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第五章
三角函数
5.7　三角函数的应用
5.7.2　三角函数的应用(2)
学习目标
1. 能应用三角函数的图象与性质解决一些简单的实际问题．
2. 理解三角函数是描述周期现象的重要数学模型，并能熟练运用．
活动一 港口水深的变化与三角函数
例1　海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐．一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头，卸货后，在落潮时返回海洋．下面是某港口某天的时刻与水深y(单位：m)的关系表：
时刻 0：00 3：00 6：00 9：00 12：00
水深/m 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0
时刻 15：00 18：00 21：00 24：00
水深/m 7.5 5.0 2.5 5.0
(1) 选用一个三角函数来近似地描述这个港口的水深与时间的函数关系；
(2) 一艘货轮的吃水深度(船体最低点与水面的距离)为4.75 m，安全条例拟定船体最低点与洋底间隙至少要有1.5 m，请问该船何时能进出港口？
活动一 港口水深的变化与三角函数
【解析】 (1) 设时间为x，所求函数为y＝Asinωx＋k，
(2) 货轮需要的安全水深为4.75＋1.5＝6.25(m)，
所以当y≥6.25时就可以进出港．
即12k＋1≤x≤12k＋5，k∈Z.
因为x∈[0,24]，所以1≤x≤5或13≤x≤17，
因此货轮在1：00至5：00和13：00至17：00可以进出港口．
活动一 港口水深的变化与三角函数
已知某海滨浴场海浪的高度y(m)是时间t(0≤t≤24，单位：h)的函数，记作y＝f(t)，下表是某日各时的浪高数据：
t(h) 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y(m) 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5
经长期观测，y＝f(t)的曲线可近似地看成是函数y＝Acosωt＋b.
(1) 根据以上数据，求函数y＝Acosωt＋b的最小正周期T，振幅A及函数表达式；
(2) 依据规定，当海浪高度高于1 m时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的8：00至20：00之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？
【解析】 (1) 由表中数据知周期T＝12，
(2) 由题意知，当y>1时才可对冲浪者开放，
即12k－3因为0≤t≤24，所以可令k分别为0,1,2，
得0≤t<3或9所以在规定时间8：00至20：00之间，有6个小时时间可供冲浪者运动，即9：00至15：00.
三角函数模型构建的步骤：
(1) 收集数据，观察数据，发现是否具有周期性的重复现象．
(2) 制作散点图，选择函数模型进行拟合．
(3) 利用三角函数模型解决实际问题．
(4) 根据问题的实际意义，对答案的合理性进行检验.
例2　生物节律是描述体温、血压和其他易变的生理变化的每日生物模型．下表中给出了一昼夜人的体温的变化(从夜间零时开始计时).
时间/时 0 2 4 6 8 10 12
温度/℃ 36.8 36.7 36.6 36.7 36.8 37.0 37.2
时间 14 16 18 20 22 24
温度/℃ 37.3 37.4 37.3 37.2 37.0 36.8
(1) 作出这些数据的散点图；
(2) 选用一个三角函数来近似描述这些数据；
(3) 和散点图一起，画出(2)中所选函数的图象．
活动二 了解解决三角函数应用题的一般步骤
【解析】 (1) 设时间为t，温度为y，图象如图所示．
(2) 设t时的体温为y＝Asin(ωt＋φ)＋C，
活动二 了解解决三角函数应用题的一般步骤
活动二 了解解决三角函数应用题的一般步骤
(3) 如图所示．
(1) 求该地区这一段时间内温度的最大温差；
(2) 如果有一种细菌在15 ℃到25 ℃之间可以生存，那么在这段时间内，该细菌能生存多长时间？
【解析】 (1) 因为x∈[4,16]，
1. 现实生活中许多具有周期性的现象都可建立三角函数模型．如本例中一昼夜人的体温的变化，具有周而复始的特征，所以可用三角函数模型描述．
2. 建立三角函数模型解决实际问题的思路是：
(1) 收集与角有关的信息，确定相应的三角模型．
(2) 建立三角函数关系式．
(3) 求解．
(4) 作答．
活动三 三角函数模型在物理中的应用
(1) 若I＝Asin(ωt＋φ)在一个周期内的图象如图所示，试根据图象写出I＝Asin(ωt＋φ)的解析式；
活动三 三角函数模型在物理中的应用
1. 三角函数模型在物理中的应用主要体现在简谐运动、电流强度、单摆、弹簧振子等随时间变化的问题．解决这类问题必须要清楚振幅、频率、周期、初相、相位的实际意义和表示方法．
2. 将图形语言转化成符号语言，根据图形信息利用待定系数法，求函数模型y＝Asin(ωx＋φ)中的未知参数后，再由解析式及性质解决具体问题.
布置作业
1.完成教材第249页习题5.7.
2. 思考题：在“探究摆球运动当中的水平绝对安全距离”中，如果考虑摆球者——运动员身高约2米，结论会改变吗？
下课
Thanks!
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