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回归原点4　力与曲线运动
1．物体做曲线运动的条件
(1) 运动学角度：物体的速度方向和加速度方向不在一条直线上。
(2)动力学角度：物体速度方向和所受合外力的方向不在一条直线上，有三种情形，如图：
【提醒】　无力不拐弯，拐弯必有力，两向夹一线，轨迹在中间，合力指凹侧，曲线向力弯。
2．平抛运动的规律
(1) 水平分运动：水平分速度vx＝v0；水平位移x＝v0t。
竖直分运动：竖直分速度 vy＝gt；竖直位移y＝gt2。
合运动：合速度大小 v＝，方向 tan θ＝。
合位移大小 l＝，方向 tan α＝。
平抛运动的轨迹　联立x＝v0t、y＝gt2得y＝x2，是一条抛物线。
(2)平抛运动的两个重要推论
①平抛运动中的某一时刻，速度与水平方向夹角为θ，位移与水平方向夹角为α，则tan θ＝2tan α。
② 做平抛运动的物体，任意时刻瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点。
3．一般的抛体运动
(1)运动特点：可看作是水平方向的匀速直线运动，竖直方向的竖直上抛或竖直下抛运动的合运动，其轨迹为抛物线。
(2)初速度的分解：vx＝v0cos θ，vy＝v0sin θ。
4．圆周运动
(1)描述圆周运动的各物理量及其关系
(2)向心加速度
(3)向心力：Fn＝mr＝mωv。
【提醒】　①做匀速圆周运动的物体的向心力由物体所受的合外力提供，总是指向圆心。
②卫星绕地球、行星绕太阳做匀速圆周运动的向心力由万有引力提供。
③氢原子核外电子绕原子核做匀速圆周运动的向心力由原子核对核外电子的库仑力提供。
5．万有引力与宇宙航行
(1)规律
(2)第一宇宙速度
mg＝m v＝＝7.9 km/s
【提醒】　第一宇宙速度是发射人造卫星的最小速度，是最大环绕速度。
1．小船渡河问题
(1)渡河时间最短
(2)渡河位移最短
2．关联速度问题
方法：根据平行四边形定则，将物体的实际运动速度v分解为沿绳(或杆)的分速度v∥，与绳(或杆)垂直的分速度v⊥。
3．与斜面相关的平抛运动问题
(1)物体做平抛运动后，垂直落在斜面上
注意θ不是速度的偏转角！
分析思路：分解速度，构建速度三角形，确定平抛运动的时间，再分析平抛运动的位移。
(2)由斜面上某一点开始做平抛运动后，再次落回斜面
分析思路：分解位移，构建位移三角形，确定平抛运动的时间，再分析平抛运动的速度。
4．极限法推导向心加速度
理论推导向心加速度表达式：
5．竖直平面内的圆周运动——绳模型
在最高点除重力外，物体受到向下的弹力，或不受弹力。
6．竖直平面内的圆周运动——杆模型
在最高点除重力外，物体受到向上的弹力，或向下的弹力，或不受弹力。
最高点有支撑
竖直平面内的圆周运动→定模型→确定临界状态点→列动力学方程
7．人造地球卫星的区分与比较问题
(1)分析思路：先对B、C进行比较，再对A、C进行比较。其中，r1≈R，ωA＝ωC。
(2)结论：角速度关系为ωB>ωA＝ωC，线速度关系为vB>vC>vA，向心加速度关系为aB>aC>aA。
8．卫星发射过程的变轨问题
9．同一轨道卫星对接问题
10．双星问题
双星模型的几个基本结论：
(1)轨道半径：r1＝L。
(2)运行周期：T＝2πL。
(3)星体质量：m1＝，m总＝m1＋m2＝。
[典例1]　(人教版教材必修第二册P17例题2)如图所示，某同学利用无人机玩“投弹”游戏。无人机以v0＝2 m/s的速度水平向右匀速飞行，在某时刻释放了一个小球。此时无人机到水平地面的距离h＝20 m，空气阻力忽略不计，g取10 m/s2。
(1)求小球下落的时间；
(2)求小球释放点与落地点之间的水平距离。
分析　忽略空气阻力，小球脱离无人机后做平抛运动，它在竖直方向的分运动是自由落体运动，根据自由落体运动的特点可以求出下落的时间，根据匀速直线运动的规律可以求出小球释放点与落地点之间的水平距离。
[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[典例2]　(人教版教材必修第二册P20A组T7)跳台滑雪是一项勇敢者的运动，运动员穿专用滑雪板，在滑雪道上获得一定速度后从跳台飞出，在空中飞行一段距离后着陆。现有某运动员从跳台A处沿水平方向飞出，在斜坡B处着陆，如图所示。测得A、B间的距离为40 m，斜坡与水平方向的夹角为30°，试计算运动员在A处的速度大小和在空中飞行的时间。不计空气阻力，g取10 m/s2。有兴趣的同学可以计算一下运动员在空中离坡面的最大距离。
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[典例3]　(人教版教材必修第二册P32例题)如图所示，在长为l的细绳下端拴一个质量为m的小球，捏住绳子的上端，使小球在水平面内做圆周运动，细绳就沿圆锥面旋转，这样就成了一个圆锥摆。当绳子跟竖直方向的夹角为θ时，小球运动的向心加速度an的大小为多少？通过计算说明：要增大夹角θ，应该增大小球运动的角速度ω。
分析　由于小球在水平面内做圆周运动，向心加速度的方向始终指向圆心。可以根据受力分析，求出向心力的大小，进而求出向心加速度的大小。根据向心加速度公式，分析小球做圆周运动的角速度ω与夹角θ之间的关系。
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[典例4]　(人教版教材必修第二册P42B组T6)某人站在水平地面上，手握不可伸长的轻绳一端，绳的另一端系有质量为m的小球，使球在竖直平面内以手为圆心做圆周运动。当球某次运动到最低点时，绳恰好受到所能承受的最大拉力被拉断，球以绳断时的速度水平飞出，通过水平距离d后落地。已知握绳的手离地面高度为d，手与球之间的绳长为，重力加速度为g，忽略空气阻力。
(1)绳能承受的最大拉力是多少？
(2)保持手的高度不变，改变绳长，使球重复上述运动，若绳仍在球运动到最低点时达到最大拉力被拉断，要使球抛出的水平距离最大，绳长应是多少？最大水平距离是多少？
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[典例5]　(人教版教材必修第二册P71B组T3)有一质量为m、半径为R、密度均匀的球体，在距离球心O为2R的地方有一质量为m′的质点。现从m中挖去半径为R的球体，如图所示，则剩余部分对m′的万有引力F为多少？
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回归原点4　力与曲线运动
典例1　解析：(1)以小球从无人机释放时的位置为原点O建立平面直角坐标系(如图)，x轴沿初速度方向，y轴竖直向下。设小球的落地点为P，下落的时间为t，则满足
h＝gt2
所以小球落地的时间
t＝ s＝2 s。
(2)因此，小球落地点与释放点之间的水平距离
l＝v0t＝2×2 m＝4 m。
答案：(1)2 s　(2)4 m
典例2　解析：运动员从A点做平抛运动，竖直位移为：
y＝Lsin 30°＝20 m
竖直方向：y＝gt2
解得空中飞行时间t＝＝2 s
水平位移为：x＝Lcos 30°＝20 m
水平方向上：x＝v0t
解得v0＝ m/s＝10 m/s
将该运动分解成沿斜面方向和垂直斜面方向的两个分运动，建立如图所示坐标系，则在沿斜面方向做匀加速直线运动，垂直斜面方向做匀减速直线运动，由题意知：
v0x＝v0cos 30°
v0y＝v0sin 30°
ax＝gsin 30°
ay＝gcos 30°
设最远距离为h，则有：h＝
解得h＝ m。
答案：10 m/s　2 s　 m
典例3　解析：根据对小球的受力分析，可得小球的向心力
Fn＝mgtan θ
根据牛顿第二定律可得小球运动的向心加速度
an＝＝gtan θ (1)
根据几何关系可知小球做圆周运动的半径
r＝lsin θ (2)
把向心加速度公式an＝ω2r和(2)式代入(1)式，可得
cos θ＝
从此式可以看出，当小球运动的角速度增大时，夹角也随之增大。因此，要增大夹角θ，应该增大小球运动的角速度ω。
答案：见解析
典例4　解析：(1)设绳能承受的最大拉力为Fm，球做圆周运动的半径为：R＝d
由牛顿第二定律得：Fm－mg＝m
球以绳断时的速度水平飞出，做平抛运动，水平距离为d，竖直位移为d，则：d＝v1t，d＝gt2
联立解得Fm＝mg。
(2)设绳长为L，绳断时球的速度为v2，则有：
Fm－mg＝m
解得v2＝
绳断后球做平抛运动，竖直位移为d－L，水平位移为x，时间为t2，
竖直方向有：d－L＝g
水平方向有：x＝v2t2
联立得x＝4＝4
当L＝时x有极大值xmax＝。
答案：(1)mg　(2)
典例5　解析：球体没有被挖时，对m'的万有引力为：
F1＝G＝G
被挖出的半径为R的小球，其质量为m，对m'的万有引力为：F2＝G＝G
所以剩余部分对m'的万有引力为：
F＝F1－F2＝G－GG。
答案：G
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回归原点4　力与曲线运动
回归原点——回归教材核心 感悟经典案例
[核心考点]
1．物体做曲线运动的条件
(1)运动学角度：物体的速度方向和加速度方向不在一条直线上。
(2)动力学角度：物体速度方向和所受合外力的方向不在一条直线上，有三种情形，如图：
【提醒】　无力不拐弯，拐弯必有力，两向夹一线，轨迹在中间，合力指凹侧，曲线向力弯。
2．平抛运动的规律
(1)水平分运动：水平分速度vx＝v0；水平位移x＝v0t。
竖直分运动：竖直分速度 vy＝gt；竖直位移y＝gt2。
合运动：合速度大小 v＝＝，方向 tan θ＝＝。
合位移大小 l＝，方向 tan α＝＝。

平抛运动的轨迹　联立x＝v0t、y＝gt2得y＝x2，是一条抛物线。
(2)平抛运动的两个重要推论
①平抛运动中的某一时刻，速度与水平方向夹角为θ，位移与水平方向夹角为α，则tan θ＝2tan α。
② 做平抛运动的物体，任意时刻瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点。
3．一般的抛体运动
(1)运动特点：可看作是水平方向的匀速直线运动，竖直方向的竖直上抛或竖直下抛运动的合运动，其轨迹为抛物线。
(2)初速度的分解：vx＝v0cos θ， vy＝v0sin θ。
4．圆周运动
(1)描述圆周运动的各物理量及其关系
(2)向心加速度





(3)向心力：Fn＝m＝mω2r＝mr＝mωv。
【提醒】　①做匀速圆周运动的物体的向心力由物体所受的合外力提供，总是指向圆心。
②卫星绕地球、行星绕太阳做匀速圆周运动的向心力由万有引力提供。
③氢原子核外电子绕原子核做匀速圆周运动的向心力由原子核对核外电子的库仑力提供。
5．万有引力与宇宙航行
(2)第一宇宙速度
mg＝m v＝＝＝7.9 km/s
【提醒】　第一宇宙速度是发射人造卫星的最小速度，是最大环绕速度。
[核心解读]
1．小船渡河问题
(1)渡河时间最短
(2)渡河位移最短
2．关联速度问题
方法：根据平行四边形定则，将物体的实际运动速度v分解为沿绳(或杆)的分速度v∥，与绳(或杆)垂直的分速度v⊥。
3．与斜面相关的平抛运动问题
(1)物体做平抛运动后，垂直落在斜面上
注意θ不是速度的偏转角！
分析思路：分解速度，构建速度三角形，确定平抛运动的时间，再分析平抛运动的位移。
(2)由斜面上某一点开始做平抛运动后，再次落回斜面



分析思路：分解位移，构建位移三角形，确定平抛运动的时间，再分析平抛运动的速度。
4．极限法推导向心加速度
理论推导向心加速度表达式：
＝
＝＝
5．竖直平面内的圆周运动——绳模型
在最高点除重力外，物体受到向下的弹力，或不受弹力。
6．竖直平面内的圆周运动——杆模型
在最高点除重力外，物体受到向上的弹力，或向下的弹力，或不受弹力。
最高点有支撑

竖直平面内的圆周运动→定模型→确定临界状态点→列动力学方程
7．人造地球卫星的区分与比较问题
(1)分析思路：先对B、C进行比较，再对A、C进行比较。其中，r1≈R，ωA＝ωC。
(2)结论：角速度关系为ωB>ωA＝ωC，线速度关系为vB>vC>vA，向心加速度关系为aB>aC>aA。
8．卫星发射过程的变轨问题
9．同一轨道卫星对接问题
10．双星问题
双星模型的几个基本结论：
(1)轨道半径：r1＝L，r2＝L。
(2)运行周期：T＝2πL。
(3)星体质量：m1＝，m2＝，m总＝m1＋m2＝。
[经典案例]
[典例1]　(人教版教材必修第二册P17例题2)如图所示，某同学利用无人机玩“投弹”游戏。无人机以v0＝2 m/s的速度水平向右匀速飞行，在某时刻释放了一个小球。此时无人机到水平地面的距离h＝20 m，空气阻力忽略不计，g取10 m/s2。
(1)求小球下落的时间；
(2)求小球释放点与落地点之间的水平距离。
分析　忽略空气阻力，小球脱离无人机后做平抛运动，它在竖直方向的分运动是自由落体运动，根据自由落体运动的特点可以求出下落的时间，根据匀速直线运动的规律可以求出小球释放点与落地点之间的水平距离。
[解析]　(1)以小球从无人机释放时的位置为原点O建立平面直角坐标系(如图)，x轴沿初速度方向，y轴竖直向下。设小球的落地点为P，下落的时间为t，则满足
h＝gt2
所以小球落地的时间t＝＝ s＝2 s。
(2)因此，小球落地点与释放点之间的水平距离
l＝v0t＝2×2 m＝4 m。
[答案]　(1)2 s　(2)4 m
[典例2]　(人教版教材必修第二册P20A组T7)跳台滑雪是一项勇敢者的运动，运动员穿专用滑雪板，在滑雪道上获得一定速度后从跳台飞出，在空中飞行一段距离后着陆。现有某运动员从跳台A处沿水平方向飞出，在斜坡B处着陆，如图所示。测得A、B间的距离为40 m，斜坡与水平方向的夹角为30°，试计算运动员在A处的速度大小和在空中飞行的时间。不计空气阻力，g取10 m/s2。有兴趣的同学可以计算一下运动员在空中离坡面的最大距离。
[解析]　运动员从A点做平抛运动，竖直位移为：
y＝L sin 30°＝20 m
竖直方向：y＝gt2
解得空中飞行时间t＝＝2 s
水平位移为：x＝L cos 30°＝20 m
水平方向上：x＝v0t
解得v0＝＝ m/s＝10 m/s
将该运动分解成沿斜面方向和垂直斜面方向的两个分运动，建立如图所示坐标系，则在沿斜面方向做匀加速直线运动，垂直斜面方向做匀减速直线运动，由题意知：
v0x＝v0cos 30°
v0y＝v0sin 30°
ax＝g sin 30°
ay＝g cos 30°
设最远距离为h，则有：h＝
解得h＝ m。
[答案]　10 m/s　2 s　 m
[典例3]　(人教版教材必修第二册P32例题)如图所示，在长为l的细绳下端拴一个质量为m的小球，捏住绳子的上端，使小球在水平面内做圆周运动，细绳就沿圆锥面旋转，这样就成了一个圆锥摆。当绳子跟竖直方向的夹角为θ时，小球运动的向心加速度an的大小为多少？通过计算说明：要增大夹角θ，应该增大小球运动的角速度ω。
分析　由于小球在水平面内做圆周运动，向心加速度的方向始终指向圆心。可以根据受力分析，求出向心力的大小，进而求出向心加速度的大小。根据向心加速度公式，分析小球做圆周运动的角速度ω与夹角θ之间的关系。
[解析]　根据对小球的受力分析，可得小球的向心力Fn＝mg tan θ
根据牛顿第二定律可得小球运动的向心加速度
an＝＝g tan θ (1)
根据几何关系可知小球做圆周运动的半径
r＝l sin θ (2)
把向心加速度公式an＝ω2r和(2)式代入(1)式，可得cos θ＝
从此式可以看出，当小球运动的角速度增大时，夹角也随之增大。因此，要增大夹角θ，应该增大小球运动的角速度ω。
[答案]　见解析
[典例4]　(人教版教材必修第二册P42B组T6)某人站在水平地面上，手握不可伸长的轻绳一端，绳的另一端系有质量为m的小球，使球在竖直平面内以手为圆心做圆周运动。当球某次运动到最低点时，绳恰好受到所能承受的最大拉力被拉断，球以绳断时的速度水平飞出，通过水平距离d后落地。已知握绳的手离地面高度为d，手与球之间的绳长为，重力加速度为g，忽略空气阻力。
(1)绳能承受的最大拉力是多少？
(2)保持手的高度不变，改变绳长，使球重复上述运动，若绳仍在球运动到最低点时达到最大拉力被拉断，要使球抛出的水平距离最大，绳长应是多少？最大水平距离是多少？
[解析]　(1)设绳能承受的最大拉力为Fm，球做圆周运动的半径为：R＝d
由牛顿第二定律得：Fm－mg＝
球以绳断时的速度水平飞出，做平抛运动，水平距离为d，竖直位移为d，则：d＝v1t，d＝gt2
联立解得Fm＝mg。
(2)设绳长为L，绳断时球的速度为v2，则有：
Fm－mg＝
解得v2＝
绳断后球做平抛运动，竖直位移为d－L，水平位移为x，时间为t2，
竖直方向有：d－L＝
水平方向有：x＝v2t2
联立得x＝4＝4
当L＝时x有极大值xmax＝。
[答案]　(1)mg　(2)
[典例5]　(人教版教材必修第二册P71B组T3)有一质量为m、半径为R、密度均匀的球体，在距离球心O为2R的地方有一质量为m′的质点。现从m中挖去半径为R的球体，如图所示，则剩余部分对m′的万有引力F为多少？
[解析]　球体没有被挖时，对m′的万有引力为：
F1＝G＝G
被挖出的半径为R的小球，其质量为m，对m′的万有引力为：F2＝G＝G
所以剩余部分对m′的万有引力为：
F＝F1－F2＝G－G＝G。
[答案]　G
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