负方向的静电力，即粒子将沿x轴负方向运动，粒子仅受静电力做功，则粒子的动能和电势能之和恒定，根据B选项分析可知粒子在d点的电势能等于在a点的电势能，则粒子在d点的动能等于在a点的动能，均为0，即粒子将在a、d之间做周期性运动，不能到达O点，故A正确，D错误。故选A。]
题号
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7
3．(2024·浙江6月选考)如图所示，空间原有大小为E、方向竖直向上的匀强电场，在此空间同一水平面的M、N两点固定两个等量异种点电荷，绝缘光滑圆环ABCD垂直MN放置，其圆心O在MN的中点，半径为R，AC和BD分别为竖直和水平的直径。质量为m、电荷量为＋q的小球套在圆环上，从A点沿圆环以初速度v0做完整的圆周运动，重力加速度为g，则(　　)
A．小球从A到C的过程中电势能减少
B．小球不可能沿圆环做匀速圆周运动
C．可求出小球运动到B点时的加速度
D．小球在D点受到圆环的作用力方向平行MN
题号
2
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7
√
C　[根据等量异种点电荷的电场线特点可知，圆环所在平面为等势面，匀强电场方向竖直向上，则小球从A到C的过程电势增加，电势能增加，故A错误；当电场强度满足Eq＝mg时，小球运动时受到的向心力大小不变，可沿圆环做匀速圆周运动，故B错误；根据动能定理(mg－Eq)R＝，可求出小球到B点时的速度vB，根据a1＝可得小球在B点时的向心加速度，再根据牛顿第二定律mg－Eq＝ma2，可得小球的切向加速度a2，再根据矢量合成可得B点的加速度为a＝，故C正确；小球在D点受到圆环指向圆心的力提供向心力，故小球在D点受到圆环的作用力方向不平行MN，故D错误。]
题号
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7
4．如图所示，边长为L的正四面体ABCD的中心为O，A、B两点分别固定等量异种点电荷－q、＋q，下列说法正确的是(　　)
A．C、D两点电场强度大小相等，方向不同
B．C、D两点电势相等
C．将一试探电荷＋Q从C点沿直线移到D点，
静电力先做负功后做正功
D．O点电场强度大小为
题号
2
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7
√
B　[A、B两点分别固定等量异种点电荷，则C、D两点电场强度大小相等，方向也相同，故A错误；空间中C、D两点连线在等量异种点电荷连线的垂直平分面上，故在同一个等势面上，即φC＝φD，将一试探电荷＋Q从C点沿直线移到D点静电力一直不做功，故B正确，C错误；O点是正四面体的中心，其外接球的半径为r＝L，＋q在O点电场强度大小为E1＝＝，设两等大电场强度的夹角为α，根据几何关系可知cos α＝，cos ＝，合成后O点电场强度大小为E＝2E1cos ＝，故D错误。故选B。]
题号
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7
5．(2025·安徽百师联盟高三下二轮联考三)如图所示，在竖直平面内的长方形abcd内有匀强电场，一质量为m、带电荷量为q的带正电小球从b点进入该长方形后，仅在重力和静电力作用下沿直线匀速运动到d点。长方形长、宽分别为4L和3L，重力加速度为g。则小球从b点运动到d点的过程中，下列说法正确的是(　　)
A．小球电势能增加了3mgL
B．小球机械能增加了5mgL
C．b、d两点的电势差为
D．静电力对小球做的功为4mgL
题号
2
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5
6
7
√
C　[小球仅在重力和静电力作用下沿直线匀速运动，静电力等于重力，静电力做功为W＝3mgL，静电力做正功，则小球电势能减少了3mgL，整个过程中，重力与静电力做功，由于重力做负功，静电力做正功，则机械能增加，增加量为ΔE＝3mgL，故A、B、D错误；b、d两点的电势差为U＝＝，故C正确。故选C。]
题号
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7
6．(多选)(2025·河南一模)如图甲所示，两平行金属板A、B的板长和板间距均为d，两板之间的电压随时间周期性变化规律如图乙所示。一不计重力的带电粒子以速度v0从O点沿板间中线射入极板之间，若t＝0时刻进入电场的带电粒子在t＝T时刻刚好沿A板右边缘射出电场，则(　　)
题号
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1
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5
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7
A．t＝0时刻进入电场的粒子在t＝时刻速度大小为v0
B．t＝时刻进入电场的粒子在t＝时刻速度大小为v0
C．t＝时刻进入电场的粒子在两板间的最大偏移量为
D．t＝时刻进入电场的粒子最终平行于极板射出电场
题号
2
1
3
4
5
6
7
√
√
AD　[在时刻，粒子在水平方向上的分速度为v0，两平行金属板A、B的板长和板间距均为d，则有v0·T＝×2×2，解得vy＝v0，则t＝时刻，vy＝v0，根据平行四边形定则知，粒子的速度为v＝＝v0，故A正确；当t＝0时刻射入电场的粒子，运动时间为电场变化周期的整数倍，则有水平方向d＝v0T，竖直方向每
题号
2
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移动的位移都相同设为Δy，则有Δy＝a＝aT2＝d，当该粒子在时刻进入电场，则此时粒子竖直方向上在静电力的作用下，先做匀加速，再匀减速，接着反向再匀加速和匀减速后回到中线位置，由运动的对称性可知，竖直方向先匀加速后匀减速的位移为y1＝2×a＝aT2＝，故C错误；t＝时刻进入电场的粒子在t＝时刻，竖直方向速度为v′y＝a·＝，根据平行四边形定则知，粒
题号
2
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7
子的速度为v＝＝v0，故B错误；由于水平方向做匀速直线运动，所以粒子无论什么时候进入电场，运动时间都是T，粒子在t＝时刻以速度v0进入电场，竖直方向先向上加速再向上减速，再向下加速，再向下减速，竖直方向速度为零，粒子最终平行于极板射出电场，故D正确。故选AD。]
题号
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7．(16分)(2025·湖北武汉市武昌区高三下学期5月质量检测)如图所示，在真空中以竖直向上为y轴正方向建立三维直角坐标系O-xyz，整个空间内存在沿x轴正方向的匀强电场(图中未画出)。一质量为m、电荷量为q的带电微粒在点M(0，l，0.5l)被静止释放，恰能通过点N(l，0，0.5l)。不计空气阻力，已知重力加速度为g。
题号
2
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3
4
5
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7
(1)M、N两点间的电势差是多少？
(2)若该微粒从M点以初速度v0＝沿z轴正方向出发，则经时间t＝该微粒的位置坐标是多少？
(3)若电场方向变为竖直向上，并在空间添加一沿z轴正方向的匀强磁场，该微粒从M点以初速度v0＝沿x轴正方向出发，仍能运动到N点，则粒子从M点出发经多长时间能经过N点？
题号
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[解析]　(1)带电微粒所受合力为恒力，从M到N点做匀加速直线运动，由M、N两点的位置关系得mg＝Eq，匀强电场中UMN＝El，联立解得UMN＝。
(2)经时间t，沿x轴方向，有Δx＝at2＝·t2＝0.5l
沿y轴方向Δy＝(－g)t2＝－0.5l
沿z轴方向Δz＝v0t＝l，则坐标为(0.5l，0.5l，1.5l　)。
题号
2
1
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5
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7
(3)静电力和重力平衡，故微粒在磁场中做匀速圆周运动，半径R＝l
周期T＝
所以能经过N点的时间为t＝T＝(2n＋0.5)π(n＝0，1，2，…)。
题号
2
1
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4
5
6
7
[答案]　(1)　(2)(0.5l，0.5l，1.5l　)　(3)(2n＋0.5)π(n＝0，1，2，…)
谢 谢！

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