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2025-2026学年江西省南昌外国语学校教育集团九年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.为了节能减排，国家积极倡导使用新能源汽车，新能源汽车发展也取得了巨大成就.下列新能源汽车的车标既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　）
A. B.
C. D.
2.下列说法中正确的是（　　）
A. “任意画出一个等边三角形，它是轴对称图形”是随机事件
B. 任意掷一枚质地均匀的硬币10次，正面向上的一定是5次
C. “概率为0.0001的事件”是不可能事件
D. “任意画出一个平行四边形，它是中心对称图形”是必然事件
3.如图，反比例函数的图象与直线AB交于点A，B，AB与x轴交于点C，BD⊥y轴于点D，连接CD，则S△BDC的值为（　　）
A. 6
B. 8
C. 10
D. 12
4.如图，四边形ABCD内接于圆O，且AB为直径，∠ADC=120°，若AC=3，则圆O的直径等于（　　）
A. 6
B.
C.
D. 5
5.九宫格起源于河图洛书，被认为是中华文明的起源，宇宙的魔方，它是由9个正方形组成的图案，如图，点A、B、C在正方形网格的格点上，则sin∠BAC 的值为（　　）
A.
B.
C.
D.
6.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（1，0），对称轴为直线x=2，有下列结论：①abc＞0；②b2-4ac＞0；③c=3a；④4a+b=0；⑤当x＜1时，y随x的增大而增大，其中正确结论的个数是（　　）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
7.点A（1，-5）关于原点的对称点坐标为 .
8.将抛物线y=x2向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为______．
9.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接AD，若OE=3，CD=8，则AD的长为 .
10.如图，圆锥体的高，底面圆半径r=1cm,则该圆锥体的侧面展开图的圆心角的度数是 ．
11.如图，平行四边形ABCD中，AF：FB=2：3，DF交AC于点E如果，△CDE的面积为20cm2，那么△AEF的面积是= .
12.如图，在矩形ABCD中，AB=3，，将线段AB绕B顺时针旋转α（0°＜α≤180°），得到线段BP，连接PC，AP，当∠PCB=30°时，线段AP的长度为 .
三、解答题：本题共11小题，共84分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
13.(本小题6分)
（1）已知一条抛物线过点（1，3），且顶点坐标为（2，1），求该抛物线解析式；
（2）如图，已知D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，∠AED=∠B，AD=3，AB=8，AE=4，求AC的长度.
14.(本小题6分)
如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（4，6），B（2，1），C（6，4）.
（1）画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后得到的△A1BC1，并写出点C1的坐标为______；
（2）画出与△ABC关于原点O对称的△A2B2C2.
15.(本小题6分)
人工智能是数字经济高质量发展的引擎，也是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动.人工智能市场分为决策类人工智能、人工智能机器人、语音类人工智能、视觉类人工智能四大类型，将四个类型的图标依次制成A，B，C，D四张卡片（卡片背面完全相同），将四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上.
（1）随机抽取一张，抽到决策类人工智能的卡片的概率为______；
（2）从中随机抽取一张，不放回，再从剩余的三张卡片中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求抽到的两张卡片恰好是“决策类人工智能”和“视觉类人工智能”的概率.
16.(本小题6分)
请你仅用无刻度的直尺在下面的图中作出△ABC的边AB上的高CD．
（1）如图①，以等边三角形ABC的边AB为直径的圆，与另两边BC、AC分别交于点E、F．
（2）如图②，以钝角三角形ABC的一短边AB为直径的圆，与最长的边AC相交于点E．
17.(本小题6分)
如图，在矩形ABCD中，AB=4，点G为边AD上一点，AG=3，CE⊥BG于点E，.
（1）求证：△ABG∽△ECB；
（2）求证：E是BG的中点.
18.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b与反比例函数的图象交于A（-1，m），B（n,-3）两点，一次函数y=kx+b的图象与y轴交于点C.
（1）求一次函数的解析式；
（2）根据函数的图象，直接写出不等式的解集；
（3）点P是x轴上一点，且△BOP的面积等于△AOB面积的2倍，求点P的坐标.
19.(本小题8分)
如图1是一款多功能可调节的桌面手机、平板支架.点A、B、C处均可旋转180°，CD处可摆放平板或者手机.其中AB=91mm,BC=75mm,CD=80mm.研究表明，当手机（CD）与桌面的夹角为55°时，更符合人体工学设计，也是多数人操作手机最舒适的角度.
（1）如图2，当AB和桌面垂直且BC⊥CD时，可将BC绕点B旋转一定的角度，就能达到最舒适的观影状态，求此时∠CBA的度数；
（2）在（1）的条件下求点D到AB的距离（结果保留整数）.（参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70.）
20.(本小题8分)
网络直播销售已经成为一种热门的销售方式，某生产商在一销售平台上进行直播销售板栗．已知板栗的成本价为6元kg，每日销售量y（kg）与销售单价x（元/kg）满足一次函数关系，下表记录的是有关数据，经销售发现，销售单价不低于成本价且不高于32元/kg．设公司销售板栗的日获利为w（元）．
x（元kg） 10 11 12
y（kg） 4000 3900 3800
（1）直接写出日销售量y与销售单价x之间的函数关系式为____；（不用写自变量的取值范围）
（2）当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利w最大？最大利润为多少元？
（3）当销售单价在什么范围内时，日获利w不低于42000元？
21.(本小题9分)
如图AB为⊙O的直径，且AB=2，点C是弧AB上的一动点（不与A，B重合），过点B作⊙O的切线交AC的延长线于点D，点E是BD的中点，连接EC.
（1）若BD=4，求线段AC的长度；
（2）求证：EC是⊙O的切线；
（3）当∠D=30°时，求图中阴影部分面积.
22.(本小题9分)
综合与探究：
如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2-2x+c与x轴交于点A（-3，0）和点C，与y轴交于点B（0，3），点P是抛物线上点A与点C之间的动点（不包括点A，点C）.
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，动点P在抛物线上，且在直线AB上方，求△ABP面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）如图2，过原点O作直线l交抛物线于M、N两点，点M的横坐标为m,点N的横坐标为n.求证：mn是一个定值.
23.(本小题12分)
综合与实践：
综合与实践课上，老师带领同学们，以“特殊四边形旋转”为主题，开展数学活动.
【问题发现】
如图1，在矩形ABCD中，AD：CD=1：，点F在对角线AC上，过F点分别作AB和AD的垂线，垂足为E，G，则四边形AEFG为矩形.请问线段CF与DG的数量关系为______.
【拓展探究】
如图2，将图1中的矩形AEFG绕点A逆时针旋转，记旋转角为α，当0°＜α＜180°时，连接CF，DG，在旋转的过程中，CF与DG的数量关系是否仍然成立？请利用图2进行证明.
【解决问题】
如图3，当矩形ABCD的边AD=AB时，点E为直线CD上异于D，C的一点，以AE为边作正方形AEFG，点H为正方形AEFG的中心，连接DH，若AD=4，DE=2，直接写出DH的长.
1.【答案】B
2.【答案】D
3.【答案】A
4.【答案】C
5.【答案】B
6.【答案】B
7.【答案】（-1，5）
8.【答案】y=x2+4x+1
9.【答案】4
10.【答案】120°
11.【答案】3.2cm2
12.【答案】3或或6
13.【答案】抛物线解析式为y=2（x-2）2+1=2x2-8x+9 AC=6
14.【答案】作图见解析，（-1，5）；
如图，△A2B2C2即为所作．
15.【答案】（1）．
（2）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中抽到的两张卡片恰好是“决策类人工智能”和“视觉类人工智能”的结果有：AD，DA，共2种，
∴抽到的两张卡片恰好是“决策类人工智能”和“视觉类人工智能”的概率为=．
16.【答案】解：（1）如图所示，CD即为所求；
（2）如图，CD即为所求．
17.【答案】（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠A=90°，
∴∠AGB=∠CBE．
∵CE⊥BG，
∴∠BEC=90°，
∴∠A=∠BEC，
∴△ABG∽△ECB （2）∵AG=3，，AB=4，四边形ABCD是矩形，
∴，，
∵△ABG∽△ECB，
∴，即，
∴，
∴BG=2BE，
即E是BG的中点
18.【答案】解：（1）∵反比例函数的图象经过点A（-1，m），B（n,-3），
∴-1×m=-6，-3n=-6，
解得m=6，n=2，
∴A（-1，6），B（2，-3），
把A、B的坐标代入y=kx+b得，
解得，
∴一次函数的解析式为y=-3x+3．
（2）观察图象，不等式的解集为：x≤-1或0＜x≤2．
（3）连接OA，OB，由题意C（0，3），
S△AOB=S△AOC+S△BOC=×3×1+×3×2=，
设P（m,0），
由题意 |m| 3=×2，
解得m=±6，
∴P（6，0）或（-6，0）．
19.【答案】解：（1）过点D作DE⊥AB于E，
由题意得：∠CDE=55°，∠DEB=90°，
∵DC⊥BC，
∴∠C=90°，
∴∠ABC=360°-∠C-∠DEB-∠CDE=125°，
∴此时∠CBA的度数为125°；
（2）过点C作CF⊥DE于F，过点B作BG⊥CF于G，
∴∠DFC=∠BGC=90°，
由题意得：BG=EF，
∵∠CDE=55°，
∴∠DCF=90°-∠CDE=35°，
∵∠DCB=90°，
∴∠BCG=∠DCB-∠DCF=55°，
∴∠CBG=90°-∠BCG=35°，
在Rt△CDF中，CD=80mm,
∴DF=DC sin35°≈80×0.57=45.6（mm），
在Rt△BCG中，BC=75mm,
∴BG=BCcos35°≈75×0.82=61.5（mm），
∴DE=DF+EF=DF+BG=45.6+61.5≈107（mm），
答：点D到AB的距离约为107mm.
20.【答案】y=-100x+5000
21.【答案】；
证明见解析过程；

22.【答案】（1）解：在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2-2x+c与x轴交于点A（-3，0）和点C，与y轴交于点B（0，3），把点A（-3，0）和点B（0，3）的坐标代入得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为y=-x2-2x+3；
（2）解：如下图所示，过点P作PH∥y轴，交AB于点H，
设直线AB的解析式为y=kx+b,把点A和点B的坐标代入得：
，
解得：，
∴直线AB的解析式为y=x+3，
点P是抛物线上点A与点C之间的动点（不包括点A，点C）．设点P的横坐标为x,则点P的纵坐标为-x2-2x+3，
∴点H的横坐标为x,点H的纵坐标为x+3，
∴PH=-x2-2x+3-（x+3）=-x2-3x,
∵S△APB=S△APH+S△BPH==-，
整理得：S△APB=x==，
∴可知当时，△APB的面积有最大值，最大值是，
当时，，
此时点P的坐标为；
（3）证明：设直线MN的解析式为y=hx,
解方程组，
可得：-x2-2x+3=hx,
整理得：x2+（2+h）x-3=0，
一元二次方程x2+（2+h）x-3=0中，
Δ=b2-4ac=（2+h）2+12＞0，
∴一元二次方程x2+（2+h）x-3=0有两个不相等的实数根，
这两个不相等的实数根分别为m、n,
则有，
∴mn是一个定值．
23.【答案】CF=2GD
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