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2025-2026学年湖南省长沙市浏阳市高一（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，则( )
A. B. C. D.
2.若，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.若，且为第二象限角，则( )
A. B. C. D.
4.已知函数的零点分别，，，则，，的大小顺序为( )
A. B. C. D.
5.将函数的图象向左平移个单位长度后得到的函数图象关于原点中心对称，则可能的取值是( )
A. B. C. D.
6.若定义运算，则函数的值域是( )
A. B. C. D.
7.函数的图象如图所示，则如图所示的图象对应的函数解析式可能为( )
A. B. C. D.
8.若定义在上的函数满足，且当时，，已知函数，则函数在区间内的零点个数为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 若终边上一点的坐标为，则
B. 若角为锐角，则为钝角
C. 若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为
D. 若，且，则
10.若，，则( )
A. B. C. D.
11.已知函数是上的偶函数，且在上单调递增，，，，则下列说法正确的是( )
A. 函数的图象关于直线对称
B. ，，的大小关系是：
C. 函数在区间上单调递减
D. 关于的不等式解集为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知幂函数的图象过点，则 ．
13.已知，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ．
14.已知函数，，如果恒成立，则的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知集合，，，．
求和；
若，求的取值范围．
16.本小题分
已知函数．
求函数的定义域、值域．
判断函数的单调性、奇偶性并用定义证明．
画出函数图象．
17.本小题分
年被称为“智能体元年”，基于大模型的智能体技术迎来规模化应用与产业变革某科技研发中心正在研发名为“天穹”的新一代大模型，在模型训练阶段，研发团队发现，模型的综合性能评分满分分和有效训练时长单位：百小时的关系分为两个阶段通过对几轮训练数据的拟合分析，得到如下函数关系：已知初始综合性能评分，且在处函数图象是连续不断的．
求常数和的值；
已知大模型的标准化训练效率定义为，，训练时长取何值时，“天穹”模型的标准化训练效率最高？
18.本小题分
已知函数．
求函数的最小正周期及单调增区间；
若，且，求的值．
在中，若，求的取值范围．
19.本小题分
已知函数且请从以下两个条件中选择一个作为已知解答下面的问题．
条件：；条件：．
注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答记分．
求实数的值；
当时，判断函数在区间上的零点个数，并说明理由；
已知，若，当且仅当，求实数，的值．
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：集合，，，
，
或．
，，，
当时，，解得，成立；
当时，由，得：，解得．
综上，的取值范围是．
16.解：定义域为，值域为．
函数在和上为增函数，且为奇函数，证明如下：
，且，则，
，，，，，，即，
在上为增函数；
，且，则，
，，且，，，，
，即，在上为增函数，
设，，
是奇函数．
的图像如图：
17.解：因为，
又，所以；
所以当时，，
又因为在处函数图象是连续不断的，
所以，解得；
由可得，
当时，，
此时，
因为，所以，
当且仅当时，即时等号成立，
此时，此时的最大值为；
当时，，
此时
，
综上，当时，，此时“天穹”模型的标准化训练效率最高．
18.解：
，
最小正周期为，
令，
所以，
所以函数的单调递增区间为；
，
因为，所以，
所以，
所以
；
因为，所以，
因为，所以，
，
因为，所以，所以
所以的取值范围为．
19.解：如果选，由于函数的定义域为，
那么根据，
得
，
对于任意都成立，因此；
如果选，由于函数的定义域为，
那么根据，
得
，
对于任意都成立，因此．
如果选，当时，．
由于函数在区间上单调递减，
且函数在定义域上单调递增，因此在区间上单调递减，
又由于在定义域上单调递减，
因此在区间上单调递减．
又由于函数的图象连续不间断，
且，，那么，
因此函数在上有唯一的零点．
如果选，当时，．
由于函数在上单调递增，
函数在定义域上单调递增，因此在区间上单调递增，
又由于函数在定义域上单调递增，
因此在区间上单调递增．
又由于函数的图象连续不间断，
且，，
因此函数在上有唯一的零点．
如果选，由于，如果，
当且仅当，因此在区间上的解集为，且．
根据第一问知函数，
如果，那么，无解，因此舍去．
如果，那么，解得，
因此，那么，解得，，
如果选，由于，如果函数，当且仅当，
因此在区间上的解集为，且．
由知，
若，则，无解，舍去．
若，则，所以，
所以，所以，则，
解得，．
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