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第五章 一元函数的导数及其应用
5.1.2 导数的概念及其几何意义
学案
一、学习目标
1.了解导函数的概念，理解导数的几何意义.
2.根据导数的几何意义，会用导数的概念求简单函数在某点处的导数及曲线的切线方程.
基础梳理
1.导数的概念：在求函数在点处的导数的过程中我们可以看出，当时，就是一个唯一确定的数，这样当变化时，就是的函数，我们称它为的导函数（简称导数）。的导函数也可以记作，即.
2. 切线的定义：在曲线上任取一点，如果当点沿着曲线无限趋近于点时，割线无限趋近于一个确定的位置，这个确定的位置的直线（是直线上的一点）称为曲线在某点的切线.
3. 导数的几何意义：
函数在点处的导数就是切线的斜率，即.这就是导数的几何意义，相应的切线方程为.
三、巩固练习
1.设函数，曲线在点处的切线方程为，则曲线在点处的切线的斜率为( )
A.4 B. C.2 D.
2.若函数，则此函数图象在点处的切线的倾斜角为( )
A. B.0 C.钝角 D.锐角
3.函数的图像在点处的切线方程为( )
A. B. C. D.
4.设函数.若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为( )
A. B. C. D.
5.函数的图象在点处的切线方程是( )
A. B. C. D.
6.经过，两点的直线的倾斜角是( )
A.45° B.135° C.90° D.60°
7.（多选）若当时，，则下列结论中正确的是( )
A.当时，
B.当时，
C.曲线上点处的切线斜率为-1
D.曲线上点处的切线斜率为-2
8.（多选）已知函数的图象如图所示，是的导函数，则下列不等式正确的是( ).
A. B.
C. D.
答案以及解析
1.答案：A
解析：因为，所以.又曲线在点处的切线方程为，所以，所以，即曲线在点处的切线的斜率为4.
2.答案：C
解析：，，此函数图象在点处的切线的倾斜角为钝角.
3.答案：B
解析：.又，则函数的图像在（1，-1）处的切线方程为，即，故选B.
4.答案：C
解析：由题意，得的定义域是R，因为是奇函数，所以，即，所以，则，所以，则，所以.又，所以切线方程是，即.
5.答案：D
解析：因为，所以.因为，所以切线方程为，即.
6.答案：B
解析：经过，两点的直线的斜率，则倾斜角是135°.
7.答案：AD
解析：由题意，得曲线上点处的切线斜率为-2，故C错误，D正确；当时，，则当时，，故A正确，B错误.故选AD.
8.答案：AB
解析：由函数的图象可知函数是单调递增的，所以函数的图象上任意一点的导函数值都大于零，并且由图象可知，函数图象在处的切线斜率大于在处的切线斜率，所以；
记，，作直线AB，则直线AB的斜率，由函数图象，可知，即.
故选AB

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